Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije
Transcript of Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije
![Page 1: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/1.jpg)
Miloš Marinković
Matematika 2011/12 HiT Vrnjačka Banja
![Page 2: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/2.jpg)
N = {1,2,3, . . .}
m, n, k N (m,n i k su elementi skupa prirodnih brojeva) m + n e N
m · n e N
(m+n)+k = m+(n+k) (asocijativnost sabiranja)
m+n = n+m (komutativnost sabiranja)
(m·n)·k = m·(n·k) (asocijativnost množenja)
m·n = n·m (komutativnost množenja)
n·1 = 1·n = n (postoji neutralni element za množenje)
k·(m+n) = k·m+k·n (distributivnost množenja u odnosu na sabiranje)
N0 = {0,1,2,3, . . .}
k + 0 = 0 + k = k (postoji neutralni element za sabiranje)
N0
N
![Page 3: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/3.jpg)
Z
Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, . . .}
k Z (k je element skupa celih brojeva)
k + (-k) = 0 ( -k je inverzni element za sabiranje u odnosu na element k)
k i (-k) su suprotni brojevi
N0
N N = {n| n Z n>0}
skup celih brojeva većih od 0
N0 = {n| n Z n 0}
skup celih brojeva većih od 0 ili jednakih 0
![Page 4: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/4.jpg)
a,b,c Z
oduzimanje se svodi na sabiranje◦ a – b = a + (-b)
◦ a – b – c = a + (-b) + (-c)
prioritet operacijaviši prioritet • množenje ( * )
• deljenje ( : )niži prioritet • sabiranje (+)
• oduzimanje (-)
• a · b + c = (a · b) + c• a – b · c = a – (b · c)• a + b : c = a + (b : c)• a : b – c = (a : b) - c
• a · b : c =• a : b : c = • a : b · c = ? • nepravilan zapis
• neophodne zagrade
• a – (b + c) = a – b – c• minus (-) ispred zagrade menja
znak svih brojeva unutar zagrada
![Page 5: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/5.jpg)
1. Izračunati vrednost izraza:a) 1233 – 999 +767 – 601=
b) 1400 + 863 – 1368 – 495=
c) 124 + (336 – (270 – 58)) – (211 + 36) =
d) 16 · 240 + 16 · 173 – 16 · 113 =
e) 150 + 17 · 3 – 105 =
f) 232 · 11 + 60 - 81 : 3 + 3 · 5 =
g) (-3) · (-2) – ( -12 + (5 · (-2) + 2 · (-7 – 2 · (-3)) – 3 · (-2))) + (-7) · (-3) =
h) 4 · (7 − 6) − 315 − 3[7 · (3 − 1) − 2 · (2 + 3)] − (−1) + 2 =
2. U izrazu 7 · 6 + 12 : 3 – 1 postaviti zagrade tako davrednost izraza bude:
a) 17
b) 69
c) 45
d) 35
![Page 6: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/6.jpg)
1233 – 999 + 767 – 601
= 234 + 767 – 601
= 1001 – 601
= 400
1233 – 999 + 767 – 601
= 234 + 166
= 400ILI
1.a)
(-3) · (-2) – ( -12 + (5 · (-2) + 2 · (-7 – 2 · (-3)) – 3 · (-2)))+ (-7) · (-3)= 6 - ( -12 + ( -10 + 2 · (-7 – (-6)) - (-6))) + 21= 6 - ( -12 + ( -10 + 2 · (-7 + 6 ) + 6 )) + 21= 6 - ( -12 + ( -10 + 2 · (-1) + 6 )) + 21= 6 - ( -12 + ( -10 -2 + 6 )) + 21= 6 - ( -12 + ( -6 )) + 21= 6 - ( -18) + 21= 6 +18 + 21= 45
1.g)
7 · (6 + 12 : 3) – 1 = 7 · (6 + 4) – 1 = 7 · 10 -1= 70 – 1=692.b)
![Page 7: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/7.jpg)
Broj je deljiv sa 2 ako se završava sa 0,2,4,6,8
Broj je deljiv sa 3 ako mu je zbir cifara deljiv sa 3
Broj je deljiv sa 5 ako mu je poslednja cifra 0 ili 5
Broj je deljiv sa 4 ako je njegov dvocifreni završetak deljiv sa 4
Broj je deljiv sa 6 ako je deljiv sa 2 i sa 3
Broj je deljiv sa 8 ako mu je trocifreni završetak deljiv sa 8
Broj je deljiv sa 9 ako mu je zbir cifara deljiv sa 9
Broj je deljiv sa 10 ako se završava sa 0, sa 100 ako se završava sa 00 , itd.
Prosti brojevi su deljivi samo sa jedinicom i sa samim sobom◦ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…
Složeni brojevi su deljivi sa još nekim brojem osim sa jedinicom i sa samimsobom◦ 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14…
Jedinica po dogovoru nije ni prost ni složen broj.
![Page 8: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/8.jpg)
Najmanji zajednički sadržalac (NZS) je najmanji broj koji je deljiv sa datimbrojevima.
Najveći zajednički delilac (NZD) je najveći broj sa kojim možemo podelitidate brojeve.
NZS(3,4) = 12
3,4 23,2 23,1 31,1
NZD(8,24,6) = 2
8,24,6 24,12,3
primer
primer
![Page 9: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/9.jpg)
- -
Q
Q = { | p Z, q N }
◦ celi brojevi : k Z => Q
◦ razlomci : { | p Z, q N, NZD(p,q)=1}, decimalni brojevi
◦ mešoviti brojevi: { | k Z ,p Z, q N, NZD(p,q)=1, = }
Z
N0
N
p
q
p
q
1
k
pk
q
pk
q
k · q + p
q
1 3 10 2 3, , , , 2 ,
2 7 17 25 4
73
81,2, 2,
k · = 1 ( je inverzni element za
množenje u odnosu na element k)
1
k
1
k
![Page 10: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/10.jpg)
sabiranje
+ = p
q
m
n
NZS (q, n) NZS (q, n) · p + · m
q n
NZS (q, n)
oduzimanje
- = p
q
m
n
NZS (q, n) NZS (q, n) · p - · m
q n
NZS (q, n)
2 3 17+ =
3 4 12
primer
2 3 1 - = -
3 4 12
primer
![Page 11: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/11.jpg)
množenje
· = p
q
m
n
p · m
q · n
deljenje
: = · =
2 3 6 · =
3 4 12
primer
2 3 8 : =
3 4 9
primer
p
q
m
n
p · n
q · m
p
q
n
m
![Page 12: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/12.jpg)
1. Izračunati vrednost izraza:
1 5 5 2 120 1 6 3 :5
3 7 12 3 2
2 3 1
5 43 2
1 4 5
2 1 11 : 7 0,23
9 3 6
12 1,2
8
a)
d) c)
b)
1 23 1 4,2 2,25 4
2 3
3 1 3 2 74 2 5 :3
4 2 4 3 9
![Page 13: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/13.jpg)
(:13
(:13
2 3 7 3 28 15 13 1
13 15 4 5 4 20 203 2 1 6 20 6 26 26 2
1 4 5 1 20 20 20
1.b)
skraćivanje razlomaka
ako je NZD(a,b)=c tada važi (:c
(:c
a
a a cbb b
c
![Page 14: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/14.jpg)
oni koji nisu racionalni◦ algebarski rešenja (koreni) jednačina sa racionalnim koeficijentima:
-
◦ transcedentni
p = O/(2 r), e, …
Q I = ø
Q
Z
N0
N
I
33
2, 10, ,9
3
![Page 15: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/15.jpg)
R = Q I
|
Q
Z
N0
N
I
R
C – skupkompleksnih
brojeva
-1 0 1 21
2
R
![Page 16: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/16.jpg)
apsolutna vrednost broja x
|x|
n-ti stepen broja x
x = x·x·… ·x x = x·x
n-ti koren broja x
x , ako je x ≥ 0
-x , ako je x < 0
n
n puta
2
x = y <=> y = xn n
16 = 4 jer je 4 =162
primeri
primeri
primeri
|5| = 5
|-5| = 5
3 = 9
3 = 243
2
5
144 = 12
5 243= 3
![Page 17: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/17.jpg)
( 3 + 4) = 9 + 24 + 16 = 492
razlika kavadrata:
x - y = (x – y) (x + y)
kvadrat binoma:
(x + y) = x + 2xy + y
2 2
22 2
primeri
( a - b) = a - 2ab + b2 2 2
primeri
49 – 25 = (7 – 5) (7 + 5) = 2 · 12= 24
= 5 – 3 = 2 ( 5 - 3)( 5+ 3)
![Page 18: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/18.jpg)
1. Uprostiti izraze:
2 2
a b a + b+ - =
ab - b a - ab ab 2
a + 1 6a 2a - 1+ - =
a + 2 a - 4 a - 2
2 2
2
a - a a + 2a + 1 · =
a - 1 a + a
2 2 2
2 2 2
a + b - c + 2ab=
a + c - b + 2ac
a)
d)
b)
c)
![Page 19: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/19.jpg)
2
2 2
2
a + 1 6a 2a - 1+ - =
a + 2 a - 4 a - 2
a + 1 6a 2a - 1+ - =
a + 2 (a + 2)(a - 2) a - 2
(a + 1)(a - 2) + 6a - (2a - 1)(a + 2)=
(a + 2)(a - 2)
a - 2a + a - 2 + 6a - (2a + 4a - a - 2)=
(a + 2)(a - 2)
a - 2a + a - 2 + 2
2
6a - 2a - 4a + a + 2=
(a + 2)(a - 2)
- a + 2a - a(a - 2) - a = =
(a + 2)(a - 2) (a + 2)(a - 2) a + 2
1.b)
![Page 20: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/20.jpg)
ax + b = c (opšti oblik)
x = (rešenje) c - b
a
primer:5x + 3 = 23
5x = 23 – 3
x =
x =
x = 4
20
5
23 - 3
5primer: 5x - 3 = 22
5x = 22 + 3 x =
x = x = 522 + 3
5
25
5
duga menja pol osobe, = menja znak broja
![Page 21: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/21.jpg)
1. Rešiti jednačine:a) 9 – 2x = 5x + 2
b) 3(2 – 3x) + 4(6x - 11) = 10 – x
f) |5x - 1| + x = 2
g) |x – 4| - |2x + 3| = 2
h) |x + 2| - |x – 2| = 4
y - 5 2y - 3 6y + 5 + 2 = -
7 2 14c)
2 2(x + 3) – (x – 4) = 2x – 13d)
2 - x 1 - x 2x = 1 + -
2 3 3e)
![Page 22: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/22.jpg)
2 1 =
x - 2 x + 3
x + 5 1 2x - 3 = +
3x - 6 2 2x - 4
2
2x - 1 8 2x + 1 + = 2x + 1 4x - 1 2x - 1
2. Rešiti jednačine:
a)
c)
b)
3. Otac ima 43 godine a sin 18, kroz koliko godinaće otac biti dva puta stariji od sina?
4. Turistički aranžman se plaća u tri rate. Prva rata
iznosi cene aranžmana, druga ostatka, a
treća 40 eura. Kolika je cena aranžmana?
1
4
2
3
![Page 23: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/23.jpg)
9 – 2x = 5x + 2
– 2x – 5x = 2 – 9
– 7 x = – 7
x = – 1
y - 5 2y - 3 6y + 5 + 2 = - /·14
7 2 14
2(y - 5) + 28 = 7(2y - 3) - (6y + 5)
2y - 10 + 28 = 14y - 21 - 6y - 5
2y - 14y + 6y = - 21- 5 + 10 - 28
- 6y = - 44 /·(- 1)
6y = 44
44y =
6
22y =
3
1.a) 1.c)
2 1 =
x - 2 x + 3
2(x + 3) = x - 2
x = - 8
uslovi:x 2, x -3
ispunjava uslove
2.a)
![Page 24: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/24.jpg)
3
23
2
uslovi I i III:(x-4)-(2x+3)=2-x = 9x=-9, ne ispunjava
uslove I i III
|x-4|
|2x+3|
x – 4; x-4≥0, x ≥4
-(x – 4); x-4<0, x <4
2x + 3; 2x+3≥0, x ≥-
-(2x + 3); 2x+3<0, x <-
I
II
III
IV
|x – 4| - |2x + 3| = 2
uslovi I i IV:nema rešenjakoje bi ispunilo ove uslove
uslovi II i III:-(x-4)-(2x+3)=2-3x = 1
x=- , ispunjava uslove II i III
1
3
uslovi II i IV:-(x-4)+(2x+3)=2
x=- 5 , ispunjava uslove II i IV
1.f)
![Page 25: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/25.jpg)
ax + b > c
◦ a > 0 => x >
◦ a < 0 => x <
ax + b < c
◦ a > 0 => x >
◦ a < 0 => x >
c - b
a
b - c
a
c - b
a
b - c
a
primer: 5x - 3 > 22
5x > 22 + 3 x >
x > x > 5
x ,
22 + 3
5
25
5
primer: -5x - 3 22
-5x 22 + 3 x -
-5x 25 /*(-1)
5x -25 x - 5
x -,
25
5
![Page 26: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/26.jpg)
1. Rešiti nejednačine:a) 3(x – 2) + 9x < 2(x + 3) + 8
b) (x – 2) + 3x < 2(x + 3) + 6
c) (x – 2) + 3x < 5(x + 3) + 6
d) 2x - 9 ≤ 8x – 4(3,75 – 3x)
e) ≥ - 1
f) (x – 1) (x – 4) > 0
g) (x + 3) (x - 5) ≤ 0
h) ≤ -2
2y + 1 3y - 2 -
3 2
6 - x
3 - x
![Page 27: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/27.jpg)
3(x – 2) + 9x < 2(x + 3) + 8
3x – 6 + 9x < 2x + 6 + 8
3x + 9x – 2x < 6 + 8 + 6
10x < 20
x < 2
x (-,2)
1.a)
(x – 1) (x – 4) > 0
I slučaj:
x – 1 > 0 x – 4 > 0x > 1 x > 4
x (4,+)
II slučaj:
x – 1 < 0 x – 4 < 0x < 1 x < 4
x (-,1)
2
1 4
41
Rešenje je: x (-,1) U (4,+)
1.f)
![Page 28: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/28.jpg)
A B
f : A -> B ili y = f(x)
x1x2...
y1y2...
f
y = xk = 1n = 0
y = kx + n
n :presek sa y-osom
presek sa x-osom: y=0kx + n = 0
x= - (nula funkcije)n
k
y = 2x + 4
x 0 -2 2
y 0 -2 2
domen kodomen
![Page 29: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/29.jpg)
y = -3k = 0n = -3
x = 2k = 0n = 2
k : koeficijent pravca
ako je grafici funkcija su paralelni ako je grafici funkcija su normalni
1 1 1 2 2 2y = k + n , y = k + n
1 2k = k
1 2k k = -1
![Page 30: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/30.jpg)
y = -2x + 4k = -2 < 0n= 4
y = 2x + 4k = 2 > 0n= 4
monotonost funkcije
k<0 k>0
funkcija jeopadajuća
funkcija je rastuća
znak funkcije
y<0 y>0
funkcija jenegativna,ispod x-ose
funkcija je pozitivna,iznad x-ose
y > 0 zax(-,2)
y > 0 zax(-2,+)
y < 0 zax(2,+)
y < 0 zax(-,-2)
![Page 31: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/31.jpg)
1. Ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije:
2. Dat je skup funkcija y = 4mx – (3m - 2)a) Odrediti m tako da nula funkcije bude x=2
b) Za dobijeno m ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije
1y = x - 1
2y = 2x - 6 y = - x + 1
y = - 3x + 2 2y = 3x + 2 2x = 3y + 2
a)
d)
b) c)
f)e)
![Page 32: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/32.jpg)
1) domen (oblast definisanosti): x R2) nule funkcije:
3) znak funkcije:
4) monotonost:k = -1 => f-ja je opadajuća
y = 0-x+1=0-x = -1x = 1
y > 0-x+1>0-x > -1/(-1)x < 1
za x(-,1)f-ja je pozitivna
y < 0-x+1<0-x < -1/(-1)x > 1
za x(1,+)f-ja je negativna
1. c)
![Page 33: Vezbe1-Brojevni Izrazi.algebarski Izrazi.linearne Jednacine i Nejednacine.linearne Funkcije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050921/55720b13497959fc0b8c1920/html5/thumbnails/33.jpg)
Racionalni i iracionalni brojevi
Aritmetičke operacije sa racionalnimbrojevima
Linearne jednačine