Equazioni e disequazioni goniometrichexoomer.virgilio.it/mattme/doc/Mate5/equaz disequaz...
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Valori noti per seno e coseno per angoli particolari
Funzioni goniometriche espresse tramite una di esse
αsin αcos αtan αctg
αsin αsin α2cos1−± α
α2tan1
tan
+±
α21
1
ctg+±
αcos α2sin1−± αcos
α2tan1
1
+±
α
α21 ctg
ctg
+±
αtan
α
α2sin1
sin
−±
α
α
cos
cos1 2−±
αtan
αctg
1
αctg
α
α
sin
sin1 2−±
α
α2cos1
cos
−±
αtan
1
αctg
Formule di addizione e sottrazione
( ) βαβαβα sinsincoscoscos −=+
( ) βαβαβα sinsincoscoscos +=−
( ) αββαβα cossincossinsin +=+
( ) αββαβα cossincossinsin −=−
( )βα
βαβα
tantan1
tantantan
−
+=+ ( )
βα
βαβα
tantan1
tantantan
+
−=−
( )βα
βαβα
ctgctg
ctgctgctg
+
−=+
1 ( )
αβ
βαβα
ctgctg
ctgctgctg
−
+=−
1
Formule di duplicazione
ααα cossin22sin =
ααα 22 sincos2cos −=
α
αα
2tan1
tan22tan
−=
Formule di bisezione
2
cos1
2sin
αα −±=
2
cos1
2cos
αα +±=
α
αα
cos1
cos1
2tan
+
−±=
Formule parametriche
2tan1
2tan2
sin2 α
α
α
+
= ππα k2+≠ posto t=2
tanα
si ottiene 21
2sin
t
t
+=α
2tan1
2tan1
cos2
2
α
α
α
+
−=
2
2
1
1cos
t
t
+
−=α
2tan1
2tan2
tan2 α
α
α
−
= 21
2tan
t
t
−=α
Formule di prostaferesi
2cos
2sin2sinsin
βαβαβα
−+=+
2cos
2sin2sinsin
βαβαβα
+−=−
2cos
2cos2coscos
βαβαβα
−+=+
2sin
2sin2coscos
βαβαβα
−+−=−
Formule di Werner
( ) ( )[ ]βααβα +−−= coscos2
1sinsin b
( ) ( )[ ]βααβα −++= coscos2
1coscos b
( ) ( )[ ]βααβα −++= sinsin2
1cossin b
y
O x
Equazioni elementari
Un’equazione goniometrica elementare è un equazione riconducibile alla forma
( ) kx =sin ( ) kx =cos 11 ≤≤− k
Oppure
( ) hx =tan ( ) hxctg = Rh ∈
I quadrante
0cos
0sin
>
>
x
x
II quadrante
0cos
0sin
<
>
x
x
III quadrante
0cos
0sin
<
<
x
x
IV quadrante
0cos
0sin
>
>
x
x
Risolvere un’equazione goniometrica elementare significa pertanto trovare quel valore che
sostituito al posto dell’argomento della funzione stessa le fa assumere il valore del secondo
membro.
Osservazione: a riguardo è bene aver presente quali siano i valori noti delle funzioni goniometriche
(vedi tabella).
2
1)sin( =x
L’equazione è elementare in quanto è l’uguaglianza tra una funzione goniometrica ed un termine
noto.
Si cerca in tabella l’angolo in corrispondenza del quale il seno vale 2
1.
0 6
π
4
π
3
π
2
π π π
2
3
αsin 0 2
1
2
2
2
3 1 0 -1
Allora posso passare all’uguaglianza tra l’argomento x della funzione e l’angolo che corrisponde al
valore a secondo membro per la funzione goniometrica assegnata, quindi
ππ
kx 26
+= il termine πk2 è necessario poiché si riferisce alla periodicità della
funzione seno, che è appunto π2 . Infatti se a 6
π si aggiunge o si sottrae un
multiplo di π2 per la natura periodica del seno si ottiene sempre lo stesso
valore.
.
Le soluzioni dell’equazione allora saranno date da:
ππ
kx 26
+=
ππ kx 26
5+=
Osservazione: per trovare le soluzioni allora basta trovare la prima soluzione α e poi per quanto
visto la seconda si ottiene eseguendo απ − , tenendo sempre conto della periodicità.
Esempi
2cos4 =x divido per 4 entrambi i membri e ottengo
2
1cos =x
Si cerca in tabella l’angolo in corrispondenza del quale il coseno vale 2
1.
0 6
π
4
π
3
π
2
π π π
2
3
αcos 1 2
3
2
2
2
1 0 -1 0
Allora posso passare all’uguaglianza tra l’argomento x della funzione e l’angolo che corrisponde al
valore a secondo membro per la funzione goniometrica assegnata, quindi
ππ
kx 23
+= il termine πk2 è necessario poiché si riferisce alla periodicità della
funzione coseno, che è appunto π2 . Infatti se a 3
π si aggiunge o si sottrae
un multiplo di π2 per la natura periodica del seno si ottiene sempre lo
stesso valore.
Consideriamo ora il seguente disegno
y
3
π
x
Il segmento orizzontale evidenziato in neretto esprime il coseno di 3
π il disegno evidenzia inoltre,
come nel caso precedente, che esiste anche un altro angolo in corrispondenza del quale il coseno
assume il medesimo valore. Dal grafico si vede, con sottrazione tra gli angoli, che tale valore a
32
ππ − .
Tale considerazione si può fare osservando anche quanto detto riguardo gli angoli associati, infatti:
( ) απ cos2cos =− a
Quindi gli angoli in cui il seno assume un valore k compreso tra 11 <<− k , sono 2.
Le soluzioni dell’equazione allora saranno date da:
ππ
kx 23
+=
ππ kx 23
5+=
Osservazione: per trovare le soluzioni allora basta trovare la prima soluzione α e poi per quanto
visto la seconda si ottiene eseguendo απ −2 , tenendo sempre conto della
periodicità.
E’ possibile rappresentare la seconda soluzione esprimendo l’angolo απ −2
muovendosi in senso orario lungo la circonferenza goniometrica, quindi se una
soluzione è α , l’altra è -α , nel caso appena visto:
ππ
kx 23
+=
ππ
kx 23
+−=
3
3tan =x
0 6
π
4
π
3
π
2
π π π
2
3
αtan 0 3
3 1 3 ¬∃ 0 ¬∃
Da cui segue che
ππ
kx +=3
Osservazione
In questo caso la periodicità della funzione è π , inoltre la soluzione è unica in quanto osservando il
grafico della tangente vi è un solo valore all’interno dell’intervallo di riferimento
−
2;
2
ππ in cui il
valore assegnato viene assunto (in
−
2;
2
ππ la tangente è in particolare iniettiva, cioè
( ) ( )212121 ..2
;2
, xfxfxxctxx ≠⇒≠
−∈∀
ππ).
Un ragionamento analogo si può applicare alla cotangente, in quanto x
ctgxtan
1= .
2
3
43sin =
+
πx
In questo caso, si deve ricavare il valore della x che sostituito nella parentesi a primo membro
soddisfi l’equazione.
Passo 1
Si deve trovare per quale angolo il seno vale 2
3. Tale angolo è
3
π.
Passo 2
Affinché l’equazione sia soddisfatta dovrà essere che l’argomento del seno 4
3π
+x sia uguale a 3
π.
Passo 3
Tenendo conto della periodicità si ottiene
πππ
kx 234
3 +=+
Passo 4
Ora si deve isolare l’incognita x
πππ
kx 234
3 +=+
πππ
kx 243
3 +−=
ππ
kx 212
3 +=
ππ
kx3
2
36+=
πππ
kx 212
343 +
−=
Passo 5
Ora si dovrà trovare l’altra soluzione, ricordando che ( ) ααπ sinsin =− , per cui trovata α l’altra
soluzione è data da απ − , nel nostro caso quindi
ππ
ππ
kx 234
3 +−=+
Da cui si ottiene
ππ kx3
2
36
5+=
Osservazione
Per quanto sia complicato l’argomento della funzione goniometrica si deve sempre uguagliare tutto
l’argomento all’angolo corrispondente al valore richiesto e poi ricavare l’incognita.
Equazioni goniometriche omogenee di primo grado
Definizione: una equazione si definisce omogenea se tutti i sui termini hanno lo stesso grado.
Osservazione
Un’equazione avente termine noto non può essere omogenea.
Esempi
� 064 3223 =−−+ yxyyxx è omogenea di terzo grado
� 04 324 =−+ xxx non è omogenea
� 02 22 =−+ yxyx è omogenea di secondo grado
� 012 22 =+−+ yxyx non è omogenea
Un equazione goniometrica è omogenea di primo grado se contiene soltanto funzioni goniometriche
(seno e coseno) alla prima potenza e non ha il termine noto.
0cos3sin =− xx è un’equazione goniometrica di primo grado
Soluzione
Se dividiamo tutti i termini per xcos otteniamo una notevole semplificazione, però in tal caso si
deve porre la C.E. ππ
kx 22
+≠ e assicurarsi che 2
π e π
2
3 non siano soluzioni dell’equazione
assegnata, cioè dobbiamo sostituire i valori esclusi nel testo dell’equazione per verificare di non
eliminare delle soluzioni, cioè:
02
cos32
sin =
−
ππ
Da cui si deduce 01 = .
Quindi 2
π e anche π
2
3 non sono soluzioni dell’equazione assegnata.
Proseguiamo con la soluzione dell’esercizio dividendo tutti i termini per xcos .
0cos
cos3
cos
sin=−
x
x
x
x
03tan =−x
3tan =x è un’equazione elementare ππ
kx +=3
Equazioni goniometriche risolvibili con equazioni di secondo grado
Ci si riconduce ad un’equazione di secondo grado che si risolve tramite la solita formula risolutiva.
Sia data l’equazione
0cossinsin 22 =−+ xxx
0cossinsin 22 =−+ xxx
0sin1sinsin 22 =+−+ xxx
01sinsin2 2 =−+ xx
012 2 =−+ tt
4
31
4
91
4
8112,1
±−=
±−=
+±−=t
L’equazione data ha tre termini, come la forma
generale dell’equazione di secondo grado:
02 =++ cbxax
Vediamo se è possibile ottenere una
rappresentazione simile.
Per prima cosa devo ottenere una sola funzione
goniometrica. Poiché il termine xsin non può
essere espresso tramite il coseno senza
introdurre delle radici, utilizziamo l’identità
goniometrica fondamentale per trasformare il
coseno in seno
1sincos 22 =+ xx
da cui si ottiene
xx22 sin1cos −=
Ora si può passare alla sostituzione tx =sin
2
1
4
2
4
311 ==
+−=t
14
4
4
312 −=−=
−−=t
Tornando alla sostituzione tx =sin
2
1sin =x
Da cui segue
ππ
kx 26
+= e ππ kx 26
5+=
Inoltre 1sin −=x da cui segue ππ kx 22
3+=
Equazioni goniometriche riconducibili ad equazioni di primo grado
Ci si riconduce allo studio di equazioni più semplici tramite scomposizioni e raccoglimenti.
xxxxx cos3sin3cos3cossin3 2 −=−
Se portiamo tutto a primo membro
0cos3sin3cos3cossin3 2 =+−− xxxxx da cui è possibile raccogliere a due a due
( ) ( ) 01coscos31cossin3 =−−− xxxx
( )( ) 0cos3sin31cos =−− xxx
Per la legge di annullamento del prodotto si ha
1. 01cos =−x
1cos =x
πkx 2=
2. 0cos3sin3 =− xx equazioni omogenea di primo grado
0cos
cos3
cos
sin3 =−
x
x
x
x π
πkx +≠
2 (che non è soluzione dell’equazione assegnata)
03tan3 =−x
3
3tan =x
ππ
kx +=6
Equazioni goniometriche omogenee di secondo grado
Consideriamo la seguente equazione
1cos2cossin32sin4 22 =−− xxxx
xxxxxx2222 cossincos2cossin32sin4 +=−−
Ora è possibile portare tutto a primo membro
0cossincos2cossin32sin4 2222 =−−−− xxxxxx
0cos3cossin32sin3 22 =−− xxxx
Dividiamo tutti i termini per x2cos , in tal caso si deve porre la C.E. π
πkx 2
2+≠ e assicurarsi che
2
π e π
2
3 non siano soluzioni dell’equazione assegnata, cioè dobbiamo sostituire i valori esclusi nel
testo dell’equazione per verificare di non eliminare delle soluzioni, cioè:
02
cos32
cos2
sin322
sin3 22 =
−
−
ππππ
Da cui si deduce
03 =
Quindi 2
π e anche π
2
3 non sono soluzioni dell’equazione assegnata.
Proseguiamo con la soluzione dell’esercizio dividendo tutti i termini per x2cos .
0cos
cos3
cos
cossin32
cos
sin3
2
2
22
2
=−−x
x
x
xx
x
x
03tan32tan3 2 =−− xx
Che è riconducibile ad una equazione di secondo grado, si può porre infatti tx =tan
03323 2 =−− tt
3
323
3
123
3
9332,1
±=
±=
+±=t
3
3
3
33
3
3231 ==
+=t
3
3
3
3232 −=
−=t
Ricordando la sostituzione effettuata
3
3tan =x da cui π
πkx +=
6
Ricordando l’identità
goniometrica fondamentale
1cossin 22 =+ xx
e
3
3tan −=x da cui π
πkx +−=
6
Equazioni lineari
Definizione: un’equazione si dice lineare se è del tipo 0=++ cbyax , cioè se è riconducibile alla
forma dell’equazione della retta. Cioè:
� tutti i termini contenenti l’incognita sono di primo grado;
� è presente il termine noto.
Un’equazione lineare può essere vista come un’[equazione omogenea] +[ termine noto].
Vale inoltre:
� un’equazione omogenea di primo grado è un’equazione lineare;
� un’equazione lineare di primo grado non è un’equazione omogenea.
Vediamo la soluzione.
Esempio
02cos3sin =−− xx
Effettuiamo la seguente sostituzione:
=
=
xY
xX
sin
cos (X = coseno poiché rappresenta l’ascissa, Y = seno poiché rappresenta l’ordinata)
L’equazione diventa:
023 =−− XY ora però ho due incognite invece di una
Ricordando l’identità fondamentale della goniometria e la sostituzione introdotta in prima
1cossin 22 =+ xx
Diventa
122 =+ YX
Ora posso ottenere il seguente sistema
=+
=−−
1
02322
YX
XY
Risolvendo il sistema si ottiene
=
−=
2
12
3
Y
X
Convertendo di nuovo in seno e coseno
L’unico angolo che soddisfa le condizioni elencate dal sistema precedente è ππ kx 26
5+= .
Osservazione
Poiché il sistema che si ottiene è di secondo grado può accadere che si ottengano due soluzioni,
infatti:
01cossin =−− xx
ha come soluzioni ππ
kx 22
+= e ππ kx 2+= .
Equazioni lineari
Definizione: un’equazione si dice lineare se è del tipo 0=++ cbyax , cioè se è riconducibile alla
forma dell’equazione della retta. Cioè:
� tutti i termini contenenti l’incognita sono di primo grado;
� è presente il termine noto.
Un’equazione lineare può essere vista come un’[equazione omogenea] +[ termine noto].
Vale inoltre:
� un’equazione omogenea di primo grado è un’equazione lineare;
� un’equazione lineare di primo grado non è un’equazione omogenea.
Vediamo la soluzione.
Esempio
02cos3sin =−− xx
Effettuiamo la seguente sostituzione:
=
=
xY
xX
sin
cos (X = coseno poiché rappresenta l’ascissa, Y = seno poiché rappresenta l’ordinata)
L’equazione diventa:
023 =−− XY ora però ho due incognite invece di una
Ricordando l’identità fondamentale della goniometria e la sostituzione introdotta in prima
−=
=
2
3cos
2
1sin
x
x
1cossin 22 =+ xx
Diventa
122 =+ YX
Ora posso ottenere il seguente sistema
=+
=−−
1
02322
YX
XY
Risolvendo il sistema si ottiene
Convertendo di nuovo in seno e coseno
L’unico angolo che soddisfa le condizioni elencate dal sistema precedente è ππ kx 26
5+= .
Osservazione
Poiché il sistema che si ottiene è di secondo grado può accadere che si ottengano due soluzioni,
infatti:
01cossin =−− xx
ha come soluzioni ππ
kx 22
+= e ππ kx 2+= .
Sistemi goniometrici
Un sistema di equazioni goniometriche unisce in sé la struttura del sistemi a quella delle equazioni
goniometriche quindi si tratta ora di unificare i due processi risolutivi per ottenere la soluzione di
questa classe di esercizi. Vediamo di sintetizzare il percorso:
i) prima si cerca di risolvere il sistema applicando uno metodi noti (addizione o sostituzione);
ii) poi quando si è ottenuta una equazione in un’unica incognita la si risolve identificando quale
tipologia di equazione goniometrica essa rappresenti e applicando il corrispondente metodo
risolutivo;
iii) si ricava la soluzione per l’altra incognita.
=
−=
2
12
3
Y
X
−=
=
2
3cos
2
1sin
x
x
Verranno affrontati sistemi di due equazioni in due incognite.
I sistemi che risolveremo saranno di due tipi:
1. sostituzione di un’incognita: il sistema è composta da un’equazione goniometrica e da una
equazione tradizionale;
2. sostituzione di una funzione goniometrica: il sistema è composta da due equazioni
goniometriche
Esempio
Il sistema è composto da due equazioni goniometriche
=⋅
+=+
6sinsin42
23sinsin
yx
yx
=⋅
−+
=
6sinsin4
sin2
23sin
yx
yx (1) ricavo una funzione goniometrica dall’equazione più semplice
=
−
+
−+
=
6sinsin2
234
sin2
23sin
yy
yx
sostituisco l’espressione nell’altra equazione
( )
=−+
−+
=
6sinsin42232
sin2
23sin
yy
yx
( )
=−+
−+
=
6sin4sin2232
sin2
23sin
2 yy
yx
( )
=++−
−+
=
06sin2232sin4
sin2
23sin
2 yy
yx
La seconda equazione si risolve ponendo ty =sin , essa allora diventa
( ) 0622324 2 =++− tt
Le cui soluzioni si ricavano utilizzando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado e
andando successivamente a ricavare i corrispondenti valori per la variabile y (dalla relazione
ty =sin ). Risulta
ππ
ky 231 += e ππ ky 2
3
22 +=
ππ
ky 243 += e ππ ky 2
4
34 +=
Da cui sostituendo nel sistema in (1) si ottiene tralasciando di riportare la periodicità per non
appesantire troppo la scrittura
=
−+
=
3
sin2
23sin
1
πy
yx
=
−+
=
π3
2
sin2
23sin
2y
yx
=
−+
=
4
sin2
23sin
3
πy
yx
=
−+
=
π4
3
sin2
23sin
4y
yx
Per le prime due soluzioni 1y e 2y
=
=
3
2
2sin
1
πy
x
=
=
π3
22
2sin
2y
x
=
==
3
4
3,
4
1
π
ππ
y
xx
=
==
π
ππ
3
24
3,
4
2y
xx
Per le prime due soluzioni 3y e 4y
=
=
4
2
3sin
3
πy
x
=
=
π4
32
3sin
4y
x
=
==
4
3
2,
3
3
π
ππ
y
xx
=
==
π
ππ
4
33
2,
3
4y
xx
Esempio
Il sistema è composto da una equazione goniometrica e una tradizionale.
=+
−=−
2
2sincos
4
yx
xyπ
si ricava y dalla prima e si sostituisce nella seconda
=
−+
−=
2
2
4sincos
4
π
π
xx
xy
=−+
−=
2
2
4sincos
4cossincos
4
ππ
π
xxx
xy
=−+
−=
2
2cos
2
2sin
2
2cos
4
xxx
xyπ
=−+
−=
2cos2sin2cos2
4
xxx
xyπ
( )
=+−
−=
2sin2cos22
4
xx
xyπ
La seconda equazione è di tipo lineare pertanto la si risolve ponendo
=
=
Yx
Xx
sin
cos e risolvendo il sistema seguente
( )
=+
=+−
1
222222
YX
YX
( )
=+
−−=
1
222222
YX
XY
( )
=+
−−=
1
1222222
YX
XY
( )
=+
−−=
1
2
1222
22YX
XY
( )
=+
−−=
1
12122
YX
XY
( )( )
=+−+
−−=
121
12122
XXX
XY
Da cui si ottiene risolvendo le equazioni
=
=
1
0
Y
X
=
=
2
2
2
2
Y
X
Che equivalgono a
=
=
1sin
0cos
x
x
=
=
2
2sin
2
2cos
x
x
Da cui ππ
kx 22
+= e ππ
kx 24
+= .
Tornando ora al sistema goniometrico iniziale, tralasciando la periodicità, otteniamo
−=
=
4
2π
π
xy
x
−=
=
4
4π
π
xy
x
Risolvendo si ha
=
=
4
2π
π
y
x
=
=
04
y
xπ
Disequazioni goniometriche
Ricordiamo la definizione di disequazione:
Definizione: una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni. Detti p(x) e
g(x) due polinomi definiti in un insieme A, una disequazione nella variabile x è
un'espressione della forma:
( ) ( )xqxp < ( ) ( )xqxp ≤ ( ) ( )xqxp > ( ) ( )xqxp ≥
Risolvere una disequazione significa trovare quell’intervallo (o più intervalli) di valori che,
attribuiti alle incognite, verificano la disuguaglianza.
Ricordiamo inoltre alcune regole di calcolo:
� si può portare una quantità da primo a secondo membro e viceversa, cambiandone il segno
� si può cambiare il segno dei termini a primo e secondo membro, invertendo il verso della
disuguaglianza;
� se si divide per una quantità positiva primo e secondo membro di una equazione il verso
della disequazione rimane invariato;
� se si divide per una quantità negativa primo e secondo membro di una equazione il verso
della disequazione deve essere invertito;
Nel caso di disequazioni goniometriche valgono tutte le osservazioni e le regole di calcolo viste per
le disequazioni polinomiali tali regole vanno integrate con i metodi di calcolo che si utilizzano per
risolvere le equazioni goniometriche.
Una volta assegnata la disequazione goniometrica un possibile metodo di risoluzione è il seguente
Passo 1: si scrive l’equazione goniometrica ad essa associata e si procede alla relativa soluzione;
Passo 2: si tracciano sulla circonferenza goniometrica le soluzioni ottenute;
Passo 3: si individuano gli intervalli che soddisfano la disequazione tenendo conto eventualmente
della regola dei segni.
Definizione: data una disequazione (goniometrica) si definisce equazione associata l’equazione che
si ottiene sostituendo il simbolo = al posto del simbolo di disuguaglianza.
Illustriamo il procedimento tramite un esempio.
Risolvere la seguente disequazione
03cos >− senxx
Passo 1
Scrivo l’equazione associata
03cos =− senxx
Essa è un’equazione di tipo lineare, quindi si risolve ponendo:
=
=
xY
xX
sin
cos si ottiene allora
=+
=−
1
0322
YX
YX
=+
=
1
322
YX
YX
=+
=
13
322
YY
YX
=
=
14
32
Y
YX
=
=
4
1
3
2Y
YX
±=
=
2
1
3
Y
YX
allora le soluzioni del sistema sono date da
=
=
2
12
3
Y
X
e
−=
−=
2
12
3
Y
X
che corrispondono a
=
=
2
1sin
2
3cos
x
x
e
−=
−=
2
1sin
2
3cos
x
x
ππ
kx 26
+= e ππ kx 26
7+=
Passo 2
Si tracciano tutte le soluzioni così trovate sulla circonferenza goniometrica (si deve tener conto
della periodicità dei valori ottenuti per non ometterne alcuno).
y
6
π
x
π6
7
Poiché nel verso della disequazione l’uguaglianza non è compresa, significa che gli estremi sono
esclusi, quindi vengono riportati con un cerchio vuoto.
Passo 3
Si tratta ora di individuare quale intervallo soddisfi la disequazione assegnata. Partiamo da alcune
considerazioni, gli intervalli così determinati sono tali per la disequazione che:
i) se essa è verificata in un punto di un intervallo, essa risulta verificata per tutto l’intervallo
cui appartiene il punto considerato;
ii) se essa non è verificata in un punto di un intervallo, essa risulta non verificata per tutto
l’intervallo cui appartiene il punto considerato.
Pertanto se individuo l’intervallo corretto, significa che l’altro intervallo non soddisferà l’equazione
e quindi non conterrà alcuna soluzione.
Nel caso di più di due intervalli, è possibile compiere le seguenti considerazioni:
� un intervallo che verifichi la disequazione, avrà adiacenti due intervalli che non la
verificano;
� un intervallo non che verifichi la disequazione, avrà adiacenti due intervalli che la
verificano.
Oppure equivalentemente:
� tra due intervalli che verificano la disequazione ve né uno che non la verifica;
� tra due intervalli che non verificano la disequazione ve né uno che la verifica.
Osservazione
Nei metodi descritti, si deve fare attenzione ai casi particolari in cui una soluzione sia data da un
solo punto, allora per non sbagliare è bene sostituire un punto all’interno di ogni intervallo per
individuare con certezza se esso contenga o meno delle soluzioni.
Osservazione importante
Quando si scelgono i punti degli intervalli da sostituire, è bene scegliere dei punti che non siano gli
estremi dell’intervallo che si considera.
Torniamo a considerare i) e ii) applicando la regola al nostro caso
Gli intervalli che abbiamo ottenuto sono due (tralasciando la periodicità):
1) ππ
6
7
6<< x
2) 66
5 ππ <<− x
Prendiamo un punto che non sia un estremo degli intervalli 1) e 2) e sostituiamo tale valore
all’interno del testo iniziale della disequazione:
Consideriamo il punto 0=x e sostituiamo in 03cos >− senxx , otteniamo:
( ) ( ) 0030cos >− sen � 01 > che è una disuguaglianza vera, ciò significa che per 0=x e tutto
l’intervallo che la contiene determinato in precedenza, cioè 66
5 ππ <<− x la disequazione è
verificata. Quindi:
y
- -
- -
- 6
π
- + x
+
π6
7 + +
+ +
Poiché il verso generale della disequazione è >0 dobbiamo prendere le soluzione positive, quindi
66
5:
ππ <<− xS
(non abbiamo considerato la periodicità per non appesantire troppo la scrittura della soluzioni)
Osservazione
Se le soluzioni veniva scritte nel modo 66
7 ππ << x si commetteva un errore, in quanto in questo
tipo di scrittura l’estremo sinistro deve essere il valore minore, pertanto in questo caso si scrive un
intervallo in cui l’estremo sinistro ha un valore maggiore dell’estremo destro, il che non è possibile.
L’intervallo poteva essere scritto anche nel modo seguente:
πππ
26
7
60 <<∪<≤ xx
Cioè muovendosi in senso antiorario (verso di percorrenza positivo della circonferenza
goniometrica) e facendo attenzione a includere lo zero (che è un punto interno dell’intervallo
contenente le soluzioni) in uno dei due intervalli.
Poiché è possibile percorrere la circonferenza goniometrica sia nel verso positivo (antiorario) sia
negativo (orario) è possibile scrivere le soluzioni di u equazione goniometrica in due differenti modi
ma entrambi corretti.
Illustriamo il procedimento descritto con altri esempi.
0sin32sin ≥− xx
0sin3cossin2 ≥− xxx
( ) 03cos2sin ≥−xx
Poiché la disequazione è il prodotto di due fattori, studiamo separatamente il segno di entrambi
I
0sin ≥x
È una disequazione elementare che può essere risolta senza utilizzare l’equazione associata per
individuare gli estremi dell’intervallo cercato, infatti se tracciamo la circonferenza goniometrica
abbiamo: y
+ +
+ +
x
- - - - - -
Poiché il seno si misura lungo l’asse y, assume valori positivi nel semipiano superiore, cioè tra
π≤≤ xS I 0:
II
03cos2 ≥−x
2
3cos ≥x
2
3cos =x
Le cui soluzioni sono
ππ
kx 26
+= e ππ
kx 26
+−=
Riportiamo tali valori sulla circonferenza goniometrica
y
- -
- - 6
π
- +
- +
- 6
π−
- -
66
:ππ
≤≤− xS II
Regola dei segni per disequazioni goniometriche
Poiché la disequazione è il prodotto di due fattori, il segno generale della disequazione si ottiene
applicando al regola dei segni, poiché abbiamo tracciato (a causa della periodicità) le soluzioni su
due circonferenze, quando applichiamo la regola dei segni per disequazioni goniometriche anziché
tracciare linee orizzontali parallele su cui riportare i valori ottenuti, tracceremo circonferenze
concentriche su cui segnare le soluzioni ricavate.
Poiché ho due condizioni, dovrò tracciare due circonferenze goniometriche
y
- -
- + + -
- + +
- + + +
- π - + x
- - +
- - - -
- -
- -
Per determinare quale dei due intervalli soddisfi la disequazione scegliamo 0=x (un punto che non sia un estremo dell’intervallo) e sostituiamo nella disequazione II che stiamo considerando:
( ) 030cos2 ≥−
032 ≥− che è una disuguaglianza vera, quindi l’intervallo che dobbiamo considerare è quello più piccolo (che contiene lo zero).
6
π
6
π−
+
+ +
- -
-
Poiché il verso generale della disequazione è 0≥ devo considerare le soluzioni .
πππ
6
11
60: ≤≤∪≤≤ xxS
Risolvere la disequazione:
0cos2sin3 2 <− xx
( ) 0sin12sin3 2 <−− xx
0sin22sin3 2 <+− xx
02sin3sin2 2 <−+ xx
4
53
4
253
4
1693sin 2,1
±−=
±−=
+±−=x
2
1
4
2
4
53sin1 ==
+−=x
24
8
4
53sin 2 −=−=
−−=x
E’ il caso di porre attenzione al passaggio successivo.
La soluzione della disequazione iniziale si ottiene studiando il segno delle singole soluzioni ottenute
cioè per entrambe si deve porre 1sin xx > e 2sin xx > (*) poi si applica la regola dei segni a quanto
ottenuto.
Infatti si potrebbe scrivere ricordando la regola per scomporre un polinomio di secondo grado:
02sin3sin2 2 <−+ xx
( ) 02sin2
1sin2 <+⋅
− xx
Da cui si ottiene quanto detto in (*)
02
1sin >−x �
2
1sin >x da cui
2
1sin =x e π
πkx 2
6+= e ππ kx 2
6
5+=
02sin >+x � 2sin −>x x∀
Che corrispondono allo studio del segno delle soluzioni
Le riportiamo sulla circonferenza goniometrica.
y
+ +
+ + + +
+ + + +
+ - - +
+ - - + x
+ - - +
+ - - +
+ +
Poiché il verso generale della disequazione è 0< si devo considerare gli intervalli contrassegnati
con il segno
πππ
26
5
60: <<∪<≤ xxS .
Osservazione
Se si poneva tx =sin si otteneva come intervallo delle soluzioni 2
12 <<− t , il passaggio dalla
disequazione polinomiale a quella goniometrica non è immediato in quanto la funzione seno oscilla
nell’assumere i valori e quindi tenendo conto della crescente e della decrescenza della funzione il
passaggio polinomiale � goniometrica non avviene in maniera automatica con un semplice cambio
di valori, ma necessita di ulteriori considerazioni.
Il metodo proposto tiene conto di quanto affermato e semplifica il più possibile il procedimento per
individuare gli intervalli delle soluzioni.
Risolvere al seguente disequazione
3cos4
cos
cos43
cos2122
2
−<
−
−
x
x
x
x
03cos4
cos
cos43
cos2122
2
<−
−−
−
x
x
x
x
0cos43
cos
cos43
cos2122
2
<−
+−
−
x
x
x
x
6
π
Per determinare quale dei due intervalli soddisfi la prima disequazione scegliamo
0=x (un punto che non sia un estremo dell’intervallo) e sostituiamo nella disequazione:
2
10sin > �
2
10 >
che è una disuguaglianza falsa, quindi l’intervallo che dobbiamo considerare è quello più piccolo (che non contiene lo zero).
+ +
- -
- -
-
π6
5
0cos43
coscos212
2
<−
+−
x
xx (per risolvere una disequazione si deve portare tutto da una parte)
0cos43
1coscos22
2
>−
−−
x
xx (poi si studia separatamente il segno del numeratore e del denominatore)
N: 01coscos2 2 >−− xx
01coscos2 2 =−− xx
4
31
4
811cos 2,1
±=
+±=x
14
31cos1 =
+=x
2
1
4
2
4
31cos2 −=−=
−=x
Ricordando quanto detto nell’esercizio precedente le soluzioni si determinano come segue:
1cos >x mai verificata
2
1cos −>x
2
1cos −=x da cui ππ kx 2
3
2+= e ππ kx 2
3
4+= (intervallo grande)
+ +
- - - +
- - - +
- - - +
- - - +
+
+ + ππ3
4
3
2: << xS
D: 0cos43 2 >− x
0cos43 2 =− x y
3cos4 2 −=− x
3cos4 2 =x + +
4
3cos2 =x + +
2
3cos ±=x
-
-
-
-
+
+
π6
5
6
π
y
+ +
+ +
2
3cos ±=x - - x
- -
+ +
+ +
ππππ
6
11
6
7
6
5
6: <<∪<< xxS
Calcoliamo le soluzioni finali: y
+ +
+ +
-
- + - -
+ -
- + - -
-
+ +
+ +
ππππππ
3
4
6
7
6
5
3
2
66: <<∪<<∪<<− xxxS
Sostituisco un punto di ogni intervallo all’interno della disequazione iniziale per decidere se l’intervallo considerato contiene soluzioni.
π6
5
π6
7
6
π
π6
11
π6
11
6
π
π6
5
π6
7
+
+
- -
-
-
- -
π3
2
π3
4
+
+
Risolvere la seguente disequazione
03sin2
1tan3<
−
−
x
x
N: 01tan3 >−x
1tan3 >x y
3
3tan >x - +
3
3tan =x - - x
ππ
kx +=6
- -
+ -
ππππ
2
3
6
7
26: <<∪<< xxS
La tangente ha periodicità π , poiché la circonferenza goniometrica rappresenta un intervallo di π2 ,
si dovranno tracciare su di essa tutti i punti distinti che si ottengono a partire dal valore iniziale
aggiungendo la periodicità (e che appartengono a [ ]π2;0 ).
Tale osservazione è valida per tutte le disequazioni goniometriche che hanno periodicità diversa da
π2 , ad esempio:
� ( )x3sin ha periodicità π3
2 ed è tale da determinare tanti punti sulla circonferenza
goniometrica quanti se ne ottengono aggiungendo al valore iniziale πk3
2 sino a che non si
giunge di nuovo al primo valore;
� ( )x5cos ha periodicità π5
2 ed è tale da determinare tanti punti sulla circonferenza
goniometrica quanti se ne ottengono aggiungendo al valore iniziale πk5
2 sino a che non si
giunge di nuovo al primo valore;
6
π
π6
7
Attenzione ai valori che assume la tangente (e quindi anche la cotangente): positivi da 0 a
∞+ nel primo e terzo quadrante, negativi da ∞− a 0 nel secondo e quarto quadrante.