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LA TEORIA IN SINTESItE EGTUAZIONI E LE DISEQUAZIONI
GONIOMETRICHE
I. LE EGIUAZIONI GONIOMETRICHE ETEMENTARIr Equazione goniometrica: contiene almeno una funzione goniometrica dell'incognita.r Equazionegoniometricaelementare: è deltipo senr : a,cosx: b,tgx = c.
, d e t e r m i n a t a s e - l < a < 1sen,r :4(
\impossibile se a(-I v a)l
x = ( n - o ) + 2 k n
, rdeterminata se - | < b < |
cosx:o(\impossiblle se b(-1 v b)l
1 = j ì + 2 k n
Y_ \ i
X, / \/ \,"\ $
\ j / Xx
J
y = - B + 2 k n
tgx= c determinataVce lR
$sartFeoiarí *quax!**l i elem*mtarà Fr*prle&* d! rissluaiqx',e
s e n 0 : s e n 0 seno . : seno ' < r o : o ' *Zk t t Y 0+o ' : 7 t +2k î l
sen 0. : -sen 0 - sen 0' : sen(- o')
s e n 0 : c o s 0 cos 0' : r."(+ - r')
s e n q : - c o s 0 -cos 0' : -. .r,(f - * ') = *"(-; * * ')
cos0 = coscì l cos 0. = cos
cos0 = -cosc lú ' - cos 0' = cos (n - o')
t o r t = t o r l ,' b * ' b * tg o : tg o.'<+ ct" : u' I kr
Í o N = - l o î ú' ò * ' b * - tg 0 ' : tg( - o ' )
c o t g 0 : c o t g 0/ n \
. ^ + ú f l : 1 6 1 1 ! - a l' " ' ò * ' b \ 2 * l
2. LE EGIUAZIONI TINEARI IN SENO E COSENOr Equazioni lineari: sono della fprma a senx * b cosx * c : 0, con a I 0 e b * 0.
r Metodo di risoluzione algebrico
. c : 0: si dividono i membri per cos.r I 0 e si risolve I'equazione in tangente.
. c + 0 i- si determinano eventuali soluzioni del tipo x : T + 2k7r;
- si utilizzano le formule parametriche per x I n l- 2kt;
2 t l - t 2 xsenrc =
GF e cosJr :
1* r t ' con r = tgt ;
- si risolve I'equazione in ú.
r Metodo di risoluzione grafico
. Si esegue la sostituzione senÍ = Y e cosx = X.
. S i r iso lvei ls is tematraequazionedel la ret taaY+bX+ c:0 e *+y2 = l ,equazionedel lac i rconferenza
goniometrica.
. Le soluzioni dell'equazione sono i punti di intersezione tra retta e circonferenza.
r Metodo di risoluzione dell'angolo aggiunto
. Si considera asenx * bcosx: rsen(x * o) , con r = \ /d + bt etga: L.
. Si sostituisce in asenx * bcosx * c : 0:
rsen(x * c) * c = 0 sen(x * ù =-* ,equazione e lementare '
3. LE EGIUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO
r Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno: sono le equazioni riconducibili alla forma:
a 'sen2x * bsenxcosx * ccos2x = 0.
r Metodo risolutivo
P r i m o c a s o : a = 0 V c = 0 .
L'equazione diventa:
. se a . = 0 : bsenxcosx* ccos2 r :0 * cosx (bsenx* ccos r ) : Q ;
. s e c = 0 ' . e s e n 2 x * b s e n x c o s x = 0 s e n x ( a s e n x * b c o s r ) = Q .
Si risolve con la legge di annullamento del prodotto.
Secondocaso: a *0 A cf 0.
Si divide per cos2x (diverso da 0, essendo a + 0) e si ottiene:
a'tg2x * b fg x -f c = 0.
r Sono riconducibili a omogenee di secondo grado in seno e coseno le equazioni del tipo:
a. sen2x* b ' senxcosx * c cos2r = d (d f 0) .
I Metodo risolutivo
. Si moltipli ca d per 1 : sen2x -| cos2r.
. Si risolve I'equazione omogenea così ottenuta nella forma:
a ' sen2x * b ' sen rcosx*c cos2x : d ' ( sen2x *cos2x ) .