Laser

5/12/2018 Laser - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/laser-55a359f7c6f79 1/31

LASERS E APLICAÇÕES

Carlos Avelino De Jesus Gouveia

INESC Porto, R. Campo Alegre s/n, 4369-007, Porto, Portugal;

Centro de Competências de Ciências Exactas e de Engenharia, Universidade da Madeira, Campus da

Penteada, 9000-390 Funchal.

[email protected]

SUMÁRIO

O presente trabalho tem por objectivo expor os conceitos e princípios que sustentam a teoria dos lasers. O texto esta

dividido em 8 secções, inicialmente uma introdução onde também é feita uma pequena abordagem histórica,

seguidamente são detalhadas as principais características da luz laser. Posteriormente é explicado o principio físico que

esta por trás da tecnologia numa secção intitulada interação entre a luz e a matéria onde explicou-se a emissão

espontânea e estimulada. As secções 4-7 detalham conceitos teóricos nos quais se baseia a tecnologia, tais como ganho,

realimentação, cavidades ópticas, frequência e potencia de saída do laser. Para finalizar são explicados os modos de

funcionamento do sistema laser.

Palavras chave: Laser, Maser, emissão estimulada, emissão espontânea, absorção, cavidades ressonantes.

1. INTRODUÇÃO

A palavra LASER é abreviação inglesa para amplificação de luz por emissão estimulada de radiação. Albert Einstein em

1916 descobriu que para haver equilíbrio termodinâmico entre a matéria e a radiação era um preciso um processo, que

até essa altura era desconhecido, a emissão estimulada. Essa descoberta ficou guardada até que em 1954 Charles Townes

desenvolveu um amplificador de micro-ondas por radiação estimulada (MASER - Microwave Amplification by

Stimulated Emission of Radiation). Posteriormente, em 1958 Arthur Schalow e Charles Townes sugeriram que o efeito

de emissão estimulada podia ser estendido a região óptica do espectro electromagnético, se o meio activo estivesse

dentro de uma cavidade Fabry-Perot. Em 1960 Theodore Maiman desenvolveu o primeiro laser, baseado rubi e pouco

tempo depois Ali Javan presenteou o Laser de He-Ne. Hoje em dia há uma enorme variedade de lasers a funcionar em

diversos cumprimentos de ondas para diversas aplicações. A Figura 1 mostra os diversos materiais activos utilizados nos

diversos cumprimentos de ondas dos lasers.

mailto:[email protected]





Figura 1 Comprimento de onda da luz em função do material utilizado no meio activoUm sistema laser é composto por quatro elementos chaves. A figura 2 ilustra estes elementos. O meio activo, que é

formado por uma colecção de átomos ou de outra matéria e serve como amplificador de luz (figura 2.A). O meio activo

normalmente encontra-se dentro de uma cavidade óptica, desta forma o processo de amplificação repete-se

continuamente (figura 2.B). A bombagem é o elemento encarregado de fornecer energia que permite a amplificação da

luz (figura 2.C). Por ultimo de modo a extrair uma porção da luz amplificada uma das superfícies reflectoras deixa passar

parcialmente parte da luz (figura 2.D).

Figura 2 Elementos chave de um sistema laser

Um sistema laser esta sujeito as leis básicas da física. Assim, em cada uma das fases do funcionamento do laser existem

possibilidades de perdas de energia o que aumenta a entropia do sistema. Um sistema laser bem construído deve

equilibrar os ganhos e perdas. Dito de outra forma, o laser só foi possível depois de os físicos perceberem como os

átomos podiam comportar-se como maquinas termodinâmicas eficientes. O estudo do comportamento dos átomos dentro de uma cavidade óptica, os átomos e a sua interacção com a luz é factor

chave no funcionamento do laser. Um sinal fraco é amplificado pelo meio activo de forma continua, devido a

realimentação, este processo chega a um ponto em que a intensidade do sinal poderá alterar a capacidade de amplificação



do meio activo. Este facto sugere que deve-se estudar o meio activo e o sinal óptico como um conjunto, e não

separadamente. A luz e os átomos dentro de uma cavidade laser apresentam um comportamento altamente não linear. A

realimentação também implica que uma pequena instabilidade possa ser magnificada. Isto quer dizer que um sistema

laser pode apresentar um comportamento caótico, sendo este estudo alvo de alguns investigadores. Mas para a maioria

deles os lasers são interessantes quando funcionam de forma estável com uma intensidade, frequência e estruturaespacial de feixe bem definido.

2. CARACTERISTICAS DA LUZ LASER

2.1 Monocromaticidade

Existem diversos tipos de fontes luminosas, sendo que nenhuma é perfeitamente monocromática. existe sempre uma

largura espectral Δλ associada. define-se monocromaticidade de uma fonte a razão entre largura espectral e o

cumprimento de onda central Δλ/λ. Quanto menor é este valor mais monocromática é a nossa fonte. Um laser

normalmente presenta uma largura espectral no ordem de algumas centésimas de pico metros. A monocromaticidade

depende de dois factores, a cavidade óptica que actua como filtro óptico e ainda mais importante o processo de emissão

estimulada.

2.2 Direccionalidade

A direccionalidade é uma das características mais notáveis de um feixe laser. Ao contrario de uma fonte convencional

que emite em todas as direcções, um feixe laser tem normalmente uma divergência próxima ao limite da difracção. Esta

propriedade deve-se em parte a cavidade óptica. Um fotão antes de sair da em media 50 voltas a cavidade, para ter sido

reflectido tantas vezes é claro que o fotão tem de propagar-se ao longo do eixo da cavidade pelo que o sai com uma

pequena divergência. Com tudo a razão mais fundamental tem a ver com a coerência espacial, conceito que será

abordado nos em breve no texto.

2.3 Brilho espectral

O brilho espectral ( βν) pode ser definido como a intensidade espectral por unidade de ângulo sólido ( ΔΩ). Sendo que a

intensidade espectral é a potência ( P(ν)) por unidade de área a dividir pela largura de banda. Assim ficamos com

Eq 2.1

2.4 Coerência

A coerência é a principal característica da luz laser, e implica uma determinada correlação, isto é, é possível determinar

um evento através de conhecimento passado. Se a luz de uma fonte é completamente coerente no espaço e no tempo, há

então uma correlação total entre as oscilações de o campo eléctrico num ponto e em qualquer outro ponto. A coerência

temporal esta associada a preservação da fase dos diversos fotões enquanto que a coerência espacial é tipicamente

expressada através do facto de a saída termos um feixe muito estreito limitado pela difracção. Como já foi referido o

feixe laser pode ser focalizado em pontos muito pequenos com radiância muito elevada, sendo possível concentrar a sua

energia a grandes distancias.

b n =P (n )

AD n D W



3. INTERACÇÃO ENTRE A LUZ E A MATERIA

Boa parte das fontes de luz utilizadas hoje em dia, seja de lâmpadas incandescentes ou fluorescentes, é gerada

espontaneamente quando átomos ou moléculas perdem um excesso de energia emitindo luz. Este tipo de luz é gerada por

mudanças de energia dos níveis atômicos ou moleculares, que ocorrem sem qualquer intervenção externa. Entretanto,

existe um segundo processo em que a emissão de luz que ocorre quando um átomo ou molécula retém o excesso deenergia até ser estimulado a emiti-lo na forma de luz. Os lasers são capazes de produzir e amplificar esta forma de luz

estimulada, de forma a produzir feixes intensos e colimados. A natureza especial deste tipo de radiação eletromagnética

tornou a tecnologia laser uma ferramenta vital em quase todos os aspectos da vida diária, incluindo comunicações,

monitorização, diversão, fabricação, e medicina.

Em 1917 Albert Einstein deu o passo inicial no desenvolvimento do laser ao demonstrar a existência destes dois tipos de

emissão num artigo publicado em 1917. Sendo que por muitos anos, os físicos pensaram que a emissão espontânea fosse

o processo mais provável e dominante, e que emissão estimulada seria sempre muito mais fraca. Só algumas décadas

mais tarde é que estudos demonstraram a possibilidade da predominância da emissão estimulada e fizesse a emissão deum átomo ou molécula estimular muitos outros para produzir o efeito de amplificação da luz.

A compreensão de alguns princípios fundamentais é vital para o entendimento de como a emissão estimulada é

produzida e amplificada. São eles,

O laser é um dispositivo inerentemente quântico, e na descrição quântica, um átomo possui níveis discretos de

energia.

A emissão de luz espontânea e estimulada só ocorre se houver transições entre níveis de energia.

É necessária uma inversão de população entre níveis de energia para que ocorra a amplificação da emissãoestimulada de energia.

3.1 Emissões espontânea e estimulada

No trabalho apresentado, Einstein considerou um conjunto de dois átomos com dois níveis de energia. Um nível

fundamental com energia E f e um nível excitado com energia E e. Notar que o nível fundamental representa estado de

mais baixa energia do átomo. Transições são possíveis entre esses dois níveis através da absorção ou emissão de um

fotão de frequência dada pela relação de Einstein,

Eq 3.1

Se um átomo ou molécula estiver no nível fundamental pode absorver um fotão de energia de transição hν e

simultaneamente passar para o estado excitado. Se um átomo ou molécula estiver no nível de energia excitado, ele pode

decair espontaneamente para um nível de energia mais baixo sem qualquer estímulo externo. Como resultado, temos a

liberação de um excesso de energia, igual à diferença de energia dos dois níveis, em forma de um fotão. A frequência do

fotão emitido é dada pela Eq 3.1. Os átomos e moléculas excitados têm um tempo característico para emitir

D E = hn



espontaneamente, que é o tempo médio que eles permanecem no estado excitado antes de decaírem para um nível de

energia mais baixo. O tempo de vida do estado excitado é um factor importante para que ocorra a emissão estimulada.

Se um átomo no nível excitado é iluminado por um fotão que tem a mesma energia de transição que ocorreria

espontaneamente, o átomo pode ser estimulado a voltar ao seu estado fundamental e simultaneamente emitir um novo

fotão com a mesma energia da transição e mesma direção do fotão incidente. Assim, um único fotão que interage com

um átomo excitado pode resultar então em dois fotões. Se usarmos a descrição ondulatória da luz, a emissão estimulada

terá a frequência da luz incidente e estará em fase (coerente), resultando em amplificação da intensidade da onda de luz

original. A Figura 3 ilustra a absorção (a), emissão espontânea (b) e estimulada (c) com as duas ondas coerentes

resultantes.

Figura 3 Diversas maneiras em que a luz pode interagir com os átomos. A) Absorção, B) Emissão espontânea e C)Emissão estimulada.

O problema principal para se conseguir a emissão estimulada é que, em condições normais de equilíbrio termodinâmico,a população, isto é, o número de átomos ou moléculas em cada nível de energia, não é propicio a sua ocorrência.

Devido à tendência dos átomos e moléculas decaírem espontaneamente para os níveis de mais baixas energias, a

população em cada nível diminui com o aumento de energia. Em condições normais, para uma energia de transição

correspondente a um comprimento de onda óptico (da ordem de 1eV), a razão entre o número de átomos ou

moléculas na energia mais alta ao número no estado fundamental é de cerca de 10-17. Em outras palavras,

virtualmente todos os átomos ou moléculas estarão no estado fundamental para uma transição com energia

correspondente ao comprimento de onda da luz visível. Assim, embora a luz emitida espontaneamente pudesse

facilmente estimular a emissão de outro átomo excitado, tão poucos estão disponíveis que o fotão emitido

encontrará primeiro um átomo no estado fundamental e será absorvido (Figura 3(A)). Em resumo, como o número

de átomos no estado excitado é muito pequeno com relação ao do estado fundamental, o fotão emitido tem uma

probabilidade muito maior de ser reabsorvido, fazendo que, no equilíbrio termodinâmico a emissão estimulada seja

insignificante quando comparada com a emissão espontânea.



O mecanismo pelo qual a emissão estimulada pode se tornar dominante é ter mais átomos no estado excitado que

no estado fundamental, de forma que os fotões emitidos têm maior probabilidade de estimular a emissão do que

serem absorvidos. Como esta condição é o inverso do que ocorre na situação de equilíbrio normal, ela é

denominada de inversão de população. Havendo mais átomos num estado excitado que no fundamental, a emissão

estimulada pode dominar, resultando numa cascata de fotões. O primeiro fotão emitido estimulará a emissão demais fotões, que estimularão a emissão de ainda mais fotões, e assim por diante. A cascata resultante de fotões

cresce, produzindo a amplificação da luz emitida. Se a inversão de população termina (a população do estado

fundamental domina), a emissão espontânea se tornará novamente o processo favorecido.

Quando Einstein introduziu o conceito de emissão estimulada, a maioria dos físicos acreditava que qualquer condição

diferente da do equilíbrio termodinâmico seria instável e não poderia ser sustentada. Só muito mais tarde é que

desenvolveram métodos para produzir as inversões de população necessárias para sustentar a emissão estimulada.

Átomos e moléculas podem ocupar muitos níveis de energia, uma transição pode acontecer entre dois níveis de energia

quaisquer. A condição necessária para ocorrer a emissão estimulada e amplificação, ou acção laser, é que pelo menos umnível de energia mais alto tenha uma população maior que um nível mais baixo.

No equilíbrio termodinâmico, a energia térmica não é suficiente para produzir uma inversão de população porque o calor

só aumenta a energia média da população, mas não aumenta o número de espécies no estado excitado com relação ao

estado fundamental. A abordagem mais comum para se produzir uma inversão de população num meio laser é fornecer

energia ao sistema para excitar átomos ou moléculas para os níveis de energia mais altos. Este processo denomina-se

bombagem.

Para produzir a inversão de população necessária para a acção laser, os átomos devem ser excitados a níveis de

energia específicos. A luz e a corrente elétrica são os mecanismos de bombagem frequentemente utilizados na

maioria dos lasers. Existem também outras abordagens, bastante mais complexas, que produzem lasers de bom

desempenho. Em geral se excita um átomo ou molécula a um nível de energia superior àquele que participa da

emissão estimulada, após o que ele decai para o nível excitado de interesse. Excitação indireta através das colisões

entre dois tipos de gases misturados também pode ser aplicada para produzir a inversão de população. Em outras

palavras, excita-se um tipo de gás através da passagem de corrente elétrica e este transfere, devido a colisões, a

energia aos átomos ou moléculas responsáveis por produzir a acção de laser.

Como já exposto, o tempo que um átomo ou molécula permanece no estado excitado é crítico para estabelecer se a

emissão será estimulada ou espontânea. Em geral, o estado excitado possui um tempo de vida típico da ordem de

alguns nanosegundos antes da ocorrência da emissão espontânea e este período não é suficientemente longo para

sofrer a provável excitação por outro fotão. Assim, uma exigência crítica para a acção laser é que o estado excitado

tenha um tempo de vida longo. Estes estados existem em certos materiais e são chamados de estados metastáveis.

O tempo de vida de um estado metastável varia tipicamente de microssegundos a milissegundos, que é um tempo

realmente longo na escala atómica. Com vidas tão longas, átomos e moléculas excitados podem produzir



quantidades significantes de emissão estimulada. A acção laser só é possível se a população do nível excitado se

mantiver superior à do nível fundamental. Quanto mais longo for o tempo de decaimento da emissão espontânea,

mais adequado uma molécula ou átomo será para a acção laser.

A acção maser demonstrada por Charles Townes foi importante porque utilizou pela primeira vez a inversão de

população, provando assim que, a inversão era possível de ser produzida. O maser desenvolvido baseava-se na

molécula de amônia, tendo apenas dois níveis que participam da acção laser. Townes empregou uma aproximação

moderna para produzir a inversão de população - uma técnica de feixe molecular que separava magneticamente as

moléculas excitadas das moléculas no estado fundamental. Estas eram descartadas e as moléculas excitadas

restantes possuíam a inversão de população desejada. Outras técnicas mais eficientes de inversão de população

para masers e lasers práticos foram desenvolvidas, requerendo a utilização de três, quatro, ou mais níveis de

energia. A Figura 4 mostra esquematicamente as referidas técnicas.

Figura 4 Sistemas laser com diversos níveis de energia. (A) sistema de dois níveis, (B) sistema de tres níveis e (C)sistema de quatro níveis.

O sistema de dois níveis não permite a oscilação laser continua. A bombagem de átomos no sistema por radiação

vai induzir a absorção (transição para o estado fundamental, 1→2) e a emissão estimulada (transição 2→1) em

simultâneo. De esta forma não é possível obter uma inversão da população positiva e estável no tempo. No sistema

de três níveis, a bombagem actua entre o nível (1→3). O átomo pode decair para o nível um por causa da

bombagem mas a causa mais forte é o decaimento para o nível 2 por emissão espontânea ou por colisão com outra

partícula. O decaimento de 3→2 é muito rápido, o que origina a saturação do nível dois. Conseguindo assim a

inversão de população desejada para acção laser entre os níveis 2→1.

O sistema de quatro níveis presenta algumas vantagens face ao de três, uma vez que o nível 1 é excitado e os

átomos decaem rapidamente para nível 0 (estado fundamental), a diminuição de átomos no nível 1 resulta no

aumento da inversão de população na transição laser.

3.2 Susceptibilidade Atómica

A suscetibilidade elétrica de um átomo clássico é dada pela expressão;



Eq 3.2

Onde, na ultima passagem considera-se o caso para o qual a frequência da luz incidente está próxima da ressonância

atómica (ω= ω0). Introduzindo o tempo de relaxação T=2/b relacionando à potencia emitida pelo electrão aceleradopodemos escrever explicitamente as partes real e imaginaria da susceptibilidade como;

Eq 3.3

Eq 3.4

Que estão relacionadas respectivamente ao índice de refracção e ao coeficiente de absorção através das expressões

aproximadas n=1+1/2 χ’ e α=1/2(ω/c)χ’’. Sabe-se que o átomo clássico pode assumir qualquer nível de energia,

bastando apenas aumentar a amplitude de oscilação do electrão. Entretanto já foi relatado no texto que a acção laser

apenas pode ser descrita considerando o modelo do átomo quântico, no qual este apenas admite níveis discretos de

energia. O calculo da susceptibilidade do átomo é feita utilizando técnicas da mecânica quântica. Sendo este calculo

complexo e estando fora dos objectivos da secção de seguida serão apresentadas as equações que descrevem a

susceptibilidade.

No formalismo semi-clássico, onde o átomo é considerado uma entidade quântica e o campo eletromagnético como uma

variável clássica, as partes real e imaginaria da susceptibilidade atómica são dadas por;

Eq 3.5

Eq 3.6

Onde ΔN 0 é a diferença de população entre o estado fundamental e o estado excitado e g(v) é a forma de linha

normalizada, dada pela lorentziana;

Eq 3.7

Que possui uma largura Δv=(πT2)-1, por outro lado;

c =Ne

2

me0

w0- w 2 - jw b( )

»Ne

2

me0

2w0

w0

- w( ) - jw 0béë ùû

¢ = Ne

2T

2mw 0e 0

æ

è ç ö

ø÷w 0

- w( )T

1+ w 0 - w( )2

T 2

¢¢ = Ne

2T

2mw 0e 0

æ

è ç ö

ø÷1

1+ w 0 - w( )2

T 2

¢ =m 2D N 0T 2

h e 0

æ

è ç ö

ø÷w 0 - w( )T 2

1+ w 0 - w( )2

T 22

+ 4W 2T 2t = - m 2 w 0 - w( )T 2

2 h e 0

D Ng (v)

¢¢ =m 2D N 0T 2

h e 0

æ

è ç ö

ø÷1

1+ w 0 - w( )2

T 22

+ 4W 2T 2t = - m 2

2h e 0

D Ng (v)

g (v) =2T

2

1+ 4p 2(v - v

0 )2T

2

2=

D v

2pæ è ç

ö ø÷

(v - v0)2

+D v

2

æ è ç

ö ø÷

2



Eq 3.8

É a diferença de população entre os níveis excitado e fundamental na presença de luz. A grandeza Ω=μE/2ħ é

denominada frequência de Rabi e seu quadrado é proporcional à intensidade. Uma consequência da presença deste termonas Eq 3.5 e Eq 3.6 é que tanto a suscetibilidade como a diferença de população diminuem conforme se aumenta a

intensidade de luz. Este fenómeno é conhecido como saturação, se torna bastante aparente quando 4Ω2T 2>1+(ω−ω )

2T 2.

Outra consequência da saturação é o alargamento da linha lorentziana de um valor Δν=(πT 2)-1 para

Δνsat =Δν(1+4Ω2Tτ )

1/2.

3.3 Coeficientes A e B de Einstein

Em 1917 Einstein publicou um artigo onde analisou a interação de um conjunto de átomos idênticos com um

campo de radiação com energia variando suavemente nas vizinhanças da frequência de transição. O modelo supõe

a existência de dois processos estimulados, dependentes da densidade de energia de acordo com,

Eq 3.9 a

Eq 3.9 b

onde W ij é a taxa de transição (número de transições por unidade de tempo) e Bij são constantes a determinar. Como

mostra a Figura 5, o átomo estará em equilíbrio com o campo de radiação (estado estacionário) quando o número de

transições de 1→2 foi igual à de 2→1. Assim,

Figura 5 Modelo do átomo de dois níveis

Eq 3.10

sendo A a taxa de transições espontâneas e N i a população do nível i. Para determinarmos os coeficientes A e Bij supõe-se

que o campo de radiação tem como origem a emissão de corpo negro, cuja densidade de energia é dada pela lei de

Planck,

D N = D N 01+ w - w

0( )2

T 22

1+ w - w 0( )2

T 22

+ 4W 2T 2t

æ

è ç

ö

ø÷

W 21

= W 21

r (n )

W 12

= W 12

r (n )

N 1 B

12r (n ) = N

2B

21r (n ) + A( )



Eq 3.11

onde o primeiro termo representa a densidade de modos para a radiação isotrópica de frequência υ, e o segundo o

número de ocupação destes modos e o termo hυ é a energia por modo. A consideração deste tipo de radiação específicanão implica em quebra de generalidade uma vez que é de se esperar que os coeficientes A e Bij dependam apenas do

átomo e não da radiação a que está exposto. Substituindo (Eq 3.11) em (Eq 3.10) ficamos com,

Eq 3.12

Como os átomos estão em equilíbrio térmico, a razão entre as populações dos níveis 1 e 2 é dada pelo factor de

Boltzmann,

Eq 3.13

onde gi é a degenerescência do i-ésimo nível. Substituindo esta razão na Eq 3.12 e simplificando ficamos com,

Eq 3.14

Que é valida para qualquer temperatura se é só se,

Eq 3.15a

Eq 3.15b

Como num sistema atómico de dois níveis isolado a taxa de decaimento de A é o inverso do tempo de vida espontâneo,

A=1/τ esp, utilizando υ=c/λ ficamos com,

Eq 3.16

r (n ) =8p n3n 2

c3

æ

è ç ö

ø÷e

hn KT - 1

æ

è ç ö

ø÷

- 1hn

N 1 B12hn 8p n3n 2

c3

æ

è ç ö

ø÷e

hn KT - 1

æ

è ç ö

ø÷

- 1= N 2 B21hn 8p n

3n 2

c3

æ

è ç ö

ø÷e

hn KT - 1

æ

è ç ö

ø÷

- 1æ

è ç

ö

ø÷ + A

é

ë

êê

ù

û

úú

N 2

N 1=

g 2

g 1e

-hn

KT

g 1

g 2

8p n3hn 3

c3B12 - A =

8p n3hn 3

c3B21 - A

æ

è ç ö

ø÷e

- hn KT

A

B21

=8p n3hn 3

c3

g 1

g 2=

B21

B12

B21=

g 1

g 2 B12

=c

n

æ è ç

ö ø÷

l 2

8p n2hn t esp



4. GANHO

Os conceitos de ganho, realimentação e limiar são de extrema importância nos sistemas lasers. Fisicamente poderíamos

definir um laser como uma colecção de átomos o moléculas entre dois espelhos, que através de um processo de

bombagem são promovidos para um estado excitado. Os átomos excitados emitem fotões, este processo denomina-se

emissão espontânea. Os fotões emitidos espontaneamente estimulam a emissão de novos fotões com a mesma direcção efrequência. Quanto maior é a emissão espontânea maior é a taxa de emissão estimulada, uma vez que esta ultima é

proporcional ao fluxo de fotões no campo excitado.

Os espelhos mantém os fotões dentro cavidade, de modo a estimular a emissão de novos fotões. As superfícies

especificadas são parcialmente reflectoras, permitindo assim a saída de alguns fotões, que constituem a saída do feixe

laser. A intensidade do feixe depende da taxa de produção de átomos, directamente associada a bombagem, a

reflectividade dos espelhos e as propriedades do meio activo.

4.1 Coeficiente de ganho

Considere a passagem de uma onda monocromática de frequência ν e radiância I ν através de um conjunto de átomos com

densidades (átomos/m3) N 1 e N 2 nos níveis 1 e 2, respectivamente. Desprezando a emissão espontânea, se tivermos um

número de transições 2→1 maior que 1→2 haverá um aumento na potência do sinal óptico dado por,

Eq 4.1

Considerando I vg(ν)=(c/n)ρ(ν), onde I v g(ν) é a radiância efectiva percebida pelo átomo, e usando as equações Eq 3.9 e

Eq 3.16 obtemos,

Eq 4.2

Esta potencia é acrescentada a onda incidente que aumenta de acordo com,

Eq 4.3

Comparando as equações Eq 4.2 e Eq 4.3 retiramos que o coeficiente de ganho é dado por,

Eq 4.4

é apreciável que o ganho é positivo unicamente para,

Eq 4.5

Pot ência

Volume= N 2W 21 - N 1W 12( )hn

Pot ênciaVolume

= N 2 - g 2

g 1 N 1é

ëê ù

ûú l 2

8p n2hn t esp

g (n ) I n

dI n ( z)dz

= Pot ência

Volume= g (n ) I n ( z)

g (n ) = N 2 - g 2

g 1 N 1

æ

è ç

ö

ø÷

l 2

8p n2t esp

g (n )

N 2 >g 2

g 1 N 1 ® g (n ) > 0



Esta expressão permite-nos retirar a condição de inversão de população, para a qual, existem mais átomos disponíveis

para amplificação do campo, por emissão estimulada do que atenua-lo por absorção. Assim, conclui-se que, num sistema

laser o único factor que distingue um meio de amplificação de um meio de absorção é o sinal da inversão de população.

4.2 Alargamento homogéneo e não homogéneo

O termo alargamento é utilizado para explicar a largura da linha da resposta em frequência de um conjunto de átomos

sujeito a um campo eletromagnético. São consideramos dois casos. No alargamento homogéneo, todos os átomos tem a

mesma frequência de ressonância ω0=(E 2-E 1 )/ħ, neste caso a forma da linha é dada pela Eq 3.7 e a sua largura Δν=(πT 2)-

1, e tem por origem um dos seguintes mecanismos;

i. Colisões inelásticas com outros átomos (ou moléculas) ou com fonões se o átomo estiver localizado numa

matriz sólida;

ii. Transições radiativas ou não radiativas para a outros níveis;

iii.

Colisões elásticas que destroem a fase do dipolo elétrico induzido no átomo;iv. Alargamento por potência devido ao processo de saturação que ocorre na interação do átomo com o campo de

radiação.

No caso do alargamento não homogéneo, os átomos diferem entre si por possuírem frequências de transição diferentes.

Os mecanismos que permitem esta situação são o efeito Doppler e as flutuações de campo cristalino aos que os diversos

átomos são sujeitos quando alojados numa matriz. Estas flutuações têm como origem deformações, ou outros tipos de

imperfeições cristalinas, que fazem com que os átomos vejam diferentes vizinhanças dependendo do lugar onde eles se

encontram, levando a diferentes frequências de transição.

4.3 Realimentação

Como já foi visto no texto é possível amplificar a radiação eletromagnética quando ela se propaga através de um meio

onde os níveis excitados possuem uma população maior do que a do nível fundamental. Esta inversão de população pode

ser conseguida através do fornecimento de energia ao meio ativo através de algum agente externo (bombagem), que de

tal forma que ele passa a apresentar ganho

Assim podemos pensar num laser em forma de uma cavidade cilíndrica na qual estão presentes os átomos ou moléculas

no nível excitado e existem condições para a inversão de população.

Figura 6 Laser sem realimentação



Alguns fotões vão ser emitidos espontaneamente ao longo do eixo do cilindro, estes por sua vez irão estimular a emissão

de novos fotões a partir de átomos no estado excitado que por sua vez se propagam na mesma direção e com a mesma

frequência. Enquanto o número de fotões que se propagam ao longo do eixo aumentam, a taxa de emissão estimulada

aumenta permitindo a saída de cada uma das extremidades do cilindro um feixe laser. A expressão apresentada na Eq 4.3

diz-nos que a amplificação é proporcional ao comprimento da cavidade, pois dela depende o nº de fotões a saída do laser.Uma forma de aumentar o comprimento da cavidade e consequentemente aumentar o nº de fotões à saída é colocar dois

espelhos nas extremidades do cilindro de modo a reflectir os fotões diversas vezes no meio activo de modo a aumentar a

amplificação.

Entretanto, este é um processo que exibe o fenômeno de saturação, ou seja, ao ser amplificado o campo eletromagnético

aumenta de intensidade e, consequentemente, devido à emissão estimulada, ele produz decremento do numero de átomos

ou moléculas no estado excitado, consequentemente induzindo também o decréscimo da inversão de população. Isto faz

com que o sistema atinja o estado estacionário onde a amplificação sofrida pelo feixe é suficiente apenas para compensar

as perdas que ele sofre. Perdas que serão estudadas na secção seguinte.

4.4 Limiar de ganho

O ganho do laser, como já foi explicado, não se resume ao incremento de fotões dentro da cavidade devido a emissão

estimulada, é necessário contar também com as perdas induzidas pelo espalhamento e absorção das superfícies

reflectoras. É necessário portanto garantir que a amplificação estimulada é suficiente para se sobrepor as perdas.

Introduzindo assim um valor mínimo de ganho necessário para a ocorrência da acção laser. A Figura 7 mostra um versão

simplificada de uma cavidade laser onde existem duas superfícies reflectoras separadas por uma distância L. A

reflectividade do espelhos é dada por r e s é o valor associado as perdas. Sendo que pela lei da conservação de energia o

somatório deve ser igual a um.

Figura 8 Propagação de dois feixes opostos numa cavidade laser



Ao dar uma volta completa na cavidade óptica, será necessário que o feixe se reproduza com relação à amplitude e fase.

Matematicamente, isto equivale a dizer que após uma volta completa,

Eq 4.6

Analisando o ganho em função apenas a amplitude do campo elétrico, dada pela Eq 4.6 temos,

Eq 4.7

De notar que o ganho apenas compensa as perdas. Tendo em conta a Eq 4.4 e supondo que a frequência do campo

eletromagnético esta no centro da linha, obtemos a inversão de população que satisfaz esta equação como,

Eq 4.8

onde retiramos que g(ν0) ≅ 1/ Δν. Esta é a inversão de população de limiar. É importante salientar que ΔN devera fixar-se

neste valor, pois se for menor, o ganho gerado pela emissão estimulada não será suficiente para compensar as perdas e o

campo dentro da cavidade diminui até extinguir. Por outro lado, se ele for maior, o campo eletromagnético tenderá a

aumentar, e como consequência da emissão estimulada, reduzirá a população do estado excitado, induzindo o decréscimo

da inversão de população.

5. CAVIDADES RESONANTES DE UM LASER

Como já foi exposto no texto, é necessária a presença de um fotão para que ocorra a emissão estimulada econsequentemente, a acção laser. Do ponto de vista prático, como já fora referido na secção 4.2, isto é obtido por meio

de uma cavidade ressonante, que é basicamente um etalon de Fabry-Pérot. Além de possibilitar o incremento de

intensidade da radiação eletromagnética, a cavidade também seleciona certas frequências para as quais a acção laser

ocorre. Para realizar o cálculo de uma cavidade óptica, temos em conta que o campo eléctrico do feixe gaussiano é dado

por;

Eq 5.1

Onde wo2=2zo /k dá-nos o valor da cintura do feixe e η(z)=arctg(z/zo) e,

Eq 5.2

E final

E inicial

= r 1r 2e j2n (́n )kL

eg (u )- s[ ] L

g (u ) = s -1

Lln r 1r 2( )

D N t =8p n

2u 2t espD uc

2s - 1

L

ln r 1r 2( )æ

è ç

ö

ø÷

E (r , z) = E 0w0

w( z)e

- r 2

w2( z )

æ

è ç

ö

ø÷

e- j kz- h ( z)+

kr 2

2 R( z)

æ

è ç

ö

ø÷

w2( z) =

2 zo

k 1+

z

zo

æ

è ç ö

ø÷

2æ

è ç

ö

ø÷ = w0

21+

z

zo

æ

è ç ö

ø÷

2æ

è ç

ö

ø÷



Eq 5.3

A propagação de um feixe gaussiano não segue as leis da óptica geométrica, mas sim da óptica ondulatória. Assim, para

caracterizar o feixe devemos determinar como w(z) e R(z) variam em função da onda que se propaga. Isto é feito através

da lei ABCD que será descrita de mais adiante. Antes será definido um parâmetro q(z)=k/Q(z), onde Q(z)=k/(z+qo)

Eq 5.4

De esta forma, sabendo que q(z) varia com z, a parte real de 1/q(z) dará 1/R(z), enquanto a parte imaginaria esta

associada a w(z). Considerando que um sistema óptico pode conter componentes taus como lentes e outros elementos, a

variação do parâmetro q é dado pela lei ABCD;

Eq 5.5

Onde q1 e q2 referem a dois planos quaisquer perpendiculares ao eixo óptico (z), enquanto que A,B,C e D são elementos

da matriz que caracteriza a propagação geométrica de um feixe de luz entre os planos 1 e 2.

5.1 Álgebra das cavidades ópticas

Na seguinte secção apenas serão descritas cavidades com espelhos esféricos, como as mostradas na Figura 9. Notar que

um espelho plano é um caso particular de superfície esférica onde o raio é infinito. Dada uma cavidade simples

consistindo de dois espelhos esféricos, queremos encontrar o feixe gaussiano que satisfaça as condições de contorno

impostas pelos raios de curvatura dos espelhos. Começaremos por plantear o problema de forma inversa, isto é, dado um

feixe gaussiano determina-se a distancia a qual devem estar os espelhos de modo a que os seus raios de curvatura

coincidam com os da frente de onda. Nesta situação, o feixe volta sobre si mesmo e refaz o caminho anterior sem sofrer

modificações em seu perfil transversal, resultando numa cavidade estável. Supondo que a superfície R1 está à esquerda e

R2 à direita, e usando a Eq 5.3 temos:

Eq 5.6

Eq 5.7

De onde retira-se;

Eq 5.8

R( z) = z 1+z

zo

æ

è ç ö

ø÷

2æ

è ç

ö

ø÷

1

q( z)=

Q( z)

k =

1

R( z)- j

lp nw

2( z)

q2 = Aq1 + BCq1 + D

R1 = z1 +z0

2

z1

R2= z2

+ z0

2

z2

z1 = R1

2+

1

2 R1

2- 4 z0

2



Eq 5.9

z1 ,z2 são as posições onde os espelhos devem ser posicionados. Na prático, sabem-se os raios de curvatura dos espelhos e

a distância entre eles, definida como L = z2-z1. Com estes dados, podemos determinar o valor de z02 através de Eq 5.8 e

Eq 5.9;

Eq 5.10

Sendo de esta forma possível caracterizar o feixe gaussiano.

Figura 9 Cavidades ópticas formadas por dois espelhos esféricos.

Uma vez conhecido z0 e consequentemente w0=(λz0 /πn)1/2, segue-se determinar o semi diâmetro do feixe nas posições

dos espelhos utilizando a Eq 5.2 . Considerando uma cavidade simétrica, onde R2=-R1=R, e substituindo na Eq 5.10

ficamos com;

Eq 5.11

Portanto;

Eq 5.12

Que quando substituído na Eq 5.2 com z=±L (cavidade simétrica) resulta em;

z2 = R

2

2+

1

2 R2

2- 4 z0

2

z0

2=

L L + R1( ) L - R2( ) R2 - R1 - L( )

R2 - R1 - 2 L( )2

z0

2=

2 R - L( ) L

4

w0 =l z0p n

=l

p n

L

2

æ è ç

ö ø÷

1

4

R - L

2

æ è ç

ö ø÷

1

4



Eq 5.13

Para o caso de R>> L , z0>>L;

Eq 5.14

O feixe esta praticamente colimado dentro da cavidade. Por outro lado w1,2 será mínimo para R=L e para esta situação

temos uma cavidade simétrica confocal, uma vez que f=R/2=L/2, onde a cintura do feixe e os semidiâmetros no espelho

dados por;

Eq 5.15

Eq 5.16

Que quando substituído na Eq 5.13 resulta em;

Eq 5.17

A Figura 10 é a representação gráfica da Eq 5.17 em função de L/R.

Figura 10 Semidiâmetro nos espelhos de uma cavidade esférica simétrica

w1,2 =l L

2p n

2 R2

L R - L

2

æ è ç

ö ø÷

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

1

4

w1,2

» w0

=l

p n

LR

2

æ è ç

ö ø÷

1

4

w0( )conf

=l L

2p n

w1,2( )

conf =

l L

p n= 2 w

0( )conf

w1,2

w1,2( )conf

= 1 L

R

æ è ç

ö ø÷

2 - L

R

æ è ç

ö ø÷

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

1

4



Notar que quando a distancia entre os espelhos se aproxima de 2R ou quando R∞, o semidiâmetro no espelho diverge.

Nesta situação a cavidade é instável uma vez que a energia confinada transborda pelas laterais do espelho.

A estabilidade da cavidade pode ser estudado de uma forma mais geral usando o método matricial (lei ABCD). Ao dar

uma volta completa na cavidade, é expectável que tanto o raio de curvatura como o semidiâmetro do feixe se

reproduzam. Nestas condições, a lei ABCD descreve-se como;

Eq 5.18

Onde A,B,C e D são as matrizes dos elementos que conformam a cavidade óptica. Resolvendo ficamos com;

Eq 5.19

Como as matrizes que descrevem os elementos são unitárias, AD-BC=1 e utilizando a Eq 5.4 a Eq 5.19 pode ser reescritacomo;

Eq 5.20

Assim, deve-se considerar apenas um dos sinais da raiz, dependendo do sinal de B, de forma a obtermos;

Eq 5.21

Eq 5.22

Analisando esta equação mostra que só existe solução real para;

Eq 5.23

Esta é a condição de confinamento para uma cavidade genérica, que garante a estabilidade da mesma. No caso particular

em que temos cavidades com espelhos de raios R1 e R2, e usando que f i=Ri /2, consideramos a matriz do sistema como;

q =Aq + B

Cq + D

1

q=

D - A( ) ± D - A( )2

+ 4 BC

2 B

1

q=

D - A( )

2 B± j

1 - D + A

2

æ è ç

ö ø÷

2

B=

1

R- j

lp w

2n

R=

2 B

D - A( )

w =l

p n

B1

2

1 - D + A

2

æ è ç

ö ø÷

2æ

è ç

ö

ø÷

1

4

æ

è

çççççç

ö

ø

÷÷÷÷÷÷

D + A

2£ 1



Eq 5.24

De onde retira-se que;

Eq 5.25

Manipulando algebricamente a expressão é possível chegar à condição de estabilidade para a cavidade esférica simétrica;

Eq 5.26

A representação gráfica de esta desigualdade presente na permite-nos concluir que as cavidades plano paralelas e as

concêntricas são instáveis, enquanto que a cofocal é estável.

Figura 11 Diagrama de confinamento para cavidades ópticas esféricas

5.2 Perdas em cavidades ópticas

Á cavidade óptica é um dos elementos mais importantes da acção laser, pois permite o confinamento e aumento da

radiação eletromagnética possibilitando assim a emissão estimulada. No entanto, existem uma série de factores que

M =

1 - 2 L2

R1

+1

R2

æ

è ç ö

ø÷+

4 L2

R1 R2

2 L 1 - L

R2

æ

è ç ö

ø÷

- 2 1

R1

+1

R2

+2 L

R1 R2

æ

è

ç ö

ø

÷ 1 - 2 L

R2

æ

è

ç ö

ø

÷

æ

è

ççççç

ö

ø

÷÷÷÷÷

D + A

2= 1 - 2 L

1

R1

+1

R2

æ

è ç ö

ø÷+

2 L2

R1 R2

£1

0 £ 1 - L

R1

æ

è ç

ö

ø÷ 1 - L

R2

æ

è ç

ö

ø÷ £1



impedem que a energia armazenada aumente indefinidamente. As reflexões imperfeitas, a absorção e espalhamento no

meio activo assim como a difracção são os mecanismos de perda mais comum em cavidades ópticas.

As reflexões imperfeitas são produto da transmissão finita dos espelhos, que é necessária para que se retire da cavidade

a energia produzida pela acção laser. Além disso, nenhum espelho é ideal e mesmo quando eles são feitos para reflectir a

maior quantidade de radiação, alguma absorção residual e espalhamento reduzem a refletividade para um valor

ligeiramente abaixo dos 100%.

As transições de algum dos níveis atômicos populados durante o processo de bombagem para níveis excitados mais altos

constituem um mecanismo de perda que ocorre no meio ativo. O espalhamento por impurezas e imperfeições é bastante

grave em meios ativos do tipo estado sólido.

As perdas por difracção ocorrem para modos que se afastam consideravelmente do eixo óptico, pois a dimensão finita

dos refletores faz com que alguma energia não seja interceptada por eles sendo, portanto, perdida. Para um dado

conjunto de espelhos, esta perda será maior para os modos transversais de ordens mais altas porque neste caso a energia

está mais concentrada fora do eixo óptico. Este facto é utilizado para evitar a oscilação de modos de ordens altas.

Introduzindo-se uma abertura dentro da cavidade óptica, cujo diâmetro é suficiente para permitir a passagem da maior

parte do modo fundamental, aumentando assim as perdas dos modos de maior ordem.

Existem várias formas de estimar a perda da cavidade óptica. Uma delas é através do tempo de vida, t c, do decaimento

da energia de um modo da cavidade, definido através da equação;

Eq 5.27

Onde ε representa a energia armazenada num modo. Outra forma é através das perdas por passagem, I , definida pela

equação;

Eq 5.28

Onde L é o comprimento da cavidade é cI/nL é a fracção de perda por unidade de tempo. Comparando temos;

Eq 5.29

Para o caso de uma cavidade com espelhos de reflectividades R1 e R2, e um coeficiente α de absorção medio, a perda

média por passagem é I= αL-ln(R1 R2)1/ 2, tal que:

Eq 5.30

d edt

= -et c

d edt

= -cI

nLe

t c =nL

cI

t c =nL

c a L - ln R1 R2( )



onde na última passagem usamos a hipótese que R1 e R2 são aproximadamente 1. O factor de qualidade, Q, de uma

cavidade ressonante pode ser definido como;

Eq 5.31

Comparando as equações Eq 5.31 e Eq 5.27 chegamos a;

Eq 5.32

Uma cavidade de elevado factor Q apresenta poucas perdas enquanto que um baixo factor Q representa elevadas perdas.

O factor de qualidade é também quem determina a largura da curva de resposta lorentziana da cavidade como

Δν1/2=ν/Q=1/2πt c, de forma que, de acordo com a Eq 5.30;

Eq 5.33

6. FREQUENCIA

6.1 Frequência de ressonância

Como descreveu-se na seção anterior, para que exista confinamento, e consequentemente estabilidade, é necessário que o

feixe se reproduza geometricamente (raio de curvatura e semi diâmetro) ao dar uma volta completa na cavidade. Por

outro lado, para que a cavidade seja ressonante, a fase do campo eletromagnético deve presentar uma diferença de fase

múltipla de 2π de modo a haver interferência construtiva para uma a volta completa na cavidade. Para calcularmos as

frequências ressonantes decorrentes deste incremento de fase, vamos considerar o feixe gaussiano numa ordem qualquer.

Assim, podemos escrever o campo magnético como;

Eq 6.1

Onde H m,n são os polinómios de Hermite de ordem m,n respectivamente. Se o feixe adquire uma diferença de fase

múltipla de 2π ao dar uma volta completa a cavidade, a diferença de fase será múltipla de π se ele realiza apenas meia

volta, isto é, θ m,n(z2) –θ m,n(z1 )=qπ , onde q é um inteiro qualquer e θ m,n(z)=kz-(m+n+1)tg

-1

(z1 /z0). Como consideramosestamos apenas uma volta completa ao dividir por 2, os raios de curvatura não aparecem. Considerando L=z 2-z1 ficamos

com;

Eq 6.2

Q = - w ed edt

æ

è ç

ö

ø÷

Q = w t c

D n 1/2 = ca

L-ln R1 R2

( )2p nL

E m,n( x, y, z) = E 0w0

w( z) H m 2

y

w( z)

æ

è ç ö

ø÷H n 2

y

w( z)

æ

è ç ö

ø÷e

- x2

+ y2

w2( z)

æ

è ç

ö

ø÷

e

- j kz- (m + n +1)h ( z)+

k x2+ y2( )

2 R( z)

æ

è

çç

ö

ø

÷÷

k q L - m + n +1( ) arctg z2

z0

æ

è ç ö

ø÷- arctg

z1

z0

æ

è ç ö

ø÷æ

è ç

ö

ø÷ = qp



Logo, a separação entre modos adjacentes é dada por kq+1-kq=π/L, usando k=2πνn0 /c, onde n0 é o índice de refração do

meio, Δν=νq+1-νq= c/2n0 L. Esta diferença de frequências corresponde ao inverso do tempo em que o feixe completa uma

volta na cavidade e o modo q é definido como modo longitudinal. Os modos transversais também são separados em

frequência e isto pode ser visto tomando-se dois conjuntos de valores para m e n de forma que;

Eq 6.3

Eq 6.4

Subtraindo;

Eq 6.5

Substituindo (k 1-k 2 )L=(ω1- ω2)no /c=2πΔνnoc,

Eq 6.6

6.2 Frequência de oscilação

Tal e como foi feito na secção anterior, considerar-se-á fase de um feixe gaussiano que da meia volta na cavidade de

modo a estimar as frequências de oscilação. Considerando apenas o modo TEM00 e supondo que as reflexões nosespelhos introduzem fases θm1 e θm2 podemos reescrever a equação Eq 6.2 como;

Eq 6.7

onde o factor 1⁄2 é introduzido considerando apenas meia volta como já fora feito na secção anterior. Entretanto, a

analise difere, dado a que neste caso considera-se meio ativo no interior da cavidade e por tanto o seu índice de refracção

alterando assim o vector de propagação , Neste caso ficamos;

Eq 6.8

Se considerarmos a cavidade vazia χ’=0 obtemos;

k 1 L - m + n +1( )1

arctg z2

z0

æ

è ç ö

ø÷- arctg

z1

z0

æ

è ç ö

ø÷æ

è ç

ö

ø÷ = qp

k 2 L - m + n +1( )2

arctg z2

z0

æ

è ç ö

ø÷- arctg

z1

z0

æ

è ç ö

ø÷æ

è ç

ö

ø÷ = qp

k 1 - k 2( ) L = m + n +1( )1 - m + n +1( )2( ) arctg

z2

z0

æ

è ç

ö

ø÷ - arctg

z1

z0

æ

è ç

ö

ø÷

æ

è ç

ö

ø÷

D n t =c

2p n0 LD (m + n) arctg

z2

z0

æ

è ç ö

ø÷- arctg

z1

z0

æ

è ç ö

ø÷æ

è ç

ö

ø÷

k q L - arctg z2

z0

æ

è ç ö

ø÷- arctg

z1

z0

æ

è ç ö

ø÷æ

è ç

ö

ø÷ +

q m1+ q m2

2

æ è ç

ö ø÷

= qp

w qnL

c1+ c '(u )

2n2

æ è ç

ö ø÷

- arctg z2

z0

æ è ç

ö ø÷

- arctg z1

z0

æ è ç

ö ø÷

æ è ç

ö ø÷ + q m1 + q m2

2

æ è ç

ö ø÷

= qp



Eq 6.9

Ao substituir na Eq 6.8 fica;

Eq 6.10

Conclui-se que a frequência é modificada pela presença da ressonância atómica. Esta equação é muito importante, para a

resolver recorremos as equações Eq 3.5 e Eq 3.6, assim ficamos com;

Eq 6.11

Onde no ultimo passo considerou-se γ(ν)=kχ”(ν)/n2. Substituindo na Eq 6.10 e considerando que o ganho se estabiliza

no valor de limiar ficamos com;

Eq 6.12

Considerando ν muito próximo de νq e utilizando a Eq 4.7;

Eq 6.13

Se a frequência atómica ν0 não coincidir com alguma frequência de ressonância da cavidade passiva, a frequência comque a acção laser ocorrera será afastada de νq na direcção de ν0. Este efeito é denominado de frequency pulling.

7. POTENCIA

Esta secção pretende calcular a potencia de saída de um sistema laser em função de uma determinada bombagem

externa. Como já foi explicado no texto, na secção 3.1 é necessário que o sistema possua mais do que dois níveis

discretos de energia. Desta forma vamos considerar o modelo mais comum que consiste num sistema de quatro níveis,

como mostra a Figura 12(B). Dado a que o decaimento do nível 3 para o nível 2 é muito rápido, podemos considerar o

modelo simplificado mostrado na Figura 12 (A).

A transição laser ocorre entre os níveis 2 e 1, sendo as taxas de bombagem para eles dadas por B1 e B2. O tempo de vida

do nível 2, t 2, é determinado pela emissão espontânea, τesp, por transições não radiativas entre 2 e 1, e transições não

radiativas para outros níveis que produzem sua depopulação, enquanto que a população do nível 1 decai principalmente

por transições não radiativas. A densidade de átomos nos níveis 1 e 2 são respectivamente N 1 e N 2, e sua degenerescência

dada por g1 e g2.

vq =qc

2nL+

c

2p nLarctg

z2

z0

æ

è ç ö

ø÷- arctg

z1

z0

æ

è ç ö

ø÷- q m1

+ q m2

2

æ è ç

ö ø÷

æ

è ç

ö

ø÷

vq = v 1+c '(u )

2n2

æ è ç

ö ø÷

¢ n( ) =

2 n 0 - n( )D n ¢¢ n( ) =

2n2 n 0 - n( )k D n g n( )

vq = 1+

n 0- n( )g 1 n( )

k D næ

è ç ö

ø÷v

v » vq - vq - v0( )c

2p nD v s - 1

Lln r 1r 2( )

æ è ç

ö ø÷



Figura 12 Sistema de 3 (A) e 4 (B) niveis.

Considerando que as transições induzidas pelo campo eletromagnético no caso de alargamento homogêneo são dadas

por;

Eq 7.1

Eq 7.2

É possível escrever as equações das taxas que descrevem as populações dos níveis 1 e 2 como;

Eq 7.3

Eq 7.4

No regime estacionário podemos considerar as populações como sendo constantes, assim das Eq 7.3 e Eq 7.4 chegamos

a;

Eq 7.5

Eq 7.6

Onde;

Eq 7.7

Subtraindo Eq 7.6 e Eq 7.5, e possível determinar a diferença de população dos níveis 1 e 2 como;

W 21 = W i v( ) =l 2

g v( )8p n

2hvt esp

W 12

= g 2

g 1W i v( )

dN 2

dt = B2 - N 2

t 2- N 2 - g 2

g 1 N 1

æ

è ç ö

ø÷W i v( )

dN 1dt

= B1 - N 1t 1

- N 2 - g 2 g 1

N 1æ

è ç ö

ø÷W i v( ) + N 2

t 22

N 2

= t 2

B2

- D NW i v( )( )

g 2

g 1 N 1 =

g 2

g 1t 1 B1

+ D NW i v( ) 1 - t 2

t 21

æ

è ç ö

ø÷+ B2

t 2

t 21

é

ëê

ù

ûú

D N = N 2 - g 2

g 1 N 1

æ

è ç ö

ø÷



Eq 7.8

Onde δ = t 2 /t 21 . Na ausência de campo (Wi=0) a inversão de população não saturada é dada por;

Eq 7.9

Que depende de parâmetros externos ao sistema atómico. A inversão de população pode ser descrita como;

Eq 7.10

Onde φ=δ[1+(1−δ)(t 1g2 /t 2g1)] depende apenas de parâmetros do sistema atómico. Na prática, os lasers apresentam

t 1g2<<t 2g1, de forma que φ≈δ=t 2 /t 21. Assim ficamos com;

Eq 7.11

De acordo com a Eq 4.4, o ganho é proporcional a ΔN, assim podemos escrever;

Eq 7.12

Onde o ganho não saturado de uma linha homogénea é;

Eq 7.13

Como o ganho do meio activo é limitado pelo ganho de limiar, podemos calcular a taxa de transições induzidas

necessária para que esto ocorra, das Eq 4.7 e Eq 7.12 temos;

Eq 7.14

Isto permite o calculo das taxas de transição induzidas como;

Eq 7.15

D N =

B2t 2 - B1 + d B2( )t 1 g 2 g 1

æ

è ç ö

ø÷

1+ t 2 + 1 - d( ) t 1 g 2 g 1

æ

è ç ö

ø÷é

ëê

ù

ûúW i v( )

D N ( )0

= N 2 - g 2

g 1 N 1

æ

è ç ö

ø÷0

= B2t 2 - B1 + d B2( )t 1 g 2

g 1

æ

è ç ö

ø÷

D N =D N 0

1+ f t 21W i v( )

D N =D N 0

1+ t 2W i v( )

g (v) =g 0 (v)

1+ t 2W i

v( )

g0(v) =

D N 0l 2

8p n2t esp

g (v)

g = g1

= s -1

Lln r

1

r 2

( ) =g 0

1+ t 2W i v( )

W i v( ) =1

t 2

g 0 L

sL - ln r 1r 2( )- 1

æ

è ç

ö

ø÷



Conhecida a taxa de transições induzidas, é possível encontrar a potencia gerada dentro da cavidade utilizando a mesma

analise da secção 4.3. para deduzir a potencia gerada dentro da cavidade. Partindo da Eq 4.1 escrevemos;

Eq 7.16

Onde V m é o volume medio na cavidade. Supondo que a frequência do campo eletromagnético esta no centro da linhahomogénea e substituindo Eq 7.11 e Eq 7.15 ficamos com;

Eq 7.17

Definindo o factor de perdas no interior da cavidade como sendo Li=sL, o ganho não saturado por passagem como

g0=γ0 L, a bárea media do modo como sendo A=V m /L, e supondo que os espelhos tem reflectividades próximas de 1, tal

que – ln(r 1r 2)=1-(R1 R2)

1/2

=1-R=T , chegamos a;

Eq 7.18

Assim obtemos a potencia que é gerada no interior da cavidade. Mas o objectivo é conhecer a potencia útil que pode

emitir o laser. Tendo em conta as perdas derivadas da absorção por passagem, é sabida que a outra parte sai pelo espelho,

assim chegamos a potencia útil dada pela fracção Pútil=Pcav[T/(T+Li)], obtemos a expressão;

Eq 7.19

Um factor que permite alterar a potencia útil de emissão do laser é a transmissão do espelho de saída. Como mostra a

Figura 13 onde é observável a existência de uma transmissão óptima que permite maximizar a energia retirada do laser.

Para encontrar esse valor deriva-se Pútil e igualamos a 0, o que nos leva a;

Eq 7.20

Substituindo Eq 7.20 em Eq 7.19 ficamos com;

Eq 7.21

Onde I s é a intensidade de saturação da linha homogénea.

P CAV = D NW i v( )hvV m

P CAV =

8p n2hc

t esp

t 2

æ

è ç ö

ø÷

l 3 g v0( )

V m

L

æ è ç

ö ø÷

sL - ln r 1r 2( )( )g 0 L

sL - ln r 1r 2( )- 1

æ

è ç

ö

ø÷

P CAV =

8p n2hct esp

t 2

æ

è ç ö

ø÷

l 3 g v

0( )A Li + T ( )

g 0

Li + T ( )- 1

æ

è ç

ö

ø÷

P út il =

8p n2hc t esp

t 2

æ è ç

ö ø÷

l 3 g v

0( )A

g 0

Li + T ( )- 1

æ

è ç

ö

ø÷ T

T opt = - Li + g 0 Li

P opt =

8p n2hc

t esp

t 2

æ

è ç ö

ø÷

l 3 g v0( )

A g 0 - Li( )2

= 2 I s A g 0 - Li( )2



Figura 13 Potencia útil em função da transmissão para diferentes ganhos não saturados

8. MODOS DE FUNCIONAMENTO LASER

Foi estudado na secção 5 que uma cavidade óptica passiva, portanto sem o meio ativo, possui frequências de ressonância

dadas pela Eq 6.2 ou Eq 6.9. Também explicou-se na secção 4, que um meio activo possui um coeficiente de ganho cujadistribuição espectral depende do tipo de alargamento, homogêneo ou não homogêneo. No primeiro caso, teremos uma

linha com perfil lorentziano, enquanto que no segundo, a linha possuirá um perfil gaussiano. Finalmente, os dois

conceitos foram unificados nas secções 6 e 7, onde deduziram-se as frequências de ressonância e a potência de saída de

um laser. Nesta secção pretende-se expor um pouco melhor a distribuição espectral da luz emitida pelo laser e a sua

influencia no regime temporal.

8.1 Q-Switching

O Q-Switching é um meio de obter um laser de radiação pulsada, cujos impulsos são curtos e de elevada potência. Este

efeito origina uma mudança abrupta das perdas na cavidade, ou seja, ocorre a mudança de um valor baixo do factor dequalidade para um valor elevado originando uma redução abrupta das perdas na cavidade. Diminuindo as perdas para o

um valor mínimo que ainda permita a oscilação laser, o ganho de pequenos sinais passa a ser muito maior que o ganho

limiar da oscilação. Nesta situação acontece um rápido crescimento da intensidade dentro da cavidade. No pico de

intensidade há uma elevada taxa de emissão estimulada e, portanto, uma rápida extração de energia para fora da mesma.

Resulta assim num impulso curto e muito intenso, designado por impulso gigante. Os mecanismos para realizar o Q-

Switching são;

i. O mecanismo dos espelhos rotatórios, onde um dos espelhos da cavidade é rotatório originando perdas elevadas

excepto no período de tempo em que os espelhos estão aproximadamente paralelos. O Q-Switching é

relativamente lento mesmo para velocidades na ordem das 10.000 rpm.

ii. As células electro-opticas, são um método activo, baseado na birrefringência induzida num meio quando sujeito

a uma tensão. Esta, por sua vez, controla a cavidade Q. Pode ser usado o efeito Kerr, no qual o grau de

birrefringência é directamente proporcional ao quadrado da tensão aplicada ou o efeito Pockels, no qual a

birrefringência é linearmente proporcional a tensão. A célula de Kerr previne o feedback fazendo com que a



cavidade tenha perdas muito pequenas. Desligando a tensão que passa pela celula, esta deixa de ser

birrefringente. Assim, a cavidade Q aumenta repentinamente, desenvolvendo um impulso gigante.

iii. Os absorvedores saturados, são um método passivo e consta de colocar na cavidade laser uma célula de um

material absorvente cujo coeficiente de saturação pode ser saturado por radiação laser. Assim as perdas da

cavidade são elevadas devido a célula absorvente, para permitir a oscilação laser. Quando o ganho passa a ser

superior as perdas, a intensidade na cavidade aumenta rapidamente. Isto permite a saturação rápida da célula

originando uma diminuição abrupta das perdas na cavidade e consequentemente um impulso gigante.

8.2 Mode Locking

Este processo consta em ligar as fases de todos os modos longitudinais na cavidade, do qual se obtém impulsos

ultracurtos de elevada potencia. Quanto maior for o nº de modos “phase-locked”, maior será a amplitude e menor a

duração de cada impulso. Os impulsos estão separados no tempo por 2L/cN , onde N é o numero de modos e L o

comprimento da cavidade). Por outras palavras, o mode-locking pode ser visto como a geração de um único impulso

com duração de 2L/cN que se desloca sem parar entre os espelhos da cavidade. O principio físico que esta por trás deeste método é a modulação de fase.

A modulação de fase de uma onda portadora (sinal laser monocromático continuo, ω0) com um sinal sinusoidal (ωm) tal

que o campo eléctrico;

Eq 8.1

Onde δsin(ωmt), é a fase a ser modulada, origina um nº infinito de componentes laterais. O conteúdo espectral aumenta

com o aumento da amplitude de modulação de fase porque surgem novas componentes e, por outro lado, a amplitude da

onda portadora é reduzida. O alargamento espectral é condição necessária para a geração de impulsos a partir de um sinalcontinuo.

Apesar do alargamento espectral a intensidade do sinal mantem-se invariante no tempo por causa da relação de fase entre

as diversas componentes, pois existe uma relação de “lock” entre as mesmas, o que garante a continuidade da intensidade

no tempo. Os tipos de mode locking são;

i. AM mode-locking

Considera-se que o campo elétrico de um modo longitudinal tem uma amplitude modulada periodicamente na

forma:

Eq 8.2

Onde Ω é a frequência de modulação. A modulação de amplitude do campo (ωm) gera no espectro bandas

laterais de frequência (ωm±Ω),

E t ( ) = E 0e

j w 0t +d sin w mt ( )( )

E m t ( ) = E 01+ E cos W t ( )( )



Num laser, a amplitude dos modos ( E m) é determinada pela condição de que ganho ≈ perdas. Sendo o ganho (ou

as perdas) modulado periodicamente (Ω), o campo (Em) dos vários modos serão modulados em amplitude

(AM) com a frequência (Ω)

No caso em que a frequência de modulação Ω seja igual à distancia espectral (ωm+1-ωm) de cada modo, as

bandas laterais de cada modo coincidem com as frequências dos modos adjacentes, tendência para que os

modos sejam phase-locked. Isto é AM mode-locking.

ii. FM Mode locking

Neste caso considera-se que a fase do campo é modulada periodicamente;

Eq 8.3

A modulação de fase origina pares de bandas laterais no espectro das frequências. A modulação de frequência

origina que as bandas laterais de cada modo estejam em ressonância com as frequências portadoras dos modos.

Resulta no forte acoplamento destes modos e a tendência de se ligarem e produzir trens de impulsos mode-

locked, isto é, FM mode locking.

Os métodos de mode-locking são;

i. Modulação por perdas acústicas

Este método baseia-se na difracção da luz por ondas acústicas, isto é, por espalhamento de Brillouin. Uma onda

sonora actua como uma rede de difracção da luz. A onda sonora num meio material é representada por uma

variação do índice de refracção que contem uma modulação periódica espacial sin(kx) e oscilação temporal à

frequência (ωs). Este processo permite AM mode locking. As perdas por difracção associadas à onda acústicano interior da cavidade, oscilam á frequência 2ωs . Se 2ωs=πc/L, as perdas na cavidade são moduladas pela

separação espectral entre modos, condição para obter mode locking.

ii. Modulação electro-óptica de fase.

Este método é baseado no efeito electro-óptico. Supõe-se que o meio é do tipo célula de Pockels no qual o

índice de refracção varia linearmente com o campo elétrico aplicado. Após uma certa distância de propagação

L, o campo dentro da cavidade teria uma fase proporcional a tensão aplicada. O laser pode ser FM mode locked,

variando sinusoidalmente a tensão aplicada à separação espectral entre modos

iii. Absorvedores saturáveis

Tal como no Q-Switching, este processo permite obter AM mode locking passivo. Um absorvedor saturável

dentro de cavidade, resulta na modulação das perdas da cavidade à separação espectral entre os modos

originando mode locking.

E m z,t ( ) = E m sin k m z( )sin w mt + f m + d cos W t ( )( )



8.3 Comparativa: Mode locking - Q-Switching

O mode-locking e o Q-switching são métodos recorrentemente utilizados para a geração de trens de impulsos laser. O

seguinte quadro pretende sumarizar comparativamente as principais características de cada um destes mecanismos.

Mode locking Q-Switching

Impulsos mais estreitos

Maior taxa de repetição (<100MHz)

Largura do impulso na ordem dos picosegundos ou

fentosegundos

Facil de realizar

Taxa de repetição de 50 KHz

Maior potencia por impulso

Largura do impulso (10-100 nanosegundos)

8.4 Amplificação de impulsos curtos

Um amplificador é geral feito do mesmo material e bombagem do meio de ganho de um laser. A grande diferença entre olaser e o amplificador reside no facto de o amplificador não ter os espelhos para permitir a realimentação. A radiação

incidente no amplificador sofre amplificação por emissão estimulada e emerge no final da do sistema com maior energia.

8.5 Emissão espontânea amplificada

Em sistemas de elevado ganho o amplificador consegue amplificar não só o campo incidente, vindo de um oscilador

laser, mas também a radiação espontânea emitida pelas moléculas excitadas do próprio amplificador. Os fotões emitidos

espontaneamente no inicio da cavidade, podem estimular a emissão de mais fotões e originar uma significativa radiação

à saída. Esta radiação designa-se por emissão espontânea amplificada ( ASE -Amplified Stimulated Emission)

A ASE terá propriedades parecidas com a radiação laser, tem uma banda espectral estreita e é altamente direcionalporque o amplificador é estreito e comprido. No entanto, em sistemas amplificadores de alto ganho, vai afectar

significativamente o seu desempenho por dois motivos. Primeiramente a ASE pode diminuir consideravelmente o nível

de população superior do amplificador, diminuindo o ganho disponível para que o sinal de entrada seja a amplificado. E

em segundo lugar a radiação ASE pode irradiar o alvo antes da chegada do sinal amplificado.

A radiação ASE pode ter a mesma coerência espacial da radiação laser, mas falha no mesmo grau em coerência

temporal. Basicamente, a ASE é ruído amplificado.

9. CONCLUSÃO

O laser é uma fonte de luz com características muito especiais, particularidades estas que permitem ter a saída um feixe

intenso e colimado, i.e., concentra toda a sua energia num pequeno ponto sendo possível também a sua propagação a

longas distancias. Estas características são; a quasi-monocromaticidade , direccionalidade e a coerência espacial e

temporal.

Um sistema laser é formado por quatro elementos chaves. um medio activo, formado por átomos ou moléculas onde

ocorre a amplificação; uma cavidade óptica formada por espelhos que permitem a realimentação e consequentemente a



emissão estimulada; um sistema de bombagem encarregado de fornecer energia ao sistema e finalmente uma forma de

extracção da luz, que consta normalmente no facto de um dos espelhos da cavidade ser parcialmente reflector deixando

sair parte da radiação.

Em 1917 Albert Einstein presentou um trabalho onde demonstrou os conceitos de emissão espontânea e estimulada. que

significou o primeiro passo no desenvolvimento da tecnologia laser. Na primeira a radiação é gerada espontaneamente

quando átomos ou moléculas perdem um excesso de energia emitindo luz. Este tipo de luz é gerada por mudanças de

energia dos níveis atômicos ou moleculares, que ocorrem sem qualquer intervenção externa. Na segundo processo a

emissão de luz que ocorre quando um átomo ou molécula retém o excesso de energia até ser estimulado a emiti-lo na

forma de luz. Inicialmente considerou-se que o primeiro efeito seria dominante sobre o segundo não sendo possível o

sistema laser. Até que em 1954 Charles Townes desenvolveu um amplificador de micro-ondas por radiação estimulada

(MASER) e Posteriormente, em 1958 Arthur Schalow e Charles Townes sugeriram que o efeito de emissão estimulada

podia ser estendido a região óptica do espectro electromagnético, se o meio activo estivesse dentro de uma cavidade

Fabry-Perot.

Algumas conclusões e princípios fundamentais são vitais para o entendimento de como a emissão estimulada é produzida

e amplificada, i.e. para o funcionamento de um laser, são elas:

i. O ganho tem de ser superior as perdas, o ganho limiar, define o valor mínimo do ganho para o qual acontece

oscilação laser.

ii. O laser é um dispositivo inerentemente quântico, e na descrição quântica, um átomo possui níveis discretos de

energia.

iii. A emissão de luz espontânea e estimulada só ocorre se houver transições entre níveis de energia.

iv. É necessária uma inversão de população entre níveis de energia para que ocorra a amplificação da emissão

estimulada de energia.

v. Em sistemas de dois níveis não é possível garantir a inversão de população. Os sistemas laser são baseados em

sistemas de 3 ou 4 niveis.

vi. Uma vez definida as características da cavidade com relação ao tipo de meio ativo e ao ângulo de divergência, é

necessário ter em conta os espelhos adequados e para isso vemos se satisfazem as condições de estabilidade.

vii. A cavidade também seleciona certas frequências para as quais a acção laser ocorre.

viii. Para se ter a maior potência de saída é necessário escolher o espelho com a transmissão adequada.

REFERENCIAS

[1] Lasers, P. W. Milonni, Wiley-Interscience, 978-0471627319

[2] Optica Moderna – Fundamentos e aplicações, S.C. Zilio, 9788588533424

Laser

Documents

Transcript of Laser