Introducción a la Cristalografía y Sistemas Cristalinos

Por Mike y Darcy Howard

(Traducción al Español hecha por: Juan José Palafox Reyes; Universidad de Sonora,

México)

Parte 5: Sistema Ortorrómbico

Se inicia esta vez examinando la cruz axial para el sistema ortorrómbico, el Sistema

Tetragonal tiene la a y b de la misma longitud (a1 y a2) pero varía la longitud del eje de c.

En el Sistema Ortorrómbico, las relaciones angulares son de 90 grados entre los 3 ejes,

pero varía la longitud de cada eje individual. Los 3 EJES DEBEN SER DESIGUALES

EN LONGITUD. Si dos son iguales, entonces, por la convención, se habla del sistema

tetragonal.

En el cuadro 5,1, por conveniencia se orienta cualquier cristal de

este sistema de tal modo que la longitud de c sea mayor que la

longitud de a, que, por otra parte, es mayor que la longitud del eje

b. Se encontrará comúnmente esto en libros de textos como "c"

Al examinar un cristal Ortorrómbico, se encuentra que la simetría

obtenible más alta es 2-(eje binario). En una forma simple, como es la

combinación de los 3 pinacoides (forma abierta), el cristal adquiere

un aspecto alargado, y a menudo tabular. Éstas son formas típicas en

la baritina y el celestina. Los 3 pinacoides son perpendiculares el uno

al otro y la orientación de los ejes de un cristal dado es lograda

generalmente por un examen del hábito y de cualquier corte evidente.

En el topacio, el corte pinacoide al prominente está en el plano de los 2 ejes más cortos

perpendiculares al eje más largo, así que por convención, es considerado perpendicular al

eje de c. Sin embargo, se encuentra la situación donde un cristal dado exhibe un pinacoide

muy prominente y el cristal es tabular en forma. En tal caso, se considera el eje de c al

ángulo recto del pinacoide prominente y el cristal se orienta como en el cuadro 5,2. Esto

es un aspecto muy diverso que el ejemplo del topacio, conocido en el párrafo superior. El

sistema Ortorrómbico tiene 3 clases generales de la simetría, cada uno expresada por su

propia notación de Hermann-Mauguin. Observese las formas señaladas por la simetría

2/m2/m2/m. Hay 3 de éstas (casi todo lo mencionado en este artículo está en 3): el

pinacoide (también llamado el paraleloedron); el Prisma rombico; y la dipiramide

rómbica.

El pinacoide consiste en 2 caras paralelas, y pueden ocurrir

en las 3 diversas orientaciones cristalográficas. Éstos son el

par que interceptan el eje de c y son paralelos a las ejes de a

y de b {001}; el par que intercepta el eje de b y es paralelo

a las ejes de a y de c { 010 }; y el par que intercepta al eje a y es paralelo a los ejes de b y

de c { 100 }. Se llaman el pinacoide de c, el pinacoide de b, y un pinacoide de a,

respectivamente (fig. 5,3). El Prisma rómbico, es una forma abierta, que consiste en 4

caras que sean paralelas a un eje e intercepten a los otros dos. Hay 3 de estos Prismas

rómbicos y son dadas por las formas generales: { hk0 }, que es paralelo al eje c; { h0l },

que es paralelo al eje de b; y { 0kl }, que es paralelo al eje a. Cuadro 5,4 a, b, presenta los

3 Prismas rombales, cada uno conjuntamente con una forma pinacoide al correspondiente.

Solamente la cara positiva del Prisma rómbico se denomina en estos

5.4a Prisma {110} y

Pinacoide {001}

5.4b Prisma {101}y

Pinacoide {010}

5.4c Prisma Rombico {011}

y Pinacoide {100}

Sin embargo, después de examinar una gran cantidad de diversos minerales

ortorrómbicos, se nota una gran cantidad de prismas expresadas en un solo cristal, y estas

formas no se pueden expresar como unidades en sus índices porque se intersectan sobre

las ejes horizontales que no son proporcionales a sus longitudes. Aquí es donde viene lo

práctico de la notación general de la símbologia. En los primeros días de la cristalografía,

estas formas fueron señaladas como macroprismas o braquiprismas, dependiendo de si h

> k o macroprisma de k > h. Tiene el símbolo general { h0l } y un braquiprisma tiene el

símbolo general de { hk0 }.

5.5a Macro- Braqui-y

Pinacoides Basales

5.5b Prisma y Pinacoides

Basales

5.5c

Con el cuadro 5,5, se tienen 3 sistemas de prismas expresadas por las designaciones de la

letra m, l y n, y de una cara del pinacoide señalada con a. La dipirámide rómbica es la

forma tipica de esta clase de la simetría. Se simboliza por la forma general { hkl } y

consiste en 8 caras triangulares, cada uno de las cuales intersecta los 3 ejes

cristalográficos. Esta pirámide puede tener varios aspectos debido a la variabilidad de las

longitudes axiales (figs. 5,6 a, b, c).

5.6a DipiramideRombico 5.6b 5.6c Cristal de azufre

Un número relativamente grande de minerales ortorrómbicos se encuentra con

combinaciones de distintas formas. Éstos incluyen la andalucita, los miembros del grupo

de la aragonita y de la baritina, la brookita, el crisoberilo, los ortopiroxenos, la goethita, la

marcasita, el olivino, la sillimanita, la estibnita, el azufre, y el topacio.Se considera que

son pocas las formas que tienen la simetría mm2 (llamada pirámide rómbica). El eje de

rotación binario corresponde al eje cristalográfico c y los 2 planos (perpendiculares uno

al otro) intersectan este eje. debido al hecho de que no existe ningún plano horizontal, las

formas en la parte superior y el fondo del cristal son diferentes (fig. 5.7a). También,

debido a la carencia del plano horizontal del espejo, no existe ningún prisma, sino que por

el contrario tenemos 2 domos en lugar de cada uno de los prismas (un domo que consiste

en 2 caras que se intersectan, pero no tienen ninguna cara paralela correspondiente en el

otro extremo del cristal). Hemimorfita (fig. 5.7b), el struvita (fig. 5.7c) o la bertrandita

son ejemplos para esta clase de simetría.

5.7a Piramide Rombica 5.7b Hemimorfita 5.7c Struvita

Y ahora a la clase (y el más bajo)

de la simetría del sistema

ortorrómbico, el diesfenoide

rómbico. La forma también se ha

llamado el tetraedro rombico.

Tiene la notación de 222, cuya

simetría es de 3 ejes de rotación

(binario) que corresponden a los 3

ejes cristalográficos. Las formas son, sin embargo, enantiomorfico, es decir presente

tanto a la derecha como a la izquierda (fig. 5,8). Estas formas cerradas consisten en 2

caras triangulares superiores que se alternen con 2 caras triangulares inferiores, el par de

caras superiores son compensadas 90 grados con relación al par de caras inferiores.

Figura 5.9

Los pinacoides y los prismas pueden también existir en esta clase. El mineral

más común de esta clase cristalina es la epsomita (fig. 5,9). Observe que en el

cuadro 5,9 el diesfenoide rómbico es señalado por la letra z y el prisma de la

unidad por m.

Introducción a la Cristalografía y Sistemas Cristalinos Por Mike y Darcy Howard

(Traducción al Español hecha por :Juan José Palafox Reyes; Universidad de Sonora,

México)

Parte 6: Sistema Hexagonal

Ahora, se analizará el único sistema cristalino que posee 4 ejes cristalográficos.

Encontramos que los índices de Miller realmente deben ser los índices de Bravais,

pero comúnmente quizá por falta de costumbre, todavía se les llama índices de Miller.

Como hay 4 ejes, hay 4 letras o números en la notación.

Las formas del Sistema Hexagonal están definidas por las relaciones

de la cruz axial. Los ejes hexagonales ( fig. 6.1) consisten en 4 ejes, 3

de la misma longitud y en el mismo plano, los cuales fueron

propuestos por Bravais. Estos 3 ejes, denominados a1, a2, y a3 tienen

una relación angular de 120 grados (entre los extremos positivos).

En ángulo recto {ángulo normal según las matemáticas) se encuentra

el eje c cuya longitud puede variar.

Es importante a su vez, notar la orientación de los 4 ejes y sus extremos positivo y

negativo. Si se observa verticalmente (desde la parte superior del eje c), los ejes dividen

un círculo en 6 partes del igual y la notación axial se lee (iniciando con un +) como +,-

,+,-,+, -. Los extremos se alternan positivo y negativo. Nombrando los índices de

cualquier cara, con cuatro números (símbolos de Bravais) debe darse. En la notación de

simetría de Hermann - Mauguin, el primer número se refiere al eje principal de simetría

que es coincidente con c en este caso. El segundo y tercero símbolo, si se presentan, se

refieren a los elementos de simetría paralelos y normales a los ejes cristalográficos a1,

a2 y a3, respectivamente.

Basado en cuanto a su simetría, se dice que el Sistema Hexagonal presenta dos divisiones

fundamentales. Existen siete posibles clases, todos los que contienen ejes de simetría

senaria, en la división Hexagonal y cinco posibles clases, todos los que contienen ejes

ternarios, en la división Trigonal. El símbolo general usado para cualquier forma en el

Sistema Hexagonal es {hk -il}. La relación angular de las tres ejes horizontales (a1, el a2,

y a3) muestran que la suma algebraica de los índices h, k, i, es igual a 0.

División Hexagonal

Ahora, se estudiará la primera clase de la división Hexagonal. La Normal o la clase

Dipiramidal dihexagonal tiene un eje de simetría senario que coincide con el eje

cristalográfico c o eje vertical. También tiene 6 ejes binarios horizontales, 3 que

corresponden a los 3 tres ejes cristalográficos horizontales y 3 que bisectan a los ángulos

entre los ejes. La notación de Hermann - Mauguin es 6/m2/m2/m.

Para comprobar lo anterior, es necesario el uso de la figura 6.2a y 6.2b qué muestra los

elementos de simetría de esta clase, asociado con los ejes y planos de simetría.

Elementos de simetría rotacionales Planos de Simetría

Hay 7 formas posibles que pueden presentarse en la clase Dipiramidal Dihexagonal:

Forma Numero de caras Índices de Miller Forma

1. Base o pinacoide basal 2 (0001) abierta

2. Prisma de primer orden 6 (10-10) abierta

3. Prisma de segundo orden 6 (11-20) abierta

4. Prisma dihexagonal 12 (hk-i0) ejemplo: (21-30) abierta

5.Pirámide de primer orden 12 (h0-hl) ejemplo: (10-11), (20-21) cerrada

6. Pirámide de segundo orden 12 (hh2hl) ejemplo: (11-22) cerrada

7. Dipiramidal dihexagonal 24 (hk-il) ejemplo: (21-31) cerrada

Ver las figuras 6.3 hasta 6.8 (abajo) para las formas referidas.

Prisma hexagonal de

primer orden y Pinacoide

c

Prisma hexagonal de

segundo orden y Pinacoide

c

Prisma Dihexagonal

y Pinacoide c

Dipirámide hexagonal de

primer orden

Dipirámide hexagonal de

segundo orden

Dipirámide

dihexagonal

Las dos caras de la base, o el pinacoide basale, es normal al eje c y al

observador, y generalmente se denota por la letra cursiva c. Sus índices del

Miller son (0001) y (000-1).

Los primeros y segundos prismas del orden no pueden distinguirse entre si,

cuando cada uno aparece como un prisma hexagonal regular con un ángulo

interfacial de 60 grados, pero cuando se observa hacia abajo el eje c, como

en la figura 6.9, las relaciones de las dos formas y los ejes a son

rápidamente visualizadas.

Correspondiendo a los 3 tipos de prismas son 3 tipos de pirámides. Se puede

notar que en las figuras 6.6 y 6.7 de la página anterior la forma similar, pero se diferencia en la

relación angular en los ejes horizontales. La dipirámide dihexagonal es una doble pirámide de 12

lados (figura 6.8). La primera pirámide del orden se etiqueta la p. La segunda pirámide del orden se

etiqueta s. La dipirámide del dihexagonal se etiqueta v.

Estas formas aunque parezcan relativamente simples algunos de

ellas se combina en un solo cristal, en este punto, se debe de tener

especial atención. Se pueden tener algunas de las mismas formas,

incluso a ángulos diferentes, así las dos pirámides de primer orden

pueden denominarse las pirámides del orden p y u,

respectivamente.

Vea figura 6.10 de un cristal del berilo que tiene todas estas formas

desplegadas. La molibdenita y la pirrotita también cristalizan en esta clase.

El dipiramidal ditrigonal {hk - il} tiene

un eje senario de rotoinversión que es

escogido como c. Se debe notar que los

ejes -6 son equivalentes a un eje -3 de

rotación normal a un plano de

simetría. Tres ejes de simetría, cortan al

eje vertical y son perpendiculares a las 3

ejes cristalográficos horizontales. Existen

también 3 ejes binarios horizontales en los

planos de simetría verticales, Herman - Mauguin es -6m2.

Esta clase es una forma de doce, seis en la cara superior y seis caras en la parte inferior

del plano de simetría que queda en el a1-a2-a3 plano axial. La figura 6.11a es la

dipirámide ditrigonal que se forma y la figura 6.11b representa un dibujo de benitoita, el

único mineral que se ha descrito en esta clase.

La clase Hemimórfica (Piramide dihexagonal). Esta clase difiere

de las clases discutidas anteriormente en que no tiene ningún

plano horizontal de simetría y ningún eje horizontal de simetría.

No presenta centro de simetría. Por consiguiente, la notación de

Hermann - Mauguin es 6mm. La geometría de los prismas presenta

el mismo comportamiento. El plano basal es un pedión (recuerde

que un pedión difiere de un pinacoide en que es una sola cara) y las

pirámides positivas y negativas de los 3 tipos. La diferencia puede notarse rápidamente en

un dibujo de la forma de esta clase ( fig. 6.12) cuando se comparó con la figura 6.8 (dos

páginas atrás).

Algunos minerales como zincita, wurtzita, y greenockita que son de esta clase (figs. 6.13a, b, & c).

En la clase Trapezoedral Hexagonal, los ejes de simetría

están igual que la clase normal (la clase dipirámidal

dihexagonal que se discute inicialmente en esta sección),

pero los planos de simetría y el centro de simetría no están

presentes. La notación de Hermann - Mauguin es 622. Dos

formas enantiomórficas (la imagen espejo) están presentes, cada uno presenta 12 caras

trapezoidales (figura 6.14).

Otras formas, incluso los pinacoides, prismas hexagonales, dipiramides, y

prismas dihexagonales, pueden estar presentes. Se conocen sólo 2 minerales que

representan a esta clase cristalina: cuarzo beta y kalsilita.

La clase Dipiramidal Hexagonal (figura 6.15) tienen sólo un eje

vertical senario de rotación y un plano de simetría perpendicular a el.

La notación de Hermann - Mauguin es 6/m. Cuando esta forma se

presenta sola, parece poseer la simetría más alta. Sin embargo, en la

combinación con otras formas revela su baja simetría.

Las formas generales de esta clase son los dipirámides hexagonales

positivas y negativas. Estas formas poseen 12 caras, 6 superiores y 6

inferiores, y corresponden en posición a la mitad de las caras de una

dipirámide dihexagonal.

Otras formas presentes puede incluir pinacoides y prismas. Los minerales principales que tienden

a cristalizar en esta clase son los del grupo del apatito.

La Dipirámide trigonal posee un eje senario de roto-inversión , la notación de

Hermann - Mauguin de -6. Esto es equivalente de tener un eje 3 y un plano de

simetría normal a él (3/m). Ver figura 6.16. Matemáticamente, esta clase puede

existir, pero hasta la fecha no, se conoce ningún mineral que cristalize en esta

clase.

En la clase de la Pirámide hexagonal, el eje vertical es un eje 6. Ninguna otra simetría

está presente en este sistema. La figura 6.17 es la pirámide hexagonal. Las formas de esta

clase son similares a aquéllas de la Dipirámide Hexagonal (anteriormente discutidas),

pero porque no se presenta ningún plano de simetría horizontal? a diferencia de esto,

están presentes en la parte superior e inferior del cristal. La pirámide hexagonal tiene

cuatro ejes senarios presentes y sus formas son :superior positivo, superior negativo,

inferior positivo, inferior negativo.

Pediones, pirámides hexagonales y prismas pueden estar presentes. Sólo raramente se presentan

plenamente desarrolladas. La nefelina es la representante más común de esta clase.

División Trigonal

Hasta ahora se ha trabajado a través de las primeras 7 clases en el Sistema Hexagonal, todos que

tienen algún grado de simetría senaria (6). Ahora, toca mirar la División Trigonal del Sistema

Hexagonal. Aquí, se observa que la simetría ternaría (3) gobierna en esta división. Hay que recordar

que los prismas son formas abiertas. En la división trigonal hay dos juegos distintos de prismas que

están involucrados. El primero se llama el prisma trigonal y consiste en caras de igual tamaño, las

cuales son paralelas al eje cristalográfico c y forma un prisma de 3 lados iguales. Se puede pensar en

la División Trigonal como la mitad de las caras del el prisma hexagonal de primer orden.

De hecho, la luz normal refractada 60 grados en un prisma de

vidrio, se ha usado en muchos talleres de laboratorio de física,

de esta manera esta limitada en el extremo por el pinacoide c.

Allí existe un prisma de segundo orden y que da la apariencia

general del de primer orden, pero cuando otras formas trigonales están presentes en la terminación

de otra manera que el pinacoide c, los dos prismas pueden distinguirse rápidamente, uno del otro.

El prisma de segundo orden se gira 60 grados sobre el eje de c cuando se compara con el prisma de

primer orden.

El segundo prisma es el ditrigonal, y es una forma abierta. Esta

forma consiste en 6 caras verticales arregladas en conjuntos de 2

caras.

Por consiguiente los bordes alternos son de diferente carácter; sobre

todo es notable cuando se observa hacia abajo el eje c.

Los diferentes ángulos entre los 3 conjuntos de caras, distinguen esta

cara del prisma hexagonal de primer orden.

Las estriaciones en la parte izquierda de la figura son típicos para los

cristales trigonales naturales, como la turmalina. En el dibujo, en el eje c están los

pinacoides y en m las caras del prisma.

Se cree que estas formas son bastantes simples y no es necesario algún dibujo para explicarlos, pero

si se busca en la figura 6.23 (abajo) las formas de la turmalina. Ellos se dan la anotación del prisma

normal de m y a.

La clase escalenoedrica hexagonal. Lo primero en

considerar en esas formas es la simetría - 3 2/m en

la notación de Hermann - Mauguin. Hay dos formas

principales en esta clase: el romboedro y el escalenoedro hexagonal.

En esta clase, los ejes de rotoinversión -3 son coincidentes con el eje vertical (c) y los tres

ejes binarios 2 corresponden a las tres ejes horizontales ( a1, a2,y a3).

La forma general {hk- il} del escalenoedro hexagonal (figura 6.19), la diferencia

primaria en el romboedro es una forma romboedral , es decir, hay 3 caras romboedrales

anteriores y 3 caras debajo del centro del cristal.

En un escalenoedro, cada una de las caras del romboedro se convierten en 2

triángulos escalenos dividiendo el romboedro de las esquinas por una línea. Sin

embargo, se encuentran 6 caras en la parte superior y 6 en la parte inferior. El

escalenoedro que es una forma de 12 caras. Estas formas se ilustran en la figura

6.20.

Con esta forma, usted puede tener ambos, positivo {h0 - hl} y negativo {0h - hl} las

formas para el romboedro...

y formas positiva {hk-il} y negativa

{kh-il} para el escalenoedro.

Las figuras complicadas, el romboedro

y escalenoedro, como formas, a

menudo se combinan con las formas

presentes, en las clases de simetría

hexagonales más complicadas. Así, se

pueden encontrarlas en combinación

con los prismas hexagonales,

dipirámides hexagonales, y formas del pinacoides.

La calcita es la más común, bien cristalizada, y mineral coleccionable en estas formas.

Ver la figura 6.21 algunas formas de la cristalización de calcita. Varios minerales, como

la chabazita y el corindón, normalmente muestran las combinaciones de la forma.

En los últimos 3 dibujos en la figura 6.21, hay que nombrar las caras presentes.

Ya se han nombrado las primeras 5 figuras.

La próxima clase de cristal a considerar es la Pirámide Ditrigonal. El eje vertical es un

eje ternario de rotación(3) y tres planos de simetría que cortan este eje. La notación

Hermann - Mauguin es 3m, 3 que se refieren al eje vertical y m que se refiere a los tres

planos normales a los tres ejes horizontales (el a1,a2,a3). Estos 3 planos de simetría

cortan al eje vertical 3.

La forma general {hk-il} es una Pirámide Ditrigonal. Hay 4

formas posibles de pirámides ditrigonales cuyos índices son {hk-

il}, {kh-il}, {hk-i-l}, y {kh-i-l}.

Las formas son similares a la forma escalenoedrica hexagonal pero

tienen solo la mitad de las caras, observándose la ausencia de ejes

binarios de rotación. Como los cristales, tienen formas diferentes en

la parte superior en su parte superior así como en su base. La figura

6.22 muestra la pirámide ditrigonal.

La figura 6.23 muestra 2 cristales de turmalina el mineral

más común que se cristaliza en esta clase la cual

despliega simetría de 3m.

Esta forma puede combinarse con pediones, Prismas

hexagonal y Piramides, Pirámides trigonales, Prismas

trigonales prismas, y Prismas ditrigonal algunas veces formas interesantes y complicadas.

Se ha llegado al trapezoedro trigonal. Las 4 direcciones

axiales están ocupadas por los ejes de rotación. El eje vertical

es un eje ternario (3) y los 3 planos horizontales tienen la

simetría de un eje binario(2).

Esto es similar a la clase -32/m (escalenoedro hexagonal), pero

los planos de simetría están ausentes. Hay 4

trapezoedros trigonales, cada uno compuestos de 6 caras

trapezoidales. Sus índices de Miller son: {hk - il}, {i-k - hl}, {

kh - il}, y {- ki - hl}. Estas formas corresponden a 2 pares

enantiomórficos, cada uno con una forma derecha y una forma izquierda (un par ilustra la

figura 6.24).

Otras

formas

que

pueden

estar

presentes

incluyen

pinacoide

s,

prismas t

rigonales,

prismas hexagonales, prismas ditrigonales, y romboedros.

El cuarzo es el mineral más común que cristaliza en esta clase, pero raramente la cara trapezohedral

se forma. Cuando, es una cuestión simple para determinar si el cristal es de forma derecha o

izquierda (figura 6.25).

El cinabrio también cristaliza en esta clase.

La clase Romboedrica tiene un eje ternario(-3) de rotoinversion que es

equivalente a un eje ternario(3) y un centro de simetría. La forma general es

{hk - il} y la notación Hermann - Mauguin es -3.

Esta forma es engañosa porque a menos que en otras formas estén presentes, su

verdadera simetría no estará clara. El pinacoide {0001} y los prismas

hexagonales pueden estar presentes.

Dolomita e ilmenita son la mayoría de los minerales comúnes que cristalizan

en esta clase. Ver la figura 6.26.

Ahora, se ha alcanzado a la clase final en el sistema Hexagonal. La Pirámide

trigonal tiene uno eje un eje ternario de rotación(3). Ver figura 6.27. Hay, sin embargo, 8

pirámides trigonales cuya forma general es {hk - il, cuatro arriba y cuatro abajo. Cada

uno de éstos corresponde a 3 caras de la Dipirámide Dihexagonal (ya se discutió

anteriormente). Además de esto, es posible que puede haber pirámides trigonales en la

parte superior, independientes, de las pirámides abajo de. Sólo cuando Pirámides

trigonales están en combinación entre si es cuando la combinación revela la verdadera

simetría.

Aparece sólo un mineral, una especie rara llamada gratonita, que pertenece a esta clase no

se ha estudiado suficientemente por los cristalógrafos.

Todos los cristales en el sistema Hexagonal se orientan

por el extremo negativo del eje a3 (ver la figura 6.1 de

nuevo) se considera que es 0 grados para propósitos de

ploteo Esto es importante cuando se mira la

distribución de las formas del romboedro y

determinan si ellos son positivos o negativos.

Se sugiere que se lea la página 88 del Manual de

Mineralogía de J. D. Dana por Klein y Hurlbut (edición 20) si se desea todo a detalle.

¡ESTUPENDO! hemos visto al Sistema hexagonal. Yo espero que usted también no sea

insensible a cualquier discusión. En ese caso, prepárese a ponerse menos simétrico,

incluso cuando comenzamos a trabajar con el sistema monoclínico.

Introducción a la Cristalografía y Sistemas Cristalinos

Por Mike y Darcy Howard

(Traducción al Español hecha por :Juan José Palafox Reyes; Universidad de Sonora,

México)

Parte 7: Sistema Monoclínico

Después de haber visto el sistema hexagonal en el artículo 6, se puede reasumir la tarea

de conocer la simetría de otro de los sistemas de 3 ejes. Considérese la cruz axial, (ejes a,

b, y c), cada uno de longitud desigual, del sistema monoclínico (fig. 7.1). En todo lo

anterior, los sistemas de 3 ejes, se considera lo que pasa cuando se varia uno o más de

las longitudes axiales, teniendo los ángulos axiales a 90°. Pero en el

sistema monoclínico, se observa lo que pasa cuando se tiene 3 ejes de longitud

desiguales y se cambia el ángulo de 90°de dos de sus ejes. ¡Obviamente, se debe de

perder un poco de simetría de nuevo!

Los ejes se designan como sigue: el eje inclinado es a y

se dirige al espectador, el eje vertical es c, y el eje

restante que es perpendicular al plano que contiene al eje

a y c es b. Cuando se orienta, el eje inclinado hacia el

observador, b está horizontal y c es vertical. los ejes b y c

están en un mismo plano.

En la Figura 7.1, el ángulo entre c y b sigue siendo de

90° y el ángulo (^) entre c y a es el que se cambiará. Se

le Llamará β y se representa por la letra griega en la

figura axial. Para la mayoría de los cristales del sistema monoclínico, el (^) de beta es

mayor , pero en algunos casos raros, el ángulo puede ser de 90°. Cuando esto ocurre, la

simetría del monoclínico no visualiza claramente la morfología. Los ejes de rotación

binarios (en dirección perpendicular al plano de simetría) normalmente se toman como el

eje b. Un eje esta inclinado hacia el frente en la mencionada figura. Los cálculos de

parámetros axiales en los sistemas cristalinos ortogonales (donde todos los ejes son

perpendiculares al observador) es relativamente fácil, pero es bastante tedioso en los

sistemas con uno o más ejes inclinados. Se sugiere un texto de mineralogía avanzado, no

introductorio, si usted esta interesado en ir mas lejos. Incluso en textos de mineralogía

normales, en estos días se dan las fórmulas para hacer estos cálculos. Aparte de las

constantes axiales necesarias para describir minerales en el sistema monoclínico, el

(^) beta también debe darse. Dada esta situación, y si se desearía buscar esta información

para la ortoclasa en un libro de texto de mineralogía normal, como el Manual de

Hurlbuts y Klein de Mineralogía según E. S. Dana. Se encontrará que para el a:b:c de la

ortoclasa es = 0.663:1: 0.559. ^beta = 115 grados, 50 minutos.

El clivaje es importante a considerar en este sistema. Si hay un buen clivaje

pinacoidal, paralelo al eje b (como en la ortoclasa), entonces se llama clivaje basal.

Normalmente se considera que ellos son clivajes prismáticas verticales en los piroxenos

del monoclínico y anfíboles dónde hay 2 direcciones de clivajes equivalentes.

Hay solo 3 clases de simetría a considerar en el Sistema

Monoclínico: 2/m, m, y 2.

En la clase de simetría 2/m, sin embargo, hay 2 tipos de

formas, pinacoides y prismas. Recuérdese que una forma del

pinacoide consiste en 2 caras paralelas (la forma abierta).

El pinacoide a también se llama frontal (se llamaba el

ortopinacoide), el b se llama el pinacoide lateral (se llamaba el

clinopinacoide), y el c es el denominado pinacoide basal.

Hay 2 pinacoides adicionales con las anotaciones de la forma

generales de {h0l} y {-h0l}. La presencia de uno de estas

formas no hace necesario la presencia del otro.

Estos 3 pinacoides juntos forman el prisma diametral (el fig.

7.2) que es el análogo del cubo en el sistema isométrico, de

hecho la nueva denominación de los libros de texto, confunde;

los pinacoides forman un paraleloedro. Así que tenemos 3 nombres en la literatura para la

misma cosa.

Primero obsérvese un dibujo para

mostrarlo donde se ubica el plano de

simetría y la orientación de los ejes

binarios (2) (fig. 7.3). Como se

describió anteriormente, el eje de b es

uno los 3 ejes de rotación.

Los prismas con 4 cuatro caras tienen la forma general {hkl). Un

prisma monoclínico se muestra en la Figura 7.4. La forma

general puede ocurrir como dos prismas independientes {hkl} y {-

hkl}. Hay también {0kl} y {hk0} los prismas. El {0kl} el prisma

corta el b y c el es paralelo al eje a.

Aquí es la parte divertida. La única forma en la clase 2/m que es

fijo haciendo coincidir el eje binario de rotación con el eje b es el

pinacoide b {010}. ¡el otro eje binario pueden escogerse como c

o a !

Como un ejemplo, el pinacoide {100}, el pinacoide{001}, y el

pinacoide {h0l} se pueden posicionar a los pinacoides hacia el observador ¡girando su

orientación sobre el eje b! El corolario a esta situación, los prismas pueden

intercambiarse de la misma manera. Se necesita mirar algunas ilustraciones de algunos

minerales monoclínicos relativamente comunes. En estos dibujos usted debe reconocer la

notación de la letra dónde a, b, y c son las formas del pinacoide ; m es el prisma de la

unidad y z es un prisma; las pirámides son o, u, v, y s ; los ortodomos son p, x, y y ; y n

es un clinodomo.

En las figuras 7.5a, b, y c son las formas comunes para la ortoclasa y 7.5d son una forma

común para selenita (el yeso). Muchos minerales comunes cristalizan en esta clase de

simetría, incluso la azurita, clinopiroxenos y grupos de los clinoanfiboles, datolita,

epidota, yeso, malaquita, ortoclasa, rejalgar, titanita, espodumeno, y talco.

La segunda clase de simetría del sistema monoclínico es m y

representa un solo del plano vertical (010) eso incluye los c y un

eje cristalográfico. Un domo es la forma general {hkl} en esta clase

(fig. 7.6) y es una figura de 2 caras que es simétrico por un plano de

simetría. Hay 2 posibles orientaciones del domo, {hkl} y {- hkl). La

forma {010} es un pinacoide, pero todas las caras en el otro lado

del plano son pediones. Éstos incluyen {100}, {- 100}, {00-1), y {

h0l}. Sólo 2 minerales raros, la hilgardita y clinohedrita, cristalizan

en esta clase.

La tercera clase de simetría del sistema monoclínico es 2 y

representa un eje binario(2) de rotación que coincide con el eje

cristalográfico b. La figura 7.7 representa a la forma general {hkl}

es un esfenoide o diedro. Puesto que no se tiene ningún plano de

simetría que coincida con los ejes a-c y con el eje b que es polar, en

la clase de simetría binaria, se tienen diferentes formas presentes en

las partes opuestas de b. El pinacoide {010} de 2/m se vuelven 2

pediones, {0l0} y {0-10}. Igualmente, el esfenoide {0kl}, {hk0} y

{hkl} los prismas de 2/m cambian en pares de mano derecha e

izquierda (enantiomórfico).

La forma general, el esfenoide, es enantiomórfico y tiene los índices de Miller {hkl} and

{h-kl}. Los minerales representativos son escasos en esta clase, pero incluye el grupo

de halotrictita junto con el mineral pickeringita como el miembro que más ocurre. Para

comparaciones obsérvese los cuadros 7.6 y 7.7.

Bien, sólo un sistema cristalino queda a discutir. Prepárese a entrar en esa tierra de

variabilidad dónde se evade de la realidad, la de los ángulos rectos y los ejes de

igual longitud. La tierra dónde la simetría es la más baja posible y las opciones están

extensamente abiertas. ¿el lector está listo para el Sistema Triclínico?

Introducción a la Cristalografía y Sistemas Cristalinos

Por Mike y Darcy Howard

(Traducción al Español hecha por :Juan José Palafox Reyes; Universidad de Sonora,

México)

Parte 8: Sistema Triclínico

El lector debe estar contento de leer el artículo del sistema anterior! . En el examen total

de los sistemas de 3 ejes, éste es relativamente corto y poco difícil de entender debido a la

carencia de la simetría.

Obsérvese, como con el resto de sistemas, mirando la cruz

axial del sistema triclínico (fig. 8,1). En esta figura, se

observa que los 3 ejes (a, b, y c) todos son desiguales en

longitud y que no hay ángulos axiales de 90°. En el sistema

monoclínico, por lo menos se tenían a y b

perpendicularmente, pero aquí se ha perdido incluso eso!

Obsérvese que el ángulo β todavía está entre los ejes a y c, pero ahora se tienen los 2

ángulos adicionales a definir, ni uno ni otro son iguales a 90 grados. Un ángulo se

llama α y se define como el ángulo entre los ejes c y b y el segundo es γ que ahora se

define como el ángulo entre a y b, existen algunas convenciones o reglas validadas a

seguir para orientar un cristal triclínico.

Recuérdese, en la orientación de cualquier cristal, se está determinando la posición de los

3 cristalográficos. Así pues, las reglas son: 1) la zona más pronunciada debe ser vertical y

por lo tanto el eje en esta zona se convierte en c; 2) { los 001}forma (pinacoide básico)

deben inclinarse adelante y a la derecha; y 3) las dos formas selectas en la zona vertical,

una será {100 } y la otra será { 010 }. Ahora, la dirección de un eje es determinada por la

intersección de { 101 } y { 001 } y la dirección del eje de b es determinada por la

intersección de { 100 } y { 001 }. Una vez que se haga esto, un eje debe ser más corto

que el eje b de modo que se cumpla la convención c < a < b. las distancias axiales y los 3

ángulos, alfa, beta, y gama, se puede calcular solamente con dificultad considerable.

Como en el sistema monoclínico, la longitud del eje b se define como unidad (1). La

información de la cristalografía referente a un mineral triclínico incluirá lo siguiente (un

ejemplo): a:b:c = 0.972: 1 : 0.778; alfa = 102 grados 41 minutos, beta = 98 grados 09

minutos, gama = 88 grados 08 minutos.

En el sistema triclínico, se tienen dos clases de

la simetría. El primer a considerar es el -1

(notación de Hermann-Mauguin). En esta clase,

hay un eje -1 de la simetría, el equivalente de

un centro de la simetría o de inversión. El

cuadro 8,2 muestra un pinacoide triclínico (o

el paraleloedro). Esta clase se llama la clase

pinacoidal después de que su forma general {

hkl }.Todas las formas pinacoides presentes y

por lo tanto consiste en caras paralelas e

idénticas.

Cuando se orienta un cristal triclínico, los

índices de Miller del pinacoide determinan su

posición. Hay 3 pinacoides. Recuérdese que

los pinacoides para intersecar un eje y ser paralelos a los otros 2 (en sistemas de 3 ejes).

Se comienza a mirando la simetría -1. Éste es el eje de la rotoinversión, que se puede ver

igual que un centro de simetría. El cuadro 8,3 muestra un pinacoide triclínico, también

llamado un paraleloedro. Esta clase se le denomina clase pinacoidal, debido a su forma

{hkl }. Con la simetría -1, todas las formas son pinacoides así que consisten en 2 caras

paralelas idénticas. Una vez que se orienta un cristal triclínico, los índices de Miller del

pinacoide establecen su posición.

Figure 8.3 pinacoides triclínicos, o paraleloedro

Hay 3 tipos generales de pinacoides: los que intersecan solamente un eje cristalográfico,

los que intersecan 2 ejes, y los que intersecan a los 3 ejes. El primer tipo de pinacoides {

100 }, { 010 }, y { 001 }. { 100 } es el pinacoide delantero e intersecta al eje a, { 010 } es

el pinacoide de la cara b e intersecta al eje b, y { 001 } es la cara c o el pinacoide básico

que intersecta al eje c. Todas estas formas están determinados por la convención basada

en la parte positiva del eje.

El segundo tipo de pinacoide se llama { 0kl }, { h0l }, y los pinacoides { hk0 },

respectivamente. El pinacoide { 0kl } es paralelo a un eje y por lo tanto interseca los ejes

b y c. Puede ser positivo { 0kl } o el negativo { 0-kl }. El pinacoide { h0l } es paralelo al

eje b e intersecta los ejes a y c. Puede ser positivo { h0l } o negativo { - h0l }.

Finalmente, pinacoide{ hk0 } es paralelo al eje c e intersecta los ejes a y b. Puede ser

positivo { hk0 } o negativo { h-k0 }. El tercer tipo de pinacoide es { hkl }. Existen el

derecho positivo { hkl }, izquierdo positivo { hkl }, el derecho negativo { - hkl }, y la

izquierdo negativo { - h-kl }. cada uno de estas formas de 2 caras y puede existir

independientemente de las otras. El cuadro 8,3 muestra algunas de las formas

pinacoidales en esta clase. Un buen número de minerales cristalizan en la clase -1

incluyendo pectolita, microclina, y wollastonita y las plagioclasas. La segunda clase de

simetría del sistema triclínico es el 1, que es equivalente a ninguna simetría! Es una sola

cara llamada un pedión y la clase se llama clase pedial { hkl }. Porque la forma consiste

en una sola cara, cada pedión o monoedro hace una reflejo de sí mismo. Es raro el

mineral que cristaliza en esta clase, la axinita es un ejemplo. Ahora que se ha terminado

la discusión de los sistemas cristalinos y de sus lazos geométricos y de la simetría.

Apenas puedo creerlo! Si el se siente con ganas de seguir con el tema de la simetría más

lejos, váyase al artículo 9 para leer las observaciones sumarias, algunas referencias y

artículos adicionales sugeridos.

Parte 9: Conclusiones, resumen y lecturas recomendadas

Índice de Cristalografía y Sistemas Cristalinos

Tabla de Contenidos