LE PROPORZIONI. Torta Margherita Ingredienti per 6 persone 4 uova 2 kg di farina 400 g di zucchero 6...
-
Upload
gilda-rocca -
Category
Documents
-
view
216 -
download
2
Transcript of LE PROPORZIONI. Torta Margherita Ingredienti per 6 persone 4 uova 2 kg di farina 400 g di zucchero 6...
LE PROPORZIONI
Torta Margherita
Ingredienti per 6 persone• 4 uova• 2 kg di farina• 400 g di zucchero• 6 noci di burro
Preparazione:Separare i tuorli dalle chiare, unire i tuorli alla farina….
Mase dobbiamo preparare una cena per 9
persone?
Quante uova?
Quanti chili di farina?
Quanto burro?
Per questo (e non solo) ci sono le proporzioni
La parola proporzione è nel linguaggio comune
…la crescita demografica del paese è stata
proporzionale alla crescita economica…
Quella persona è proporzionata!
Luigi ha avuto una reazione sproporzionata
Per essere precisi…
Nell’esempio: La crescita demografica del paese
è stata proporzionale alla crescita economica
Avremmo dovuto scrivere:La crescita demografica del paese è stata
direttamente proporzionale alla crescita economica
Definizione (un po’ imprecisa) di grandezze direttamente proporzionali
Due grandezze sono direttamente proporzionali se all’aumentare dell’una aumenta anche l’altra
E che vuol dire?
In matematica possiamo e dobbiamo essere più precisi!
Per farlo abbiamo bisogno della seguente:
Definizione di vettore: un vettore è un insieme ordinato di numeri.Esempi: (3, 7, 22) è un vettore composto da 3 numeri(5, 182) è un vettore composto da 2 numeri.Ordinato significa che se cambio l’ordine dei numeri ottengo un vettore diverso: quindi (3, 5) è un vettore diverso da (5,3).
Adesso possiamo dare una definizione precisa:
Due vettori si dicono direttamente proporzionali se il rapporto (quoziente) fra i rispettivi elementi ordinati non cambia.
Esempio I vettori (15,21) e (5,7) sono direttamente proporzionali? Per vederlo mettiamoli “in colonna”:
15 5 15:5=3 21 7 21:7=3
Il rapporto è sempre 3 (quindi non cambia) quindi i 2 vettori sono direttamente proporzionali
Adesso possiamo dare una definizione precisa:
Due vettori si dicono direttamente proporzionali se il rapporto (quoziente) fra i rispettivi elementi ordinati non cambia.
Esempio I vettori (8,6) e (4,2) sono direttamente proporzionali? Per vederlo mettiamoli “in colonna”:
8 4 8:4=2 6 2 6:2=3
Il rapporto è prima 2 poi 3 (quindi cambia). Quindi i 2 vettori non sono direttamente proporzionali
Riprendiamo l’esempio dei vettori (15,21) e (5,7)
Come si è visto sono direttamente proporzionali perché:
15:5=21:7Che si legge “quindici diviso cinque uguale ventuno diviso sette”… ma se leggiamo il simbolo : con “sta” e il simbolo = con “come”, l’espressione si legge
15 sta a 5 come 21 sta a 7
Dal momento che 15:5=21:7
è un’uguaglianza vera,
si dice che tale espressione è una
proporzione
Un po’ di nomi…
15:5=21:7
Medi
Estremi Primi termini Secondi terminiQuindi, in questo esempio: 15 è il primo estremo, 5 il primo medio, 21 è il secondo medio e 7 è il secondo estremo
Proprietà fondamentale delle proporzioni
In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (quindi se il prodotto dei medi è diverso da quello degli estremi, non è una proporzione).
Ciò conferma che:15:5=21:7
È una proporzione perché:Prodotto degli estremi: 15x7=105
sono ugualiProdotto dei medi: 5x21=105
Proprietà fondamentale delle proporzioni
In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (quindi se il prodotto dei medi è diverso da quello degli estremi, non è una proporzione).
Mentre:3:7=4:9
Non è una proporzione perché:Prodotto degli estremi: 3x9=27
non sono ugualiProdotto dei medi: 7x4=28
Da una proporzione si ottengono altre proporzioni…
Scambiando i medi:
15:5 = 21:7
Da una proporzione si ottengono altre proporzioni…
Scambiando gli estremi:
15:5 = 21:7
Da una proporzione si ottengono altre proporzioni…
Scambiando fra loro sia i primi termini sia i secondi termini:
15 5 = 21 7: :
Questo basta per risolvere il problema della ricetta?
No, ma….Quasi.
Prima bisogna affrontare il problema della determinazione del quarto proporzionaleEsso consiste, una volta assegnati 3 numeri, nel determinarne un quarto in modo che i quattro numeri formino una proporzione
Esempio: Determinare il numero da sostituire a x in modo tale che l’espressione:
8 : x = 6 : 3sia una proporzione
Prodotto degli estremi: 8 3=24∙ .Prodotto dei medi: x 6∙Per essere una proporzione il prodotto dei medi deve essere uguale al prodotto degli estremi. Quindi:x 6 ∙ deve essere uguale a 24. Quindi: x=24:6 cioè
x=4
Esempio: Determinare il numero da sostituire a x in modo tale che l’espressione:
20 : 12 = 25 : xSia una proporzione
Prodotto dei medi: 12 25=300∙Prodotto degli estremi: 20 x∙Per essere una proporzione il prodotto dei medi deve essere uguale al prodotto degli estremi. Quindi:20 x ∙ deve essere uguale a 300. Quindi: x=300:20 cioè
x=15
Ricapitolando…
Se la x è un medio per determinarla bisogna fare il prodotto degli estremi e poi dividere per l’altro Medio.Se la x è un estremo per determinarla bisognafare il prodotto dei medi e poi dividere per l’altro estremo.
Torniamo adesso alla nostra ricetta…..
Ricordiamo: 4 uova per 6 persone, quante uova per 9 persone?
Intanto chiamiamo con la x il numero di uova per 9 persone. E costruiamo la seguente tabella:
Uova Persone 4 6
x 9 Perché x sono le uova Perché 4 uova sono per 6 per 9 persone, e quindi x
e 9 Persone e quindi vanno vanno nella stessa riga Nella stessa riga
Leggendo da sinistra a destra, affinché le quantità siano direttamente
Proporzionali deve risultare: 4:6=x:9
4:6=x:9
Che sappiamo tranquillamente risolvere:x= 4 9:6 = 36:6 = 6.∙
Quindi per 9 persone ci vogliono 6 uova.
Per esercizio determina anche i chili di farina e le noci di burro necessarie per 9 persone.