kalkulus_turunan parsial
Transcript of kalkulus_turunan parsial
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
Turunan Parsial
• Misalkan z = f(x, y) adalah fungsi variabel bebas x dan y. Karena x dan y bebas,
• (i). dapat dimungkinkan x yang berubah-ubah (variabel), sementara y dianggap tetap (konstanta),
• (ii).dapat dimungkinkan y berubah-ubah (variabel)sementara x dianggap tetap (konstanta),
• (iii). dapat dibolehkan x dan y keduanya berubah bersama-sama. Pada dua keadaan pertama, z merupakan fungsi variabel tunggal dan dapat diturunkan menurut aturan-aturan yang biasa.
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
• Jika x berubah sedangkan y dianggap tetap, z adalah fungsi x dan turunannya ke x.
x
yxfyxxf
x
zyxf
xx
),(),(lim),(
0
disebut turunan (pertama) parsial dari z = f(x, y) ke x.Jika y berubah sedangkan x dianggap tetap, z adalah fungsi y dan turunannya ke y.
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
y
yxfyyxf
y
zyxf
yy
),(),(lim),(
0
Contoh 1 :Z = 2x2 – 3 xy + 4y2
Perlakukan y sebagai konstan dan turunkan ke x, didapat : = 4x – 3y
Perlakukan x sebagai konstan dan turunkan ke y, didapat : = - 3x + 8y
x
z
y
z
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
Contoh 2
x
y
y
xz
22
Perlakukan y sebagai konstan dan turunkan ke x, didapat :
2
22
x
y
y
x
x
z
Perlakukan x sebagai konstan dan turunkan ke y, didapat :
x
y
y
x
y
z 22
2
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
Contoh 3 :Luas segitiga diberikan sebagai K = ½ ab sin C. Jika a = 20, b = 30 dan C = 30o. carilah :a.Laju perubahan K terhadap a, jika b dan C konstanb.Laju perubahan K terhadap C, jika a dan b konstanc.Laju perubahan b terhadap a, jika K dan C konstan
2
3
sin
)sin2
1(2
sin
2;
sin
2 ).(
3150)30)(cos30)(20(2
1cos
2
1 ).(
2
15)30)(sin30(
2
1sin
2
1 ).(
22
0
0
a
b
Ca
Cab
Ca
K
a
b
Ca
Kbc
CabC
Kb
Cba
Ka
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
2225 yx
z
x
yx
x
x
z
2225z
y
yx
y
y
z
2225
Contoh 4 :Carilah turunan parsial pertama dari z terhadap variabel-variabel bebas x dan y x2 + y2 + z2 = 25 Penyelesaian 1 :Selesaikan z untuk mendapatkan z =
Maka :
dan
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI.
x
z
)( 2
2
x
z
x (x,y)f
x
zxx
)( 2
x
z
y (x,y)f
xy
zyx
Turunan parsial
dari z = f(x, y) dapat diturunkan parsial lagi ke x dan ke y, menghasilkan turunan parsial kedua :
dan
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
Dengan cara yang sama dari dapat diperoleh :y
z
dan )( 2
y
z
x (x,y)f
yx
zxy
)(
2
2
y
z
y (x,y)f
y
zyy
Jika z = f(x, y) dan turunan parsialnya kontinu, urutan diferensiasi tak menjadi soal, yaitu :
xy
z
yx
z
22
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
Contoh : Z = x2 + 3xy + y2
yxx
z32
2)( 2
2
x
z
x (x,y)f
x
zxx
3 )( 2
x
z
y (x,y)f
xy
zyx
yxy
z23
3)( 2
y
z
x (x,y)f
yx
zxy
2)( 2
2
y
z
y (x,y)f
y
zyy
,
,
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
y
z
x
z
dan 1. Masing-masing fungsi berikut ini, carilah
Latihan Soal
a. z = x2 + 3xy + y2
22 b.
x
y
y
xz
c. z = sin 3x cos 4yd. x2 – 4y2 + 9z2 = 36
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
2. Untuk masing-masing fungsi berikut, carilah
2
222
2
2
, , ,y
z
xy
z
yx
z
x
z
a. z = 2x2 – 5 xy + y2
b. z = sin 3x cos 4y
22 c.
x
y
y
xz
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
Diferensial Total dan Turunan Total
Perhatikan fungsi dua variabel bebas x dan y, z = f(x, y), dan definisikan dx = x dan dy = y. Bila x berubah, sedangkan y tetap, z merunakan fungsi x saja dan diferensial parsial z terhadap x didefinisikan sebagai :
dx z = fx(x,y)dx = dx x
z
Dengan cara sama, diferensial parsial z terhadap y didefinisikan oleh dyz = fy (x, y) dy = dy
y
z
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
Diferensial total dz didefinisikan sebagai jumlah diferensial parsialnya, yaitu,
Untuk fungsi w = f(x, y, z, …………..,t) diferensial total didefinisikan sebagai :
dyy
zdx
x
zdz
dtt
wdz
z
wdy
y
wdx
x
wdw
..............
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
Contoh 1 :
Carilah diferensial totalnya :
Penyelesaian :
= 3x2 y + 2xy2 + y3
z = x3y + x2y2 + xy3
x
z
= x3 + 2x2y + 3xy2
y
z
dyyz
dxxz
dz
Maka
= (3x2y + 2xy2+ y3) dx + (x3 + 2x2y + 3xy2) dy
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
diferensial total fungsi variabel banyak memberikan suatu pendekatan yang baik dari pertambahan total fungsi itu
Contoh 2 :
Di dalam mengukur balok persegi panjang, dimensi yang didapatkan 25, 30, dan 50 cm dengan kemungkinan kesalahan 0,125 cm pada setiap pengukuran. Cari perkiraan kesalahan maksimum pada luas permukaan balok dan persentase kesalahan luas yang disebabkan oleh kesalahan masing-masing pengukuran ?
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
Penyelesaian :
Luas pengukuran S = 2(xy + yz + xz), maka
dS =
Kesalahan terbesar dari S akan muncul bila kesalahan tiap-tiap pengukuran mempunyai tanda yang sama, misalnya positif. Maka :
dzz
Sdy
y
Sdx
x
S
= 2 (y + z) dx + 2(x + z) dy + 2(y + x) dz
dS = 2(30 + 50)(0, 125) + 2(25 + 50)(0,125) + 2(30 + 25)(0,125) = 52, 5 cm2
Persentase kesalahan (kesalahan/luas)(100) = 5250/700 = 0, 75 %
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
ATURAN RANTAI UNTUK FUNGSI BERSUSUN.
Jika z = f(x, y) suatu fungsi kontinu dari variabel-variabel x. y. dengan turunan parsialnya z/x dan z/y, kontinu, dan jika x dan y merupakan fungsi variabel t yang diferensiabel x = g(t), y = h(t), maka z adalah fungsi t dan dz/dt, disebut turunan total z ke t, dinyatakan oleh ,
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
Dengan cara yang sama, w = f(x , y , z, ……) adalah fungsi yang kontinu dari variabel-variabel x, y, z ,…… dengan turunan parsial yang kontinu dan jika x, y, z , …… merupakan fungsi variabel t yang diferensiabel, turunan total w ke t dinyatakan oleh :
.........
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
Jika z = f(x, y) adalah fungsi variable x dan y yang kontinu dengan turunan parsialnya z/x dan z/y yang kontinu dan jika x dan y merupakan fungsi-fungsi kontinu x = g(r, s), y = h(r, s) dari variable bebas r dan s, maka z merupakan fungsi r dan s dengan :
Dengan cara yang sama, jika w = f(x, y, z, …….) merupakan fungsi kontinu dari n variable x, y, z, …… dengan turunan parsialnya w/x, w/y, w/z …… yang kontinu dan jika x, y, z,……. Merupakan fungsi yang kontinu dari m variable bebas r, s, t,……, maka :
r
y
y
z
r
x
x
z
r
z
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
dan
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
............
............
ds
dz
z
w
ds
dy
y
w
ds
dx
x
w
ds
dw
dr
dz
z
w
dr
dy
y
w
dr
dx
x
w
dr
dw
Contoh 3 : Cari dz/dt, bila diketahui
Z = x2 + 3xy + 5y2, x = sin t, y = cos t
x
z
dt
dxdt
dy
= 3x + 10y,
= cost, = - sint
= 2x + 3y, y
z
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
Contoh 4 : Carilah dz/dt, bila diketahui
Penyelesaian :
Maka ,dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
t
z
= (2x + 3y) cos t – (3x + 10 y) sin t
z = ln (x2 + y2), x = e-t dan y = et
tt edt
dze
dt
dx
yx
x
y
z
yx
x
x
z
,
2,
22222
Maka, dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
t
z
UNIVERSITAS WIDYATAMA TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK
2222222
22
yx
xeyee
yx
xe
yx
x
x
z tttt
Maka :