INTRODUÇÃO A ALGORITMOS NUMÉRICOS Prof. Renata S.S. Guizzardi 2010/02.
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INTRODUÇÃO A ALGORITMOS NUMÉRICOSProf. Renata S.S. Guizzardi
2010/02
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O QUE SÃO ALGORITMOS NUMÉRICOS? São programas de computador capazes de
solucionar problemas matemáticos, fornecendo resultado numérico aproximado.
Apesar de aproximada, a solução pode ser obtida em um grau crescente de exatidão.
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1) Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema.
Ex.: solução de sistemas de equações lineares.
3
POR QUE UTILIZAR? (1/2)
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2) O problema não tem solução analítica.
Exemplos:
a) não representável por funções elementares;
b) não pode ser resolvido analiticamente;
4
dxex2
22 tyy
POR QUE UTILIZAR? (2/2)
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FUNÇÃO DE ALGORITMOS NUMÉRICOS NA ENGENHARIA
Solucionar problemas técnicos através
de métodos numéricos, usando um
modelo matemático
5
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Calcular tensões dos nós do circuito elétrico (pag. 117):
No nó 1, pela lei de Kirchhoff:
EXEMPLO DE APLICAÇÃO (1/2)
1
2
3
4
0432216
02
14
2
13
1
12
1
10
VVVV
VVVVVVV
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EXEMPLO DE APLICAÇÃO (2/2)
O problema é resolvido a partir de um sistema linear de quatro equações e quatro variáveis V1, V2, V3 e V4.
0
254
0
0
4
3
2
1
3201
61323
0143
1126
V
V
V
V
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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Problema Real
Levantar Dados
Construir Modelo
Matemático
Escolher Método
Numérico
Implementar Método
Computacionalmente
Solução Numérica
AnalisarResultados
EventualmenteRever
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NO EXEMPLO ANTERIOR Problema real: determinar tensões nos nós dos
circuitos. Levantamento de dados: valores das resistências e
tensões nos pontos A e B. Construir modelo matemático: montar equações e
criar as matrizes a partir delas. Escolher método numérico: Decomposição LU,
Decomposição de Cholesky, Fatoração LDLT, Método de Jacobi etc.
Implementar Método Computacionalmente: criar e processar programa.
Analisar resultados e verificar se o modelo matemático ou o método numérico precisam ser alterados.
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TIPOS DE ERROS (1/6)
Erro na Modelagem Devido à expressão matemática que não reflete
perfeitamente o fenômeno físico ou aos dados terem sido obtidos com pouca exatidão.
Erro Grosseiro Devido a erro na elaboração ou implementação
do algoritmo ou a erro de digitação.
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TIPOS DE ERROS (2/6) - TRUNCAMENTO
Erro de Truncamento: Devido à aproximação de uma fórmula.
expansão da função exponencial
em séries de potência
Exercício: Calcular o valor de e1 por meio de uma série truncada de segunda ordem. Verificar o erro sabendo-se que o valor com 4 algarismos significativos é 2,718.
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TIPOS DE ERROS (3/6) - ARREDONDAMENTO
Erro de Arredondamento: Devido à forma de representação de números no
computador. Conversão de base (decimal→binário)
Problema com o número de bits que são usados para representar os números (números fracionários).
Nem sempre um número decimal exato tem representação exata em binário. Ex. 0,110 → 0,0001001100110012 = 0,09999084410 (erro de 0,000009155 ≈ 9.10-6).
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TIPOS DE ERROS (4/6) - ARREDONDAMENTO
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
Números em ponto flutuante (reais) são representados no formato normalizado: 5 = 0.5 x 101
0,007 = 0.7 x 10-2
35,42 = 0.3542 x 102
Representação no computador
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TIPOS DE ERROS (5/6) - ARREDONDAMENTO
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
Suponha uma mantissa de tamanho 2: Represente 35,42 Some 4,32 e 0,064 Subtraia 372 e 371
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TIPOS DE ERROS (4/6) - ARREDONDAMENTO
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
Formato IEEE de ponto flutuante
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DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (1/3)
Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)
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Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento
Limitação na representação numérica (24 bits)
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Exemplo 2: Explosão de foguetes(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)
17
Erro de trajetória 36,7 sapós o lançamento
Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits)
Prejuízo: U$ 7,5 bilhões
DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (2/3)
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DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (3/3)
Exemplo 3: Afundamento de Plataforma Marítima
(23/08/1991 – Mar do Norte/Noruega – Plataforma Sleipner)
Rompimento de uma das Células que compunham a
parede
Parcialmente causada por erro de análise no elemento finito
Prejuízo: U$ 700 milhões
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ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO
Duas formas de medir o erro.
Erro Absoluto = valor real – valor aproximado.
Erro Relativo = valor real – valor aproximado valor real
Exercício: calcular erro absoluto e relativo para os exercícios anteriores.
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OUTROS CONCEITOS IMPORTANTES Complexidade computacional
Medida do esforço computacional despendido para resolver o problema.
Medido pelo número necessário de operações aritméticas e lógicas.
Convergência Propriedade de gerar solução exata. Ordem de Convergência: rapidez com que a
sequência gerada por dado método converge para a solução exata.
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DETALHES DA DISCIPLINA
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EMENTA
1. Introdução2. Sistemas Lineares3. Interpolação Polinomial4. Ajuste de Curvas5. Equações Diferenciais Ordinárias6. Integração Numérica7. Raízes de Equações
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LIVRO TEXTO
Frederico Ferreira CamposFilho. Algoritmos
Numéricos, 2 ed., Rio de Janeiro: LTC.2007. 428 p.
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AVALIAÇÃO
Duas provas parciais 1ª prova: 4 primeiros itens da ementa 2ª prova: 3 últimos itens da ementa
Um trabalho computacional Entrega: terceira semana de novembro
Duas listas de exercício Entrega: uma aula antes das provas.
Cálculo da Média: (0,7 x Médias das provas) + (0,25 x Trabalho
Computacional) + (0,05 x Entrega das listas de exercício completas)
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HORÁRIO DE ATENDIMENTO
Horário de Atendimento 4ªs – 16:00 às 18:00
PÁGINA DO CURSO
http://www.inf.ufes.br/~rguizzardi/an/mecanica20102.html