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Lezione 2: il campo elettrico ed il potenziale elettrostatico
Il Campo Elettrico
→
→→
=
=
urqq
urqqF
21
00
210
010
41
41
πε
πε
q1
q0
F10
q1 esercita su q0 una forza proporzionale a:
q0 (carica esploratrice)termine vettoriale
che dipende da q1 e dalla posizione, dettocampo elettricoprodotto da q1
→→
= urqrE 2
1
041)(
πε)(010 rEqF
→→
=
Asimmetria fra le cariche:q1 origina un’entità presente in tutti i punti dello spazioq0 sperimenta la forza
⇒ il campo esiste anche quando q0 non c’è
Modello visivo dicampo E
telo elastico
Q+q -
Q+ (sorgente) deforma il telo
q - (carica di prova) segue la curvatura del campo
principio di sovrapposizione:forza che agisce su q0 dovuta ad n cariche puntiformi
∑∑→→→
==i
i
i
i
ii u
rqqFF 2
00 4
1πε
→→
= EqF 0
∑=
→→
=n
ii
i
i urqE
12
041
πε
distribuzioni continue di caricheenorme quantità (miliardi) di cariche sparse su
lineasuperficievolume
dsdq ⋅=λdadq ⋅=σdVdq ⋅=ρ
densità di caricaλ ⇒ C/mσ ⇒ C/m2
ρ ⇒ C/m3
∫→→
= EdE
Filo carico infinito
220
20
41
41
zydz
rdqdE
+=
=
λπε
πε
dEdEEz
zyy ∫∫
+∞=
−∞=
== θcos
rE
02πελ
=
(anello carico, disco carico …)
Definizione operativa del campo
Il campo elettrico E(r) si manifesta, ponendo in r una carica esploratrice q0,
mediante la forza q0 E(r)
⇓
utilizzo una piccola carica q0
per non perturbare le cariche responsabili del campo:
→→
=0qFE
000
limqFE
q
→
→
→
=
CNE =][
Il concetto di campo elettricoelimina le azioni a distanza
Prima di Faraday: azione a distanzala forza agente fra particelle cariche è una interazione
diretta e istantanea fra le due particellecarica ↔ carica
Visione attuale: azione locale
q1 origina un campo elettrico nello spazio circostantecampo esercita su q2 una forza F
carica ↔ campo
Eq1 ≠ Eq2
Fq1 = -Fq2
in condizioni statiche:Azione a distanza ≡ azione locale
in condizioni dinamiche:q2 è informata del moto di q1
da una perturbazionedel campo che si propaga con velocità c.
Rappresentazione grafica del campo elettrostatico
Il campo elettrico è vettorialeFaraday: rappresentazione geometrica dei campi vettoriali mediante linee di forza
linea di forza: curva orientata diretta in ogni punto nella direzione e verso tangente al campo in quel punto
→
E
sono infinitenon si incrociano mairappresentano direzione, verso, intensitàescono da +q, entrano in -qpossono venire o andare a ∞
linee di forza attorno a conduttori carichi: semi d’erba galleggianti su un liquido isolante
sferette con cariche opposte
piastra carica
Teorema di Gauss
→
E
∆Σ
∆Σ
∆Σ
Flusso di E attraverso ∆Σ:
NE ∆=∆Σ⋅=∆Φ→→
→→
= vE
Fluido incomprimibile:
→→
∆Σ⋅=∆Φ v volume di fluido che attraversa∆S nell’unita` di tempo
somma algebricalinee di campo:entranti –uscenti +
superficiefinita
→→
∆Σ⋅=Φ ∫SE
campo elettrico E generato da q
Ω=
Σ⋅=
Σ⋅=Φ→→
→→
dq
dner
qdEd
r
0
20
4
14
πε
πε
dΦ dipende solo daangolo solido dΩsotto cui la caricavede dΣ
( → ← )2
1r
E ∝
004 επεqdqE
tutto=Ω=∆Σ⋅=Φ ∫∫Σ
→→ indipendente dallaposizione dellacarica q
dVdVEdivVV ∫∫ =
→
ρε0
1
0ερ
=→
Ediv Teorema di Gauss
Conseguenza del Teorema di Gauss
Σ
Conduttore isolato:un eccesso di carica si distribuiscesulla superficie esterna
(verifica sperimentale prima diGauss e Coulomb)
ecceso di carica → campo elettrico E≠0→ moto di cariche→ equilibrio E=0
per ogni Σq = 0 entro Σ
0)( =Φ E
⇓la carica deve essere sullasuperficie del conduttore
Verifica sperimentaleTeorema di Gauss
0εqE =∆Σ⋅=Φ ∫Σ
→→
2
1r
E ∝
1755 Franklin: all’interno di un recipiente metallicoisolato non possono esservi cariche
Cavendish: esegue esperimento e deduce cheesponente nella legge della forza di Coulomb e` 1.98-2.02 (mai pubblicato!!)
Maxwell: ripete esperimento di Cavendish e trova1.9995-2.00005
N.B. La legge di Coulomb e` del 1785 !!!
1936: Plimpton e Lawton
+= 204
1rqE
πε δ
se δ=0 0
)(εqE =Φ
dispositivo:
due involucri metallici concentrici A e BB contiene elettrometro E per rivelare moto di cariche
fra A e Bcon commutatore S trasferisco carica sulle sfere
non si osserva alcun effetto nell’elettrometro
Applicazioniteorema di Gauss
(1) Calcolo di E (distribuzioni simmetriche di cariche)
Filo carico infinito(simmetria cilindrica)
)2(cos)2(
cos)(
hrEhrE
EAE
⋅=⋅=
=Φ
πθπ
θ
0
int
.)(
εqE
GaussT=Φ
hrhE λπε =)2(0
rE
02πελ
=
(simmetria piana, sferica …)
(2) Schermo elettrostatico
Il conduttore può avere Piccole apertureStruttura a rete
(discontinuità non si avvertono a grandi distanze)
E=0
Il campo E è sempre nullo
all’interno di conduttori cavi
Utilizzo in laboratorio:
per proteggere strumentazione delicata da campi elettromagnetici
Il potenziale elettrostaticoForza di Coulomb è conservativa
il lavoro fatto per spostare una carica q in presenza di una carica q0 non dipende dal percorso
−−=
⋅−=→→
∫
210
0 114
2
1
rrqq
dsFLr
r
πε
energia potenziale U(funzione della sola posizione della carica q)
costante14
)(0
0 +=r
qqrUπε
)()( 12 rUrUL −=
Forza di Coulomb è conservativa
il lavoro fatto per spostare una carica q in presenza di una carica q0
non dipende dal percorso ma solo dal punto iniziale e finale.
−−=
−=
⋅−=
⋅−=
∫
∫
∫
→→
→→
210
0
2
12
0
0
2
12
0
0
2
1
114
4
4
rrqq
rdrqq
dsruqq
dsFL
r
πε
πε
πε
⇒ tutte le forze centrali sono conservative
Se la carica q è unitaria:→→
= EF
)()( 12
2
1
rrdrEL φφ −=⋅−=→→
∫ VCJ
==][φ
Il lavoro è una differenza di potenzialetra i punti r2 ed r1
0)(
)(
0
0
=
⋅−=→→
∫r
drErr
r
φ
φIl potenziale è definitoa meno di una costanteadditiva arbitraria
campo creato da carica puntiforme
q0 nell’origine 0 )(
cost14
)(0
0
=∞
+=
φπε
φr
qr
è il lavoro che fatto contro le forze del campo per portarvi la carica unitaria dall’)(rφ
∞
Potenziale elettricodi carica puntiforme
Q+: repulsivo Q -: attrattivo
La forza elettrica fa muovere le cariche positive da punti a
potenziale maggiore verso punti a potenziale minore
In elettrostatica:
→
→→
⋅∇=−
⋅−=−
∫
∫
drrrr
drErr
r
r
r
r
φφφ
φφ
)()()(
)()(
2
1
2
1
12
12
→
i→
j
→
k→→→
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ kk
jy
ix
φφφφ
φ−∇=→
E
Calcolo del campo prodotto da una data distribuzione di carica:
calcolo il potenzialederivo le componenti del campo
Superfici equipotenzialiLuogo geometrico dei punti con medesimo potenziale
⇓E non compie lavoro su tali
superifici(L=Vf – Vi=0)
LI = LII = 0LIII = LIV
4 sono perpendicolari alle linee di campoaltrimenti E avrebbe componente sulla superficie⇒ E compirebbe lavoro per muovere carica su superficie
0=⋅∇=⇒∂∂
+∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⇒++=→→→
ldddldz
kdldy
ydldx
xdld
dzk
dyy
dxx
dkdzjdyidxld
r
r
φφφφφφ
φφφφspostamento infinitesimo incremento della funzione
su sup. livello
ldEldrrr
⊥⇒⊥∇⇒ φ
Problema fondamentaledell’elettrostatica
0ερ
=→
Ediv
φ−∇=→
E E è conservativo
Teorema di Gauss
⇓
0
2
ερφφ −=∇=∇div
equazione di Poisson
Laplaciano(in coordinate cartesiane)2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇φφφφ
per distribuzioni NOTE di cariche puntiformi, superficiali, volumetriche:
⇒
∫∫
∑
−+
−
+−
==
V iS i
N
i i
i
rrdvr
rrdarrr
qr
rr
r
rr
r
rrr
')'(4
1')'(4
14
1)(
00
10
ρπε
σπε
πεφ
in presenza di conduttori:distribuzione di carica NON nota a priori
su superfici dei conduttori causa fenomeno induzione elettrostatica
02 =∇ φ
1. studio eq. di Poisson in tutti i punti in cui ρ(x,y,z)=0
equazione di Laplace
Come posso risolvere il problema?
2. cerco soluzioni armoniche (“regolari”) in regione di spazio V finita:cerco cioè funzioni finite, continue in derivate primee con derivate seconde
N.B. tali funzioni esistono e sono univocamente determinate assegnati i valori diΦ o delle sue derivate sulla superficie S che racchiude V[Teoremi di Dirichlet e Neumann]
in pratica:1. risolvo equazione di Poisson in punti esterni ai conduttori2. cerco soluzione univocamente definita imponendo
condizioni al contorno: valori di potenziale o campo Esu superfici dei conduttori.
N.B. dentro i conduttori: E = 0, φ = costante = φS
si distingue inoltre tra
problema chiuso:
esiste superficie S che contiene tutti i conduttori⇒ assegno condizioni al contorno su S
problema aperto:
superficie S → ∞⇒ specifico comportamento potenziale a ∞
22
1
)(lim
)(lim
cdrrdr
crr
r
r
=
=
∞→
∞→
φ
φ
condizioni normali a ∞
21)(
1)(
rdrrd
rr
r
r
∞→
∞→
≈
≈
φ
φ
N.B. tali condizioni sono valide se a ∞NON ci sono cariche
esempio: carica ad ∞ ⇒ potenziale ad ∞ NON nullo
filo uniformemente carico lunghezza finita L
xy
z
0
1L−
2L
'dz
),,( zP ϕρ
R
ρ
'zz −
ϕ
22 )'( zzR −+= ρ
∫− −+=
2
1 220 )'(
'4
)(L
L zzdzP
ρπελφ
sapendo che:
)ln( 2222
ρρ
++=+∫ uu
udu
22
11
''
LzuLzu
dzduzzu
−=+=
⇒
−=−=
−++−
++++=
+=
+
−= ∫∫
+
−
−
+
22
22
21
21
0
220
220
)(
)(ln
4
44)( 1
2
2
1
LzLz
LzLz
udu
uduP
Lz
Lz
Lz
Lz
ρ
ρπελ
ρπελ
ρπελφ
Supponiamo ora il filo molto lungo:
zLL
zLLLL
>>>>
>>>>∞→∞→
22
11
21
,
,,
ρ
ρ
12L→
...81
211)1 22
1
±−±=± xxx
2
2
22
2
2
2/1
22
2
2
2/1
22
2
2 2211111
)(11)(
LLL
LL
zLzL ρρρρ
=
++−≅
++−≅
−
++−−
numeratore
denominatore: uso espansione (
∞→
≅
∞→∞→
21
221
0
4ln4
)(LL
LLPρπε
λφ⇒
il potenziale diventa ∞ perché L1 ed L2 vanno ad ∞
⇒ il potenziale è diverso da 0 ad ∞perché ho carica a ∞