Matriz de Inercia

Ricardo Bianconi

Marco de 2008

Vamos deduzir a expressao da chamada matriz de inercia a partir do calculo do momento deinercia em relacao a um eixo qualquer passando pela origem.

O Momento de Inercia de uma partcula de massa m em relacao a uma reta (ou eixo) re definido como I = m d2, sendo que d e a distancia da partcula ao eixo. Pelo processo dediscretizacao e limites, apropriado a`s integrais, podemos definir o momento de inercia em relacaoa` reta r de um solido S, cuja densidade e dada pela funcao : S R, e denotando a distancia deum ponto P = (x, y, z) a` reta r por dr(x, y, z), como sendo a integral

Ir =

S

dr2(x, y, z) (x, y, z) dxdydz,

ou, de um modo mais sucinto, fazendo dm = (x, y, z) dxdydz,

Ir =

S

dr2(x, y, z) dm.

Vamos calcular o momento de inercia de S em relacao a` reta r (passando pela origem), cujaequacao vetorial e dada por (x, y, z) = t~v, com t R e ~v = (a, b, c), com a2 + b2 + c2 = 1.

Pela escolha de um vetor unitario como vetor diretor da reta, a funcao dr2(x, y, z) e igual ao

quadrado do modulo do produto vetorial de ~v porOP = (x, y, z) (0, 0, 0) = (x, y, z), ou seja,

dr2(x, y, z) = (bz cy)2+(cxaz)2+(ay bx)2 = a2(y2+z2)+ b2(x2+z2)+ c2(x2+y2)2(abxy+

acxz + bcyz).Assim, temos que

Ir = a2

S

(y2 + z2) dm+ b2

S

(x2 + z2) dm+ c2

S

(x2 + y2) dm

2ab

S

xy dm 2ac

S

xz dm 2bc

S

yz dm

As integrais

I11 =

S

(y2 + z2) dm, I22 =

S

(x2 + z2) dm, I33 =

S

(x2 + y2) dm

1

sao os momentos de inercia de S em relacao aos eixos coordenados, e as integrais

I12 = I21 =

S

xy dm

I13 = I31 =

S

xz dm

I23 = I32 =

S

yz dm

sao os produtos de inercia (de S em relacao aos planos coordenados).A matriz I = (Im,n)1m,n3 e a Matriz de Inercia do solido S (em alguns livros e chamada de

tensor de inercia).Observe-se que o momento de inercia em relacao a` reta r dada pela equacao (x, y, z) = t~v acima

pode ser escrito matricialmente como

Ir =[a b c

] I11 I12 I13I21 I22 I23I31 I32 I33

I

abc

Vamos analisar o momento de inercia Ir como funcao, Ir = I(a, b, c), da direcao ~v = (a, b, c),cujo domnio esta restrito a` esfera a2 + b2 + c2 = 1.

Esta e uma funcao de classe C e. como seu domnio e um conjunto compacto de R3 (ou seja,fechado e limitado), ela deve assumir um valor mnimo e um valor maximo.

Vamos usar o metodo dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos de maximo e demnimo de I(a, b, c), com a restricao a2 + b2 + c2 = 1. Temos que resolver as equacoes

I

a= 2 a,

I

b= 2 b,

I

c= 2 c,

ou, vetorialmente, I = 2(a, b, c) = 2~v. Assim, temos:I

a= 2a I11 + 2b I12 + 2c I13,

I

b= 2a I21 + 2b I22 + 2c I23,

I

c= 2a I31 + 2b I32 + 2c I33,

ou seja, I = 2 I, ou seja, o metodo dos multiplicadores de Lagrange reduz-se ao problema deresolver I~v = ~v, ou seja, achar os autovalores e autovetores da matriz de inercia I.

Como a matriz de inercia I e simetrica, ela e diagonalizavel e possui tres autovalores, 0 < 1 2 3, e podemos achar uma base ortonormal de autovetores {~v1, ~v2, ~v3}. Nessa nova base, amatriz de I sera diagonal, ou seja, os produtos de inercia serao nulos.

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