Least Square Error Method

Medical Instrumentation

Report 2

Group 6*2009105162 은슬기

2006200421 이동규 2009103862 이민주 2009103863 이상정

Index

• Introduction of MATLAB

• Least Square Error Method

• Generalized Static Characteristics

• Input Impedance

Introduction of MATLAB

I. MATLAB 의 기능- 간단한 계산- Workspace- 변수

II. 기본 명령어- 명령어 : help, who, save, load 등 .- 그래프 : plot, axis, subplot, surface, figure, image 등 .- 통계함수 : sum, mean sort, cov 등 .- 수학함수 : abs, sin, cos, tan, sqrt, acos, angle, exp 등 .

Least Square Error Method

⑴ Definition 최소자승법 (Least squares method) 이란 , 특정 통계자료로부터의 오차항의 제곱의 합을

최소로 만드는 어떠한 적정 방정식의 parameter 값을 구하는 방법이다 . 즉 , 의 값을 최소화 시키는 방정식 에서

parameter 의 계수들을 구하는 방법이다 . 이때 말하는 오차 (Error) 는 방정식과 측정값들

사이의 차이이다 .

n

iiError

1

2)(

nnxaxaxaxf 2

21)(

x


⑵ Calibration Calibration 은 measurements 사이의 비교이다 . 즉 , 알려진 규모 혹은 정확도 중 하나가 만들어지거나 맞춰질 때 , 하나의 장치 혹은 다른 measurement 가 두 번째 장치에서 비슷한 방법으로 만들어 지는 것이다 . 예를 들어 , 디지털 온도계에서의 Calibration 은 온도와 전압이 된다 .


solution 1 – Regression analysis (회귀분석 )

• 오차의 제곱을 더하는 식을 만들어보면 다음과 같다 .

N

ii baeba

1

2 ),(min),min(

• 데이터 테이블의 값을 대입하여 정리하면 다음과 같다 .

2222

1

2222

1

2

222

222

)(),(

iiiiii

N

iiiiiii

N

iii

yNbybxabyxaxa

byayxabxybxa

ybaxba

• 방정식의 양변을 a, b 에 대해 각각 편미분하면

0222

0222 2

Nbyxab

xbyxxaa

ii

iiii


solution 1 – Regression analysis (회귀분석 )

• 마지막 식을 정리하여 a, b 의 값을 구해보면 다음과 같다 .

2

11

2

1111

N

ii

N

ii

N

iii

N

ii

N

ii

N

ii

xxN

yxxyxa

2

11

2

111

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii

N

iii

xxN

yxyxb


solution 2 – Matrix equation ( 행렬 방정식 )• 아래의 데이터 테이블의 값을 연립방정식으로 표현하면

nn ybax

ybaxybax

22

11

• 연립방정식을 행렬로 표현하고 간단히 하면 다음과 같다 .

⇒

nn y

yy

ba

x

xx

2

1

2

1

1

11

⇒A p = q

AT A p = AT q∴ p = (AT A )-1 AT q


solution 2 – Matrix equation ( 행렬 방정식 )• Matlab 을 이용하여 일차함수 형태의 , noise 가 섞인 신호를

Least Square Error Method 를 통해 풀어보자 .

① x 는 0 부터 99 까지 1 씩 커지는 변수로 설정한다 .


solution 2 – Matrix equation ( 행렬 방정식 )• Matlab 을 이용하여 일차함수 형태의 , noise 가 섞인

신호를 Least Square Error Method 를 통해 풀어보자 .

② 임의의 noise 를 생성한다 .




③ noise 가 섞인 signal. 그리고 그것을 1 단위마다 sampling 한다 .

⇒




④ p = (AT A )-1 AT q 를 이용하여 방정식의 계수행렬 p 를 구한다 .




⑤ p 의 요소 , 즉 방정식의 계수를 적용해서 직선 방정식을 구하고

신호를 sampling 한 것과 비교해 본다 .


solution 2 – Matrix equation ( 행렬 방정식 )• 마찬가지로 Matlab 을 이용하여 이차함수 형태의 , noise 가

섞인 신호를 Least Square Error Method 를 통해 풀어보면

① noise 가 섞인 신호와 그것을 sampling 을 하면 다음과 같다 .

⇒


solution 2 – Matrix equation ( 행렬 방정식 )• 마찬가지로 Matlab 을 이용하여 이차함수 형태의 , noise 가

섞인 신호를 Least Square Error Method 를 통해 풀어보면

② 일차함수 때와 마찬가지 방법으로 p 를 구하고 함수에 적용한 후 , sampling 한 신호와 비교해보면 다음과 같다 .

Generalized Static

Characteristics

Ⅰ. Accuracy ( 정확도 ) ⅰ.

ⅱ. Expression ① % of reading : 측정값에 대한 비율 . ② % of FS(Full Scale) : 측정 가능한 값의 최댓값에 대한 비율 . ⅲ. Example - 온도계 ( 측정가능 온도 범위 : 0~100, 측정된 온도 : 50) 일 때 , Case 1 : ±1% of reading ⇒ 49.5 ≤ True Value ≤ 50.5 Case 2 : ±1% of FS ⇒ 49 ≤ True Value ≤ 51

Value MeasuredValue TrueError100(%)Value True

Error Accuracy

Generalized Static

Characteristics

Ⅱ. Precision ( 정밀도 ) ⅰ. Definition : 기술 ( 記述 ) 하는 값들을 정밀하게 구별하는 정도를 말한다 . 예를 들어 , 소수점 넷째 자릿수를 측정할 수 있는 것은 소수점 여섯째 자릿수를 측정할 수 있는 것 보다 덜 정밀하다 . 하지만 정확하게 계산된 소수점 넷째 자릿수는 부정확한 소수점 여섯째 자릿수보다 더 정밀하다고 말할 수 있다 .

ⅱ. Example 123.4 ( 소수점 첫째 자리까지 표기 ) VS 123.45 ( 소수점 둘째 자리까지 표기 ) ① 정밀도만 생각할 때 : 123.45 가 더 많은 digit 을 표현하므로 더 정밀하다 . ② 만약 정확도가 ±0.1 라면 : 123.45 에서 소수 둘째 자리는 정확하지 않다 . 즉 , 믿을 수 없는 가짜 수를 표현하고 있기 때문에 효율적이지 않다 .

※ Accuracy( 정확도 ) 와 Precision( 정밀도 ) 는 match 되어야 한다 .

Generalized Static

Characteristics

Ⅲ. Resolution ( 해상도 ) ⅰ. Definition : 믿을 수 있는 최소의 변화 . 즉 , 변화를 알아챌 수 있는 최소한의 크기를 말한다 .

ⅱ. Example - Accuracy 가 ±0.1, Precision 이 . 인 온도계의 경우 123.45⇒123.35~123.55, 123.46⇒123.36~123.56 <0.01 차이 > True Value 범위가 겹침 ! 즉 , 0.01 는 해상도가 될 수 없음 ! 123.45⇒123.35~123.55, 123.55⇒123.45~123.65 <0.1 차이 > True Value 범위가 겹침 ! 즉 , 0.1 는 해상도가 될 수 없음 ! 123.45⇒123.35~123.55, 123.65⇒123.55~123.75 <0.2 차이 > True Value 범위가 최초로 겹치지 않음 ! 즉 , 0.2 가 해상도 !

Generalized Static CharacteristicsⅣ. Static Sensitivity ( 정적 민감도 ) ⅰ. Hold all inputs constant except one.

⇒ 기울기가 크면 클수록 sensitivity 가 크다

ⅱ. 기울기가 다른 두 직선의 비교• 만약 ∆ V1 이 100 가지의 온도를 표현할 수 있다면 , ∆ V2 는 그보다 더 많은 표현을 할 수 있다 . 즉 , 같은 온도 범위 안에서 더 많은 표현을 할 수 있다 . <noise 가 같고 정확도가 보장 된다면 > Sensitivity 가 커짐에 따라 해상도가 좋아진다 . 또한 Sensitivity 가 낮아짐에 따라 일정한 전압 범위에서 Sensitivity 가 높을 때보다 더 넓은 범위의 온도를 측정할 수 있다 .

Slope = Sensitivity

T

V

∆V2

∆V1

∆T T

V

Generalized Static CharacteristicsⅤ. Offset Drift & Sensitivity Drift Offset Drift 와 Sensitivity Drift 비교

<Offset Drift>

error

<Sensitivity Drift>

error

오차의 크기가 일정하다 . ⇒ % of FS 방법이 적절하다 .

• 오차가 일정한 비율로 증가한다 . ( 오차의 크기 ∝ 측정치 )⇒ % of reading 방법이 적절하다 .

※ 만약 두 Drift 가 동시에 존재한다면 % of FS 방법을 사용한다 .

Input Impedance

<Review> - Sources & LoadsVoltage source( 전압원 )

•Constant Voltage Source : 출력하는 전류를 조절해 일정한 전압을 출력 .

•최대전류 : 전원이 회로에 흘려 보낼 수 있는 최대전류 .•출력전력 : 전원이 출력할 수 있는 전력 .

Current Source( 전류원 )

• Constant Current Source : 출력하는 전압을 조절해 일정한 전류를 출력 .

• 최대전압 : 전원이 회로에 흘려 보낼 수 있는 최대 전압 .

Input Impedance <Review> - Sources & Loads

① 전압원에서 ( 출력전압 : 10V, 최대전류 : 0.1A) 전압원에서의 출력전압은 항상 일정한 전압을 출력하는데 , 만약 저항이 작아져서 부하전류가 최대전류를 넘어서게 되면 전압은 저항이 감소함에 따라 위의 그래프 (BLUE) 와 같이 서서히 줄게 된다 .

② 전류원에서 ( 출력전류 : 0.1A, 최대전압 : 10V)전류를 일정하게 내는 전류원에서 저항이 커짐에 따라 전압 또한 커져야 한다 .그렇지만 출력전력은 P=VI 로 일정하고 , 때문에 저항이 커지면 전류의 값은 그래프(RED) 과 같이 줄어들게 된다 .

1Ω 10Ω ... 100Ω 1kΩ 10kΩ

V

R

10 V

I

0.1 A

① ②

∴ 부하저항이 커질수록 부하는 줄어든다 !

ⅰ. Definition : 이상적인 상황과는 다르게 현실에서는 신호원에 신호원 저항이 존재하기 때문에 전압원의 경우 신호원 저항과 부하저항이 직렬로 연결된 것과 같으므로 전압분배가 일어나고 , 이를 가리켜 부하효과라 한다 .

Input Impedance <Loading Effect>

SSSL

LL VV

RRR

V

ⅱ. Minimizing Loading Effect: 부하효과를 최소화 하기 위해서는 을 최대로 해야 한다 . 그러기 위해서는 이 보다 훨씬 커야한다 .

LV

SL RR

LR SR

SL RR ※ 부하효과를 최소화 하기 위한 조건

ⅰ. Definition: Load 에 걸리는 전력은 다음과 같다 .

Input Impedance <Load Power>

ⅱ. Maximizing Load Power

: 전력공급을 최대화 하기 위해서는 을 최대화 시켜야 한다 .

이때 , 이고 , 이므로 이 된다 . 이때 와 는 변하지 않는 않으므로 , 을 미지수로 두고 을미분하면 이 된다 .

따라서 전력공급이 최대화 될 때는 일 때 . 즉 , 일 때이다 .

LLL viP

LLL viP

sLS

L VRR

i

1

SLS

LL V

RRR

v

2

2 SLS

LL V

RRR

P

SR SV LR

3

24

24

22

2

2 2bxbxa

bxbxbxa

bxbxxabxa

bxxa

dxd

LP

bx SL RR

Input Impedance <Load Power>

• Matlab 을 이용하여 부하저항과 전력 사이의 관계 그래프 그리기

왼쪽의 회로와 같이 전원전압과 신호원 저항을 고정하고 ,부하저항을 0kΩ ~100kΩ 까지 변화시킬 때 부하저항에 걸리는 전력의 변화를 그래프로 나타내자 .

50Ω

5V

Least Square Error Method

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Transcript of Least Square Error Method