INTRODUÇÃO

A física e a engenharia baseiam-se fundamentalmente em relações

entre quantidades mensuráveis, contudo qualquer medida ou valor

experimental tem pouco significado, a não ser que tenha uma estimativa do seu

erro ou incerteza e o valor por nós medido reflita a precisão com que foi medido

[FIALHO, 2006].

Mesmo com equipamentos de maior precisão e em condições ambientes

bem controladas, os erros de medição são inevitáveis e esses podem ocorrer

devido a erro de paralaxe, que consiste em um aparente deslocamento de um

objeto observado causado por uma mudança no posicionamento do

observador, aos erros do instrumento, etc.

A maioria das situações que envolvem medidas podem ser divididas em

duas famílias:

a) Medida direta – medida tomada com um tipo específico de instrumento,

como paquímetro, micrômetro, etc.

b) Medidas indiretas – o valor da grandeza é determinado a partir da

medição direta de outras grandezas.

Na maioria dos experimentos, a medição de uma grandeza R de

interesse é feita de maneira indireta, sendo esta grandeza obtida a partir de

medidas de n grandezas primárias {a1, a2, a3 ... an}. O cálculo de R é feito a

partir de uma função conhecida das grandezas primárias. Estas grandezas são

também denominadas grandezas de entrada, enquanto a grandeza R é

denominada grandeza de saída. Em linguagem formal escrevemos:

R=f (a1 , a2 ,a3 ...an)

(1)

Utilizando aproximações e um grande número de medidas (amostras),

podemos admitir o valor médio como o valor verdadeiro. Da mesma forma, a

incerteza padrão pode ser considerada como o desvio padrão verdadeiro.

Fazendo um desenvolvimento matemático apropriado segundo o método de

Kleine e McClintock, temos uma expressão para calcular a propagação de erro

da grandeza de saída, como mostra a Equação 2 [TOGINHO FILHO E

ANDRELLO, 2009]:

σ R=√( ∂Ra1 ×σ a1)2

+( ∂Ra2 ×σ a2)2

+( ∂Ra3 ×σ a3)2

+… ( ∂Ran ×σ an)2

(2)

Este trabalho tem como objetivo avaliar a propagação de erro pelo

método de Kleine e McClintock na determinação experimental da 1° frequência

natural de uma estrutura tipo viga na condição engastada-livre pelo método de

flexão e comparar este resultado com a 1° frequência teórica segundo a teoria

de Euler – Bernoulli.

Observa-se que a análise de vigas é bastante comum em problemas de

engenharia, tornando-se fundamental o estudo de sua formulação. Para uma

relação muito pequena, entre a altura (h) da seção transversal de uma viga e

seu comprimento (L), define-se a viga de Euler. Esta se caracteriza por

considerar apenas os efeitos de flexão devido à tensão normal.

MATERIAIS

Para o desenvolvimento deste trabalho foram utilizados os materiais

discriminados abaixo:

Relógio comparador;

Régua;

Balança;

Paquímetro;

Micrômetro;

Viga em alumínio;

Massa conhecida para produzir força na exterminada da viga.

MÉTODOS

Na primeira etapa do trabalho, foram realizadas cinco medições da

altura (utilizando o micrômetro) e da largura (utilizando o paquímetro) da viga

de alumínio, em distâncias diferentes ao longo do seu comprimento. O

comprimento foi determinado uma única vez, com o uso da régua, assim como

a massa da viga, utilizando a balança digital.

Na segunda etapa, a viga foi engastada, permanecendo com apenas

uma extremidade livre. Com o uso da régua foi medido o comprimento útil, ou

seja, o comprimento que sofre o efeito de deflexão devido ao peso provocado

por uma massa conhecida imposta na extremidade livre. Essa massa da força

foi determinada utilizando a balança digital. A deflexão foi medida cinco vezes

com o uso do relógio comparador.

Foi realizado o cálculo da média (Equação 3) e do desvio padrão

(Equação 4), das amostras medidas, e comparado o resultado com a resolução

do instrumento. O menor valor, entre o desvio padrão e a resolução do

instrumento, foi utilizado nos cálculos de propagação de erro segundo Kleine e

McClintock.

x=1n∑i=1

n

x i

(3)

σ=√ 1n∑i=1n

(x i−x )2

(4)

Foi determinado o volume da viga, a densidade da viga, o momento de

inércia, a área, a massa útil da viga engastada – livre, o volume útil da viga

engastada – livre, o módulo de elasticidade e a 1° frequência natural da viga

engastada – livre, segundo as equações abaixo:

Volume da viga: V=L∗b∗h (5)

Densidade da viga: ρ=MV

(6)

Momento de inércia: I=b∗h3

12

(7)

Massa útil da viga engastada – livre: M útil=ρ∗V útil (8)

Volume útil da viga engastada – livre: V útil=Lútil∗b∗h (9)

Força Peso da massa: P=M p∗9,81 (10)

Módulo de elasticidade: E=P∗Lútil

3

3∗V X=L∗I

(11)

1° Frequência natural da viga: f 1=12∗π

∗( 1,875Lútil )2

∗√ E∗Iρ∗A

(12)

Área da secção transversal: A= b*h

(13)

O resultado obtido, experimentalmente, da primeira frequência natura foi

comparado com o resultado teórico, obtido através da Equação 14.

f 1=(βL )2∗√ E∗I

ρ∗A∗L4

2∗π

(14)

βL= 1,875104

E=70 GPa

A=bcomercial *hcomercial =4,03225*10-4 m2

I= 4,03225*10-4

ρ=2700 Kg/m³

L= Lútil

RESULTADOS

O dados, referentes as dimensões da viga e a deflexão provocada pela

massa, estão resumidos na Tabela 1, juntamente com o erro do instrumento

utilizado para determinada medição.

Tabela 1- Dados coletados da viga de alumínio

Altura

(h) [mm]

Largura

(b) [mm]

Deflexão

(VX=L) [mm] Comprimento (L) [mm]

Rrégua: 1053 ± 16,22 63,5 4,23

6,21 63,45 4,13 Comprimento útil (Lútil) [mm]

Rrégua: 910 ± 16,12 63,4 4,14

6,21 63,45 4,22 Massa da Força (Mpeso) [Kg]

Rbalança: 0,16204 ± 0,000016,19 63,3 4,24

Resolução

micrômetro

[mm]

Resolução

paquímetro

[mm]

Resolução

relógio

comparador

[mm]

Massa da viga (M) [Kg]

Rbalança: 1,1148 ± 0,0001

± 0,05 ± 0,05 ± 0,01

Com os dados da Tabela 1, foram realizados os cálculos da média e do

desvio padrão segundo as Equações 3 e 4. Os resultados estão disponíveis na

Tabela 2.

Tabela 2- Resultados da média e do desvio padrão para a altura, largura e

deflexão da viga de alumínio.

Média altura (h)

[mm]

Média largura (b)

[mm]

Média deflexão (V X=L)

[mm]

6,19 63,42 4,19

Desvio Padrão (σ h)

[mm]

Desvio Padrão (σ b)

[mm]

Desvio Padrão (σ V X=L)

[mm]

0,04 0,08 0,05

Comparando a resolução dos instrumentos com o desvio padrão da

média, observa-se que o desvio padrão da largura e da deflexão são maiores

que a resolução do instrumento e por isso serão usados para o cálculo da

propagação de erro. Já, no caso da altura, será usada a resolução do

instrumento para o cálculo da propagação de erro.

De acordo com as Equações 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 e 13 foram obtidos

os valores, para as propriedades da viga, dispostos na Tabela 3.

Tabela 3- Propriedades da viga.

Volume (V) [mm³]

413375,9994

Densidade (ρ) [Kg/mm³]

2,69682*10-6

Área (mm2)

392,5698Momento de inércia (I) [mm4]

1253,478643

Massa útil da viga (Mútil) [Kg]

0,963407407

Volume útil da viga (Vútil) [mm³]

357238,518

Força Peso (P) [N]

1,5896124

Módulo de elasticidade (E)

[N/mm²]

75989,91373

Frequência natural (f)

[(N/Kg*mm³)1/2]

0,202671201

A propagação de erro foi calculada de acordo com o método de Kleine e

McClintock, onde se estima a propagação de uma certa grandeza a partir do

desvio padrão de suas variáveis dependentes. Esse cálculo foi feito para todas

as propriedades da Tabela 3.

1. Para o Volume (V) [mm³]:

σ V=√( ∂V∂ L )2

∗σ L2+( ∂V∂b )

2

∗σ b2+( ∂V∂h )

2

∗σ h2

(14)

σ V=√ (b∗h )2∗σ L2+(L∗h )2∗σb

2+ (L∗b )2∗σ h2 (15)

σ V=3398,197004mm ³

2. Para a densidade (ρ) [Kg/mm³]:

σ ρ=√( ∂ ρ∂M )2

∗σM2+( ∂ ρ∂V )

2

∗σV2

(16)

σ ρ=√( 1V )2

∗σM2+(−MV 2 )

2

∗σV2

(17)

σ ρ=2,21708∗10−8 Kg

mm3

3. Para o momento de inércia (I) [mm4]:

σ I=√( ∂ I∂b )2

∗σb2+( ∂ I∂h )

2

∗σ h2

(18)

σ I=√( h3

12 )2

∗σ b2+( b∗3∗h

2

12 )2

∗σ h2

(19)

σ I=30,41204025mm4

4. Para a massa útil da viga (Mútil) [Kg]:

σM útil=√( ∂M útil

∂ ρ )2

∗σ ρ2+( ∂Mútil

∂V útil)2

∗σ V útil

2

(20)

σM útil=√ (V útil )

2∗σ ρ2+ ( ρ )2∗σV útil

2 (21)

σM útil=0,011213257 Kg

5. Para o volume útil da viga (Vútil) [mm³]:

σ V útil=√( ∂V útil

∂ Lútil )2

∗σ Lútil2+( ∂V útil

∂b )2

∗σb2+( ∂V útil

∂h )2

∗σ h2 (22)

σ V útil=√ (b∗h )2∗σ Lútil

2+ (Lútil∗h )2∗σ b2+ (Lútil∗b )2∗σh

2 (23)

σ V útil=2943,348621mm3

6. Para o força peso (P) [N]:

σ P=√( ∂ P∂M P)2

∗σM P

2

(24)

σ P=√g2∗σM P

2

(25)

σ P=0,0000981N

7. Para o módulo de elasticidade (E) [N/mm²]:

σ E=√( ∂ E∂ P )2

∗σP2+( ∂E∂ Lútil )

2

∗σ Lútil2+( ∂E

∂V X=L)2

∗σV X=L

2+( ∂ E∂ I )2

∗σ I2 (26)

σ E=√( Lútil3

3∗V X=L∗I )2

∗σ P2+( P∗3∗Lútil

2

3∗V X=L∗I )2

∗σ Lútil2+( −P∗Lútil

3

3∗V X=L2∗I )

2

∗σV X=L

2+( −P∗Lútil3

3∗I 2¿V X=L)2

∗σ I2

(27)

σ E=2090,967909N

mm2

8. Para a 1° frequência natural da viga engastada – livre:

σ f=√( ∂ f∂Lútil )

2

∗σ Lútil2+( ∂ f∂ E )

2

∗σ E2+( ∂ f∂ I )

2

∗σ I2+( ∂ f

∂ Mútil)2

∗σM útil

2 (28)

σ f=√( 1,8752∗(−2 )∗E12∗I

12

2∗π∗Lútil3∗( ρ∗A)1 /2 )

2

∗σLútil2+( 1,8752∗I

12

2∗π∗Lútil2∗2∗E

12∗( ρ∗A)

12 )2

∗σ E2+( 1,8752∗E

12

2∗π∗Lútil2∗2∗I

12∗(ρ∗A )

12 )2

∗σ I2

¿+( 1,8752∗(−1 )∗E12∗I

12

2∗π∗Lútil2∗2∗ρ

32∗A1 /2 )

2

∗σ ρ2+( 1,8752∗(−1 )∗E

12∗I

12

2∗π∗Lútil2∗2∗A

32∗ρ1 /2 )

2

∗σ A2

(29)

σ f=0,00392391( NKg∗mm3 )

12

9. Para a área

σ A=√( ∂ A∂b )2

∗σ b2+( ∂ A∂h )

2

∗σh2 (30)

σ A=√(h2∗σb2)+b2∗σh2 (31)

σ A=3,205551mm2

10.Calculando a 1° frequência teórica da viga, pela Equação 14, advinda da

teoria de Euler- Bernoulli, tem-se:

ω=√ E∗I∗β4

ρ∗A

(32)

β=1,875104Lútil

(33)

f= ω2∗π

=5,22243787Hz

Os resultados, dos cálculos das propriedades da viga e do erro

propagado, estão dispostos na Tabela 4 com suas unidades de acordo com o

Sistema Internacional.

Tabela 4-Propriedades da viga e o erro propagado.

Propriedades Valores Erro propagado

Volume (V) [m³] 0,000413376 ±0,000003398

Densidade (ρ) [Kg/m³] 2696,82 ±22,17

Momento de inércia (I) [m4] 1,25348*10-9 ±0,030412*10-9

Massa útil da viga (Mútil) [Kg] 0,9634 ±0,0154

Volume útil da viga (Vútil) [m³] 0,000357239 ±0,000004891

Força Peso (P) [N] 1,58961 ±0,00001

Módulo de elasticidade (E) [N/m²] 75989913729 ±3253494281

Frequência natural experimental

(Hz)

6,41 ±0,12

Frequência natural teórica (Hz) 5,22

CONCLUSÃO

Comparando-se a frequência natural teórica com a experimental,

observa-se que há uma diferença que pode variar de 17 a 20%. Isso se deve

aos erros de paralaxe, a pouca experiência na utilização dos equipamentos e

na aferição das medidas, etc. Além disso, os valores teórico idealizam

situações e condições de modo que dificilmente pode-se chegar a exatidão

desse valor através de experimentos que não estejam de acordo com a norma,

que gerou o valor usado como parâmetro.

BIBLIOGRAFIA

FIALHO, A. B. Instrumentação Industrial-Conceitos, Aplicações e Análise, 4°

edição, Editora Érica, 2006.

TOGINHO FILHO, D. O., ANDRELLO, A.C., Medição e propagação de erros.

Catálogo de Experimentos do Laboratório Integrado de Física Geral.

Departamento de Física, Universidade Estadual de Londrina, Março de 2009.

.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO

ENGENHARIA MECÂNICA

INSTRUMENTAÇÃO INDUSTRIAL

PROF. MARCOS IRMÃO

GRADUANDA: CAMILA COELHO GUIMARÃES

RELATÓRIO

DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA FREQUÊNCIA

NATURAL DE UMA VIGA ENGASTADA - LIVRE

JUAZEIRO, BA.

2013