KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan...
Transcript of KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan...
![Page 1: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/1.jpg)
KONSEP KALKULUS II
MENGGUNAKAN DERIVE
OLEH:
DR. FAHINU, M.Pd
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS HALUOLEO
KENDARI
2008
![Page 2: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/2.jpg)
2
DAF TAR ISI
HALAMAN JUDUL...................................................................................... i
DAFTAR ISI ................................................................................................ ii
BAB V. INTERGRAL .................................................................................. 1
5.1. Anti Turunan (Integral Tak-tentu) .............................................. 1
5.2. Pendahuluan Persamaan Diferensial ............................................ 9
5.3. Notasi Sigma ................................................................................ 15
5.4. Luas Poligon Dalam Riemann ..................................................... 18
5.5. Integral Tentu ................................................................................ 23
BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL ........................................................... 31
6.1. Luas Daerah Bidang Datar ..................................………………. 31
6.2. Volume Benda Putar .................................................................... 40
6.3. Panjang Kurva Bidang dan Luas Permukaan Benda Putar............ 50
6.4. Momen dan Pusat Massa ............................................................. 59
BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN ............................................................... 64
7.1. Fungsi Logaritma Asli .......................................………….……. 64
7.2. Fungsi Balikan dan urunannya ...................................................... 68
7.2.1. Fungsi Balikan Polinom ...................................................... 68
7.2.2. Fungsi Eksponen Asli dan Balikannya ................................ 74
7.2.3. Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum ............................. 78
7.2.4. Fungsi Balikan Trigonometri ............................................... 81
7.2.5. Fungsi Hiperbola dan Balikannya ....................................... 87
BAB VIII. TEKNIK INTEGRASI ................................................................. 92
8.1. Integral dengan Substitusi .....…………………………………… 92
8.2. Beberapa Integral Trigonometri .................................................... 97
8.3. Substitusi yang Merasionalkan .................................................... 102
8.4. Integral Parsial ............................................................................. 109
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 113
![Page 3: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/3.jpg)
3
BAB V. INTEGRAL
5.1. Anti Turunan (Integral Tak-tentu)
Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah ∫ dx.... , sehingga
berdasarkan definisi dapat ditulis CxFdxxf +=∫ )().(
Contoh 1:
Tentukanlah anti turunan dari f(x) = 34x
Jawab:
F(x) = 4( 4
4
1x ) = x
4 yang memenuhi F’(x) = f(x) = 4x
3 , sehingga
Anti turunan dari f(x) = 34x adalah x4 + C
Dengan Derive:
Cara 1:
Tulislah: int(4x3, x, c) enter, lalu klik tanda sama dengan.
Cara 2:
1. Tulislah: 4x3 enter
2. Klik icon Klik icon , ganti konstan 0 dengan c, dan OK
3. Klik icon
Menggambar f(x) dan anti turunannya:
Klik 4x3, lalu klik tanda gambar
Tulislah: Vector(x4 + c, c, -2, 2) enter, lalu klik tanda gambar
Definisi:
F suatu anti-turunan f pada selang I jika dan hanya jika Dx F(x) = f(x) pada
I, yakni F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung I, F’(x)
hanya perlu turunan sepihak)
=
∫
![Page 4: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Tugas Kelompok:
1. Gunakan definisi untuk menentukan :
a. ∫ dxx2
3
1 pada (-∞,∞)
b. ∫ dxx3 pada (-∞,∞)
c. ∫ dxx 3/4 pada (-∞,∞)
2. Cocokkan jawaban anda pada 1 dengan menggunakan derive.
Aturan Pangkat
Tentukanlah integral tak-tentu berikut dengan menggunakan Derive:
a. ∫0x dx = ............
b. ∫ x dx = ............
c. ∫2x dx = ............
d. ∫3x dx = ............
![Page 5: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/5.jpg)
5
e. ∫−1x dx = ............
f. ∫nx dx = ............
Dapatkah anda menyimpulkan ∫nx dx = ............
Berikan alasan dari kesimpulan anda,
...............................................................................
Tugas kelompok:
1. Untuk membuktikan Teorema A, harus ditunjukkan bahwa
))(()()( CxFDCxFdxxf x +⇒+=∫ = f(x). Buktikan Teorema A!
2. Dif(y, x) adalah untuk mencari diferensial y = f(x) terhadap x.
Konstruksilah langkah-langkah untuk membuktikan teorema aturan pangkat
dengan menggunakan derive.
3. Selesaikan berdasarkan aturan pangkat dan derive
a. ∫ dxx2
3
1
b. ∫ dxx3
c. ∫ dxx 3/4
Teorema A (Aturan Pangkat):
Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka
∫ ++
=+
cxr
dxxrr 1
1
1; r≠1 dan r∈ Bilangan rasional
![Page 6: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/6.jpg)
6
4. Tentukanlah integral tak-tentu ∫ )sin(x dx dan ∫ )cos(x dx dengan
menggunakan Derive, juga gambar grafik masing-masing fungsi dan anti
turunannya.
Buktikan teorema B tersebut dengan Derive!
Buktikan teorema tersebut secara teoritis (manual)!
Contoh 2:
Dengan menggunakan kelinearan integral, hitunglah dxxx )43( 2+∫
Jawab:
dxxx )43( 2+∫ = dxx∫
23 + dxx∫ 4 = x3 + C1 + 2x
2 + C2 = x
3 + 2x
2 + C
Dengan Derive:
Tulis: int(3x^2, x, c) + int(4x, x, d) enter, lalu klik tanda sama dengan.
Klik F4, lalu ganti c+d dengan K enter
Klik icon Calculus, pilih Vektor, ubah variabel x ke k , isi starting value dengan -2
dan ending value dengan 2, OK, lalu klik tanda gambar
Teorema B:
∫ +−= cxdxx )cos()sin( dan ∫ += cxdxx )sin()cos(
Teorema C: Integral tak tentu adalah operator linear
1. ∫ ∫= dxxfkdxxkf )()(
2. ∫ ∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()([
3. ∫ ∫∫ −=− dxxgdxxfdxxgxf )()()()([
![Page 7: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Aturan Pangkat yang Digeneralisir
Contoh 3:
Tentukanlah ∫ ++ dxxxx )63()6( 223
Jawab:
Misalkan u = xx 63+ maka du = dxx 63 2
+
∫ ++ dxxxx )63()6( 223 = ∫ duu 2 = CxxCu ++=+333 )6(
3
1
3
1
Teorema D (Aturan Pangkat):
Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan r suatu bilangan rasional
yang bukan -1, maka
∫ ++
=
+
cr
xgdxxgxg
rr
1
1)]([)(')([
1
![Page 8: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Dengan Derive:
Misalkan u = x3 + 6x
1. Deklasilakan: u : = x3 + 6x enter dan du:=dif(u,x)
2. Klik
3. Tulis u2 , enter
4. Klik icon , ganti variabel x dengan u, OK
5. Klik , lalu Simplify >> Expand
Hasilnya adalah seperti gambar berikut.
Sehingga, cxxxx
dxxxx ++++=++∫357
9223 72366
3)126()6(
Tugas Kelompok:
Tunjukkan bahwa
33 )6(3
1xx + = 357
9
723663
xxxx
+++
∫
=
=
![Page 9: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Soal-Soal Latihan:
Carilah anti-turunan untuk masing-masing fungsi berikut.
1. π+=2)( xxf
2. 4/5)( xxf =
3. 3 2
1)(
xxf =
4. xxxf +=2)(
5. 35 34)( xxxf −=
6. xxxxxf 245327)( 357+−+=
7. 32
23)(
xxxf −=
8. 3
46 34)(
x
xxxf
+=
Tentukanlah hasil integral-integral berikut dengan menggunakan operator linear.
9. ∫ + dxxx )( 2
10. ∫ + dxx 2)1(
11. ∫+
dzz
z22 )1(
12. ∫ − θθθ d)cos(sin
Gunakan aturan pangkat yang digeneralisir untuk menghitung integral berikut.
13. ∫ + dxx 2)12( 3
14. ∫ −++ dxxxx 632 )835)(15(
![Page 10: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/10.jpg)
10
15. ∫ −++ dxxxx 235()15( 32
16. ∫ − dxtt 3 2 1123
17. ∫ − dxx )63sin(6
18. ∫ dxx
)6
(sin 3
19. ∫ + dxxxxx ))2sin()2cos(( 2
Carilah f(x) dengan mengintegralkannya dua kali.
20. 13)(" += xxf
21. xxf =)("
22. 3
4 1)("
x
xxf
+=
23. Andaikan F0(x) = x sin(x) dan Fn+1(x) = ∫ dxxFn )( , Tentukanlah:
a. F1(x), F2(x), F3(x), dan F4(x)
b. Berdasarkan bagian a, perkirakanlah Fn(x) untuk n genap dan n ganjil.
5.2. Pendahuluan Persamaan Diferensial
Contoh 4:
Carilah persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan kemiringannya pada
setiap titik pada kurva itu adalah 4x3 (dy/dx = 4x
3).
Jawab:
dxxdyxdx
dy 33 44 =⇒=
![Page 11: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/11.jpg)
11
∫ ∫= dxxdy 34 , kedua ruas diintegralkan
y + C1 = x4 + C2
y = x4 + C
Karena kurva melalui (-1, 2) maka (-1, 2) disubstitusi pada y = x4 + C, diperoleh
2 = (-1)4 + C atau C = 1
Sehingga,
y = x4 + 1 merupakan persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2)
Dengan Derive:
1. Tulislah y = int(4x3, x, c), lalu enter
2. Klik icon SUB, masukkan nilai x = -1, Klik OK
3. Klik icon SUB, masukkan nilai y = 2, Klik OK
4. Klik , memperoleh c =1
5. Klik y = x4 + c, lalu Klik icon SUB, masukkan nilai c = 1, Klik OK.
Hasilnya adalah seperti gambar berikut.
≈
y=x4+1
![Page 12: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Jadi persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan kemiringannya pada setiap
titik pada kurva itu adalah 4x3 adalah y = x
4 + 1.
Berdasarkan uraian tersebut, maka dy/dx = 4x3 atau dy = 4x
3 dx disebut
persamaan diferensial.
Contoh 5:
Selesaikanlah persamaan diferensial 2
23
y
xx
dx
dy += , kemudian carilah
penyelesaian yang memenuhi y = 6 bilamana x = 0.
Penyelesaian dengan Derive:
1. Tulislah: int(y2, y, c) = int(x + 3x
2, x, d) enter, lalu Klik icon
2. Persamaannya adalah dx
xcy
++=+23
23
3
atau 3 32
32
3Cx
xy ++=
3. Tulislah: 3 32
32
3Cx
xy ++=
4. Klik icon SUB, masukkan x = 0, Klik OK dan ulangi untuk y = 6, Klik OK
5. Klik , memperoleh c = 216
6. Klik 3 32
32
3Cx
xy ++= , Klik icon SUB, masukkan nilai c = 216, Klik OK.
Hasilnya adalah seperti gambar berikut.
Definisi:
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang tidak diketahui berupa
fungsi dan melibatkan turunan (diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui
tersebut.
=
≈
![Page 13: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Jadi penyelesaian umum persamaan diferensial adalah 3 32
32
3Cx
xy ++= .
Penyelesaian khusus yang memenuhi y = 6 bilamana x = 0 adalah
3 32
21632
3++= x
xy .
Contoh 6:
Anggaplah percepatan benda jatuh karena grafitasi adalah 32 kaki per detik
kuadrat dengan hambatan udara diabaikan. Jika suatu benda dilempar ke atas dari
ketinggian 1000 kaki (Gambar 1) dengan kecepatan 50 kaki per detik, carilah
kecepatan dan tingginya 4 detik kemudian.
Gambar 1
1000
![Page 14: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Jawab:
Mula-mula kecepatan v = ds/dt adalah positif (s meningkat) tetapi percepatan
a = dv/dt adalah negatif (tarikan grafitasi cenderung memperkecil v). Sehingga
titik awal persamaan diferensial adalah dv/dt = -32, dengan syarat v = 50 dan
s = 1000 pada saat t = 0.
dv/dt = -32
v = ∫− dt32 = -32t + C
Karena v = 50 pada t = 0, diperoleh C = 50, sehingga v = -32t + 50
Selanjutnya,
ds/dt = -32t + 50
s = ∫ +− dtt 5032 = -16t2 + 50t + K
Karena s = 1000 pada t = 0, diperoleh K = 1000, sehingga s = -16t2 + 50t + 1000
Akhirnya pada saat t = 4, diperoleh:
v = -32(4) + 50 = -72 kaki per detik dan
s = -16(4) + 50(4) + 1000 = 944 kaki.
Soal-oal Latihan:
Dalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang
diberikan, lalu carilah penyelesaian khususnya yang memenuhi syarat yang
ditunjukkan.
1. 11;12==+= xpadayx
dx
dy
![Page 15: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/15.jpg)
15
2. 11; === xpadayy
x
dx
dy
3. 13
1;22
=== tpadazztdt
dz
4. 0100;1416 2==−+= tpadastt
dt
ds
5. 06;)12( 4==+= xpadayx
dx
dy
6. Carilah persamaan-xy dari kurva yang melalui (1,2) dan kemiringannya setiap
titik pada kurva itu adalah tiga kali koordinat-x-nya.
7. Carilah persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan kemiringannya pada
setiap titik pada kurva itu adalah tiga kali kuadrat koordinat-y-nya.
8. Sebuah bola dilemparkan ke atas dari permukaan bumi dengan kecepatan awal
96 kaki per detik. Berapakah tinggi maksimum yang dicapai bola tersebut?
9. Pada permukaan Bulan, percepatan gravitasi adalah -5,28 kaki per detik per
detik. Jika sebuah benda dilemparkan ke atas dari ketinggian awal 1000 kaki
dengan kecepatan 56 kaki per detik, carilah kecepatan dan tingginya 4,5 detik
kemudian.
10. Laju perubahan volume V suatu bola salju yang mencair berbanding lurus
dengan luas permukaan bola S; yakni dV/dt = -kS, dengan k konstanta positif.
Jika pada saat t = 0, jari-jari bola r = 2, dan saat t = 10, jari-jari r = 0,5.
Tunjukkan bahwa 220
3+−= tr .
![Page 16: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/16.jpg)
16
5.3. Notasi Sigma
Perhatikan jumlah: 12 + 2
2 + 3
2 + 4
2 + ... + 100
2 = ∑
=
100
1
2
i
i
Penyelesaian dengan Derive:
1. Tulislah: i2
2. Klik icon Σ, masukkan lower limitnya 1 dan upper limitnya 100, OK
3. Klik icon
Hasilnya adalah seperti berikut.
Jadi 12 + 2
2 + 3
2 + 4
2 + ... + 100
2 = ∑
=
100
1
2
i
i = 338350
=
![Page 17: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Tugas Kelompok
Gunakan derive untuk menemukan rumus jumlah khusus berikut:
a. ∑=
n
i
i1
= ...............................
b. ∑=
n
i
i1
2 = ...............................
c. ∑=
n
i
i1
3 = ...............................
d. ∑=
n
i
i1
4 = ...............................
Contoh 7:
Hitunglah: a. ∑=
10
1i
i b. ∑=
10
1
2
i
i c.
410
2
∑=i
i
Jawab:
a. 552
)110(1010
1
=+
=∑=i
i
b. 3856
)120)(110(1010
1
2=
++=∑
=i
i
c. 332.25130
)1109006000)(11(101
10
1
4410
2
4=−
−++=−=∑∑
== ii
ii
Definisi:
Misalkan a1, a2, a3, ... , an adalah n buah bilangan-bilangan. Jumlahan
a1 + a2 + a3 + ... + an dinotasikan sebagai sigma dengan simbol ∑=
n
i
ia1
![Page 18: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Soal-Soal Latihan
Dalam soal-soal 1-4, tentukanlah hasil jumlah berikut.
1. 1 + 2 + 3 + .... + 41
2. 100
1...
3
1
2
11 ++++
3. ∑= +
7
1 1
1
k k
4. ∑=
−−
8
1
22)1(m
mm
5. ∑=
6
1
)cos(n
nn π
6. ∑= +
−40
1
)1
11(
k kk
7. ∑=
−100
1
23i
i
8. ∑=
−10
1
23
k
kk
9. ∑=
−n
i
i1
2)32(
10. Buktikan dengan induksi matematis rumus jumlah khusus yang telah anda
temukan dalam tugas kelompok.
![Page 19: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/19.jpg)
19
5.4. Luas Poligon Dalam Riemann
Tinjaulah daerah R yang dibatasi oleh parabola y = f(x) = x2, sumbu-x, dan
garis tegak x = 3. Kita menggunakan acuan R sebagai daerah dibawah kurva
y = x2 diantara x = 0 dan x = 3. Sasaran kita menghitung luas daerah A(R) pada
gambar 2.
Gambar 2
Buatlah selang [0,3] menjadi 3 selang bagian, buat poligon-poligon dengan tinggi
f(x) = x2 dan lebar x∆ = 1 (lihat gambar 3),
Luas A(R1) = ∑=
∆2
0
)(i
i xxf = f(x0) x∆ + f(x1) x∆ + f(x2) x∆ = 0.1 + 1.1 + 4.1 = 5.
![Page 20: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Gambar 3
Buatlah selang [0,3] menjadi 6 selang bagian, buat poligon-poligon dengan tinggi
f(x) = x2 dan lebar x∆ = 1/2 (lihat gambar 3),
Luas A(R2) = ∑=
∆5
0
)(i
i xxf
= f(x0) x∆ + f(x1) x∆ + f(x2) x∆ + f(x3) x∆ + f(x4) x∆ + f(x5) x∆
= 0(1/2) + (1/4)(1/2) + 1(1/2) + (9/4)(1/2) + 4(1/2) + (25/4)(1/2)
= 6,875.
![Page 21: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/21.jpg)
21
dan seterusnya sampai n selang bagian diperoleh:
A(Rn) = ∑−
=
∆1
0
)(n
i
i xxf = ∑−
=
1
0
2 )3
()3
(n
i nn
i= ∑
−
=
1
0
2
3
27 n
i
in
= ]6
)12()1([
273
−− nnn
n
= ]32
[6
273
23
n
nnn +−= ]
132[
6
272
nn+−
A(R) = ∞→n
lim ]13
2[6
272
nn+− = 9.
Rumus umum poligon dalam Riemann:
∑−
=∞→
∆=1
0
)()( limn
i
i
n
xxfRA
Dengan Derive:
Left_Riemann(f(x),x,a,b,n) adalah untuk menghitung luas daerah poligon-
poligon dalam Riemann y = f(x), a ≤ x ≤ b, dan n selang bagian.
Tugas Kelompok
Konstruksilah langkah-langkah pengerjaan dengan Derive sehingga anda
menemukan bahwa A(R) = 9.
![Page 22: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Soal-Soal Latihan
Dalam soal-soal 1-3, carilah luas poligon dalam yang ditunjukkan
1.
2.
3.
y=x+1
y=x+1
y=x+1
![Page 23: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Dalam soal-soal 4-5, Hitunglah luas daerah di bawah kurva y = f(x) , a ≤ x ≤ b
pada selang bagian n yang diberikan.
4. f(x) = 3x -1, a = 1, b = 3, n = 4
5. f(x) = x2 – 1, a = 2, b = 3, dan n = 6
6. f(x) = x3 + x + 1, a = -1, b = 1, dan n = 10
Dalam soal-soal 6-10, Hitunglah luas daerah di bawah kurva y = f(x) , a ≤ x ≤ b.
Untuk melakukan ini, bagilah a ≤ x ≤ b atas n selang bagian, hitung jumlah luas
poligon dalam, dan tarik nilai limitn ∞→n .
7. 1,0,2 ==+= baxy
8. 1,1,22 =−=+= baxy
9. 1,0,3=== baxy
10. 1,0,3==+= baxxy
![Page 24: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/24.jpg)
24
5.5. Integral Tentu
Contoh 8:
Hitunglah jumlahan Riemann f(x) = x2 + 1, -1 ≤ x ≤ 2
1. Deklarasikan: f(x):= x2 + 1
2. Tulislah: )/)((. nabkafn
ab−+
−
3. Tarik sigma ke-k, k = 1 sampai k = n,
4. Substitusi a = -1 dan b = 2
5. Tarik limit ke-n untuk n → ∞
6. Klik icon sama dengan.
Definisi
Grafik y = f(x) dalam interval [a,b], intervalnya dibagi atas n selang bagian
dengan panjang setiap poligon n
ab − dan tingginya f( kx ) untuk suatu kx
adalah titik tengah alas poligon maka
n
abkax
n
abkadenganxf
n
abk
n
k
k
−+≤≤
−−+
−∑
=
)1(;)(1
disebut jumlahan
Riemann.
![Page 25: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Jadi hasil jumlahan Riemannnya adalah 6
Contoh 9: Hitunglah dxx∫−
+
3
2
)3(
1. Tulislah: (-2+i(5/n))(5/n) enter
2. Tarik sigma ke-i, i =1 sampai i = n, OK
3. Tarik limit n → ∞, OK
4. klik icon sama dengan.
Definisi
Misalkan |P| (norma P) menyatakan selang bagian yang terpanjang, dan f
terdefinisi pada selang tutup [a, b]. Jika ∑=
→ΙΙ∆
n
i
iiP
xxf1
0)(lim ada, maka f
terintegralkan pada [a, b]. Lebih lanjut dxxf
b
a
∫ )( disebut integral tentu
(Integral Riemann) f dari a ke b, yakni:
dxxf
b
a
∫ )( = ∑=
→ΙΙ∆
n
i
iiP
xxf1
0)(lim
![Page 26: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Jadi dxx∫−
+
3
2
)3( = 35/2
Teorema A: Teorema Dasar kalkulus
Anggaplah f kontinu (dan terintegrasikan) pada selang [a, b] , dan anggaplah
F sebarang anti turunan f pada [a,b], jadi
∫ −=
b
a
aFbFdxxf )()()(
![Page 27: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Contoh 10: Hitunglah dxx∫−
+
3
2
)32(
Jawab:
dxx∫−
+
3
2
)3( = dxx∫−
3
2
2 + dx∫−
3
2
3
= ]]3
2
3
2
2 )3()(−−
+ xx
= )2(33.3())2(3( 22−−+−−
= 5 + 15 = 20
Menyelesaikan contoh 2 dengan Derive:
Int(f(x), x, a, b) adalah untuk menghitung integral tentu y = f(x) dari x = a ke b.
1. Tulislah: Int ( x + 2, x, -2, 3) enter
2. Klik icon sama dengan.
Teorema B: Integral tentu adalah operator linear
1. ∫ ∫=
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
2. ∫∫ ∫ +=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()([
3. ∫∫ ∫ −=−
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()([
![Page 28: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Contoh 11:
Hitunglah - dxx∫ −
2
0
2 )4(
1. Tulislah: -Int(x2 - 4), x, -2, 3) enter
2. Klik icon sama dengan.
![Page 29: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Jadi - dxx∫ −
2
0
2 )4( = 16/3
Jika daerah R sebagian terletak di atas sumbu-x dan sebagian berada di bawah
sumbu-x maka luasannya dapat dihitung dengan memanfaatkan teorema berikut.
Contoh 12:
Hitunglah dxx∫−
−
3
1
2 )82(
Teorema (sifat tambahan pada selang)
Jika f terdiferensialkan pada sebuah selang yang mengandung titik a, b, dan c
maka
dxxf
c
a
∫ )( = dxxf
b
a
∫ )( + dxxf
c
b
∫ )(
![Page 30: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/30.jpg)
30
1. Tulislah: -Int(2x2 - 8), x, -1, 2) + int(2x
2 – 8, x, 2, 3) enter
2. Klik icon sama dengan.
Jadi dxx∫−
−
3
1
2 )82( = 68/3
Soal-Soal Latihan
Dalam soal-soal 1-6, Hitunglah integral tentu dengan menggunakan definisi.
1. dxx∫ +
2
0
)1( 4. dxx∫ +
2
0
2 )1(
2. dxx∫−
+
1
2
)2( π 5. dxx∫−
+
1
2
2 )23(
![Page 31: KONSEP KALKULUS II - · PDF fileDalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu ... 5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 1 2 + 2 2 + 3 2 +](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012320/5a9ce6e07f8b9aba4a8e7a3e/html5/thumbnails/31.jpg)
31
3. dxx∫ +
5
0
)1( 6. dxxx∫−
+
10
10
2 )(
Dalam soal-soal 7- 10, Hitunglah dxxf
b
a
∫ )( dengan a dan b batas kiri dan kanan
dimana f terdefinisi, dengan menggunakan sifat tambahan pada selang dan rumus
luas yang cocok dari geometri bidang.
7.
≤<
≤<
≤≤
=
52
212
102
)(
xjikax
xjika
xjikax
xf x
8.
≤≤+−
≤≤=
212)1(2
102)(
xjikax
xjikaxxf
9.
≤<−
≤≤−=
211
101)(
2
xjikax
xjikaxxf
10.
≤<−−
≤≤−−−=
2122
024)(
2
xjikax
xjikaxxf
Dalam soal-soal 11-16, Hitunglah integral berikut.
11. dxx∫ +
2
0
3 )1( 14. dxx∫6
0
)sin(
12. dxx∫1
0
)tan( 15. dxxx∫−
+−
2
1
24 )13(
13. dxx∫−
+−
4
2
||1 16. dxx∫
1
0
1