JUEGOS MATEMATICOS (2015)

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Este libro pequeo en tamao, pero grande en diversin y conocimiento est dedicado a mi familia, Zenaida mi esposa, Walter Fabiola yCarla mis hijos

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INTRODUCCION

El presente trabajo es pequeo en tamao, pero grande en conocimiento y diversin.

Este trabajo est dirigido especialmente a estudiantes y docentes del primer ciclo del nivel primario, pero los juegos con palitos de fsforo estn creados para divertir a grandes y chicos.

El objetivo fundamental de este libro es destacar la parte del juego que se necesita para resolver cualquier acertijo, no es averiguar los conocimientos profundos que tiene en matemticas.

Lo nico que necesitan es estar de acuerdo a divertirse y aprender matemticas jugando. Porque al resolver cada problema o jugar cada juego estamos creando habilidades de pensamiento lgico, estrategias para resolver problemas, razonamiento y sobre todo es divertirse.

El contenido de esta obra tiene desde la historia del fsforo, palitos geomtricos, construccin con palitos, palitos mgicos, adems de todo tipo de juegos con palitos como ser el nim, el nimbi, palitos montoneros, palito loco y muchos otros que estn dirigidos a que te diviertas y aprendas.

Algo muy importante es que esta obra te brinda todas las soluciones de todos los problemas planteados en el libro, pero recomendamos que antes de recurrir a ella piense un poco y divirtase intentando resolver los problemas.

Y ahora a divertirse.

EL AUTOR

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INDICE

Pag.Dedicatoria3Introduccin5ndice.7I. HISTORIA DE LOS FOSFOROSI. Historia de los fsforos15II. PALITOS GEOMETRICOS2.1. Con 12 fsforos..192.2. Con 8 fsforos.192.3. Masa palitos de fsforo.202.4. Cambiar la posicin.202.5. 3 cuadrados iguales.212.6. Una hacha212.7. La lmpara..122.8. Tringulos con fsforos232.9. Cul es el mnimo?..............................................................................232.10. El pez..242.11. Cuatro tringulos24

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2.12. La guinda y la copa.162.13. La copa y la aceituna162.14. El cerdito.172.15. Un tercio de triangulo 172.16. El templo griego..182.17. Una flecha 182.18. 16 cuadrados192.19. Puro cuadrados192.20. Otros tres tringulos 192.21. Tres fsforos.202.22. Cuestin de cuadrados .202.23. Una espiral212.24. La iglesia.21III. ARITMETICA CON PALITOS3.1. Agregue trespalitos223.2. Otra suma.233.3. Sigamos quitandopalitos.233.4. Quitemos tres

palitos24

3.5. Aumentando tres..253.6. Ahora con cinco palitos263.7. Con seis es mas difcil..263.8. Cuatro palitos273.9. Otra multi.283.10. Cincopalitos.293.11. Divisin correcta.303.12. Otra divi.313.13. Quitar seis palitos32IV. EL NIM4.1. Elnim.34V. EL NIMBI5.1. Elnimbi.36VI. DE ISQUIERDA A DERECHA6.1. De izquierda aderecha.37VII. EN NUEVE CASILLAS7.1. En nuevecasillas...38VIII. LOS PALITOS MAGICOS8.1. Cuntos fsforos quedan?.398.2. Fsforos mgicos39

8.3. Palitos voladores.39IX. PALITOS MONTONEROS9.1. Palitos montoneros41X. CAJITAS MAGICAS10.1. Cajitas mgicas.4210.2. Caja misteriosa..42XI. CONSTRUYENDO CON PALITOS11.1. Construyendo con palitos.4311.2. Siete massiete.4311.3. Los seis cuadrados..4311.4. Los cuatro cuadrados.4311.5. Los tres cuadrados.4411.6. Con tres rayas.4511.7. Cuidado no tequemes.4511.8. Convertir tres en cuatro4511.9. En cuatro piezas idnticas..4511.10. Diez palos de fsforo separados.4611.11. Ciento cuarenta..4611.12. Cuadrado achicado.46

11.13. Con 32 palitos47XII. JUEGO CON PALITOS12.1. Juego con palitos48XIII. EL PALITO LOCO13.1. El palito loco.50

SEGUNDA PARTESOLUCIN A LOS PROBLEMASII. PALITOS GEOMETRICOS2.1. Con 12 fsforos..562.2. Con 8 fsforos572.3. Mas palitos de fsforo592.4. Cambiar la posicin592.5. 3 cuadrados iguales602.6. Una hacha..602.7. La lmpara.612.8. Tringulos con fsforos..622.9. Cul es el mnimo?..............................................................................632.10. El pez642.11. Cuatro tringulos..652.12. La guinda y la copa66

2.13. La copa y la aceituna672.14. El cerdito682.15. Un tercio de triangulo682.16. El templo griego.702.17. Una flecha702.18. 16 cuadrados..722.19. Puro cuadrados732.20. Otros tres tringulos.742.21. Tres fsforos..752.22. Tringulos con fsforos752.23. Cuestin de cuadrados..752.24. Una espiral772.25. La iglesia.78III. ARITMETICA CON PALITOS3.1. Agregue trespalitos.793.2. Otra suma.803.3. Sigamos quitandopalitos.813.4. Quitemos trespalitos.83

3.5. Aumentando tres853.6. Ahora con cinco palitos.863.7. Con seis es ms difcil873.8. Cuatro palitos883.9. Otra multi.893.10. Cincopalitos.913.11. Divisin correcta..933.12. Otra divi.953.13. Quitar seis palitos..96VIII. LOS PALITOS MAGICOS8.1. Cuntos fsforos quedan?..98XI. CONSTRUYENDO CON PALITOS11.1. Construyendo con palitos9911.2. Siete massiete9911.3. Los seis cuadrados10011.4. Los cuatro cuadrados..10011.5. Los tres cuadrados..10011.6. Con tres rayas..10011.7. Cuidado no tequemes101

11.8. Convertir tres en cuatro.10211.9. En cuatro piezas idnticas10311.10. Diez palos de fsforo separados..10411.11. Ciento cuarenta.10411.12. Cuadrado achicado10511.13. Con 32 palitos106

I. HISTORIA DE LOS FSFOROS

En cierta ocasin los alumnos de la Universidad de Princeton EE.UU. preguntaron al famoso cientfico Albert Einstein, sobre que invento moderno consideraba importante. El autor de la teora de la relatividad respondi sin vacilar los fsforos. Veremos que tenamucha razn. Cuando elhombre descubri el fuego rpidamente se dio cuenta que podaemplearlo para cocinar, paracombatir el fri y para iluminar las cavernasdonde viva.Fue un paso importante hacia lacivilizacin.Al principio aprendi a producir fuego golpeando dos trozos de piedra (pedernal) o frotando pedazos de madera seca. Estos mtodos muy primitivos todava son utilizados en regiones alejadas de la civilizacin, en Australia y las tribus del desierto de Kalahari en Sudfrica.Como el fuego se apaga rpidamente si no hay material combustible, los antiguos griegos y romanos conservan el fuego instalado braseros pblicos en diversos sitios de la ciudad donde todos podan encender sus antorchas o braserillos para llevar fuego a sus hogares.Lo engorroso era mantener el fuego encendido el fuego sagrado del da y de la noche para lo cual era precis una vigilancia constante. Su cuidado quedo a cargo de los sacerdotes y sacerdotisas. Cuando el

fuego se apagaba era presagio de grandes calamidades, entonces los encargados de su cuidado eran condenados a muerte.Fue en la edad media cuando apareci un eslabn un pedazo de hierro que se friccionaba contra un pedernal para hacer saltar chispas a un material seco como la yesca y con el soplo arda en llamas.Este procedimiento fue el nico usado en los pases cultos durante siete siglos por lo menos, hasta que en 1669, un alquimista de Hamburgo llamado Brand, descubri un cuerpo simple extrado de la orina, queinflamaba a la accin del aire y al que dio el nombre de fsforo, que significa portador de luz. Un siglo mas tarde en 1769, el qumico Scheele extrajo fsforos de los huesos y otras sustancias orgnicas.Tardo un tiempo en saberse como utilizar el fsforo para usos industriales y domsticosEn 1808 se usaban unas cajuelasimpregnadas en un extremo con azufre, azcar, clorato de potasio que para inflamarlas haba que sumergirlas en un pomito de vidrio que contena acido sulfrico, lo cual resultaba complicado y peligroso.En 1816 el qumico Derosne fue el primero que dicen que preparo fsforos mixtos que se encendan por friccin directa. En 1822 aparecieron unos tubitos de cristal llamados prometeos, llenos de acido sulfrico con una mezcla inflamable preparada con azufre y alumbre. Al romper el tubo por la mitad se produca una llama instantnea, mas tampoco era de uso practico.Por fin all en 1830se invento las cerillas o los palitos de fosfricos semejantes a los que hoy usamos.

El invento se atribuye al alemn Roener, otros dicen que fue el Hngaro Jonas Ironyi. De este ultimo dicen que cuando fue alumno de la escuela politcnica de Viena, observo que frotando un compuesto de peroxido de plomo y azufre se produca una reaccin de calor, entonces descubri que aadiendo a este mixto una mnima de fsforo se produca una llama.

Para realizar su invento se encerr en su casa sin salir en muchos das y al fin apareci ante sus amigos con muestras de fsforo que haba inventado, el cual con un leve frot en la pared encenda.Los alemanes sostienen que el verdadero inventor del fsforo fue Federico Kammerer, en 1832. estos fsforos tenan una cabeza de fsforo blanco ( de donde les viene el nombre), clorato de potasio y goma. Se encendan al hacer pasar la cerilla entre dos papeles de lija. El paso final fue el de sustituir el antimonio por fsforo, naciendo as los congreves.Finalmente los fsforos de seguridad fabricados a base de fsforo amorfo, aparecieron en Suecia en 1852.

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II. PALITOS GEOMETRICOS

En esta seccin presentaremos una serie de acertijos y problemas de construccin con palitos de fsforo, los cuales pretenden ser entretenidos y divertidos.El objetivo principal es despertar la capacidad de aplicar el razonamiento, estrategias y formas de resolver cada uno de los problemas y acertijos que aqu se presentan.

2.1. CON 12 FOSFOROSCon doce fsforos puede construirse la figura de una cruz (vase la figura), cuya rea equivalga a la suma de las superficies de cinco cuadrados hechos tambin de fsforos.Cambie usted la disposicin de las fsforos de tal modo que el contorno de la figura obtenida abarque slo una superficie equivalente a cuatro de esos cuadrados.

Para resolver este problema no deben utilizarse instrumentos de medicin de ninguna clase.

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2.2. CON 8 FOSFOROSCon ocho fsforos pueden construirse numerosas figuras de contorno cerrado. Algunas pueden verse en la figura; su superficie es, naturalmente, distinta.

Se plantea cmo construir con 8 fsforos la figura de superficie mxima.

2.3. MAS PALITOS DE FOSFOROHemos construido una casa utilizando palitos de fsforo. Cambiar en ella la posicin de dos palitos de fsforo de tal forma que la casa aparezca del otro costado.

2.4. CAMBIAR LA POSICIONDebemos cambiar la posicin de dos fsforos con el fin de obtener 5 cuadrados iguales

2.5. 3 CUADRADOS IGUALESQuitar 3 fsforos de tal forma que resulten 3 cuadrados iguales

2.6. UNA HACHACambiando la posicin de 4 fsforos transformar una hacha en 3 tringulos iguales.

2.7. LA LAMPARAEn una lmpara compuesta por 12 fsforos cambiar la posicin de 3 fsforos de tal modo que resulten 5 tringulos iguales.

2.8. TRIANGULOS CON FOSFOROSTres fsforos forman un triangulo con tres lados iguales es decir un triangulo equiltero. Emplea 12 fsforos para construir 6 tringulos equilteros todos del mismo tamao, una vez hacho esto cambia de lugar cuatro de los fsforos para formar tres tringulos equilteros de distinto tamao.

2.9. CUAL ES EL MINIMO?Cul es el nmero mnimo de Fsforos que se han de quitar para que en el dibujo queden 4 tringulos equilteros exactamente iguales a los8 que hay? (no puede quedar ninguna cerilla suelta)

2.10. EL PEZCul es el nmero mnimo de Fsforos que hay que mover para conseguir que el pez nade en sentido contrario?

2.11. Cuatro TringulosLos "cuatro tringulos equilteros" es otro de los grandes clsicos con Fsforos. Su realizacin tiene mucho mrito, por cuanto slo podr resolverse aguzando el ingenio. Su planteamiento es el siguiente: moviendo slo tres Fsforos hay que formar cuatro tringulos equilteros.

2.12. LA GUINDA Y LA COPAMoviendo solo 2 palillos, y sin mover la guinda tienes que conseguir sacar la guinda de la copa:

2.13. LA COPA Y LA ACEITUNA Cul es el nmero mnimo de fsforos que hay que mover para que la aceituna quede fuera de la copa de martini sin mover la aceituna?

2.14. EL CERDITO Cul es el nmero mnimo de fsforos que hay que mover para que el cerdito quede mirando hacia el lado contrario (hacia la derecha)?

2.15. UN TERCIO DEL TRIANGULOSe colocan 12 palitos de fsforo formando un triangulo de 3,4y 5 (o3+4+5=12). Quienes conozcan el teorema de Pitgoras sabrn que un triangulo de este tipo ser forzosamente recto.

Los constructores de las pirmides egipcias utilizaban cuerdas con nudos en los puntos 3,4,5. les llamaban tensores de cuerda; el rea de dicho triangulo es igual a(3*4)/2.El problema consiste en lo siguiente utilizando los doce palitos de fsforo demostrar un tercio de 6=2

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2.16. EL TEMPLO GRIEGOEl templo griego que te presentamos esta construido con once fsforos de tal manera que obtengas once cuadrados, o intenta formar cinco cuadrados, cambiando de sitio cuatro fsforos. Prueba y lo lograras.

2.17. UNA FLECHALa flecha a sido construida con 16 fsforos Podrs hacer lo siguiente? Mueve diez fsforos de la flecha de manera que formes 8 tringulos iguales. Mueve siete fsforos de manera que se formen 5 figuras iguales de 4 lados.

2.18. 16 CUADRADOSTenemos 16 cuadrados de un fsforo de lado.Pero cuantos cuadrados hay en total?. Retira nueve fsforos y has desaparecer un cuadrado cualquiera del tamao que sea.

2.19. PURO CUADRADOSEn el siguiente dibujo podemos ver quince fsforos. Primera pregunta, Cuntos cuadrados ves?Ahora nos enfrentaremos con dos problemas de fsforos:1) Quitando tres fsforos hemos de conseguir que solo queden tres cuadrados iguales.2) Y, para acabar, hemos de quitar dos fsforos para conseguir, otra vez, tres cuadrados

2.20. OTROS TRES TRIANGULOSEl juego consiste en transformar el tringulo de la ilustracin en otros tres unidos entre s, utilizando para ello el mismo nmero de fsforos que estaban dispuestas inicialmente, de las cuales se podrn mover a lo sumo cuatro.

2.21. TRES FOSFOROSUtilizando simplemente tres fsforos, dispngalas de manera que formen un tringulo, sin que sus cabezas toquen la mesa.

2.22. CUESTION DE CUADRADOSColquense las Fsforos como indica la ilustracin, en tres hileras de tres cuadrados cada una, para formar otro mayor perimetralmente. Esta disposicin permite desarrollar hasta tres posibilidades, quitando ocho Fsforos: la primera, restando slo dos cuadrados; la segunda, restando tres y la tercera, restando slo dos cuadrados interiores. Otra posibilidad consiste en quitar cuatro Fsforos para que queden cinco cuadrados.

2.23. UNA ESPIRALAhora cambiaremos una figura geomtrica de forma. En la figura de la derecha podemos ver una espiral, se trata de mover 4 Fsforos para transformar esta espiral en tres cuadrados.

2.24. LA IGLESIAVamos a mover 5 Fsforos para transformar esta iglesia en tres cuadrados

III. ARITMETICA CON PALITOS

En esta seccin tendremos una serie de problemas que implican la utilizacin de las cuatro operaciones aritmticas, la suma resta multiplicacin y divisin.

3.1. AGREGUE TRES PALITOSAgregue tres palitos para hacer correcta la suma

3.2. Otra sumaQutale tres palitos para que la suma sea correcta

3.3. SIGAMOS QUITANDO PALITOSAhora quitando tres palitos de fsforo, encontrar la suma correcta.

3.4. QUITEMOS TRES PALITOSQuitemos tres palitos para que la resta sea correcta

3.5. AUMENTANDO TRESAhora el problema nos dice que aumentemos tres palitos para que la resta sea correcta

3.6. AHORA CON CINCO PALITOSAhora tenemos que aumentar cinco palitos para que la resta sea correcta

3.7. CON SEIS ES MAS DIFCILQuitemos seis palitos para que la resta este correcta

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3.8. CUATRO PALITOSAumentemos cuatro palitos para que la multiplicacin este correcta

3.9. OTRA MULTIMoviendo solo dos palitos o quitando dos palitos has que la multiplicacin sea correcta

3.10. CINCO PALITOSQuitar cinco palitos de fsforo para que la multiplicacin sea la correcta

3.11. DIVISIN CORRECTAQuitar cuatro palitos para que la divisin sea correcta

3.12. OTRA DIVIQuitar seis palitos para que la divisin sea correcta

3.13. QUITAR SEIS PALITOSQuitar seis palitos para que la divisin sea correcta

IV. EL NIM

Este es un juego muy conocido, lo aplicaremos con palitos de fsforo, cada juego tiene sus reglas que se plantean antes de empezar a jugar.

4.1. EL NIMEl juego proviene de Oriente, donde antiguamente se practicaba utilizando pequeas piedras. Hoy es conocido en todo el mundo y muy apreciado por aquellos que gustan de un juego cuyo instrumental completo se obtiene con una caja de Fsforos. Para empezar, deben colocarse las Fsforos en varios grupos, no importa cuantos. Cada jugador coge por turno una, varias o todas las Fsforos de un mismo grupo. El que coge la ltima gana. Veamos un ejemplo de disposicin inicial. Con la prctica descubrir que este juego se basa en la pura lgica, tanto es as que si el jugador que sale juega bien, nunca puede perder.

Otra forma de ordenarlos es la siguiente

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5.1. EL NIMBI

V. EL NIMBI

El popular juego del nim sufri un duro golpe cuando un matemtico llamado Charles Leonardo Bouton dio con una frmula que aseguraba la victoria. Pero el cientfico y filsofo dans Piet Hein lo enderez con un nuevo planteamiento al que llam nimbi, que no puede resolverse con una frmula matemtica.

Para jugar al nimbi se disponen varias hileras de igual nmero de Fsforos, tantas como se quiera. Por turno, cada jugador puede tomar el nmero de Fsforos consecutivas que quiera. Es decir, no puede tomar ninguna hilera o columna entera, si en ella hay un hueco dejado por otra cerilla retirada previamente. El que retira la ltima cerilla gana la partida.

VI. DE IZQUIERDA A DERECHA

6.1. DE IZQUIERDA A DERECHA

Para realizar este juego deben colocarse tres Fsforos de madera en la forma que muestra el dibujo. Una vez sostenida la que est en posicin horizontal, por la presin de las otras dos colocadas verticalmente, se le prender fuego. Llegado este momento, se podr plantear una apuesta: cul de las otras dos Fsforos prender primero?

Habr lgicamente divisin de opiniones, pero lo ms probable es que a nadie se le ocurra pensar que no prender a ninguna de las dos. En cuanto el fuego rompa el armazn de la cerilla central, sta caer por

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su propio peso, y por consiguiente, las cabezas de fsforo de las Fsforos verticales nunca llegarn a prender

VII. EN NUEVE CASILLAS

7.1. EN NUEVE CASILLASEste es un problema en broma, medio problema, medio truco. Haga con cerillas un cuadrado con nueve casillas y ponga en cada casilla una moneda, de modo que en cada fila y en cada columna haya 6Bolivianos.

La figura muestra cmo hay que distribuir las monedas. Sobre una de las monedas ponga una cerilla.Hecho esto, dle a sus camaradas la siguiente tarea: sin tocar la moneda en que descansa la cerilla, variar la colocacin de las dems, de modo que en cada fila y en cada columna siga habiendo, lo mismo que antes, 6 Bolivianos.Le dirn que esto es imposible. Pero con un poco de astucia lograr usted este imposible. Cmo?

VIII. LOS PALITOS MAGICOS

8.1. CUANTAS FSFOROS QUEDAN?Necesitas dos cajas de Fsforos que sean diferentes y para poder explicar el juego las vamos a llamar caja "A" y "B". Antes de empezar debes de colocar 30 Fsforos en la caja "a" y 29 en la "b", una vez hecho esto entrega las cajas a un amigo y dile que retire un nmero igual de Fsforos de ambas cajas y las guarde en el bolsillo. Luego que quite de la caja "a" el nmero que se te ocurra y las vuelva a guardar en el bolsillo, que vace el resto de Fsforos y las cuente.

Ahora que retire de la caja "b" el mismo nmero de Fsforos que acaba de contar de la caja "a" que las guarde en el bolsillo (las de la caja "a" y las de la "b") y que cierre la caja "b". Todo esto lo has hecho de espalda y la sorpresa viene cuando al darte la vuelta le dices las Fsforos que quedan el la caja "b".

8.2. FSFOROS MAGICOSParte una cerilla al medio. Sostn ambos palitos entre tus dedos ndices y pulgares los extremos rotos debern estar apoyados sobre la yema de tus dedos pulgares. Lenta y repetidamente junta los palillos para demostrar que son slidos y no pueden atravesarse. Ahora junta las cerillas con movimientos rpidos, pero esta ves separa levemente los dedos de tu mano derecha.

La cerilla quedara pegada a tu dedo pulgar dejando un espacio entre el ndice y el palillo. Desliza la cerilla que tienes en tu mano izquierda a travs del espacio y vuelve a juntar los dedos de tu mano derecha. Repite el truco un par de veces mas y pasale las cerillas a un miembro del publico para que los inspeccione.

8.3. PALITOS VOLADORESToma una caja de cerillas. Rompe el extremo de una cerilla para que se ajuste a el ancho de la caja y crzala como se ve aqu. Retira la cubierta. Muestra la caja sin que vean las cerillas y grala por los cantos largos para que no se caigan.Vuelve a cubrir la caja y repite la operacin anterior, pero esta ves sostenla por los lados cotos. Aprieta la caja suavemente y pronunciando las palabras mgicas, las cerillas se caern.

IX. PALITOS MONTONEROS

9.1. PALITOS MONTONEROSEste juego permite desarrollar y aplicar estrategias para la solucin de ejercicios, los cuales nos ayudan de gran forma a utilizar el razonamiento lgico y estrategias para resolver problemas de cualquier tipo.

Reglas del Juego

Con 30 palitos de fsforo, has una montaa de palitos montoneros que mantenga su equilibrio. Por turno cada jugador sacara un palito montonero de la montaa, el que mueva algn otro palito montonero pierde su turno. El jugador que logre sacar el mayor numero de palitos montoneros sin mover ningn otro, gana.

Ahora empieza a divertirte.

X. CAJITAS MAGICAS

10.1. MAQUINA DE DINEROAntes de realizar este truco, abre una caja de cerillas a mitad de camino y coloca una moneda entre el final del cajn y la cubierta. Sostn la caja de fsforos apretada de manera que la moneda no se resbale y mustrale al publico la caja vaca.Di algunas palabras mgicas .Cierra la caja de cerillas y la moneda caer dentro abre la caja y muestra la moneda al publico.

10.2. CAJA MISTERIOSAPon una moneda dentro de una caja de fsforos. Usa una bandita elstica para mantenerla cerrada y otra para esconderla debajo de tu manga izquierda. Ten otras dos banditas elsticas en el bolsillo derecho. Mustrale al publico otra caja de cerillas y una moneda. Coloca la moneda dentro de la caja de cerillas y ajstala con una de las banditas que tienes dentro de tu bolsillo . sostn la caja de cerillas en tu mano derecha y grala para que se habr de cara hacia abajo.

Sin que nadie te vea desliza la caja dentro de tu palma derecha y apritala levemente. La moneda caer en tu mano mantenla escondida ah.

Pasa la caja de cerillas a tu mano izquierda. Sacude la caja para probar que la moneda continua dentro de la caja. Mientras sacudes la caja de cerillas con tu mano izquierda busca en tu bolsillo derecho otra bandita y deja la moneda. Ajusta la caja con la segunda banda elstica impidiendo que se abra. Di las palabras mgicas.Usando la mano derecha, arrjale la caja derecha a alguien del publico y pdele que le muestre al resto que la moneda a desaparecido.

XI. CONSTRUYENDO CON PALITOS

11.1. LOS SEIS PALITOSCon seis palitos iguales formar cuatro tringulos equilteros

11.2. SIETE MAS SIETEA siete palitos de fsforo debemos aadirle otros siete de tal forma que obtengamos ocho

11.3. LOS SEIS CUADRADOSFormar con 12 fsforos 6 cuadrados iguales.

11.4. LOS CUATRO CUADRADOSEs un juego ideal para la sobremesa. Disponga diecisis palillos, formando cinco cuadrados, segn muestra la ilustracin. Moviendo slo dos palillos debern quedar cuatro cuadrados idnticos.

11.5. LOS TRES CUADRADOSTiene gran parecido con el juego anterior, pero, en este caso, inicialmente hay cuatro cuadrados en vez de cinco; para ello necesitaremos doce palillos o Fsforos.Moviendo tres palillos o Fsforos deben quedar slo tres cuadrados.

11.6. CON TRES RAYAS

Sabra usted, dibujar un cuadrado con tres palitos de fsforo iguales?

11.7. CUIDADDO NO TE QUEMESHacer un cubo con 5 fsforos sin romperlos ni doblarlos

11.8. CONVERTIR TRES EN CUATROSin romperse mucho la cabeza, y sin romper ningn fsforo convierta tres fsforos en cuatro.

11.9. EN CUATRO PIEZAS IDENTICASAumentando ocho palitos de fsforo divide la figura en cuatro piezas idnticas.

11.10. DIEZ PALOS DE FOSFORO SEPARADOSPoner en fila diez palitos de fsforo separados uno del otro luego tratar de formar cinco cruces, contando de uno a tres y se cruza el palito.El palito que se levanta para empezar a contar, y cruzando en el tercero no se cuenta.

11.11. CIENTO CUARENTACon siete palitos de fsforo formar la figura del dibujo; luego moviendo tres palitos formar el numero ciento cuarenta.

11.12. CUADRADO ACHICADOCon cuatro palitos de fsforo hacer un cuadrado; ahora achicado sin cruzar los palitos

11.13. CON 32 PALITOSCon treinta y dos palitos de fsforo formar el siguiente dibujo y contar doce, vertical y horizontalmente.Luego sacar cuatro palitos y seguir contando doce, vertical y horizontalmente, los cuatro palitos que se sacan ya no valen; el resto se pueden acomodar como quiera, en solo cuatro movimientos.

XII. JUEGO CON PALITOS

12.1. JUEGO CON PALITOS.Este juego es muy interesante, nos permite analizar y planificar los movimientos que vamos a realizar.Se juega sobre la siguiente tabla:

Cada jugador tiene una ficha que le esta avanzando hasta al lado opuesto y 7 barditas. El jugador A coloca su ficha inicialmente en el cuadrito marcado A y tiene que llegar con esta ficha a la lnea vertical marcada con B (a cualquiera de sus 9 cuadritos).

El jugador B avanza en la direccin opuesta. Cada jugador en su turno puede avanzar su ficha un paso (derecha, izquierda, adelante o atrs) o colocar una bardita. La bardita bloquea a el paso y mide dos cuadritos.

Se puede colocar barditas entre dos barditas perpendicular a ellas (as-|-). En caso que las fichas de los dos jugadores se encuentran adyacentes se puede intercambiar sus posiciones (esto cuenta como una movida).La regla mas importante: al colocar una bardita hay que dejar paso al oponente para llegar a su meta.El primero que llega al otro lado gana.

XIII. EL PALITO LOCO

13.1. EL PALITO LOCOEl palito loco es un juego de observacin, concentracin y lgica. Permite analizar estrategias para resolver y formar las diferentes figuras que se presentan en el transcurso del juego.Objetivos del juegoEl objetivo del juego es de no quedarse con las cartas en la mano tratando de formar la figura representada por una de las catas con un solo movimiento. As mismo ayuda al jugador poder desarrollar la agilidad mental y el razonamiento lgico.MaterialesLos materiales son 55 cartas y 5 palitos de fsforo o algo parecido a este.Reglas

Mezclar bien las cartas, luego distribuir cinco cartas a cada jugador las cartas que sobran ponerlas con la cara escondida como otro monton mas sobre la mesa de la cual se toma una carta de cara ya que se tendra que reproducir la figura en base a esta carta con los cinco palitos que se tiene.

Cada jugador en su turno debe construir o constituir la figura de una de sus cartas con un solo movimiento.Si no logra reproducir la figura, tiene que sacar del monton una carta y pasar su turno.Aquel jugador que se queda sin carta alguna en la mano el el que gana el juego.

Las cartas son las siguientes:

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SEGUNDA PARTESOLUCIONES A LOS PROBLEMAS

II. PALITOS GEOMETRICOS

En esta seccin presentaremos una serie de acertijos y problemas de construccin con palitos de fsforo, los cuales pretenden ser entretenidos y divertidos.El objetivo principal es despertar la capacidad de aplicar el razonamiento, estrategias y formas de resolver cada uno de los problemas y acertijos que aqu se presentan.

2.1. CON 12 FOSFOROSCon doce fsforos puede construirse la figura de una cruz (vase la figura), cuya rea equivalga a la suma de las superficies de cinco cuadrados hechos tambin de fsforos.Cambie usted la disposicin de las fsforos de tal modo que el contorno de la figura obtenida abarque slo una superficie equivalente a cuatro de esos cuadrados.

Para resolver este problema no deben utilizarse instrumentos de medicin de ninguna clase.

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SOLUCIONLas fsforos deben colocarse como muestra la figura (a) la superficie de esta figura es igual al cudruplo de la de un cuadrado hecho con cuatro fsforos. Cmo se comprueba que esto es as?

Para ello aumentamos mentalmente nuestra figura hasta obtener un tringulo. Resulta un tringulo rectngulo de tres fsforos de base y cuatro de altura. Su superficie ser igual a la mitad del producto de la base por la altura: 1/2 x 3 x 4 = 6 cuadrados de lado equivalente a una cerilla (vase figura b). Pero nuestra figura tiene evidentemente un rea menor, en dos cuadrados, que la del tringulo completo, y por lo tanto, ser igual a cuatro cuadrados, que es lo que buscamos.

Fig. (a) Fig. (b)

2.2. CON 8 FOSFOROSCon ocho fsforos pueden construirse numerosas figuras de contorno cerrado. Algunas pueden verse en la figura; su superficie es, naturalmente, distinta.

Se plantea cmo construir con 8 fsforos la figura de superficie mxima.

SOLUCIONPuede demostrarse que de todas las figuras con contornos de idntico permetro, la que tiene mayor rea es el crculo. Naturalmente que a base de fsforos no es posible construir un crculo; sin embargo, con ocho fsforos puede componerse la figura ms aproximada al crculo, un octgono regular (vase la figura).

El octgono regular es la figura que satisface las condiciones exigidas en nuestro problema, pues es la que, con igual nmero de fsforos, posee mayor superficie.

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2.3. MAS PALITOS DE FOSFOROHemos construido una casa utilizando palitos de fsforo. Cambiar en ella la posicin de dos palitos de fsforo de tal forma que la casa aparezca del otro costado.

SOLUCIONLa respuesta es como sigue.Los palitos de fsforo que hay que cambiar son los que estn marcados con la flecha.

2.4. CAMBIAR LA POSICIONDebemos cambiar la posicin de dos fsforos con el fin de obtener 5 cuadrados iguales

SOLUCIONLos palitos de fsforo que hay que cambiar son los que estn marcados con la flecha. La solucin es la siguiente:

2.5. 3 CUADRADOS IGUALESQuitar 3 fsforos de tal forma que resulten 3 cuadrados iguales

SOLUCIONLa solucin es la siguiente:

2.6. UNA HACHACambiando la posicin de 4 fsforos transformar una hacha en 3 tringulos iguales.


2.7. LA LAMPARAEn una lmpara compuesta por 12 fsforos cambiar la posicin de 3 fsforos de tal modo que resulten 5 tringulos iguales.


2.8. TRIANGULOS CON FOSFOROSTres fsforos forman un triangulo con tres lados iguales es decir un triangulo equiltero.Emplea 12 fsforos para construir 6 tringulos equilteros todos del mismo tamao, una vez hacho esto cambia de lugar cuatro de los fsforos para formar tres tringulos equilteros de distinto tamao.


2.9. CUAL ES EL MINIMO?Cul es el nmero mnimo de Fsforos que se han de quitar para que en el dibujo queden 4 tringulos equilteros exactamente iguales a los8 que hay? (no puede quedar ninguna cerilla suelta)

SOLUCION

El numero mnimo es 4 (cuatro).

2.10. EL PEZCul es el nmero mnimo de Fsforos que hay que mover para conseguir que el pez nade en sentido contrario?

SOLUCIONEl nmero mnimo de fsforos es 3 (tres)

2.11. CUATRO TRINGULOSLos "cuatro tringulos equilteros" es otro de los grandes clsicos con Fsforos. Su realizacin tiene mucho mrito, por cuanto slo podr resolverse aguzando el ingenio. Su planteamiento es el siguiente: moviendo slo tres Fsforos hay que formar cuatro tringulos equilteros.

SOLUCINLa solucin es la siguiente

2.12. LA GUINDA Y LA COPAMoviendo solo 2 palillos, y sin mover la guinda tienes que conseguir sacar la guinda de la copa:


2.13. LA COPA Y LA ACEITUNA Cul es el nmero mnimo de fsforos que hay que mover para que la aceituna quede fuera de la copa de martnI sin mover la aceituna?

SOLUCIONNinguna. La copa y la aceituna realmente son 3 vasos exactamente iguales, todo depende del ngulo con que se mire el dibujo. As pues, basta con mirar uno de los otros 2 vasos y la aceituna queda fuera.

2.14. EL CERDITO Cul es el nmero mnimo de fsforos que hay que mover para que el cerdito quede mirando hacia el lado contrario (hacia la derecha)?

SOLUCIONLa respuesta es como sigue.

Evidentemente, se pide que el cerdo este mirando en sentido contrario, pero esto no obligaba a que la cola este levantada o no. Sigue siendo el mismo cerdo.

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2.15. UN TERCIO DEL TRIANGULOSe colocan 12 palitos de fsforo formando un triangulo de 3,4y 5 (o3+4+5=12). Quienes conozcan el teorema de Pitgoras sabrn que un triangulo de este tipo ser forzosamente recto.

Los constructores de las pirmides egipcias utilizaban cuerdas con nudos en los puntos 3,4,5. les llamaban tensores de cuerda; el rea de dicho triangulo es igual a(3*4)/2.

El problema consiste en lo siguiente utilizando los doce palitos de fsforo demostrar un tercio de 6=2

5

4

3

SOLUCIONLos palitos de fsforo que hay que cambiar son los que estn marcados con la flecha. La solucin es la siguiente:

554 4

31

(4*3)/2 = 6 = (4*1)/2 = 2

2.16. EL TEMPLO GRIEGOEl templo griego que te presentamos esta construido con once fsforos de tal manera que obtengas once cuadrados, o intenta formar cinco cuadrados, cambiando de sitio cuatro fsforos. Prueba y lo lograras.

SOLUCIONMostraremos dos soluciones y son las siguientes:

2.17. UNA FLECHALa flecha a sido construida con 16 fsforos Podrs hacer lo siguiente? Mueve diez fsforos de la flecha de manera que formes 8 tringulos iguales. Mueve siete fsforos de manera que se formen 5 figuras iguales de 4 lados.


2.18. 16 CUADRADOSTenemos 16 cuadrados de un fsforo de lado.Pero cuantos cuadrados hay en total?. Retira nueve fsforos y has desaparecer un cuadrado cualquiera del tamao que sea.

SOLUCIONLa solucin es la siguiente:Tenemos un cuadrado de 4x4, cuatro cuadrados de 3x3, nueve cuadrados de 2x2 y 16 cuadrados pequeos.

2.19. PURO CUADRADOSEn el siguiente dibujo podemos ver quince fsforos. Primera pregunta, Cuntos cuadrados ves?Ahora nos enfrentaremos con dos problemas de fsforos:1) Quitando tres fsforos hemos de conseguir que solo queden tres cuadrados iguales.2) Y, para acabar, hemos de quitar dos fsforos para conseguir, otra vez, tres cuadrados

SOLUCINPara el inciso a la solucin es la siguiente

Para el inciso b

2.20. OTROS TRES TRIANGULOSEl juego consiste en transformar el tringulo de la ilustracin en otros tres unidos entre s, utilizando para ello el mismo nmero de fsforos que estaban dispuestas inicialmente, de las cuales se podrn mover a lo sumo cuatro.


2.21. TRES FOSFOROSUtilizando simplemente tres fsforos, dispngalas de manera que formen un tringulo, sin que sus cabezas toquen la mesa.

Solucin:

2.22. TRIANGULOS CON FOSFOROSLa solucin es la siguiente:

2.23. CUESTIN DE CUADRADOSColquense las Fsforos como indica la ilustracin, en tres hileras de tres cuadrados cada una, para formar otro mayor perimetralmente. Esta disposicin permite desarrollar hasta tres posibilidades, quitando ocho Fsforos: la primera, restando slo dos cuadrados; la segunda, restando tres y la tercera, restando slo dos cuadrados interiores. Otra

posibilidad consiste en quitar cuatro Fsforos para que queden cinco cuadrados.

SOLUCIN:

2.24. UNA ESPIRALAhora cambiaremos una figura geomtrica de forma. En la figura de la derecha podemos ver una espiral, se trata de mover 4 Fsforos para transformar esta espiral en tres cuadrados .

SOLUCIN:

La solucin es la siguiente

2.25. LA IGLESIAVamos a mover 5 Fsforos para transformar esta iglesia en tres cuadrados

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III. ARITMETICA CON PALITOS

3.1. AGREGUE TRES PALITOSAgregue tres palitos para hacer correcta la suma


3.2. OTRA SUMAQutale tres palitos para que la suma sea correcta

SOLUCION

3.3. SIGAMOS QUITANDO PALITOSAhora quitando tres palitos de fsforo, encontrar la suma correcta.

SOLUCINLa solucin es de la siguiente manera

3.4. QUITEMOS TRES PALITOS

Quitemos tres palitos para que la resta sea correcta

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SOLUCINQuitemos los palitos as:

95

3.5. AUMENTANDO TRESAhora el problema nos dice que aumentemos tres palitos para que la resta sea correcta


3.6. AHORA CON CINCO PALITOSAhora tenemos que aumentar cinco palitos para que la resta sea correcta


3.7. CON SEIS ES MAS DIFCILQuitemos seis palitos para que la resta este correcta

SOLUCIN


98

3.8. CUATRO PALITOS

Aumentemos cuatro palitos para que la multiplicacin este correcta

99

SOLUCIN


100

3.9. OTRA MULTI

Moviendo solo dos palitos o quitando dos palitos has que la multiplicacin sea correcta

101

SOLUCIN


102

3.10. CINCO PALITOS

Quitar cinco palitos de fsforo para que la multiplicacin sea la correcta

103

SOLUCIN


104

3.11. DIVISIN CORRECTA

Quitar cuatro palitos para que la divisin sea correcta

105

SOLUCIN


106

3.12. OTRA DIVIQuitar seis palitos para que la divisin sea correcta

107


3.13. QUITAR SEIS PALITOS

Quitar seis palitos para que la divisin sea correcta

108

SOLUCIN


109

110

VIII. LOS PALITOS MAGICOS

8.1. CUANTAS FSFOROS QUEDAN?

Necesitas dos cajas de Fsforos que sean diferentes y para poder explicar el juego las vamos a llamar caja "A" y "B". Antes de empezar debes de colocar 30 Fsforos en la caja "a" y 29 en la "b", una vez hecho esto entrega las cajas a un amigo y dile que retire un nmero igual de Fsforos de ambas cajas y las guarde en el bolsillo, luego que quite dela caja "a" el nmero que se te ocurra y las vuelva a guardar en el bolsillo, que vace el resto de Fsforos y las cuente. Ahora que retire de la caja "b" el mismo nmero de Fsforos que acaba de contar de la caja "a" que las guarde en el bolsillo (las de la caja "a" y las de la "b") y que cierre la caja "b". Todo esto lo has hecho de espalda y la sorpresa viene cuando al darte la vuelta le dices las Fsforos que quedan el la caja "b".

SECRETO:

En la caja "b" quedan tantas Fsforos menos una de las que mandaste retirar de la caja "a" en la segunda ocasin. Si se te ocurri decir el 10 pues quedarn 9 Fsforos. Increble verdad?

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XI. CONSTRUYENDO CON PALITOS

11.1. LOS SEIS PALITOSCon seis palitos iguales formar cuatro tringulos equilteros

SOLUCIONFormar un tetraedro

La mayora de la gente trata de hallar la solucin en un plano como esto es imposible no logra encontrarla

11.2. SIETE MAS SIETEA siete palitos de fsforo debemos aadirle otros siete de tal forma que obtengamos ocho

La respuesta es la siguiente:

11.3. LOS SEIS CUADRADOSFormar con 12 fsforos 6 cuadrados iguales.

SOLUCIONFormar un cubo

11.4. LOS CUATRO CUADRADOS (Solucin personal)

11.5. LOS TRES CUADRADOS (Solucin personal)

11.6. CON TRES RAYASSabra usted, dibujar un cuadrado con tres palitos de fsforo iguales?

SOLUCION

OTRA SOLUCIO ES IV PORQUE IV ES EL CUADRADO DE 2

11.7. CUIDADDO NO TE QUEMESHacer un cubo con 5 fsforos sin romperlos ni doblarlos

SOLUCION8 ES IGUAL A 2 ELEVADO AL CUBO

11.8. CONVERTIR TRES EN CUATROSin romperse mucho la cabeza, y sin romper ningn fsforo convierta tres fsforos en cuatro.

SOLUCION

TAMBIEN

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11.9. EN CUATRO PIEZAS IDENTICASAumentando ocho palitos de fsforo divide la figura en cuatro piezas idnticas.


11.10. DIEZ PALOS DE FOSFORO SEPARADOSPoner en fila diez palitos de fsforo separados uno del otro luego tratar de formar cinco cruces, contando de uno a tres y se cruza el palito.El palito que se levanta para empezar a contar, y cruzando en el tercero no se cuenta.

SOLUCINLa solucin es la siguiente.

Empiece a formar las cruces siguiendo el orden de los palos marcados con un nmero.

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11.11. CIENTO CUARENTACon siete palitos de fsforo formar la figura del dibujo; luego moviendo tres palitos formar el nmero ciento cuarenta.

SOLUCINSe colocan los palitos de fsforo de la siguiente manera y se dice ciento cuarenta y uno menos uno es ciento cuarenta

11.12. CUADRADO ACHICADO

Con cuatro palitos de fsforo hacer un cuadrado; ahora achicado sin cruzar los los palitos

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SOLUCINSe colocan los palitos de fsforo de la siguiente manera

11.13. CON 32 PALITOS

Con treinta y dos palitos de fsforo formar el siguiente dibujo y contar doce, vertical y horizontalmente; Luego sacar cuatro palitos y seguir contando doce, vertical y horizontalmente, los cuatro palitos que se sacan ya no valen; el resto se pueden acomodar como quiera, en solo cuatro movimientos.

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SOLUCIN

Se sacan los cuatro palitos marcados y de los grupos en que quedan tres, se pasa un palito para cada esquina.

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BIBLIOGRAFIA

Perelman Yacov, Matemtica recreativa Editorial MirSadosKy Manuel, Matemtica recreativa Carlos Marht, Problemas para resolver Guzmn Miguel Juegos MatemticosLloyd Sam, Procreative Puzzles and Games

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JUEGOS MATEMATICOS (2015)

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