UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS

NORMAS Y CONORMAS de la lógica difusa

CURSO: Inteligencia Artificial

DOCENTE: Ing. Roberto Azahuanche

ALUMNOS: HUAMAN PEREGRINO, Carlos. ORTIZ ROJAS, Fiorela Liliana. ROJAS ARTEAGA, Tino. VARGAS, GUERRA, Anselmo. VELASQUEZ DIAZ, Ronal

CICLO: IX

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I. INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA DIFUSA

El aspecto central de los sistemas basados en la teoría de la lógica es que, a diferencia de los que se basan en la lógica clásica, tiene la capacidad de reproducir aceptablemente los modos usuales del razonamiento, considerando que la certeza de una proposición es una cuestión de grado. Mas formalmente se puede decir que si la lógica es la ciencia de los principios formales y normativos del razonamiento, la lógica difusa o borrosa se refiere a los principios formales del razonamiento aproximado, considerando el razonamiento preciso (lógica clásica) como caso limite. Así pues, las características mas atractivas de la lógica difusa son su flexibilidad, tolerancia con la imprecisión, su capacidad para modelar problemas no lineales y su base en el lenguaje natural.

II. T-normas (normas triangulares)

1. Definición Las t-normas son muy utilizados en lógica difusa para definir la intersección

entre conjuntos difusos, ya que generaliza la intercepción clásica. Como operador lógico son operadores que satisfacen la tabla lógica del conectivo lógico (and)

Para representar la intersección de dos conjuntos difusos, buscamos funciones del tipo

T: [0,1] x [0,1] → [0,1], que nos permitan obtener la función de pertenencia del conjunto intersección.Dados dos conjuntos difusos P y Q, su intersección vendrá definida por la siguiente operación binaria sobre el intervalo unitario, que expresa el grado de pertenencia de x a P and Q

µP∩Q(x) = T(µP(x), µQ(x)), x Î X

2. Propiedades de las t-normas

Por tanto buscamos las funciones T: [0,1] x [0,1] → [0,1] que cumplan las siguientes propiedades:

II.1. Conmutativa

T(x,y) = T(y,x)     x, y Î [0,1]  

II.2. Asociativa

T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z)     x, y, z Î [0,1]  

II.3. Elemento neutro

T(x,1) = x     x Î [0,1]  

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II.4. Monótona creciente

Si x ≤ y entonces T(x,z) ≤ T(y,z)     x, y, z Î [0,1]

 Además conviene que T sea continua

En el caso de la teoría de Zadeh: T(x,y) = Min(x,y)

Ejemplo: Decimos que una persona es digna de confianza si es a un tiempo sincera y cumplidora. Sabemos que el individuo c es sincero en grado mSincero(c) = 0.9 y es cumplidor mCumplidor(c) = 0.4. Entonces, ¿Cuál será el mSincero Ç Cumplidor(c)?

La siguiente aplicación desarrolla los diferentes tipos de funciones de pertenecía triangular de la lógica difusa.

3. Funciones de las t-normas

3.1. T-norma Mínimo T(x,y) = Min (x,y), que es la mayor de las t-normas.

Conjunto A(x) 1.0 0.5 0.6 0.2 0.6Conjunto B(y) 0.5 0.74 0.1 0.35 0.3Resultados min(A,B)

0.5 0.5 0.1 0.2 0.3

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3.2. T-norma Producto

T-norma del producto (el producto ordinario de números verdaderos). Además de otras aplicaciones, la t-norma del producto es para la conjunción fuerte en lógica confusa del producto. Es una t-norma de Arquímedes terminante. Prod (x,y) = x · y

Conjunto A(x) 1.0 0.5 0.6 0.2 0.6Conjunto B(y) 0.5 0.74 0.1 0.35 0.3Resultados prod (A,B)

0.5 0.37 0.06 0.07 0.18

3.3. T-norma Producto drástico

El nombre refleja el hecho de que la t-norma drástica es la t-norma más pequeña. Es una t-norma de

Arquímedes derecho-continua.

Z(x, y) = { x, si y = 1 y, si x = 1 0, en otro caso

Que es discontinua y es la menor de todas las t-normas.

Conjunto A(x) 1.0 0.5 0.6 0.2 0.6Conjunto B(y) 0.5 0.74 0.1 0.35 0.3Resultados Z (X,B)

0.5 0.0 0.0 0.0 0.0

3.4. T-norma de Lukasiewicz

El nombre viene del hecho de que la t-norma es la semántica estándar para la conjunción fuerte adentro

Lógica confusa de Łukasiewicz. Es una t-norma de Arquímedes nilpotent, pointwise más pequeño que la t-norma

del producto.

W (x,y) = Max (0, x+y-1)

Conjunto A(x) 1.0 0.5 0.6 0.2 0.6Conjunto B(y) 0.5 0.74 0.1 0.35 0.3Resultado máx.(0,x+y-1)

0.5 0.24 0.0 0.0 0.0

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III. T-conormas

1. Definicion:

Conorma Triangular, t-conorma o s-norma:Operación binaria s: [0,1]2 à [0,1]

La operación de unión de conjuntos para conjuntos difusos puede ser representada por una clase de funciones binarias llamadas conormas triangulares o conormas T o normas S. Una conorma T tiene las siguientes propiedades:

Toda t-conorma satisface las siguientes desigualdades:

"a,bÎ[0,1] umax(a,b) £ u(a,b) £ usup(a,b)

• La menor t-conorma es la t-conorma del máximo • La mayor t-conorma es la t-conorma de la suma o unión drástica

2. Propiedades de las T-conorma: Generaliza el concepto de unión, 2.1. Conmutativa: S(a,b) = S(b,a)2.2. Asociativa: S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)2.3. Monotonía: S(a,b)≥S(c,d), si a≥c y b≥d2.4. Condiciones frontera: S(a,0) = a

Ejemplos

Nótese que las 3 primeras son idénticas a las 3 primeras propiedades con que se definen las normas T. La mayoría de las aplicaciones prácticas utilizan la función max como conorma T.

La tercera operación (siguiendo también a la teoría clásica de conjuntos) es el complemento, que en el ámbito difuso se define con las siguientes propiedades:

Involución

Monotonicidad

Condición Frontera

La operación complemento de uno o uno menos es la función complemento más difundida en aplicaciones prácticas.

Del análisis de las normas T resulta que la función min es la que arroja los valores más altos de la clase, en tanto que max es la que obtiene los valores más bajos de entre las conormas T.

Ejemplos de normas, conormas y complementos utilizados en operaciones con conjuntos difusos.

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Podemos ver ejemplos de conjuntos resultantes de aplicar normas S

3. Funciones de las T-Conormas3.1. T-Conorma Máximo o Unión estándar:

S(a,b) = max(a,b)

La función máx (Ú) es una s-norma, que corresponde a la operación de unión en conjuntos clásicos cuyos grados de pertenencia están en {0,1}. Por eso, esta función es la extensión natural de la unión en conjuntos difusos.

Ejemplo:

Conjunto A(x) 0.5 0.15 0.4 0.48 0.3

Conjunto B(y) 0.25 1.0 0.5 0.7 0.45

Resultados

max (x,y)0.5 1.0 0.5 0.7 0.45

3.2. T Conorma Suma algebraica: S(a,b) = a+b-a·b

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Conjunto A(x) 0.5 0.15 0.4 0.48 0.3

Conjunto B(y) 0.25 1.0 0.5 0.7 0.45

Resultados

a+b-a·b0.625 1.0 0.7 0.844 0.615

3.3. T- Conorma Suma acotada o límite: S(a,b) = min (1, a+b)

Conjunto A(x) 0.5 0.15 0.4 0.48 0.3

Conjunto B(y) 0.25 1.0 0.5 0.7 0.45

Resultados

min (1, a+b)0.75 1.0 0.9 0.1 0.75

3.4. T- Conorma Unión drástica: S(a,b) = a, si b=0

= b, si a=0

= 1, e.o.c.

Conjunto A(x) 0.5 0.15 0.4 0.48 0.3

Conjunto B(y) 0.25 1.0 0.5 0.7 0.45

Resultados

min (1, a+b)1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

Ejemplos

Supongamos que tenemos las proposiciones [{La temperatura de hoy}es{agradable}]

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Y [{La temperatura de hoy}es{calurosa}],proposiciones definidas sobre el mismo universo U (el

de las temperaturas posibles)donde las funciones de posibilidad de las etiquetas agradable y

calurosa se Pueden ver en la figura de conjuntos difusos agradable y caluroso.

Podemos utilizar como función de T-norma T(x,y)= min(x,y) y de T-conorma S(x,y)=

max(x,y)

Y construir la función de posibilidad que define la conjunción y la disyunción de ambas

proposiciones, el resultado se puede ver en la figura de combinación de etiquetas.

También podemos definir la negación de agradable mediante la función de negación fuerte

N(x)=1−x, el resultado se puede ver en la figura siguiente (negación de la etiqueta agradable).

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