Introdução à Integrais – Antiderivação Aula 01 – Matemática II – Agronomia Prof....
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Introdução à Integrais – Antiderivação
Aula 01 – Matemática II – AgronomiaProf. Danilene Donin Berticelli
Como podemos usar a inflação para prever preços futuros?
Como usar o conhecimento de taxa de crescimento de uma população para
estimar o número futuro de habitantes?
Qual será a velocidade de um corpo que se move em linha reta com
aceleração conhecida?
Em todas as situações descritas anteriormente, a derivada (taxa de variação) de uma grandeza é conhecida e estamos interessados em determinar o valor da
própria grandeza.
Esse processo é chamado antiderivação.
A Família de AntiderivadaSe a derivada de for , dizemos que é uma antiderivada de Por exemplo:
𝑥 ² Derivada: é uma
antiderivada de
𝑥2+1𝑥 ²+2𝑥2+3 Derivada:
Observe que tem várias antiderivadas:
Se C for uma constante, temos:
Portanto, qualquer função sob a forma é uma antiderivada de . A função tem uma família de antiderivadas.
A visualização gráfica das antiderivadas
-3 -2 -1 0 1 2 3 40
2
4
6
8
10
12
14
x²x²+1x²+2x²+3
A Integral IndefinidaSe é uma antiderivada da função contínua , todas as antiderivadas de têm a forma , onde é uma constante.
Representamos a família de todas as antiderivadas de usando a simbologia:
Que é chamado de Integral Indefinida de . A integral é indefinida porque envolve uma constante C que pode assumir qualquer valor.
Símbolo de Integral Variável de Integração
Integrando Constante de integração
Integral Indefinida
∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥=𝐹 (𝑥 )+𝐶 ∫𝐹 ′(𝑥 )𝑑𝑥=𝐹 (𝑥 )+𝐶 ∫ 𝑑𝐹𝑑𝑥 𝑑𝑥=𝐹 (𝑥 )+𝐶
Regra da Constante: para C constante.
Regra da Potência: para qualquer
Regra do Logaritmo: para qualquer
Regra da Exponencial: para qualquer k constante
Regras para Integrar Funções Comuns
para n = -1
Exemplos: Determinar as seguintes integrais:
Exercícios: Calcule as seguintes integrais:
A.
Problemas Práticos1. Determinar a função f(x) cuja tangente tem uma inclinação de 6x²+1 para qualquer valor de x
e cuja curva passa pelo ponto (1, 4).
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
Problemas práticos de valor inicial
Equação diferencial é qualquer equação que envolve uma ou mais derivadas. As equações diferenciais são muito usadas em modelagem e aparecem em uma grande variedade de aplicações práticas do cálculo.
Problema de valor inicial é um problema que envolve a solução de uma equação diferencial sujeita a uma condição inicial específica. como o exemplo anterior.
Outros exemplos 2. Um fabricante constatou que o custo marginal é de 3q² - 60 q + 400 reais por unidade, onde q é o número de unidades produzidas. O custo total para produzir as primeiras duas unidades é de R$ 900,00. Qual é o custo total para produzir as primeiras cinco unidades?
Custo marginal representa o acréscimo de custo total que ocorre quando se aumenta a quantidade de bens produzida em uma unidade (ou a redução de custo total após a redução a uma
unidade na quantidade produzida).
3. A população P(t) de uma colônia de bactérias t horas depois de iniciada uma observação está variando a uma taxa dada por
Se a população era de 200.000 bactérias quando a observação começou, qual será a população após 12 horas mais tarde?
4. Um varejista recebe um suprimento de 10.000 quilogramas de arroz que serão vendidos durante um período de 5 meses à taxa constante de 2.000 quilogramas por mês. Se o custo de armazenamento é de 1 centavo por quilograma por mês, qual será o custo total do armazenamento durante os próximos 5 meses?
5. Depois que os freios são acionados, um carro perde velocidade à taxa constante de 6 metros por segundo por segundo. Se o carro está a 65 quilômetros por hora quando o motorista pisa no freio, que distância o carro percorre até parar?