Scanned by Cloud Dancing Jei neįsimeni matematikos

formulių...

(matematikos formulės vidurinių, aukštesniųjų ir aukštųjų mokyklų

moksleiviams ir studentams)

v

Siaurės Lietuva

1998

Parengė: Šiaulių Universiteto magistrantai Darius Šiaučiūnas

V Rasa Šleževičienė

V Recenzavo Šiaulių Salduvės vid. m-klos

mokytoja ekspertė P. Grebeničenkaitė

ISBN 9986 - 705 - 31 - 2

© Šiaurės Lietuva, 1998

Turinys Apytiksliai skaičiavimai β Apytikslio skaičiavimo formulės β Apytikslės lygybės 7 Trupmenos. Proporcijos B Procentai B Laipsnis ^ Sutrumpintos daugybos formulės 10 Lygtys ir lygčių sistemos 10 Kvadratinės nelygybės 11 Determinantas 12 Kramerio taisyklės 12 Modulis 13 Aritmetinė progresija 13 Geometrinė progresija 14 Rodiklinės funkcijos y = a" savybės 14 Logaritmų savybės 15 Logaritminės funkcijos y = IogaX savybės 15 Skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos, jų ženklai,

periodiškumas 1β Kai kurių trigonometrinių f-jų reikšmės 13 Trigonometrinių funkcijų tarpusavio priklausomybės, argumentų sumos

bei skirtumo, dvigubo ir pusės argumento formulės 13 Redukcijos taisyklės 20 Trigonometrinių funkcijų sandaugos keitimas suma 20 Trigonometrinių funkcijų sumos bei skirtumo keitimas sandauga 20 Trigonometrinės lygtys 21 Trigonometrinių funkcijų lygybės sąlygos 21 Trigonometrinės nelygybės 22 Kombinatorika 23 Niutono binomas 24 Įvykių tikimybė 25 Sąlyginė tikimybė 25 Atsitiktiniai dydžiai 25 Atsitiktinio dydžio matematinė viltis (vidurkis) 25 Atsitiktinio dydžio dispersija 23 Vidutinis kvadratinis nuokrypis 23 Vektoriai plokštumoje 26

- 3 -

Vektoriai erdvėje 27 Kampai ir apskritimas 28 Susikertančių apskritimų stygų savybė 29 Apskritimo liestinė 29 Apskritimo ilgis ir skritulio plotas 29 Apskritimo lanko ilgis 2i) Skritulio išpjovos plotas 30 Trikampis ir jo elementai. Pusiaukampinės ir pusiaukraštinės savybės.

Įbrėžtas ir apibrėžtas apie trikampį apskritimai 30 Trikampių lygumo požymiai 32 Trikampių panašumo požymiai 32 Trikampio kampų suma 32 Trikampio nelygybė 32 Stačiųjų ir pražulniųjų trikampių sprendimo formulės 33 Kosinusų teorema 33 Sinusų teorema 33 Įbrėžtinis keturkampis 34 Apibrėžtinis keturkampis 34 Figūros ir jų plotai 34 Erdvinės figūros. Jų paviršiai ir tūriai 3(5 Funkcijos. Sekos. Ribos 39 Ribų dėsniai 3!) Argumentoirfunkcijos pokyčiai. Funkcijos išvestinės sąvoka 40 Pagrindinės diferencijavimo taisyklės 41 Pagr indinės diferencijavimo formulės 41 Funkcijos ekstremumų tyrimas išvestinės pagalba 42 Neapibrėžtinis integralas. Pagrindinės savybės. Pagrindinės formulės 43 Apibrėžtinis integralas ir jo pritaikymas 45 Kompleksinio kintamojo funkcijos 4(3 Tiesė ir jos lygtis plokštumoje 47 Antros eilės kreivės 43 Tiesės ir plokštumos erdvėje lygtys 51 Diferencialinės lygtys 52 Skaičių eilutės 54 Laipsninės eilutės .·••· 54 Logikos elementai 55 Metrinė matų sistema. Ploto matai. Masės matai. Tūrio matai 5(5

tPiatwmte y

J^ io je knygelėje surinktos pagrindinės

matematikos formulės, reikalingos vidurinės mokyklos moksleiviams, aukštesniųjų ir aukštųjų mokyklų gamtos ir technikos mokslų specialybių studentams.

1. Apytiksliai skaičiavimai

1. α = χ - a, χ - tiksli dydžio reikšmė, a - apytikslė dydžio reikšmė .

2. |a| = | x -a | absoliutinė paklaida .

3. |x - a I < Aa, Да - absoliutinės paklaidos rėžis.

4. δ = ^ " f ^ santykinė paklaida . I a I

5. S = 4Š- santykinės paklaidos rėžis. ι ai

6. A(a + b) = Aa + Ab .

7. A(a-b) = Aa + Ab.

8- ^ab= + i b ·

9 .¾=¾ + ą . b

Apytikslio skaičiavimo formulės

1. f(x) » f(x0) + f '(X0)AX .

2. Vl + Ax = 1 + - i ΔΧ , AX $ 1

3. (1 + Ax)k»1 + kAx, k - sveikasis skaičius.

4. (1 + Ax)k«xk + kxklAx.

5. V a x ^ + "Rx1 a x ' k a i xo * 0 •

1 1 ΔΧ

Apytikslės lygybės

Formulė k = 2 k = 3 k = 4 Pastaba

(1 + χ)2 * 1 + 2x

(1 + χ)3« 1 + 3x

Vl + x ' « 1 + 1 χ

3Vl + x ' « 1 + | x

sinx » χ

COSX « 1 - х

0,07

0,04

0,06

0,19

0,20

17°48'

5°43'

0,022

0,012

0,022

0,062

0,065

8° 15'

1°48'

0,007

0,004

0,0007

0,020

0,021

3°50'

0°34'

Kiekvienai formulei nurodyta, už kokj skaičių neturi būti didesnė Ix Į, kad formulė duotų k tkslių dešimtainių ženklų.

tgx « χ 14°8' 6°25' 3°2'

lg(1 + χ)« 0,4343x 0,14 0,014 0,04

10x«1 + 2,303x 0,04 0,014 0,004 1 +*

Ig -^-«0,8686x 0,25 0,119 0,055

Trupmenos. Proporcijos

1 . - | = O, kai a = 0; b. * O .

2. * = k * 0 , m * 0 . d D1K b. m

3 . - ^ = - J <=> a-d = b - c .

δ iL с — a-c 4 · b'd b-d ' c 5. · 9. — JL Й э - b • d ~ b'c ·

C JL J- C -Sj- -I- 130 a d + bc b ' b + d ~ bd + bd _ bd ' 7 S - a n a, + a2 + ... + a„

b, ~ b 2 - - _ b„ ~ b, + bj + ... + b„ • „ i - a c , a . j c , < a + b c + d 8. ISaPrbOPOrcljOS seka Έ ± 1 = i ± 1 => — = - j - ,

~~Б d '

Procentai

1. Jei p% nuo skaičiaus a yra skaičius b, tai b = ^ - P .

2. Dviejų skaičių a ir b procentinis santykis α = | · 1 0 0 % .

3. Jei M - mišinio bendra masė, kurioje yra m vienetų tarn tikros medžiagos, tai mišinio koncentracija

α =-)5-100% .

4. Sn= S0(1 ±1щ)п, kur Sn - galutinis dydis, iki kurio padidėjo (suma-žėjo) per n metų pradinis dydis S0, kasmet didėdamas (mažėdamas) p %.

Laipsnis

1.a" = a-a-a-.. . .a,neN;a1 = a .

n kartų

2. a° = 1, a O .

3. am- a" = am+".

4. arn: an = am n .

5. (am)n = a™ .

6. (a-b)" = an- bn .

7 / a \ n _ a" ' Л ь / ~ b" ·

8. a n =-jr, kai a Ti O ir n e N . rn n

9. an = Vaiir1 m e Z, n e N .

10. Va^=IaI = f a , j e i a > 0 ;

\ - a , jei a < O .

11. (Va )2 = a, jei a > O .

12. VaE = Va-Vb , jei a » O, b » O .

= į - , jei a ^ O ir b > O .

Sutrumpintos daugybos formulės

1.a2-b2 = (a + b)(a-b).

2. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 .

3. a3 ± b3 = (a ± b)(a2;ab + b2).

4. (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 .

Lygtys ir lygčių sistemos

1.ax = b<=>x=-^ , ka ia=£0 . a

2. Ja1X + Ij1Y = C1, \ a 2 x + b2y = C2.

я b Jei -щ Φ-į^, tai sistema turi vienintelį sprendinį.

Jei -5- = Φ -F1, tai sistema neturi sprendinių. 2 2 2

Ί 1 sistema turi be galo daug sprendinių. 2 2 2

3. ax2 + bx + c = O, a φ O D = b2 - 4ac

-b + V d 7 ^ -b -VF 1 2a ' 2 2a '

Jei D < O, tai lygtis realiųjų sprendinių neturi.

Jei D = O, tai X1 = x2.

4. Vieto teorema: X1 + X2 = — ; X1X2 = ^ .

5. Parabolės y = ах2 + bx + c priklausomai nuo koeficiento a ir diskriminanto atskiri atvejai

\D < o / i D = O ι D > O a < O

, ->x —f \

X1=X2 x \ _ y x 2 X1/

a > O D > О 0 = о ' ^ / о Т о \

6. ax2 + bx + с = а(х - х,)(х - х2).

ах*"

ах2 + bx + с > О, kai ах2 + bx + с > O, хе(-сс; X1) U (х2; +с»). kai хе(х,; x j .

ах2 + bx + с < О, kai ах2 + bx + с < О, kai хе (X1; X2). χεί-οο,-χ,) U (х2;+оо)

Kvadratinės nelygybės

+ bx + с > О arba ах2 + bx + с < O, а φ О . +

• • )

Determinantas

a „ 3I2 а13

D = a21 a22 =

a3, аз2

a33

{ Kramerio taisyklės

a„x + a12y + a13z = c , , a21x + a22y + a23z = C2, a3ix + аз2У + a33z = сз ·

D =

D =

0V =

D, =

a „ a12 ai3 a

2, a22 a23

a3, аз2 a33

C, a12 a13

C2 322 a23

C3 a32 a33

a n C1 a,3 a21 C2 a23 a3i C3 a33

3 I I aI2 C1

a21 a

22 C2 a31 a32 C3

- , D i 0 .

У = D

z = - D ^ O

Modulis

a = Га, jei a 0 ; -a, jei a < 0 . {

B -f(x) = g(x), |f(x)| = g ( x ) » I V m ^ 0 -

-f(x) = - g(x) f(x) < 0 .

|f(x)|=|g(x)|o (f(x))2 = (g(x))2.

Iracionalioji lygtis Vf(xJ = g(x) <=> fg(x) > O ,

l f ( x ) = g2(x) ·

Aritmetinė progresija + ( a r )

a n + 1 = a n + d

1. a2 - a, = ... = an- Bn., = d ,

2. an = a, + (n - 1)d .

3. a = ^ i + a ^ 1

4. S.

2 a, + a.

5 . S ^ 2 a - + f 1 ) d . n .

Geometrinė progresija

* - ( b „ )

bn+1 = bn.q(q ^ 0; 1)

1 b 2 _ _ bn _

2. b,,= b,.q"

ą · q -1 •

5. Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos, kurios |q|< I sumos formulė: b

Rodikiinės funkcijos y = a" savybės

1. a,w = a9(x) <=> f(x) = g(x), a > 0, a φ 1.

2. a,w = 1 « f ( x ) = 0 , a > 0 , a * 1 .

3. Kai a > 1 a'·*' > 1 f(x) > 0 ; af(x) > asM <=> f (χ) > g (χ) ; a,(x) < a g ( x ) « f (χ) < g (χ).

4. Kai 0 < a < 1

a«x> > 1 <=> f(x) < 0 ; a«*> > a9(x)«=> f(x) < g(x); af(x) < a9(x) <=> f(x) > g(x).

Logaritmų savybės

Apibrėžimas. IogaX = b « χ = a", a > 0, a φ 1, χ > 0. logaax = χ .

Savybės.

1. Ioga(Xy) = IogaX + logay, χ > O1 y > O .

2. loga(y) = IogaX - logay, χ > O, y > 0 .

3. IogaX" = <xlogax . n<—τ 1 1

4. IogaVx = IogaXn = πIogaX .

5. IogaI = 0, logaa = 1 .

6. loga { = IogaI - IogaX = - IogaX .

8. logab-logba = 1 .

9. Ioga,, χ =^IogaX.

Logaritminės funkcijos y = IogaX savybės

10. logaf(x) = 0 <=> f (χ) = 1 .

11. logaf(x) = 1 Of(X) = a .

12. log,,(x)f(x) = c Γψ(χ) > 0, ψ(χ) * 1 ; \ ί ( χ ) = (ψ(χ))<.

13. logaf(x) = logaV(x) <=> f f(x) > 0, ψ(χ) > 0, { ί(χ) = Ψ(χ).

- 1 5 -

14. kai a > 1 logaf(x) > O «.f(χ) > 1; iog.f(x) < o o f(x) < 1 ; logaf(x) < 1 <=> f(x) < a; logaf(x) > 1 <=> f(x) > a; togaf(x) > loga4/(x) « T f(x) > ψ(χ) ,

1Ψ(χ) > о ; logaf(x) < logaV(x) « J f(x) < ψ(χ).

1f(x) > 0 .

15. kaiO<a<1 logaf(x) > O <=> f(x) < 1; logaf(x) < O <» f(x) > 1 ; Ioga

fM > 1 » f(x) < a ; logaf(x) < 1 <=> f(x) > a ; logaf(x) > logav(x) » J f ( x ) < ψ(χ),

1f(x) > O; logaf(x) < logav(x) <=>Ff(x) > v(x)

\ v ( x ) > O.

Skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos, jų ženklai, periodiškumas

Posūkis R1 vienetinį abscisių ašies tašką P0 atvaizduoja į tašką Pa. Taško P ordinatę vadiname kampo α sinusu, o abscisę - kampo α kosinusu.

1. Xii = cosa .

2. y(, = sina .

sina 3. tga

4. ctga =

cosa cosa sina

5. sin(-a) = -sina

У 4 PJx,;yJ

7 y Vnd ;o).

V 0 a J

6. cos(-a) = cosa.

7.tg(-a) = -tga.

8. ctg(-a) = -ctga.

9. sin(2n + a) = sina.

10. cos(2n + a) = cosa.

11.tg(n + a) = tga.

12. ctg (π + a) = ctga.

a ketvirtis sina cosa tga ctga

a e (0 ; f ) I + + + +

a e ( | ; π) Il +

a g (π; | π ) III - + +

α 6 ( - |π;2π) IV + -

Kai kurių trigonometrinių f-jų reikšmės

Kampai π 6"

π 4

π 3

π Ύ

π 3π 2 2π О

Kampai 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 0°

sina 1 2"

Я 2

V3 2 1 О -1 О О

cosa VJ 2

V2-

2 1 2 0 -1 О 1 1

tga 3 1 V3 neegz. О neegz. О О

ctga л/3 1 3 О neegz. О neegz. neegz.

Trigonometrinių funkcijų tarpusavio priklausomybės. Argumentų sumos bei skirtumo, dvigubo ir pusės

argumento formulės

1. sin2a + cos2a = 1 .

- . sina 2- t S a = ^ ' 3. ctga = ^ . а Sina

4. tga· ctga = 1 .

5 · 1 + ^ 2 a = C o k •

6 · 1 + c t 9 2 « = - i i i k r ·

7. sin(a ± β) = sina-cosp ± sinp«cosa .

8. cos(a ± β) = οοεα-οοεβ + βίηα-βίηβ .

11. sin2a = 2sina· cosa .

12. cos2a = cos2a - sin2a.

13.tg2a = T ^ .

.. * ctg2a - 1 14· ctS2a =-MgtT •

.Jg a л/1 - cosa' 5. sin | = +p-

16. cos-l =±ρ±|2ϋΓ. 17 tn— - ."[/1 'COSot ' _ 1 - cosa _ sina

9 2 i y i + c o s a ~ sina ~ 1 + со

18. c t g f - + l / l_t_cosa_' _1_+_cosa a ^ - M - cosa sina

19. sina = 1 , V

1 + cosa ' sina

1 + cosa •

2 1 - ta2—

20. cosa 9 ° TTWf O+ — 21. tga = • 2tgf

2 1 - ta2—

22. ctga =

ctg2f ?i ctga = —^ l-~2tg?

Redukcijos taisyklės

1. Jei smailusis kampas yra atidėtas nuo Ox ašies (180°±α; 360°+α), tai redukuojamoji funkcija nekeičia pavadinimo, o jei smailusis kampas atidėtas nuo Oy ašies (90°+α; 270°±a), tai redukuojamoji funkcija keičia pavadinimą (sinusas kosinusas; tangentas^kotangentas).

2. Redukuotosios funkcijos ženklas nustatomas pagal lentelę 17 psl.

Trigonometrinių funkcijų sangaugos keitimas suma

1. sina-sinp = J (cos(a - β) - cos(a + β)).

2. cosa· cosp (cos(a + β) + cos(a - β)).

3. sina· cosp = j (sin(a + β) + sin(a - β)).

Trigonometrinių funkcijų sumos bei skirtumo keitimas sandauga

1. sina + είηβ = 2sin · cos .

„ . „ a - β a + R 2. sma-sinp = г з т - ^ - ' С о з - - ^ - 1 - .

. a + β α-β 3. cosa + cosp = 2cos—^ j-* cos-τ^- .

4. cosa - cosp = -2sin · an .

sin(a + β) 5. tga + tgp = COSo,.CQ3^ ·

с t „ t „n Sin(CtJi) 6.tga-tg(5 = c 0 s u > c 0 s n .

7. ctgu + ctgP а sina»sinp sin(P - a)

8. ctga - ctgp = s j n a . s i n p -

Trigonometrinės lygtys

1.arcsin(-x) = -arcsinx, - 1 x < 1.

2. arccos(-x) = π - arccosx, -1 χ 1.

3. arctg(-x) = -arctgx .

4. arcctg(-x) = π - arcctgx .

Lygtis Sprendinių formulė Kampo intervalas

sinx = а, |а| ^ 1 χ = (-1)karcsina + як - į: arcsina

cosx = а, |а | ^1 χ = ± arccosa + 2vk O^arccosa ^ π

tgx = а, а e R χ = arctga + як π . π - "2 < arctga < j

ctgx = а, а e R χ = arcctga + лк О < arcctga < π

Trigonimetrinių funkcijų lygybės sąlygos

1. cosa = cosp a + β = 2як, α -β = 2пк, keZ.

2. sina = SinP <=> a + β = π + 2nk , α - β = 2πk , keZ .

- 2 1 -

3. sina = cosp <=> a + β = - γ + 2як, a - β = γ + 2як, keZ.

4. tga = tgP <=> a - β = як, α, β * - | (2k + 1), keZ.

5. ctga = ^ β a - β = як, α, β я(2к + 1), keZ.

Trigonometrinės nelygybės

Kai O $ a $ 1

1.sinx > a <=> а + 2 я к ^ х ^ : я - а + 2як.

2 .s inx^a о - я -а + 2 я к < х « а + 2як.

kur а = arcsina, ksZ .

3 . cosx^a« · -а + 2 я к < х < 2 я - а + 2як.

4.cosx<a о а + 2як^х< :2я -а + 2як,кег>

а = arccosa .

Kai - 1 a « О

1.sinx ^ a => -а + 2 я к < х < (я + а) + 2як.

2 .s inx<a => - π - а + 2як ^ χ < -а - 2як, keZ,

а = arcsina, keZ .

3 .cosx^a => -я + а + 2 я к - $ х ^ я - а + 2як.

4. cosx a => π - а + 2як «į χ π + а + 2як ,

а = arccosa, keZ .

1. tgx > a => а + як ^ χ ^ - | + як ,

2. tgx « a => - γ + як < χ < а + як,

а = arctga, keZ .

3. ctgx > а => як < χ ^ а + як .

4. ctgx ^ a =>а + я к « $ х ^ я + як ,

а = arcctga, keZ .

Kombinatorika

Faktorialas

η! = η(η- 1)(η-2)·...·3·2·1 = η(η-1)!,0! = 1,11 = 1.

Gretiniai

An= η(η-1)(η-2)... (n-k + 1 ) , 0 < k « n .

д к _ _ о 1 _ rtn- (η - к)! •

Gretiniai su pasikartojimais

K= nk.

Kėliniai

Pn= n! = 1·2·3·...·n .

Kėliniai su pasikartojimais

P " ( k > ' k 2 kn) = k,!.k24..-k„! *

k, + k2 + ... + kn = n .

Deriniai

Ck= п<п-1»п-2>к!-(пк + 1',0«к«п.

n! n k!(n - к)! '

C00= 1 ir C»- 1.

л к _ n-k cn=cn .

c > e i , + , k < n .

c 0 + c 1 + ... + C" = 2". n n n

Deriniai su pasikartojimais

pk_ (n + k 1)! 4 , - k!(n -1)! ·

Niutono binomas

(a + b)n = an + C1nan1b + ... + Ck

nankbk + ... + b".

Kiekvienas dėmuo turi pavidalą Cna""kbk.

(k + 1)-ojo nario formulė yra Tk+,= C^arvkbk.

/I'ykių tikimybė

P(A) = , kur n - visų elementariųjų įvykių skaičius, m - įvykiui A palankių elementariųjų įvykių skaičius.

Įvykiui A priešingas įvykis yra A .

P(A) = 1 - P(A).

Jei A ir B nesutaikomi įvykiai, tai P(A UB) = P(A) + P(B).

Jei AirByraduneprikIausomi įvykiai, tai Ρ(ΑΓΙΒ) = P(A)-P(B).

Sąlyginė tikimybė

Рв(А) = ' Τ Ρ Γ ' ρ ( β ) * 0 •

Dviejų priklausomų įvykių sandaugos tikimybė P(AflB) = P(A)-Pa(B), P(AflB) = P(B)-Pb(A) .

Atsitiktiniai dydžiai

X - atsitiktinis dydis . X1, X2 xn - atsitiktinio dydžio įgyjamos reikšmės. P1, p2,..., pn - atsitiktinio dydžio X įgyjamų reikšmių X1, X2 Xn atitinkamos tikimybės,

Atsitiktinio dydžio matematinė viltis (vidurkis)

EX = X1P1+X2P2 + ...+ XnPn.

Atsitiktinio dydžio X dispersija

DX = E(X - EX)2. DX = E(X2) - (EX)2

Vidutinis kvadratinis nuokrypis

δ = Vd>T

Vektoriai plokštumoje

1. Jei A(xa, ya), B(xb, yb), tai AB = (Xb - xa; yb - ya).

— > — > -7> —> 2. a = (a , Эу) = BxI + ay j , a , a - vektoriaus a koordinatės,

?iT,if|=|i1= 1 -

3.~a+1? = (ax + b / + (ay + b / .

= ( a - b / + (ay - by)f ·

5. k-"a = (kax; kay).

6."a· ? = Μ οοεφ - skaliarinė sandaugali'tT= ajbx + ajby

7.|aj= Va2 + a2 ' .

8 · c o s ( p · k u r φ = z ; t ) "

9."a· t? = O, kai "a±i? ir et* 0,1? * O.

10. a i ? , tai I?·!? = axbx + ayby = O .

—» —» —> —> a a 11. Du vektoriai a ir d kolinearūs, jei b = ka ; т г = т г

« »

Vektoriai erdvėje

1. Jei A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb), tai a I = (xb - xa; yb - ya; zb - z) .

2."?= (ax, ay, a2) = a j + a j + azktax, ay, az- vektoriaus ^koordinatės,

T= (1; 0; 0), p= (0; 1; 0),!?= (0; 0; 1) - vienetiniai vektoriai.

3. Vektoriaus ilgis |εΓ| = Va2 + a2 + a2 ' .

4. ax = Й cosa, ау = |а | cosp, az = |a| cosy, a, β, γ - k&mpai, kuriuos Ifsudaro su χ, y, z ašimis .

5.~a±l) = (ax ± bx; ay ± by; az ± bz) .

6.C-a = (C«ax; C«ay; C«az).

— > — > — ^ — — ^

7. Skaliarinė sandauga a· b = |a|»|b|cosv, kur φ = Z(a , b) .

8.~a·"? = axbx + ayby + azbz.

9. coscp a A + aVb, + a A

10. Vektorių kolinerumo sąlyga: = -g*-

11. Vektorių statmenumo sąlyga: a· b = 0, axbx + ayby + azbz = 0 .

12. Vektorių komplanarumo sąlyga: (a χ b) · ? = 0 .

13. Vektorinė sandauga

r* [ a x b ] = I j k aX ay a* b b b X y Z

14.| i a x b ] [= i?t>sin(p - lygiagretainio, sudaryto išifir bt plotas.

15. Mišrioji sandauga:

(axb)*c = a a a X y I b b b X y Z C C C x y z

(axb)-c = [ a x b ] - c = a [ b x c ] = b [ a x c ] .

Kampai ir apskritimas

β / α

Kampai α ir β gretutiniai. α + β = 180°.

Kampai γ ir φ kryžminiai, γ = φ .

Jei a||b, tai Z1 = Z5, Z4 = ZQ, Z1 = Z7, Z2 = ZQ1 Z4 + Z5 = 180°, Z3 + ZQ = 180°, Z2 + Z7 = 180°, Z1 + Z8 = 180°

C 1

Įbrėžtinis kampas ACB = g-^AmB .

Centrinis kampas AOB = v-'AmB .

Susikertančių apskritimų stygų savybė

AE-EB = CE-ED.

Apskritimo iiestinė

CA = CB, CA ir CB - apskritimo liestinės, nubrėžtos iš vieno taško C .

MA2 = MC-MB. C MA - apskritimo Iiestinė,

MC - apskritimo kirstinė.

Apskritimo ilgis ir skritulio plotas

Apskritimo ilgis C = 2πΓ, r - apskritimo spindulys. Skritulio plotas S = w2, r - skritulio spindulys.

Apskritimo lanko ilgis

1 RADIANAS = ψ - laipsnių .

1° = W r a d • Visas apskritimas turi 2π RADIANŲ .

TtR'α 180°

Skritulio išpjovos plotas

S = πΓ 2α

ispi· 360° "

Trikampis ir jo elementai

1. Trikampio kampų suma lygi 180°, o iškiliojo n-kampio - 180°(n - 2).

2. Trikampio pusiaukampinės savybė: B

J<

AE : EC = AB : BC ,

I = \<ΑΒ· AC - BK-KC . 3. Trikampio pusiaukraštinės savybė:

B

L / m \ m \ . K BE, AK ir CL - A-io pusiaukraštinės.

OE = ^BE , BO =J-BE ,

m b = į V2(a2 + c2) - .

4. Į trikampį įbrėžtas apskritimas.

O - pusiaukampinių susikirtimo taškas.

r =

r - apskritimo spindulys. S - A-io plotas, p - Δ-io pusperimetris.

5. Apie trikampį apibrėžtas apskritimas.

O - statmenų, iškeltų iš kraštinių vidurių, susikirtimo taškas.

R = abc 4S

R - apibrėžto apskritimo spindulys. S - Δ-io plotas.

Pastaba. Jei trikampis taisyklingasis, tai R = 2r.

6. Statusis trikampis.

c2 = a2 + b 2 . h2 = a'· b1. b2 = C b ' . a2 = c-a ' .

Trikampių lygumo požymiai

AA1B1C1 = AABC, jei:

1. A1B1 = AB, A1C1 = AC, ZA1 = ZA . 2. A1B1 = AB, ZA1 = ZA, ZB1 = ZB . 3. A1B1 = AB, A1C1 = AC, B1C1 = BC .

Trikampių panašumo požymiai c

A

AA1B1C1-AABC, jei:

1. ZA1 = ZA, ZB1 = ZB .

2 AA =A1C1 AB AC lr i ~ ZA · T ΛΒ, _ A1C1 _ B1C1 °· AB-AC-BC •

Trikampio kampų suma ZA + ZB + ZC = 180°.

C Trikampio nelygybė b - c < a < b + c .

Stačiųjų ir pražulniųjų trikampių sprendimo formulės

я A — = sin A , с a α -ζ= cos В ,

b А — = cos А ,

b • й

а л

į - t g A ,

b • ^ a = Ctg А, b £ T= tg в,

с = sin к COS ί

Kosinusų teorema B

a2 = b2 + c2 - 2bc-cos fc , b2 = a2 + c2 - 2ac-cos B , c2 = a2 + b2 - 2ab«cos č .

Sinusų teorema

sin A sin B

spindulys.

sin Q- = 2R, R - apie A-j apibrėžto apskritimo

Įbrėžtinis keturkampis

1. ас + bd = ef (Ptolomėjaus teorema).

: 2. S = V(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)'.

3. ZA + ZC = ZB + ZD = 180°

Apibrėžtinis keturkampis

1. AB + CD = AD + BC .

2. S = r-p, r - įbrėžto apskritimo spindulys, p - keturkampio pusperimetris, S - jo plotas.

Figūros ir jų plotai

Stačiakampis

S = a-b .

Lygiagretainis

1. S = a»h . 2. S = ab-sina.

Lygiagretainio įstrižainių savybė

2a2 + 2b2 = e2 + f 2 .

Trikampis

S =

S =

aha b h b Chc

absinC _ acsinB _ bcsinA

S = Vp(p - a)(p - b)(p - c)', kur p

Herono formulė

a+b+c

a2\3 Taisyklingajamtrikampiui S =—4—, kur a = b = c.

Trapecija

s = ^ . h

MN - trapecijos vidurinė linija.

MN = ^ - , t a d a S = MN-h

Rombas

S = a2sin Я . S = a - h . S =~2 , nes e I f .

S = 2ra, kur r - įbrėžto apskritimo spindulys.

Erdvinės figūros. Jų paviršiai ir tūriai

Kubas

Sson. = 4a2; Sk = 6a2; V = a3 .

Stačioji prizmė

S s a i = P -H ; Sv _ Sion + 2Spagr V = Spagr-H.

Pasviroji prizmė

S. = P s t - L , AA1 = L . son. st.p. ' 1 Sv = Sion + SSfiagr; V = S - H 1 H - prizmės aukštine.

Taisyklingoji piramidė

Sforl = i P * h ;

-3Son. COScp

Sv - Sson + Spagr

v = i Spagr- и .

Taisyklingoji nupjautinė piramidė P + P _ 1 A1B1C1D, T 1 ABCD ,

S f on = 2 h ;

Sv - Sion. + SaiBCiD,+ SABCD ;

V = -I-H (SABCD+ ^SABCD- SABCD + S^BCD)

O1

H

Ritinys

Sson. = 2KRH ;

Sv = 2nR(R + H)

V = nR2H .

Kūgis

Sfon. = *RI.;

Sv = nR(R + L)

V = - ^R 2 H .

Nupjautinis kūgis

Ston = * (R + OL;

Sv = ti(R + r) L + JtR2 + Jtra

V = |-7tH(R2 + r2 + Rr) .

Rutulys

s , = 4nR 2 ;

Sabc = 2яЯИ ;

Sadec = 2nRH ;

^aijec " "įį nh?(3R · h) ,

kur h = BN, H - MN1 R - rutulio spindulys

= 4pR2h, kur h = BO1 .

Funkcijos. Sekos. Ribos

1. Atitinkamybė tarp aibių XirY kai kiekvieną aibės X elementą atitinka vienas ir tiktai vienas aibės Y elementas, vadinamas funkcija.

2. Natūraliųjų skaičių aibėje apibrėžta funkcija vadinama seka.

3. Skaičius O yra sekos (xn) riba, jei kiekvienam kiek norima mažam teigiamam skaičiui £ > O galima rasti natūrinį skaičių Ni., kad visiems n > Ni., būtų teisinga nelygybė|xn -0|< £. Tai užrašoma: Iim Xn = a.

4. Seka (xn) vadinama aprėžta, kai egzistuoja tokie du skaičiai m ir M, kad Vn yra teisinga nelygybė: m xn M .

5. Nykstančiai mažėjančios geometrinės progresijos narių suma:

S = Iim Sn = ^ - . η-КС M

6. Skaičius b vadinamas funkcijos f(x) riba, jeigu jos argumentui χ artėjant prie a, bet kurį teigiamą skaičių £ > O atitinka toks teigiamas skaičius δ > O, kad visiems χ φ O, tenkinantiems nelygybę | χ - a| < δ, yra teisinga nelygybė: | f(x) - b| < £ .

Ribų dėsniai

1. Iim (f(x) + g(x)) = Iim (f(x) + lim(g(x). X-Wi0 *-»*o Χ-»Χυ

2. Iim (f(x)-g(x)) = Iim f(x)*lim g(x). X->X0

x^xO K->*„

3. Iim (C>f(x)) = O l im f(x), čia C - konstanta .

Argumento ir funkcijos pokyčiai

1. Δχ = χ - X0.

2. Af(X0) = f(x0 + Ax) - f(x0).

Ay = f(x)"f(x0).

xo x=x0+Ax 0

3. y' = lim m . ' Δχ->0 ΛΧ

f-(X) = I l m - M ^ X ->Χ„ Λ " aO

4. y' = tga = f'(X0) - išvestinės geometrinė prasmė

5. y - f(x0) = f '(X0)(χ - x0) - liestinės lygtis.

6- (У - f (x0))f '(X0) + (x- x0) = 0 - normalės lygtis.

y=f(x)

-Iiestinė

•Μ(χ0; y0) normalė

4 0 -

->x

X

Pagrindinės diferencijavimo taisyklės

1. (Cf(x))' = cf '(χ).

2. (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x).

3.(f(x).g(x))' = f '(x).g(x)+f(x)-g'(x).

/f(x) u f'(x)-g(x)-f(x)*g'(x) . 0 4- -gięg · 9W * 0 ·

5.(f(g(x)))' = f'(g(x)).g'(x).

Pagrindinės difenciįavimo formulės

1.C' = 0 .

2. X1 = 1 .

3 . ( ^ ) ' = - t

4. (χ")' =ax"1 .

5. (Vfffi)- = J W v w ' 2Vf(xT

6. (a")' = axlna .

7. (e»)' = e".

8. (Inx)' = j .

9. (log χ)' = - 7 - . v a a ' χ Ina

10. (sinx)' = cosx .

11. (cosx)' = - sinx .

12-(tgx)' = W x -

13. (ctg)' = - - J^ - •

14. (arcsinx)'

15. (arccosx)' = - , 1 ,. 1

16. (arctgx)'

17. (arcctgx)' = - ^ 5 - .

Funkcijos ekstremumų tyrimas išvestinės pagalba

X (a; b) b (b; c) C (c; d) d (d; e)

f'(X) + 0 - 0 + 0 +

f(x) T1 7*

max min ekstremum.

п э г а

У

Vertikaliosios asimptotės lygtis yra χ == a, jei Iim f^x) = oo arba Iim f(x) = oo; arba Iim f(x) = oo . x - > a + 0 * >a

f(x) Pasvirosios asimptotės lygtis yra y = kx + b, kur k = Iirn , Х - > » л

b = Iim (f(x) - kx) arba k = Iim , b = Iim (f(x) - k(x)).

Jei bent vienas iš koeficientų k ir b neegzistuoja, tai pasviroji asimptotė neegzistuoja.

Neapibrėžtinis integralas

Savoka: Jf(x)dx = F(x) + C, kur (F(x) + C)' = f(x).

Pagrindinės savybės:

1. djf(x)dx = f(x)dx .

2. idF(x) = F(x) + C .

3. jaf(x)dx = ajf(x)dx, čia a Φ O .

4. Rf1(X) + f2(x) - f,(x))dx = Jf,(x)dx + ff2(x)dx -Jf,(x)dx .

Pagrindinės formulės:

1. Jdx = χ + C . У n+1

2. Jxndx =Tp^Tf + C, čia

3. / - γ -= In |x 1+ C .

4. Jexdx = ex + C .

5. Jaxdx = - I ^ + C, čia a Φ 1 ir a > O .

6. Jcosxdx = sinx + C .

7. Jsinxdx =-cosx+ C. 8. J dx , ~

dx = - ctgx + C . 9. J - ^ t -' Sin2X m ,- dx _ rarcsinx + C,

' л/1 - χ2' I-arccosx + С 1 1 r dx _ r arctgx + С ,

" J 1 + χ2 Ί -arcctgx + С .

1 2 . f ^ = į l n 1 + χ + С .

13. f , 5*х . = Inlx + Vx2 + a I + C , čiaa Φ О . ' Vx2Ta ' '

14· i-Ш =ln H \ + c •

1 5 . f ^ r = m | t g ( 4 + T ) | + c ·

16. Judv = uv- Jvdu .

17. Jf(x)dx = Jf(g(t).g'(t)dt.

Apibrėžtinis integralas ir jo pritaikymas b b

1. Niutono - Leibnico formulė: I f(x)dx = F(X)I = F(b) - F(a). a '«

Ь Ь

2. Apibrėžtinis integralas kaip sumos riba: Iim Σ f(x)Ax = f f(x)dx. дх->оа ; 1 ь

3. Vidurinės reikšmės teorema: f(c) = J f(x)dx . ь ь b

4. Integravimas dalimis: ju(x)dv(x) = u(x)-v(x)j - Jv(x}du(x). "d a" °

5. Figūros plotas: S = J (<p2(y) - φ1(y))dy ; S =Jf(x)dx a b

6. Kuno su duotu skerspjūvio plotu g(x) tūris: V = J g(x)dx . b

7. Sukinio tūris: V =jtjy2dx ; V = irjx2dy . ι * a

8. Lanko ilgis: I =JVl + (f(x))2'dx. b ,

9. Sukinio paviršiaus plotas: S = 2n|f(x)Vl + (f(x))2 c!x ; b

S = 2nJf(y)Vl + ( f ' (y ) ) 2 dy. a

Kompleksinio kintamojo funkcijos

Trys kompleksinio skaičiaus formos

Algebrinė forma

z = x + i y , x = R e z , y = i m z , i2 = -1

JmZ z = χ + iy

ReZ

Trigonometrinė forma

z = r(cos(p + isirnp), r = |zj = Vx2 + ψ , φ = Arg z , Arg z = arg z + 2nk (k = 0; ± 1; + 2 . . . ) .

argz = { arctg , kai χ > 0, 1,4 ketvi rčiai + arctg-^, kai χ < 0 , y » 0 2 ketvirtis;

-π + arctg^ , kai χ < 0, у < 0 3 ketvirtis . , kai χ = O, у > О , kai χ = O, у < О

Rodiklinė forma

z = re*"; coscp + ίβίηφ = е'г - Euierio formulė.

Veiksmai su kompeksiniais skaičiais

Z1 ± Z2 = (X1 ±>g + i (y, ± y2), jei Z1 = X1 + iy, ,Z2 = X2 + iy2

Z1Z2 = r, 1-^4+¾*;

2, Г.

, jei Z1 = r,e"<\ z2 = r2e%\

zn = r"(cosn<p + isinncp) - Muavro formulė ;

nVz = V ( c o s ^ + i s i n ^ i ^ ) , k = 0,1, 2,... (n - 1 ) .

Tiesė ir jos lygtis plokštumoje

1. Atstumas tarp dviejų taškų: d = \'(x2 - X1)2 + (y2 - y / \ χ, + λχ. y, + Xy2

2. Atkarpos dalijimas duotuoju santykiu: χ У = i + λ ·

X + X y + y 3. Atkarpos vidurio koordinatės: χ = 1

2 г . У = 1

2 ~ ·

4. Per duotąjį tašką M(x0, y0) einančios tiesės su duotuoju normaliniu vektoriumi n^a; b} lygtis: a(x - x0) + b(y - y0) = O .

5. Bendroji tiesės lygtis: ax + by + c = O.

6. Tiesės su kampiniu koeficientu k lygtis: y = kx + b.

7. Tiesės, einančios per duotąjį tašką M(x,, y,), kurios kampinis koeficientas k, lygtis: y - = k(x - X1).

y - y X-X 8. Per du taškus einančios tiesės lygtis: ——rf = ——;L . "г" »i *г" 1

к - к

9. Dviejų tiesių kampas: tgcp = 1 Į k .1k .

10. Tiesių lygiagretumo sąlygą: kn = k2 .

11. Tiesių statmenumo sąlyga: k2 = -4- .

Antros eilės kreivės

Apskritimas

1. Kanoninė lygtis: (x - a)2 + (y - b)2 = R2.

2. X2 + y2 = R2.

3. Ax2 + Ay2 + Dx + Cy + F = O .

Elipsė

X2 y2

1. Kanoninė lygtis: + = 1 .

c 2. Ekscentricitetas: e =— α , jei a > b , e = - į j - , jei b > a .

3. b2 + c2 = a2, jei a > b; a 2 + c2 = b2, jei a < b .

0 γ λ j v A1( O)V. C m 1 * A m

Hiperbolė y

Parabolė

6. (у - b)2 = -2р(х - а) .

7. (χ - а)2 = 2р(у - b) .

А«Л;Ь)

8. (х- а)2 = -2р(у - b) .

Tiesės ir plokštumos erdvėje lygtys

!.Atstumas tarp dviejų erdvės taškų: d = V(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2'.

2. Plokštumos lygtis: ax + by + cz + d = O .

Stačiakampėje koordinačių sistemoje susikerta plokštumos: a,x + b,y + C1Z + d, = O ir a2x + b2y + c2z + d2 = O .

Vienas iš kampų, gautas susikirtus šioms plokštumoms, apskaičiuojamas pagal formulę:

- ai32 + b1b·» + C1C2 C O S a ~ Va2 + bf + c2'· Va2

2+ b j + c f '

Diferencialinės lygtys

1. Diferencialinė lygtis su atskiriamaisiais kintamaisiai p(y) .y' = g(x). Jos sprendinys: P(y) = Q(x) + C, čia P yra viena funkcijos p pirmykščių funkcijų, o Q - viena funkcijos y pirmykščių funkcijų.

2. Tiesinė I eilės diferencialinė lygtis y1 + p(x)y = q(x). Jos sprendinys y = e ipMdx (C + Jq(χ) β·[ρ(χ)αχ dx).

3. Pilnojo diferencialo lygtis. Lygtis M(x, y)dx + N(x, y)dy = O (1) vadinama pilnojo diferencialo lygtimi, jei jos kairioji pusė yra funkcijos u[x, y) pilnas diferencialas, t.y., du(x, y) = -Ц-dx + - | d y = M(x, y)dx + N(x, y)dy . Kad (1) lygtis būtu pilnojo diferencialo lygtis būtina ir pakankama, kad

SMĮx. y) _ 5N(x, y) Sy Sx ·

Jei žinoma funkcija, kurios pilnas diferencialas yra kairioji (1) lygties pusė, tai u(x, y) = C .

Surandame u(x, y) lygybių = M(x, y) , N(x, y) pagalba .

u(x, y) = jM(x, y)dx = F(x, y) + φ (y), (2) Čia F(x, y) yra funkcijos M(x, y) pirmykštė funkcija .

Funkcijos φ (y) nustatymui gauname lygybę, diferencijuodami (2) lygybę pagal y, t.y. + Щ- = N(x, y) .

4. Antros eilės homogeninė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais y" + py1 + qy = O . (3)

Sudarome Iygtj r2 + pr + q = O (4), kurios šaknys r, ir r2 .

Galimi trys atvejai:

1. Šaknys r, ir r2 - realios ir skirtingos. Tada (3) lygties bendrasis sprendinys y = C^1 " + C2e'2X.

2. Šaknys r, ir r2 realios ir lygios: r2 = r, = r . Tada (3) lygties bendrasis sprendinys y = (c, + c2x)e rx.

3. Šaknys r, ir r2 - kompleksinės: r, = α + βί, r2 = α - βί. Tada (3) lygties bendrasis sprendinys y = β ' ^ ο ο β β χ + α,είηβχ) .

5. Antros eilės nehemogeninė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais: y" + py' + qy = f(x) (5). (5) lygties bendrasis sprendinys y = y" + y* , kur y"- (3) lygties bendrasis sprendinys, y* - (5) lygties dalinis sprendinys.

Kai f(x) = ekxPn(x) ir skaičius k nėra (4) lygties šaknis, tai y* = ekxQn(x), kur Qn(x) - n-ojo laipsnio daugianaris su neapibrėžtais koeficientais.

Kai f(x) = BkxPn(X) ir k yra (4) lygties šaknis, tai y* = xmekxQn(x), kur m - sprendinio k kartotinumas.

Kai f(x) = acosXx + bsinXx ir skaičiai ΐ λ ί nėra (4) lygties šaknys, tai y* = AcosXx + BsinXx, kur A ir B - neapibrėžti koeficientai, o jei skaičiai T Xi yra (4) lygties šaknys, tai y* = x(AcosXx + BsinXx).

Skaičių eilutės

1. Išraiška U1 + U2 + U3 + ... + un + ... vadinama fekaičių eilute.

2. Dalambero požymis: Jei Iim 1, tai eilutė konvarguoja; r ' Π-)» >

jei lim-7r-> 1. tai eilutė diverguoja. n -> Xn

3. Koši požymis: Jei Iim n'lT < 1, tai eilutė konverguoja;

jei Iim nViT > 1, tai eilutė diverguoja. n -> ж "

Laipsninis eilutės

1.Teiloroeilutė: f(x) = f(a) +^ fp f ' (a ) + f i ^ p f " ( a ) + i i ^ f "'(a) + ...

2. Makloreno eilutė: f(x) = f(0) + -jpf '(O) + f - f "(0) + f - f '"(O) + ... +

+£f<">(0) + ....

3. Kai kurių funkcijų dėstiniai Makloreno eilute:

Y3 y 5 γ2η-1 sinx = X - 1 + i r + ... + (·1)η+1 -(^ΓϋΤ+ ... ·

v2 γ4 γ6 γ2η cosx = 1 - I r + I r - - I r + - ( - 1 ) п + 1 - ! т + - ·

у2 У3 хп

е>= 1 + x + l r + f + . . . +-щ- + .·.

( 1 + х Г = 1 + т х + « - χ 2 + Л ! < Е ! 1 « х з + . . . , k a i | х | < 1 .

1п(1 + X) = х - Ψ +-J-- -£ + ... + (-1)n + 1~ + ... ,kai | х | < 1 .

arctgx = χ - - j + T" - T " + - + (-1)η+1"ΊϊΤ . kai |х | < 1 .

arcsinx = χ + ^ x 3 + ^ x s + χ7 + ... +

1.3.5-(20-1) гп+1 к . , , + 2·4·6 ...2n(2n + 1) Х , КЭ1 |Х|< 1 .

Logikos elementai

1. Neigimas. Jeigu p - teiginys, tai teiginys "Netiesa, kad p" vadinamas teiginio p neiginiu ir žymimas p . Jo teisingumo reikšmės:

P P

T K T K T K

2. Dlsjunjclja. Jeigu p ir q teiginiai, tai teiginys "p arba q" vadinamas teiginių p ir q disjunkcija ir žymimas p V q. 3. Konjunkcija. Jeigu p ir q teiginiai, tai teiginys "p ir q" vadinamas teiginių p ir q konjunkcija ir žymimas p/\q . 4. Implikacija. Jeigu p ir q teiginiai, tai teiginys "jeigu p tai q" vadinamas teiginių p ir q implikacija ir žymimas p => q . 5. EkvIvaIenciJa. Jei p ir q teiginiai, tai teiginys "p tada ir tik tada, kai q" vadinamas teiginių ekvivalencija ir žymimas p <=> q . 6. Disjunkcijos, konjunkcijos, implikacijos ir ekvivalentumo teisingumo reikšmių lentelė:

P q PVq PAq p q P ^ q

T T T T T T T K T K K K K T T K T K K K K K T T

Metrinė matų sistema

Ilgio matai

1 kilometras (km) = 1000 metrų (m). 1 metras (m) = 10 decimetrų (dm) = 100 centimetrų (cm). 1 decimetras (dm) = 10 centimetrų (cm). 1 centimetras (cm) = 10 milimetrų (mm).

Ploto matai

1 kvadratinis kilometras (km2) = 1000000 kvadratinių metrų (m2). 1 kvadratinis metras (m2) = 100 kvadratinių decimetrų (dm2) =

= 10000 kvadratinių centimetrų (cm2). 1 hektaras (ha) = 100 arų (a) = 10000 kvadratinių metrų (m2). 1 aras (a) = 100 kvadratinių metrų (m2).

Masės matai

1 tona (t) = 1000 kilogramų (kg). 1 centneris (cnt) = 100 kilogramų (kg). 1 kilogramų (kg) = 1000 gramų (g). 1 gramas (g) = 1000 miligramų (mg).

Tūrio matai

1 kubinis metras (m3) = 1000 kubinių decimetrų (dm3) = = 1000000 kubinių centimetrų (cm3).

1 kubinis decimetras (dm3) = 1000 kubiniu centimetrų (cm3). 1 litras (I) = 1 kubinis decimetras (dm3). 1 hektolitras (hi) = 100 litrų (I).

Jei neįsimeni matematikos formulių ... (I'arengė: Šiaulių Universiteto magistrantai Darius Šiaučiūnas, Rasa Šleževičienė)

Leidinyje yra reikalingiausios matematikos formulės, skirtos vidurinių, aukštesniųjų ir aukštųjų mokyklų moksleiviams ir studentams.

Viršelio dailininkė J. Jankauskienė Techniniai redaktoriai: J. Stropuvienė

S. Stropus

SL 2031.1998 07 08.3,5 sp. 1. UŽS. N r . 2388

Išleido „Šiaurės Lietuva". Spausdino AB spaustuvė „Titnagas"

Vasario 16-osios g. 52, Šiauliai.

Kaina sutartinė