intervalna procjena ocekivanja

7/18/2019 intervalna procjena ocekivanja

http://slidepdf.com/reader/full/intervalna-procjena-ocekivanja 1/5

Osnove statistike Anamarija Jazbec

94

5.6. INTERVALNA PROCJENA OČEKIVANJA

INTERVALNA PROCJENA OČEKIVANJA NORMALNO DISTRIBUIRANOGOSNOVNOG SKUPA

( )µ

Pouzdani interval očekivanja ili nekog drugog parametra osnovnog skupa je interval u kojemse s određenom sigurnošću nalazi parametar osnovnog skupa ili populacije. Npr. 95%-tni

pouzdan interval očekivanja predstavlja interval u kojem se sa 95%-tnom sigurnošću nalazistvarni parametar osnovnog skupa.To ne znači kako je vjerojatnost 95% da se stvarni parametar nalazi unutar određenogintervala jer je µµµµ fiksna vrijednost osnovnog skupa tj. populacije i on se ne može s 95%-tnomvjerojatnošću nalaziti u određenom intervalu, a s 5%-tnom vjerojatnošću izvan intervala. Tonaime, znači da od 100 pouzdanih intervala koje izračunamo iz 100 različitih uzorakaizabranih iz osnovnog skupa, njih u prosjeku 95 sadrži stvarni parametar osnovnog skupa µ, a5 ne. Prema tome, 95% izabranih pouzdanih intervala sadržavati će stvarni parametar, dok ih5% neće sadržavati.Pretpostavimo da smo izabrali slučajni uzorak veličine n iz normalne distribucije snepoznatim očekivanjem µµµµ i varijancom σσσσ

2. Neka su X i S aritmetička sredina i standardnadevijacija uzorka.

Znanstvenik W.S.Gosset 1908. godine došao je do saznanja dan

S

X µ − *

nije normalno

distribuirana N(0,1) nego ima Studentovu t distribuciju s n-1 stupnjeva slobode (tablica B).Gosset je pokazao da ta distribucija ovisi samo o jednom parametru k koji je jednak veličiniuzorka minus 1(n-1). Svoje otkriće objavio je pod pseudonimom Student pa se tako idistribucija zove Studentova t distribucija.

Slika 5.6.1. Studentova t distribucija




95

Studentova t distribucija vrlo je slična jediničnoj normalnoj. Simetrična je oko 0 i zvonolika.Spljoštenija je od jedinične normalne i ima „šire“ krajeve. Značajna razlika je u varijanci. Dok

je kod jedinične normalne varijanca jednaka 1, kod t distribucije varijanca je veća od 1 imijenja se ovisno o stupnju slobode. Što je k veći, varijanca pada i t distribucijaaproksimativno teži jedinično normalnoj distribuciji čija je varijanca 1. Iz tog razloga oblik t

distribucije se mijenja ovisno o parametru k (veličini uzorka-1). Koji je to stupanj slobode zakoji Studentova t distribucija dovoljno dobro aproksimira jediničnu normalnu distribuciju, i u praksi ovisi o tablici iz koje iščitavamo vrijednosti.

Slika 5.6.2. Jedinična normalna N(0,1) i t distribucija.

*

)1();1,0(

)1,0(

),(

),(2

2

−=−

≠−

=−

=

=

nt nS

X N

nS

X

N

n

X

n N X

N X

D

nn

Dn

D

n

D

n

µ µ

σ

µ

σ µ

σ µ




96

Distribucija aritmetičkih sredina uzoraka

Slika 5.6.3. Distribucija aritmetičkih sredina uzoraka i pripadajući 95% intervali pouzdanosti.

Budući da t(n-1) konvergira jediničnoj normalnoj distribuciji pogledajmo u tablicu B za koji k je t distribucija približno jednaka jediničnoj normalnoj. U nekim tablicama to je za k ≥30, dok je u našoj tablici generiranoj u EXCELu za k >250 vrijednost t distribucije približno jednakavrijednosti jedinične normalne do na točnost dvije decimale. U slučajevima kad je n>250možemo vrijednost t iščitati iz tablice za jediničnu normalnu distribuciju (tablica A).

n

s z x

n

s z x

22 α α

µ +<<−

Neka su i s aritmetička sredina i standardna devijacija uzorka.(1-α) 100% pouzdan interval (PI) očekivanja µ osnovnog skupa je:

n st x

n st x

22 α α

µ +<<−




97

Primjer Izračunaj 90%-tni i 95%-tni pouzdan interval očekivanja koristeći uzorak veličine 10elemenata iz osnovnog skupa iz tablice 5.4.1.

n

st x

n

st x

22 α α

µ +<<−

t(n-1)....t(9) (tablica B)

t0,05(9)=1,833 90% PIn

s x

n

s x 833,1833,1 +<<− µ

t0,025(9)=2,262 95% PIn

s x

n

s x 262,2262,2 +<<− µ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

uzorak

Slika 5.6.4. Grafički prikaz 95%-tnih pouzdanih intervala očekivanja za 13 slučajno izabranih uzoraka veličine10 elemenata iz osnovnog skupa (tablica 5.4.1.)

Očekivanje osnovnog skupa oznosi µ=10.95% od 13 uzoraka je 12,35.

Dvanaest 95%-tnih pouzdanih intervala sadrži stvarni parametar očekivanja µ=10.

INTERVALNA PROCJENA OČEKIVANJA OSNOVNOG SKUPA SDISTRIBUCIJOM KOJA NIJE NORMALNA

Pretpostavimo da smo izabrali slučajni uzorak veličine n iz distribucije za koju ne znamokakvu ima distribuciju tj. ne znamo je li distribucija normalna, ali znamo da ima konačnoočekivanje µ i varijancu σ

2. Neka su x i s procjene od µ i σ. Prema CGT-u, distribucija

aritmetičkih sredina teži, konvergira normalnoj distribuciji N( ),2

n

σ µ . Koliki je n dovoljno

velik, ovisi o samoj distribuciji iz koje uzimamo uzorke. Dogovorno se uzima da za n>30

µ




98

možemo reći da je veliki uzorak, iako je za neke distribucije i za manji n, distribucijaaritmetičkih sredina aproksimativno normalno distribuirana.Pretpostavimo da imamo osnovni skup ili populaciju za koju ne znamo kako je distribuirana,ali znamo da su µ i σ2 konačni. Neka je aritmetička sredina i s procjene od σ na velikomuzorku (n>30),

(1-α) 100% pouzdan interval očekivanja osnovnog skupa računamo:

n

s z x

n

s z x

22 α α

µ +<<−

ZADACI ZA VJEŽBU

Zadatak 1 Proizvođač automobilskih guma želi izići na tržište s novom vrstom automobilskih

guma XP200. Na probnih 50 testiranih guma aritmetički sredina trajanja iznosila je 48000km ,sa standardnom devijacijom od 900 km. Pretpostavimo da je trajanje guma normalnodistribuirano, što se i očekuje od „dobrog“ proizvoda. Odredite 95%-tni pouzdani intervalstvarnog očekivanog trajanja guma XP200.

Zadatak 2 Iz serije proizvoda slučajno je odabrano i izmjereno 5 proizvoda čija je duljinaiznosila (u cm): 3,4; 3,2; 2,9; 3,2; 3,0. Pretpostavimo da je duljina proizvoda normalnodistribuirana. Procijenite 90%-tni pouzdani interval stvarne duljine proizvoda iz te serije.

Zadatak 3 U nekoj šumskoj sastojini (populaciji) izmjeren je uzorak od 130 prsnih promjerastabala s prosjekom 40 cm i standardnom devijacijom 6,2 cm. Prsni promjeri stabala

normalno su distribuirani. Izračunajte 90 %-tni pouzdani interval u kojem se nalazi stvarnaaritmetička sredina prsnih promjera te sastojine (populacije).

intervalna procjena ocekivanja

Documents

Transcript of intervalna procjena ocekivanja