MARMARA NVERSTES FEN EDEBYAT FAKLTES FZK BLM KATIHAL FZ I TAMAMLAMA SINAVI 23/01/2008 Soru-1 Fononlarn s kapasitesi problemindea) Debye modelinib) Einstein modelini aklaynz c) Is kapasitesi ifadelerini treterek elde ettiiniz sonucu tm scaklk aralklarnda yorumlaynz?d) Dulong-Petityasasn hangi scaklk blgesindegeerli olduunu ve eldeettiiniz ifadelerden Dulong-Petityasasn tretiniz? Soru-2a)TermaliletkenliitanmlaynzveKtermaliletkenlikkatsaysnn Cvl31K=ifadesiyle verileceinigsteriniz.Termaliletkenlikkatsaysnnscaklabamllntmscaklkaralklarnda yorumlaynz.b)Tekatomlulineerbirrgdikkatealarak,Fonondispersiyonbantsnn( ) ( ) Ka/2 sin 4C/M 1/2= formunda verildiini gsteriniz? Fononlarn hz ifadesini bulunuz? Birinci Brillion Blgesi snrlar iinde v=v(k)grafiiniiziniz. Sonucuyorumlaynz? Buradaa rg sabiti, K fonon dalga vektr, C iki atom arasndaki etkileme sabiti, M atomun ktlesini gstermektedir. Soru-3a)SerbestElektronskapasitesininFT/T Nk 21CB2el=ileverildiinigsteriniz.BuradaTFFermi scaklngstermektedir. } =+ 31) (ee xdx22 xx 2b)Fermi-DiracParacklariinFermifonksiyonunu yaznz ve Fermi Fonksiyonun T=0K ve orta ve ok yksek scaklklar iin davrann genel olarak izerek tartnz? Soru-4a)BlochTeoreminiizahediniz?BlochDalgafonksiyonunuyaznzve her parametrenin ne anlama geldiini yaznz? b) Maddeyi elektriksel iletkenliine gre band diyagramlarn izerek aklaynz? Soru-5 a)Kristalyaptrleriniekilvegrafiklerleaklaynz?b)Aadaverilenmillerindislerinekar gelendzlemleriizerekgsteriniz?(100),(010),(001),(111),(110),(200)c)Basitkbikrgnnilkel teleme vektr a=ai+aj+ak olduunagre, ters rg vektrn bulunuz? d) Braggyasasnn ispatlaynz ve fiziksel yorumunu yapnz? Dr. MUSTAFA ZDEMR Baarlar MARMARA NVERSTES FEN EDEBYAT FAKLTES FZK BLM KATIHAL FZ I FNAL SINAVI 19/01/2010 Soru-1Fononlarnskapasitesiprobleminde,a)Debyemodelinib)Einsteinmodeliniaklaynzc)Is kapasitesiifadelerinitreterekeldeettiinizsonucutmscaklkaralklarndayorumlaynz?d)Dulong-Petityasasn hangi scaklk blgesindegeerli olduunu ve eldeettiiniz ifadelerden Dulong-Petityasasn tretiniz? Soru-2 Tekatomlulineerbirrgdikkatealarak,Fonondispersiyonbantsnn ( ) ( ) Ka/2 sin 4C/M 1/2= formunda verildiini gsteriniz? Fononlarn hz ifadesini bulunuz? Birinci Brilliouin Blgesi snrlar iinde v=v(k)grafiiniiziniz.Sonucuyorumlaynz?Buradaargsabiti,Kfonondalgavektr,Cikiatom arasndaki etkileme sabiti, M atomun ktlesini gstermektedir.Soru-3a) Bloch Teoremini izah ediniz? Bloch Dalga fonksiyonunu yaznz ve her parametrenin ne anlama geldiini yaznz?b) Maddeyi elektriksel iletkenliine gre band diyagramlarn izerek aklaynz?c) Elektronlarla Fononlar arasndaki Umklapp salmalarn aklaynz?d)Fermi-DiracParacklariinFermifonksiyonunuyaznzveFermiFonksiyonunT=0Kveortaveok yksek scaklklar iin davrann genel olarak izerek tartnz? Soru-4 a)Metallerdekielektrikselzdirencinscaklaballntartnz?b)Serbestelektronlarnelektriksel iletkenliinin m ne2= ifadesi ile verildiini gsteriniz? c) Wiedemann-Franz yasasn izah ediniz ve Lorenz katsaysnn 223|.|

\|=ekLBtifadesiileverileceinigsteriniz?Buifadeninhangidurumlardageerli olduunutartnz?d)Hallolaynedir?Hallkatsaysnnserbestelektronlariin necRH1 =ifadesiile verileceini gsteriniz? Soru-5a)TermaliletkenliitanmlaynzveKtermaliletkenlikkatsaysnn Cvl31K=ifadesiyle verileceinigsteriniz.Termaliletkenlikkatsaysnnscaklabamllnyorumlaynz.Aadaki ekilde Bakr iin aada verilentermal iletkenlik-scaklk davrann, tm scaklk aralklarnda tartnz? Baarlar Do.Dr. Mustafa zdemir MARMARA NVERSTES FEN EDEBYAT FAKLTES FZK BLM KATIHAL FZ I FNAL SINAVI 24/01/2011 Soru-1FononlarnskapasitesiproblemindeDebyemodeliiinskapasitesiifadesinitretiniz.Elde ettiiniz sonucu yorumlaynz? Soru-2a)SerbestElektronskapasitesininFT/T Nk 21CB2el=ileverildiinigsteriniz.BuradaTF Fermiscaklngstermektedir. } =+ 31) (ee xdx22 xx 2b)Fermi-DiracParacklariinFermi fonksiyonunuyaznz ve FermiFonksiyonun T=0K ve orta ve okyksek scaklklar iin davrann genel olarak izerek tartnz? Soru-3a) Bloch Teoremini izah ediniz? Bloch Dalga fonksiyonunu yaznz ve her parametrenin ne anlama geldiini yaznz?b) Maddeyi elektriksel iletkenliine gre band diyagramlarn izerek aklaynz?c) Elektronlarla Fononlar arasndaki Umklapp salmalarn aklaynz?Soru-4 a)Metallerdekielektrikselzdirencinscaklaballntartnz?Serbestelektronlarnelektriksel iletkenliinin m ne2= ifadesi ile verildiini gsteriniz? Burada t elektron-elektron arpma sresi veya elektron-elektrondurulmasresidir.b)Birkatdakiserbestelektronlarnac(alternatifakm)iletkenliinin 22) ( 11.) i - m(1 ne) (etetoete++= =io ifadesi ile verildiini gsteriniz? Burada m ne2o = dc (doru akm) iletkenliini gstermektedir.Soru-5 a)Issal iletkenlii tanmlaynz ve Kssal iletkenlik katsaysnn Cvl31K= ifadesiyle verileceini gsteriniz.Issaliletkenlikkatsaysnnscaklabamllnyorumlaynz.AadakiekildeBakriinverilenssal iletkenlik-scaklk davrann, tm scaklk aralklarnda tartnz? Baarlar Do.Dr. Mustafa ZDEMR Do.Dr. Mustafa zdemir BLM 2

TERS RG KAVRAMI

Ters rg kavram periyodik yaplarn analitik olarak incelenmesinde nemli bir rol oynar. Ters rg denilme nedeni bu rgye ait temel rg vektrlerinin biriminin gerek uzaydaki vektrlerinbiriminin tersi olmasdr (1/uzunluk). Genel olarak bir dzlem dalga r k ie ,, =0 eklinde aklanr. Burada 0 sabit say olup dalgann genliini ifade eder. k, ise dalga vektr t 2= k, ,r, dalgann temsil ettii yerin yer vektrdr.

Gerekuzaydabirbravaisrgsdnelim,burgiinebirdzlemdalgayollanrsagenelolarak dzlemdalgannperiyoduilergnnperiyoduayndeildir.zel K k, ,=deerleriiindalgannperiyodu ilergnnperiyoduaynolur.tebravaisrgsnnperiyodunauygundzlemdalgaoluturanK, vektrlerinin oluturduu rgye ters rg denir.

t 2n R K1 R K Cosi.0 1 R K iSin R K Cosdr. salanmal koulu 1 eR K i= =+ = +=, , , ,, , , ,, ,

Ters rg de Bravais rg mdr? Bravaisrgsndetemeltelemevektrleri3 2 1, , a a a, , , eklindetarifediliyorduve3 3 2 2 1 1a n a n a n R, , ,,+ + = vektriledierrgnoktalarnnyerleritespitediliyordu.Yani 1a, ve 2a, nintariflediinoktalarbravaisrgdeisedoalolarak 1a,+2a,ninbelirlediinoktada bu rg iinde yer alr. Bu zellik teleme simetrisinden kaynaklanmaldr.

Ters rgde eer1k,bir noktay2k, de baka bir rg noktasn belirliyorsa1k,+ 2k,de doal olarak baka birrgnoktasnbelirtir.K,vektrlerieertersrgyoluturuyorsa 1 eR K i=, ,bantsnsalyorlardr. Eer2 1K K, ,+ de bu rgde bir noktay belirliyorsa;

2 1K K, ,+bubantysaladnagretersrgdebirrgnoktasnbelirler.2 1K K, ,farkdabirrg noktasn temsil eder. Kristal Yap 1- Kristal rg (uzunluk) 2- Ters rg(1/uzunluk)

1-Kristal rg: Mikroskop altnda bakldnda gzken rgye denir(Gerek uzayda). 2-Ters rg: K, uzaynda (fourier uzaynda) krnm deseninden elde edilir.

RNEK: Basit (sc) yap iin ters rg vektrlerini bulunuz.

( )( )( )( )( )( )za az aba a aa abya ay aba a aa abxa ax aba a aa ab2 2 22 2 22 2 23233 2 12 133223 2 11 323213 2 13 21tt ttt ttt t= = == = == = =,, , ,, ,,,, , ,, ,,,, , ,, ,,

RNEK: fcc yap iin ters rg vektrlerini bulunuz. ( )( ) z y xaayaxazaazaxazayaa a aa ab 244442422222 232 2 233 2 13 21 + =||.|

\|+ + =|.|

\|+ |.|

\|+==ttt t, , ,, ,,

( )( ) z y xaaxayazaayaxazaxaa a aa ab 244442422222 232 2 233 2 11 32+ + =||.|

\| +=|.|

\|+ |.|

\|+==ttt t, , ,, ,, ( )( ) z y xaaxayazaazayayaxaa a aa ab 244442422222 232 2 233 2 12 13+ =||.|

\|+ =|.|

\|+ |.|

\|+==ttt t, , ,, ,,

SONU: fcc yapnn ters rgs bcc yapdr.

DEV: Taban merkezli, cisim merkezli ve besit altgen yapnn ters rgsn bulunuz.

Ters rg Temel Hcresinin Hacmi ( )( ) rgde Ters b b b Vrgde Gerek a a a V = =3 2 1*3 2 1, , ,, , ,

( )( )( ) ( ) { }( )( )( ) | |( ) ( )( )( ) ( )Vb b bb aVa a b a a b bVa a b bVd b bVb b dVd a a b ba a aa ab b b33 2 122 2302 3 223 3 23 2 3 23 23 23 2 3 23 2 13 23 2 122222222tttttttttt= =(((

= = = == = , , , _ ,,, _ ,,, _ ,, ,, ,, ,, , ,, , ,,, ,, ,, , ,, ,, , , ( )VV3*2t= Kristal Dorultular ve Kristal Dzlemlerinin ndislenmesi

Atomlar dzgn olarak dizilmilerdir. Her rg noktasnda bir atom varsa dorultu meydana getirir. Fiziksel zellik dorultuya baldr Bu fiziksel zellikler ssal, mekanik, optik gibi zelliklerdir.). Bu yzden kristal dorultu ve dzlemlerini saysal olarak ifade etmek gerekir. zotropik Yap: Homojen bir yap olup fiziksel zellikler her dorultuda ayndr.

Anizotropik Yap: Dorultuya gre bir fiziksel zellik farkllk gsteriyorsa o yap anizotropik bir yapdr. Kristal yaplar dorultuya gre farkl zellik gsterdii iin anizotropik yapdadr. Kristal Dorultular

Kristal Dzlemleri ve Miller ndisleri Kristal yaplar her dorultuda ve dzlemde farkl fiziksel zellikler gsterirler. Bunu ayrdedebilmek iin miller indisleri kullanlr. Kristal dzlemleri ad geen dzlemin kristal eksenlerini kestii noktalarn koordinat balangc olan uzaklklar cinsinden ifade edilebilir. Fakat bu durumda kristal eksenlerine paralel olan nemli dzlemler kristal eksenini sonsuzda keserler. Sonsuzda ilemlerin yaplmamas bu gsterimi biraz deitirme ihtiyac dourmutur. Bunun iin dzlemin kristal eksenini kestii noktalar yerine bu noktalarn terslerinden tretilen byklkler kullanlarak miller indislemesi tanmlanr. Miller indisleri h,k,l ile gsterilir. Buna gre ters rg uzayndaki birK,vektrn; 3 2 1b l b k b h K, , , ,+ + = olarak yazabiliriz. Miller indislemesi yapabilmek iin aadaki yntem takip edilir.

1- Miller indislerini bulmak iin bir atomu temel rg vektrlerinin balangc olarak alnz. 2- Dzlemin eksenleri kesim noktasn 3 2 1, , a a a, , , tam katlar olarak ifade ediniz 3-Busaylarnterslerinialnzvepaydadankurtararakh,k,llerieldeediniz.(-)deeralyoriserakamn zerine izgi ( ) koyunuz. ( ) ...... , , l k h l k h

RNEK: (2 2 3) kristal eksen kesim noktalar ) 332 ( ) (626363212121 hkl

RNEK:

3 2 1a a a, , ,= = gen iin | | | | ( ) 111 ) ( 11 11 11 ) ( 111 3 2 1 |.| \| hkl hkl n n n

| | | | ( ) ( ) 001 11 1 1 1 3 2 1 |.| \| hkl n n n iin dzlem st

| | | | ( ) ( ) 101 11 1 11 1 1 3 2 1 |.| \| hkl n n n iin yan sol

| | | | ( ) ( ) 100 1 1 11 1 3 2 1 |.| \| hkl n n n iin yz n | | | | ( ) ( ) 011 11 11 1 11 3 2 1 |.| \| hkl n n n iin yz arka

| | | | ( ) ( ) 010 1 11 1 1 3 2 1 |.| \| hkl n n n iin yz yan sa | | | | ( ) ( ) 110 1 11 11 11 3 2 1 |.| \| hkl n n n iin dzlem st

Kristallerdedorultulargstermekiin | |3 2 1n n nsembolkullanlr.Dzlemlerigstermekiinise(hkl) eklinde sembollerle gsterilir. (hkl) lerin zerinde eksi varsa eksilii gsteriyordur.

-Ters rg le Gerek rg Arasndaki liki-

Ters rg ile gerek rg arasnda sk bir iliki vardr. 1- Ters rgnn her vektr gerek rgnn bir rg dzlemi grubuna diktir. 2- Dzlemler aras uzaklk d ise 22112,2 22dKdKdK ndKt t t t= = = =, , , , Eerbirdzleminmillerindisinibiliyorsakbirbirineparalelolaneksenlerinbirbirlerinihangiaralklarla keseceini biliriz.

RNEK: Dzlemsel bir kristal ele alalm.

| | | | ( ) ( ) 2301 2 1 3 1 32 3 2 1 |.| \| hkln n n

(230) dzlemine paralel dier dzlemleri izmek iin u ilemler yaplr. 1a,deherrgnoktas2eitparaya2a,deiseherrgnoktas3eit paraya blnr. Bylece her bir noktadan geen dzlemler izilir.

kddKtt22==,

-Dzlemler Aras Dik Uzakln Bulunmas- ndK 2t=,d: dzlemler aras dik uzaklk

Ortanormal olmayan kristal iin d=? ( )3 2 1a a a, , , birbirine dik deil ise ortanormal olmayan kristal olur. ndK 2t=, 3 2 1b l b k b h K, , , ,+ + = ( )( )3 2 1 3 2 122b l b k b h b l b k b hd, , , , , ,+ + + + =|.|

\|t

()()()()()() | | _ , , , , , , , , , , , ,3 1 3 2 2 1 3 322 221 1222 2 22b b hl b b kl b b hk b b l b b k b b hdhkl+ + + + + =||.|

\|t ORTANORMAL DELSE (hkl) dzlemine karlk gelen dzlemler aras uzakl verir.

* Eer kristalimiz ortanormal ise;

( ) ( ) ( )232 222 21223 322 221 12222b l b k b hdb b l b b k b b hdhklhkl+ + =||.|

\|+ + =||.|

\|tt, , , , , , 0 , 0 , 03 1 3 2 2 1 3 2 1= = = b b b b b b b b b, , , , , , , , , ( ) u | + + + ++ +=oCosl k h l k hl l k k h hCos 902222222121212 1 2 1 2 1 a arasndaki dzlemler :

DEV: a)Sc yap iin ? , ? , ?111 110 100= = = d d d b)Basit altgen prizma iin? , ?111 100= =d d c)Elmas yap ve ZnS iin? , ?111 100= =d d -BRNC BRLLOUN BLGES (1.B.B)-

TersrgnnWigner-Seitztemelhcresibirincibrillouinblgesiolarakbilinmektedir.Dahayksek derecedebrillouinblgelerimevcutturvebublgelerbakatiptemelhcrelerdir.OhaldeWigner-Seitz temelhcresive1.Brillouinblgesiayngeometrikselyapyasahipolmasnaramenikincisinintersrg uzaynda olduu unutulmamaldr. rnek olarak bu rgnn birinci brillouin blgesi ters rgde fcc rgnn Wigner-Seitz temel rgsdr.

EKL 7

izgisel bir rg bir a, teleme vektr ile temsil edilir. Bunun bir ekli (k) da gsterilmitir (m) de ise ters rg vektr *a, olup byklaat 2*=, dr. En kk ters rg vektrleri *a, ve -*a,dr. Bu vektrlerin orta noktalarndan klan dikmeler 1.B.B. snrnoluturmaktadr.

DEV:

ekilde a kenarl basit kbik yapya ait iki dzlem grlmektedir. Bu dzlemlere ait miller indisleri nedir ve bu dzlemlere dik dorultularn miller indisleri rotasyonu nedir?

DEV: (100) ve (111) dzlemleri ile (110) ve (100) dzlemleri arasndaki ay bulunuz.

-KRSTAL YAPI KUSURLARI-

Kristallerin mkemmelliinin bozulduu an kusurlar ortaya kar. 1- Noktasal Kusurlar 2- izgisel Kusurlar 3- Yzeysel Kusurlar 4- Hacimsel Kusurlar 1-) Noktasal Kusurlar: Bir kristalin beklenen noktasnda olmas gerekenin olmamas sonucu ortaya kar

a) Yabanc atomun oluturduu noktasal kusurlar: Kristalyapoluurkenolmasgerekenatomunyerindeolmamasgerekenyabancbiratomun bulunmasdr.Eeryabancatomaslatomdanbyksekristalatomlarnarasnagirmeansazdr.Butip kusurlarmaddeyikristalletirirkenaltmzortamnkirliolmasileortayakar.Yabancatomkristalin yzeyinde ya da arada bir yerde bulunabilir.

b) Boluk kusurlar: Bir atomun olmas gereken yer bo ise bu tr kusurlara boluk kusurlar denir. Bu atom araya bir yere ya da kristalin yzeyine gitmi olabilir. Tek bir atom boluu olabilecei gibi 2 ya da 3 boluk ta olabilir.

O tek bir boluk var ise F merkezli boluk kusuru OO2 boluk var ise M merkezli boluk kusuru OOO 3 boluk var ise R merkezli boluk kusuru

Atom arada bir yerde ise bu tip kusura Frenkel tipi kusur, eer kristal yzeyinde bir yerde ise Shatley tipi kusurdenir.Birkristaldenoktakusurlarolupolmamaskristalinfizikselzelliklerinideitirir.Mesela katlarn optik sourma tayflar deiik olur. Elektriksel ve manyetik zellikleri deiir. Dzensiz kusurlu bir kristal yap daha yksek enerjidedir. nk kusurun olumas enerji gerektiren bir olaydr. Dzenli kusursuz bir kristal ise en kararl haldedir ve enerjisi en azdr. Bir nokta kusuru oluturmann bedeli 1 eVdir. Bir kristalde 0N tane atomda kusurlu atom says: kt Ee N N =0dir.

DEV:1 cm3 kristalde kusurlu atom says ne kadardr? (oda scaklnda N0=1023 tane atom olduunu kabul edelim.)

2-) izgisel Kusurlar: Ayn izgide bulunan atomlarn oluturduu kusurlardr, iki tanedir.

a) Kenar izgisel kusuru: Bu kusur genellikle malzemeyi ilerken ortaya kar. Bu tr kusurlarn enerji olarak deeri 13 eV civarndadr.

b) Vida Kusuru: Kristali makaslama zoruna tabi tutarsakyaniyzeyine paralel kuvvet ifti uygularsak vida kusuru ortaya kar. Bu kusurda kristalin cephesi kayar. Bu tip kusurun bulunduu kristallerde cm3 bana 10 kusur bulunur.

DEV: Oda scaklnda (T=300 K) vida kusurunu oluturmak iin gerekli enerji ka eVtur. 3-)YzeyselKusurlar:Birkristalkkkristaltaneciklerindenolumutur.Genelliklekristalmetal malzemeler bu tip kristal taneciklerinin st ste ylmasyla oluturulmutur. Kk metal tanecikler dzgn olmalarna ramen birleme annda birbirleriyle a yaptklarndan yzeyde kusur olutururlar. Bu kusurlarn adna pit denir.

4-) Hacimsel Kusurlar:

a)a)Kayma Kusurlar

Kristal yap oluurken ekildeki gibi her bir para dzgn ancak biri dierine gre teleme (kayma) yapm olabilir. Bu tip kusurlara kayma kusuru denir.

b)b)kizleme Kusuru

Bu tip kusurda belli bir para dndkten sonra ayn parann ikizi ile birlemesi sonucu oluur. Hacimsel kusurun olumas iin gerekli enerji ok byktr.

BLM 3

X-IINLARI KIRINIMI LE KRSTAL YAPILARIN TAYN

Kristalyaplarnortayakarlmasdenincea,b,cve | o , ,birimhcreparametrelerini,birimhcrede kataneatomveyamoleklolduununkarlmasanlalr.Bunlarndndaatomlarnkonumlarba uzunluklar,kristalyzlerininindislenmesi,kristalinmkemmelliidetespitedilebilir.Kristalyapytespit ederken atomlarn veya molekllerinin yerlerinin belirlenmesi spektroskopik yntemlerle gerekletirilir. Bu yntemlerden ilki x-nlardr bunun dnda ntron krnm ve elektron krnm da kullanlr.

Krnm= Giriim + Salma

Birkrnmiinsaanvesalanx-nlarnndalgaboylareitvesabitbirfazfarknasahipolmaldr. Salanbirx-natomunelektronyounluununokolduuksmylaetkileir.Salanx-nnnenerjisi10-50 KeVtur.

deiiyor. arasndaooAAEhc ch E) 10 1 (1 =~ = =

Ntron Krnm: Ntronlarnenerjisiyaklakolarak0.08eVtur.Birntronunktlesiyaklakolarakelektronunktlesinin 2000 katdr. (mn=2000me)

A 1mE 2hmhPho~ =0= =

Ntronlar kristal maddenin ekirdei ile etkileirler. Etkileme esnek etkilemedir ve dipol momenti olan molekllerle etkileirler.

Elektron Krnm: Enerjileri yaklak olarak 100 eVtur. Elektronlar katnn derinliklerine giremezler. nk enerjileri dktr. Bu nedenle elektron krnmyla sadece katlarda yzey aratrmas yaplr.

X-Inlar ve Ntron Krnm Karlatrlmas

1- X-nlar atom etrafndaki elektronlarla etkileir. Elektronlarn says azsa x- nlarnn etkileimi zordur. Elektron says az olan (atom numaras kk) elementlerin atomlarnn yerlerinin bulunmasnda ntronlar avantaja sahiptir. nk ntron hafif ya da ok sayda olan elektronlarla ayn derecede etkileir. X-nlaryla atomlarn yerlerinin belirlenmesi zordur. 2- Buna karlk ntron kaynan yapmak olduka pahaldr.

Krnm Olay Bragg Yasas

Yol fark = CB + BA = d.Sin? + d.Sin? n? = 2d sin? Bragg Yasas n = 1,2,3,.... n? = 2dhkl sin?hkl hklhklSinndu2= bantsndan ayn dzlem takm iin dyi bularak a,b,c ve | o , ,lar bulabiliriz.

DEV: X-n demetinde gzlenen en ksa dalga boyu ?=1 23A olarak verilmektedir. Hedefe arpan en hzl elektronun kinetik enerjisini bulunuz. RNEK: bcc yap iin geometrik yap faktrn bulunuz?

Bcc yapy sc yap gibi dnrsek ( )( )( ) l k h iz y x2aza2l ya2k xa2h id b l b k b h i 0d k i d k i31 jke 1e 1e ee efe S2 3 2 12 1jd k i+ + t+ + |.|

\| t+t+t+ +=+ = + =+ =+ == , , , ,, ,, , ( ) ( ) ( ) _ 0l k h il k h iSin l k h Cos e + + t + + + t =+ + t

Grld gibi baz noktalar iin Bragg yansmas yoktur. Bunun anlam udur: bu ilem bcc yapy (sc) fcc yapya dntrr. Aadaki ekilde grlen noktalar iin giriimin olduunu syleyebiliriz.

Sk=2 olduunda bragg yansmas var siyah noktalarla gsterilmitir. Sk=0 olduunda bragg yansmas yok bo yuvarlaklarla gsterilmitir.

DEV: fcc yap iin geometrik yap faktrn bulunuz ve aadaki dzlemlerin hangisinde yansmalar vardr hangisinde yoktur yorumlaynz. (100) , (110) , (111) , (200) , (220) , (222) , (211) , (221) , (123) (pucu: Bunu da sc yap olarak dneceksiniz)

Tek Tip Atomlu Elmas Yap

() ( )( ) ( )( ) ( ) z y xa2b z x2aaz y xa2b z y2aaz y xa2b y x2aa3 32 21 1

,,

,,

,,+ t= + =+ + t= + = +t= + =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) l k h2iz y x4az y x l z y x k z y x ha2iz y x4az y xa2l z y xa2k z y xa2h iz y x4ab l b k b h id k i d k ike 1e 1e 1e 1e e S3 2 12 1+ +t+ + + + + + + +t+ + |.|

\|+ t+ + + t+ +t+ + + ++ =+ =+ =+ =+ =, ,, ,

, , ,, , , , ( ) ( ) l k h2Sin i l k h2Cos 1 Sk+ +t+ + +t+ = i 1 S say tek l k h0 S say tek 2 l k h2 S say ift 2 l k hkkk+ = + += + += + + ( ) l k h2ike 1 S+ +t+ == elmas yap (fcc) iin geometrik yap arpan faktr

OK ATOMLU KRSTALLERDE GEOMETRK YAPI ARPANI FAKTR ==n1 jd k ij ke ). k ( f S, ,,atlr dna toplam sbt. ) k ( farpan yap Atomik ) k ( fjj ==,,

Elektron Younluu: Krnm lekelerinin iddeti deneyler sonucu llr. Yap faktr hkl kI S ile orantldr.kS= enerji uzayn temsil eder. ( ) uzaynda K,

= gelektron younluunu ifade eder.(gerek uzayda)

Baz iindeki elektron younluu, ==n1 jd K ij kje ). k ( f S, ,,nin Fourier dnmdr. =t younluu elektron : ghacim uzayda gerek : Vjd K i 2k ) z , y , x (e . SV1g, , + + t =) lz ky hx ( i 2k ) z , y , x (e . SV1g

Birim hcredeki herhangi bir (x,y,z) noktasnn younluu bu fonksiyonla bulunur. Birim hcrenin simetri bamsz blgesinin tamam kk admlarla taranr. Elektron younluu ayn olan noktalar birletirilerek e elektron younluu hesaplanr ve e elektron younluu izgileri elde edilir. Elektron younluu en byk olan noktalar atomlarn yerlerini verir.

Birim hcrenin simetrik zelliklerinden yararlanarak birim hcrenin sadece bir ksmnn elektron younluk haritas karlrsa dier ksmlarnda simetri zelliiyle haritalar karlm olur.

BLM 4

KRSTAL RGLERN DNAM

Kristal yaplar incelerken atomlarn rg noktalarnda hareketsiz olduunu kabul etmitik. Bu kabul, olaylarn anlatlmasn ve anlalmasn kolaylatrmak iindir. Bu sayede matematiksel ifadeler sadelik kazanr. Gerekte rg noktalarndaki atomlar hareketsiz deildirler. Yani denge konumunda scakla bal olarak salnm (titreim) hareketi yaparlar. rg titreimleri ile bu titreimlerin kristalin ses ve k ile ilgili zelliklerinin etkisi incelenmektedir. rg titreimleri sourulan s miktarn kat iinde snn iletimi ile ilgilenir. Bu da katnn ssal zellikleri hakknda bilgi verir.

g fg fortam kesikli ise aortam srekli ise a0 0 0 0 = (= )

Srekli Ortam: Katlar atomlardan oluur ve bu kesiklik rg titreimlerinin incelenmesinde esastr. Titreim hareketinin dalga boyu kristalin rg sabitinden ok byk ise katnn atomlardan oluan kesikli yaps gz ard edilebilir. Ve kat srekli bir madde ortam olarak ele alnabilir. Byle bir ortamdaki dalgalara esnek dalgalar denir.

Model olarak ele alnan sonsuz uzun ubuk eklindeki bir cisimde yaylan esnek dalgay inceleyelim. Tayc ortamn srekli olduunu ve ubuk boyunca ilerlediini dnelim. Bu durumda hareket tek boyutta snrlanm olur. ubuk zerindeki bir x noktasnn yer deitirmesini ( ) t xU, fonksiyonu ile temsil edelim.

Sonsuz Uzun Esnek ubuk

A: ubuun kesiti Buna gre birim uzunluk bana yer deitirmeye zorlanma denir. (zorlanma:E)

( )dxUEt x,= ( ) t xU,:yer deitirme

Birim yzey bana etki eden kuvvete ise zor denir. S ile gsterilir. Xin bir fonksiyonudur. Hooke yasasna gre sonsuz kk yer deitirmeler iin zor ile zorlanma doru orantldr. katsays elastik" " young :.YE S E Y S =

Esnek ortamda ilerleyen dalgay veren dalga denklemini elde edebilmek iin ekilde dx kadar keyfi bir yzey eleman seelim. ubuun yapld maddenin younluu ve kesit alan da A olsun. Buna gre dx elemannn hareketi;

( ) ( )( ) ()| |A S StUAdxx dx xivmet xktle. .2,2 =cc+ _ _ eklindedir.

Eitliin sa tarafndaki ( ) A Sdx x.+ A yzeyine +x ekseni boyunca etki eden2F kuvvetini, ( ) A Sx .-x ekseni boyunca A yzeyine etki eden1F kuvvetini verir.

Klasik Dalga Denklemi

( )( ) t kx it xe c Ue =., k: dalga vektr w: asal hz

( ) ( )( )( )( ) t xt xt xt kx i t xU kxUikU e c ikxU,22,2,,. . =cc= =cce ( ) ( )( )= == = kar karmza olarak deer bir sabityounluu cismin : sabiti young sabiti, elastik : Y00 0 eeeYkkYUYU kt x t x22 2,2,2. k ksabit hz fazYk == =e 0 ee0.:

Faz Hz) (0: lerleme dorultusundaki ayn fazdaki noktalarn ilerleme hzna faz hz denir ve bu hz sabittir.

k . 0 e= bantsna srekli ortam iin dispersiyon bants denir. Byle srekli ortamdaki dalgalara esnek dalgalar denir.

Esnek dalga iin k . 0 e= danm erisi izgiseldir ve bu dorunun eimi |.|

\|=keeim sesin o ortam iindeki yaylma hzn verir. Benzer ekilde k c. = eifadesi de izgisel olup bolukta ilerleyen n danm erisini verir.

Srekli Ortamn Modlarnn Belirlenmesi

Sonsuz uzun ubuu dikkate aldmzda ubuk zerinde ilerleyen dalga iin zm ilerleyen bir dalga zm idi ve ( )t i ikxt , xe . e Ue = eklinde idi. Bu zme snr artlarn uygulayalm.

Snr artlar ubuun ularna uygulanan d snrlamalar tarafndan belirlenir. Snr artlar ubuun ularna uygulanacana gre artk ubuumuz sonsuz uzunlukta deildir.

ubuun ular deiik hareket yapmaya zorlanabilir.

1- Her iki u ayn hareketi yapabilir. 2- Bir u sabit dier u serbest olabilir. 3- Her iki u ta hareketsiz olabilir.

Periyodik snr artmz ubuun her iki ucunun ayn hareketi yapmaya zorland durumu dikkate alarak uygulayalm.

ubuun boyu L ve koordinat balangc olarak da ubuun sol yan seilirse, periyodik snr art:

K deerlerinin tanmlad bu dalgalar ubuk zerinde bulunabilir.

t= t=K2L2K Dalga says K ile snrlandrlmtr.

L2n Kt=veya ekildeki izinli K deerleri salnmn bir modunu verir. Her mod kendi bamsz dalga boyu ile salnr.

DEV: Periyodik snr artn ubuun her iki ucunun da hareketsiz kald duruma uygulayarak Knn ald deerleri bulunuz.

Srekli Ortamn Modlarnn Says

Mod Younluu: K uzaynda keyfi bir dK aral seelim ve bu aralkta olan modlarn saysn bulmaya alalm. L uzunluunun sonsuz byk fakat sonsuz olmadn kabul edelim. Bylece K noktalarn yar sreklilik durumunda olmalar salanm olur. Bu kabul yukarda kullandmz ubuk iin geerlidir. Periyodik snr artnn salanmas sonucu elde edilmi olan K noktalar arasndaki uzaklk Lt 2 olduunda K uzayndaki her Lt 2 aralna bir mod der. Buna gre dK arasndaki modlarn says;

LdKdNt 2=olur.

K ile e arasndaki bantdan faydalanarak e e d + arasndaki modlarn says da; ( ) e ed g dN=olur.

() () younluu mod da ya younluudurum gddNg : eee=

Buna gre mod younluu birim frekans aralna den modlarn saysdr.

( )dkdLdLdkddNget etee122 2 = = =

NOT: Durum younluunu hesaplarken +K yannda Klarda da bulunan modlar olduu dikkate alnmaldr. Bu nedenle durum younluu ifadeleri 2 ile arplmaldr.

dkdfaz grupe= 0 = 0

Grup hz duran dalgalar temsil eden bir hz ifadesi olup enerjinin tanma hzn verir.

RG TTREMLER

Elektromanyetik dalgalar kat zerine geldii zaman daha fazla titreirler yani enerjileri artar. Bir baka deyile rg titreimleri artar. Kristal yapda dzeni rg ile belirlediimiz iin rg titreimi adn alr. Atomlar mutlak sfr noktasnda bile(3-boyutta)e h23 enerjisine sahiptir. Scaklk arttka atomlarn enerjileri de artar.

rg noktalarnda yer alan noktalar bir titreim hareketi yaparlar. Buna gre rg titreimlerinin kuantumlandrlm paracklarna fonon denir.

-Foton ile Fonon arasndaki Farklar-

e v h = =h E - 5 titreir Boyuna - 4eittir. hzna kHzlar - 3deil) artortam (Maddesel. yaylrlar Bolukta - 2yznden) olmas kesikli (Enerjinin rdr. parackla drlm - kuantumlan dalgalarn yetikElektroman - 1 FOTON e e h h n 3 + =23E - 5 titreir. enine ve Boyuna - 4deiir. gre ortama maddesel Hzlar - 3yaylrlar ortamda Maddesel - 2yznden) olmas kesikli nn(K'rdr. parackladrlm kuantumlan imlerinin rg titre - 1FONON

rg Titreimlerinin ncelenmesi

1- Srekli ortam iin a >> ise

e e000 0Ydkddkd Yg fg f= = ==,

Grup hz faz hzna eit ise rg titreimlerinin yaylmas bakmndan izotropiktir. Yani dorultuya gre herhangi bir fiziksel zellik deimeden kalr.

2- Kesikli ortam iin a > k .Y= e

sabitYksabitYkf gf 0 ==e= 0=e= 0

Kesikli ortam iin a |.|

\| = c =+ =+ =ccccccc +1 e ln kT1 e ee 1 e1 e lnkTkT /FkT /kT /kT /kT /kT /FoFoFFF oFFo

T=0 Kdeki gazn i enerj. idiV 8N 3m 2h. mh 5V 2 162 / 5mhV 2 8Ud mhV 2 8d ) ( g ) ( fNN. d ) ( N E U322F F2 / 3F2 3302 / 52 33o02 / 1 2 33000o o ooFoFoFoF|.|

\|t = c c ct=c t=c ctc =c c c c =|.|

\|c c c >= == = = = =< n E

e e h hN n N233 + > < =

scakla bal deiiyor fonon says

Bose-Einstein istatistiine gre fonon says

11>= 0K olduunda baz elektronlarFcnin stndeki dzeylere geerler. Bir elektronun bir E enerji dzeyinde bulunma olasl (veya E dzeyinin dolu olma olasl) Fermi-Dirac enerji fonksiyonu ile verilir.

()( )kTFefc cc+=11

()()() 2100 01 0= = )= ) == ( =c c cc c cc c cf iin K Tf iin K Tf iin K TFoFoFo

Pauli darlama ilkesine gre bir elektronun d alanlar (elektrik alan, manyetik alan ve termal enerji) ile etkilemesi bu etkileme sonucunda gidecei enerji dzeyinin bo olmas durumunda mmkndr. Aksi takdirde uygulanan d alan elektrona enerji aktarmaz ve elektronun enerjisi deimez. D alan etkisi ile elektronun enerjisiE Akadar deimiseFcninE Akadar altnda olan elektronlarFcnin stndeki bo enerji dzeylerine geebilirler, daha aada olan elektronlarn enerjileriFcnin stne gemeye yetmez. EerFc c(( A ise bo dzeylere geen elektron says:FN Ncc A= Adir. c Ayi ekilde salayabiliriz;

1- Metale birE, elektrik alan uygulansn. L serbest yolu boyunca elektronun enerjisindeki deime: 6 410 10 = AeEL c eV deerindedir.

2- Manyetik alan iindeki elektronun enerjisinin kuantumlanmas halinde; F cc e c310~ = A h frekans siklatronc meHc c:0e e =

3- Termal yolla elektron oda scaklnda ssal yolla enejisini deitirdiinde; 025 , 0 ~ = AkT ceV olur.

Demek ki normal koullarda bu eit uyarma ile serbest elektronlarn sadeceFc dzeyine yakn olan kk bir oran d uyarmalardan etkilenerek enerjisini deitirir. Bu elektronlar katnn fiziksel zelliklerini belirler.Fcnin ok altnda olan elektronlar fiziksel zelliklere etki etmezler.

Oda scaklnda kT enerji blgesindeki elektronlarFcnin stne uyarlrlar. DolaysylaFc dzeyi boaltlmolarakgrlr.Birolaslkladoluolanyenifermiseviyebirazgeriyesolakayar.AncakTFK) 300 (T kT c (( =olduundanyenifermidzeyiileT=0Kfermidzeyibirazfarklolsalardaokyaknveyaklakaeitsaylabilirler.Bunedenlefermidzeyiyaklakascaklktan bamsz bir enerji dzeyi olarak kabul edilebilir.TF Fc c ~0 olur.

knn olas deerleri iin k h momentum uzaynda enerji dzeyleri bir hacim olutururlar. Fermi yzeyi bu hacmi evreleyen dolu enerji dzeyleri ile bo enerji dzeylerini ayran dnsel bir yzeydir. YaniFc bants momentum uzaynda bir e enerji yzeyi belirler. Bu yzeye fermi yzeyi denir.Fc c = enerjili elektronlarn zellikleri, davranlar tm ile fermi yzeyinin ekli tarafndan belirlenir.

Fermi Yzeyi rnein sadece yzeyindeki elektronlar elektriksel ve ssal uyarmalardan etkilendiklerinden bu olaylar fermi yzeyinin ekline baldr.

. kesiklidir enerji olduundan kesikli kmk22 2h= c

boyutlu enerji ifadesi ( )2 2 222z y xk k kmk+ + =hc { yarap Yzeyi Fermi : kfmkf22 2h= colduu iin fermi yzeyi kreseldir.

Her elektron k uzaynda bir nokta ile gsterilirse bir serbest elektronun enerjisi momentum uzaynda; mpE22=

hhh,h, ccmkmkk p idi k pFFF222 2= = = =

Fermi enerji seviyesindeki hz fermi hz olur.

mmmk mFFF F Fcc0 022= = =hhh

Fc nin elektron younluuna ball: Fcfermi kresi iindeki elektronlarn says: 332342|.|

\|=LkNFtt ( )( )3133123LNkFt=

()3222333232 2223232 2nm LNVNn V LLNmkmF F Ft ctch h h= )` = = = ||.|

\|= =

Mesela; eVF5 = c ise;

bamsz n scaklkta yaklakaF0 000 = = = s meV mFFF/ 1010 6 , 1 5 10 11 , 921521619 2 312

SONU: Fermi enerjisi scaklktan bamsz olup elektron younluuna baldr.

Durum Younluu Fonksiyonu ( ) g:

rg titreim frekanslarndaki kip younluuna benzer biimde birim enerji aral bana den yrnge says durum (enerji seviyeleri) younluu fonksiyonu ( ) c gyi tretelim. ( )ccddNg'= eklinde tanmlanr.' N : dolu veya bo olan enerji dzeylerinin (yrnge) says.

Bir c enerji dzeyine kadar olan momentum uzaynda bulunan durumlarn says; .234. 2 '33idiLkN|.|

\|=tt

{ }3 323' L V kVN = =t

Her yrnge bir enerji dzeyi ile gsterilir. Bu dzeylere de, enerji durumlar denir.

mkE22 2h=

222hmEk =

( )2322322|.|

\|=hmEk

232 223'|.|

\|=hmE VNt

()21232 222'Em VddNg |.|

\|= =h t ccKuantum Durumlar Younluu Fonksiyonu

Serbest elektronlarn s sasna katks:

2BT AT CC C Cfonon e+ =+ =

1-C=AT midir?2- Elektronlardan gelen katk0,01-0,03arasnda mdr? Bu iki soruya cevap arayalm.

F kT(( iin eCyi bulmaya alalm: Elektron gaznn scakl 0Kden TKe karld zaman elektronlardan ileri gelen s enerjisi art; ()() ()()} } =00 0. .Fd f g d f g Ucc c c c c c c c 1. K To0 ) de ()( )111=+= kTFee fc colduu iin Fcnin zerine kan elektronlarn enerjisini verir. 2. K To0 =de sadeceFcye kadar olan elektronlarn enerjisidir.

()() 0 .0 = =}ccc c ddTdfgdTdUCe(1)

2. terimin 0 olmas Tye bal bir fonksiyon olmad iindir. T=0Kden itibaren ( ) 1 = e fden farkl olan dolu enerji durumlarnn says: ()()}=0c c c d g f N ()() says durum den aralna enerji Birim : golasl bulunma e seviyesind enerji Bir: f ifadenin her iki tarafnFc ile arpalm;()()}=0c c c c c d g f NF F scakla gre trevini alalm; () ()}=0. 0 ccc c ddTdfgF (2)

(2)yi (1)de yerine yazalm;

()() ()()} } =0 0. . ccc c ccc c ddTdfg ddTdfg CF e

( )()()} =0. ccc c c ddTdfg CF e

Tm E blgesi ile ilgilenmek yerineF kT(( ye karlk gelen Fermi blgesi ile ilgilenirsek E yerineFc; ( ) ( )Fg g c c =

()( )()} =0. ccc c c ddTdfg CF F e

Ara ilem: ()( )kTFefc cc+=11 idi. ()()( )( )( )2 21.kTkTFFFeekTdTdfc cc cc c c+=

()( )( )( )}+|.|

\|=0221. . cc ccc cc cdeekTk g CkTkTFF eFF

kTxFc c=dnmn uygulayalm.

= == ==xkTxkTdx dFcccc0

( ) ()() _ 2312221. .tcc } +=kTxxF eFdxeex T k g C ( ) Tkg CAF e.3.2 2 _ tc =

T C T A Ce e =. ( ) Tkg CAF e.3.2 2 _ tc = idi , 3BT ATC C Cfonon e+ = + =

() _ AFkg3.2 2tciseA katsaysn bulalm; bunun iin ( )Fg c nedir?

232 223((

=hFmE VNtidi. (1)

( )ccddNg = idi. (2)

()21232 222Fm Vg ctc((

=h (3)

(1)-(2)-(3)n sonunda;

( )FFNgcc23=dir.

() Tk NC Tkg CFe F e.3.23.3.2 2 2 2tctc = =

F F e kT Nk T k N C c t t c2 2 2 2 1 . 3 . 2 3 = = ||.|

\|= katks rnelektronla sasna s : . 5F FeNkTkNkTCc c

T C TNkCeAFe = .22 2 _ ct

10eV 5eV ~ s ((F F FkT c c c , 025 , 0 310 . 55025 , 0= sFkTcs sasna katkda bulunurlar.

SONU: Is sasna tm elektronlarn FkTc kadarlk oran bir katkda bulunur ve bu katk FkT c ((olduundan 0,001-0,003 civarnda olup deneysel sonular dorulamaktadr. Scaklkla s sas orantl olarak deimektedir.

Elektronlardan leri Gelen Is letkenlii:

Bir katda s iletkenliine katk elektronlardan ve fononlardan ileri gelir; fonon e K K K + = dur.

Metallerde; efonon eK KK K~=100 V C Ke e31= idi.

Dk ScaklklardaFkT c s

FeTNk Cct2 221= Sadece Fermi dzeyindeki elektronlarla ilgileniyorsak; FF 0 0== Isy Fermi yzeyine yakn olan elektronlar iletir. 221F Fm0 c = alnrsa,

F eFFFmT NkK tt0t32 2= = F emNet o2=idi.

Lorentz sabiti: =|.|

\|= = =sonu bulunanmodelden Teorik29222 2..10 8 , 5313K sohm calekTmNemT NkTKLoFFetttto

rdeleme: Deneysel Sonu Na Au Fe L:5,2x10-9 5,9x10-95,5x10-9

Yksek scaklklarda elektron-fonon etkilemesi baskndr. Fonon says T ile arttndan ortalama serbest zaman da T1 ile deiecektir. Bu nedenle eKsabit kar.

sabitmNkT mT NkKe= = =31.32 2 2 2t t

Yksek scaklklarda eK sabit kar.

Dk scaklklarda elektron-kusur ve elektron-kristal boyutu etkilemeleri baskndr.Ft scaklktan bamszdr ve bu nedenle eK;

{sabit T K TmNkKF eFe= = tt t32 2 Eimin pik noktas, fonon says artarken, fonon-elektron etkilemesinin sresi azalr. Belli bir scaklktan sonra da iletkenlik sabit kalr. Elektriksel letkenlik:

Dalga hareketi yapan elektronlarn momentumu:k P,h,=

Bu alana etki eden kuvvet: eE F = () dtdkkdTddTdPF h h= = = { . olur deiimi momentum dtFdkh=

( ) eEdt m dt F m dk md k m s == == 0 0 00 h h hh 0

{ Fdt dtmeEt 0 = =

meEFhz srklenme =t 0

sabitFFFF==00t(1) Yksek scaklklarda: TF1 idi. (2)

|.|

\| = =FsmeENeNe Jt0

FmE NeJ t2= (3)

E J o =(4) (3) ve (4) ten:

mNeFto2= (5) (1)-(2) ve(5) dikkate alnrsa:

Yksek scaklklarda; T1 oolur. Tdiren zdiren z = o1olur.

Bu sonular, deneysel sonularla uyum iindedir.

MAGNETK ALAN NDE HAREKET

1- Siklotron Rezonans 2- Hall Olay

1- Siklotron Frekans: Bir metale bir magnetik alan uygulanrsa iletim elektronlar tarafndan birok nemli olaylar sergilenir. Bunlardan ikisi, siklotron rezonans ve Hall olaydr. Byle bir iletkene bir d kuvvet uygulanrsa, bu kuvvet iki farkl ie yarar:

a-) t ortalama serbest sreli arpmalardaki kuvveti, b-) Elektronun yerdeitirme ivmesini veren kuvveti, oluturur.

Eer elektronlarn oluturduu Fermi kresi k o kadar yerdeitirirse kuvvetler arasndaki iliki: kdtd k dF,h,h,ot+ =-1- Serbest elektronlar hemE, alan, hem deB, alan etkisinde ise:

| | B V E e F, , , , + =

{ kuvveti Lorentz -2- k m,h,o 0= (Fermi yzeyi k,okadar yerdeitirirse) h,0omk =-3-

-2- ve 3- 1- de yerine yazarsak: | |||.|

\| + =||.|

\|||.|

\| =||.|

\|h,h, , ,h,hh,h,h,h0t000t0mB E emdtdmFmdtd | | B E edtdm, , , + =|.|

\|+ 0 0t1-4-

k E j E i E Ez y x, , , ,+ + = k j iz y x, , , ,0 0 0 0 + + = z B Bz,,= B, manyetik alan z dorultusunda seilirse 4- nolu denklemin zm aadaki gibi olur.

| |z y x xB E edtdm + =|.|

\|+ 0 0t1

| |z x y yB E edtdm =|.|

\|+ 0 0t1

01+ =|.|

\|+z zeEdtdm 0t

Sabit birE, alan veB, alan olduu zaman Fermi kresi kararl bir durum aldndan sabit hzla gider. Yklerin yrngeleri B, , 0ye uygun olarak devaml deiir. Kararl hal kurulduktan sonra elektrik ykleri dzenli dairesel hareketlerini srdrrler. Bunun iin, sabit hzla hareketten dolay;

0 = = =dtdmdtdmdtdmzyx000 olarak karmza kar.

mE e m eB mE e m eB mE e z x z y y z x x t 0 t0 t 0 t0 t 0 = + = =

cWmeB=ise,

Frekans SiklotronCGSc meBWSImeBWmeBWzczczc)`===) () (**

Siklotron Rezonans deneyi ile elektronlarn ktleleri (etkin ktle) llr.

2- Hall Olay:

EKL 2

Hareketli elektrik yklerine bir magnetik alan uyguland zaman Hall olay meydana gelir. Bir metale younluu J, olan bir elektrik alan uygularsak ve ayn zamanda sabit birB, magnetik alan iinden geirilirse B J, , dorultusunda yeni bir elektrik alan meydana gelir. Bu elektrik alan elde etmek iin yE, elektrik alan etkisinde elektronlarn bir magnetik alan iinde hareketlerini dikkate alrsak, magnetik alandan dolay elektronlara ( ) B e F, , , = 0 kuvveti etkir.

( )( )z B ex B y eB e Fx yx y 000 = = =, , ,(1){ gsterir olduunuynnde z )lik (

F,ifadesinde de grld gibi y-z dzleminde, -z ynnde saptrr. Sapan elektronlar iletkenin alt kenarndan kaamayaca iin basite (b) de grld gibi, altta (-) ve stte (+) yzey yk tabakas oluur. Bu yzey yknn oluumu srasnda, yeni bir alan oluur. Bu alana;

z E Ez H =,

Hall alan denir. Sonuta y ynnde ilerleyerek magnetik alan iine giren iletim elektronlarna ;

birincisi z ynnde etki eden Lorentz Kuvveti,

ikincisi de

( )z eE Fz E e FE e Fz Hz HH H= = =,,, , (2)olarak hesaplanan Hall Kuvveti etkir.

(1)=(2) dersek, H xH LeE eVBF F==, , ) SI ( Alan Hall VB Ex H =

V ) e ( n J, , = idi.

. olurneJVy= Alan HallneB JE. idi VB Ex yHx H ==

x y H HH B JE ne 1 R ne 1 R = = = RH: Hall sabiti

Bu sonu deneysel deerlerle karlatrlrsa u sonular kabilir.

1-)Basit metaller iinHR Hall sabiti hem iarete hem deerce uyuur. 2-)Gei metalleri iin iarete uyuur deerce uyumaz. 3-)Yar metaller iin hem iarete hem de sayca uyumaz. Termoiyonik Olay:

Metaller stldklarnda elektron yaymaya balarlar. Bu olaya termoiyonik olay denir. Kuantumsal serbest elektron modeline gre, metallerde yaynlanan bu elektronlar , serbest elektronlardr. ekildeki gibi bir elektronu bir potansiyel kuyusu iinde olduunu dnelim. ekle gre elektronlar balayan bir potansiyel sz konusudur. Bu nedenle madde dna kamazlar. Dardan bir uyarma ile Fermi enerji seviyesine yakn olan elektronlar; Fc c | = kadarlk enerji alarak dar kabilirler. Burada |ye i fonksiyonu denir. Klasik olarak i fonksiyonunu alan herelektronbukuyudunkurtulabilir.Oysakuantummekanikselolarakelektronunsahipolduuenerjiler, kesiklienerjideerleriolduuiin,herelektronkuyuiindenrahatlklakamaz.Budemektirki;dipteki elektronlarnkabilmesiiin ckadarlkbirenerjigerekirken,fermiseviyesineyaknbirelektronu skebilmekiinFc c | =kadarlkenerjigerekir.nk,dyrngedekielektronlar,diptekielektronlara kyasla daha zayf baldr. Bu olayn modelimizle balants udur:

1-Enerjinin kesekli olmas, 2- letime katkda bulunan elektronlarn serbest elektronlar olmas.

Fotoelektrik Olay:

Metaldenelektronskmeolaydr.Fotonenerjisininbirksmnelektronuskmekte,birksmnda elektronu frlatmakta kullanr.Fotonun enerjisi: v hise, + =enerji gerekli iin frlatmak elektronu : Wenerji gerekli iin skmek elektronu : h0vv vW h h0 klasikolarak,gelenbtnfotonlarnelektronlartarafndansourulduunukabulederiz.Oysakuantum mekaniksel olarak, her foton metalden elektron skemez. Sklen elektronlar, metalin iinden veya metalin yzeyinden ileri gelir. Bu olayn modelimizle balants elektronlarn serbest elektronlar olduu ile ilikilidir.

Serbest Elektronlarn Paramagnetik Alnganla Katks:

Klasik serbest elektron modeline gre, tm serbest elektronlar magnetik alnganla katkda bulunurlar ve genel olarak magnetik alnganl: =alan Magnetik : Hnma Mknatsla : MHMe

ve klasik yaklamda ;

{magnetonu BohrB B:2 kTNe= olarakifadeedilir.Klasikyaklamnneticesiolarakparamagnetikalnganlakatks(T=0Kde)tm serbest elektronlardan ileri gelir ve magnetik alnganlk scaklkla ters orantl olarak deiir.

Kuantum mekaniksel olarak, serbest elektronlarn T=0Kde paramagnetik alnganla katks: 223Bc0FeN=olarak verilir. enerjisi FermiF:0c(T=0Kde) Fermienerjiseviyesi,scaklktanyaklakabamszolduuiin ( )FkT c ((magnetikalnganlkta scaklktan bamsz olarak incelenir.

T=T K, 0 = TK:

(((

||.|

\| =22212123FBkTctc0FeN

TKiinelektronlarnparamagnetikalnganlakatksscaklkladeiimiokkkolduundan, yaklakascaklktanbamszolduukabuledilebilir.Kuantumsalserbestelektronmodeli,deney sonularn desteklemektedir. (Deneysel sonularn 7. maddesi ile tutarldr).

Serbest Elektron Modelinin Baarsz Olduu Durumlar

Serbestelektronmodelimetalleringzlenenzellikleriniaklamaktabaarlolmaklabirlikteaadaki sonular aklamakta yetersiz kalmtr.

1-1-Model elektriksel iletkenliin, elektron younluu ile doru orantl olduunu kabul eder. Be, Cd veZngibiikideerlikliveAl,Ingibideerliklimetaller;Cu,Ag,Augibibirdeerlikli metallerden daha dk iletkenlik gsterir.

2-2-Serbestelektronmodeliherzaman(-)iaretliHallsabitinitahminettiihalde;Be,Zr,Cdgibi metallerin Hall sabitleri (+) iaretlidir.

3-3-Serbestelektronmodeli,kreselFermiyzeyinitahminettiihalde,lmlerskskkresel olmayan Fermi yzeyleri ortaya karmtr.

4-4- Maddeleri; metal, yar iletken ya da yaltkandr diye ayrabileceimiz bir sonu vermemitir.

5-5-Hemenhemenmkemmelkristallerdeserbestelektronlarnortalamaserbestyolununokuzun olmasnn sebebini aklayamamtr.

Buvebenzeriglkler,ancakperiyodikkristalpotansiyelidikkatealnarakalabilir.nk,eer deneyselsonularnsaysalolarakaklanmasisteniyorsa,ozamankristalpotansiyelitamamengzard edilemez. Bu yzden yeni bir kuram olan Enerji Band Kuramn aklayacaz.

ENERJ BAND KURAMI

Periyodik rg indeki Elektronlarn Kuantum Teorisi:

Metalleriindekielektronlarserbestelektronlardvebuelektronlarincelerkenserbestparacklarveya ideal gaz gibi ele almtk. Bu elektronlarn klasik paracklardan fark Fermi-Dirac statistiine uymalardr. Bunun neden byle olduunu ak bir ekilde ifade etmemitik ve baz metallerde serbest elektronlarn ok bulunmasnyaniiyibiriletkenolmasn,bazlarndahiserbestelektronbulunmaynyaniyaltkan olduunu aklamamtr.

Kristal iinde en basit kuantum mekaniksel model yledir: Elektron mkemmel bir ekilde periyodik bir potansiyel etkisi altndadr ve bu potansiyelin periyodu rg potansiyeli ile ayndr.Bir kristalin bu tek elektron modelinde periyodik potansiyelin u ekilde olduu dnlmektedir:

Bupotansiyelrgnoktalarnayerletirilmiiyonlarnperiyodikykleriilebtnkristaliineyaylm serbestyktayclarnnoluturduuortakpotansiyeldenolumaktadr.ButoplampotansiyeleKristal Potansiyeli denir.

Kristal Potansiyeli

EKL 3

Elektronun iinde hareket ettii ( ) r V, kristal potansiyeli iki terimden oluur. Bunlarrgyoluturaniyonkorlar(merkezleri)ileiletimelektronlarnnetkilemesindendoan ( ) r Vi, potansiyeli ve iletim elektronunun teki iletim elektronu ile etkilemesinden doan ( ) r Ve, potansiyelidir. Bu potansiyellerin toplam:

( ) r V,=( ) r Vi,+( ) r Ve,= Kristal Potansiyeli

rnekolarakNakristalinidikkatealrsak,3sbandndakibirelektrondierNaatomundakidier elektronlarla etkiletii gibi, rgy oluturan Na+ iyonlar ile de etkileir. 3s bandndaki bir elektronun iyon korlaryla etkilemesinden doan potansiyel;

() () =jj i iT r V r V,, , { ()deiir de r V deitike yeri korununiyon ji,

jT,: teleme vektr olup, herhangi bir iyon korunun yeri temel rg vektrleri ile verilir. 2 2 1 1a n a n T, ,,+ =

( ) r Vi,nin potansiyeli jT, teleme vektrne bal olduu iin periyodik bir potansiyeldir. Oysaelektron-elektronetkilemesinitemsileden ( ) r Ve,potansiyelinintayinindeaadasralanan glkler vardr. 1.Bu terim, verilen bir elektronla etkileen teki btn elektronlarn durumlar bilinirse, ancak o zaman hesaplanabilir.2.Elektron rg iinde sabit bir hareket srdrdnden ( ) r Ve,potansiyeli daima sabittir. Dolaysyla, bu potansiyelin periyodik olduu dnlemez.3. ( ) r Ve,hesaplanrken btn elektronlarn durumunu ayn anda dnmek gerekir. Bu ise ok parack problemi olarak bilinir.

Yukardasralananglklerinyanndaelektron-elektronetkilemesininzayfoluubirkyolu gstermektedir. Bu da kristal potansiyelinde ( ) r Ve,nin dikkate alnmayacan gsterir.

Sonu olarak; sabit ve periyodik deikenlerin toplam yine bir deikendir ve periyodiktir.

( ) r V,=( ) r Vi, ( ) r V,=( ) jj iT r V,,

Kristal Potansiyeli

Kristal Potansiyelinin Oluumu:

Elektronlarniyonkorlarilevedierelektronlarlaetkilemesiperiyodikbirpotansiyeldourmutur. Yukarda bahsettiimiz periyodik bir potansiyel iinde bir elektronun Schrodinger denkleminin zm, bize butekelektronaaitkuantumdurumununbirtakmnverir.Bukuantumdurumlarelektronlartarafndan igal edilebilir veya Pauli Darlama lkesine uygun olarak dier elektronlar tarafndan doldurulabilir.

EKL 4

Bandyaplarnn oluumunu incelerken, bu ekildeki bir potansiyeli ele alacaz ve kristal iinde enerji-bandyaplarnnnaslolutuunuinceleyeceiz.lkolarakzmetekelektrondalgafonksiyonuile balayacaz. Tek elektron modeli ayn zamanda Bloch Teoremi (Bloch elektron modeli) olarak ta bilinir. Bu dalga fonksiyonu rg periyodu ile ilgili baz nemli zellikler tar. Bu fonksiyonlar yardm ile elektronun alabileceienerjiseviyeleribulunur,elektronbuenerjiseviyelerininbazlarndabulunabilir,bazlarnda bulunamaz.Buekildeperiyodikpotansiyelesahipbirsistemdeelektronunalabileceienerjiseviyelerinin oluturduuyapyaizinliyadamsadelienerjibanddenir.Bubantlarelektronlariinizinliolmayanve yasakblgedenen(yasakenerjiaral,enerjigap)elektronlarnbulunamadblgelerlebirbirinden ayrlmlardr.

Enerjiseviyelerininyarlmasnnekirdeklerarasuzaklabalolduunusyleyebiliriz.Tekatomun enerji dzeyleri Schrodingerdalga denkleminin zmnden elde edilebilir. Molekl oluturan iki atom yan yana geldiinde bir atomun elektronu dierinin potansiyelinden etkilenerek eski dzeyinin bir altnda ve bir stnde yeni enerji dzeylerine sahip olurlar. Bylece kuantum durumlarnda yozlama gzlenmez.

Katy oluturmak iin yan yana gelen N atom halinde tek atom halindeki her enerji dzeyi N tane enerji dzeyine yarlr. Enerji seviyelerinin yarlmas ekirdekler arasndaki uzakla baldr. ekirdekler aras mesafe bykse yarlma kk olur. Ayrca bir atomun enerji seviyelerinin yarlmas halinde ekirdee yakn olan yrngelerdeki elektronlar atoma sk balandndan dier atomlar tarafndan daha az rahatsz edilirler ve bunun sonucunda enerji yarlmas az olur. D yrngelerdeki elektronlar ise dier atomun potansiyelinden daha fazla etkilendiinden bunlarn enerjilerindeki yarlmalar da geni olur. (ten da doru enerji yarlmas geniler, enrji gap daralr.)

Her bandn katdaki atom saysna yarldn sylemitik. Katnn cm3nde yaklak 1023 tane atom varsa ve tipik bir bant geniliini 5 eV alrsak iki enerji seviyesi arasndaki fark 232310 . 5105=olur. bu kadar yakn enerji seviyelerine kesikli diye bakmak zor olduundan srekliymi gibi kabul edilir.

Bloch Teoremi:

zinli enerji band iinde olan elektronlarn dinamik davran pek ok adan serbest elektronun davranna benzemektedir. Kristalin iletken veya yaltkan oluu sorusuna cevap; tamamen bant iinde bulunan kuantum durumlarnn tamammen veya ksmen dolu oluuna baldr. Kristalin tek elektron modeli (Bloch Teoremi) kristaller iin geerli olan serbest elektron modelinin uygunluunu bir ok adan gstermektedir. Bloch teoremi periyodik kristal potansiyeli altnda tek elektron dalga fonksiyonu ile ilgili matematiksel bir ifadedir.

= . E . H

) x (22 2Vxm 2H +cc =h

( ) ( )( )0 . ) V E (m 2x. E . Vxm 2xf) x (2 2) x (2x x ) x (2) x (22) x (= +c c = +c c _ hh

Serbest elektron durumunda 0 V) x (= idi o zaman f(x) = k2 = sabit olur.

()(); zm in ' ise f f f Ee. idi Aex ) na x ( ) a x ( ) x (ikxx = == + ++

(){ . fonk Bloch : U U . e) x ( k ) x ( kikxx=

()) ir periyodikt ( . fonk Bloch : Uir periyodikt :) x ( kx

() = + xikna) na x ( e Tek elektron modelinde kristal iindeki bir elektronun dalga fonksiyonu

KRSTAL MOMENTUMU VE ETKN KTLE

Elektronlar iin RH (-) olmas etkin ktle ile aklanabiliyor.

ktle etkin mF FF. m mF FmFmmFdtdaF Fdtdm Fa . m F*. rg . uy. uy0*. rg . uy*. uy0*. uy. rg . uy top= += + = =0=+ =0==, ,,, ,,,,, , ,,

rg kuvveti: Kristal potansiyeli ile elektronun etkilemesi sonucu rg tarafndan uygulanan kuvvettir.

0*rg0*rg0*rgm m Fm m Fm m 0 F> =< + == =,,,

Etkin Ktle: Kristal potansiyeli etkisi altnda grup halinde hareket eden elektronlarn sahip olmu olduu ktleye denir. Kristal Momentumu: Serbest paraca etki eden kuvvet sfrdr. Bu netice bizi elektronun ktlesinin sabit olduu sonucuna gtrr.

Oysa kristal iinde hareket eden elektron kristal potansiyelinin etkisindedir. Ve bu nedenle elektrona etki eden bir kuvvet vardr. Bu durumda elektronun momentumu sabit deildir. yle bir momentum tarifleyelim ki kristal iindeki elektron iin sabit olsun. Buna kristal momentumu denir.

mkk mhP ,m 2P2hh = 0 = 0 == = c

mkdkdm 2k2 2 2h h=c = c

c= 0dkd 1hSerbest parack iin hz ifadesi

mkdkd 1 hh=c

c= 222dkdm hSerbest parack iin ktle ifadesi

Kristal indeki Elektronun Enerji ve Etkin Ktle fadesi

Kristal iindeki bir elektronun d bir kuvvet etkisi altnda olduunu syleyelim.Kristal iindeki elektronlar iin grup hzndan bahsedilir.

Grup hz:dkd 1gc= 0 h

Momentumu:dtdkFdtP dF , k P h,,, ,h,= = =

F m .dkd 1dtddtdm*g*=((

c=0h

c=222*dkdmhetkin ktlenin ?ye bal deiimi