Kompendium der diskreten Mathematik Bernd Baumgarten ISBN: 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg...
-
Upload
seppel-morasch -
Category
Documents
-
view
220 -
download
0
Transcript of Kompendium der diskreten Mathematik Bernd Baumgarten ISBN: 978-3-486-75697-5 © 2014 Oldenbourg...
Kompendium der diskreten MathematikBernd BaumgartenISBN: 978-3-486-75697-5
© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
Abbildungsübersicht / List of FiguresTabellenübersicht / List of Tables
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
2
Abb. 2.1: Ein Mengendiagramm
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
3
Abb. 2.2: A B⊆
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
4
Abb. 2.3: Durchschnitt und Vereinigung
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
5
Abb. 2.4: Mengendifferenz
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
6
Abb. 2.5: Relatives Komplement
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
7
Abb. 3.1: Zwei Relationen mit unterschiedlichen Eigenschaften
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
8
Abb. 3.2: Vier Relationen mit je einer ausgewählten Eigenschaft
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
9
Tab. 3.1: Tabellarische Darstellung der beiden Relationen aus Abb. 3.1
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
10
Abb. 3.3: Zwei Relationen auf den reellen Zahlen27: R1 (x, y) :⇔ y = x / 2 (links) und R2 (x, y) :⇔ x2 + y2 ≤ 1 (rechts)
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
11
Abb. 3.4: Eine Abbildung f : A ⟶ B
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
12
Abb. 3.5: Eine Relation R und exemplarische Teilmengen von A bzw. B
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
13
Abb. 3.6: Eine Äquivalenzrelation
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
14
Abb. 3.7: Eine Kongruenz R bezuglich ƒ und die Klassenabbildung ƒ / R von ƒ bezuglich der Kongruenz
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
15
Abb. 3.8: Eine Halbordnung als Pfeil- und als Hasse-Diagramm
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
16
Abb. 3.9: Eine Halbordnung zur Illustration besonderer Elemente
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
17
Abb. 3.10 : Verbände mit 1, 2, 3 und 4 Elementen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
18
Abb. 3.11: Eine Relation (links) und ihr Inverses (rechts)
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
19
Abb. 3.12: Die Verkettung QR (gestrichelt) zweier Relationen (jeweils durchgezogen)
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
20
Abb. 3.13: Ein Zyklus als Produkt von Transpositionen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
21
Abb. 3.14: Der Aufbau eines binären Klammerausdrucks
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
22
Abb. 3.15: Drei Darstellungsweisen der Induktionshistorie eines Terms
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
23
Abb. 3.16: Ein Baum als Klammerausdruck, als Aufbaubaum des Ausdrucks und als Graph
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
24
Tab. 3.2: Wortlänge und -verkettung als Beispiele rekursiv definierter Funktionen.
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
25
Abb. 3.17: Die Vertauschbarkeit von Abbildung und Erweiterungsschritten – das Prinzip der rekursiven Funktionsdefinition auf einer induktiv definierten Menge
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
26
Abb. 3.18: „Annäherungsweisen“ an eine induktiv definierte Menge
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
27
Abb. 4.1: Eine Formel (Mitte) und ihre Induktionshistorie als Funktionsterm (links) bzw. Syntaxbaum (rechts)
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
28
Tab. 4.1: Die Junktorensemantik
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
29
Abb. 4.2: Rekursive Berechnung eines Wahrheitswerts – bildlich
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
30
Tab. 4.2: Rekursive Berechnung des Wahrheitswerteverlaufs – mittels einer Wahrheitstafel
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
31
Tab. 4.3: Die In-situ-Form der gleichen Wahrheitstafel
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
32
Tab. 4.4: Semantische Eigenschaften und Wahrheitswerteverlauf
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
33
Abb. 4.3: Das Sudoku-Feld, eine Sudoku-Aufgabe und ihre Lösung
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
34
Tab. 4.5: Unterschiede zwischen Substitution und Ersetzung in der Aussagenlogik
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
35
Tab. 4.6: Die 16 möglichen zweistelligen Junktoren
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
36
Tab. 4.7: Die vier möglichen einstelligen Junktoren
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
37
Tab. 4.8: Zwei gewunschte Wahrheitswerte fur gegebene Argumente
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
38
Tab. 4.9 (links): Wahrheitswerteverlauf fur eine Formel
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
39
Abb. 4.4 (rechts): Entscheidungsbaum fur diese Formel
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
40
Abb. 4.5: Das Schema einer Problemreduktion
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
41
Tab. 4.10: KNF-Herleitung aus der Wahrheitstafel, Beispiel
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
42
Tab. 4.11: DNF-Herleitung aus der Wahrheitstafel, Beispiel
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
43
Abb. 4.6: Zwei gultige Resolutionsschritte … und ein häufig auftretendes Missverständnis.
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
44
Abb. 4.7: Resolution zum Nachweis der Unerfullbarkeit von (¬A ∨ B) (¬∧ B ∨ C) ∧ A ¬∧ C ; gleichzeitig Nachweis der Allgemeingultigkeit von (¬A ∧ B) (¬∨ B ∧ C) ∨ A ¬∨ C per Dualresolution (siehe Folgetext)
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
45
Tab. 4.12: Tableauregeln
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
46
Abb. 4.8: Erfullbarkeitsnachweis (links) und DNF-Umformung (rechts) mit Tableaubäumen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
47
Abb. 4.9: Widerlegbarkeitsnachweis und KNF-Umformung mit Dualtableauverfahren
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
48
Tab. 4.13: Schlussregeln des aussagenlogischen Werkzeugkastens
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
49
Abb. 4.10: Werkzeugkasten – Beweisschemata fur Blöcke
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
50
Abb. 4.11: Werkzeugkasten – zwei Anwendungsbeispiele
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
51
Abb. 4.12: Äquivalente OBDD, BDD und ROBDD
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
52
Abb. 4.13: Reduktionsschritte beim OBDD – links: Überspringen, rechts: Verschmelzen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
53
Abb. 4.14: Formelaufbau und syntaktische Begriffe an einem Beispiel
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
54
Abb. 4.15: Quantorenauswertung bei endlichem Universum U = {a,b} als Konjunktion bzw. Disjunktion
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
55
Abb. 4.16: Das neue Beweisschema des PL1-Werkzeugkastens: der All-Beweis
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
56
Tab. 4.14: Neue Schlussregeln des PL1-Werkzeugkastens
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
57
Abb. 4.17: Ein Beweis, dass ∀xP(f (a, x)) → ∃xP(f (x, a)) eine Tautologie ist
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
58
Abb. 4.18: Beweis, dass ∀x(P(x) → ∃y(Q(y) ∧ R(f (x), y))) aus ∀x(P(x) →Q(x)) und ∀xR(f (x), x) folgt
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
59
Tab. 4.15: Tableauregeln fur Quantoren
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
60
Abb. 4.19: Ein Unerfullbarkeitsnachweis mit PL1-Tableaubaum (mit Regelnummern und Knotennummern als Begrundungen)
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
61
Tab. 4.16: Neue Schlussregeln des PL1= -Werkzeugkastens
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
62
Abb. 4.20: Ein PL1=-Werkzeugkasten-Beweis einer Folgerung aus einer Menge von PL1-Formeln
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
63
Abb. 5.1: Addition −2 + 1 = −1 uber Repräsentanten der Äquivalenzklassen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
64
Abb. 5.2: Rationale Zahlen als Äquivalenzklassen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
65
Abb. 5.3: Ein irrationaler Schnitt
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
66
Tab. 5.1: Die Multiplikation von Schnitten
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
67
Abb. 5.4: (2 + i) + (−1 + i) = 1 + 2 ・ i
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
68
Abb. 5.5: Die Polardarstellung einer komplexen Zahl
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
69
Abb. 5.6: z1 ・ z1 (1 + i) ・ (–1 – i) –2i
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
70
Abb. 5.7: Zählen mittels einer bijektiven Abbildung
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
71
Abb. 5.8: Durchzählen mittels einer bijektiven Abbildung
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
72
Abb. 5.9: Mächtigkeitsvergleich M ⪯ N mittels Abbildungen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
73
Abb. 5.10: Vereinigung und Verkettung von Auswahlmöglichkeiten
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
74
Abb. 5.11: Ein Baum von abhängigen Verkettungen von Auswahlen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
75
Abb. 5.12: Das Pascal’sche Dreieck – links als Formeln, rechts als Werte
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
76
Tab. 5.2: Geordnete und ungeordnete Stichproben der Größe k aus einer Menge der Größe n – Übersicht
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
77
Abb. 5.13: Strukturbaum eines Experiments
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
78
Abb. 5.14: Aspekte der Unendlichkeit: eine Bijektion auf eine echte Teilmenge (links), eine unbegrenzt absteigende Kette echter Teilmengen (rechts)
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
79
Abb. 5.15: Beispiel fur Konstruktion der Bijektion auf die Zwischenmenge im Beweis von Satz 5.12
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
80
Abb. 5.16: Die Ausgangssituation des Cantor’schen Diagonalverfahrens
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
81
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
82
Abb. 5.18: Ein Durchzählen der positiven Bruche
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
83
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
84
Abb. 5.20: Ein Teilerbaum einer naturlichen Zahl
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
85
Abb. 6.1: Mengentheoretische und bildliche Darstellung einer Relation auf einer Menge
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
86
Abb. 6.2: Die Königsberger Brucken 1836 – kartographisch und als Graph
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
87
Abb. 6.3: Vom Labyrinth zum zugehörigen Graphen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
88
Abb. 6.4: Benachbarte gefärbte Gebiete – geometrisch und als Graph
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
89
Abb. 6.5: Ein kleines Handlungsreisendenproblem
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
90
Abb. 6.6: Die Suche nach einem längsten Kantenzug
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
91
Abb. 6.7: Gleichwertige Darstellungen eines ungerichteten Graphen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
92
Abb. 6.8: Das Königsberger-Brucken-Problem mit und ohne Mehrfachkanten
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
93
Abb. 6.9: Mehrdeutigkeiten, die durch Zeichenkonvention vermieden (oben) bzw. durch Interpretationskonventionentschieden (unten) werden
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
94
Abb. 6.10: Zwei planare (oben) und zwei nicht planare Graphen (unten)
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
95
Abb. 6.11: Knoteneinfugung (links) und Kantenkontraktion (rechts)
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
96
Abb. 6.12: Ein Beispiel zur Demonstration gleichwertiger Darstellungen eines Graphen, von links: Zeichnung, Nachbarschaftsmatrix, Inzidenzmatrix und Nachbarschaftsliste
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
97
Abb. 6.13: Bilder desselben Graphen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
98
Abb. 6.14: Isomorphie zweier Graphen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
99
Abb. 6.15: Zwei Graphen, beide mit Zyklus u v x u v x wu , Pfad u v x w und Kreis u v x wu
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
100
Abb. 6.16: Wege uber Knoten ≤ k + 1
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
101
Tab. 6.1: Einige Begriffe rund um die Weglängen114
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
102
Abb. 6.17: Ein Beispiel fur Weglängen-basierte Begriffe.
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
103
Abb. 6.18: Ein zusammenhängender (links) und ein unzusammenhängender ungerichteter Graph (rechts)
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
104
Abb. 6.19: Ein stark zusammenhängender (links) und ein schwach, aber nicht stark zusammenhängender gerichteter Graph (rechts)
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
105
Abb. 6.20: Zwei Beispiele fur Eulerwege
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
106
Abb. 6.21: Ein Dodekaeder – räumlich und eben
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
107
Abb. 6.22: Ein Baum (links) und seine gängige Darstellung (rechts)
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
108
Abb. 6.23: Ein zusammenhängender kreisfreier ungerichteter Graph – kurz: ein wurzelloser Baum
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
109
Abb. 6.24: Zwei Bäume – identisch, wenn ungeordnet, und unterschiedlich, wenn geordnet interpretiert
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
110
Abb. 6.25: Mögliche Auswahlen einer Wurzel in einem kreisfreien ungerichteten Graphen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
111
Abb. 6.26: Der geordnete Baum (v1,((v2,()),(v3,( (v4,()),(v5,( )))))) und sein Adressenbaum
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
112
Abb. 6.27: Ein Graph und einer seiner Spannbäume
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
113
Abb. 6.28: Ein zu durchlaufender Baum (links), durchlaufen mit Tiefensuche (Mitte) und mit Breitensuche (rechts)
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
114
Abb. 6.29: Unendlichkeit in Bäumen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
115
Abb. 6.30: Ein knoten- und kantenbeschrifteter gerichteter Graph
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
116
Abb. 6.31: Ein Verkaufsautomat als endlicher Automat
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
117
Abb. 6.32: Ein Syntaxbaum aus der Aussagenlogik
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
118
Abb. 6.33: Ein ungerichteter Graph und ein Spannwald fur ihn
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
119
Abb. 6.34: Mögliche (1 und 3b2) und unmögliche Lagen eines Durchmesserpfads im Baum
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
120
Abb. 7.1: Verschiebung ror eines nach rechts und oben unendlichen Gitters
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
121
Tab. 7.1: Multiplikationstafeln zweier Gruppen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
122
Abb. 7.2: Ein Graph mit zwei und ein Graph mit sechs Symmetrien
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
123
Abb. 7.3: Hasse-Diagramm eines Begriffsverbandes
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
124
Abb. 7.4: Charakteristische Unterverbände bei Nicht-Distributivität
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
125
Abb. 7.5: (vi)1≤i≤3 , eine Familie von Vektoren: Punkt- und Pfeildarstellung, lineare Abhängigkeit
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
126
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
127
Abb. 7.7: Matrix-mal-Vektor
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
128
Abb. 7.8: Matrixmultiplikation
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
129
Tab. 7.2: Lineares Gleichungssystem in normierter Stufenform, knapp und ausgeschrieben
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
130
Abb. 7.9: Ein Beispiel fur die Erzeugung der normierten Stufenform
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
131
Abb. 7.10: Ein Beispiel fur die Invertierung einer Matrix
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
132
Abb. 7.11: Ein Tensorprodukt von Basisvektoren
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
133
Abb. 7.12: Restmatrix beim Entwicklungssatz, Determinantenberechnung 2×2 und 3×3.
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
134
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
135
Tab. 7.3: Zwei Spezifikationen mit Sorten, Operatoren und Axiomen in Form von Gleichungen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
136
Abb. 7.14: Zwei triviale 3-Zöpfe und ein nicht-trivialer 3-Zopf
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
137
Abb. 8.1: Ein Glucksrad mit W-Raum ({a1, a2, ..., a7,}, P), in dem P({a1, a2}) = 1/ 2 gilt
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
138
Abb. 8.2: Zur Siebformel mit drei Mengen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
139
Abb. 8.3: Ein mehrstufiges Zufallsexperiment
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
140
Abb. 8.4: Einstufige Interpretation eines mehrstufigen Zufallsexperiments
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
141
Abb. 8.5: Ziehen ohne Zurucklegen als mehrstufiges Zufallsexperiment
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
142
Tab. 8.1: Gewinne G fur Ann, H fur Ben
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
143
Abb. 8.6: Drei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert und unterschiedlicher Varianz
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
144
Abb. 8.7: Die Wahrscheinlichkeiten P(X = x) (oben) und die kumulative Verteilungsfunktion FX (unten) der Augensumme zweier Wurfel.
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
145
Abb. 8.8: Ein Beispiel fur die Verdopplungsstrategie
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
146
Abb. 8.9: Berechnung der Wahrscheinlichkeiten beim Aufteilungsproblem
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
147
Abb. 8.10: Eigenschaft und Testergebnis als mehrstufiges Zufallsexperiment
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
148
Tab. 8.2: Übergangswahrscheinlichkeiten beim ersten endlosen Urnenspiel
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
149
Abb. 8.11: Graphische Darstellung von Tab. 8.2
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
150
Tab. 8.3: Einige Übergangswahrscheinlichkeiten beim zweiten endlosen Urnenspiel
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
151
Abb. 8.12: Graphische Darstellung von Tab. 8.3
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
152
Abb. 8.13: Fallen in gerichteten Graphen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
153
Abb. 8.14: Gewinnstand bei wiederholten Munzwurfen
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
154
Abb. 8.15: Ein einfacher Irrweg als unendliche Kette
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
155
Abb. 8.16: Ein „biased random walk“
Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN 978-3-486-75697-5© 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Munchen
156
Abb. 8.17: Eine Brown’sche Bewegung