La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward...
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La commande
Été 2010
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2
Types de commande Rétroaction (Feedback)
P, PI, PD, PID
Par « FeedForward » Commande prédictive
Par cascade
La plus
utilisée
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3
Constituants d’une boucle de contrôle par rétroaction
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4
Exemple - CSTR
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5
Équations de l’exemple Pour analyser les différentes
stratégies de contrôle, analysons le système suivant (en Laplace):
Ts
TQ
s
VF
VF
i
VC
VF
p
1
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6
Système CSTR Équation différentielle
correspondante: dT
d t
F
VT T
Q
VCip
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7
Paramètres du système à étudier V = 10 pi3; F = 2.5 pi3/min; ρCP = 61.3 BTU/pi3/°F; Ti = 50°F Tss = 60°F
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8
Système CSTR avec les paramètres : En régime permanent :
02 5
1 05 0 6 0
1 0 6 1 3
1 5 3 2 5 2 7
3
33 3
.
.
.
.
p im in
BTUF pi
BTUm in
p iF F
Q
pi
Q kW
d T F
u Q
y T F
i
BTUm in
5 0
1 5 3 2 5
6 0
.
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9
Fonction de transfert du procédé résultante Voici le schéma bloc du système :
1VC
FV
P
s
FV
FVs
d s( )
u s( ) y s( )16 13
0 25s .
0 2 5
0 2 5
.
.s d s( )
u s( ) y s( )
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12
Fonctions de transfert en boucle fermée Entrée vs sortie :
Perturbation vs sortie :
y s
y s
g g g
g g ghd
c v
c v
( )
( )
1
y s
d s
g
g g ghd
c v
( )
( )
1
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13
Pour notre système(posant gv = h = 1)
Entrée vs sortie :
Perturbation vs sortie :
y s
y s
g
s gd
c
c
( )
( ) .
6 1 3 1 5 3 2 5
y s
d s s g c
( )
( )
.
.
1 5 3 2 5
6 1 3 1 5 3 2 5
Car rapides
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14
Contrôle proportionnel Soit p(t) un signal pneumatique
entre 3 et 15 psig (un signal électrique entre 4 et 20 mA) émis par le contrôleur.
Soit ps la valeur de commande qui fait en sorte que l’erreur ε(t) soit nulle.
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15
Contrôle proportionnel (2) Alors un contrôleur proportionnel
aura comme équation :
Le signal de commande se définit comme étant :
p t K t pP s( ) ( )
c t p t p K ts P( ) ( ) ( )
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16
Contrôle proportionnel (3) La fonction de transfert résultante
sera donc :c s
sg Kc P
( )
( )
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17
En pratique Dans les contrôleurs industriels, ce
n’est pas le gain proportionnel KP qui est ajusté, mais bien la bande proportionnelle PB.
Définition de PB: PB
K P
(% ) 1 0 0 éten d u e m ax im ale d e la so rtie d u co n tro leu r
é ten d u e m ax im ale d e la v a riab le m esu rée
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18
Effets du contrôle proportionnel sur le CSTR Entrée vs sortie :
Perturbation vs sortie :
y s
y s
K
s Kd
P
P
( )
( ) .
6 1 3 1 5 3 2 5
y s
d s s K P
( )
( )
.
.
1 5 3 2 5
6 1 3 1 5 3 2 5
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19
Réponses
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Temps (min)
Te
mp
éra
ture
(°F
)Comportement du CSTR avec contrôle proportionnel
Kp=0.1 Kp=1 Kp=10 Kp=100 Kp=1000
Échelon de
1°F
à t = 1 min
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20
Réponses
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Perturbation sur CSTR avec contrôle P
Temps (min)
Te
mp
éra
ture
(°F
)
Kp=0.1 Kp=1 Kp=10 Kp=100 Kp=1000
Échelon de
1°F
à t = 1 min
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21
Bilan Le système en boucle fermée est
stable. Racine de l’équation caractéristique
est réelle et inférieure à 0. (Kp>0)6 1 3 1 5 3 2 5 0
1 5 3 2 5
6 1 30
s K
sK
P
P
.
.
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22
Bilan (2) Une erreur persiste entre la valeur
de sortie en régime permanent et la consigne. Seul un gain infini règle ce problème. Pour certains systèmes, cette erreur
n’est pas dramatique.
0
1( ) lim 1
613 153.25 153.25P P
sP P
K Kt s
s s K K
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23
Bilan (3) Une perturbation provoque une
erreur non corrigée complètement par le contrôleur proportionnel.
0
1 153.25 153.25( ) lim 0
613 153.25 153.25sP P
t ss s K K
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24
Contrôle proportionnel-intégral La représentation du signal p(t) est
:
p t K t d pCI
t
s( ) ( ) ( )
1
0
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25
Contrôle PI (2) La fonction de transfert résultante
sera donc :
c s
sg K
sc CI
( )
( )
1
1
Reset Rate
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26
Effets du contrôle PI sur le CSTR Entrée vs sortie :
Perturbation vs sortie :
y s
y s
K s
s K s Kd
C I
I C I C
( )
( ) .
1
6 1 3 1 5 3 2 52
y s
d s
s
s K s KI
C I C
( )
( )
.
.
1 5 3 2 5
6 1 3 1 5 3 2 52
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27
Réponses
0 20 40 60 80 100 1200
0.5
1
1.5
Temps (min)
Te
mp
éra
ture
(°F
)
Comportement du CSTR avec contrôle PI (KC = 10)
taui=1
taui=1/2
taui=1/4
taui=1/8
taui=1/16
Échelon de
1°F
à t = 1 min
KC = 10
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28
Réponses
0 20 40 60 80 100 120-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Temps (min)
Te
mp
éra
ture
(°F
)
Perturbation sur CSTR avec contrôle PI (KC = 10)
taui=1
taui=1/2
taui=1/4
taui=1/8
taui=1/16
Échelon de
1°F
à t = 1 min
KC = 10
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29
Bilan Le système en boucle fermée est
stable sous certaines conditions. Choix limité de KC et tI.
s
K K KC C I C
I
1 5 3 2 5 1 5 3 2 5 4 6 1 3
2 6 1 3
2. .
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30
Bilan Critère de Routh-Hurwitz.
6 1 3 1 5 3 2 5
1 5 3 2 5
I C I
C
C I
K
K
K
.
.
![Page 29: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/29.jpg)
31
Bilan (2) Il n’y a plus d’erreur entre la valeur
de sortie en régime permanent et la consigne.
20
11( ) lim 1
613 153.25C I
sI C I C
K sT s
s s K s K
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32
Bilan (3) Une perturbation provoque une
erreur transitoire qui fini par disparaître complètement.
20
153.251( ) lim 0
613 153.25I
sC I C
sT s
s s K s K
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33
Contrôle proportionnel-dérivée La représentation du signal p(t) est
:
p t K td t
d tpC D s( ) ( )
( )
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34
Contrôle PD (2) La fonction de transfert résultante
sera donc :
c s
sg K sc C D
( )
( ) 1
Derivate time constant
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35
Effets du contrôle PD sur le CSTR Entrée vs sortie :
Perturbation vs sortie :
y s
y s
K s
K s Kd
C D
C D C
( )
( ) .
1
6 1 3 1 5 3 2 5
y s
d s K s KC D C
( )
( )
.
.
1 5 3 2 5
6 1 3 1 5 3 2 5
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36
Réponses
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
Temps (min)
Te
mp
éra
ture
(°F
)
Comportement du CSTR avec contrôle PD (KC = 10)
taud=1
taud=10
taud=20
taud=0.1
taud=0.0
Échelon de
1°F
à t = 1 min
KC = 10
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37
Réponses
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Temps (min)
Te
mp
éra
ture
(°F
)
Perturbation sur CSTR avec contrôle PD (KC = 10)
taud=1
taud=10
taud=20
taud=0.1
taud=0.0
Échelon de
1°F
à t = 1 min
KC = 10
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38
Bilan Le système en boucle fermée est
stable. s
K
KC
C D
1 5 3 2 5
6 1 30
.
![Page 37: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/37.jpg)
39
Bilan (2) Comportement identique au cas
proportionnel, mais l’effet de la partie dérivée est de ralentir le système.
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40
Contrôle PID La fonction de transfert du
contrôleurc s
sg K s
sc C DI
( )
( )
1
1
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41
Effets du contrôle PD sur le CSTR Entrée vs sortie :
Perturbation vs sortie :
y s
y s
K s s
K s K s Kd
C D I I
C D I C I C
( )
( ) .
2
2
1
6 1 3 1 5 3 2 5
y s
d s
s
K s K s KI
C D I C I C
( )
( )
.
.
1 5 3 2 5
6 1 3 1 5 3 2 52
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42
Réponses
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Temps (min)
Te
mp
éra
ture
(°F
)
Comportement du CSTR avec PID (KC = 10, tau
i = 1/4)
taud=0
taud=1
taud=10
taud=20
taud=40
Échelon de 1°F
à t = 1 min
KC = 10, t I =
1/4
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43
Réponses
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Temps (min)
Te
mp
éra
ture
(°F
)
Perturbation sur CSTR avec PID (KC = 10, tau
i = 1/4)
taud=0
taud=1
taud=10
taud=20
taud=40
Échelon de 1°F
à t = 1 min
KC = 10, t I =
1/4
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44
Bilan Le système en boucle fermée est
stable sous certaines conditions. Choix limité de KC , tI et tD.
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45
Bilan (2) L’ajout du terme dérivée ralenti le
système et augmente la longueur de la période d’oscillation.
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46
Contrôle d’un système instable en boucle ouverte Soit le système suivant :
Le système à un pôle à +1/5 = 0.2 et est donc instable en boucle ouverte.
y s
u s s
( )
( )
1
5 1
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47
Contrôle P d’un système instable en boucle ouverte En boucle fermée :
Si KC > 1, le système devient stable. Un contrôleur P stabilise le système. Erreur en régime permanent.
y s
u s
K
s KC
C
( )
( )
5 1
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48
Contrôle PI d’un système instable en boucle ouverte En boucle fermée :
Pas d’erreur en régime permanent KC > 1
y s
u s
K s
K s K s KC I
C I C I C
( )
( )
1
5 12
![Page 47: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/47.jpg)
49
Contrôle d’un système à réponse inverse
![Page 48: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/48.jpg)
50
TECHNIQUES DE DESIGN DE CONTRÔLEURS
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51
Technique par placement de pôles Pour faire le design d’un
contrôleur, on peut simplement fixer les pôles que l’on désire attribuer au système en boucle fermée.
![Page 50: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/50.jpg)
52
Exemple - PI Soit la fonction de transfert du
CSTR avec contrôle PID.
Le dénominateur étant du deuxième ordre, on peut choisir de placer les pôles en p1 et p2.
y s
y s
K s
s K s Kd
C I
I C I C
( )
( ) .
1
6 1 3 1 5 3 2 52
![Page 51: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/51.jpg)
53
Exemple – PI(suite)
Fonction cible :
Dénominateur de la fonction :
s p s p s p p s p p 1 22
1 2 1 2
s
Ks
KC C
I
21 5 3 2 5
6 1 3 6 1 3
.
![Page 52: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/52.jpg)
54
Exemple – PI(suite)
Gain KC :
Constante tI :
K p pC 6 1 3 1 5 3 2 51 2 .
ICK
p p
6 1 3 1 2
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55
Exemple – PI(suite)
Ainsi: K C 1 0 7 2 7 5. I 0 8 7 5.
Ex.: p1 = -1-j et p2 = -1+j
![Page 54: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/54.jpg)
56
Utilisation des marges de stabilité Une approche proposée par Ziegler
et Nichols propose une méthode de réglage basée sur: Connaissance de la limite de stabilité; Spécification du contrôleur faisant en
sorte que la décroissance des maxima fasse en sorte que le second maxima soit le ¼ du premier.
![Page 55: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/55.jpg)
57
Méthode de Ziegler-Nichols Méthodologie:
Trouver le gain ultime KCU qui fasse en sorte que le système entre en oscillation. Le contrôleur doit être proportionnel
seulement Donc les valeurs des paramètres dérivée et
intégrales ajusté pour annuler ces effets.
Mesurer la période d’oscillation PU.
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58
Méthode de Ziegler-Nichols Méthodologie:
Utiliser les paramètres de la table suivante pour déterminer les gains optimaux.Type de
contrôleur
KC τI τD
P 0.5KCU - -
PI 0.45KCU PU/2 -
PID 0.6KCU PU/2 PU/8
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59
Exemple - PI Système G(s):
En boucle fermée :
G ss s
( ).
1
0 1 12
G s
K s
s s K s Kc I
I I c c
( )
1
13 2
![Page 58: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/58.jpg)
60
Exemple - PI Système G(s):
En boucle fermée :
G ss s s
( )
1
2 2 13 2
G s
K s
s s s K s Kc I
I I I c I c
( )
1
2 2 14 3 2
![Page 59: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/59.jpg)
61
Exemple - PI Oscille si KC = 3 avec une période
d’environ 5 minute. PI => KC = 1.35 et tau_I = 4.17
min
![Page 60: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/60.jpg)
62
Méthodes basées sur des modèles empiriques Certaines approches présentées
par Ziegler-Nichols Cohen-Coon Minimum ITAE (Smith, Murrill et al)
... sont basées sur des modèles empiriques.
![Page 61: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/61.jpg)
63
Paramètres Délais « alpha » Gain statique K Constante de temps « tau »
Mesuré suite à une réponse à un échelon en boucle ouverte.
![Page 62: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/62.jpg)
64
Ziegler-Nichols(modèle approximatif)
Tableau (exige que ) :
Type de contrôleur
KC τI τD
P - -
PI -
PID
1
K
0 9.
K
1 2.
K
3 3 3.
2 0. 0 5.
0 1 1 0.
![Page 63: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/63.jpg)
65
Cohen-Coon(modèle approximatif)
Tableau (exige que ) :Type de
contrôleurKC τI τD
P - -
PI -
PID
PD -
11
1
3K
3 0 3
9 2 0
0 1 1 0.
10 9
1
1 2K
.
1 4
3
1
4K
1 5
4
1
6K
3 2 6
1 3 8
6 2
2 2 3
4
11 2
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66
Minimum ITAE – (perturbation)(modèle approximatif)
Tableau (exige que ) :
Type de contrôleur
KC τI τD
P - -
PI -
PID
0 4 9 1 0 8 4. .
K
0 6 7 4
0 6 8 0
.
.
0 1 1 0.
0 3 8 10 9 9 5
..
0 8 5 9 0 9 7 7. .
K
1 3 5 7 0 9 4 7. .
K
0 8 4 2
0 7 3 8
.
.
![Page 65: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/65.jpg)
67
Minimum ITAE – (consigne)(modèle approximatif)
Tableau (exige que ) :
Type de contrôleur
KC τI τD
P - - -
PI -
PID
1 0 3 0 1 6 5. .
0 1 1 0.
0 3 0 80 9 2 9
..
0 5 8 6 0 9 1 6. .
K
0 9 6 5 0 8 5 5. .
K
0 7 9 6 0 1 4 7. .
![Page 66: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/66.jpg)
68
Exemple - PI Système G(s):
Système approximé :
G ss s s
( )
1
3 1 4 1 5 1
G se
sapprox
s
( ).
.
2 8 9
1 5 5 3 1
![Page 67: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/67.jpg)
69
Exemple - PI
Ziegler-Nichols
Cohen-Coon ITAE
KC 4.84 4.92 2.73
tau I 9.62 6.94 15.41
![Page 68: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/68.jpg)
70
Exemple - PI
Time (sec.)
Am
plit
ude
Step Response
0 2000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
ITAE
ZN et CC
![Page 69: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/69.jpg)
MÉTHODES AVANCÉES
- Cascade- Prédictive
![Page 70: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/70.jpg)
Commande en « Feedforward » Cette commande est utile
lorsqu’une perturbation est mesurée et lorsque son impact sur le système peut être significatif, puisque la mesure de contrôle se fait en sortie.
La température du liquide entrant dans le CSTR est un bon exemple.
![Page 71: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/71.jpg)
Commande en « Feedforward » Exemple du CSTR
16 13
0 25s .
0 2 5
0 2 5
.
.s d s( )
u s( ) y s( )
![Page 72: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/72.jpg)
Commande en « Feedforward » En régime permanent, uss(s) = 0
implique yss(s) = 0.
Mais, si une perturbation survient :
y ss
d s( ).
.( )
0 2 5
0 2 5
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Structure d’une contrôleur « Feedforward » Schéma bloc :
gst(s)yd g(s)
u
gff(s)
gd(s)
d
y
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Sortie y avec le « Feedforward » La sortie y est obtenue par la
fonction de transfert suivante :
Si yd = 0, alors :
y s y s g s d s g s g s d s g sd st ff d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y s g s g s g s d sff d( ) ( ) ( ) ( ) ( )
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Calcul du compensateur Comme on désire que y soit
indépendant de d, il suffit donc que :
Ce qui donne :
g s g s g sff d( ) ( ) ( ) 0
g sg s
g sffd( )
( )
( )
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Exemple - CSTR Calcul du compensateur :
Le compensateur est donc facile à réaliser, car c’est un gain pur.
g s
s
sff ( ). .
..
0 2 5 0 2 5
0 2 51 5 3 2 51
6 1 3
![Page 77: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/77.jpg)
Exemple #2 Système ayant :
Le compensateur :
g sK
s a
g sK
s a s b
dd( )
( )( )
g s
K s b
Kffd( )
Non faisable
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Exemple #3 Système ayant :
Le compensateur :
g sK
s a s b
g sK
s a
dd( )
( )( )
g sK
K s bffd( )
Faisable
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Exemple #4 Système ayant :
Le compensateur :
g sK e
s a
g sK e
s a
dd
ds
cs
( )
( )( )
g sK
Keff
d d c s( )
Faisable si d≥c
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Bilan Ce contrôleur peut réduire l’effet
de la perturbation. En autant qu’elle puisse être
mesurée. En autant que le compensateur soit
faisable. Alternative: enlever tout l’aspect
dynamique. Souvent combiné avec un contrôle en
« Feedback ».
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Structure d’un contrôleur Cascade Schéma bloc :
gC1(s)u'yd gC2(s) g2(s)
gd2(s)
d2
g1(s)
gd1(s)
d1
yu
h2(s)
h1(s)
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Fonction de transfert de la boucle intérieure La sortie u en fonction de u’ et d2
est obtenue par la fonction de transfert suivante :
u sg g
g g hu s
g
g g hd sc
c
d
c
( ) ' ( ) ( )
2 2
2 2 2
2
2 2 221 1
g*d2g*
2
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Structure modifiée Nouveau schéma bloc :
gC1(s)u'yd g*2(s)
g*d2(s)
d2
g1(s)
gd1(s)
d1
yu
h1(s)
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Fonction de transfert du système La sortie y en fonction de yd, d1 et
d2 est obtenue par :
y sg g g
g g g hy s
g g
g g g hd s
g
g g g hd s
c
cd
d
c
d
c
( ) ( ) ( )
( )
*
*
*
*
*
*
1 2 1
1 2 1 1
2 1
1 2 1 12
1
1 2 1 11
1 1
1
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Exemple – asservissement en position Fonctions de transfert (moteur):
( ) ( )
( ) ( )
sK
su s
sK
ss
m
1
m
m
sK
s
sK
s
( ) ( )
( ) ( )
1
11
2
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Boucle de vitesse interne avec contrôle PI Contrôleur PI :
FT en boucle fermée K = K1:
u s Ks
e scI
( ) ( )
1
1
( ) ( )s
K s
s K s Ksc I
I m c I cd
1
12
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Paramètres K = K1 = 30 000 RPS/Volts (500
RPM/V) Tau_m = 0.01 sec
( )
.( )s
K s
s K s Ksc I
I c I cd
1
0 0 1 12
![Page 88: La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062511/551d9db5497959293b8da430/html5/thumbnails/88.jpg)
Placement de pôles Pôles désirés tel que le
dénominateur devienne :
Ou encore :
I s s 1 0 0 0 5 1.
0 0 0 5 0 0 0 5 12. . I Is s
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Calculs Donc :
Ce qui donne : Kc = 2 et Tau_I = 0.01
0 0 0 50 0 1
0 0 0 51
..
.
II
c
Ic I
c
K
K
K
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Fonction de transfert interne Voici la fonction résultante :
... qui est du premier ordre.
( ).
( )ss
sd
1
0 0 0 5 1
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Boucle de position externe avec contrôle P Contrôleur P :
FT en boucle fermée K2 = 1
u s K e sc( ) ( )
( ) ( )sK
s s Ksc
cd
2 0 0
2 0 0 2 0 02
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Les pôles du système De la FT, on obtient :
Pour un dzêta de 0.707, il faut que la partie complexe ait la même amplitude que la partie réelle.
s K c 1 0 0 1 0 2 5 0
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Les pôles du système Donc :
Ce qui mène à : K’c = 100
1 0 2 5 0 1 0 0 K jc
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FT du système résultant FT en boucle fermée
( ) ( )ss s
sd
2 0 0 0 0
2 0 0 2 0 0 0 02