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INVESTIGACION DE OPERACIONES
PROGRAMACION LINEAL ENTERA
1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables binarias (0-1)
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1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera
Programación lineal entera o programación con enteros son modelos de programación matemática que presentan condiciones que estipulan que algunas o todas las variables de decisión deben tener valores enteros.
Aplicaciones: 1. Número de empleados a contratar. 2. Cantidad de máquinas necesarias para la producción 3. Número de viajes a realizar. 4. Cantidad de piezas a producir 5. Cantidad de locales a instalar
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• Los modelos de Programación Lineal Entera (PLE)
se resuelven de manera distinta que los modelos de
Programación Lineal (PL).
• Los algoritmos que resuelven los modelos lineales
enteros no entregan resultados de análisis de
sensibilidad.
Clasificación de los modelos de PLE:
Modelo
Tipos de Variables de Decisión
Completamente entero (PEP)
Todas son enteras
Mixto (PLEM)
Algunas, pero no todas son enteras
Binaria (PLBI)
Todas son binarias (0 ó 1)
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Consideraciones generales:
Si un modelo de enteros se resuelve como un modelo
lineal simple, la solución óptima puede ser no entera.
Al aproximar a valores enteros se puede obtener:
Soluciones no-factibles
Soluciones factibles pero no óptimas
Soluciones óptimas.
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Modelo entero puro (PEP)
Minimizar 6X1 + 5X2 + 4X3
Sujeto a 108X1 + 92X2 + 58X3 576
7X1 + 18X2 + 22X3 83
X1, X2, X3 enteros
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Programación lineal entera-mixta (PLEM)
Minimizar 6X1 + 5X2 + 4X3
Sujeto a 108X1 + 92X2 + 58X3 576
7X1 + 18X2 + 22X3 83
X1, X2, X3 0 ; X1 y X2 enteros.
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Programación Lineal Binaria
Min 24X11+10X12+21X13+14X21+22X22+10X23+15X31
+17X32+20X33
Sujeto a X11+X12+X13 ≤ 1 X21+X22+X23 ≤ 1 X31+X32+X33 ≤ 1 X11+X21+X31 = 1 X12+X22+X32 = 1 X13+X23+X33 = 1 Xij = 0,1
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PROBLEMA CON VARIABLES ENTERAS
“El Cafetín” es una nueva cadena de restaurantes de comida rápida que está planificando posicionarse en Lima y ofrecer productos de alta calidad, pero considera que su principal atracción será el diseño de sus locales. Los locales se ubicarán en el centro de Lima y en otros distritos. Los primeros se construirán de forma que “parecerán” el interior de un contenedor (container), mientras que los locales ubicados en otros distritos, se construirán al interior de verdaderos contenedores. La compañía dispone de S/. 2.7 millones para su expansión, desea abrir al menos 2 restaurantes en el centro de la ciudad y cuenta con 19 postulantes a administradores calificados para el puesto. Adicionalmente considere lo siguiente:
Valores por Restaurante en el Restaurante fuera del restaurante centro de Lima centro de Lima
Inversión (S/.) 600 000 200 000
Ganancia (S/.) 2000 000 1200 000
N° de administradores 1 3
El gerente general desea saber cuántos restaurantes podría abrir para maximizar la ganancia neta semanal. 11
La solución real del problema es:
F = 87/16 = 5.44, C = 43/16 = 2.69, Z = US$ 11.900
Entonces,
¿Por qué no redondear simplemente los valores la solución
real?
Posibles resultados del redondeo:
Los puntos pueden ser no-factibles
Los puntos pueden ser factibles pero no-óptimos
Los puntos pueden ser factibles y óptimos
Veamos los puntos F = 6, C = 3 ¿qué sucede?
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Nota:
Imponer restricción de enteros agrega dos restricciones al problema: F entero y C entero. El valor de la función objetivo NO puede mejorar. En un problema de maximización esto significa que el valor de la función objetivo disminuirá o en el mejor de los casos será el mismo que el valor óptimo del problema de programación lineal en el dominio de los reales.
La solución entera del problema es: F = 4, C = 3, Z = US$ 10 800 000
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APLICACIONES DE LA PLE
a) Variables binarias Problema de Inversiones.
Una empresa está pensando invertir en cuatro
proyectos diferentes, cada proyecto se finaliza a lo más
en 3 años. Los flujos de caja requeridos en cada año
junto con el Valor Presente Neto de cada proyecto,
concluidos los años de ejecución, y las disponibilidades
de recursos financieros se resumen en la siguiente
tabla:
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Proy 1 Proy 2 Proy 3 Proy 4 Disp. Recursos
Año 1 10 8 6 12 30
Año 2 8 15 4 0 15
Año 3 18 0 16 0 12
V.P.N. 35 18 24 16
Se requiere determinar en cuáles proyectos se
recomienda invertir de modo de conseguir el mayor
V.P.N. de la inversión.
Variables de decisión: 1 si se invierte en el proyecto i
Xi = con i= 1, 2, 3, 4
0 si no se invierte en el proyecto i
Función objetivo:
Max 35x1 + 18x2 + 24x3 + 16x4
Restricciones (tres alternativas):
1 Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un período
Año 1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 + s1 = 30
Año 2: 8x1 + 15x2 + 4x3 + s2 = 15 + s1
Año 3: 18x1 + 16x3 12 + s2
xi {0,1} i = 1,2,3,4
2 Sin invertir el dinero no utilizado en un período, pero
utilizando el retorno de los proyectos concluIdos:
Año 1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 30
Año 2: 8x1 + 15x2 + 4x3
15 + 16x4
Año 3: 18x1
+ 16x3
12 + 18x2
Xi {0,1} i = 1,2,3,4
3 Reinvirtiendo dinero no utilizado en un período y retorno de
proyectos concluidos:
Año 1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 + s1 = 30
Año 2: 8x1 + 15x2 + 4x3 + s2 15 + s1 + 16x4
Año 3: 18x1 + 16x3 12 + s2 + 18x2
Xi {0,1} i = 1,2,3,4
Otras restricciones del problema:
Se debe invertir en al menos 1 de los 3 primeros proyectos:
x1 + x2 + x3 ≥ 1
Si invierto en el proyecto i se debe invertir en el
proyecto j:
Ejemplo:
xi ≤ xj
No se puede ejecutar el proyecto 2 a menos que el
proyecto 3 sea ejecutado:
x2 ≤ x3
Otras restricciones del problema:
Se puede invertir en el proyecto i o en el proyecto j,
pero no en ambos:
xi + xj ≤ 1
No se puede invertir en más de dos proyectos:
xi + x2 + x3 + x4 ≤ 2
Si se invierte en el proyecto i y en el proyecto j,
entonces se debe invertir en el proyecto k:
xi + xj ≤ 1 + xk
Si se invierte en el proyecto i o en el proyecto j,
entonces se debe invertir en el proyecto k:
xi + xj ≤ 2xk
Si se invierte en el proyecto i no se debe invertir en
el proyecto j:
xi ≤ 1 - xj
IMPORTANTE:
En los problemas de programación lineal entera no es
posible realizar el análisis de sensibilidad.
Cualquier cambio en los coeficientes de la función
objetivo o en los coeficientes del lado derecho implicará
que se deba resolver el problema nuevamente.
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2. El problema de asignación
Los problemas de asignación típicos implican asignar trabajos a máquinas, agentes a tareas, personal de ventas a territorios de ventas, contratos a licitadores, etc.
Característica: Un agente se asigna a una y sólo una tarea.
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Ejemplo:
Consideremos la empresa Publiciux que acaba de recibir solicitudes para estudios de investigación de mercado de tres clientes nuevos. La compañía enfrenta el reto de asignar un líder de proyecto (agente) a cada cliente (tarea). En la actualidad tres individuos no tienen otros compromisos y están disponibles para las asignaciones de líder del proyecto. Sin embargo, la administración de Publiciux se da cuenta de que el tiempo requerido para completar cada estudio dependerá de la experiencia y capacidad del líder del proyecto asignado.
Los tres proyectos tienen casi la misma prioridad y la administración desea asignar líderes de proyecto para minimizar la cantidad de días requeridos para completar los tres proyectos.
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Si sólo se va a asignar un líder a un cliente, ¿qué asignaciones deberían hacerse?
Las alternativas y los tiempos estimados (en días) para completar el proyecto se muestran en la siguiente tabla:
Líder del proyecto. Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3
1.- Asterix 10 15 9
2.- Obelix 9 18 5
3.- Druida 6 14 3
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Como en el problema transporte usamos variables de decisión con doble subíndice:
X11: Representará la asignación del líder del proyecto 1 al cliente 1 X12: Representará la asignación del líder del proyecto 1 al cliente 2 X13: Representará la asignación del líder del proyecto 1 al cliente 3
Xij : Representará la asignación del líder del proyecto i al cliente j
Definimos las variables de decisión para el problema de asignación de Publiciux de la siguiente manera:
Xij : 1 si el líder del proyecto i se asigna al cliente j, 0 en otro caso
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En el siguiente modelo de red se puede apreciar la variable y el tiempo que emplearía en el caso de que su valor sea 1:
1 1 Asterix
1 2 Obelix
3 1 Druida
X11, 10
X22, 18
X33, 3
Cliente 1 1
Cliente 1 2
Cliente 1
3
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Lo que se desea es minimizar los tiempos de ejecución de los tres proyectos, luego la función objetivo será:
Min z = 10 x11 + 15 x12 + 9 x13 + 9 x21 + 18 x22 + 5 x23 + 6 x31 + 14 x32 + 3 x33
s.a.:
x11 + x12 + x13 =1 Asignación de Asterix
x21 + x22 + x23 =1 Asignación de Obelix
x31 + x32 + x33 =1 Asignación de Druida
x11 + x21 + x31 =1 Cliente 1
x12 + x22 + x32 =1 Cliente 2
x13 + x23 + x33 =1 Cliente 3
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La solución del POM a este problema es la siguiente:
(untitled) Solution
X11 X12 X13 X21 X22 X23 X31 X32 X33 RHS Dual
Minimize 10 15 9 9 18 5 6 14 3
Asignación de Asterix 1 1 1 0 0 0 0 0 0 = 1 -7
Asignación de Obelix 0 0 0 1 1 1 0 0 0 = 1 -5
Asignación de Druida 0 0 0 0 0 0 1 1 1 = 1 -3
Cliente 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 = 1 -3
Cliente 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 = 1 -8
Cliente 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 = 1 0
Solution-> 0 1 0 0 0 1 1 0 0 26
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Esto quiere decir que : Asterix se asignará al cliente 2, Obelix se asignará al cliente 3 y Druida se asignará al cliente 1. El tiempo total en que esta asignación cumplirá con los tres clientes es de 26 días
1 1 Asterix
2 1
Obelix
3 1 Druida
Cliente 1 1
Cliente 1 2
Cliente 1 3
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Ejemplo de distribución de presupuesto
• La empresa MNG dispone de US$ 20 000 para invertir en
cuatro posibles alternativas, buscando maximizar el Valor
Actual Neto de todas las inversiones juntas, de acuerdo con
el cuadro siguiente:
Alternativa Monto de inversión VAN (US$) requerido (US$)
A 5 000 16 000
B 7 000 22 000
C 4 000 12 000
D 6 000 8 000
La gerencia general ha dispuesto que se invierta como máximo en tres
alternativas.
Si se invierte en la alternativa 2 no se podrá invertir en la alternativa 4.
Si se invierte en la alternativa 2, también tendrá que invertir en la 1.
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Problema de alquiler (Costo fijo)
Una empresa dedicada a la comercialización de gaseosas,
tiene a su disposición 3 depósitos que puede alquilar para
almacenar sus productos. Los almacenes están ubicados en
Lima, Trujillo y Arequipa y se distribuyen en Piura, Lima y
Arequipa. En el cuadro siguiente se indica el costo por viaje
(por camión) expresado en soles ¿Cuántos camiones
deberá enviar desde cada almacén a cada punto de venta?
ALMACENES DISTRIBUIDORAS
Piura Lima Arequipa Capacidad mensual (camiones)
Trujillo 250 300 600 120
Lima 400 200 500 340
Arequipa 800 450 180 200
Demanda mensual 120 (camiones)
360 180
Supongamos ahora que utilizar un almacén implica
pagar un costo de alquiler mensual. En Trujillo el importe es de 2500 soles; en Lima es de cinco mil soles y en Arequipa es de 3500 soles. Actualice el modelo.
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