Kapitel 7

Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2009, version 2.2

Magnetfelder und

Teilchenfokussierung

2

Übersicht

Magnete• Warum Fokussierung?• Geometrische (schwache) Fokussierung• Dispersionsbahn im homogenen Magnetfeld• Magnettypen• Maxwellgleichungen für Magnetostatik• Fokussierung mit Quadrupolen

Vom Quadrupole zur Stahloptik• Fokussierung mit einem Linsensystem in einer Ebene• Transformationsmatrizen• Fokussierung mit einem Linsensystem in beiden Ebenen

3

Warum Strahloptik und Fokussierung?

Teilchen haben unterschiedliche Anfangsparameter (Position, Winkel) undlaufen mit der Zeit auseinander

• Mit der Annahme, dass zwei Teilchen eine Winkeldifferenz von 10-6 rad haben, würden die Teilchen nach einer Strecke von 106 m um 1 m auseinanderlaufen. Bei LHC, mit einer Länge von 26860 m, wäre das nach 50 Umläufen (5 ms !)

Teilchen würden durch die Gravitation „herunterfallen“

An verschiedenen Stellen des Beschleunigers soll der Strahl eine definierte Dimension haben

• am Kollisionspunkt im Speicherring sollen die Strahlen klein sein

Teilchen mit unterschiedlicher Energie sollen nicht auseinanderlaufen

4

Geometrische „Fokussierung“ im homogenen Dipolfeld

z

x

s

v

B

FB

Zwei Teilchen, die mit gleicher Energie von der gleichenPosition mit leicht unterschiedlichem Anfangswinkel starten, treffen sich nach jedem halben Umlauf.

Sollbahn

TeilchenA

TeilchenB

5

Geometrische - Schwache - Fokussierung

Annahme: der Winkel zwischen beiden Teilchenbeträgt = 1 mrad.

Der maximale Abstand zur Sollbahn ist:

xmax = R

Bei einem Radius von 1 m wäre dieser Abstandxmax = 1 mm

Bei einem Radius von 1000 m wäre dieser Abstandxmax = 1 m xmax

Die schwache Fokussierung gilt nur in der Ebene senkrecht zum Magnetfeld.

In der anderen Ebene laufen zwei Teilchen mit unterschiedlichen Anfangswinkel kontinuierlich auseinander.

Es wird eine fokussierende Kraft benötigt.

6

Dispersionsbahn im homogenen Dipolfeld

B

Zwei Teilchen, die mit unterschiedlicher Energie und gleichen Winkel von der gleichen Position starten, kommen nach jedem Umlauf zur gleichen Position zurück.

Sollbahn Teilchen rotmit Impuls p0

Teilchen blau mit Impuls p1

auf Dispersionsbahn

),,(),,(

zsx1

q

pzsxR

z

00 B

),,(),,(

zsxqp

zsxR

ppp

zB11

1

01

pDsx xD )(

)(sxD

7

Magnettypen

Dipolmagnet – konstantes Feld in Apertur

Quadrupolmagnet – Feld im Zentrum Null, linear ansteigend (entspricht einer Linse in Lichtoptik)

Sextupolmagnet - Feld im Zentrum Null, quadratisch ansteigend

z

x

z

x

Feldlinien für Dipolmagnetfeld Feldlinien für Quadrupolmagnetfeld

Eisenjoch

ParalleleEisenpole

SpuleN

S

Vakuum-kammer

Dipolmagnet

HyperbolischePolflächen

SpulenEisenjoch

N

N

S

Sx

z

x

z

SN

NS

Quadrupolmagnet

N

S

Vakuum-kammer

Bz

9

Quadrupolmagnet

Rende Steerenberg (CERN)

Magnetfeld

Hyperbolische Flächex · y = constant

10

Dipolmagnet

11

Dipolmagnet und Quadrupolmagnet: Realisierung

Magnet für SNSBeam’s eye view of an SNS half cell. From front to back: corrector, quad polefaces, sextupole faces, and last the dipole

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Magnetostatik

Magnetische Induktion oder Magnetische Flussdichte - gemessen in Tesla – vielfach auch mit Magnetfeld bezeichnet

]/[ mAH

][][2m

sV oder Tesla

BB

AmVs

104 mit 7

00

HB

Magnetfeld gemessen in A/m

Im Vakuum sind magnetische Induktion und Magnetfeld gleichwertig:

In einem isotropen Material mit der Permeabilität gilt :

HB

0

Im allgemeinen ist etwa 1, doch für ferromagnetische Materialien ist in der Grössenordung von einigen tausend.

14

Magnetfeld in den Koordinaten des Beschleunigers

),,(

)),,(),,,(),,,((),,(

),,(

)),,(),,,(),,,((),,(

ds

d

dx

d

dx

d

dz

d

dz

d

ds

d

zsxzsxzsxzsx

:gilt gerBeschleuni den für nsystemKoordinate- sz, x,Im

dy

d

dx

d

dx

d

dz

d

dz

d

dy

d

zyxzyxzyxzyx

:gilt nsystemKoordinate - zy, x,Im

xszxsz

szx

xyzxy

zyx

BBBBBBB

BBBBB

BBBBBBB

BBBBB

z

z

x

s

vB

F

15

Maxwellgleichungen für Magnetostatik im Vakuum

0 :folgt

und

0 :Gesetz enMaxwellsch ersten dem Aus

0 : Gesetz enMaxwellsch vierten dem Aus

0

B

HB

HrotH

BdivB

16

Quadrupol: Fokussierung in einer Ebene, Defokussierung in der anderen Ebene

0rot BB

Annahme im 2-dimensionalem Fall (keine Feldkomponente in Richtung der Teilchenbewegung) :

0 : wirdangenommen da ),0,( sz BBBB x

00dz

d

dx

d0 xz ),,(

BBB

und daher:

dz

d

dx

d xz BB

z-Komponente des Quadrupolmagnetfeld auf der x-Achse

Typischer Wert:

x

z

mT20dx

d z /B

17

Teilchenablenkung in einem Quadrupolmagnet

Annahme: Teilchen mit positiver Ladung läuft in s-Richtung indie Tafelebene hinein

z

x

zconstz

xconstx

x

z

)(

)(

B

B

x

z

s

z

s

x Sicht von der Seitefokussierend

Sicht entlangder Teilchenbahn

Sicht von obendefokussierend

Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2009, version 2.2

Strahloptik

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Fokussierung eines Linsensystems in einer Ebene

d

f1 f2

The focal length of a two lense system is: 1

F =

1

f1

1

f2

d

f1 f2

F

20

Fokussierung eines Linsensystems in beiden Ebenen

d = 50 m

Horizontale Ebene

Vertikale Ebene

f1 100m

f2 100 m

d 50m

F1

f1

1

f2

d

f1 f2

1

F 200 m

21

Transformationsmatrizen

Annahme: Ein Teilchen hat die Koordinaten: Position x0 und Winkel x0’

Wie in der Lichtoptik lässt sich die Teilchenbahn mit Transformationsmatrizenberechnen

s

L

f

s0 … beim Eintritt in die dünne Linse

s1 … beim Austritt aus der dünnen Linse

s2 … nach einer Strecke L

0

0

1

1

x

x

x

x

''M

s1s0 s2

22

Transformationsmatrix für eine dünne Linse

s

f

f

xx

x

x

x

x

dc

ba

x

x

0

0

1

1

0

0

1

1

'

''001

001

xdxcx

xbxax

''

'

001

01

xxf1

x

xx

''

1f1

01M

/

s1s0

23

Transformationsmatrix für eine feldfreie Strecke: „Driftstrecke“

s

Lf

1

11

2

2

1

1

2

2

x

xLx

x

x

x

x

dc

ba

x

x

'

'

'

''

12

112

xx

xLxx

''

'

10

L1M

s1

s2

Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - Februar 2007, version 2.0

Anhang

25

Anhang: Maxwellgleichungen

ngVerschiebu chedielektris mC

eStromdichtmAj

tj :Gesetz esMaxwellsch 1.

2

2

]/[

]/[

D

DHrotH

sgesetz)(Induktion t

Gesetz ches2.Maxwells BErotE

hteLadungsdic mC

tik)Elektrosta der tz(Grundgese Gesetz ches3.Maxwells3

el

el

]/[

DdivD

tik)Magnetosta der tz(Grundgese 0 Gesetz ches4.Maxwells BdivB

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Maxwellgleichungen: Zeitlich konstant, im Vakuum

: ung Verschiebchedielektris keine

0 : Material) esmagnetisch (kein rungMagnetisie keine

0 : )Elektronen für Leiter (keine Strom erelektrisch kein

0 ED

M

j

HB

0 :gilt daher

0 Gesetz ches4.Maxwells

0 Gesetz ches3.Maxwells

0 Gesetz ches2.Maxwells

0 Gesetz esMaxwellsch 1.

BdivB

DdivD

ErotE

HrotH