Kalkulus by Mohammad Faizun
description
Transcript of Kalkulus by Mohammad Faizun
Cara Mudah Belajar
K A L K U L U SFungsi, Differensial dan Integral
EDUMACS Publisher
Paham kalkulus berarti mengerti arti geometri dari:- bilangan- fungsi- differensial- integral
“..itulah yang akan dijabarkan dalam buku inisecara gamblang sehingga mudah dimengerti”
Mohammad Faizun, S.T., M. Eng
+MATLAB
EduMacs Publisher _____________________________________________________
i
Cara Mudah Belajar Kalkulus Fungsi, Differensial, dan
Integral
Oleh: Mohammad Faizun
Edisi pertama
Cetakan Pertama, 2012
Hak Cipta © 2012 pada penulis,
Hak cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak
atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk
apapun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk
memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya,
tanpa izin tertulis dari penerbit.
EduMacs Publisher
EduMacs Publisher _____________________________________________________
i
KATA PENGANTAR
Mata kuliah Kalkulus atau beberapa perguruan tinggi
menyebutnya Matematika 1 merupakan mata kuliah wajib pada
fakultas teknik dan MIPA. Kalkulus adalah cabang matematika
yang fokus pada fungsi, limit, derivative, integral, dan deret
takhingga seperti deret Taylor dan Mc Laurin.
Kalkulus menjadi basis banyak mata kuliah lain seperti Fisika
Dasar, Matematika Teknik, Termodinamika, Kinematika dan
Dinamika, Mekanika, Mekanika Fluida, Teknik Kendali, Robotika,
dan masih banyak lagi. Untuk itu pemahaman penuh akan materi
kalkulus sangat diperlukan untuk dapat memahami dengan baik
materi kuliah yang ditopangnya.
Banyak mahasiswa yang kesulitan belajar Kalkulus sehingga tidak
bisa memahami sepenuhnya. Hal ini akan menjadi efek domino
buruk yang berimbas pada mata kuliah yang ditopangnya. Buku ini
ditulis untuk menjelaskan materi Kalkulus dengan apa adanya
dengan tujuan untuk membantu mahasiswa memahami Kalkulus
dengan mudah. Semoga demikian adanya.
Buku ini awalnya disusun sebagai bahan ajar mata kuliah Kalkulus
(4 sks) pada Jurusan Teknik Mesin Universitas Islam Indonesia.
Buku ini disusun selengkap, sesederhana, dan sejelas mungkin
dengan dukungan gambar dan grafik ilustrasi serta contoh dan
latihan soal.
EduMacs Publisher _____________________________________________________
ii
Kami ucapkan terima kasih kepada berbagai pihak atas peran,
bantuan, dan dukungan dalam penyusunan buku ini.
1. Bapak Machmudin dan Ibu Siti Solikhatun atas cintanya,
2. Bapak Narsito dan Ibu Mintarsih atas kasih sayangnya,
3. Istriku dr. Yolanda Dyah Kartika untuk doa, semangat, dan
dukungannya,
4. Semua guru di sekolah dan universitas atas ilmu yang telah
diberikan,
5. Semua rekan kerja di Prodi Teknik Mesin UII atas
semangat kebersamaannya,
6. Seluruh Mahasiswa Prodi Teknik Mesin UII,
7. Dan pihak lain yang tidak bisa kami sebutkan satu persatu
yang telah banyak membantu dalam penyusunan buku ini.
Meskipun telah diusahakan agar menjadi sebaik mungkin, namun
penulis menyadari pastilah ada kekurangan dalam buku ini. Untuk
itu penulis membuka saran dan kritik membangun dari pembaca
untuk dapat menyempurnakan edisi berikutnya bisa via email atau
facebook ([email protected]).
Semoga buku ini bermanfaat.
Jalan Kemuning 2/419
Mohammad Faizun
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 1
BAB 1
FUNGSI DAN GRAFIK
1.1 Titik, Garis, dan Kurva
Subbab ini membahas tentang hubungan antara titik dengan
garis, garis dengan garis, garis dengan kurva, dan titik dengan
kurva. Ide dari pembahasan tersebut akan berguna pada
pembahasan fungsi dan grafik.
a. Satu titik
Dapat dibuat tak hingga banyaknya garis lurus yang
melalui sebuah titik. Arah semua garis adalah radial
terhadap titik A.
Gambar 1.1 Satu Titik dan Garis
X
Y
A
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 2
Kita bisa membuat banyak sekali garis dengan sebarang
arah seperti terlihat pada gambar di atas.
KUIS: Sebutkan berapa banyak garis lurus yang bisa
dibuat yang hanya memotong sumbu X!
b. Dua titik
Hanya satu buah garis yang dapat dibuat melalui dua buah
titik sekaligus. Pada gambar 1.2: melalui titik A dan titik B
hanya dapat dibuat sebuah garis (yakni garis 1). Garis 2
hanya melalui A saja dan garis 3 hanya melalui B saja.
Gambar 1.2 Dua Titik dan Garis
X
Y
A
B
1
2
3
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 3
Akan tetapi melalui dua buah titik dapat dibuat tak hingga
banyaknya kurva yang melaluinya.
.
Gambar 1.3 Dua Titik dan Kurva
Melalui titik A dan titik B dapat dibuat kurva (1), parabola
(2), lingkaran (3), dan seterusnya.
c. Banyak titik
Kondisi tiga buah atau lebih dapat berada pada dua
kemungkinan.
c.1. Tiga titik atau lebih yang semuanya segaris
Melalui tiga titik atau lebih yang segaris hanya ada satu
garis lurus yang dapat dibuat dan juga tak hingga
X
Y
A
B
1
2 3
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 4
banyaknya kurva yang dapat dibuat melalui tiga titik
tersebut.
Gambar 1.4 Banyak Titik Segaris
c.2. tiga titik atau lebih yang tidak segaris
Melalui tiga titik yang segaris tidak ada satu pun garis
lurus yang dapat dibuat akan tetapi tak hingga
banyaknya kurva yang dapat dibuat melalui tiga titik
tersebut.
Gambar 1.5 Banyak Titik Segaris
A
B C
1
2
3
1
2
3
A
C
B C
A
B
1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 5
-23
IXX 24,999
1.2 Garis Bilangan
1.2.1 Jenis Bilangan
Mendengar bahasan bilangan biasanya yang terlintas di
pikiran kita adalah angka-angka. Satu lagi yang berhubungan
dengan angka-angka, yakni nomor. Apakah mereka memiliki
pengertian yang sama?
Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan
untuk melambangkan bilangan. Nomor biasanya menunjuk
pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah
bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat
yang berurutan. Bilangan adalah suatu konsep matematika
yang digunakan untuk pencacahan, pengukuran, dan
perhitungan.
Coba perhatikan gambar di bawah!
Gambar 1.6 Bilangan, Angka, dan Nomor
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 6
Coba tunjukkan manakah yang angka, nomor, dan
bilangan pada gambar di atas! Berikan alasannya!
Gambar 1.7 Kategori Bilangan
Perhatikan gambar 1.7 di atas! Pada dasarnya semua
bilangan adalah bilangan kompleks, yakni memiliki bagian
real dan bagian imajiner. Bilangan kompleks dapat dinyatakan
dengan:
Gambar 1.8 Bilangan Kompleks
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 7
Bilangan imajiner adalah bilangan yang merupakan akar
dari bilangan negatif. Contoh:
, , , , dst.
Untuk memudahkan penulisan dalam buku-buku
digunakan simbol i dan j untuk menggantikan . Sehingga:
dengan cara yang sama,
Bilangan imajiner hanya ada dalam perhitungan matematis.
Mereka tidak bisa digunakan untuk pencacahan.
Selain bilangan imajiner adalah bilangan real, yakni
bilangan yang biasa digunakan sehari-hari untuk pencacahan
dan perhitungan. Mereka tidak memiliki faktor i (imajiner).
Bilangan real bisa dibedakan menjadi dua jenis, yakni
bilangan rasional dan irrasional. Yang dimaksud rasional
adalah bilangan yang bisa diungkapkan dalam bentuk rasio
atau perbandingan (ratio).
Contoh: -5; 1 ; 0,123; 1/3; 1,01010…; 0,666666….. dsb.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 8
Semua bilangan bulat pasti bisa diungkapkan dengan
bentuk perbandingan (cukup jelas bukan?). Bilangan pecahan
juga sudah jelas. Bilangan decimal yang termasuk bilangan
rasional ciri-cirinya adalah memiliki susunan angka-angka
yang berulang (lihat contoh di atas), karena sesungguhnya
bilangan tersebut adalah bilangan pecahan yang diungkapkan
dalam bentuk desimal.
Dan tentunya bilangan irrasional adalah bilangan yang
tidak bisa diungkapkan dalam bentuk rasio.
Contoh:
π = 3,14159265…..
Bilangan rasional masih bisa dibedakan menjadi beberapa
kategori lagi. Untuk lebih jelasnya bisa dilihat pada gambar
1.9 berikut!.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 9
Gambar 1.9 Diagram Jenis-jenis Bilangan
LATIHAN 1.1 _____
Benarkah pernyataan-pernyataan berikut? Berikan alasan yang
tepat!
1. Bilangan imajiner dikurangi dengan bilangan imajiner
menghasilkan bilangan real!
2. Bilangan imajiner dikali dengan bilangan imajiner
menghasilkan bilangan imajiner!
Bilangan Kompleks
Bilangan Real (nyata) Bilangan Imajiner
Bilangan Rasional Bilangan Irasional
Bilangan Pecahan Bilangan Bulat (Integers)
Bilangan Cacah Bilangan Bulat Negatif
Bilangan Asli Bilangan Nol
Bilangan Genap Bilangan Ganjil
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 10
3. Bilangan real adalah bilangan kompleks yang bagian
imajinernya bernilai nol!
4. Bilangan imajiner adalah bilangan kompleks yang bagian
realnya bernilai nol!
5. adalah bilangan irrasional!
6. adalah bilangan rasional!
7. adalah bilangan irrasional!
8. Bilangan kompleks dikali bilangan kompleks hasilnya
adalah bilangan real!
9. Diantara 0 dan 1 terdapat takhingga banyaknya bilangan
irrasional!
10.
__________________________________________________
1.2.2 Garis Bilangan
Coba sebutkan semua bilangan real diantara angka -5 dan
4! Benarkah hanya: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, dan 3?
Tentu saja tidak hanya itu kan? Yang disebutkan tadi
hanyalah bilangan bulat antara -5 dan 5, padahal bilangan
pecahan dan bilangan irrasional termasuk juga bilangan real.
Jadi, antara -5 dan 5 bisa dibuat banyak sekali bilangan real,
bahkan tak hingga banyaknya. Jangankan dengan batasan
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 11
tersebut, dari 0 hingga 0,001 saja sudah tidak memungkinkan
ditulis satu per satu.
Untuk memudahkan memperoleh gambaran himpunan
bilangan yang ada dalam batas tertentu dipakailah dua cara:
1. menggunakan notasi himpunan
Contoh: H adalah himpunan (kumpulan) semua bilangan
real yang nilainya lebih dari -5 dan kurang dari 4, dapat
ditulis dalam bentuk notasi:
H={ Rxxxx ,45:/ }
2. menggunakan garis bilangan.
Garis bilangan berfungsi untuk menggambarkan posisi
relatif dari nilai suatu bilangan. Garis bilangan diberi ruas-
ruas angka yang berskala.
Contoh:
Tentukan posisi nilai dari -2,2222; 0,001; 5; 15; 25,75; ¾;
π; -2i dan pada garis bilangan berikut!
Sebagai latihan silahkan coba dijawab sendiri dengan
menunjuk perkiraan posisi pada garis bilangan di atas!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 12
Himpunan seperti di atas berisi interval (rentang) bilangan
real. Batas interval sendiri bisa masuk dalam himpunan bisa
juga tidak tergantung dari ungkapan pernyataannya. Sehingga
ada tiga jenis interval:
a. interval terbuka
b. interval tertutup
c. interval semi terbuka
Berikut penjelasannya dalam beberapa contoh:
a. Interval Terbuka
Contoh:
H terdiri dari bilangan real antara -5 dan 4. Atau dapat
dinyatakan dengan:
H={ Rxxxx ,45:/ }.
Himpunan bilangan tersebut dapat dinyatakan dengan ruas
garis bilangan seperti berikut:
Skala yang dipakai disini adalah 1 meskipun sebenarnya
bebas saja asalkan cukup jelas untuk dibaca dan sederhana.
Lingkaran berlubang pada angka -5 dan 5 sebagai batas
ruas garis artinya adalah angka -5 dan 5 tersebut tidak
termasuk dalam himpunan. Ada tak hingga banyaknya
-5 4 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 13
bilangan pada ruas garis bilangan tersebut. Misalkan angka
1,000000012; 1,5; 1,75, dan 1,9999901 terletak diantara 1
dan 2 pada ruas garis tersebut, dan sebagainya.
b. Interval Tertutup
Contoh:
P adalah kumpulan bilangan real yang nilainya dari 0
hingga 1. Atau dapat dinyatakan dengan:
P={ Rxxxx ,10:/ }.
Sekali lagi bahwa sebenarnya bebas menentukan skala pada
ruas garis. Sebagai contoh disini akan dipakai skala 0,1
pada garis bilangan himpunan P.
Batas ruas garis adalah lingkaran hitam penuh di atas angka
0 dan angka 1, artinya angka 0, dan angka 1 termasuk
anggota himpunan.
c. Interval Semi Terbuka
Contoh:
A adalah kumpulan bilangan real dari 2 hingga kurang dari
5. Atau dapat dinyatakan dengan:
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 14
A={ Rxxxx ,52:/ }.
Perhatikan bulatan di atas angka 2 dan 5. Masing-masing
artinya adalah angka 2 termasuk dalam himpunan A
tersebut, sedangkan 5 tidak termasuk. Jadi untuk batas ≤
atau ≥ selalu memakai bulatan hitam penuh di atas angka
yang bersesuaian pada ruas garis bilangan.
Beberapa interval memiliki batas di titik takhingga,
contohnya:
d. T adalah kumpulan semua bilangan real kurang dari -5.
Atau dapat dinyatakan dengan: T={ Rxxxx ,5:/ }.
e. S adalah kumpulan semua bilangan real.
Atau dapat dinyatakan dengan: S={
Rxxxx ,:/ }.
2 5 4 3
5 4 2 3
4 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 15
Garis bilangan jenis inilah yang dipakai pada sistem
koordinat kartesius.
f. B adalah himpunan bilangan bulat dari -2 hingga 5.
Atau dapat dinyatakan dengan:
B={ Bxxxx ,52:/ }.
Garis bilangan yang menunjukkan himpunan B tersebut
adalah sebagai berikut:
Himpunan bilangan yang masuk semuanya ditulis dan
ditunjukkan dengan titik-titik hitam pada garis. Tidak ada
ruas garis tebal yang mengubungkan titik-titik angka
tersebut karena memang tidak ada angka diantaranya yang
termasuk anggota himpunan bilangan tersebut. Sebagai
contoh angka -1,0203; -1,25; -1,50 yang terletak di antara
angka -2 dan -1 bukanlah bilangan bulat, maka tidak
termasuk ke dalam himpunan B.
5 4 0 1 2 3 -2 -1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 16
1.3 Koordinat Kartesius
Koordinat kartesius dibentuk oleh garis bilangan yang saling
tegak lurus. Koordinat kartesius bidang terdiri dari garis bilangan
X dan Y, dan koordinat ruang terdiri dari garis bilangan X, Y, dan
Z. Masing-masing garis saling berpotongan di titik nol.
1.3.1 Koordinat kartesius bidang.
Sumbu horizontal X dan sumbu vertikal Y keduanya
merupakan garis bilangan dari himpunan seluruh bilangan real.
X=Y={ Rxxxx ,:/ }.Kedua sumbu terletak pada
sebuah bidang yakni bidang X-Y.
Gambar 1.10 Koordinat Kartesius Bidang
4 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1
4
1
2
3
-4
-3
-2
-1
X
Y
X-Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 17
1.3.2 Koordinat kartesius ruang.
Sumbu X, Y, dan Z ditentukan dengan aturan tangan kanan.
Arah sumbu X positif searah dengan lengan, arah sumbu Y positif
sama dengan arah jari yang ditekuk, dan arah sumbu Z positif
searah dengan arah ibu jari. Lihat gambar berikut!.
Gambar 1.11 Koordinat Kartesius Ruang
Sumbu X dan sumbu Y terletak pada bidang X-Y, sumbu X dan
sumbu Z terletak pada bidang X-Z, serta sumbu Y dan sumbu Z
terletak pada bidang Y-Z.
Z
Y
X
X
Y
Z
0 1 2 3 -3 -2 -1
1
2
3
-2
-1
-1
-2 -3
1
2 3
-3
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 18
Sebarang bilangan yang terletak sepanjang sumbu X biasa di beri
lambang x, dan sembarang bilangan yang terletak sepanjang
sumbu Y biasa di beri lambang y, begitu juga untuk sumbu Z diberi
lambang z.
Contoh:
a. Tunjukkan nilai x = 2, y = -1,5 pada koordinat kartesius X-
Y!
Kedua nilai tersebut ditunjukkan pada titik tebal sebagai
berikut:
b. Tunjukkan semua nilai x dengan batasan: 32 x dan
semua nilai y dengan batasan: 23 y pada koordinat
kartesius X-Y!
Y
X 0 1 2 3 -3 -2 -1
1
2
3
-2
-1
-3
X=2
y=1,5
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 19
Kedua himpunan tersebut ditunjukkan pada garis tebal
sebagai berikut:
LATIHAN 1.2_____________________________________
Manakah diantara pernyataan berikut yang benar?
1. A adalah himpunan/kumpulan bilangan real dari-1 sampai
4, maka A={-1, 0, 1, 2, 3, 4}.
2. B adalah himpunan/kumpulan bilangan bulat dari -3
hingga 1, maka A={-3, -2, -1, 0, 1}.
3. C adalah himpunan bilangan real dari -2 hingga 100, maka
-1,999999999 adalah anggota himpunan C.
4. Bilangan real antara -1 dan 1 adalah hanya 0.
5. 0 adalah bilangan real antara -1 dan 1.
Y
X 0 1 2 3 -3 -2 -1
1
2
3
-2
-1
-3
32:/ xxx
23:/ yyy
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 20
6. Ada tak hingga banyaknya bilangan bulat antara 0 dan 1.
7. Phi (π) adalah bilangan pecahan diantara 3 dan 4.
8. 7 adalah bilangan pecahan antara 2 dan 3.
9. Titik-titik berhimpitan tak hingga banyaknya sehingga
membentuk garis bilangan sebenarnya menunjukkan
angka-angka.
10. Banyaknya bilangan real diantara -100 hingga 2 sebanyak
titik-titik yang membentuk garis bilangan himpunan angka
tersebut.
__________________________________________________
1.4 Pola Aturan dan Variabel
Fungsi bisa diartikan sebagai pola aturan. Yang diatur disebut
variabel, yakni variabel dependen (terikat) dan variabel
independen (bebas). Contoh:
a. A adalah kumpulan bilangan bulat dari -5 hingga -2. Peraturan
F menyatakan bahwa: himpunan B adalah himpunan bilangan
hasil perkalian masing-masing anggota himpunan A dengan
angka 2.
Aturan F : masing-masing anggota A dikali 2,
Variabel dependennya : anggota himpunan B
Variabel independennya : anggota himpunan A
Jadi,
A={-5, -4, -3, -2} : variabel independen,
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 21
B={-10, -8, -6, -4} : variabel dependen, karena
bergantung dari nilai A, sekaligus sebagai
hasil dari aturan F. Himpunan A dan B dapat
dibedakan dengan jelas dengan melihat
anggotanya.
b. X adalah himpunan semua bilangan real. Aturan R
menyatakan bahwa Y adalah himpunan semua bilangan hasil
perkalian semua nggota X.
X dapat dinyatakan dengan garis bilangan sebagai berikut:
Setiap titik-titik angka pada garis bilangan tersebut dikalikan
dua dan akan menghasilkan himpunan Y.
Y dapat dinyatakan dengan garis bilangan sebagai berikut:
Setelah diperhatikan ternyata garis bilangan X dan Y tersebut
hakikatnya adalah persis sama, yakni jika garis bilangan X
diperpanjang akan menjadi:
0 1 2 -2 -1
4 0 2 -4 -2
4 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 22
Jika garis bilangan Y skalanya diubah, yakni dari 2 menjadi 1
akan menjadi:
Hal ini menjadi mustahil untuk menentukan aturan yang
mengatur himpunan X dan himpunan Y jika hanya dengan melihat
garis bilangan himpunan masing-masing.
Untuk mengatasi hal tersebut dibuatlah pasangan angka-
angka. Yakni setiap anggota himpunan X ditulis berpasangan
dengan anggota himpunan Y yang bersesuaian menurut aturan R.
Misalkan diambil titik-titik perwakilan (anggota X ditulis di
depan): (-1, -2), (0, 0), (10, 20), dan (1000, 2000). Sekarang tentu
memberikan gambaran fungsi R yang lebih jelas.
Pasangan titik-titik yang banyaknya tak hingga tersebut hanya
dapat digambarkan pada koordinat kartesius dan membentuk garis
fungsi R seperti terlihat pada gambar berikut.
Semua anggota himpunan bilangan real X di gambarkan
sebagai sumbu X dan semua anggota himpunan bilangan real Y di
gambarkan sebagai sumbu Y. Jika ditarik garis vertikal dari
sembarang titik di sumbu X kemudian setelah memotong garis
fungsi ditarik garis horizontal memotong sumbu Y didapatkan
bilangan pasangan X tersebut. Pada gambar diberi contoh pasangan
4 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 23
(1,2). Dengan garis tersebut dapat dicari pasangan nilai X= -
3,00202 dan sebagainya.
Y
X 0 1 2 3 -3 -2 -1
1
2
3
-2
-1
-3
Y=2.X
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 24
1.4.1 Pemetaan
Sebuah aturan F memasangkan setiap anggota himpunan X
tepat satu dengan anggotaY, maka aturan F disebut pemetaan.
Hubungan dalam pemetaan disebut fungsi.
Gambar 1.12 Pemetaan dan Bukan Pemetaan
1.4.2 Fungsi f(x)
Jika f adalah fungsi yang memetakan X ke Y, maka ditulis:
YXf :
-1
0 1
4 1
2
-2
0
X Y
Y= ?
BUKAN PEMETAAN Angka 2 berpasangan dengan 0 &4
-1
0 1
4 1
2
-2
0
X Y
Y= X2
PEMETAAN
X Y
f
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 25
Fungsi yang sangat sering ditulis selalu menunjukkan
domainnya. Alih-alih menuliskan YXf : lebih sering ditulis
sebagai )(xf dengan x adalah anggota himpunan X.
Fungsi tersebut bisa digambarkan sebagai mesin yang
mengolah isi karung X agar menjadi isi karung Y.
Gambar 1.13 Mesin (Fungsi)
Contoh:
a. Jika karung X isinya adalah -2; -1; 0; 1; 2; 3,001; 4,002.
Dan fungsi atau mesin yang dipakai adalah 2)( xxf ,
tentukan isi karung Y!
f
x
x
x
y y
y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 26
Jawab:
Karung X Mesin f(x)= x2 Karung Y
-2 (-2)2 4
-1 (-1)2 1
0 (0)2 0
1 (1)2 1
2 (2)2 4
3,001 (3,001)2 9,006001
4,002 (4,002)2 16,016004
b. Tentukan semua anggota himpunan Y yang dihasilkan dari
fungsi YXf : , dengan 23)( 2 xxxf dan
},31:/{ BxxxxX ! Gambarkan himpunan X
dan Y dalam garis bilangan!
Jawab:
X f(x)= x2 - 3x + 2 Y
-1 (-1)2 – 3(-1) + 2 6
0 (0)2
– 3(0) + 2 2
1 (1)2
– 3(1) + 2 0
2 (2)2
– 3(2) + 2 0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 27
Garis bilangan untuk X adalah sebagai berikut (perhatikan
soal di atas, Bx artinya, x haruslah bilangan bulat):
Garis bilangan untuk Y adalah sebagai berikut:
Jika pasangan anggota himpunan masing-masing dibuat
pada koordinat kartesius menjadi seperti berikut:
c. Tentukan semua anggota himpunan Y yang dihasilkan dari
fungsi YXf : , dengan 12)( 2 xxxf dan
Y
1
2
3
5
6
X 0 1 2 3 -3 -2 -1
4
-1,6
0,2
1,0 2,0
0 1 2 -1 x
5 4 0 1 2 3 6 y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 28
},31:/{ RxxxxX ! Gambarkan himpunan X
dan Y dalam garis bilangan!
Jawab:
Tidak mungkin bisa menuliskan semua anggota himpunan
X tersebut, ingat kenapa? Garis bilangan X adalah sebagai
berikut:
Untuk mendapatkan anggota himpunan Y diambil beberapa
bilangan bulat dari himpunan X sebagai perwakilan agar
bisa mengambarkan garis bilangannya.
X f(x)= x2 - 2x + 1 Y
-1 (-1)2 – 2(-1) + 1 4
0 (0)2
– 2(0) + 1 1
1 (1)2
– 2(1) + 1 0
2 (2)2
– 2(2) + 1 1
3 (3)2
– 2(3) + 1 4
Terlihat bahwa bilangan anggota himpunan Y terbesar
adalah 4 dan terkecil 0. Nilai 0 dan 4 kedua-duanya adalah
anggota Y. Garis bilangannya adalah:
-1 2 1 0 3 X
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 29
Sekali lagi bahwa untuk mengetahui fungsi yang
menghubungkan nilai-nilai x dan y akan mustahil jika
hanya dengan melihat garis bilangan X dan Y. Fungsi
tersebut akan dapat diamati dengan mempelajari pasangan-
pasangan nilai x dengan y yang bersesuaian seperti:
(-0,99999….; 3,99999….), (0,1), (1,0), (2,1), dan (3,4).
Jika semua pasangan-pasangan nilai x dan y yang takhingga
banyaknya digambarkan dengan titik-titik pada koordinat
kartesius akan membentuk kurva sebagai berikut:
4 2 1 0 3 Y
Y
1
2
3
X 0 1 2 3 -3 -2 -1
4 -1,4 3,4
4 2 1 0 3 y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 30
LATIHAN 1.3_____________________________________
1. Apa perbedaan penggunaan notasi X dengan x atau Y
dengan y?
2. X adalah himpunan bilangan bulat lebih dari -3 dan kurang
dari 3. Fungsi f menyatakan bahwa himpunan Y
beranggotakan bilangan-bilangan hasil kuadrat dari
masing-masing anggota himpunan X. Berapa jumlah
anggota Y? Tunjukkan semua anggota himpunan Y dalam
garis bilangan!
3. X={ Bxxxx ,2:/ }dan YXf : dengan
52)( xxf . Maka himpunan Y={ Byayyy ,:/ }.
Tentukan nilai a dan gambarkan pasangan nilai x dan y
yang bersesuaian pada koordinat kartesius!
4. X adalah himpunan bilangan real lebih dari -3 dan kurang
dari 3. Fungsi f menyatakan bahwa himpunan Y
beranggotakan bilangan-bilangan hasil kuadrat dari
masing-masing anggota himpunan X. Berapa jumlah
anggota Y? Tunjukkan semua anggota himpunan Y dalam
garis bilangan!
5. X={ Rxxxx ,2:/ }dan YXf : dengan
52)( xxf . Maka himpunan Y={ Ryayyy ,:/ }.
Tentukan nilai a dan gambarkan pasangan nilai x dan y
yang bersesuaian pada koordinat kartesius!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 31
6. X={ Rxxxx ,2:/ }dan YXf : dengan
1
1)(
xxf . Gambarkan pasangan nilai x dan y yang
bersesuaian pada koordinat kartesius!
7. Y={ Rxxyy ,90:/ }dan XYf : dengan
yyf )( . Gambarkan pasangan nilai x dan y yang
bersesuaian pada koordinat kartesius!
8. Benarkah { xa }={ ax }?
9. Benarkah { bx }={ bx }?
10. Benarkah jika 2xy akan selalu xy ? Berikan
alasannya!
11. Untuk 0x berapa nilai xy ? Berikan penjelasan!
12. Sebuah fungsi YXf : dengan 52)( xxf . Apakah
fungsi f ini memetakan himpunan X terhadap Y? Apakah
fungsi f ini memetakan himpunan Y terhadap X ? Apakah
hubungan himpunan X dan Y merupakan korespondensi
satu-satu?
13. Sebuah fungsi YXf : dengan 52)( 2xxf .
Apakah fungsi f ini memetakan himpunan X terhadap Y?
Apakah fungsi f ini memetakan himpunan Y terhadap X ?
Apakah hubungan himpunan X dan Y merupakan
korespondensi satu-satu?
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 32
14. Dari kurva berikut apakah fungsi f ini memetakan
himpunan X terhadap Y? Apakah fungsi f ini memetakan
himpunan Y terhadap X ? Berikan kesimpulan!
15. Dari kurva berikut apakah fungsi f ini memetakan
himpunan X terhadap Y? Apakah fungsi f ini memetakan
himpunan Y terhadap X ? Berikan kesimpulan!
16. Sebuah fungsi YXf : dengan cxaxf )( . Apakah
boleh ditulis cxay ? Berikan alasannya!
X
Y
F(x)
X
Y
F(x)
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 33
17. Bisakah Anda tunjukkan fungsi YXf : yang mengatur
Y dan X sehingga didapat },240:/{ RxxyyY
dari },51:/{ RxxxxX ?
18. Apakah hanya fungsi dengan domain bilangan real saja
yang bisa membentuk kurva atau garis?
19. Apakah fungsi mempunyai pengertian yang sama dengan
persamaan?
20. Apakah fungsi dan persamaan memiliki hubungan?
Berikan alasan yang tepat!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 34
BAB 2
FUNGSI LINIER
Garis adalah kumpulan titik-titik yang saling berhimpitan.
Pada koordinat kartesius titik-titik garis lurus menunjukkan
pasangan angka-angka sebuah fungsi linier. Sebuah fungsi
YXf : sehingga untuk setiap anggota himpunan Y berlaku
persamaan nxmy , dan },:/{ RxxxxX selalu
menghasilkan titik-titik pasangan bilangan (x,y) yang membentuk
garis lurus pada koordinat kartesius. Persamaan nxmy
tersebut disebut dengan fungsi linier.
2.1 Diketahui titik potong pada kedua sumbu.
Sebuah garis memotong sumbu X di titik (a, 0) dan memotong
sumbu Y di titik (0, b) seperti gambar di bawah. Jadi, (a, 0) dan (0,
b) merupakan bagian dari titik-titik pasangan bilangan yang tak
hingga banyaknya dari persamaan nxmy . Sehingga:
nxmy
(a, 0) nam0
a
nm
(0, b) nmb 0 a
bm
bn
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 35
Jadi, fungsi tersebut menjadi:
bxa
by ………… (1.1)
Atau untuk lebih mudahnya persamaan tersebut bisa ditulis
sebagai:
…………(1.2)
Nilai m disebut dengan gradien (grade, gradual = bertingkat) atau
tingkat kemiringan garis.
Gambar 2.1 Persamaan Garis Jika 2 Titik Potong Diketahui
Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-5,0) dan (0,-2)!
a
Y
X
b
0
bxa
by
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 36
Jawab:
Cara pertama:
nxmy
(-5, 0) nm 50
5
nm
(0, -2) nm 02 5/2m
2n
25
2xy
Cara kedua:
bayaxb , 5a ,
)2()5()5()2( yx
1052 yx 25
2xy
Cara kedua lebih pendek sehingga persamaan garisnya didapat
dengan lebih cepat.
2.2 Diketahui gradien dan sebuah titik yang melaluinya.
Ada dua cara untuk membuat garis yang melalui titik (c, d)
dengan kemiringan p.
a. cara pertama
Buat garis pada titik (c, d) tersebut dengan arah bebas,
kemudian putar hingga kemiringannya sebesar p.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 37
Gambar 2.2 Persamaan Garis Jika 1 Titik dan Gradien
Diketahui, Cara Pertama
Persamaan garis dapat dicari dengan cara sebagai berikut:
nxmy
1. m = p nxpy
2. (c, d) ncpd pcdxpy
pcdn
Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah
pcdxpy …………(1.3)
b. cara kedua
Buat garis dengan kemiringan m, kemudian geser agar melalui
titik (c, d).
Y
(c, d)
Y
X 0
(c, d)
X 0
p
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 38
Gambar 2.2 Persamaan Garis Jika 1 Titik dan Gradien
Diketahui, Cara Kedua
Persamaan garis dapat dicari dengan cara sebagai berikut:
nxmy
1. (c, d) ncpd
pcdn pcdxpy
2. m = p nxpy
Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah pcdxpy .
Contoh:
Sebuah garis dibuat pada titik (3, 2) dengan kemiringan -2.
Tentukan persamaannya!
Jawab:
Y
X 0
m
Y
(c, d)
X 0
p
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 39
nxmy
1. m = -2 nxy 2
2. (3, 2) n322 82 xy
8n
2.3 Diketahui dua buah titik sebarang yang dilaluinya.
2.3.1 Cara pertama : menghitung gradien
Sebuah garis lurus melalui titik (a, b) dan (c, d). Maka nilai m
dan n dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut (perhatikan
gambar!).
Gambar 2.2 Persamaan Garis Jika 2 Titik Diketahui
x
ym
Y
X 0
(c, d)
(a, b)
d
b
a c
d - b
c - a
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 40
12
12
xx
yym (dimanapun titiknya hasil ini akan
selalu sama, mengapa?)
ac
bdm
nxac
bdy
Untuk mendapatkan nilai n salah satu titik dimasukkan dalam
persamaan tersebut, misal titik (a, b).
nxac
bdy
naac
bdb
ac
bdabn
ac
baad
ac
babcn
ac
adbcn
Jadi, persamaan garisnya menjadi:
ac
adbcx
ac
bdy
…………(1.4)
Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3) dan (-2,2)!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 41
Jawab:
12
12
xx
yym
22
)3(2m
4
5m
nxmy
nxy4
5
(2,-3) n24
53
n2
53
2
1n
Jadi, persamaan garis tersebut adalah: 2
1
4
5xy
2.3.2 Cara kedua : substitusi
Sebuah garis dengan persamaan nxmy melalui titik (a, b)
dan (c, d). Maka nilai m dan n dapat ditentukan dengan cara
sebagai berikut:
nxmy
1. (a, b) namb ambn
2. (a, b) ncmd
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 42
ambcmd
)( acmbd
ac
bdm
3. ambn
aac
bdbn
aac
bd
ac
acbn
ac
bada
ac
babcn
ac
adbcn
ac
adbcx
ac
bdy
Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3) dan (-2,2)!
Jawab:
nxmy
1. (2, -3) nm 23 mn 23
2. (-2, 2) nm 22
)23(22 mm
m45
4
5m
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 43
3. mn 23
4
523n
2/1n
2
1
4
5xy
LATIHAN 2.1_____________________________________
1. Buktikan bahwa jika sebuah titik (a, b) dilalui oleh dua
garis dengan gradien yang sama kedua garis pasti saling
berhimpitan!
2. Buktikan bahwa dua buah garis atau lebih dengan gradien
yang sama pasti sejajar!
3. Buktikan bahwa dua buah garis yang saling tegak lurus
hasil perkalian gradiennya adalah -1!
4. Buktikan bahwa dua buah garis dengan gradien yang
berbeda pasti berpotongan di satu buah titik!
5. Fungsi 111 : YXf dengan 72)(1 xxf dan fungsi
222 : YXf dengan 3)(2 xxf , serta
},:/{21 RxxxxXX akan membuat
himpunan Y1 dan Y2 mempunyai satu buah anggota yang
sama. Tentukan bilangan tersebut dan pasangan nilai (x,
y)-nya yang sama!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 44
6. Ruas garis 1 memiliki persamaan 721 xy dengan
domain = { Rxxxx ,55:/ } dan ruas garis 2
dengan persamaan 32 xy dengan domain = {
Rxxxx ,37:/ }. Gambarkan kedua ruas garis
tersebut pada satu bidang koordinat kartesius! Apakah
ruas garis tersebut saling berpotongan?
7. Garis 1 melalui titik ( -3, 1) dan (1, -3). Garis 2
memotong tegak lurus garis 1 dan melalui titik (2, 2).
Tentukan persamaan kedua garis tersebut!
8. Sebuah garis melalui titik (1, 3) dan (-1,-3). Garis tersebut
kemudian di geser sehingga melalui titik (4, 3). Tentukan
persamaan garis sebelum dan sesudah digeser!
9. Sebuah garis memotong sumbu X di (2, 0) dan
membentuk sudut 300 dengan sumbu X. Tentukan
persamaannya!
10. Tentukan persamaan sebuah garis mendatar yang melalui
titik dengan ordinat (nilai y) 3!
11. Tentukan persamaan sebuah garis vertikal yang melalui
titik dengan absis (nilai x) 3!
12. Sebuah ruas garis dibentuk dari persamaan 32xy dan
dengan domain ={ Rxxxx ,40:/ }dipotong oleh
garis l yang saling tegak lurus tepat di tengah-tengah.
Tentukan titik potong garis l pada sumbu X dan sumbu Y!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 45
13. Tentukan persamaan ruas garis berikut dengan lengkap!
14. Sebuah garis dengan gradien ¾ memotong sumbu X dan Y
sedemikian sehingga terbentuk bidang segitiga yang
dibatasi oleh sumbu X, sumbu Y ,dan garis. Luas bidang
adalah 24 satuan. Tentukan persamaan garis tersebut!
15. Buktikan bahwa jika arah garis adalah dari kiri bawah ke
kanan atas gradiennya selalu positif dan jika arah garis
adalah dari kanan bawah ke kiri atas gradiennya selalu
negatif!
16. Buktikan bahwa superposisi garis tegak dengan garis
horizontal hasilnya adalah garis yang selalu membentuk
sudut 450 dengan sumbu koordinat!
17. Tentukan persamaan sebuah garis yang semua titiknya
memiliki jarak terdekat 4 satuan terhadap garis
0632 xy
Y
X 0
2
4
6
-2
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 46
18. Buktikan bahwa superposisi dua buah garis yang saling
tegak lurus memiliki gradien 1
2
1 1
m
mm dengan m1
adalah gradien salah satu garis yang disuperposisi!
MATLAB:
a. Cara memulai menggunakan Matlab:
a.1. Bukalah software Matlab
Maka akan muncul jendela:
Gambar 2.3 Jendela Matlab, Command Window
Command Window
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 47
a.2. Klik File New M-File (lihat gambar di atas!)
Maka akan muncul jendela seperti berikut:
Gambar 2.4 Jendela M-File Editor
a.3. Ketikkan perintah berikut pada jendela Editor tersebut.
x=linspace(0,5);
y=[2 -5];
p=polyval(y,x);
plot(x,p), title('y=2x-5'), xlabel('x'),ylabel('y')
a.4. Simpan file tersebut pada folder yang Anda inginkan.
Anda bisa buat folder sendiri.
Perhatikan contoh berikut!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 48
Gambar 2.5 Menyimpan M-File
a.5. Setelah tersimpan. Klik FileSet Path…
Maka, akan muncul jendela:
Gambar 2.6 Jendela Set Path
Folder Tempat
menyimpan M-File
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 49
a.6. Klik Add Folder, dan browse folder tempat menyimpan
M-File! Setelah folder tersebut ditampilkan pada area
MatlabSearchPath, klik tombol Save Close.
a.7. Kembalilah ke jendela utama Matlab. Ketik perintah: run
garisLurus pada Command Window! Lalu tekan tombol
Enter! Perhatikan gambar grafik yang muncul!
b. Membuat plot dari fungsi diskrit.
b.1. Pada kesempatan ini kita akan membuat plot dari fungsi
Dengan batas nilai x adalah
Yakni, nilai x adalah bilangan bulat.
b.2. Lakukan langkah seperti pada a.1 sampai a.2 di atas!
b.2. Ketikkan perintah:
x= 0:1:4;
p=[2 0];
v=polyval(p,x);
stem(x,v), title('y=2x'), xlabel('x'), ylabel('y')
b.3.Lanjutkan instruksi berikutnya seperti pada poin a di atas!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 50
BAB 3
FUNGSI KUADRAT
Sebuah fungsi YXf : sehingga untuk setiap anggota
himpunan Y berlaku persamaan cxbxay 2, 0a dengan
},:/{ RxxxxX selalu menghasilkan titik-titik
pasangan bilangan (x, y) yang membentuk grafik parabola pada
koordinat kartesius. Persamaan cxbxay 2 tersebut
disebut dengan fungsi kuadrat.
Contoh:
Sebuah fungsi memetakan himpunan
},22:/{ RxxxxX terhadap himpunan Y yang semua
anggotanya dihasilkan dari kuadrat masing-masing anggota
himpunan X. Tunjukkan semua titik pasangan bilangan (x,y) yang
bersesuaian pada koordinat kartesius!
Jawab:
Y
1
2
3
X 0 1 2 3 -3 -2 -1
4 -2,4 2,4
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 51
3.1 Nilai a pada cxbxay 2
Nilai a pada menentukan arah cekungan, telungkup atau
terbuka. Nilai 0a , kalau nol jadi bukan persamaan kuadrat
a. a bernilai positif (a>0)
Gambar 3.1 Nilai a>0
Artinya x2 akan selalu menghasilkan nilai positif. Sehingga
untuk x mendekati nilai y akan menuju ekstrem positif, dan
untuk nilai x mendekati nilai y juga selalu ekstrem positif.
Dengan kata lain, di dalam },:/{ RxxxxX
ada x = m yang membuat nilai y paling kecil dari nilai y yang lain.
Nilai tersebut disebut nilai ekstrem minimum. Sehingga
persamaan cxbxay 2 dengan a > 0 menghasilkan grafik
parabola cekung terbuka.
Contoh:
+
Y
X + - - - - -
+ + + +
+
Y
X
+
- - - -
-
+
+ +
+
-
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 52
Buktikan bahwa sebuah fungsi YXf : sehingga untuk
setiap anggota himpunan Y berlaku persamaan
xxy 42 2, dengan },:/{ RxxxxX akan
membentuk grafik parabola cekung terbuka! Carilah anggota
himpunan X yang membuat nilai y positif dan yang membuat
nilai y yang negatif!
Jawab:
Bukti bahwa xxy 42 2menghasilkan grafik parabola
cekung terbuka:
Jika xxy 42 2 menghasilkan parabola cekung
terbuka pastilah berlaku:
Saat x mendekati nilai y akan menuju ekstrem positif:
Diambil nilai x = -100, )100(4)100(2 2y
400.20y
Saat x mendekati nilai y akan menuju ekstrem positif:
Diambil nilai x = +100, 10041002 2y
600.19y
diantara -100 dan +100 haruslah didapat nilai y yang lebih
kecil:
Diambil nilai x = 0 50402 2y
0y
jadi, ada tiga titik seperti berikut:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 53
Dari tiga buah titik tersebut menunjukkan bahwa
xxy 42 2 pastilah membentuk grafik parabola
cekung terbuka.
Himpunan X yang membuat nilai y posistif (y>0) dan
himpunan X yang membuat nilai y negatif (y<0):
langkah pertama cari nilai x yang membuat y = 0.
xxy 42 2= 0
042 2 xx
0)2(2 xx
02 x 01x
0)2(x 22x
buat garis bilangan X.
Grafik sudah diketahui cekung terbuka, maka pastilah kira-kira
seperti berikut:
(-100, +20.400)
(+100, +19.600)
(0, 0)
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 54
himpunan X yang membuat nilai y positif
Dari grafik di atas terlihat bahwa untuk x<0 nilai y selalu di
atas sumbu x (y>0). Jadi, himpunan X yang membuat nilai
y positif adalah:
0:/{ xxxX positif atau },2 Rxx
Jadi, himpunan X yang membuat nilai y negatif adalah:
},20:/{ RxxxxX negatif
b. a bernilai negatif (a<0)
Artinya x2 akan selalu dikalikan dengan bilangan negatif.
Sehingga untuk x mendekati nilai y akan menuju ekstrem
X 0 1 2 3 -1
+ + + + + +
- - - - - -
X 0 1 2 3 -1
- - - - - - Y<0
X 0 1 2 3 -1
Y>0
+ + + + + + + +
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 55
negatif, dan untuk nilai x mendekati nilai y juga selalu
ekstrem negatif.
Dengan kata lain, di dalam },:/{ RxxxxX
ada x = n yang membuat nilai y paling besar dari nilai y yang lain.
Nilai tersebut disebut nilai ekstrem maksimum. Sehingga
persamaan cxbxay 2 dengan a < 0 menghasilkan grafik
parabola cekung telungkup.
Gambar 3.2 Nilai a<0
3.2 Akar-akar persamaan kuadrat
Gunanya untuk mencari titik potong pada sumbu X yakni (x1,
0) dan (x2, 0) dan titik potong pada garis horizontal yang lain
(yakni garis dengan persamaan my ).
Cara pertama: dengan rumus kuadrat.
Y
X 0
c
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 56
02 cxbxay
02 cxbxa
21 , xx a
cabbx
2
42
1
…………(3.1)
a
cabbx
2
42
2
…………(3.2)
Gambar 3.4 Akar-akar Persamaan
Cara kedua: dengan memfaktorkan.
02 cxbxa
02
a
cx
a
bx
Y
X (x1, 0) 0 (x2, 0)
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 57
0)( 2121
2 xxxxxx
a
bxx 21 dan
a
cxx 21
0)()( 21 xxxx
Contoh:
a. Carilah titik potong kurva 722 xxy pada garis
2y !
Jawab:
Titik potong tersebut adalah (x1, 2) dan (x2, 2).
Persamaan grafik 722 xxy
2722 xx
Persamaan garis 2y
2722 xx
0522 xx
Y
X
(x1, 2)
0
(x2, 2) 2
7
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 58
12
51422 2
1x = 61
12
51422 2
2x = 61
Jadi, titik potongnya adalah: ( 61 , 2) dan ( 61 ,2).
b. Carilah akar-akar persamaan 0652 xx
Jawab:
0652 xx dikalikan
dengan -1
0652 xx
0)3()2( xx
0)2(x , 21x
0)32()22(
0)3(x , 31x
0)33()23(
Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah: 21x dan
31x .
3.3 Determinan
Seperti sudah dibahas sebelumnya salah satu cara mencari
akar-akar persamaan 02 cxbxa adalah memakai rumus
akar kuadrat seperti berikut.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 59
a
cabbx
2
42
2,1
…………(3.3)
Angka di dalam akar disebut dengan determinan D (determinate:
menentukan). Akan terlihat nanti bahwa determinan akan
menentukan karakteristik persamaan kuadrat. Jadi, rumus akar
kuadrat tersebut menjadi:
cabD 42
…………(3.4)
a
Dbx
21 …………(3.5)
a
Dbx
22
…………(3.6)
Bentuk tentunya menimbulkan tiga buah kemungkinan:
a. untuk nilai D positif (D>0) akan ada dua bilangan dari D
contoh: 9 = +3 dan -3.
b. untuk nilai D sama dengan nol (D=0) tentunya D =0
c. untuk nilai D negatif (D<0), D tidak ada bilangan real
yang memenuhi.
Nilai –nilai D tersebut menentukan karakteristik persamaan
02 cxbxa sebagai berikut:
a. D >0
3 2 0 1
D
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 60
Persamaan 02 cxbxa dengan D > 0 selalu
mempunyai dua akar real yaitu:
a
Dbx
21
a
Dbx
22
Artinya fungsi kuadrat rxqxpy 2 yang
berpotongan dengan garis my sehingga membentuk
persamaan 02 cxbxa dengan D > 0 selalu
memiliki dua titik potong pada garis yang dimaksud.
Perhatikan contoh a pada subbab 1.6.1 di atas.
b. D = 0
Akar nol adalah nol sehingga akar D = 0 adalah D = 0 =
0.
a
Dbx
21 =
a
b
2
0 =
a
b
2, dan
a
bx
2
02 =
a
b
2
0 =
a
b
2
Terlihat bahwa x1 = x2 artinya adalah persamaan
02 cxbxa dengan D = 0 selalu mempunyai satu
akar real yaitu:
0
D
1 -1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 61
a
bx
2 …………(3.7)
Sehingga fungsi kuadrat rxqxpy 2 yang
berpotongan dengan garis my sehingga membentuk
persamaan 02 cxbxa dengan D = 0 selalu
memiliki satu titik potong pada garis yang dimaksud.
Perhatikan contoh berikut!
Contoh:
Carilah titik potong kurva 242 xxy pada garis 2y !
Jawab:
Persamaan grafik 242 xxy
2242 xx
Persamaan garis 2y
2242 xx
0442 xx
12
41442 2
1x
12
021x = 1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 62
12
022x = 1
Jadi, grafik 242 xxy hanya menyinggung saja
pada garis 2y di titik singgung (1, 2).
c. D <0
Akar negatif tidaklah ada bilangan yang memenuhinya*.
Sehingga akar D < 0 adalah D = .... = { }.
Kalau D -nya saja tidak ada maka a
Dbx
21 tidak
ada juga. Sehingga, persamaan 02 cxbxa dengan
-1 0
D
-2 -3
Y
X
y = 2
0
2
242 xxy
1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 63
D < 0 tidak mempunyai akar. Sebagai konsekwensinya
adalah fungsi kuadrat rxqxpy 2 yang
berpotongan dengan garis my sehingga membentuk
persamaan 02 cxbxa dengan D < 0 tidak
memiliki satu pun titik singgung pada garis yang
dimaksud. Perhatikan contoh berikut!
Contoh:
Carilah titik potong kurva 242 xxy pada garis 3y !
Jawab:
Persamaan grafik 242 xxy
3242 xx
Persamaan garis 3y
3242 xx
0542 xx
12
51442 2
1x
12
421x = …… (tidak ada)
Jadi, grafik 242 xxy tidak memotong maupun
menyinggung garis 3y seperti ditunjukkan pada grafik
berikut.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 64
* Catatan: persamaan 02 cxbxa dengan D < 0
hanya mempunyai akar-akar imajiner. Akar-akar ini
berguna nanti pada pembahasan persamaan diffierensial.
Jadi pada pembahasan disini untuk sementara akar imajiner
tidak diperhitungkan (dianggap tidak ada).
3.4 Nilai ekstrem
Nilai ekstrem ada dua yakni:
a. nilai ekstrem minimum
adalah bilangan terkecil anggota himpunan Y.
b. nilai ekstrem maksimum
adalah bilangan terbesar anggota himpunan Y.
Sebuah fungsi YXf : sehingga untuk setiap anggota
himpunan Y berlaku persamaan cxbxay 2, 0a dengan
},:/{ RxxxxX akan selalu memiliki titik ekstrem
saat nilai absis:
Y
X
y = 2
0
2
242 xxy
1
3 y = 3
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 65
a
bx
2.
Grafik parabola cxbxay 2 selalu simetris terhadap garis
vertikal a
bx
2 yang disebut sumbu simetri. Dan setiap garis
horizontal yang memotong grafik akan selalu menghasilkan ruas
garis yang terpotong persis sama oleh sumbu simetri tersebut.
Berikut gambarannya.
Gambar 3.5 Sumbu Simetri
Grafik parabola di atas memiliki persamaan xxy 22
dipotong oleh beberapa garis horizontal. Akan terlihat nanti bahwa
Y
1
2
3
X 0 1 2 3 -2 -1 Y = 0
Y = 1
Y = 1
Y = 3 Y = r
a
bx
2
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 66
semua persamaan kuadrat 02 cxbxa yang dihasilkan
memiliki nilai a
bx
2 yang sama.
a. dipotong oleh sumbu X (garis y = 0)
grafik xxy 22
022 xx 1a dan 2b
garis y = 0
maka a
bx
2
12
)2(x = 1
Sudah terlihat disini bahwa persamaan garis my tidak
merubah nilai a maupun b fungsi kuadrat cxbxay 2.
Yang berubah hanya nilai c saja. Perhatikan sekali lagi contoh
berikut.
b. dipotong oleh garis y = 1
grafik xxy 22
0122 xx 1a
dan 2b
garis y = 1
maka a
bx
2
12
)2(x = 1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 67
Sumbu simetri (garis a
bx
2
) memotong grafik
cxbxay 2 tepat pada titik ekstremnya (pada contoh yaitu
xxy 22, titik ekstremnya adalah titik balik minimum).
Sehingga nilai y pada titik itu adalah:
cxbxay 2
ca
bb
a
bay
22
2
ca
b
a
by
24
22
a
ca
a
b
a
by
4
4
4
2
4
22
a
caby
4
42
Jadi, nilai ekstrem adalah
a
caby
4
42
…………(3.8)
Bentuk di atas sering diringkas menjadi a
Dy
4. Jika
diperhatikan bentuk ringkas ini tidaklah tepat. D adalah
determinan untuk persamaan 02 cxbxa bukan untuk
persmaan kuadrat cxbxay 2. Persamaan yang terakhir ini
nilai determinannya tentu berbeda, coba tentukan!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 68
3.5 Titik balik
Titik balik untuk fungsi kuadrat cxbxay 2 berada
pada titik ekstremnya yaitu (a
b
2,
a
cab
4
42
). Pembahasan
titik balik, nilai ekstrem dan grafik fungsi kuadrat akan berlanjut
pada pembahasan tentang kalkulus differensial dan integral.
3.6 Cara melukis kurva cxbxay 2
a. Tentukan kurva terbuka (a>0) atau telungkup (a<0).
b. Tentukan titik potong dengan sumbu Y,
c. Tentukan titik potong dengan sumbu X kalau ada,
d. Tentukan sumbu simetrinya yakni garis a
bx
2,
e. Tentukan titik baliknya (a
b
2,
a
cab
4
42
),dan
f. Gambar!
Contoh:
Gambarkan grafik 32 xxy pada koordinat kartesius!
Jawab:
a. Kurva terbuka (a =1).
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 69
b. Titik potong dengan sumbu Y (0, y):
(0, y) 3002y
3y
Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 3).
c. Titik potong dengan sumbu X (p, 0) dan (q, 0) kalau ada:
X (p, 0) dan (q, 0) 30 2 xx
D 31412D
11D
Jadi, grafik 32 xxy tidak memotong sumbu X.
d. Sumbu simetri
a
bx
2
12
1x =1/2
e. Tentukan titik baliknya
14
31412
y
4/11y
f. Gambar:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 70
3.7 Menentukan persamaan cxbxay 2
a. memotong sumbu X di (x1, 0) dan (x2, 0) serta melalui titik
(m, n).
cxbxay 2
a
cx
a
bx
a
y 2
)()( 21 xxxxa
y
Contoh:
Persamaan cxbxay 2 memotong sumbu X di (-2,
0) dan (3, 0) serta memotong sumbu Y pada ordinat 6.
tentukan nilai a, b, dan c!
Y
X
(0, 3)
0
(1/2, 11/4)
x = 1/2
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 71
Jawab:
)()( 21 xxxxa
y
(-2, 0) dan (3, 0) )3()2( xxa
y
(0, 6) )30()20(6
a
1a
Persamaannya: )3()2(1
xxy
62 xxy
Jadi, a = -1, b = 1, dan c = 6.
b. menyinggung sumbu X di (x1, 0) serta melalui titik (m, n).
2
1)( xxa
y
c. memiliki titik ekstrem (xp, yp)
2)()(
p
pxx
a
yy
d. melalui tiga titik sembarang.
Substitusikan titik-titk tersebut pada persamaan
cxbxay 2 sehingga dihasilkan persamaan tiga
variabel dan pecahkanlah!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 72
LATIHAN 3.1_____________________________________
a. Sebuah fungsi YXf : sehingga untuk setiap anggota
himpunan Y berlaku persamaan 322 xxy , dengan
},31:/{ RxxxxX menghasilkan titik-titik
pasangan bilangan (x, y) yang membentuk kurva parabola
pada koordinat kartesius. Gambarkan kurva tersebut!
Berapa nilai y maksimum dan minimumnya?
b. Sebutkan syarat-syaratnya agar persamaan
cxbxay 2 memiliki sifat sebagai berikut:
1. Sumbu simetrinya berada di sebelah kiri sumbu Y,
2. tidak menyinggung sumbu X, dan
3. kurvanya telungkup.
c. Dari persamaan cxbxay 2 dengan
},:/{ RxxxxX manakah pernyataan
berikut yang benar:
1. jika a>0 persamaan tersebut tidak memiliki nilai
maksimum.
2. jika a<0 persamaan tersebut memiliki nilai
minimumnya di .
3. jika b<0 sumbu simetrinya berada di sebelah kanan
sumbu Y.
4. pasti memotong sumbu Y di (0, c).
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 73
5. jika nilai 042 cab akan memotong sumbu X.
6. tidak memotong garis cy 2 .
7. tidak memotong garis cxby 2
8. jika a>0 nilai minimumnya terjadi pada saat nilai x
terletak di antara –b/a dan +b/a.
d. Persamaan 322 xxy dicerminkan terhadap garis
4y . Tentukan persamaan bayangannya!
e. Jika persamaan cxxy 42 digeser horizontal
ternyata saling bersentuhan di titik baliknya dengan
persamaan 322 xxy . Nilai c adalah…
f. Jarak kedua titik potong parabola 242 xpxy pada
sumbu X adalah 5 satuan, tentukan nilai p tersebut!
g. Sebutkan himpunan nilai x yang membuat nilai y dari
persamaan 732 xxy lebih dari 5!
h. Agar ungkapan )4(2)1( 2 txtxt bernilai negatif
untuk semua x, maka nilai t adalah….
i. Apabila grafik fungsi 2/1)4(2 xkxky
seluruhnya di atas sumbu X maka nilai k tidak mungkin
sama dengan ....
j. Tentukan persamaan dari kurva parabola berikut!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 74
MATLAB:
a. Menggambar kurva parabola
Lakukan langkah-langkah seperti pada contoh di BAB 2.
Berikut adalah kode untuk membuat plot fungsi:
Buatlah sebuah m-file yang berisi perintah:
x=linspace(-5,5);
y=[1 -2 -3];
p=polyval(y,x);
plot(x,p,x,0), title('y=x^2-2x-3'), xlabel('x'),ylabel('y')
b. Mencari akar-akar persamaan
Berikut adalah kode untuk mencari akar dari
Y
X
3
0 -1 3
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 75
Buatlah M-File:
y=[1 -2 -3];
p=roots(y)
c. Mencari nilai y jika x diketahui.
Contoh kode berikut untuk mencari nilai y dari fungsi:
Jika nilai x = 1;
Buatlah sebuah m-file yang berisi perintah:
y=[1 -2 -3];
p=polyval(y, 1);
__________________________________________________
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 76
BAB 4
FUNGSI MODULUS
Sebuah fungsi YXf : sehingga untuk setiap anggota
himpunan Y berlaku persamaan )(xfy , dengan
},:/{ RxxxxX maka x telah dipetakan terhadap y
oleh fungsi modulus.
x 0
x
-x <0
Contoh:
Sebuah fungsi YXf : sehingga untuk setiap anggota himpunan
Y berlaku persamaan xy dengan },23:/{ RxxxxX .
Buatlah grafiknya!
Jawab:
untuk 20 x maka xy = xy . Grafiknya adalah
sebelah kanan sumbu Y.
Titik-titiknya diantaranya: (0, 0), (1, 1), (1,9999; 1,9999),
dsb.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 77
untuk 03 x maka xy = xy . Grafiknya
adalah sebelah kiri sumbu Y.
Titik-titiknya diantaranya: (-0,00009; 0,00009), (-1, 1),
(2,2), (-3, 3), dsb.
4.1 Menggeser Fungsi Modulus dalam Arah Horizontal
Dengan mentransformasi x menjadi x’–a maka tidak hanya
fungsi modulus semua fungsi akan tergeser:
a. ke kanan sejauh a satuan untuk a>0
b. ke kiri sejauh a satuan untuk a<0
Contoh:
Gambarlah grafik xy 2 dan grafik y tersebut yang sudah
digeser 1 satuan ke kiri!
Y
X 0 1 2 3 -3 -2 -1
1
2
3
-1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 78
Jawab:
grafik xy 2 (yang sebelah kiri):
grafik xy 2 (yang sebelah kanan): digeser ke kiri sejauh
1 satuan, maka a = -1, dan x = x’ + 1.
)1'(2 xy
2'2 xy
Contoh titik yang bergeser: (1, 2) (0, 2), dan (-1, 2) (-
2, 2).
Dengan semua nilai x ditambah satu satuan menjadikan seolah-
olah sumbu X digeser satu satuan ke kanan relatif terhadap sumbu
Y awal.
Y
X 0 1 2 -2 -1
1
2
3
-1
Y
X 0 1 -3 -2 -1
1
2
3
-1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 79
4.2 Menggeser Fungsi Modulus dalam Arah Vertikal
Dengan mentransformasi y menjadi y’–b maka tidak hanya
fungsi modulus yang akan tergeser, tapi semua fungsi.
a. ke atas sejauh b satuan untuk b>0
b. ke bawah sejauh b satuan untuk b<0
xy xby
LATIHAN 4.1_____________________________________
a. Gambarkan fungsi grafik xy 2 !
b. Gambarkan fungsi grafik 2)1(2 xy !
c. Gambarkan fungsi grafik 122 2 xxy !
Y
X 0 1 2 -2 -1
1
2
3
-1
Y
X 0 1 2 -2 -1
1
2
3
-1
b>0
b<0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 80
MATLAB:
a. Membuat plot fungsi mutlak
Berikut adalah kode untuk membuat plot fungsi:
Dalam rentang
Buatlah sebuah m-file yang berisi perintah:
x=linspace(-2,2);
y=abs(x.^2-3*x)+5;
plot(x,y,'g'), xlabel('x')
b. Memasukkan nilai x ke dalam fungsi mutlak.
Berikut adalah kode untuk mengganti nilai x dengan 3 pada:
Buatlah sebuah m-file yang berisi perintah:
a=2;
y=abs(a^2-3*a)+5
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 81
BAB 5
FUNGSI POLINOM
5.1 Bentuk umum
Sebuah fungsi YXf : sehingga untuk setiap anggota
himpunan Y berlaku persamaan:
01
2
2
1
1 .....)( axaxaxaxaxF n
n
n
n
disebut fungsi polinom berderajat n, dengan ciri:
a. Derajat (pangkat) tertinggi adalah n,
b. Koefisien suku (variabel) dari an sampai a0,
c. koefisien suku tetap adalah a0.
Contoh:
Dari fungsi polinom )14()2()( 23 xxxxxF Tentukan:
derajat, koefisien suku x4, dan suku tetap polinom tersebut!
Jawab:
)14()2()( 23 xxxxxF
02834)( 2345 xxxxxxF
derajat: 5
koefisien suku x4 : -4
suku tetap (a0) : 0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 82
5.2 Nilai polinom
a. cara substitusi
Nilai )(hF dengan h adalah suatu bilangan diperoleh dengan
mensubstitusikan h ke dalam fungsi:
01
2
2
1
1 .....)( axaxaxaxaxF n
n
n
n .
Contoh:
Tentukan nilai )14()2()( 23 xxxxxF dengan x = 2!
Jawab:
)14()2()( 23 xxxxxF
)1242()222()2( 23F
)3()12()2(F
36)2(F
b. cara skema/bagan
Metode/cara lain mendapatkan nilai )(hF adalah metode
skema/bagan seperti pada contoh berikut:
Contoh:
Tentukan nilai )14()2()( 23 xxxxxF dengan x = -1!
Jawab:
Pertama, ubah fungsi tersebut ke dalam bentuk standard:
)14()2()( 23 xxxxxF
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 83
x
02834)( 2345 xxxxxxF
0)2)8)3)4)1((((()( xxxxxxF
Kedua, dari bentuk terakhir tersebut buat skema dan
selesaikan:
)1(F
-1 1 -4 3 -8 2 0
-1 5 -8 16 -18
1 -5 8 -16 18 -18
Jadi, 18)1(F
5.3 Operasi pembagian pada polinom
a. Cara susun
Contoh:
?....)2(:)6752( 23 xxxx
Jawab:
52
67522
2
23
xx
xxxx
23 42 xx
xx 72
xx 22
65x
105x
4
koefisien suku-suku
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 84
Jadi,
)2(:)6752( 23 xxxx 4)}2()52{( 2 xxx
Hasil : )52( 2 xx ,
Sisa : 4
b. Dengan skema
Hasil dari : )2(:)6752( 23 xxxx adalah
2
4)52( 2
xxx . Hasil ini juga bisa dirubah menjadi bentuk:
)2(2
4)52( 2 x
xxx
)52( 2 xx )2(x 4
Bentuk terakhir ini terlihat bahwa bagian yang bergaris bawah
memiliki faktor )2(x .Jika faktor tersebut disetting sama dengan
nol 0)2(x haruslah bagian yang bergaris bawah sama dengan
nol juga. Sehingga didapat angka sisa yakni 4.
0)2(x
2x
)5222( 2)2(x 4
)11( )0( 4
0 4
F(x) P(x) P(x) S H(x)
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 85
Nilai sisa ini sama persis dengan yang didapat dengan cara
susun. Prinsip inilah yang dipakai pada metode skema seperti
berikut:
2x
2 2 -5 7 -6 koefisien
suku
4 -2 10
2 -1 5 4
Bagian yang bergaris bawah menjadi koefisien hasil:
)52( 2 xx dan angka 4 menjadi sisa. Jadi, cara skema
mensubstitusi x dengan angka yang didapatkan ketika pembagi
disetting nol.
Jadi, secara umum fungsi polinom dan pembaginya dapat
diekspresikan dalam bentuk:
SisaPembagiHasilFungsi
SxPxHxF )()()(
Jika ada bilangan n sehingga pembagi )(nP menjadi nol,
perkalian hasil dan pembagi )()( nPnH menjadi nol juga sehingga
fungsi akan sama dengan sisa SnF )( .
SnPnHnF )()()(
SnHnF 0)()(
SnF )(
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 86
5.3.1 Pembagi ( bax )
SxPxHxF )()()(
SbaxxHxF )()()(
baxxP )(
0)( bnanP
a
bn b
a
banP )( = 0bb
Sa
bF )(
Contoh:
....)32(:)102( 23 xxxx
Jawab:
SxxHxxx )32()(102 23
0)32( x , a = 2, b = 3
2
3x
-3/2 2 1 1 10
-3 3 -6
2 -2 4 4
)422(1
)( 2 xxa
xH , Jelaskan mengapa harus
dibagi dengan a!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 87
2)( 2 xxxH
Jadi,
4)32()2(102 223 xxxxxx
5.3.2 Pembagi ( cbxax2 )
SxPxHxF )()()(
ScbxaxxHxF )()()( 2
Bentuk pembagi cbxaxxP 2)( memiliki dua
kemungkinan:
d. Tidak mudah atau tidak bisa difaktorkan
Pakailah cara susun biasa.
e. Bisa dan mudah difaktorkan
Bisa memakai cara susun dan skema.
Contoh:
....)32(:)1510852( 2234 xxxxxx
Jawab:
SxxxHxxxx )32()()1510852( 2234
SxxxHxxxx )3)(1()()1510852( 234
3x
3 2 -5 8 -10 15
6 3 33 69
1x 2 1 11 23 84
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 88
-1 -2 1 -12
2 -1 12 11
Jika yang dipakai adalah akar x = -1 terlebih dulu
hasilnya juga sama:
-1 2 -5 8 -10 15
-2 7 -15 25
3 2 -7 15 -25 40
6 -3 36
2 -1 12 11
Hasil : 122 2 xx
Sisa : qpx
3x : 843 qp
1x : 401 qp
11p
51q
Jadi, sisa: 5111x
)5111()32()122(
)1510852(
22
234
xxxxx
xxxx
5.4 Teorema sisa
a. )(xF dibagi dengan ( hx ) sisanya adalah )(hF .
b. )(xF dibagi dengan ( bax ) sisanya adalah )/( abF .
Kedua dalil sudah dibuktikan pada pembahasan di atas.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 89
5.5 Pembagi berderajat dua atau lebih
a. )()()()(:)( 22 qpxcbxaxxHcbxaxxF
Sisa : qpx
b. )()()(
)(:)(
223
23
rqxpxdcxbxaxxH
dcxbxaxxF
Sisa : rqxpx2
Contoh:
1. Tentukan sisa dari )1(:)7542( 22810 xxxx !
Jawab:
)()()()( xSxPxHxF
1)( 2xxP
0)(xP 012x , x = 1 dan x = -1
)1(F =
10)7151412( 2810
)1(F =
10)7)1(5)1(4)1(2( 2810
)()1()()( 2 qxpxxHxF
)1()11()1()1( 2 qpHF =10
10qp
)1()1)1(()1()1( 2 qpHF =10
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 90
10qp
Maka p = 0, dan q = 10.
Jadi, sisanya adalah 10.
2. Diketahui: )(xF dibagi dengan )2(x sisa 7.
)(xF dibagi dengan )3(x sisa -8.
)(xF dibagi dengan )6( 2 xx sisa ….
Jawab:
)()()()( xSxPxHxF
7)2()()( xxHxF
7)22()2()2( HF =7
8)3()()( xxHxF
8)33()3()3( HF = -8
)()6()()( 2 xSxxxHxF
)()3)(2()()( qpxxxxHxF
)2()32)(22()2()2( qpHF =7
72 qp
)3()33)(23()3()3( qpHF = -8
83 qp
maka p = 3 dan q = 1
Jadi, sisanya adalah: 13x .
)13()6()()( 2 xxxxHxF
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 91
5.6 Teorema faktor
Ada )( hx yang merupakan faktor dari )(xF , maka
0)(hF . Artinya adalah bahwa )( hx merupakan salah satu
faktor pembentuk persamaan )(xF .
Contoh:
Buktikan bahwa )2(x merupakan salah satu faktor dari
persamaan 68)( 23 xxxxF !
Jawab:
6823 xxx adalah sama dengan )2(x.
)6( 2 xx , jadi )2(x pastilah faktor dari
68)( 23 xxxxF .
)2(F )22(. )622( 2
= 0
Beberapa kesimpulan berikut didapat dari pembahasan di atas.
a. Jika pada suku banyak berlaku 0)(aF , 0)(bF ,
dan 0)(cF maka )(xF pasti habis dibagi dengan
)( ax.
)( bx.
)( cx .
b. Jika )( ax adalah faktor dari )(xF maka a adalah
akar dari )(xF .
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 92
c. )(xF jika dibagi dengan )( ax.
)( bx didapatkan
sisa:
)()( aFba
bxbF
ab
axS
d. )(xF jika dibagi dengan )( ax.
)( bx.
)( cx
didapatkan sisa:
)()()(
)()(
)()()(
)()()(
)()(
)()(
aFcaba
cxbx
bFcbab
cxaxcF
bcac
bxaxS
Contoh:
Tentukan sisa dari )32(:)1510852( 2234 xxxxxx !
Jawab:
322 xx = )( ax.
)( bx
= )1(x.
)3(x
)()( aFba
bxbF
ab
axS
4031
384
13
1 xxS (lihat contoh pada
subbab pembagi!)
30102121 xxS
5111xS
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 93
5.7 Jumlah dan hasil kali akar-akar
a. 02 cbxax
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan tersebut maka:
)( 1xx.
0)( 2xx
a
bxx 21
a
cxx 21
b. 023 dcxbxax
Jika x1, x2, dan x3 adalah akar-akar persamaan tersebut
maka:
)( 1xx.
)( 2xx. 0)( 3xx
a
bxxx 321
a
cxxxxxx 323121
a
dxxx 321
5.8 Contoh-contoh Grafik Polinom :
1. )2)(1( xxxy 23 x
Akar –akar persamaan persamaan 0)2)(1( xxx
adalah: -2, 0, 1.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 94
Grafik ini memotong sumbu X di (-2,0), (0,0), (1,0) .
Saat nilai x terus berkurang dari -2 grafik akan terus turun.
Saat nilai x terus bertambah dari 1 grafik akan naik terus.
Jika diperhatikan seolah-olah bisa ditarik garis lurus dari
kiri bawah ke kanan atas. Sifat itu hanya dimiliki oleh
fungsi polinom derajad ganjil. Fungsi tersebut berderajad
tiga.
2. )2)(1()2( 2 xxxy 33 x
-3 -2 -1 1 2
X
-4
-2
2
4
6
8
Y
-3 -2 -1 1 2 3
X
5
10
15
20
25
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 95
Grafik ini memotong sumbu X di (-2,0), (-1,0).
Menyinggung sumbu X di (2,0)
Saat nilai x terus berkurang dari -2 grafik akan terus naik
(nilai y selalu positif).
Saat nilai x terus bertambah dari 2 grafik akan naik terus
(nilai y selalu positif).
Jika diperhatikan seolah-olah bisa dibuat grafik parabola
dari kiri atas, ke bawah kemudian ke kanan atas (ingat
fungsi kuadrat!). Sifat itu hanya dimiliki oleh fungsi
polinom derajad genap. Fungsi tersebut berderajad empat.
Perhatikan pengaruh nyata dari faktor )2)(1( xx yang
seolah-olah membentuk cekungan parabola di 02 x .
Juga pengaruh nyata faktor 2)2(x di sekitar x = 2.
3. )2()12()2( 32 xxxy 33 x
Grafik ini memotong sumbu X di (-2,0), (-1,0).
-3 -2 -1 1 2 3X
-50
50
100
150
200
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 96
Menyinggung sumbu X di (2,0)
Saat nilai x terus berkurang dari -2 grafik akan terus naik
(nilai y selalu positif).
Saat nilai x terus bertambah dari 2 grafik akan naik terus
(nilai y selalu positif).
Jika diperhatikan seolah-olah bisa dibuat grafik parabola
dari kiri atas, ke bawah kemudian ke kanan atas (ingat
fungsi kuadrat!). Perhatikan pengaruh nyata dari faktor
)2)(1( xx yang seolah-olah membentuk cekungan
parabola di 02 x . Pengaruh nyata faktor 2)2(x di
sekitar x = 2. Pengaruh nyata faktor 3)12( x ada di
15,1 x
4. )1)(2)(1)(2( xxxxxy 33 x
Saat nilai x terus berkurang dari -2 grafik akan terus naik.
Saat nilai x terus bertambah dari 2 grafik akan terus turun.
-3 -2 -1 1 2 3
X
-10
-5
5
10
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 97
Jika diperhatikan seolah-olah bisa ditarik garis lurus
bergradien negatif dari kiri atas ke kanan bawah. Ini adalah
pengaruh nyata dari faktor )1( x .
5. 24 2346 xxxxy 33 x
Coba buat perkiraan letak akar-akar persamaan fungsi
tersebut dan simpulkan!
LATIHAN 5.1_____________________________________
c. Dari fungsi polinom )14()2()( 223 xxxxxF
Tentukan: derajat, koefisien suku x4, dan a0 polinom
tersebut!
d. Tentukan nilai A dan B jika,
6
21
23 2 xx
x
x
B
x
A!
-3 -2 -1 1 2 3
X
-10
10
20
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 98
e. Nilai sebuah polinom )0(F = 0, maka a0 =…..
f. Tentukan nilai )2(F dari fungsi
0232)( 345 xxxxxF !
g. Tentukan nilai )0(F dari fungsi
)54()()( 223 xxxxxF !
h. Tentukan nilai )1(F dari fungsi
)32(:)102()( 23 xxxxxF !
i. Tentukan jarak terdekat garis x = 5 dengan titik (2, y)
grafik fungsi: )51082()( 234 xxxxxf !
j. Tentukan hasil dan sisa dari )2(:)62( 23 xxxx !
k. Hasil dan sisa dari )4(:)51082( 2234 xxxxx
adalah….
l. Hasil dan sisa dari:
....)12(:)1510852( 2234 xxxxxx
m. Diketahui: )(xF dibagi dengan )2(x sisa 2.
)(xF dibagi dengan )3(x sisa -3.
)(xF dibagi dengan )6( 2 xx sisa ….
n. )(xF dibagi dengan )32( 2 xx sisa )75( x tentukan
sisanya jika )(xF dibagi dengan )3(x !
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 99
o. Sebuah fungsi )(xF berderajat 3 memotong sumbu X di
titik (-2, 0), (1, 0), dan (3, 0). Tentukan sisanya jika )(xF
dibagi dengan )1(x !
p. Mana di antara pernyataan berikut yang paling tepat:
a. fungsi polinom )(xF selalu memotong sumbu Y,
b. fungsi polinom )(xF selalu memotong sumbu X,
c. titik potong pada sumbu Y selalu di (0, a0).
d. Jumlah hasil dan sisa adalah )(xF itu sendiri.
q. Gambarkan kurva 62 23 xxxy dengan
Rxx ,22 !
MATLAB:
a. Membuat plot fungsi polinom
Berikut adalah kode untuk membuat plot fungsi:
Buatlah sebuah m-file yang berisi perintah:
x = linspace(-3,3);
y=[1 -2 -3 5];
n=polyval(y,x);
plot(x,n,x,0), xlabel('x')
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 100
b. Mencari akar-akar polinom
Berikut adalah kode untuk mencari akar dari
Buatlah M-File:
y=[1 -2 -3 5];
n=roots(y)
c. Memasukkan nilai x pada fungsi polinom
Contoh kode berikut untuk mencari nilai y dari fungsi:
Jika nilai x = -2;
Buatlah sebuah m-file yang berisi perintah:
y=[1 -2 -3 5];
n= polyval(y, -2);
d. Pembagian Polinom, Hasil, dan Sisa
Contoh kode berikut untuk mencari hasil H(x) dan sisa S(x)
dari pembagian polinom dibagi
dengan
Buatlah sebuah m-file yang berisi perintah:
P=[1 -2 -3 5];
Q=[1 -2 1];
[H,S]=deconv(P,Q)
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 101
Jika Anda run program tersebut pada Command Window,
hasilnya adalah:
H =
1 0
S =
0 0 -4 5
Artinya adalah: , dan
e. Perkalian Polinom
Contoh kode berikut untuk mencari hasil perkalian polinom
dengan
Buatlah sebuah m-file yang berisi perintah:
P=[1 -2 -3 5];
Q=[1 -2 1];
H=conv(P,Q)
Hasilnya:
H =
1 -4 2 9 -13 5
Artinya:
__________________________________________________
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 102
BAB6
FUNGSI EKSPONENSIAL
6.1 Persamaan Eksponen
Sebelum membahas tentang fungsi eksponen terlebih dahulu
dilakukan pembahasan tentang persamaan eksponen seperti
berikut.
1) aaaaan ..... sebanyak n. 7)
nmnm aaa
2) aa1 8)
nm
n
m
aa
a
3) 10a 9)
nmnm aa )(
4) n
n
aa
1 10)
nnn baba )(
5) nn aa
1
11)
n
nn
b
a
b
a)(
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 103
6) n mn
m
aa 12)
2...6931,0e
Berikut bentuk-bentuk persamaan eksponen.
1. Bentuk I
1)(xfa 0)(xf
Contoh:
Carilah himpunan X yang membuat 13 232 xx !
Jawab:
0232 xx
0)2()1( xx 1x , 2x
Jadi, X={1, 2}
2. Bentuk II
pxf aa )( pxf )(
Contoh:
Carilah x yang membuat 81/127 12x !
Jawab:
81/127 12x
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 104
42
)12(3
33
x
42
)12(3 x
836x 6/5x
3. Bentuk III
)()( xgxf aa )()( xgxf
Contoh:
Carilah x yang membuat 27
39
821
xx !
Jawab:
27
39
821
xx
2/138222 )33(3 xx
2
82
22 33
x
x
2
8222
xx
8244 xx 6x
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 105
4. Bentuk IV
)()( xfxf ba 0)(xf
Carilah x yang membuat 4343 22
53 xxxx !
Jawab:
0432 xx
0)4()1( xx 1x , 4x
5. Bentuk V
pxf ba )(
)log()log( )( pxf ba
)log()log()( bpaxf
)log(
)log()(
a
bpxf
)log()( bpxf a
Materi logaritma dibahas setelah subbab ini.
Contoh:
Carilah x yang membuat 105 2x !
Jawab:
)10log()5log( 1525 x
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 106
10log1)2( 5x
10log2 5x
6. Bentuk VI
)()( xgxf ba
)log()log( )()( xgxf ba
)log()()log()( bxgaxf
Contoh:
Carilah x yang membuat xx 105 2 !
Jawab:
)10log()5log( 525 xx
10log1)2( 5xx
2)10log1( 5x
2)10log5log( 55x
2)105log(5x
50log
25
x
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 107
7. Bentuk VII
0)()( )(2)( caBaA xfxf
0)( 2 cByyA )( xfay
Contoh:
Carilah x yang membuat xx 32833 22 !
Jawab:
033283 22 xx
0332833 22 xx
03)3(28)3(9 2 xx
03289 2 yy xy 3
0)3()19( yy
9
1y x3
9
1 , 2x
3y x33 , 1x
8. Bentuk VIII
)()( )()( xgxf xHxH
Maka penyelesaiannya adalah:
a. )()( xgxf
b. 1)(xH
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 108
c. 0)(xH dengan syarat nilai x haruslah membuat 0)(xf
dan 0)(xg kenapa? Jelaskan! (petunjuk 0
1).
d. 1)(xH ; dengan syarat )(xf dan )(xg sama-sama
genap atau sama-sama ganjil. Kenapa?
Contoh:
Carilah x yang membuat 122532 )86()86( xx xxxx !
Jawab:
Solusinya adalah:
)()( xgxf
1253 xx
6x masukkan dalam persamaan 1313 88 ,
terbukti.
1)(xH
1862 xx
0762 xx
12
714)6()6( 2
2,1x
23x satu pangkat berpapun sama dengan satu.
0)(xH
0862 xx
0)4()2( xx
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 109
2x , 4x nilai ini di uji apakah membuat 0)(xf dan
0)(xg .
2x 0)(xf 0)(xg
0523 0122
Jadi, 2x adalah salah satu penyelesaian (solusi).
4x 0)(xf 0)(xg
0543 0142
Jadi, 4x adalah juga salah satu penyelesaian (solusi).
1)(xH
1862 xx
0962 xx
0)3( 2x
3x nilai ini harus diuji apakah membuat )(xf dan )(xg
sama-sama genap atau sama-sama ganjil
3x 533)(xf (genap)
132)(xg (ganjil)
Jadi, 3x bukan solusi.
Jadi solusinya adalah { 23 , 2, 4, 6}
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 110
6.2 Pertidaksamaan eksponen
)()( xgxf aa
Nilai x untuk pertidaksamaan adalah:
a. Jika a>1, )()( xgxf
b. Jika 0<a<1, )()( xgxf
Contoh:
Carilah x yang membuat 152 82 xx !
Jawab:
Solusinya adalah:
152 82 xx
)1(352 22 xx
(a =2) >1
)()( xgxf
3352 xx
x8
Jadi, himpunan nilai x untuk persamaan tersebut adalah X ={
8:/ xxx }.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 111
6.3 Fungsi Eksponensial
Fungsi YXf : sehingga untuk setiap anggota himpunan Y
berlaku persamaan xay , 0a dan 1a disebut fungsi
eksponen.
Contoh:
Gambarlah grafik xy 2 dengan batas nilai x: 22 x
pada koordinat kartesius!
Jawab:
2x 22y = 0,25
1x 12y = 0,5
0x 02y = 1
1x 12y = 2
2x 22y = 4
Gambar:
Y
1
2
3
X 0 1 2 3 -3 -2 -1
4
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 112
6.4 Contoh Grafik Eksponensial :
1. xy 2 22 x
Fungsi ini tidak pernah memotong sumbu X. Tetapi memotong
sumbu Y di (0, 1). Satu-satunya cara agar fungsi ini memotong
sumbu Y selain di (0, 1) adalah dengan menambah konstanta
misal 32 xy , maka fungsi ini akan memotong sumbu Y di
(0,4). Fungsi ini selalu menghasilkan nilai y selalu positif
sehingga fungsi berada di atas sumbu X. Untuk mempertajam
grafik dilakukan dengan cara mengalikan x dengan konstanta
atau memberinya pangkat misal: xy 32 atau
2
2 xy .
-2 -1 1 2X
1
2
3
4
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 113
2. 212 xy 33 x
Fungsi ini tidak pernah memotong sumbu X. Tetapi memotong
sumbu Y di (0, 2). Titik ini sekaligus puncakgrafik. Grafik
membentuk genta simetris. Mengapa?
Bagaimana caranya untuk menggeser grafik ke kanan atau ke
kiri?
Bagaimana caranya agar grafik memotong sumbu X?
Apa pengaruhnya jika di depan variabel x ditambah faktor
pengali kontan misal 5? Apa pengaruhnya jika konstanta itu:
bulat positif, pecahan positif, bulat negatif, dan pecahan
negatif?
-3 -2 -1 1 2 3X
0.5
1
1.5
2
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 114
3. 212 xxy 33 x
Dengan adanya faktor pengali x di depan angka pokok
menjadikan fungsi ini memotong kedua sumbu di (0,0). Faktor
pengali itu juga memangkas grafik 212 xy sehingga di
daerah 11 x bertransformasi seolah-olah membentuk
garis lurus dengan gradien 1. perhatikan lagi kedua grafik di
atas. Sebutkan pengaruh faktor pengali x yang lain dengan
memperhatikan grafik!
-3 -2 -1 1 2 3
X
-1
-0.5
0.5
1
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 115
4. 212 2 xxy 33 x
Grafik ini menyinggung sumbu X di (0,0). Selain titik itu
semua titik berada di atas sumbu X. Pengaruh nyata dari faktor
pengali 2x adalah mentransformasi daerah 11 x menjadi
seolah-olah adalah kurva parabola. Sebutkan pengaruh faktor
pengali 2x yang lain!
5. xey 20 x
-3 -2 -1 1 2 3X
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
0.5 1 1.5 2X
1
2
3
4
5
6
7
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 116
Grafik fungsi xey selalu naik ke kanan atas dan tidak
pernah berpotongan dengan sumbu X. Grafik fungsi ini akan
memiliki banyak sekali penerapan, misal dalam persamaan
differensial untuk getaran. Fungsi ini akan menunjukkan
apakah suatu sistem stabil atau tidak.
Pemberian konstanta di depan variabel x akan mempertajam
grafik dengan cepat, begitu juga dengan pemberian pangkat.
Apa pengaruhnya jika konstanta yang diberikan bernilai:
positif, dan negatif? Apa pengaruhnya terhadap grafik jika
pangkat yang diberikan pada variabel x: genap, dan ganjil?
6. xey 3
20 x
Grafik fungsi ini memiliki nilai maksimum 1, kenapa? Nilai
maksimum atau minimum tersebut tentunya bergantung pada
konstanta di depan nilai pokok e.
0.5 1 1.5 2X
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 117
LATIHAN 6.1_____________________________________
1. Akar persamaan 315 273 xx adalah…
2. Bila , maka nilai x =….
3. Nilai x yang memenuhi persamaan 0122 222 xx
adalah….
4. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan 05)5(65 xx ,
maka x1+ x2 =….
5. Nilai x yang memenuhi persamaan 2323 22
35 xxxx
adalah….
6. Jika 419 xx maka 23 xx ….
7. Jika 744 xx , maka xx 88 ….
8. Diketahui xxxf 232 33)( dan 12)()( bfaf , maka
ba ….
9. Gambarlah fungsi xy 2 dan xy 2 pada koordinat
kartesius!
10. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 13 432 xx
adalah…
11. Batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
02535 1 xx adalah…
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 118
MATLAB:
a. Membuat Plot Fungsi Eksponensial
Kode berikut digunakan untuk membuat plot fungsi
pada rentang nilai x: :
x=linspace(-2,2);
y=(2.^x).*(exp(-x.^2));
plot(x,y), xlabel('x')
b. Membuat Plot Dua Buah Fungsi Eksponensial
Kode berikut digunakan untuk membuat plot fungsi
dan
pada rentang nilai x: :
x=linspace(-2,2);
y=(2.^x).*(exp(-x.^2));
y1=1-(2.^(1-x.^2);
plot(x,y,,’r’,x,y1,’g’), xlabel('x')
Grafik fungsi y berwarna merah (r=red), dan grafik fungsi y1
berwarna hijau (g=green)
__________________________________________________
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 119
BAB 7
FUNGSI LOGARITMIK
7.1 Persamaan logaritma
Sifat-sifat logaritma:
1) nba log maka ban dengan 0a dan 1a ,
0b
a disebut bilangan pokok, dan b disebut numerus.
2) yxyx aaa logloglog
contoh: 1000log100log1000100log 101010= 5
3) yxy
x aaa logloglog
contoh: 100log1000log100
1000log 101010 =3-2=1
4) xnx ana loglog
contoh: 100log210000log100log 1010210= 4
5) xm
nx anam
loglog
contoh:
210log2
410000log10log 101004102
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 120
6) a
xx
a
log
1log , 0x dan 1x
contoh: 210log
1100log
100
10 (memakai sifat 4)
7) a
xx
p
pa
log
loglog , 0p dan 1p
contoh: 22
4
100log
10000log10000log
10
10100 , dan
seterusnya.
8) yyx axa logloglog
9) n
m
bm bana log)(
10) b
c
c
b aa loglog
11) be log ditulis bln , e : bilangan alam (2,71828…)
12) ...6931,02ln
13) xlog10 biasa ditulis xlog saja.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 121
7.2 Bentuk-bentuk Persamaan Logaritmik:
1. Bentuk I
pxf aa log)(log pxf )( dan 0)(xf
Contoh:
Carilah nilai x yang memenuhi persamaan
1)6log()4log( 33 xx !
Jawab:
1)6log()4log( 33 xx (sifat 2)
3log)6()4log( 33 xx
3)6()4( xx
324102 xx
021102 xx
0)7()3( xx
3x 7x cek dengan mensubstitusikan ke persamaan!
1)63log()43log( 33 terlihat bahwa untuk 3x sifat 1
tidak dipenuhi.
Hanya 7x yang memenuhi persamaan tersebut.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 122
2. Bentuk II
)(log)(log xgxf aa )()( xgxf dan
0)(xf , 0)(xg
Contoh:
Carilah nilai x yang memenuhi persamaan
0)53log()105log( 2 xxx !
Jawab:
)53()105( 2 xxx
0)152( 2 xx
0)5()3( xx
Hanya 3x yang memenuhi persamaan.
3. Bentuk III
)(log)(log xfxf ba 1)(xf menjadi solusi.
Contoh:
Carilah nilai x yang memenuhi persamaan
)55log()55log( 2423 xxxx !
Jawab:
1552 xx
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 123
0452 xx
0)4()1( xx
1x dan 4x
4. Bentuk IV
)(log)(log )()( xgxf xhxh
Solusi: 0)(xf , 0)(xg , 0)(xh , dan 1)(xh
Contoh:
Carilah nilai x yang memenuhi persamaan
xx
x
xx
x log
14log)3log(
log
182
!
Jawab:
xx
x
xx
x log
14log)3log(
log
182
8log4log)3log()2log( xxxx xx
8log4)3()2log( xx xx
84)3()2( xx
2)3()2( xx
2652 xx
0452 xx
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 124
0)4()1( xx
1x dan 4x
Hanya 4x solusinya, silahkan cek!
7.3 Pertidaksamaan logaritma
)(log)(log xfxf ba
Solusi untuk pertidaksamaan logaritma tersebut adalah:
1. jika 1a maka )()( xgxf serta 0)(xf ,
0)(xg
2. jika 1a maka )()( xgxf serta 0)(xf ,
0)(xg
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan:
1)32log(5 x !
Jawab:
Solusinya adalah:
1)32log(5 x
5log)32log( 55 x
(a =5) >1
)()( xgxf
1 4 2 3
1 4 2 3
4 2 3
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 125
532x
4x
0)(xf , 0)(xg
032x
2/3x
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
},42/3:/{ RxxxxX .
7.4 Fungsi Logaritmik
Fungsi YXf : sehingga untuk setiap anggota himpunan Y
berlaku persamaan )(log xgy a , 0a , dan 1a , serta 0)(xg
disebut fungsi logaritma.
Contoh:
Tentukan himpunan bilangan bulat y dengan xy log3 dengan
batas nilai x: 823 x !
Jawab:
xy log3 : 823 x
(3, _ ) 3log3y = 1
(9, _ ) 9log3y = 2
(27, _ ) 27log3y = 3
(81, _ ) 81log3y = 4
Himpunan bilangan bulat y adalah Y={1, 2, 3, 4}
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 126
7.5 Contoh Grafik Logaritmik:
1. xy log2 201 x
Grafik berada selalu di sebelah kanan sumbu Y. memotong
sumbu X di (1,0). Grafik yang selalu berada di sebelah kiri
sumbu Y adalah: )log(2 xy , 120 x . Coba
jelaskan agar grafik memotong sumbu X tidak di (0, 1)! Apa
pengaruhnya jika angka bilangan pokok 2 diganti dengan
angka: bulat positif lainnya, pecahan positif?
5 10 15 20X
1
2
3
4
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 127
2. 22 log xy 201 x
Pemberian pangkat pada variabel x memperbesar nilai y. Coba
Jelaskan bagaimana bentuk grafiknya jika batas nilai x:
10 x !
LATIHAN 7.1_____________________________________
1. Bila x>1, maka xx nm log
1
log
1….
2. 2log5log6log 532
92 a
dengan a = 1/5, sama dengan….
3. 6log12log4log 222 ….
4. Jika a = 0,1666…. Maka 36loga ….
5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan:
2)log2
13log(loglog xx dengan bilangan pokok
logaritma 2!
5 10 15 20X
2
4
6
8
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 128
6. Nilai f(1/9) dengan xxf log)( 3 adalah…
7. Tentukan domain fungsi :
a. )52log()( 3 xxf
b. 2
1log)( 3
x
xxf
c. 2
9log)(
2
2
4
1
xx
xxf
8. Manakah pernyataan berikut yang benar:
a. grafik fungsi xxf log2)( 3 berada di sebelah
kiri sumbu Y.
b. grafik fungsi logaritma selalu di sebelah kanan
sumbu Y.
c. grafik fungsi logaritma selalu memotong sumbu X.
d. grafik fungsi logaritma memotong sumbu X di titik
(1, 0).
9. Fungsi )342log()( 22 pxxxf mempunyai nilai
maksimum 3, maka nilai p adalah….
10. Tentukan himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan
)12log(log 222 xx !
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 129
MATLAB:
a. Membuat Plot Fungsi Logaritmik
Kode berikut digunakan untuk membuat plot fungsi
pada rentang nilai x: :
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
x=linspace(-2,5);
y=log10(x.^2-3*x+5);
plot(x,y,'g'), xlabel('x')
b. Menghitung nilai fungsi logaritma
Kode berikut digunakan untuk memasukkan nilai x = 2 fungsi
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
x=2;
y=log10(x.^2-3*x+5)
c. Untuk natural logaritma kodenya adalah log(x) dan 2log(x)
pakailah kode log2(x).
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
x=2;
y=log2 (x)
y1=log(x)
__________________________________________________
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 130
BAB 8
FUNGSI TRIGONOMETRI
8.1 Dasar-dasar trigonometri
Berikut adalah beberapa istilah dalam trigonometri (lihat
gambar di bawah!):
Gambar 8.1 Segitiga Siku-siku
r disebut garis miring (hipotenusa)
22 yxr (nilainya selalu positif)
r
ysin
y
reccos
r
xcos
x
rsec
x
ytan
y
xcot
cos
sintan
y
x
r
α
β
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 131
α 00
300
450
600
900
sin α 02
1 1
2
1 2
2
1 3
2
1 4
2
1
cos α 1 32
1 2
2
1
2
1 0
tan α 0 3
1 1 3
1cossin2
2
2
2222
22
r
r
r
xy
r
x
r
y
1cossin 22
22
2
2
2
cos
1
cos
cos
cos
sin
22 sec1tan
8.2 Nilai Sudut α dari 00 hingga 360
0
Nilai sinus, cosinus, dan tangent untuk sudut α dari 00 hingga
3600 ditentukan dengan cara sebagi berikut:
a. Kuadran I ( 00 900 )
Dengan 22 yxr maka r akan selalu bernilai positif.
Perhatikan bahwa di kuadran I ( 00 900 ) nilai x dan y akan
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 132
selalu positif, sehingga nilai sinus, cosinus, dan tangent akan
selalu positif:
r
y)sin( positif
r
x)cos( positif
x
y)tan( positif
Gambar 8.2 Kuadran I
b. Kuadran II ( 00 18090 )
Perhatikan bahwa di kuadran II ( 00 18090 ) nilai x selalu
negatif, sedangkan nilai y selalu positif, sehingga:
Gambar 8.3 Kuadran II
Y
X
Kuadran I
α
x
y
y
0
r
x0
Kuadran II
α
-x
+y
r
Y
X
β
0
r
y0
β
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 133
r
y)sin( positif
r
x)cos( negatif
x
y)tan( negatif
Perhatikan gambar! Sudut α haruslah selalu dibentuk oleh sisi
x (sisi dekat ) dan sisi r (sisi miring) segitiga siku-siku. Sisi y
selalu menjadi sisi hadap. Jadi,
sin)180sin(sin
cos)180cos(cos
tan)180tan(tan
c. Kuadran III ( 00 270180 )
Tentu sudah jelas bahwa di kuadran III ( 00 270180 ) nilai
x dan nilai y selalu negatif, sehingga:
r
y)sin( negatif
r
x)cos( negatif
x
y)tan( positif
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 134
Gambar 8.4 Kuadran III
sin)180sin(sin
cos)180cos(cos
tan)180tan(tan
d. Kuadran IV( 00 360270 )
Sudah jelas pula bahwa di kuadran IV ( 00 360270 ) nilai
x selalu positif sedangkan nilai y selalu negatif, sehingga:
r
y)sin( negatif
r
x)cos( positif
x0
Kuadran III
α
-x
-y
r
Y
X
β
0
r
y0
β
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 135
x
y)tan( negatif
Berikut rangkumannya:
Gambar 8.5 Kuadran IV
8.3 Sudut Negatif (-α)
Dengan adanya kenyataan seperti di atas yaitu bahwa:
d. sudut α terbentuk oleh sisi x dan sisi r .
e. sudut α nol tebentuk saat sisi x dan sisi r saling
berhimpitan di sumbu X.
Y
X
Kuadran I Kuadran II
Kuadran III Kuadran IV
00 900 00 18090
00 270180 00 360270
:)sin(
:)cos( :)tan(
Semua: +
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 136
f. untuk membuat nilai-nilai besaran trigonometri
positif maka sisi r harus berputar dengan pusat (0,
0) ke kiri berlawanan arah jarum jam, sehingga
sudut α makin membesar.
Sehingga arah sudut positif ditentukan berlawanan arah jarum jam,
dan sebaliknya.
Gambar 8.6 Sudut Negatif
Dari gambar terlihat bahwa:
GAMBAR KIRI GAMBAR KANAN KESIMPULAN
1. r
y)sin(
r
y)sin( sin)sin(
2. r
x)cos(
r
x)cos( cos)cos(
3. x
y)tan(
x
y)tan( tan)tan(
α
Y
X 0
r
(x, y)
y
x
+y
-α
Y
X 0
r
(x, -y)
-y
x
-y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 137
Contoh:
Bagaimana cara membentuk sudut 300 dan -60
0?
Jawab:
> Sudut 300 dibentuk dengan memutar sisi r dari sumbu X
berlawanan arah jarum jam sehingga perbandingan nilai y
dengan x titik ujung sisi r adalah 3/1 .
> Sudut 600 dibentuk dengan memutar sisi r dari sumbu X searah
jarum jam sehingga perbandingan nilai y dengan x titik ujung
sisi r adalah 3 .
8.4 Sudut Radian
Besaran sudut bidang dinyatakan dalam derajat ( 0) dan radian.
Hubungan keduanya adalah sebagai berikut. Perhatikan lingkaran
di bawah!
300
Y
X 0
2
(1, 3 ) -600
Y
X 0
1
(- 3 ,1)
2
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 138
r α
S
Panjang busur s berbanding lurus dengan sudut α dan r.
Semakin besar sudut α semakin panjang pula busur S.
Gambar 8.7 Sudut Radian
rs …………(8.1)
dengan α dalam satuan radian.
Ketika α mencapai 3600 berarti panjang s360 sama dengan keliling
lingkaran k.
ks360
rr 2
π rad 0180 ,
1 rad0180
1 rad 03,57
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 139
Sudut istimewa dalam bentuk radian:
α0
00
300
450
600
900
α rad 0 rad 6
rad 4
rad 3
rad 2
rad
8.5 Sudut Berrelasi
a. sudut (900 -α)
Gambar 8.8 Sudut 900- α
Dari gambar di atas terlihat bahwa:
(α) (900-α) KESIMPULAN
1. r
y)sin(
)90cos( 0
r
y
)sin()90cos( 0
2. r
x)cos( )90sin( 0
r
x )cos()90sin( 0
3. x
y)tan(
)90tan(
10x
y
)(cot)90tan( 0 an
α
r
X 0
y
x
Y
900-α
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 140
b. Sudut (1800 -α)
Gambar 8.9 Sudut 1800- α
Dari gambar di atas terlihat bahwa:
(α) (1800-α) KESIMPULAN
1. r
y)sin( )180sin( 0
r
y )sin()180sin( 0
2. r
x)cos( )180cos( 0
r
x )cos()180cos( 0
3. x
y)tan( )180tan( 0
y
x )tan()180tan( 0
α
r
0
y
x
r
X 0
y
-x
Y
1800-α
α
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 141
c. Sudut (1800 + α)
Gambar 8.10 Sudut 1800+ α
Dari gambar di atas terlihat bahwa:
(α) (1800-α) KESIMPULAN
1. r
y)sin( )180sin( 0
r
y
)sin()180sin( 0
2. r
x)cos( )180cos( 0
r
x )cos()180cos( 0
3. x
y)tan( )180tan( 0
y
x )tan()180tan( 0
α
r
0
y
x
r
X -y
-x
Y
1800+α
α
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 142
d. Sudut (3600 -α)
Dari gambar di bawah terlihat bahwa:
1. )sin()360sin( 0
2. )cos()360cos( 0
3. )tan()360tan( 0
Gambar 8.11 Sudut 3600+ α
e. Sudut (k . 360
0 +α)
Dengan cara yang sama dengan di atas didapat:
1. )sin()360sin( 0k , k : bilangan bulat.
2. )cos()360cos( 0k
3. )tan()180tan( 0k
α
r
0
y
x
r
X -y
Y
3600-α
α
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 143
8.6 Sifat- sifat Trigonometri
a. Penjumlahan dan pengurangan sudut
Perhatikan busur setengah lingkaran dengan jari-jari r = 1
tersebut!
Gambar 8.12 Sudut 3600+ α
r = 1
A (1, 0)
B ( cos1 , sin1 )
C ( )cos(1 , )sin(1 )
D ( )cos(1 , )sin(1 )
A
β
Y
X
α
0
r
y0
-β
O
B
C
D
r
r
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 144
Untuk P (x1,y1) dan Q (x2,y2) maka jarak
2
12
2
12 )()( yyxxPQ .
Sehingga:
> 22 )0)(sin()1)(cos(AC
)(sin1)cos(2)(cos 222
AC
)cos(222
AC
> 22 ))sin((sin))cos((cosDB
)cos()cos(
)sin()sin(
222
)sin(sin)cos(cosDB
sinsinsin2sincoscoscos2cos 2222
DB
sincossinsin2coscos2sincos 2222
DB
1cossin2coscos212
DB
> 22
DBAC
sinsin2coscos22)cos(22
1) sinsincoscos)cos(
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 145
2) )sin(sin)cos(cos)cos(
sinsincoscos)cos(
3) ))(90cos()sin( 0
))90cos(()sin( 0
sin)90sin(cos)90cos()sin( 00
sincoscossin)sin(
4) )sin(cos)cos(sin))(sin(
sincoscossin)sin(
Rumus penjumlahan sudut:
Coba cek seperti berikut:
sinsincoscos)cos( 1)00cos( 00
sinsincoscos)cos( 1)3030cos( 00
sincoscossin)sin( 1)00sin( 00
sincoscossin)sin( 1)3030sin( 00
Dengan rumus-rumus di atas buktikan bahwa:
tantan1
tantan)tan( , dan
tantan1
tantan)tan( !
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 146
b. Sudut Rangkap
sinsincoscos)cos()2cos(
22 sincos)2cos(
1sincos 22
1cos2)2cos( 2
Lanjutkan seperti contoh untuk yang lain!
cossin2)2sin(
1cos2)2cos( 2
2tan1
tan2)2tan(
c. Sudut Persetengahan
22 sincos)2cos(
1sincos 22
1cos2)2cos( 2
1cossin 22
2
)2cos(1cos
22 sincos)2cos(
1sincos 22
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 147
2sin21)2cos(
22 sin1cos
2
)2cos(1sin
Dengan cara di atas diperoleh rumus untuk mendapatkan nilai
sinus, cosinus, dan tangent sudut ½ α jika diketahui nilai sinus,
cosinus, dan tangent sudut α:
2
cos1
2
1sin
2
cos1
2
1cos
cos1
cos1
2
1tan
d. Perkalian sinus dan cosinus
sincoscossin)sin(
sincoscossin)sin(
cossin2)sin()sin(
)}sin(){sin(2
1cossin
sincoscossin)sin(
sincoscossin)sin(
+
-
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 148
sincos2)sin()sin(
)}sin(){sin(2
1sincos
sinsincoscos)cos(
sinsincoscos)cos(
coscos2)cos()cos(
)}cos(){cos(2
1coscos
sinsincoscos)cos(
sinsincoscos)cos(
sinsin2)cos()cos(
)}cos(){cos(2
1sinsin
Rumus perkalian sinus cosinus:
)}sin(){sin(2
1cossin
)}sin(){sin(2
1sincos
)}cos(){cos(2
1coscos
)}cos(){cos(2
1sinsin
+
-
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 149
e. Jumlah dan selisih sinus dan cosinus
x x
y y
yx2 yx2
)(2
1yx )(
2
1yx
)}sin(){sin(2
1cossin
}sin{sin2
1)(
2
1cos)(
2
1sin yxyxyx
)}(2
1cos)(
2
1{sin2sinsin yxyxyx
(pindah ruas)
Jika substitusi nilai x dan y ini dilanjutkan pada rumus perkalian di
atas didapat:
)}(2
1cos)(
2
1{sin2sinsin yxyxyx
)}(2
1sin)(
2
1{cos2sinsin yxyxyx
)}(2
1cos)(
2
1{cos2coscos yxyxyx
)}(2
1sin)(
2
1{sin2coscos yxyxyx
+ _
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 150
8.7 Rumus-rumus segitiga
a. Aturan sinus
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
Dari mana aturan ini muncul?
Perhatikan garis CC’!
AbCC sin'
BaCC sin'
BaAbCC sinsin'
B
b
A
a
sinsin
Perhatikan garis AA’!
BcAA sin'
CbAA sin'
CbBcAA sinsin'
C
c
B
b
sinsin, jadi:
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
B A
C
a b
c
B A
C
a b
c
C’
A’
Gambar 8.13 Aturan Sinus
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 151
b. Aturan cosinus
Acbcba cos2222
Bcacab cos2222
Cbabac cos2222
Dari mana aturan ini muncul?
Perhatikan garis B’C!
AbCB sin'
Perhatikan garis B’B!
AbcBB cos'
Perhatikan segitiga CB’B!
222
'' CBBBBC
222 )sin()cos( AbAbca
)sin()coscos2( 222222 AbAbAcbca
AcbAbAbca cos2sincos 222222
AcbAAbca cos2)sin(cos 22222
Acbcba cos2222
Dan seterusnya.
B A
C
a b
c B’
Gambar 8.14 Aturan Cosinus
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 152
c. Panjang garis yang membagi sisi
Panjang A’C sama dengan A’B.
Panjang garis AA’ adalah:
AcbcbAA cos22
1' 22
Dari mana aturan ini muncul?
Perhatikan garis BB’!
AbAABB cos"'
Perhatikan garis B’C’!
AbCACB sin"''
Perhatikan segitiga AB’C’!
222
'''' CBABAC
222
)sin()cos(' AbAbcAC
AbAbAbccAC 222222
sincoscos2'
B A
C
A’ b
c
==
==
B A
C
A’ b
c A”
==
==
B’
C’
Gambar 8.15
Garis Bagi Sisi
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 153
AbcAAbcAC cos2)sin(cos' 22222
AcbcbAC cos2' 222
AcbbcAC cos2' 22
'2
1' ACAA
AcbcbAA cos22
1' 22
8.8 Koordinat polar (kutub)
Gambar 8.16 Koordinat Polar
Koordinat sebuah titik juga dapat dinyatakan dalam sistem
koordinat polar (r, α). Antara kooordinat polar dan koordinat
kartesius dapat saling ditransformasikan dengan cara berikut:
a. Dari koordinat polar menjadi koordinat kartesius.
Y
X
α
x
y
y
0
r
(x, y)
α
0
r
(r, α)
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 154
),(r ),( yx
cosrx , dan sinry
Contoh:
Koordinat kutub titik P adalah (8, 1500), maka koordinat
kartesiusnya adalah…
Jawab:
),(r ),( yx
(8, 1500) ),( yx
cosrx sinry
0150cos8x 0150sin8y
32
18x
2
18y
34x 4y
(8, 1500) )4,34(
b. Dari koordinat kartesius menjadi koordinat polar.
),( yx ),(r
Dengan: 22 yxr , x
yarctan
Jadi, angka depan koordinat polar tidak pernah negatif. Untuk
menentukan α perhatikan kuadaran titik ),( yx tersebut.
Contoh:
Koordinat titik P adalah (3, -4), maka koordinat kutubnya
adalah…
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 155
Jawab:
),( yx ),(r
(3, -4) ),(r
22 yxr x
yarctan
22 )4(3r 3
4arctan (kuadran IV)
5r )53360( 00 =3070
(3, -4) )307,5( 0
8.9 Persamaan Trigonometri
1) Persamaan dasar
Gunakan sifat-sifat dasar trigonometri!
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
02)3cos(2 x dengan batas 0x !
Jawab:
02)3cos(2 x
2
2)3cos( x
)24
3cos()3cos( kx (lihat pada bahasan
sudut berrelasi!)
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 156
4
33x 2
4
33 kx
0x
12
8
12
7kx
12
82
12
7x =
4
3
12
81
12
7x =
12
1
12
80
12
7x =
12
7>0
12
7x (ingat: cos(-α) =
cosα)
Jadi, HP={4
3,
12
7,
12
1}.
2) Persamaan bentuk penjumlahan
Gunakan rumus jumlah dan selisih!
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
0cos3cos xx dengan batas x0 !
Jawab:
0cos3cos xx
0)2(2
1cos)4(
2
1cos2 xx
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 157
0cos2cos xx
02cos x 0cosx
22
2cos kx 22
cos kx
22
2 kx 22
kx
kx4
2
x
4x ,
4
3x (ingat cos(180-90)= -cos 90)?
Jadi, HP={4
, 2
, 4
3}.
3) Persamaan bentuk kuadrat
Identitas: xxx 22 sincos)2cos(
1sincos 22 xx
1cos2)2cos( 2 xx
xx 2sin21)2cos(
Contoh:
a. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
03tan32tan3 2 xx dengan batas 03600 x !
Jawab:
03tan32tan3 2 xx
0)3(tan)3tan3( xx
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 158
33
1tan x 3tan x
18030 kx 180120 kx
30x , 210x 120x , 300x
Jadi, HP={300, 120
0, 210
0, 300
0}.
b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
011sin122cos xx dengan batas 03600 x !
Jawab:
011sin122cos xx
011sin12sin21 2 xx
05sin6sin 2 xx
0)5(sin)1(sin xx
sin x =1 sin x = 5 (tidak ada solusi, nilai (sin
x) harus 1).
36090 kx
90x
Jadi, HP={900}.
4) Persamaan (a. cos x + b
.sin x)
a. Bentuk (a. cos x + b
.sin x)
Dirubah dahulu menjadi seperti berikut:
)cos(sincos xkxbxa
dengan 22 bak
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 159
a
btan (lihat bahasan
sudut berrelasi!)
Asal-usul rumus:
)cos(sincos xkxbxa
sinsincoscossincos xkxkxbxa
xkxa coscoscos
coska
sinsinsin xkxb
sinkb
222222 sincos kkba
)sin(cos 22222 kba
22 bak
sin
cos
k
k
b
a
a
btan
Contoh:
Tentukan nilai k dan α dari persamaan
)cos(cos3sin3 xkxx !
Jawab:
)cos(cos3sin3 xkxx
)cos(sin3cos3 xkxx (bentuk baku)
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 160
a = -3 , b : 3 ( sudut berada di kuadran II)
22 3)3(k
32k
3
3tan
)30180tan(tan 00 (kuadran II)
0150 (kuadran II)
b. Penyelesaian persamaan (a. cos x + b
.sin x)=c
cxbxa sincos
cxk )cos( (lihat bahasan
persamaan bentuk dasar)
k
cx )cos(
Mengingat nilai cosinus tidak boleh kurang dari -1 dan
lebih dari 1, maka:
1))(cos(1k
cx
11k
c, atau
kc , sehingga: 22 kc
Contoh:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 161
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
1cos3sin3 xx dengan batas 03600 x !
Jawab:
1)30cos(2cos3sin3 0xxx
1)30cos(2 0x
2
1)30cos( 0x
)36060cos()30cos( 000 kx (ingat cos(-α) bernilai
positif juga)
000 3606030 kx
090x
000 3606030 kx
000 3606030x
0330x
Jadi, HP = {900, 330
0}.
5) Persamaan trigonometri dengan dua variabel
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
060yx dan 1sinsin yx dengan batas
00 720360 x !
Jawab
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 162
1sinsin yx
1)(2
1cos)(
2
1sin2 yxyx
1)(2
1cos30sin2 0 yx
1)(2
1cos yx
00 3600)(2
1kyx
030)(2
1yx
00 36030 kx = 3900
00 36030 ky = -3300 disini k tidak boleh sama
dengan nol, kenapa?
6) Pertidaksamaan trigonometri
Pertidaksamaan dibuat dari bentuk-bentuk persamaan di
atas. Jadi, tahap-tahap penyelesaiannya pun dipakai lagi
dan ditambah satu langkah lagi untuk menyelesaikan
pertidaksamaannya.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari persamaan
12sin2 x dengan batas 00 1800 x !
Jawab:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 163
12sin2 x
2
12sin x
00 360302 kx
00 3601502 kx
00 18015 kx 00 18075 kx
Kenapa tidak k nya saja yang dibagi menjadi k’=k/2?
Jelaskan dengan aljabar!
015x 075x
Buat garis bilangan:
Pengecekan sudut-sudut antar batas:
2
12sin x , 00 1800 x
x = 00
2
10sin 0 , 0
0 =
HP.
x = 450
2
190sin 0 , 45
0= bukan HP
x = 900
2
1180sin 0 , 90
0 = HP.
Jadi, HP: }18075150:/{ 0000 xatauxxx
0 180 75 15
0 180 75 15
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 164
Dengan menggambarkan grafiknya akan terlihat lebih jelas.
8.10 Fungsi dan grafik
8.10.1 Fungsi trigonometri
Fungsi YXf : sehingga untuk setiap anggota himpunan Y
berlaku persamaan cxbxay sincos , disebut fungsi
trigonometri. Bentuk ini dibakukan menjadi: )cos(xky
dengan batasan: 1)cos(1 x . Konsekwensinya:
a. nilai y maksimum adalah = k +c, yakni saat
1)cos(x
b. nilai y minimum adalah = -k +c, yakni saat
1)cos(x
Contoh:
Tentukan nilai maksimum dan minimum y dengan
5sin32cos2 xxy dengan batas nilai x:
00 3600 x !
Jawab:
5sin32cos2 xxy
5)60cos(4 0xy
nilai y maksimum adalah = 4+5 = 9
nilai y minimum adalah = -4+5 = 1.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 165
8.10.2 Grafik Fungsi Trigonometri
cxbxay sincos
)cos(xky
Sebelum menggambar grafik terlebih dahulu tentukan:
1. x=00 dan x=360
0 nilai y sama,
2. titik potong sumbu X kalau ada, y = 0
3. titik maksimum dan minimum.
GRAFIK SINUS
a. xy sin , 00 360180 x
Memotong sumbu X di: (-1800, 0), (0
0, 0), (180
0, 0), (360
0, 0)
Titik maksimum (900, 1).
Titik miminum(-900,-1), (-270
0, -1).
Setelah 00 grafik naik (arah panah).
Y
X 0 90
1
2
-2
-1
180 270 360 -90 -180
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 166
b. xy sin2 , 00 360180 x
Memotong sumbu X di: (-1800, 0), (0
0, 0), (180
0, 0), (360
0, 0)
Titik maksimum (900, 2).
Titik miminum(-900,-2), (-270
0, -2).
Setelah 00 grafik naik (arah panah).
Jadi,
Fungsi xAy sin hanya akan memperbesar amplitudo
gelombang fungsi xy sin sebesar A. Coba jelaskan
bagaimana kalau A bernilai negatif!
c. xy 2sin , 00 360180 x
Memotong sumbu X di:
(-1800, 0), (-90
0, 0), (0
0, 0),
Y
X 0 90
1
2
-2
-1
180 270 360 -90 -180
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 167
(900, 0), (180
0, 0), (270
0, 0), (360
0, 0)
Titik maksimum ada 3 buah.
Titik miminum ada 3 buah.
Setelah 00 grafik naik (arah panah).
Jadi,
Fungsi axy sin hanya akan memperbesar frekwensi
gelombang fungsi xy sin sebesar a. Coba jelaskan
bagaimana kalau a bernilai negatif!
d. )90sin( 0xy , 00 360180 x
Memotong sumbu X di:
(-900, 0), (90
0, 0), (270
0, 0)
Titik maksimum ada 2 buah.
Titik miminum ada 2 buah.
Setelah 900 grafik naik (arah panah).
Y
X 0 90
1
2
-2
-1
180 270 360 -90 -180
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 168
Seolah-olah grafik xy sin bergeser ke kanan.
Jadi,
Fungsi )sin(xy hanya akan menggeser gelombang
fungsi xy sin ke kanan sejauh α. Coba jelaskan bagaimana
kalau α bernilai negatif!
e. xy sin1 , 00 360180 x
Y
X 0 90
1
2
-2
-1
180 270 360 -90 -180
Y
X 0 90
1
2
-2
-1
180 270 360 -90 -180
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 169
Menyinggung sumbu X di:
(-900, 0), (270
0, 0)
Titik maksimum (900, 2).
Titik miminum (-900, 0), 270
0, 0).
Setelah 00 grafik naik (arah panah).
Seolah-olah grafik xy sin bergeser ke atas.
Jadi,
Fungsi xby sin hanya akan menggeser gelombang fungsi
xy sin ke atas sejauh b. Coba jelaskan bagaimana kalau b
bernilai negatif!
GRAFIK COSINUS
xy cos , 00 360180 x
Memotong sumbu X di:
Y
X 0 90
1
2
-2
-1
180 270 360 -90 -180
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 170
(-900, 0), (90
0, 0), (270
0, 0)
Titik maksimum (00, 1).
Titik miminum (-1800,-1), 180
0,-1).
Setelah 00 grafik turun (arah panah).
Perlakuan terhadap fungsi xy cos ,
mempunyai akibat/ pengaruh yang sama dengan fungsi
xy sin . Silahkan buktikan!
GRAFIK TANGEN
xy tan , 00 360180 x
Memotong sumbu X di:
(-1800, 0), (0
0, 0), (180
0, 0)
(3600, 0).
Nilai maksimum .
Y
X 0 90
1
2
-2
-1
180 270 360 -90 -180
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 171
Nilai miminum .
Perlakuan terhadap fungsi xy tan ,
mempunyai akibat/ pengaruh yang sama dengan fungsi
xy sin . Silahkan buktikan!
Contoh:
Gambarkan grafik 1sin3cos2 xxy dengan batas
nilai x: 00 3600 x !
Jawab:
1sin3cos2 xxy
1)60cos(2 0xy
00x , 1)60cos(2 0y = 2 0360x , 1)300cos(2 0y = 2
0y
01)60cos(2 0x
2
1)60cos( 0x
0180x dan 0300x
Titik maksimum:
3y
1)60cos( 0x , 060x (cos 00 =1)
(600, 3)
Titik minimum:
Sama, OK!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 172
1)60cos( 0x , 0240x (cos 1800 = -1)
(2400, 3)
8.11 Contoh Grafik Fungsi trigonometri
Silahkan pelajari grafik-grafik berikut dan berikan komentar!
Di bawah juga ditunjukkan grafik 3D sebagai pengantar kalkulus
multivariabel. Perhatikan inkrimental (perubahan sedikit-sedikit)
nilai x dan y terhadap grafik.
1. xxy cossin x
-3 -2 -1 1 2 3
X
-0.4
-0.2
0.2
0.4
Y
Y
X 0 90
1
2
3
-1
Y=1
180 270 360
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 173
2. xxy 2cossin x
3. xxy cos2sin x
-3 -2 -1 1 2 3X
-1
-0.5
0.5
1
Y
-3 -2 -1 1 2 3
X
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 174
4. )sin( yxy x
5. )sin( 22 yxy 5,05,0 x
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 175
6. yxy 22 cossin x
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 176
LATIHAN 8.1_____________________________________
1. Perhatikan gambar, bila AC = 324 , maka DE = ….
2. Koordinat kutub titik Q adalah (6, 1330). Koordinat
kartesius Q adalah….
3. Titik A (-8, 6) memiliki koordinat kutub…
4. Jika tan x = 3 dan x adalah sudut tumpul, maka cos x =
….
5. Sebuah garis melalui titik (0, 0) dan membentuk sudut -300
dengan sumbu X. gradien garis tersebut adalah….
6. Sebuah garis melalui titik (-2, 3) dan titik (4,-5). Tentukan
sudut yang terbentuk antara garis tersebut dengan sumbu Y!
7. Jika px 2tan 2 , untuk 2/0 x , dan p>2. maka sin
x =….
8. Jika x0 dan x memenuhi persamaan
06tantan2 xx maka himpunan nilai sin x adalah….
9. 00
000
225cos150sin
135tan135cos270sin….
A B
C
D E
300
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 177
10. Jika 6,0)2/sin(x maka )cos()sin( xx ….
11. Jika 2/1tan x maka )cos()2/sin(sin2 xxx
….
12. Dua ekor semut berjalan dari titik A dan B pada saat yang
sama. Keduanya sampai di titik C bersamaan.. Tentukan
perbandingan kecepatannya!
13. Diketahui sin A = 3/5, cos B = 12/13, A dan B sudut
lancip. Sin (A-B) = ….
14. Bila x + y = π/4 maka tan x = …
15. Jika tan x = 1/t, maka cos 2x = ….
16. Diketahui 2 cos (π/6 + α) = cos (π/6 - α). Maka tan α = ….
17. Jika 02 0cos3sin2 xx dan 01800 x , maka x = ….
18. Persamaan: 2/1sin2cos2sincos xxxx dipenuhi
oleh x = ….
A B
C
300 45
0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 178
MATLAB:
a. Membuat Plot Fungsi Trigonometri
Kode berikut digunakan untuk membuat plot fungsi
pada rentang nilai x: :
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
x=linspace(-pi,pi);
y=x.*sin(x.^2-2.*x)-x;
plot(x,y,'g',x,0,'r'), xlabel('x')
Bayangkan jika kita menggambarkan fungsi di atas secara
manual! Selain sin(x), fungsi trigonometri yang lain juga
bisa dibuat dengan matlab. Perhatikan tabel berikut!
Tabel 8.1 Kode Trigonometri pada Matlab
KODE FUNGSI TRIGONOMETRI
sin sinus
cos cosinus
tan tangen
cot cotangen
csc cosecant
sec secant
asin invers sinus
acos invers cosinus
atan invers tangen
acot invers cotangen
acsc invers cosecant
asec invers secant
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 179
b. Memasukkan Nilai x pada Fungsi Trigonometri
Kode berikut digunakan untuk mencari nilai fungsi
pada rentang nilai x:
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
x=pi/2;
y=x*sin(x.^2-2*x)-x
c. Membuat Plot Tiga Dimensi Fungsi Trigonometri
Kode berikut digunakan untuk membuat plot fungsi
pada rentang nilai x: :
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
x=linspace(-pi,pi);
y=x;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=sin(sqrt(X.^2+Y.^2));
mesh(X,Y,Z)
__________________________________________________
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 180
BAB 9
BILANGAN KOMPLEKS
9.1 Notasi
Bentuk dari bilangan kompleks (z) adalah:
yjxz j = 1 , j2
= -1
dengan: x adalah bagian real (Rez), dan yj adalah bagian imajiner
(Imz). Bilangan kompleks juga bisa ditulis dengan ),( yxz .
Contoh:
1. jz 34 x = 4, y = -3
2. jz x = 0, y = -1
9.2 Operasi pada Bilangan Kompleks
9.2.1 Penjumlahan dan Pengurangan
)()( 221121 jyxjyxzz
jyyxxzz )()( 212121
jyyxxzz )()( 212121
Contoh:
Tentukan penjumlahan dari 341z j dengan 2z j !
Jawab:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 181
jzz )13()04(21 = j44
9.2.2 Perkalian dan pembagian
Perkalian dengan konstanta:
)( 111 jcycxzc
Perkalian dua bilangan kompleks:
)()( 221121 jyxjyxzz
2
2112212121 ( jyyjyxjyxxxzz
jyxyxyyxxzz )()( 1221212121
Contoh:
Tentukan hasil dari 341z j dikali dengan 2z j !
Jawab:
Pembagian dua bilangan kompleks:
)(
)(
22
11
2
1
jyx
jyx
z
z
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 182
)(
)(
22
11
2
1
jyx
jyx
z
z .
)(
)(
22
22
jyx
jyx
)(
(2
22222222
2
21122121
2
1
jyyjyxjyxxx
jyyjyxjyxxx
z
z
)(
)()(2
2
2
2
21122121
2
1
yx
jyxyxyyxx
z
z
jyx
yxyx
yx
yyxx
z
z2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
1
Contoh:
Tentukan hasil dari 341z j dibagi dengan 2z j !
Jawab:
j
j
z
z 34
2
1
j
j
j
j
z
z 34
2
1
2
2
2
1 34
j
jj
z
z
1
43
2
1 j
z
z
jz
z43
2
1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 183
9.3 Koordinat Bidang Kompleks (Diagram Argand)
Bilangan kompleks dapat digambarkan pada koordinat bidang
kompleks. Sumbu 183ertical adalah sumbu imajiner dan sumbu
horizontal adalah sumbu real. Bilangan kompleks yjxz dapat
digambarkan dalam bidang konpleks sebagai berikut:
Gambar 9.1 Koordinat Bidang Kompleks
Modulus bilangan kompleks z didefinisikan sebagai:
22 yxz
Modulus bisa diasumsikan sebagai besarnya nilai z relatif terhadap
nilai z lainnya.
Contoh:
1. 32z j 22 )3(4z = 5
2. z j 22 )1(0z = 1
Im
Re
),( yx
x
y
0
z
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 184
Konjugasi bilangan kompleks z didefinisikan sebagai:
yjxz
yjxz
)()( yjxyjxzz
)( 2jyyyjxyjxxxzz
)( 22 yxzz
2
zzz
Contoh:
Buktikan bahwa 2121 zzzz !
Jawab:
jyyxxzz )(( 212121
)()( 221121 jyxjyxzz
Im
Re
),( yx
x
y
0
z
-y
z
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 185
2121 zzzz (terbukti)
9.4 Koordinat Polar Bidang Kompleks
Transformasi ke koordinat polar.
yjxz ),(rz
22 yxr
x
yarctan
Sudut θ disebut juga dengan argument z.
Transformasi dari koordinat polar.
),(rz yjxz
cosrx
sinry
)sin(cos jrz
Im
Re
),(r
0
r
θ
Im
Re
),( yx
x
y
0
r
θ
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 186
LATIHAN 9.1_____________________________________
1. z
z ….
2. …
3. ….
4. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi !
5. Buktikan bahwa wzwz !
MATLAB:
d. Membuat Plot Fungsi Kompleks
Kode berikut digunakan untuk membuat plot fungsi
dengan nilai , nilai y , serta nilai .
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
t = linspace(-2,2);
x = 2*t;
y = t;
z = x+i*y;
plot(z), ylabel('yi'), xlabel('x')
e. Operasi Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks
Kode berikut digunakan untuk menghitung nilai:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 187
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
z=(2+3*i)/(5-3*i)
f. Operasi Pangkat Bilangan Kompleks
Kode berikut digunakan untuk menghitung nilai:
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
z=(2-3*i)^3
Selain contoh operasi di atas, operasi pada bilangan dan fungsi
kompleks yang lain juga bisa dibuat dengan matlab.
Perhatikan tabel berikut!
Tabel 8.1 Kode Trigonometri pada Matlab
KODE OPERASI BILANGAN KOMPLEKS
abs nilai dari (modulus) bilangan kompleks
angle sudut fase (dalam radian)*
conj conjugate bilangan kompleks
imag bagian imajiner bilangan kompleks
real bagian real bilangan kompleks
*Supaya didapat nilai derajat maka pakailah perintah:
sudut = angle(2-2*i)*180/pi %hanya contoh
_________________________________________________
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 188
BAB 10
LIMIT FUNGSI, ARTI GEOMETRI
10.1 Pengertian Limit
Misalkan akan dicari xx
1lim (dibaca limit satu per x dengan x
mendekati takhingga) maka diambillah beberapa nilai x seperti
berikut:
x 1 2 1.000 1.000.000 ….
1/x 1 1/2 0,001 0,000.001 …. 0
Gambar 10.1 Grafik Fungsi 1/x
Y
X 0 1 2 3 -3 -2 -1
1
2
3
-2
-1
-3
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 189
Terlihat bahwa pada jika nilai x membesar sebaliknya nilai 1/x
justru mengecil. Saat x besarnya tak hingga maka nilai adalah 1/x
nol.Terlihat bahwa semakin besar nilai x (yakni semakin ke kanan)
menuju tak hingga nilai y pun makin kecil menuju nol.
10.2 Limit Kiri dan Limit Kanan
Contoh:
1
2lim
2
1 x
xx
x
Limit kiri:
x -1,2 -1,1 -1,01 -1,0001 …
1
22
x
xx -3,2 -3,1 3,01 -3,001 …
31
2lim
2
1 x
xx
x
Limit kanan:
x -0,8 -0,9 -0,99 -0,9999 …
1
22
x
xx -2,8 -2,9 -2,99 -2,9999 …
31
2lim
2
1 x
xx
x
Jika nilai x sama dengan -1, maka 1
22
x
xx hasilnya 0/0.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 190
Gambaran dari limit kanan dan kiri tersebut dapat dilihat pada
grafik y = x2- 2x + 2 di bawah.
Gambar 10.2 Limit Kiri dan Limit Kanan
Limit kiri adalah mencari nilai f(x) dengan mendekati nilai x
dari arah kiri (x<a) pada contoh ini nilai x di ambil mulai dari -,05
hingga 0,999.
Limit kanan adalah mencari nilai f(x) dengan mendekati nilai x
dari arah kanan (x>a) pada contoh ini nilai x di ambil mulai dari 2
hingga 1,001.
Nilai f(1) = 12- 2
.1 + 2 = 1.
Y
X
-2
1 2 3 -3 -2 -1
-1
0
1
2
3
-3
1
22
x
xxy
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 191
Y
X 0 1 2 3 -3 -2 -1
1
2
3
-1
10.3 Kontinuitas Fungsi
Terlihat bahwa hasil dari limit kiri dan kanan fungsi
222 xxy hasilnya sama yakni mengerucut menuju 1.
22lim 2
1xx
x= 22lim 2
1xx
x= 22lim 2
1xx
x=1
Jadi, fungsi 222 xxy kontinyu pada nilai x = 1. Syarat agar
sebuah fungsi kontinyu pada x = c adalah:
1. hasil )(lim cfcx
ada dan merupakan bilangan real,
2. hasil )(lim cfcx
ada,
3. hasil )(lim cfcx
ada ,
4. )(lim cfcx
= )(lim cfcx
= )(lim cfcx
Fungsi kontinyu adalah fungsi yang mempunyai nilai y di
semua nilai x dalam suatu batas. Misalnya fungsi y = x + 1 dengan
domain ( 22 x ) kontinyu pada interval tersebut sebagai
buktinya perhatikan grafiknya berikut ini!
Gambar 10.3 Grafik
Fungsi Kontinyu
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 192
Fungsi tidak kontinyu adalah fungsi dengan satu atau lebih
nilai y yang tak terdefinisi pada nilai x tertentu. Misalnya fungsi
2
42
x
xy tidak kontinyu pada x = 2, terlihat dalam grafik di
bawah yaitu garis mempunyai celah satu titik pada (2, 4) karena
nilai y-nya saat x =0 adalah:
2
42
x
xy =
0
0
22
422
(tidak tentu).
Gambar 10.4 Grafik Fungsi Diskontinyu
Dengan adanya celah itulah garis terpotong, itulah mengapa fungsi
2
42
x
xy menjadi tidak kontinyu pada x = 2. Hal ini tidak
terlihat pada fungsi y = x + 1 di atas.
Y
X 0 1 2 3 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-1
2
42
x
xy
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 193
Untuk membuat fungsi di atas menjadi kontinyu harus diberi
definisi tambahan pada x = 2 dengan fungsi baru, misalnya sebagai
berikut:
2
42
x
x 2x
y(x) =
4 2x
Maka fungsi tersebut menjadi kontinyu di x berapapun karena
kekosongan hanya terjadi di titik (2, 4) dan sudah terisi dengan
definisi fungsi tambahan yakni y = 2x pada x = 2.
Gambar 10.5 Diskontinyu ke Kontinyu
Fungsi yang nilai limit kanan dan nilai limit kirinya pada x = a
tidak sama tidak bisa dibuat kontinyu. Fungsi yang seperti terjadi
lompatan pada x = a. Deskripsinya adalah seperti berikut:
2
42
x
xy
xy 2
Y
X 0 1 2 3 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 194
Gambar 10.6 Titik-titik Diskontinyu
Fungsi y1 lompat di x = a sedang fungsi y2 asimptotis di x = b.
Tidak ada fungsi tambahan yang bisa diberikan agar fungsi ini
kontinyu.
Contoh: x
y1
, tidak kontinyu dan asimptotis di x = 0.
Y
X a
y1
y2
b
Y
X 0 1 2 3 -3 -2 -1
1
2
3
-2
-1
-3
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 195
10.4 Limit Fungsi Aljabar
10.4.1 mxfax
)(lim
Nilai m didapat dengan cara menggantikan nilai x dengan a
pada f(x) dan dihindari hasil (m) sebagai berikut:
1. 0
ctak hingga, dan
2. 0
0tak tentu.
Bukan berarti nilai limit suatu fungsi tidak boleh tak hingga. Lihat
contoh di bawah!
Contoh:
1. Tentukan nilai 1lim 2
3x
x !
Jawab:
1)3(1lim 22
3xfx
x
10131lim 22
3x
x
2. Tentukan nilai x
x
x
1lim
2
!
Jawab:
111
lim2
0 xx
x
x
x
3. Tentukan nilai 1
1lim
2
1 x
x
x !
Jawab:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 196
Untuk mendapatkan nilai limit suatu fungsi dapat dilakukan
dengan beberapa metode berikut ini.
a. Memfaktorkan
)()(22 axaxax
)()( 2233 aaxxaxax
)()( 2233 aaxxaxax
Contoh:
Tentukan nilai xx
x
x 2
4lim
2
2
2 !
Jawab:
xx
x
x 2
4lim
2
2
2 )2(
)2()2()2(
xx
xxf
xx
x
x 2
4lim
2
2
2 x
xf
)2()2(
xx
x
x 2
4lim
2
2
2 2
)22(
xx
x
x 2
4lim
2
2
22
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 197
b. Mengalikan sekawannya
Cara mengalikan sekawannya ini dipakai untuk mendapatkan
limit dari bentuk akar.
Contoh:
Tentukan nilai 47
9lim
2
2
3 x
x
x !
Jawab:
47
9lim
2
2
3 x
x
x =
47
47
47
9lim
2
2
2
2
3 x
x
x
x
x
= 167
)47()9(lim
2
22
3 x
xx
x
= 9
)47()9(lim
2
22
3 x
xx
x
= )47(lim 2
3x
x
= )473(lim 2
3x
= 8
10.4.2 nxfx
)(lim
Dasar: 01
limxx
,
Hindari hasil-hasil: , 0
, 0
, dan ,
xxlim .
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 198
Contoh:
1. Tentukan nilai 8lim 2xx
!
Jawab:
8lim 2xx
= 82
=
2. Tentukan nilai xx
32lim !
Jawab:
xx
32lim =
32
= 02
= 2
3. Tentukan nilaixx
x
x 2
9lim
3
2
!
Jawab:
xx
x
x 2
9lim
3
2
= 2
93
2
….?
Nilai limit contoh 3 tersebut tidak dapat diperoleh secara
langsung. Nilai limit untuk fungsi-fungsi yang serupa dengan
contoh 3 tersebut didapat dengan dua cara seperti berikut:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 199
a. Membagi dengan x pangkat tertinggi
Contoh:
Tentukan nilai xx
x
x 2
9lim
3
2
!
Jawab:
xx
x
x 2
9lim
3
2
=
33
3
33
2
2
9
lim
x
x
x
x
xx
x
x
=
2
3
21
91
lim
x
xxx
=
2
3
21
91
= 01
0
= 0
b. Mengalikan dengan sekawannya
Contoh:
1. Tentukan nilai 3252lim xxx
!
Jawab:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 200
3252lim xxx
=
)3252(
)3252()3252(lim
xx
xxxx
x
= )3252(
)32()52(lim
xx
xx
x
= )3252(
8lim
xxx
=
xx
xx 3
25
2
8
lim
= 0
2. Tentukan nilai 3452lim 2xxx
!
Jawab:
3452lim 2xxx
=
3452
3452)3452(lim
2
22
xx
xxxx
x
= 3452
)34(25204lim
2
22
xx
xxx
x
= 3452
2820lim
2xx
x
x
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 201
=
2
34
52
2820
lim
xx
xx
= 5
Jadi, a
pbqpxaxcbxax
x 2lim 22
10.5 Teorema limit
1. cxf )( cxfax
)(lim
2. )(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax
3. )(lim)(lim xfkxfkaxax
4. )(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax
5. )(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax, 0)(lim xg
ax
6.
Contoh:
1. Tentukan nilai 5lim2x
!
Jawab:
5lim2x
=5 (teorema 1)
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 202
Dapat dibuktikan dengan menggambarnya pada grafik.
Fungsi f(x) = 5 adalah garis lurus horizontal. Seberapapun
nilai x nilai y tetap 5.
2. Tentukan nilai )sin2(lim 2 xxx
!
Jawab:
)sin2(lim 2 xxx
= )(sinlim2lim 2 xxxx
= sin22
= 2
10.6 Bilangan Alam (e = 2,7182818…)
1. ex
x
x
11lim
2. ex
x
x
11lim
3. ex x
x
1
0)1(lim
4. ex x
x
1
0)1(lim
Contoh:
1. Tentukan nilai51
1lim
n
n n!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 203
Jawab:
51
1lim
n
n n =
5/1
11lim
n
n n
=
5/1
11lim
n
n n
= 5/1e .
2. Tentukan nilai
x
x x
x
1
3lim !
Jawab:
x
x x
x
1
3lim =
x
x x
x
1
4)1(lim
=
44
1
4
1
1lim
x
x xx
x
=
4
4
1
41lim
x
x x
= 4e
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 204
10.7 Limit Fungsi Trigonometri
10.7.1 Limit x mendekati nol
Perhatikan gambar berikut!
Gambar 10.7 Limit Trigonometri
x dalam radian.
1OAr
Perhatikan juring AOB!
Luas juring AOB =
lingkaranluaslingkarankelilingsudut
sudutAOB_
__
= 2
2r
x,
O C
D
A
x
r
B
O C
D
A
x
r
B
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 205
= 2
x
Perhatikan segitiga OCB!
xxrOC coscos
xxrCB sinsin
Luas segitiga OCB = CBOC2
1
= xx sincos2
1
Perhatikan juring COD!
Luas juring AOB = 2)(2
OCx
= xx 2cos2
Saat garis OB berotasi dengan pusat O mendekati garis OA
maka luas segitiga OCB akan mendekati luas juring AOB begitu
juga luas juring COD mendekati luas keduanya. Saat garis OB
hampir berhimpitan dengan garis OC, sudut x mendekati nol.
Dari gambar terlihat bahwa:
Luas juring COD luas segitiga COB luas juring AOB
xx 2cos2
xx sincos2
1
2
x
xcosx
xsin
xcos
1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 206
0x 1 x
xsin1
Jadi, 1sin
lim0 x
x
x
x
x
x
tanlim
0 =
xx
x
x cos
1sinlim
0
= xx
x
xx cos
1lim
sinlim
00 (teorema limit)
= 1 x 1
= 1
Rangkuman untuk limit trigonometri dengan x mendekati nol:
1sin
lim0 x
x
x
x
x
x
coslim
0 (mengapa?)
1sin
lim0 x
x
x
x
x
x coslim
0 (mengapa?)
1tan
lim0 x
x
x Perhatikan gambar di atas lagi!
1tan
lim0 x
x
x
Contoh:
1. Tentukan nilaix
x
x 4
3sinlim
0!
Jawab:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 207
x
x
x 4
3sinlim
0 =
4
3
3
3sinlim
0 x
x
x
= 4
3lim
3
3sinlim
00 xx x
x
= ¾.
2. Tentukan nilaixx
x
xx tan
2sin2lim
220!
Jawab:
xx
x
xx tan
2sin2lim
220 =
xx
xx
x tan
2sintan2lim
20
=
x
xx
xxx
x
x
cos
sin
cossin2cos
sin2
lim2
0
= xx
xxx
x sin
cossin2sin2lim
2
2
0
= xx
xx
x sin
)cos1(sin2lim
2
2
0
= xx
xx
x sin
sinsinlim2
2
2
0
= x
x
x
x
x
x
x sin
sinsinlim2
2
2
0
= 2
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 208
10.7.2 Limit x mendekati bukan nol
1sin
limx
x
ax 1
)(
)sin(lim
0 at
at
t
atx
Contoh:
1. Tentukan nilai 4
3sinlim
4 x
x
x!
Jawab:
4
123sinlim
4 x
x
x =
t
t
t
3sinlim
0, 4tx
= 3.
LATIHAN 10.1____________________________________
1. Carilah nilai dari:
a. 1
2lim
2
1 x
xx
x
b. xx
11lim
0
c. 12
1lim
1 xx
x
x
d. t
t
x
sinlim
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 209
e. x
x
x 1
2lim
1
f. 322lim xxx
g.
x
n x
x
1
2lim
2. )2sin(lim xe x
x
3. 3
3sinlim
3 x
x
n
4. x
xxx
x
22
0
)()(lim
5. Lengkapilah fungsi berikut agar kontinyu di
!
a. 1
22
x
xxy
b. 1
)1sin(
x
xy
c. x
xy
2
83
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 210
MATLAB:
Berikut adalah kode perintah untuk mengoperasikan limit fungsi.
Tabel 10.1 Kode Operasi Limit Fungsi pada Matlab
g. Menghitung Nilai Limit Sebuah Fungsi
Kode berikut digunakan untuk membuat plot fungsi
xx
x
xx tan
2sin2lim
220
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
syms x; %untuk member tahu bahwa x: variable
y=(2/(x.^2))-(sin(2*x))/((x.^2)*tan(x));
a=limit(y,x,0)
Jika di-run hasilnya akan sama dengan hasil contoh di atas:
a =
2
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 211
h. Operasi Limit Tak-Hingga
Kode berikut digunakan untuk mengevaluasi
511lim
n
n n
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
syms x;
y=(1+1/x)^(x/5);
limit(y,x,Inf)
i. Operasi Limit Lainnya
Kode berikut digunakan untuk mengevaluasi
x
xxx
x
22
0
)()(lim
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
syms x h;
y=((x+h)^2-x^2)/h;
limit(y,h,0)
__________________________________________________
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 212
BAB 11
DIFFERENSIAL (TURUNAN)
11.1 Prinsip Dasar
Kasus: Carilah persamaan garis singgung kurva
722 xxy pada titik dengan absis 2! Dengan hanya
diketahui fungsi dan sebuah titik yang diketahui nilai x -nya saja
harus ditemukan persamaan garis singgung pada titik itu. Kasus ini
dapat diselesaikan dengan teori differensial berikut.
Sebuah garis singgung fungsi f(x) dibuat pada titik (x, y)
seperti pada gambar di bawah.
Gambar 11.1 Pendekatan Garis Singgung
Y
X x1 x2 x
y y1
y2 L
L2
L1 f(x)
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 213
Hendak di cari persamaan nxmy untuk garis L. Yang
harus dicari pertama kali adalah gradien garis singgung pada titik
(x, y) tersebut karena sudah tertentu (khas) dan hanya bergantung
pada fungsi f(x).
Untuk mencari gradien garis singgung tersebut dilakukan
pendekatan sebagai berikut:
Pendekatan pertama dengan garis L2:
2
22
x
ym
xx
yym
2
22 (gradien garis L2)
Pendekatan kedua dengan garis L1:
1
11
x
ym
xx
yym
1
12 (gradien garis L2)
Perhatikan bahwa 21 xx dan gradien 1 lebih mendekati
garis singgung yang dimaksud yaitu garis L. Jika x dibuat
mendekati nol maka akan didapat garis yang berhimpitan dengan
garis L, dan tentunya gradiennya akan identik.
xx
yym
x1
1
0lim
x
ym
x 0lim
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 214
yyy 1 = )( xxf - )(xf
xxx 1
x
xfxxfm
x
)()(lim
0
Turunan dari f(x) ditulis f ’(x) didefinisikan sebagai:
dx
xdfxf
)()('
x
xfxxf
x
)()(lim
0
Jadi, turunan dari f(x) ditulis f ’(x) merupakan gradien garis
singgung pada titik (x, y). Gradien garis singgung selalu khas di
setiap titik pada fungsi.
Perhatikan langkah-langkah pembahasan berikut:
1. Fungsi yang akan disinggung 72)( 2 xxxf (parabola
telungkup),
2. Titik A dengan absis 2 di singgung garis L. Koordinat titik A
yaitu:
2
Y
X 0
L
72)( 2 xxxf
A
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 215
72)( 2 xxxf
77222)2( 2f
Jadi, A (2, 7).
3. gradien garis L adalah:
x
xfxxfm
x
)()(lim
0
x
xxxxxxm
x
}72{}7)(2)({lim
22
0
x
xxxxxxxxm
x
}72{}7)22)2({lim
222
0
x
xxxxxxxxm
x
}727222lim
222
0
x
xxxxm
x
22lim
2
0
)22(lim0
xxmx
22 xm (apa konsekuensi dari adanya variabel x ini?)
Gradien di titik A (2, 7) adalah
222)2(m
2)2(m
4. Persamaan garis L (gradien -2 melalui titik singgungnya
sendiri (2, 7) adalah
nxmy
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 216
nxy 2
Melalui titik singgung itu sendiri
n227
11n
Jadi, persamaan garis singgung fungsi
77222)2( 2f pada titik dengan absis 2 adalah
112xy .
Gambar 11.2 Garis Singgung
Perhatikan gambar di atas! Gradien garis kurva
72)( 2 xxxf mengecil dari garis L1 - L2 kemudian garis L3
gradiennya nol dan gradien L4 dan L5 negatif. Gradien garis L1
didapatkan dengan memasukkan absis titik A ke 22)(' xxf .
Begitu juga semua garis singgung yang lain:
72)( 2 xxxf
a
Y
X 0 L1
A
B D
E L2
L3
L4
22)(' xxf
L5
b c d e
C
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 217
a. gradien (m) garis singgung L1 22)(' aaf ,
b. gradien (m) garis singgung L2 22)(' bbf ,
c. gradien (m) garis singgung L3 022)(' ccf ,
d. gradien (m) garis singgung L4 22)(' ddf ,
e. gradien (m) garis singgung L5 22)(' eef ,
Besarnya penurunan besarnya gradien garis singgung tersebut
dapat digambarkan menjadi sebuah garis lurus seperti berikut:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 218
Gambar 11.3 Gradien Garis Singgung
72)( 2 xxxf
Y
X
L1 A
22)(' xxfm
m
X
7
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 219
11.2 Rumus Turunan
Untuk mendapatkan turunan )(' xf sebuah fungsi )(xf dipakai
rumus dasar sebagai berikut:
dx
xdfxf
)()('
x
xfxxf
x
)()(lim
0
Dan ide dasarnya tidak pernah berubah yakni turunan dari
sebuah fungsi adalah nilai gradien garis singgung grafik fungsi
tersebut pada titik-titik sepanjang grafik/kurva.
a. cxf )(
)(' xf =x
xfxxf
x
)()(lim
0
= x
cc
x 0lim
= 0
cxf )( , )(' xf = 0
Jadi, gradien garis singgung pada garis y = c adalah nol.
Karena garis y = c adalah garis horizontal (m = 0).
Contoh:
1. Tentukan persamaan garis singgung fungsi 3)(xf pada
titik dengan absis 5!
Jawab:
0)5('fm
Titik singgung adalah (5, 3).
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 220
Maka persamaan garis singgung tersebut adalah 3y
berhimpit dengan grafik fungsi.
2. 100)(xf , )100('f = 0.
b. axxf )(
)(' xf =x
xfxxf
x
)()(lim
0
= x
axxaax
x 0lim
= ax 0
lim
= a
axxf )( , )(' xf = a
Fungsi axxf )( adalah persamaan garis lurus dengan
gradien = a. maka garis singgungnya selalu berhimpit dengan
gradien = a juga.
Contoh:
1. xxf 3)( , 3)3(' xf
2. xxf )( , 1)(' xf
c. 2)( axxf
)(' xf =x
xfxxf
x
)()(lim
0
= x
axxxxxa
x
222
0
)2(lim
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 221
= x
axxaxxaax
x
222
0
2lim
= )2(lim0
xaxax
= xa2
2)( axxf , )(' xf = xa2
d. naxxf )(
)(' xf = x
xfxxf
x
)()(lim
0
= .....)(lim 1
0
nn
xxanxan
= 1nxna
naxxf )( , )(' xf = 1nxna
Dengan: n
nx
x
1
n
m
n m xx
Contoh:
1. 53)( xxf , 45 35)3(' xxf = 415x
2. 35
1)(
xxf 3
1
5
1)( xxf , 3
4
3
1
5
1)(' xxf =
3 415
1
x
3. x
axf )(
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 222
)(' xf =x
xfxxf
x
)()(lim
0
= x
x
a
xx
a
x 0lim
= x
xxx
xaxa
xxx
xa
x
22
0lim
= x
xxx
xa
x
2
0lim
= xxx
a
x 20lim
= 2x
a
11.3 Aturan dalam Turunan
1. )()'( xgf = )(' xf )(' xg atau
)'')'( vuvu
Bukti:
)()'( xgf =
x
xgxfxxgxxf
x
)}()({)}()({lim
0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 223
=
x
xgxxgxfxxf
x
)}()({)}()({lim
0
=
x
xgxxg
x
xfxxf
xx
)()(lim
)()(lim
00
= )(' xf + )(' xg
Contoh:
a. 342 xxy
23 324' xxy
23 38' xxy
b. )15()2( 34 xxxy
345 710 xxxy
234 32850' xxxy
c. 3
34 )12(
x
xxy
32 12 xxy
4304' xxy
4
34'
xxy
2. )()'( xfk = )(' xfk atau ')'( ukuk
Bukti:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 224
)()'( xfk =x
xfkxxfk
x
)()(lim
0
= x
xfxxfk
x
)()(lim
0
= )(' xfk
Contoh:
a. )2(3
1 34 xxy
)38(3
1' 23 xxy
b. )7(4 2 xxxy
)7(4 23 xxy
)143(4' 2 xxy
xxy 5612' 2
3. )()'( xgf = )()(' xgxf + )(')( xgxf atau
'')'( vuvuvu
Bukti:
)()'( xgf =x
xgxfxxgxxf
x
)()()()(lim
0
= x
xgxxgxfxxgxfxxf
x
)}()({)()()}()({lim
0
= x
xgxxgxfxxg
x
xfxxf
xxx
)()(lim)()(lim
)()(lim
000
= )()(' xgxf + )(')( xgxf
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 225
Contoh:
a. )2(2 346 xxxy
'y = )()'( xgf
62)( xxf )2()( 34 xxxg
512)(' xxf )38()(' 23 xxxg
'y = )()(' xgxf + )(')( xgxf
'y )2(12 345 xxx + 236 382 xxx
'y8989 6161224 xxxx
'y89 1840 xx
b. )2(2 346 xxxy
910 24 xxy
'y89 1840 xx
4. )(
'
xg
f=
2))((
)(')()()('
xg
xgxfxgxf atau
2
'''
v
vuvu
v
u
Bukti:
)(
'
xg
f=
x
xg
xf
xxg
xxf
x
)(
)(
)(
)(
lim0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 226
= x
xgxxg
xxgxfxgxxf
x
)()(
)()()()(
lim0
= x
xxgxfxgxxf
xgxxg xx
)()()()(lim
)()(
1lim
00
= x
xgxxgxfxgxfxxf
xg x
)}()({)()()}()({lim
))((
1
02
= x
xgxxgxfxg
x
xfxxf
xg x
)()()()(
)()(lim
))((
1
02
= )](')()()('[))((
12
xgxfxgxfxg
= 2))((
)(')()()('
xg
xgxfxgxf
Contoh:
a. 34
6
2
2
xx
xy
62)( xxf )2()( 34 xxxg
512)(' xxf )38()(' 23 xxxg
'y = 2))((
)(')()()('
xg
xgxfxgxf
= 234
236345
)2(
)38(2)2(12
xx
xxxxxx
b. 6
34
2
2
x
xxy
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 227
32
2
1xxy
43
2
32' xxy
43 2
32'
xxy
11.4 Aturan Rantai (Chain Rule)
Notasi Leibnitz
Turunan fungsi )(xfy yaitu )(' xf dapat ditulis dalam
notasi Leibnitz menjadi:
dx
dyy'
dx
xdfxf
)()('
dt
dSS
Jadi notasi Leibnitz ditulis dalam bentuk dx
dy,
dx
xdf )(,
dt
dS dan
seterusnya untuk menunjukkan turunan fungsi.
Contoh:
a. 3xy
dx
dy= 23x
b. xxxf 2)( 3
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 228
dx
xdf )( =
dx
xxd )2( 3
= 23 2x
c. 3
12)(
xxxf
dx
xdf )( =
dx
xxd
3
12
= dx
xxd 3
1
2
= 3
4
3
12 x
= 3 43
12
x
Aturan Rantai
Jika )(xfy bisa dibentuk sedemikian rupa menjadi
)(ufy dengan )(xgu , maka: dx
dy=
dx
du
du
dy
Contoh:
5
6
34
2
2
x
xxy
5uy ,
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 229
du
du
du
dy 5
= 45u
6
34
2
2
x
xxu
32
2
1xxu
dx
du =
dx
xxd 32
2
1
= 43
2
32 xx
= 43 2
32
xx
dx
dy=
dx
du
du
dy
dx
dy = )5( 4u
43 2
32
xx
= 43
4
6
34
2
32
2
25
xxx
xx
Jika diperhatikan aturan rantai tersebut seolah-olah didapat
dengan cara berikut:
dx
dy=
du
du
dx
dy
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 230
Yang mana ini tentunya tidak merubah nilai dx
dy karena
du
du
tentunya bernilai satu. Sepuluh dikalikan satu kan tetap sepuluh
juga. Dengan menyusun ulang didapat:
dx
dy=
dx
du
du
dy
Tentunya dengan cara yang sama juga bisa didapatkan:
dx
dy=
dw
dw
du
du
dx
dy
dx
dy=
dx
dw
du
dw
du
dy
11.5 Turunan Fungsi Trigonometri
a. xxf sin)(
)(' xf =x
xgxfxxgxxf
x
)()()()(lim
0
= x
xxx
x
sin)sin(lim
0
= x
xxxxx
x
sin)sin(cos)cos(sinlim
0
= x
xxxx
x
)sin(cos)1)(cos(sinlim
0
= x
xx
x
xx
xx
)sin(coslim
)1)(cos(sinlim
00
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 231
= 1cos0sin xx
= xcos
xxf sin)( , xxf cos)('
x
x
x
1)cos(lim
0= 0…?
x
x
x
1)cos(lim
0 =
x
x
x
)2
1(sin2
lim
2
0
= )2
1sin(lim
)2
1sin(
lim200
xx
x
xx
= 02
12
= 0
b. xxf cos)(
)(' xf =x
xgxfxxgxxf
x
)()()()(lim
0
= x
xxx
x
cos)cos(lim
0
= x
xxxxx
x
cos)sin(sin)cos(coslim
0
= x
xxxx
x
)1)(cos(cos)sin(sinlim
0
= x
xx
x
xx
xx
)1)(cos(coslim
)sin(sinlim1
00
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 232
= xsin
xxf cos)( , xxf sin)('
c. xxf tan)(
)(xf = x
x
cos
sin
)(' xf = 2)(cos
)'(cossincos)'(sin
x
xxxx (aturan bagi)
= x
xxxx2cos
sinsincoscos
= x2cos
1
= x2sec
xxf tan)( , )(' xf = x2sec
Dengan cara yang sama (memakai aturan pembagian)
didapatkan turunan fungsi:
d. xxf cot)( , )(' xf = xec2cos
e. xxf sec)( , )(' xf = xx tansec
f. ecxxf cos)( , )(' xf = xecx cotcos
Contoh:
1. xxy cossin
)'(cossincos)'(sin' xxxxy (aturan kali)
'sinsincoscos' xxxxy
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 233
xxy 22 sincos'
xy 2cos'
2. xxy cossin
xy 2sin2
1
uy sin2
1, xu 2
udu
dycos
2
1, 2
dx
du
'y = dx
du
du
dy
= ucos2
12
= x2cos
3. )5sin( 22 xxy
)}'5{sin()5sin()'(' 2222 xxxxy
)5sin()( 2xxg
uug sin)( , 52xu
udu
dgcos , x
dx
du2
xudx
dg2cos
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 234
xxdx
dg2)5cos( 2
)}5cos(2{)5sin(2' 222 xxxxxy
)5cos(2)5sin(2' 232 xxxxy
11.6 Turunan Fungsi Implisit
Contoh fungsi implisit:
a. 03 23 yyxy
b. 13sin)( 2 yxyyx
c. 0sin2sin yx
d. 0)sin()( yxyx
Dasar-dasar yang dipakai:
dx
dyy' dxydy '
1)(
'dx
xdx
0)(
'dx
ada , a = konstan
Contoh:
1. 122 yx
)1()( 22 dyxd
022 dyydxx
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 235
022dx
dyyx
0'22 yyx
xyy 2'2
y
xy'
2. xyxxy sin
][)]()sin[( xdyxxyd
dxdyxydxdxxyxdy 1)11()cossin(
dxdxxyyxxdy )cos()(sin
1)cos1()sin( xyxxdx
dy
)cos1(1)sin(' xyxxy
xx
xyy
sin
)cos1(1'
11.7 Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponen
a. ax
a x
xln
1lim
0
b. xaxf )(
)(' xf = x
xfxxf
x
)()(lim
0
= x
aa xxx
x 0lim
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 236
= x
aa xx
x
)1(lim
0
= aa x ln
)(' xf = aa x ln
c. xexf )(
)(' xf = ee x ln
xexf )('
xexf )( , )(' xf = xea
d. xxf a log)(
xy a log
xy a
aa log (lihat sifat-sifat logaritma)
xa y
)()( xdad y
dxdyaa y ln
1ln aadx
dy y
aay
y ln
1'
axy
ln
1'
xxf a log)( , )(' xf = ax ln
1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 237
11.8 Turunan Fungsi Invers Trigonometri
a. xy arcsin
Misal: uxarcsin , maka: xusin
1
1cos
22 xu
dxud )(sin
dxduucos
u
dxdu
cos
21 x
dxdu
xy arcsin
uy
dudy
21 x
dxdy
21
1
xdx
dy
xy arcsin , 21
1
xdx
dy
b. xy arccos
Misal: uxarccos , maka: xucos
u
x 1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 238
1
1sin
22 xu
dxud )(cos
dxduusin
u
dxdu
sin,
21 x
dxdu
xy arccos
uy
dudy
21 x
dxdy
21
1
xdx
dy
xy arccos , 21
1
xdx
dy
c. xy arctan
Misal: uxarctan , maka: xutan
1
1sec
22 xu
dxud )(tan
dxduu2sec
u
x
1
u
x
1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 239
u
dxdu
2sec
21 x
dxdu
xy arctan
uy
dudy
21 x
dxdy
21
1
xdx
dy
xy arctan , 21
1
xdx
dy
d. xarcy sec
Misal: uxarc sec , maka: xusec
x
xu
1tan
2
dxud )(sec
dxduuu tansec
uu
dxdu
tansec
12xx
dxdu
u
x
1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 240
xarcy sec
uy
dudy
12xx
dxdy
1
1
2xxdx
dy
xarcy sec , 1
1
2xxdx
dy
Dengan cara yang sama buktikan rumus-rumus berikut:
e. ecxy arccos , 1
1
2xxdx
dy
f. xarcy cot , 21
1
xdx
dy
11.9 Turunan Fungsi Hiperbolik
a. xy sinh
Grafik xy sinh , 33 x :
dx
xd )(sinh )(
2
1 xx eedx
d
= ])1([2
1 xx ee
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 241
= )(2
1 xx ee
= xcosh
xy sinh , xy cosh'
b. xy cosh
dx
xd )(cosh = )(
2
1 xx eedx
d
= ])1([2
1 xx ee
= ][2
1 xx ee
= xsinh
xy cosh , xy sinh'
Grafik xy cosh , 33 x :
-3 -2 -1 1 2 3X
-10
-5
5
10
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 242
c. xy tanh
Grafik xy tanh , 33 x :
dx
xd )(tanh =
xx
xx
ee
ee
dx
d
-3 -2 -1 1 2 3X
2
4
6
8
10
Y
-2 -1 1 2
X
-1
-0.5
0.5
1
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 243
=
2)(
))1(()()())1((xx
xxxxxxxx
ee
eeeeeeee
=
2)(
)()()()(xx
xxxxxxxx
ee
eeeeeeee
= 2
22
)(
)()(xx
xxxx
ee
eeee
= 2
2222
)(
)2()2(xx
xxxxxxxx
ee
eeeeee
= 2)(
4xx ee
=
2
)(
2xx ee
= xh2sec
xy tanh , xhy 2sec'
Dengan cara yang sama tentukan rumus turunan fungsi
hiperbolik berikut:
d. xy coth , xechy 2cos'
e. hxy sec , xhxy tanhsec'
f. echxy cos , xechxy cothcos'
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 244
11.10 Turunan Fungsi Invers Hiperbolik
Dasar-dasar yang dipakai:
1. 1sinhcosh 22 xx (bisa dibuktikan sebagai latihan)
2. xexx sinhcosh
3. )1ln(sinharg 2xxx
Bukti:
Misal: uxsinharg , maka: xusinh
xee uu )(2
1
1sinhcosh 22 uu
1sinhcosh 2 uu
1cosh 2xu
1)(2
1 2xee uu
1sinhcosh 2xxuu
1)(2
1)(
2
1 2xxeeee uuuu
12
2xxeeee uuuu
12xxeu
)1ln(ln 2xxeu
)1ln( 2xxu
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 245
uxsinharg
)1ln(sinharg 2xxx
Berikut ini silahkan buktikan sebagai latihan!
4. )1ln(cosharg 2xxx 1x
5. x
xx
1
1ln
2
1tanharg 11 x
6. 1
1ln
2
1cotharg
x
xx 1x atau 1x
7. x
xhx
)11lnsecarg
2
10 x
8. x
xechx
)11lncosarg
2
0x
9. x
xechx
)11lncosarg
2
0x
Turunan fungsi invers hiperbolik adalah sebagai berikut:
a. xy sinharg
Misal: uxsinharg , maka: xusinh
dxud )(sinh
dxduucosh
u
dxdu
cosh,
1sinhcosh 22 uu
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 246
1sinhcosh 2 uu
1cosh 2xu
12x
dxdu
uxsinharg
uy
dudy
12x
dxdy
1
1
2xdx
dy
xy sinharg , 1
1
2xdx
dy
Dengan cara yang sama atau dengan aturan rantai silahkan
buktikan rumus berikut sebagai latihan:
b. xy cosharg , 1
1
2xdx
dy 1x
c. xy tanharg , 21
1
xdx
dy 1x
d. xy cotharg , 21
1
xdx
dy 1x atau
1x
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 247
e. hxy secarg , 21
1
xxdx
dy 10 x
f. echxy cosarg , 21
1
xxdx
dy 1x
g. echxy cosarg , 21
1
xxdx
dy 1x
11.11 Penerapan Turunan
11.11.1 Garis singgung dan garis normal kurva
Pada awal bab telah dibahasa bahwa turunan pertama suatu
fungsi (yakni yang telah dibahas sejauh ini) menunjukkan
besarnya gradien garis singgung (tangent line) sebuah kurva atau
fungsi. Apapun fungsinya baik itu polinomial, trigonometri,
eksponensial, dan sebagainya. Garis normal adalah garis yang
tegak lurus dengan garis singgung kurva.
Contoh:
1. Diketahui fungsi 13)( 2 xxxf . Tentukan:
a. besarnya gradien garis singgung sepanjang kurva,
b. besarnya gradien garis singgung di titik dengan absis -1,
c. besarnya gradien garis singgung di titik dengan oordinat 5,
d. besarnya gradien garis singgung di titik puncak,
e. Persamaan garis singgung di titik puncak,
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 248
f. persamaan garis singgung di titik A dengan oordinat -2,
g. persamaan garis normal di titik dengan absis 3.
Jawab:
a. besanya gradien garis singgung sepanjang kurva:
13)( 2 xxxf
32)(' xxfm
Jadi besanya gradien garis singgung: 32x
b. besarnya gradien garis singgung di titik dengan absis -1.
32xm
312)1(m
1m
c. besarnya gradien garis singgung di titik dengan oordinat 5.
Dicari nilai x (absisnya) terlebih dahulu:
Y
X 0
L 13)( 2 xxxf
1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 249
513)( 2 xxxf
0432 xx
0)4()1( xx
1x , 4x
Jadi, ada dua titik dengan ordinat yang sama yaitu (-1, 5)
dan (4, 5). Hal ini pasti sudah Anda prekdisikan. Untuk
grafik persamaan kuadrat, satu-satunya titik yang
oordinatnya berbeda hanya titik balik, mengapa?
Perhatikan grafik di atas!
Garis singgungnya pun ada dua (sebelah kiri dan kanan)
dan pasti nilainya berlawanan.
Gradien garis singgung kiri, menyinggung di (-1, 5):
32xm 3)1(2)1(m
5)1(m
Y
X 0
1
5
-1 4
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 250
Gradien garis singgung kanan, menyinggung di (4, 5):
32xm 3)4(2)4(m
5)4(m
d. besarnya gradien garis singgung di titik puncak
Besarnya pasti nol karena garis singgungnya mendatar.
Misalkan sebuah mistar kaku diletakkan di atas kaleng
seperti di bawah.
Gambar 11.3 Gradien Garis Singgung di Titik Puncak
Saat mistar masih miring maka titik singgungnya masih di
B atau C. Dan saat mistar lurus mendatar (kemiringannya
nol) terlihat bahwa garis singgung menyentuh titik A dan
titik A adalah titik tertinggi relatif terhadap lantai.
Begitu juga lantai akan selalu menyinggung di titik
terrendah. Konsep ini akan berguna pada pembahasan
selanjutnya.
e. Persamaan garis singgung di titik puncak
A B
C
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 251
Pertama: cari dulu absis titik puncak dengan persamaan
gradien:
32xm
032x , gradien garis singgung di
titik puncak nol.
2
3x
Kedua: ordinat titik puncak (3/2, …):
13)( 2 xxxf
1)2/3(3)2/3()2/3( 2f
4/9)2/3(f
Jadi titik puncaknya ( 3/2, -9,4)
Ketiga: cari persamaan garis singgung di titik puncak
tersebut:
Pastilah persamaan garis singgungnya adalah xy4
9,
mengapa?
f. persamaan garis singgung di titik A dengan oordinat -2.
Coba dikerjakan sebagai latihan. Pakailah point c di atas
sebagai contoh.
g. persamaan garis normal di titik dengan absis 3.
Gradien garis singgung : 32)3( xm = 3.
Gradien garis normal : -1/3 , mengapa?
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 252
Ordinat titik dengan absis 3 adalah: 13)( 2 xxxf
1333)3( 2f = 1
Jadi, titiknya : (3, 1).
Persamaan garis normal : nmxy
: nxy3
1
Melalui (3, 1) : n33
11 , n = 2
Jadi, persamaan garis normal tersebut: 23
1xy .
Perhatikan grafiknya di bawah ini!
2. Diketahui fungsi xexf x cos)( . Tentukan persamaan garis
singgung dan garis normal di titik dengan absis 6/ !
Jawab:
Y
X 0
1
3
23
1xy
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 253
a. titik dengan absis 6/ adalah:
xexf x cos)(
)6/cos()6/( 6/ef
)6/(f )5,0()688,1(
)6/(f 0,844
Jadi titik tersebut adalah ( 6/ ; 0,844).
b. Gradien garis singgung di titik ( 6/ ; 0,844).
xexf x cos)(
)sin()cos()(' xexexf xx
)sin(cos)(' xxexf x
)6/sin6/(cos)6/(' 6/ef
)6/('f )366,0()688,1(
)6/('f 62,0
c. Persamaan garis singgung
nmxy
nxy 62,0
Melalui titik ( 6/ ; 0,844).
n)6/(62,0844,0
52,0n
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:
52,062,0 xy .
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 254
d. Persamaan garis normal
Gradien garis normal: 62,0
1m = -1,61
nxy 61,1
Melalui titik ( 6/ ; 0,844).
n)6/(61,1844,0
68,1n
Jadi, persamaan garis normal tersebut adalah:
68,161,1 xy .
11.11.2 Fungsi naik dan fungsi turun
Dasar-dasar:
a. garis lurus dengan gradien positif arahnya selalu naik dari
kiri bawah ke kanan atas.
b. garis lurus dengan gradien negatif arahnya selalu naik dari
kanan bawah ke kiri atas.
c. garis lurus dengan gradien nol arahnya selalu horizontal.
d. Turunan suatu fungsi merupakan gradien garis singgung
di titik-titik fungsi tersebut
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 255
Gambar 11.4 Gradien Garis Lurus
Mari kita bahas sebuah grafik fungsi berikut:
Gambar 11.5 Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Y
X 0
Gradien positif
Gradien negatif
Gradien nol
Y
X 0
1
2
3
4
f(x)
I II III IV V
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 256
Seperti biasa grafik akan selalu dilihat dari kiri ke kanan (dari
nilai x yang kecil ke yang besar). Sumbu X dibagi menjadi 5
bagian sesuai dengan bentuk grafik.
1. daerah I
Di daerah ini grafik naik (melihatnya dari kiri ke kanan),
gradien garis singgung kurva di daerah ini positif.
2. daerah II
Di daerah ini grafik turun (lihat tanda panah), gradien garis
singgung kurva di daerah ini negatif.
3. daerah III
Di daerah III ini grafik mendatar (lihat tanda panah),
gradien garis singgung kurva di daerah ini nol.
4. daerah IV
Di daerah ini grafik turun lagi (lihat tanda panah), gradien
garis singgung kurva di daerah ini negatif.
5. daerah V
Di daerah ini grafik naik lagi (lihat tanda panah), gradien
garis singgung kurva di daerah ini positif.
Jadi, kesimpulannya:
a) kuva naik, maka gradien garis singgungnya positif
0)(' xf
b) kurva turun, maka gradien garis singgungnya negatif.
0)(' xf
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 257
Contoh:
1. Diketahui fungsi 22)( 23 xxxxf . Tentukan batas-
batas nilai x dimana fungsi tersebut:
a. naik
b. turun
Jawab:
22)( 23 xxxxf
143)(' 2 xxxf
a. naik
0)(' xf
0143 2 xx a>0 kurva terbuka
0143 2 xx
a
acbbx
2
42
2,1
32
)1(34)4()4( 2
2,1x
6
2842,1x
3
7
3
21x ,
3
7
3
22x
X
3
7
3
2
Y>0
+ + + + + + + +
3
7
3
2
X
- - - - - - Y<0
3
7
3
2
3
7
3
2
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 258
Jadi, fungsi naik pada batas nilai x: 3
7
3
2x atau
3
7
3
2x .
b. Turun 0)(' xf
Jadi, fungsi naik pada batas nilai x: x3
7
3
2
3
7
3
2
.
22)( 23 xxxxf
-2 -1 1 2 3
X
-4
-2
2
4
6
8
Y
22)( 23 xxxxf
-2 -1 1 2 3X
5
10
15
m
143)(' 2 xxxfm
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 259
2. Diketahui fungsi 103)( 2 xxxf . Tentukan batas-batas
nilai x dimana fungsi tersebut naik dan nilainya positif!
Jawab:
103)( 2 xxxf
32)(' xxf
Fungsi naik haruslah 0)(' xf :
032x
2
3x
Jadi, kurva akan naik pada nilai x>3/2.
Dimana nilai fungsi (y) selalu positif?
0)(xf
01032 xx (a>0 kurva terbuka)
0)2)(5( xx
5x , 2x
Jadi, fungsi 103)( 2 xxxf naik dan selalu positif saat
nilai x>5. Lihat gambar!
X
Y>0
+ + + + + + + +
-2 5
X
+ + + +
3/2
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 260
11.11.3 Kecekungan Kurva
a. Turunan kedua
Turunan pertama sebuah fungsi merupakan gradien garis
singgung fungsi tersebut. Sedangkan perubahan besarnya
gradien garis singgung sebuah fungsi adalah sama dengan
turunan kedua fungsi tersebut.
)(' xf = x
xfxxf
x
)()(lim
0
)('' xf = x
xfxxf
x
)(')('lim
0
1. Perubahan gradien garis singgung positif.
Perhatikan grafik fungsi f(x) berikut!
-4 -2 2 4 6
X
-10
-5
5
10
15
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 261
Gradien garis singgung 1 lebih kecil daripada gradien
garis singgung 2. Gradien garis singgung 2 lebih kecil
dari gradien garis singgung 3. Gradien garis singgung 3
lebih kecil daripada Gradien garis singgung 4 dan
seterusnya. Perubahan gradien garis singgung kurva
tersebut adalah positif. Jadi, perubahan garis singgung
kurva dengan nilai positif menunjukkan bahwa kurva
terbuka ke atas. Nilai perubahan gradien garis singgung (
''y ) grafik fungsi 22xy di atas adalah:
22xy
xy 2'
2''y (positif).
Dengan kata lain jika turunan kedua suatu fungsi bernilai
positif kurvanya cekung terbuka.
0)('' xf kurva terbuka ke atas
Y
X 0
22xy
1
2
3 4
5
Y
6
7
8 9
1
0
22xy
X
0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 262
2. Perubahan gradien negatif
Perhatikan kurva fungsi 22xy di atas. Perubahan
garis singgung kurva dengan nilai negatif menunjukkan
bahwa kurva telungkup ke bawah. Nilai perubahan
gradien garis singgung ( ''y ) grafik fungsi 22xy di
atas adalah:
22xy
xy 2'
2''y (negatif).
0)('' xf kurva telungkup ke bawah
3. Perubahan gradien nol
Jika gradien garis singgung kurva tidak berubah pada
rentang 21 xxx maka kurva pada rentang nilai x
tersebut pastilah garis lurus. Kenapa?
0)('' xf kurva berupa garis lurus.
Tetapi sebuah titik dimana 0)('' xf dan titik-titik di
sampingnya nilai 0)('' xf maka titik tersebut disebut
titik belok.
Contoh:
1. Diketahui fungsi 2)( 23 xxxxf . Tentukan batas-batas
nilai x dimana fungsi tersebut:
a. Terbuka ke atas
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 263
b. Telungkup
c. Garis lurus
Jawab:
2)( 23 xxxxf
123)(' 2 xxxf
26)('' xxf
a) kurva terbuka ke atas 0)('' xf
26)('' xxf
026x 3/2x
Jadi saat nilai 3/2x kurva terbuka ke atas.
b) kurva telungkup 0)('' xf
026x 3/2x
Jadi saat nilai 3/2x kurva telungkup.
c) garis lurus 0)('' xf
026x 3/2x ,
2)3/2()3/2()3/2( 23y
27/32y
Titik-titik di sekitar 3/2x nilai )('' xf -nya tidak sama
dengan nol, maka titik (2/3, 32/27) ini adalah titik belok.
Perhatikan kurvanya berikut ini!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 264
-3 -2 -1 1 2 3X
1
2
3
4
Y
223 xxxy
2. Diketahui fungsi xxxxxf 22
3
3
1
12
1)( 234 . Tentukan
batas-batas nilai x dimana fungsi tersebut:
d. Terbuka ke atas
e. Telungkup
f. Garis lurus
Jawab:
xxxxxf 22
3
3
1
12
1)( 234
233
1)(' 23 xxxxf
32)('' 2 xxxf
a) kurva terbuka ke atas 0)('' xf
32)('' 2 xxxf
0322 xx a>0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 265
-4 -2 2 4 6X
-5
5
10
Y
0)1)(3( xx
3x , 1x
Jadi saat nilai x :{ 1x atau 3x } kurva terbuka ke atas.
b) kurva telungkup 0)('' xf
Jadi saat nilai 31 x kurva telungkup.
c) garis lurus 0)('' xf
kurva tidak mempunyai garis lurus tetapi mempunyai dua
titik belok dengan absis -1 dan 3. Cocokkan titik-titik
tersebut dengan kurva berikut!
X
Y>0
+ + + + + + + +
-1 3
X
- - - - - - Y<0
-1 3
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 266
b. Kecekungan relatif
Perhatikan grafik fungsi berikut.
22 2xy
xy 4'
4''y
22xy
xy 2'
2''y
22
1 2xy
xy'
1''y
Y
X 0
2xy 22xy
2
2
1xy
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 267
Terlihat bahwa semakin besar nilai mutlak turunan kedua suatu
fungsi semakin cekung kurva yang terbentuk. Kurva
22 2xy lebih cekung daripada kurva 22xy .
11.11.4 Nilai maksimum dan minimum relatif
Perhatikan grafik fungsi f(x) berikut.
Gambar 11.5 Titik Maksimum dan Minimum
Fungsi f(x) tersebut memiliki domain 1xx . Dari grafik
tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.
a) titik minimum absolut adalah nilai minimum mutlak
dari sebuah fungsi. Pada contoh titik 1 adalah titik
minimum absolut dan (y1) disebut nilai minimum
absolut.
Y
X 0
1
2
3
4
f(x)
y1
y2
y3
1xx
x1
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 268
b) Titik minimum relatif adalah titik terrendah relatif
terhadap titik-titik di sebelah kanan dan kirinya (titik 4.
Dan (y4) disebut nilai minimum relatif.
c) Titik maksimum relatif adalah titik tertinggi relatif
terhadap titik-titik di sebelah kanan dan kirinya (titik2).
Dan (y2) disebut nilai maksimum relatif.
d) Titik maksimum absolut adalah titik tertinggi pada
sebuah fungsi. Titik maskimum absolut f(x) tersebut
ada di takhingga, sehingga nilai maksimum relatifnya
adalah .
1. Nilai maksimum relatif ( 0)('' xf , 0)(' xf ).
Perhatikan grafik di atas! Terlihat bahwa nilai maksimum
relatif terjadi pada puncak kurva telungkup ( 0)('' xf ) dengan
gradien garis singgung nol ( 0)(' xf ).
2. Nilai minimum relatif ( 0)('' xf , 0)(' xf ).
Titik minimum relatif terjadi di puncak kurva terbuka dengan
gradien garis singgung di titik tersebut nol.
Contoh:
1. Diketahui fungsi 222
1
3
1)( 23 xxxxf . Tentukan:
a. Titik maksimum relatif
b. Titik minimum relatif
c. Titik belok.
Jawab:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 269
222
1
3
1)( 23 xxxxf
2)(' 2 xxxf
12)('' xxf
a) titik maksimum relatif
kurva telungkup ( 0)('' xf ) dan gradien garis singgung di
titik tersebut nol ( 0)(' xf ).
0)(' xf
022 xx
0)1)(2( xx
2x , 1x
Titik-titik puncak:
222
1
3
1 23 xxxy
2x 22222
12
3
1 23y = -4/3
(2, -4/3)
1x 2)1(2)1(2
1)1(
3
1 23y = 3 1/6
(-1, 3 1/6)
0)('' xf
12)('' xxf
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 270
-3 -2 -1 1 2 3 4
X
-4
-2
2
4
6
Y
2x 122)2(''f = 3 (jadi, (2, -4/3) adalah titik minimum
relatif)
1x 1)1(2)2(''f = -3 ( jadi, titik (-1, 3 1/6) adalah titik
maksimum relatif).
b) titik minimum relatif
(-1, 3 1/6)
c) titik belok ( 0)('' xf )
012x
2/1x
2)2/1(2)2/1(2
1)2/1(
3
1 23y =11/12
Jadi, titik beloknya adalah (1/2, 11/12).
2. Pagar setinggi h meter berdiri sejajar sebuah gedung tinggi dan
sejauh w meter darinya (lihat gambar berikut). Cari panjang
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 271
tangga terpendek yang dapat menjangkau tanah di seberang
puncak pagar ke dinding gedung!
Jawab:
Misal panjang tangga L.
echwL cossec w dan h konstan.
cotcostansec' echwL
cotcostansec' echwL
Nilai maksimum relatif ditemukan pada saat 0'L
0cotcostansec echw
cotcostansec echw
w
h
ec cotcos
tansec
w
h3tan
3tanw
h
h
w θ
θ
3
w
h
1
3
2
1w
h
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 272
3
2
1secw
h
3
3
2
1
cos
w
h
w
h
ec
echwL cossec
3
3
2
3
21
1
w
h
w
h
hw
hwL .
11.11.5 Kinematika gerak
Kecepatan
Kecepatan adalah perbandingan antara jarak yang ditempuh
dengan waktu yang diperlukan. Ditulis:
dt
dSv
v : kecepatan (m/s)
dS : pertambahan jarak (m)
dt : waktu yang diperlukan (s).
Contoh:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 273
Sebuah benda jatuh dari ketinggian 100 meter. Jika g=10 m/s2
tentukan kecepatan benda setelah jatuh selama 2 detik.
Jawab:
2
2
1100 tgS (g = 10 m/s
2)
25100 tS (m)
dt
dSv
dt
tdv
)5100( 2
ttv 10)( (m/s)
210)2(v
20)2(v m/s.
Jadi kecepatan benda setelah 2 detik adalah -20 m/s (arah ke
bawah).
Percepatan
Percepatan adalah perbandingan antara perubahan kecepatan
dengan waktu yang diperlukan.Ditulis:
dt
dva
a : kecepatan (m/s)
dv : perubahan kecepatan (m)
dt : waktu yang diperlukan (s).
100 m
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 274
Contoh:
Sebuah elektron bergerak dipercepat dengan persamaan
22tS (106m) dari sebuah katode menuju anode. Tentukan
percepatan elektron setelah bergerak selama 1 detik.
Jawab:
dt
dSv
22tS (106m)
dt
dva
dt
tdv
)2( 2
dt
tda
)4(
ttv 4)( (106m/s) 4)(ta (10
6m/s
2).
Ternyata percepatan konstan. Jadi, percepatan elektron setelah
1 detik tetap 4.10
6 m/s
2.
11.11.6 Deret Taylor dan Maclaurin
Deret Taylor dan Maclaurin berfungsi untuk mengubah
bentuk-bentuk fungsi menjadi bentuk fungsi polonomial. Inilah
mengapa kalkulator bias menghitung nilai sinus, logaritma,
akar dan sebagainya.
3
3
2
210 )()()()( axcaxcaxccxf ….
2
321 )(3)(20)(' axcaxccxf …..
2
432 )(34)(23200)('' axcaxccxf …
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 275
2
54 )(345)(234000)(''' axcaxcxf ….
Apabila variabel x disubstitusi dengan nilai a, akan didapat:
3
3
2
210 )()()()( aacaacaaccaf ….
)(0 afc
2
321 )(3)(20)(' aacaaccaf …..
)('1 afc
2
432 )(34)(23200)('' aacaaccaf …
)(''22 afc
2
54 )(345)(234000)(''' aacaacaf
….
)(''233 afc
…..
!
)(
n
afc
n
n
Jadi sebuah fungsi f(x) dapat diungkapkan dalam bentuk fungsi
polinomial seperti berikut.
)(xf =!3
))(('''
!2
))((''))((')(
32 axafaxafaxafaf
….!
))((
n
axaf nn
.
Bentuk tersebut dinamakan deret Taylor.
Jika a = 0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 276
)(xf =!3
)0('''
!2
)0('')0(')0(
32 xfxfxff ….
!
)0(
n
xf nn
.
Bentuk ini disebut deret Maclaurin.
Contoh:
)sin()( xxf
xxf cos)(' 1)0cos(
xxf sin)('' 0)0sin(
xxf cos)(''' 1)0cos(
……….
)(xf =!3
)0('''
!2
)0('')0(')0(
32 xfxfxff ….
!
)0(
n
xf nn
.
xsin =!3
1
!2
0)0(')0(
32 xxxff ….
xsin = !7!5!3
753 xxxx ….
Sebagai latihan buktikan bahwa:
a. xcos = !6!4!2
1642 xxx
….
b. xsinh = !7!5!3
753 xxxx ….
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 277
c. xcosh = !6!4!2
1642 xxx
….
d. xe = !5!4!3!2
15432 xxxx
….
11.11.7 Mean Value Theorem (teorema nilai tengah)
Sebuah fungsi )(xf yang kontinyu dan terdifferensialkan
dalam selang bxa akan ada nilai c ( bca ) sehingga:
ab
afbfcf
)()()('
Untuk mendapatkan gambaran secara geometris perhatikan
grafik pada gambar 11.6 dan 11.7 berikut!
Gambar 11.6 Mean Value Theorem Grafik 1
Y
X 0
f(x) yb
ya
a c b
l
l’
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 278
Artinya selalu ada garis singgung (l’) yang sejajar dengan garis
yang menghubungkan titik (a,ya) dan titik (a,yb) yakni garis l pada
titik dengan selang antara a dan b.
'lm = lm
)(' cf = ab
yy ab
Gambar 11.7 Mean Value Theorem Grafik 2
Contoh:
Diketahui sebuah fungsi 43)( 2 xxxf . Garis l
menghubungkan titik A dengan absis -2 dan titik B dengan
absis 1. Garis k sejajar garis l dan menyinggung kurva pada
Y
X 0
f(x) yb
ya
a c b
l
l’
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 279
titik C. Jika absis titik C adalah c dan a<c<b, tentukan titik C
tersebut!
Jawab:
432 xxy by = 41312 = -6
ay = 4)2(3)2( 2 = 6
32' xy
)(' cy = 32c
lm = km
)(' cy = ab
yy ab
32c = )2(1
66
32c = -4
12c
2/1c cy = 4)2/1(3)2/1( 2 = -1/4
Jadi titik C adalah (-1/2, -1/4). Sebagai latihan silahkan
gambar kurva tersebut!
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 280
11.11.8 L’Hospital rule
Fungsi f(x) nilainya mendekati nol saat ax atau dapat
ditulis:
)(lim xfax
= 0 berarti juga bahwa:
)()( afxf = 0 dan ax = 0.
Mengingat ax
afxf
ax
)()(lim adalah )(' af , maka untuk
)(
)()(
xh
xgxf
)(lim xfax
= )(
)(lim
xh
xg
ax dengan syarat 0)(ag dan
0)(ah .
= )(lim
)(lim
xh
xg
ax
ax
= )]()([lim
)]()([lim
ahxh
agxg
ax
ax
=
ax
ahxhax
agxg
ax
ax
)()(lim
)()(lim
= )('
)('
ah
ag
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 281
Jadi, )(
)(lim
xh
xg
ax=
)('
)('
ah
ag dengan syarat 0)(ag , dan 0)(ah .
Inilah yang disebut aturan L’Hospital.
Contoh:
1. 1
lim2
1 x
xx
x=…
Jawab:
1lim
2
1 x
xx
x=
1
12x=
1
11
2. x
x
x
cos1lim
0=…
Jawab:
x
x
x
cos1lim
0=
1
sin x=
1
0= 0
Jika 0)(' ag , dan 0)(' ah sehingga )('
)('
ah
ag=
0
0 maka boleh
dilanjutkan menjadi:
)(
)(lim
xh
xg
ax=
)('
)('
ah
ag=
)(''
)(''
ah
ag dan seterusnya.
Contoh:
3. x
xx
x cos1
sinlim
0=…
Jawab:
x
xx
x cos1
sinlim
0=
x
x
sin
cos1=
x
x
cos
sin=
1
0= 0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 282
4. 20
1coslim
x
x
x=….
Jawab:
Karena 2)(ag atau bukan nol maka limit tersebut tidak
bisa diselesaikan dengan aturan L’Hospital.
20
1coslim
x
x
x=
2
2
0
2
1sin2
limx
x
x=
2
1
LATIHAN 11.1____________________________________
1. Tentukan gradient garis singgung kurva pada gambar
berikut!
4 2 2 4x
5
10
15
20
25
30
35
Yx
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 283
2. Carilah dari fungsi berikut:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
3. Tentukan hasil dari:
a. x
x
x
39lim
0
b. 1
1lim
30 x
x
x
c. x
a x
x
1lim
0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 284
4. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi
dalam selang !
5. Hitung panjang ruas garis AB pada gambar berikut!
6. Sebuah benda bergerak dengan persamaan:
smttttv /222
1
3
1)( 23
Tentukan:
a. Kecepatan maksimum benda!
b. Kecepatan minimum benda!
c. Kapan benda bergerak ke arah x positif?
d. Kapan benda bergerak ke arah x negatif?
e. Kapan benda bergerak dipercepat?
f. Kapan benda bergerak diperlambat?
Y
X 0
1
3
232 xxy
B
A
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 285
MATLAB:
j. Differensial Sebuah Fungsi
Kode berikut digunakan untuk mencari turunan dari
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
syms x;
y=x^3-2*x^2+5;
diff(y,x)
pretty(diff(y,x))
k. Turunan ke-n Sebuah Fungsi
Kode berikut digunakan untuk mendapat nilai turunan kedua
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
syms x;
y=sin(x^3)-exp(sin(x));
diff(y,x,2)
pretty(diff(y,x,2))
__________________________________________________
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 286
BAB 12
INTEGRAL
12.1 Antiderivatif
Telah kita ketahui bahwa notasi )(' xf adalah turunan pertama
dari )(xf . Jika diketahui )(' xf dan ingin mendapatkan )(xf
prosesnya disebut integrasi.
)(' xf )(xf
dxxf )(' = cxf )(
dxxf )( = cxF )(
Jika )(xf diturunkan kembali hasilnya adalah )(' xf . Sebagai
contoh:
dx
n
xd
n
1
1
= nx , maka dxxn = cn
x n
1
1
xdx
xdcos
)(sin, maka xdxcos = cxsin
xdx
xdsin
)(cos, maka xdxsin = cxcos
Mengapa ada harus c di belakang?
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 287
Contoh:
1. Tentukan fungsi )(xf yang turunan pertamanya adalah
xxf )(' !
Jawab:
)(xf = dxxf )('
= dxx)(
= cx2
2
1
2. Tentukan fungsi )(xf yang melewati titik (0,2) dan turunan
pertamanya adalah 223)(' 2 xxxf !
Jawab:
)(xf = dxxf )('
= dxxx )223( 2
= cxxx 223
y = cxxx 223
(0, 2) 2 = c0200 23
c = 2
y = 2223 xxx
Jadi, fungsi tersebut adalah )(xf = 2223 xxx .
Antiderivatif berarti operasi balikan dari turunan.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 288
Berikut adalah daftar integrasi berbagai fungsi:
Tabel 12.1 Integral dari Fungsi Dasar
1. , jika
2.
3.
4.
5.
6.
7. +C
8.
9.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 289
12.2 Integral
Jumlah Riemann (Riemann Sum)
Selain memiliki arti antiderivatif integral juga berarti jumlah.
Jumlah Riemann adalah sebuah metode pendekatan untuk mencari
luas area di bawah kurva. Ini yang dimaksud dengan integral.
Perhatikan pembahasan berikut!
Gambar 12.1 Integral sebagai Jumlah
Misalkan hendak dihitung luas bidang yang dibatasi oleh
fungsi f(x), garis x = a, garis x = b, dan sumbu X seperti
ditunjukkan pada gambar di atas.
a. Bidang dibuat dari bilah-bilah dengan lebar sama (dx)
sebanyak n buah.
Y
X xi a
c
d
f (x)
yi
b
yi
dx
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 290
Lebar n
abdx .
b. Luas bidang adalah jumlah seluruh bilah-bilah tersebut.
bilahLL
n
i
i dxyL1
c. Jika lebar bilah dibuat mendekati nol maka penjumlahan
bidang-bidang tersebut akan sama dengan luas bidang yang
dimaksud.
10
limi
idx
dxyL =
b
a
dxy .
Contoh:
1. Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh garis xy , garis
x = a, garis x = b, dan sumbu X !
Jawab:
Y
X xi a
xy
yi
b
yi
dx
….
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 291
n
r
n
abdx
2
dxdxiaxi
n
r
n
riaxi
2
xy
ii xy
n
r
n
riayi
2
n
i
idx
dxyL1
0lim
n
in n
r
n
r
n
riaL
1 2lim
2
1
2
11 2
1limlimlim
n
in
n
in
n
in n
r
n
ri
n
raL
2
1
2
2limlimlim
n
rni
n
r
n
rnaL
n
n
inn
22
2
1lim
2
)1(limlim
n
rnn
n
r
n
rnaL
nnn
2
)1(
1
nni
n
i
2
2
2
22
2lim
2
)(limlim
n
r
n
nnrraL
nnn
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 292
02
2rraL Perhatikan bentuk ini! abr
2
)()(
2ababaL
2
2 222 abab
aabL
2
222 222 abababaL
2
22 abL
)()(2
1ababL ini adalah luas trapesium.
2. Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh garis xy , garis
x = 0, garis x = 4, dan sumbu X !
Jawab:
n
b
n
bdx
0
20
dxdxixi
n
b
n
bixi
2
xy
ii xy
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 293
n
b
n
biyi
2
n
i
idx
dxyL1
0lim
n
in n
b
n
b
n
biL
1 2lim
2
1
2
1 2
1limlim
n
in
n
in n
b
n
biL
2
1
2
2limlim
n
bni
n
bL
n
n
in
22
2
1lim
2
)1(lim
n
bnn
n
bL
nn
2
)1(
1
nni
n
i
2
2
2
22
2lim
2
)(lim
n
b
n
nnbL
nn
02
2bL Perhatikan bentuk ini! 3b
Jadi luas bidang tersebut: 5,42
32
L .
Dengan cara integral, Luas =
3
0
dxy =
3
0
dxx =
3
0
2
2
x=
2
03 22
= 4,5.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 294
Bentuk 2
2b sama dengan bentuk
2
2x.
Kedua contoh tersebut menunjukkan bahwa integral berarti
jumlah. Dengan kenyataan ini integral berguna dalam banyak
bidang.
Sifat-sifat integral.
1. b
a
dxc = )( abc
2. b
a
dxxgxf )]()([ =
b
a
dxxf )(
b
a
dxxg )(
3. b
a
dxxfc )( =
b
a
dxxfc )(
4. b
a
dxxf )( = b
axF )( = )()( aFbF ,
)()(' xfxF
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 295
12.3 Menghitung Luas
Filosofi penting bahwa integral adalah jumlah membawa
implikasi yang sangat besar. Dengan pemahaman dan kemampuan
teknik mempartisi (membuat bilah-bilah) yang tepat sesungguhnya
telah diperoleh 100% manfaat integral.
a. Partisi horizontal
Perhatikan gambar berikut!
Gambar 12.2 Luas dengan Partisi Horizontal
Sebuah bidang dibatasi oleh kurva f(x), garis x = a, garis x
= b, dan sumbu X. luas bidang tersebut dapat dihitung
dengan cara menjumlahkan bilah-bilah tersebut. Bilah
dibuat dengan membagi-bagi bidang dengan lebar yang
sama dx. Luas masing-masing bidang (y.dx).
Y
X xi a
f (x)
yi
b
yi
dx
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 296
Luas bidang =
b
a
dxy
Contoh:
Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh kurva 2xy , garis
x = 0, garis x = 4, dan sumbu X !
Jawab:
Pertama, buat partisinya seperti berikut.
Kedua, tentukan luas bilah
Luas bilah = dxy
Ketiga, beri notasi integral dan batas integrasi (yakni a, b).
bilah dibuat berjajar dari kiri angka 0 ke kanan hingga
angka 4 sehingga batasnya yang dipakai adalah 0 dan 4.
Y
X xi
yi
4
yi
dx
2)( xxf
0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 297
Luas bidang =
4
0
dxy
=
4
0
2 dxx
=
4
0
3
3
x =
3
0
3
4 33
= 3
121 .
Jadi, luas bidang tersebut adalah 3
121 satuan.
b. Partisi vertikal
Perhatikan gambar berikut!
Gambar 12.3 Luas dengan Partisi Vertikal
Y
X xi
c
f (x)
yi
d
xi
dy
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 298
Sebuah bidang dibatasi oleh kurva f(x), garis y = c, garis y
= d, dan sumbu Y. luas bidang tersebut dapat dihitung
dengan cara menjumlahkan bilah-bilah tersebut. Bilah
dibuat dengan membagi-bagi bidang dengan lebar yang
sama dy. Luas masing-masing bidang (x.dy).
Karena bilah sejajar dari bawah ke atas maka batas yang
dipakai
d
c
dyx .
Contoh:
Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh kurva 2xy , garis
y = 0, garis y = 4, dan sumbu Y !
Jawab:
Y
X xi
yi
2)( xxf
0
xi
dy
4
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 299
12.4 Menghitung Volume Benda Putar
Sebuah area di bawah kurva jika diputar terhadap sumbu X
satu putaran penuh akan membentuk sebuah volume. Berdasarkan
pilihan partisi dan sumbu putar yang digunakan, ada tiga metode
yang dapat digunakan: metode keeping (disc), metode cincin, dan
metode kulit tabung.
Gambar 12.4 Metode Integral Volume
12.4.1 Metode Disc (Cakram)
Perhatikan gambar di bawah. Jika luasan yang dibatasi oleh
kurva f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b diputar satu
putaran penuh akan menghasilkan volume. Untuk menghitung
volume benda putar tersebut dapat dilakukan dengan cara
pendekatan, yakni dibuat partisi kepingan-kepingan cakram.
Volume satu keping (lihat gambar 12.5 di bawah!):
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 300
Gambar 12.5 Metode Cakram
atau
Contoh:
Hitunglah volume yang terjadi jika bidang yang dibatasi
oleh kurva 2xy , garis x = 0, garis x = 4, dan sumbu X
diputar terhadap sumbu X satu putaran!
Y
X xi a
f (x)
y
Δx
b
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 301
Jawab:
Pertama, buat partisinya seperti berikut.
Kedua, tentukan volume yang terjadi jika bilah (partisi)
diputar terhadap sumbu X satu putaran.
Volume keeping partisi di atas adalah:
Y
X xi
yi
4
yi
dx
2)( xxf
0
y
dx
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 302
12.4.2 Metode Cincin
Perhatikan gambar berikut. Jika luasan dibatasi oleh kurva
f(x), dan g(x), garis x = a, dan garis x = b diputar satu putaran
terhadap sumbu X penuh akan menghasilkan volume.
Gambar 12.6 Metode Cincin
Y
X xi a
f (x)
Δx
b
g(x)
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 303
Untuk menghitung volume benda putar tersebut dapat
dilakukan dengan partisi cincin. Volume satu cincin:
Contoh:
Hitunglah volume yang terjadi jika bidang yang dibatasi
oleh kurva 2xy , garis x = 0, garis x = 1, dan garis y = x
diputar terhadap sumbu X satu putaran!
Jawab:
Pertama, buat partisinya seperti berikut.
Y
X xi
yi
1
yi
dx
2)( xxf
0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 304
Kedua, tentukan volume yang terjadi jika bilah (partisi)
diputar terhadap sumbu X satu putaran.
Terihat bahwa pada area tersebut, garis x berada di atas
kurva, maka kita pakai:
sebagai y
sebagai g
12.4.3 Metode Kulit Tabung
Perhatikan gambar berikut. Jika luasan dibatasi oleh kurva
f(x), garis y = a, dan garis y = b diputar satu putaran penuh
terhadap sumbu Y akan menghasilkan volume seperti pada gambar
berikut.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 305
Gambar 12.7 Metode Kulit Tabung
Luasan partisi yang dibuat pada titik xi diputar dengan jari-jari
xi terhadap sumbu Y hasilnya adalah kulit tabung seperti pada
gambar berikut.
Gambar 12.8 Kulit Tabung
Jika kulit tabung tersebut dipotong, maka akan terbentuk
balok seperti pada gambar berikut.
Y
X
xi a
f (x)
b
xi
yi
dx
xi
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 306
Gambar 12.9 Balok dari Kulit Tabung
Volume balok dari kulit tabung = luas partisi x keliling
putaran.
Sehingga,
Contoh:
Hitunglah volume yang terjadi jika bidang yang dibatasi
oleh kurva 2xy , garis x = 0, dan garis x = 2 diputar
terhadap sumbu Y satu putaran!
Jawab:
Pertama, buat partisinya seperti berikut gambar di bawah.
yi
dx 2πx
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 307
12.5 Teknik Integrasi
Tidak semua fungsi bisa diintegralkan secara langsung seperti
pada table 12.1 di awal bab ini. Ada yang bisa diselesaikan dengan
metode substitusi ada juga yang bias diintegralkan dengan metode
integral parsial.
Y
X xi
yi
2
yi
dx
2)( xxf
0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 308
Metode langsung sudah dijelaskan di awal bab. Metode
substitusi dan integral parsial akan dijelaskan di subbab ini.
Metode lain dijelaskan pada metode matematika lanjut.
Coba perhatikan integral dari fungsi berikut!
a.
b.
c.
Yang poin a bisa diintegralkan langsung. Yang b dan c tidak
bisa diintegralkan secara langsung. Akan ditunjukkan di bawah ini
bahwa yang b dapat diintegralkan dengan metode integral parsial
dan yang c dengan metode substitusi.
12.5.1 Metode Substitusi/Mengganti Variabel
Caranya dengan menggantikan bentuk dasar fungsi dari x
menjadi u, dimana u adalah fungsi dari x.
Teknik Itegrasi
Secara Langsung
Substitusi
Integral Parsial
Metode Lain
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 309
Tabel 12.2 Substitusi Integral dari Fungsi Dasar
1. , jika
2.
3.
4.
5.
6.
7. +C
8.
9.
Contoh 1:
Jawab:
Berdasar nomor delapan dari tabel di atas, maka:
Jadi,
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 310
Contoh 2:
Jawab:
Berdasar nomor satu dari tabel di atas, maka:
Sehingga,
Contoh 3:
Jawab:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 311
Jadi,
Kunci dari metode substitusi adalah dengan melihat apakah
sebuah bentuk integral fungsi tersebut dapat diubah total menjadi
.
12.5.2 Metode Integral Parsial
Metode ini digunakan untuk mencari hasil integral seperti
pada kasus poin b di atas dan kasus lain semacamnya.
Mengingat,
Jika dihilangkan dx –nya menjadi:
Sehingga,
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 312
Contoh 1:
Jawab:
Jadi,
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 313
Contoh 2:
Jawab:
Lagi,
Jadi,
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 314
Contoh di atas adalah integral parsial berulang. Untuk lebih
mudahnya dalam mengerjakan integrasi seperti itu digunakan
tabel.
Contoh:
Jawab:
u (u du) Tanda pada
perkalian
v (dv v)
+
-
+
6 -
0
Jadi, hasil dari:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 315
12.5.3 Metode Substitusi Lanjut
Mengingat (lihat di bab 11!):
a. ,
b. ,
c. ,
d. ,
e. ,
f. ,
Dan,
a. )1ln(sinharg 2xxx
b. )1ln(cosharg 2xxx
c. x
xx
1
1ln
2
1tanharg
d. 1
1ln
2
1cotharg
x
xx
e. x
xhx
)11lnsecarg
2
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 316
f. x
xechx
)11lncosarg
2
g. x
xechx
)11lncosarg
2
h. ,
g. ,
h. ,
i. ,
j. ,
k. ,
Contoh 1:
Jawab:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 317
Contoh 2:
Jawab:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 318
Contoh 3:
Jawab:
Mengingat,
Jadi,
u
1
x
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 319
Contoh 4:
Jawab:
12.6 Integrasi Fungsi Rational
Fungsi rasional berbentuk pembagian fungsi polynomial.
12.5.1 Jika A(x) memiliki pangkat x yang lebih tinggi dari B(x)
Contoh:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 320
Jawab:
Jadi,
12.5.2 Jika A(x) memiliki pangkat x yang lebih rendah dari B(x)
a. Akar-akar B(x) tidak ada yang kembar
Contoh:
Jawab:
Maka, a = ¾ dan b = ¼, jadi:
b. Akar-akar B(x) ada yang kembar
Contoh:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 321
Jawab:
Maka,
Didapat: c = -2, a = 4, b = -9.
12.7 Aplikasi dan Kegunaan Integral
Di antara kegunaan integral adalah untuk mencari fungsi yang
diketahui turunannya (dijelaskan pada subbab 1) dan menghitung
luas serta volume benda putar yang telah dijelaskan pada subbab
12.3 dan 12.4. Pada subbab ini akan dijelaskan beberapa aplikasi
integral.
12.7.1 Menghitung volume (bukan benda putar)
Perhatikan gambar balok di bawah! Untuk menghitung
volume balok, balok tersebut kita potong melintang untuk
mendapatkan volume partisi. Terlihat bahwa volume partisi :
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 322
Gambar 12.10 Balok
Maka volume balok adalah jumlah dari semua volume partisi
tersebut:
Contoh1:
Hitung volume kerucut di bawah ini!
a b
dx
A(x)
0 6
3,5 A(x)
x X
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 323
Jawab:
Luas alas =
Contoh2:
Hitung volume dari potongan kayu berikut! Tebal maksimum
(tmaks) potongan kayu adalah 1.
0 r A(x) x
-4
4
t
X Y
b
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 324
Jawab:
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 325
12.7.2 Menghitung Panjang Kurva
Panjang ruas AB dari kurva f(x) bisa dicari dengan rumus:
Gambar 12.11 Panjang Kurva
Contoh:
Hitung panjang ruas kurva yang dibatasi oleh sumbu y
dan garis x = 4!
Jawab:
Y
X a
f (x)
b
Δx Δy
Δs
A
B
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 326
Batas x = 0, u = 0.
Batas x = 4, u = arctan(8) = 82,875.
Jadi, panjang ruas kurva tersebut adalah 16,818.
Y
X
f (x)= x2
4 0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 327
12.7.3 Menghitung Luas Selimut Benda Putar.
Jika ruas kurva AB diputar dengan sumbu putar adalah sumbu
X akan didapat selimut seperti pada gambar berikut.
Gambar 12.12 Panjang Kurva
Luas permukaan partisi adalah:
Jadi, luas selimut menjadi:
Contoh:
Hitung luas selimut yang terbentuk jika ruas kurva
yang dibatasi oleh sumbu y dan garis x = 4 diputar dengan
sumbu X menjadi sumbu putar!
Jawab:
Y
X a
f (x)
b
Δs
A
B
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 328
= 817,3
Y
X
f (x)= x2
4 0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 329
12.8 Mencari Pusat Massa (Center of Mass, Center of Gravity)
Pusat massa sebuah benda adalah sebuah titik yang menjadi
pusat gravitasi ataupun percepatan yang lain. Perhatikan gambar
berikut!
Gambar 12.13 Pusat Massa Elips
Titik A adalah pusat massa elips. Jika elips tersebut diputar
dengan sumbu titik A, elips bisa berhenti pada posisi apapun (pada
gambar adalah miring ke kiri). Sedangkan titik B bukan pusat
massa elips. Jika elips diputar ia akan berhenti pasti pada posisi
seperti pada gambar, yakni tegak lurus dengan titik B berada di
atas pusat massa.
Pada sub bab ini akan dijabarkan dua jenis pendekatan untuk
mencari pusat massa sebuah benda berdasarkan bentuk benda
tersebut, yaitu:
a. pendekatan panjang (untuk benda yang berbentuk kurva), dan
b. pendekatan luas,
A B
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 330
12.8.1 Pendekatan Panjang Kurva
Sebuah ruas kurva AB dapat dibagi menjadi partisi-
partisi sepanjang Δs. Terlihat pada gambar di bawah bahwa
pusat massa dari ruas Δs tersebut adalah (x, y).
Gambar 12.14 Pusat Massa Sebuah Partisi Busur
Jadi, pusat massa total ruas sepanjang busur AB adalah:
Contoh.
Hitung pusat massa ruas kurva yang dibatasi oleh
sumbu y dan garis x = 4!
Jawab:
Y
X a
f (x)
b
Δx Δy
Δs
A
B
yi
xi
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 331
Gambar kurva:
Bagian penyebut adalah integral untuk mendapatkan panjang
ruas kurva. Dari contoh pada sub-bab 12.5.2 didapat panjang
kurva sebesar 16,818. Integral pada bagian pembilang dpat
dicari dengan cara substitusi:
,
,
Sehingga,
Y
X
f (x)= x2
4 0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 332
Kedua nilai tersebut menghasilkan:
Selanjutnya,
Nilai hasil integrasi penyebut adalah sama dengan di atas,
yakni 16,818. Nilai pembilang adalah:
Kedua nilai tersebut menghasilkan:
Jadi, pusat massa dari busur AB di atas adalah (2.6, 5.3).
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 333
12.8.2 Pendekatan Luas
Bisa dipakai untuk benda yang berbentuk bidang
(luasan) maupun yang berbentuk prisma. Perhatikan gambar
berikut!
Gambar 12.15 Prisma dan Elips
Prisma didapatkan dari luasan A yang ditarik setebal h,
sehingga untuk mencari pusat massa prisma cukup dicari
pusat massa pada bidang alas A. Pusat massa dari benda
seperti ini direpresentasikan oleh titik , dan .
Gambar 12.16 Pusat Massa Luasan Partisi
A h A
Y
X a
f (x)
yi
b
yi
dx
xi
½ yi
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 334
Pada gambar 12.16 di atas terlihat bahwa pusat massa
sebuah luasan partisi adalah . Jadi pusat massa dari
total luasan adalah:
Contoh:
Cari pusat massa dari luasan yang dibatasi oleh kurva
, sumbu y dan garis x = 4!
Jawab:
Luasan tersebut adalah seperti berikut.
Y
X
f (x)= x2
4 0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 335
Dan,
Jadi, pusat massa dari luasan tersebut adalah (3, 4.8).
12.8.3 Teorema Pappus
“Jika sebuah luasan bidang diputar terhadap sebuah
sumbu yang melalui bidang tersebut akan tetapi tidak
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 336
memotongnya, volume dari benda putar yang dihasilkan
adalah perkalian antara luas bidang dan panjang lintasan dari
pusat massanya.
Perhatikan gambar berikut! Jika luas bidang yang
dibatasi oleh kurva f(x), sumbu X, dan garis x = b diputar
terhadap sumbu X, volume yang terbentuk dapa dihitung
dengan rumus:
Sehingga,
Gambar 12.17 Teorema Pappus
Contoh:
Cari pusat massa dari luasan yang dibatasi oleh kurva
, sumbu y dan garis x = 4!
Y
X
y = f (x)
b 0
Area A
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 337
Jawab:
Luasan tersebut adalah seperti berikut.
Luas bidang tersebut
Volume jika luasan tersebut diputar pada sumbu X
berdasar teorema Pappus:
Y
X
f (x)= x2
4 0
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 338
Hasilnya adalah sama dengan contoh pada sub bab
12.8.2. Sebagai latihan, silahkan cari nilai dengan
menggunakan teorema Pappus.
12.9 Mean Value Theorem untuk Integral
Jika f(x) kontinyu dalam selang tertutup [a,b] ada sebuah titik
c di antara a dan b dimana f(c) adalah nilai rata-rata integral f(x)
dalam selang [a,b] tersebut (lihat gambar di bawah!).
Gambar 12.18 Mean Value Theorem
Y
X a
f (x)
b
A
B
c
frata-rata
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 339
Contoh.
Tentukan tegangan rata-rata setengah siklus dari sumber
tegangan sinusoidal !
Jawab:
Jadi, tegangan rata-rata setengah siklus-nya adalah 140 volt.
LATIHAN 12.1____________________________________
1. Evaluasi integral berikut:
a.
b.
c.
d.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 340
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
2. Evaluasi integral berikut:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 341
3. Hitunglah luas yang dibatasi oleh sumbu X, garis x=0,
garis x = 4, dan kurva !
4. Hitunglah luas yang dibatasi oleh sumbu Y, garis y = -2,
garis y = 2, dan kurva !
5. Hitunglah volume yang terjadi jika area yang dibatasi oleh
kurva , kurva , garis y = -2, garis y = 2
diputar terhadap sumbu Y!
6. Hitung pusat massa dari area di bawah kurva
, dengan !
7. Rumus impuls (I) adalah gaya (F) dikalikan waktu (t).
Hitung impuls yang diberikan oleh gaya
yang mengenai sebuah partikel!
0 6
3,5 A(x)
x X
Y
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 342
8. Dalam Fisika, momen inersia dari sebuah partikel
bermassa m yang berjarak r dari sumbu putar adalah mr2.
Tentukan momen inersia dari kerucut pada gambar di atas
(massa 0,5 kg) dengan sumbu putar sumbu Y!
9. Dalam kinematika, jarak yang ditempuh sebuah partikel
yang bergerak dengan kecepatan v selama waktu t adalah
. Tentukan jarak yang ditempuh partikel yang
bergerak dengan kecepatan :
a. dari saat , hingga !
b. dari saat , hingga !
c. selama 2 detik!
10. Hitung volume dari benda pada gambar berikut!
2
2 y
x
z
5
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 343
MATLAB:
a. Anti-Turunan Sebuah Fungsi
Kode berikut digunakan untuk mengevaluasi
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
syms x;
int(x^3-2*x^2+5)
pretty(int(x^3-2*x^2+5)) %mengubah bentuk
b. Nilai dari Integral Tentu
Kode berikut digunakan untuk mengevaluasi
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
syms x;
double(int(sqrt(1+4*(x^2)),0,4))
Arti:
Perintah double supaya yang hasilnya berupa angka. Perintah
int artinya adalah integral dari, dan perintah sqrt maksudnya
adalah akar dari (square root).
EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Page | 344
c. Nilai dari Integral Tak-Hingga
Kode berikut digunakan untuk mengevaluasi
Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
syms x;
double(int(exp(-x^2),-Inf, Inf))
__________________________________________________
EduMacs Publisher _____________________________________________________
Page | 318
DAFTAR PUSTAKA
Bittinger L.M., Ellenbogen D.J., Surgent S.A., Calculus and Its
Application, Addison Wisley, 2012.
Keisler J.H., Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach,
Second Edition, Creative Common, 2007.
Boas M.L., Mathematical Methods in the Physical Sciences,
Second Edition, John Wiley & Sons, 1983.
Cox B., Understanding Engineering Mathematics, Newnes, 2001.
Wolfram S., The Mathematica® Book 5th
Edition, Wolfram
Media, 2003.
Mohammad Faizun lahir di Kebumen,
meraih sarjana teknik mesin dari
Universitas Gadjah Mada tahun 2007.
Sempat bekerja dua tahun di Karawang
pada sebuah perusahaan multinasional
dari Belgia. Kemudian melanjutkan S2 di
Engineering Design and Manufacture Department, University
of Malaya, Malaysia dan lulus tahun 2011. Sekarang aktif
sebagai staf pengajar di Program Studi Teknik Mesin
Universitas Islam Indonesia. Memiliki minat di computation,
robotics, dan automation.