KOULE

Mgr. Martina Fainová

Poznámky ve formátu PDF

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem přímky, která obsahuje jeho průměr

KOULE

S – střed koule

r – poloměr koule (SA, SB)

MM – průměr koule

hranice koule – kulová plocha

= množina bodů v prostoru, které mají od daného pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu kladnému číslu r

Značení: K(S;r)

– vznikne rotací půlkružnice– střed koule je také středem kulové plochy– kružnice kulové plochy ležící v rovině procházející středem je hlavní kružnice– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině procházející středem, je vedlejší kružnice

Kulová plocha

= množina bodů v prostoru, které mají od daného pevného bodu S vzdálenost r > 0

Vlastnosti koule

je dokonale symetrická je středově souměrná podle středu S je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem a poloměrem libovolným řezem koule je kružnice

Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která

leží v rovině kruhu a kruh nepro- tíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík

= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční

rovinou obsahující kružnici k (tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku – poloměr hraniční kružnicer – poloměr kulové plochyv – výška vrchlíku

Kulová úseč

= část koule omezená její libov. kružnicí= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční rovina protíná kouli v kruhu o poloměru

kruh = podstava kul. úseče – poloměr podstavyr – poloměr koulev – výška kul. úseče

kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

Kulová výseč

= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele, který má s kul. úsečí společnou podstavu a jeho vrchol je středem příslušné koule

– poloměr hraniční kružnicer – poloměr koulev – výška kul. výseče

hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

Kulová vrstva, kulový pás

Kulový pás= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

r – poloměr kouleO1,O2= středy hranič. kružnic1,2 – poloměry hran. kružnicv – výška kul. vrstvy (pásu)

Kulová vrstva= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule

S

T

Z

EVo

r-v

r2 = (h-r) (r-v)

Příklad:Koule se středem S a poloměrem 15 cm je položená na vodorovné rovině a osvětlena zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

Řešení:

v =

a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v

a) poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku osvětlené části koule,

b) obsah vrženého stínu koule na rovinu .

ZT tečna kul. plochy

h-r

r7,5 (cm)

r2 = (r-v)2+2

=13 (cm)

∆STZ: ∆STO:

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´

? l∆ZOT ∆ZO´T´

vrh

hl

2

l = 26 (cm)S = 2120 (cm2)

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.

Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem 20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.

Cvičení

Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku 5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je kulová úseč. 8,9 cm

310

2,

2

3 aa

Kulová vrstva:

Koule:

Kulová úseč:

3

3

4rV

2236

vv

V

Objem koule a jejích částí

Kulová výseč:

- poloměr podstavy úsečev - výška úseče

222

21 33

6v

vV

1, 2 - poloměry podstav vrstvyv - výška vrstvy

vrV 2

3

2 r - poloměr koulev - výška výseče

r - poloměr koule

Kulový vrchlík nebo kulový pás:

Koule: 24 rS

Povrch koule a jejích částí

rvS 2 r - poloměr kulové plochyv - výška vrchlíku (pásu)

r - poloměr koule

Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r

Objem a povrch anuloidu:

RrV 222r - poloměr kruhu pro rotaciR - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

RrS 24

3

24

5r

Příklad:Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule, která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní 3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

2

rv

2213

6vr

vV

je rovnostranný r1

r

r160sin rr2

31

22

22

33

62 r

r

r

r

v∆SAB?

lrr 3,324

5

3

2 33 Při naklonění vyteče 3,3 l,tj. V polokoule V úseče:

?r1,v

3

24

1r l3,0

3

24

15 rV l5,1

Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001 zemského povrchu?

Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její průměrná hustota 5,52 g/cm3.

Cvičení

Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže se její poloměr zmenší třikrát? 27, 9

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy 6 cm a výšku 2 cm.

asi 5,991024 kg

asi 12,7 km

V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je 26 cm.

Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.

úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové úseče 6 cm.

Cvičení

Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota materiálu 7,8 g/cm3? asi 17,8 cm

S = 377 cm2, V = 904 cm3

691 cm3