Intern´ı modely v neˇzivotn´ım pojiˇstˇen´ımazurova/IMrijen15.pdfIntern´ı modely v...
Transcript of Intern´ı modely v neˇzivotn´ım pojiˇstˇen´ımazurova/IMrijen15.pdfIntern´ı modely v...
Internı modely v nezivotnım pojistenı
23.10. a 30.10.2015
Internı modely v nezivotnım pojistenı
Deterministicka bilance v case t = 0 slouzı jako vychozı baze pro
dalsı modelovanı. Pomocı stochastickeho modelu zisku a ztrat se
projektujı hodnoty aktiv a pasiv v case t = 1. Simulace vychazejı z
predpokladu o novem obchodu i stavajıcım kmeni. Vysledky
simulacı se pouzijı k analyze rozdelenı vlastnıho kapitalu v case
t = 1.
ocenenı fer hodnotou (co nejblıze pozorovanym trznım cenam)
ekonomicke scenare - modelovanı externıch stochastickych faktoru
Pojistne technicke riziko
-riziko rezerv (nedostatecnost rezerv pro stavajıcı kmen)
-riziko pojistneho (nedostatecnost pojistneho pro novy obchod)
-riziko vyvoje skod (odlisny vyvoj ve vyplatach skod od ocekavanı)
Pojistne technicky vysledek (PTV)
=pojistne (P) - naklady (N) - vyplaty skod (S) - zmena skodnı
rezervy (∆ R)
Vsechny hodnoty ocistene od zajistenı (netto pojistne technicky
vysledek), pro jednoduchost se neuvazuje prenaska pojistneho.
Pojistne technicke riziko
S = S1 + S2,
S1 - vyplaty za skody nastale v aktualnım roce, S2 - vyplaty za
skody vznikle v predchozıch letech.
∆R = ∆R1 + ∆R2,
∆R1 - zmena rezervy na skody vznikle v aktualnım roce, ∆R2 -
zmena rezervy na skody z predchozıch let.
(tvorba +, pouzitı -)
PTV = (P − N − S1 −∆R1) + (−S2 −∆R2)
Vyraz v prvnı zavorce odrazı riziko pojistneho, vyraz v druhe
zavorce riziko rezerv.
Rezervy
R(0) - hodnota rezervy v case 0 (deterministicka)
R1 - rezerva v case 1 (nahodna)
S1 - platby za skody behem roku (nahodne)
Vysledek vyvoje skod na konci roku:
V1 = R1 + S1 − R(0)
Klademe-li
R(0) = E R1 + E S1,
lze psat
V1 = (R1 − E R1) + (S1 − E S1).
Prıklad
Prıklad ma ilustrovat zavislost vysledku na pouzite metode
stanovenı rezervy. Predpoklada se vyvoj skod po dobu 3 let.
Celkove skody modelovany normalnım rozdelenım se strednı
hodnotou 1000 a rozptylem 0,25.
Na konci prvnıho roku vyplaceno 0% z celkovych skod, na konci
druheho roku vyplaceno v prumeru 75% celkovych skod, pri pouzitı
normalnıho rozdelenı s rozptylem 0,2.
Uvazujeme pouze skody vznikle v jednom roce.
Budeme uvazovat 2 ruzne metody odhadu celkovych plnenı.
Prıklad
Obe metody odhadujı na konci prvnıho roku celkova plnenı
hodnotou 1000.
Odhad celkovych plnenı na konci druheho roku:
Metoda 1: dosud vplacene skody/0,75
Metoda 2: max(dosud vyplacene skody,1000).
Tabulky ukazujı vysledky pro nekolik prvnıch simulacı, uvadene
strednı hodnoty a smerodatne odchylky byly zjisteny z 1000
simulovanych scenaru.
Metoda 1
Metoda 2
Volatilita skodnıch rezerv
Mozne prıstupy ke zjist’ovanı volatility rezerv:
1) explicitnı vzorec pro odhad volatility - Mackuv model
2) odhad zalozeny na simulacıch - metoda bootstrap
ad 1)
T. Mack: Distribution-free Calculation of the Standard Error of
Chain Ladder Reserve Estimates. Astin Bulletin, Vol. 23, No. 2,
1993.
Mackova metoda je zalozena na stochastickem modelu pro metodu
CHL.
Volatilita skodnıch rezerv - Mackova metoda
Mackova metoda je dale rozvıjena v clanku
M. Merz, M.V. Wutrich: Modelling the claims development result
for solvency purposes. CAS E-Forum, Fall 2008.
Autori se zamerili na vysledek vyvoje skod za jeden rok
CDRj(t + 1) = E[Rtj |Dt ]− (Xj ,t−j+1 + E[Rt+1
j |Dt+1]),
tj. rozdıl mezi rezervou na skody z roku z roku j stanovenou v case
t na zaklade vyvoje skod do casu t (Dt) a souctem rezervy na
skody z roku j stanovene v case t + 1 a vyplat za skody z roku j
uskutecnenych v roce (t,t+1).
Novy obchod
Modelovanı celkovych skodnıch nakladu z obchodu uzavreneho v
uvazovanem roce: brutto-skodnı naklady (vyplata plnenı + tvorba
rezervy)=⇒ zajistenı =⇒ netto-skodnı naklady.
Pri modelovanı skodnıch nakladu se uvazujı skody rozdelene do 3
skupin: zakladnı (bezne) skody, vysoke skody, kumulovane
(katastroficke) skody.
Zakladnı skody - vysoka frekvence, nızka prumerna vyse, modelujı
se obvykle v uhrnu za dane obdobı.
Novy obchod
Kumulovane (katastroficke) skody - vznikajı v dusledku (prırodnı)
katastrofy, ktera postihne vetsı pocet pojistenych rizik.
Pravdepodobnost udalosti je nızka, nızke skody na jednotlivych
pojistnych smlouvach, velmi vysoke uhrny skod zpusobenych
jednou udalostı.
Vysoke skody - skody, jejichz velikost prekracuje urcitou
pojist’ovnou stanovenou hranici. Nızka skodnı frekvence, vysoka
vyse skody v jednotlivych prıpadech. Uplatnenı komplexnıch
zajistnych konstrukcı.
Brutto - model
Model skodnıch nakladu
Volba vhodneho rozdelenı - statisticke testy (χ2-test dobre shody,
Kolmogorov-Smirnov,...), graficke metody (mean-excess plot, P-P
plot, Q-Q plot,...).
V dusledku provedenych testu muze dojıt k posunutı hranice
definujıcı vysoke skody. Modelovanı zakladnıch skod tedy musı v
case nasledovat po modelovanı vysokych skod.
Model kmene - vyvoj pojistneho, struktura obchodu, upisovacı
politika, pocty pojistenych rizik, pojistne castky,...
Zakladnı skody
Pro uhrn skod se uzıva kolektivnı model (slozene rozdelenı)
S =N∑
i=1
Xi ,
N,X1, . . . nezavisle, X1,X2, . . . stejne rozdelene.
ν = ES = EN E X1
ξ2 = Var S = E N Var X1 + Var N (E X1)2.
Ma-li N Poissonovo rozdelenı, je
ξ2 = EN (Var X1 + (E X1)2).
Zakladnı skody
S lze modelovat pomocı znameho rozdelenı na zaklade znalosti
nekterych charakteristik (prvnı 2 nebo 3 momenty)
napr. logaritmicko - normalnı rozdelenı LN(µ, σ2), kde
σ =
√ln
[1 +
(ξ
ν
)],
µ = ln ν − 1
2σ2.
Pri odhadovanı E X1, Var X1 z dat je treba vzıt v uvahu vyvoj skod
a rovnez prıpadnou upravu starsıch dat pro srovnatelnost s
modelovanym rokem.
Zakladnı skody - prıklad
Kumulovane skody
Katastroficka udalost: objevuje se nepravidelne, nelze predpovedet,
ma vliv na mnoho pojistenych rizik, mimoradne vysoky skodnı
potencial, nebezpecı kumulace - jedna udalost ma za nasledek
mnoho skod, nastava zrıdka.
Typy katastrof:
- boure (hurikany, tajfuny, vichrice)
- krupobitı
- povodne
- zemetresenı
Kumulovane skody
Kumulovane skody se od zakladnıch skod odlisujı velkymi uhrny a
malymi pravdepodobnostmi vzniku udalosti.
Kumulovane skody je treba eliminovat z celkovych dat pred
modelovanım zakladnıch skod.
Pri modelovanı se nevychazı z jednotlivych skod, ale z jednotlivych
udalostı.
Kolektivnı model rizika nenı pouzitelny (porusen predpoklad
nezavislosti poctu a vysı skod).
Kumulovane skody
Pojist’ovny obvykle vyuzıvajı komercnı modely pro riziko katastrof.
Jde o komplexnı fyzikalnı (meteorologicke) modely, ktere jsou
kombinovany s modelovanım pojistne - technickych dopadu
katastrofickych udalostı.
Tabulka skodnıch udalostı (Event Loss Table): modelova sada
udalostı, ktera je vystupem modelu katastrofickych skod.
Ke kazde udalosti se stanovı expozice obsazena v danem pojistnem
kmeni (rada udaju - lokalita, typ stavby, pojistna castka,...).
Datum jsou prirazeny referencnı kody podle uzemnı prıslusnosti.
Kumulovane skody - prıklad
Vysoke skody
1)Modelovanı zalozene na EVT (zobecnene Paretovo rozdelenı).
2)Modelovanı uhrnu vysokych skod pomocı slozeneho rozdelenı.
Modelujı se zvlast’ jednotlive skody a jejich pocty.
Pro vyse skod vhodne naprıklad Paretovo rozdelenı.
Zajistenı a typy skod
1) zakladnı skody - kvotove zajistenı
2) vysoke skody - individualnı XL-zajistenı
3) kumulovane (katastroficke skody) - XL-zajistenı na udalost
simulacnı model - simulace skod, uplatnenı dane zajistne struktury,
za opakovanych simulacı stanoveny charakteristiky brutto a netto
skodnıch uhrnu
XL-zajistenı vysokych skod - prıklad
pocet skod: Poisson (λ = 4, 52)
vyse skod: Pareto (α = 3.57, a = 5, E X = 6.94)
ocekavany uhrn skod brutto: E S = 29.99
zajistenı: 50 XS 5, pocet skod ≤ 8
XL-zajistenı vysokych skod - prıklad
XL-zajistenı kumulovanych skod - prıklad
ocenenı fer hodnotou
FV ocenenı - ocenenı stochastickeho financnıho toku vedoucı ke
stanovenı trznı ceny
NPV - strednı soucasna hodnota (pri bezrizikove urokove mıre)
na strane aktiv: FV>NPV
na strane pasiv: FV<NPV
metoda nakladu na kapital - stanovenı rizikove marze jako
soucasne hodnoty dodatecnych uroku z alokovaneho kapitalu
ocenenı fer hodnotou - prıklad
Predpokladejme bezrizikovou urokovou mıru 4% a dodatecnou
sazbu 6%.
Jednorocnı zavazek s rozdelenım
P (X = 1200) = 0, 6
P (X = 700) = 0, 4
Odtud
E X = 1000,√
Var X = 244, 95,
NPV= 1000/1, 04 = 961, 5.
ocenenı fer hodnotou - prıklad
Pri aproximaci rozdelenı X normalnım rozdelenım a pri pouzitı VaR
na hladine 99,5%, dostaneme alokovany kapital
EC =√
Var X z99,5% = 632, 1.
Naklady na kapital:
CC =0, 06.632, 1
1, 04= 36, 5.
Fer hodnota:
FV = NPV + CC = 998.
Posouzenı ucinnosti zajistenı
kriteria:
- snızenı potreby vlastnıho kapitalu, uspora nakladu na kapital
tradicnı prıstup:
netto vysledek = netto pojistne - netto naklady
-netto skodnı vyplaty - zmena netto skodnı rezervy
FV - prıstup:
FV netto vysledku = soucasna hodnota netto pojistneho
-soucasna hodnota netto nakladu
-soucasna hodnota netto vyplat skod
-zmena FV netto skodnı rezervy
XL-zajistenı vysokych skod - posouzenı ucinnosti
XL-zajistenı vysokych skod - prıklad 2
XL-zajistenı vysokych skod - posouzenı ucinnosti 2
XL-zajistenı kumulovanych skod - posouzenı ucinnosti
Optimalizace zajistenı
Internı model lze vyuzıt k posouzenı alternativnıch zajistnych
struktur:
- zmeny priorit, struktury vrstev, provizı, nakladu, ...
- treba vzıt v uvahu stanovenı zajistneho, rating zajist’ovny,
kapacitu zajistneho trhu, dostupnost uvazovanych forem zajistenı
Riziko kapitalovych investic
Trznı riziko - riziko ztraty na trznı hodnote aktiv (u akciı ztraty v
trznı hodnote, ktere nelze eliminovat diverzifikacı, u nemovitostı
kolısanı cen na trhu)
Urokove riziko - kolısanı kurzu pevne urocenych cennych papıru,
zpusobene zmenami trznıch urokovych mer
Menove riziko - u aktiv v cizı mene, vznika v dusledku zmen
menovych kurzu
Riziko kapitalovych investic
Bonitnı riziko - u pevne urocenych cennych papıru, riziko defaultu
emitenta, vede ke kurzovym ztratam
Riziko z korelace mezi stranou aktiv a pasiv
Prıklad: pojist’ovna drzı ve vetsım objemu akcie prumysloveho
podniku, ktery s nı ma uzavreno pojistenı odpovednosti. Vetsı
skoda zpusobı zvysenı skodnıch rezerv a zaroven pokles hodnoty
akciı.
Modelovanı kapitalovych investic
V ramci modelovanı je treba projektovat trznı ceny vsech
kapitalovych investic pro nasledujıcı rok.
Zakladnı prvky:
- model portfolia
- generator ekonomickych scenaru
- vlastnı model aktiv
Model portfolia kapitalovych investic
Aktiva rozdelena do trıd: obligace, akcie, fondy, nemovitosti,
hypoteky, hotovost,..
Ucelne je delenı podle modelovanych ekonomickych parametru
(napr. doba splatnosti a ratingova kategorie u dluhopisu,
geograficka prıslusnost u akciı). Proto by mely byt trıdy aktiv dale
deleny do podtrıd podle relevantnıch aspektu: doba trvanı, region,
bonita, mena,..
Pritom je treba udrzet pocet podtrıd v primerenych mezıch s
ohledem na narocnost modelovanı.
Generator ekonomickych scenaru
- slouzı ke stanovenı externıch trznıch parametru pomocı vhodnych
simulacnıch postupu
Modelovanymi parametry mohou byt:
vynosove krivky, akciove indexy, kreditnı spread pro dluhopisy,
menove kurzy, vyvoj inflace, indexy cen nemovitostı,...
Prıklad generovanı ekonomickych scenaru
Prıklad generovanı ekonomickych scenaru
V prıkladu bylo pro generovanı bezrizikove urokove mıry pouzito
logaritmicko-normalnı rozdelenı se strednı hodnotou 4% a
variacnım koeficientem 20%.
Pro kreditnı spread bylo uzito logaritmicko normalnı rozdelenı se
strednı hodnotou 3%, variacnım koeficientem 20% a koeficientem
korelace s bezrizikovou urokovou mırou 50%.
Prıklad uzitı generovanych scenaru
Cena bezkuponoveno dluhopisu - uzije se hodnot ze scenare c. 7.
Prıklad uzitı generovanych scenaru
Cena akcioveho portfolia - predpoklada se kapitalizace dividend.
Prıklad uzitı generovanych scenaru
Menove riziko u nemovitosti - pouzije se cenovy index a menovy
kurz.
Model aktiv
V modelu aktiv jsou pouzity generovane scenare na jednotlive
podtrıdy aktiv z modelu portfolia. Agregacı se stanovı polozky
vstupujıcı do rozvahy a vykazu zisku a ztrat.
likvidnı saldo - prostredky z pojistneho (po odectenı skodnıch
vyplat), jeho investovanı se rıdı manazerskymi pravidly.
Slozenı portfolia aktiv na konci roku je jine nez na zacatku.
K urcenı likvidnıho salda je treba vystupu z pojistne-technicke casti
modelu.
Optimalizace portfolia
Internı model muze byt vyuzit pri hledanı struktury portfolia, ktera
by pri odpovıdajıcım kapitalovem pozadavku generovala optimalnı
vynos.
Varianty cılove funkce:
1) RORAC (Return on Risk Adjusted Capital)
RORAC = (ocekavany vynos)/(kapitalovy pozadavek)
- procentnı sazba vynosu vzhledem ke kapitalovemu pozadavku
Optimalizace portfolia
2) EVA (Economic Value Added)
EVA = ocekavany vynos - naklady na kaptial
naklady na kapital = (kapitalovy pozadavek)*(sazba nakladu na
kapital)
- udava, o kolik muze byt zvysena hodnota kapitalu pri zohlednenı
dane sazby nakladu na kapital
Riziko selhanı zajistitele
Pouzijeme metodu nakladu na kapital k vyjadrenı fer hodnoty
cedovane (predane k zajistenı) casti skodnı rezervy:
FV cedovane rezervy = NPV plnenı zajistitele
+ NPV cedovanych nakladu na kapital
- bonitnı prirazka
Cedovane naklady na kapital predstavujı usporu nakladu, bonitnı
prirazka predstavuje zvysenı nakladu, ktere zavisı na bonite
(ratingu) zajistitele.
Modelovanı selhanı zajistitele
Mohou nastat 2 prıpady:
1) V simulovanem roce dojde k selhanı zajistitele
→ snızenı plnenı od zajistitele, zvysenı rezervy na ocekavane ztraty
2) V simulovanem roce nedojde k selhanı zajistitele
→ pouze zmena bonitnı prirazky v dusledku zlepsenı nebo zhorsenı
bonity zajistitele
Ve stochastickem modelu je treba modelovat pravdepodobnost
selhanı a velikost selhanı.
Model pravdepodobnosti selhanı
Pokud pro jednoduchost predpokladame, ze v prıpade selhanı jde
vypadek ve vysi 100%, redukuje se modelovanı na otazku
pravdepodobnosti selhanı.
V literature se doporucuje modelovat pravdepodobnost selhanı jako
nahodnou velicinu pomocı vhodneho rozdelenı na intervalu
< 0, 1 >, ktere dostatecne umoznuje odddelit situaci, kdy udalost
nenastane, nebo nastane jen v malem rozsahu, od situace, kdy
udalost nastane plne, nebo ve znacnem rozsahu.
Model pravdepodobnosti selhanı
Prıklad - rozdelenı s hustotou
f (x) = y1, x ∈< 0, x0)
f (x) = y2, x ∈< x0, 1 > .
Pritom ma platit
P(X ∈< 0, x0)
)= 1− q
P(X ∈< x0, 1 >
)= q
E X = p.
Odtud lze odvodit: x0 = 2p− q, Var X = 1/3(q(1− q) + (p− q)2).
Prıklad
v case t = 0: expozice 1000, pravdepodobnost selhanı 1,02%
⇒ FV rezervy = 1000, FV selhanı (bonitnı prirazka) = 10.2
v case t = 1: expozice 1150, pravdepodobnost selhanı 0,8%
(nahodna)
⇒ FV rezervy = 1150, FV selhanı (bonitnı prirazka) = 9,2
vysledek: 151
Operacnı riziko
Definice OR dle Solventnosti II (totozna s Basel II):
Operacnı riziko je riziko ztraty vyplyvajıcı z nedostatecnosti nebo
selhanı vnitrnıch procesu, osob , systemu, nebo z vnejsıch udalostı.
Pod tuto definici spada pravnı riziko, nezahrnuje strategicke ani
reputacnı riziko.
Modelovanı OR - Loss Distribution Approach
LDA - modelovanı rocnıch uhrnu skod pomocı slozeneho rozdelenı
S =N∑
i=1
Xi ,
Modelujı se zvlast’ vyse skod a skodnı frekvence.
Typicky tezke chvosty (velka pravdep. vysokych hodnot).
Prıklady:
logaritmicko-normalnı rozdelenı:
f (x) = 1√2πσ x
exp
[−1
2
(ln x−µ
σ
)2]
, µ ∈ R, σ > 0,
Paretovo rozdelenı: f (x) = αθα
(x+θ)α+1 , α > 0, θ > 0.
Modelovanı OR - POT-metoda
zobecnene Paretovo rozdelenı:
Wγ,β(x) = 1− (1 + γ x/β)−1/γ
pro γ 6= 0, resp.
Wγ,β(x) = 1− exp(−x/β)
pro γ = 0. Parametr β je v obou prıpadech kladny. Pro γ ≥ 0 je
zobecnene Paretovo rozdelenı definovano pro nezaporna x , v
prıpade γ < 0 je nosicem rozdelenı interval [0,−β/γ].
OR v internım modelu - prıklad
Prıklad:
uhrn skod z OR: logaritmicko-normalnı, E S = 13, 26,√
Var S = 55, 64
celkova aktiva: normalnı, E A = 1000,√
Var A = 100
celkova pasiva: logaritmicko-normalnı, E P = 650,√
Var P = 81, 25
bilance ve strednı hodnote bez OR:
A P
1000 650
350 vl.kap.
1000 1000
OR v internım modelu - prıklad
Pro zahrnutı vlivu OR predpokladejme tvorbu rezervy na hrozıcı
ztraty ve vysi strednı hodnoty celkovych skod:
bilance ve str. hodnote:
A P
1000 650
13,26
336,74 vl.kap.
1000 1000
OR v internım modelu - prıklad
Manazerska pravidla
V realistickem modelu je treba zohlednit manazerska pravidla
odpovıdajıcı vnitropodnikove praxi pojist’ovny (investicnı strategie,
upisovacı politika, zajistna strategie,...)
Specialne: pravidla investovanı a desinvestovanı - nakladanı s
likvidnım saldem.
l.s. kladne → pravidla pro umıstenı na kapit. trhu (regulovano
predpisy)
l.s. zaporne → pravidla urcujı, ktere investice se majı rozpustit jako
prvnı
Model aktiv
Stanovenı kapitaloveho pozadavku
Po definici vsech vstupnıch parametru a manazerskych pravidel se
provadejı simulace hodnoty vlastnıho kapitalu na konci roku:
EK1 = EK0 +∑
ZZi ,
EK0...deterministicky vl. kapital na zacatku obdobı
ZZi ...vysledky jednotlivych modelovanych oblastı (poj.-tech. riziko,
kapitalove investice, OR,...)
Prıklad - simulace vlastnıho kapitalu
Stanovenı kapitaloveho pozadavku
Princip hodnoty v riziku:
ECα = E(EK1)− VaRα(EK1)
EKα...kapitalovy pozadavek ke konci roku
α = 0, 5%
Princip zbytkove hodnoty v riziku:
ECα = E(EK1)− TVaRα(EK1)
TVaRα(EK1) = E(EK1|EK1 ≤ VaRα(EK1))
Literatura
M. Heep-Altiner, H. Kaya, B. Krenzlin, D. Welter: Interne Modelle
nach Solvency II. Schritt fur schritt zum internen Modell in der
Schadenversicherung. Verlag Versicherungswirtschaft 2010.