III MAGNETIZAM

1 STALNO MAGNETNO POLJE U VAKUMU 1.1 NAELEKTRISANJE U POKRETU KAO IZVOR MAGNETNOG POLJA

Posmatramo naelektrisano telo u vakumu sa količinom naelektrisanjaQ .

Svako naelektrisano telo (pokretno ili nepokretno) stvara u proizvoljnoj tački M okolnog prostora električno polje koje

opisujemo vektorom jačine električnog polja E .

Ukoliko se naelektrisano telo kreće brzinom v , ono oko sebe stvara još jedno fizičko polje koje nazivamo magnetno polje.

Magnetno polje se opisuje vektorom magnetne indukcije B .

Jedinica magnetne indukcije je tesla (T).

Pokretno naelektrisano telo Q u nekoj proizvoljnoj tački M

okolnog prostora stvara električno i magnetno polje, koja

opisano vektorima E i B .

1.1.1 MAGNETNA INDUKCIJA POKRETNOG TAČKASTOG NAELEKTRISANJA

Pretpostavka: Tačkasto naelektrisanje Q kreće se brzinom v u vakumu.

Posledica: Oko naelektrisanja Q stvara se magnetno polje.

Vektor magnetne indukcije B u proizvoljnoj tački M na rastojanju r od pokretnog naelektrisanja Q :

02

ˆ

4

Qv rB

r

T

7

0 4 10H

m

r̂v vektorski proizvod

r̂ ort (jedinični vektor), ˆr rr poteg

Vektor B je normalan na vektor brzine v i na poteg r .

Izvor magnetnog polja je proizvod Q v

magnetna permeabilnost vakuma

1.1.2 MAGNETNA INDUKCIJA SISTEMA POKRETNIH TAČKASTIH NAELEKTRISANJA

Pretpostavka: Posmatrajmo sistem od N tačkastih naelektrisanja u vakumu, 1, , ,NQ Q

koji se kreću brzinama 1, , Nv v .

Rezultujuća magnetna indukcija u proizvoljnoj tački M iznosi:

02

1 1

ˆ

4

N Ni i i

i

i i i

Q v rB B

r

(princip superpozicije)

ir , 1, ,i N - odstojanje tačke M od tačkastog

naelektrisanja iQ ,

îr - jedinični vektor usmeren od tačkastog naelektrisanje

iQ ka tački M .

1.1.3 DEJSTVO SPOLJAŠNJEG ELEKTRIČNOG I MAGNETNOG POLJA NA POKRETNO TAČKASTO NAELEKTRISANJE (Lorencova sila)

Pretpostavka: Tačkasto naelektrisanje Q kreće u spoljašnjem

magnetnom polju indukcije B .

Posledica: Na Q deluje magnetna sila:

mF Qv B

,m mF v F B

LORENCOVA SILA

Pretpostavka: Tačkasto naelektrisanje Q kreće u

spoljašnjem električnom E i magnetnom polju B .

Posledica: Na Q deluje elektromagnetna sila (Lorencova sila):

e mF F F QE Qv B ( )F Q E v B

1.1.4 LINIJE MAGNETNOG POLJA POKRETNOG TAČKASTOG NAELEKTRISANJA

Pretpostavka: Posmatramo pokretno tačkasto naelektrisanje Q koje se kreće

konstantnom brzinom v u vakumu.

Posledica: Oko naelektrisanja Q stvara se električno i magnetno polje.

Električno i magnetno polje u tački M koja je definisana potegom r u odnosu na položaj

naelektrisanja, pri čemu je poteg r upravan na vektor brzine v ( r̂ v ), iznose:

2

0

2

ˆ ˆ

ˆˆ,

4

ˆ

QE k r E r

r

Q v rB B v B r

r

r v

Vektori E i B leže u ravni koja je normalna na vektor brzine v .

ˆ , , ,E v B v B E B r

Linije polja vektora magnetne indukcije su zamišljene linije koje u svakoj tački za tangentu imaju vektor magnetne indukcije.

Linije polja vektora B naelektrisanja koje se kreće konstantnom brzinom v su kružnice čiji centar leži na putanji naelektrisanja.

Orjentacija linija polja vezana je pravilom desne zavojnice u odnosu na smer brzine.

Magnetno polje je vrtložno jer su linije polja zatvorene.

Linije vektora magnetne indukcije nemaju ni početka ni kraja, tj. linije polja nemaju izvore i ponore.

Magnetno polje je bezizvorno, tj. ne postoje „magnetne mase“ kao izvori magnetnog polja.

1.2 STRUJNI ELEMENT KAO IZVOR MAGNETNOG POLJA

Posmatramo skup N pokretnih naelektrisanja koja se kreću u strujnom polju.

Strujni element predstavlja skup pokretnih naelektrisanja

u nekom strujnom polju, koji se kreću brzinom v .

U proizvoljnoj tački M oko strujnog elementa, vektor magnetne indukcije iznosi:

0

21

ˆ

4

Ni i i

i i

Q v rB

r

Član Qv

U zavisnosti od geometrijskog oblika strujnog elementa, razlikujemo tri vrste strujnih elemenata:

1. strujni element zapreminskih struja, 2. strujni element površinskih struja i 3. strujni element linijskih struja.

prestavlja izvor magnetnog polja koje potiče od pokretnog strujnog elementa

Strujni element zapreminskih struja

Čine ga sva pokretna naelektrisanja u maloj zapremini dV

VQv J dV VJ - vektor zapreminske gustine struje

Strujni element površinskih struja

Čine ga sva pokretna naelektrisanja na maloj površini dS

SQv J dS SJ - vektor površinske gustine struje

Strujni element linijskih struja (strujna kontura)

Čine ga sva pokretna naelektrisanja na maloj dužini dl

Qv Idl I - jačina linijske struje,

dl - ima istu orjentaciju kao i referentni smer struje I

U praksi, strujni element predstavlja tanki žičani provodnik sa strujom I .

Specijalni strujni element: Strujna kontura je zatvoreni strujni element.

1.2.1 MAGNETNA INDUKCIJA STRUJNIH ELEMENATA LINIJSKIH STRUJA

BIO-SAVAROV ZAKON

Pretpostavka: Posmatramo provodnik proizvoljnog oblika sa strujom I .

Cilj: Treba odrediti magnetnu indukciju B u proizvoljnoj tački M u okolini strujne konture.

Rešenje: Magnetna indukcija strujnog elementa Idl u tački M iznosi:

02

ˆ

4

Qv rdB

r

i Qv Idl

0

2

ˆ

4

Idl rdB

r

Ukupna magnetna indukcija strujnog provodnika dužine L koja se nalazi u vakumu iznosi:

02

ˆ

4L

Idl rB

r

(Bio-Savarov zakon za linijske struje)

smer ka nama smer od nas

MAGNETNA INDUKCIJA STRUJNOG ELEMENTA KOJI PRIPADA JEDNOJ RAVNI

Pretpostavka. Posmatra se strujni element koji leži u jednoj ravni.

Cilj: Odrediti magnetno polje u proizvoljnoj tački M te ravni.

Rešenje: Usvojimo polarni koordinatni sistem sa centrom u tački M i polupravom p .

Pozitivni smer ugla biramo u smeru struje.

Magnetna indukcija dB u tački M za strujni element Idl dobija se primenom Bio-Savarov-og zakona:

0 0 0

2 2

ˆˆ,

4 4 4rdz z z

I dl r Ird IddB dBi dl r dl i rd i dB

r r r

Ukupna magnetska indukcija u tački M iznosi:

04

L

I dB

r

Pozitivan smer ugla računa se u smeru struje:

0 u smeru struje

0 suprotno smeru struje

- ort normalan na ravan crteža

poluprava

smer ka nama smer od nas

Slučaj 1. Pravolinijski provodnik sa strujom konačne dužine

2

1

0 0

0 02 1

/cos

4 4

cos

cos sin sin4 4

L

d

I Id dB

dr

I Id

d d

0 2 1sin sin4

IB

d

Orjentacije uglova 1 i 2 se računaju u smeru struje: 1 0 , 2 0

Ako umesto uglova 1 0 i 2 0 koristimo uglove 1 1/ 2 i 2 2/ 2 ,

koji predstavljaju unutrašnji i spoljašnji ugao u trouglu sa slike u smeru struje I , dobija se sledeća praktičnija formula za izračunavanje magnetne indukcije:

0 1 2cos cos4

IB

b

Orjentacije uglova 1 i 2 ne uzimaju se u obzir.

smer ka nama smer od nas

smer ka nama smer od nas

Slučaj 2. Veoma dug pravolinijski provodnik sa strujom

1 0 , 2

0 01 2cos cos 1 ( 1)4 4

I IB

d d

,

0

2

IB

d

Slučaj 3. Kružna strujna kontura koja leži u ravni crteža

2

0 0 0 0

0

24 4 4 2

L

I I I IdB d

a a a a

02

IB

a

Slučaj 4. Deo kružne strujne konture

02 2

IB

a

pogled sa strane

smer ka nama smer od nas

pogled odozgo

MAGNETNA INDUKCIJA KALEMA Posmatramo kalem (strujni element sačinjen od N kružnih navojaka) poluprečnika a kroz kojih protiče struja I .

Ukupna magnetna indukcija u tački M na x -osi kalema iznosi:

0 1 2cos cos2

NIB

l

/N N l - podužna gustina navojaka

Referentni smerovi vektora B i struje I vezani su pravilom desne šake.

Slučaj. Veoma dug kalem, 1 0 , 2

0 0 01 2cos cos 1 ( 1)2 2

NI NI NIB

l l l

0NIBl

(polje unutar veoma dugog kalema je konstantno)

Smer magnetne indukcije se određuje pravilom desne šake.

N - severni pol magnetnog polja S - južni pol magnetnog polja

MAGNETNI MOMENT RAVNE ZATVORENE STRUJNE KONTURE

Posmatramo ravnu strujnu konturu sa strujom I .

Magnetni moment ravne strujne konture sa strujom Idefiniše se kao:

m IS

I - jačina struje u konturi

S - vektor površine koja je oslonjena na konturu, orjentisan je po pravilu desne šake u odnosu na referentni smer struje konture.

LINIJE MAGNETNOG POLJA STRUJNE KONTURE

pogled odozgo

N - severni pol magnetnog polja S - južni pol magnetnog polja

pogled spreda

smer ka nama smer od nas

1.2.2 DEJSTVO SPOLJAŠNJEG MAGNETNOG POLJA NA STRUJNE ELEMENTE

Pretpostavka: Strujni element Qv se nalazi u stranom magnetnom polju indukcije B .

Cilj: Odrediti magnetnu silu koja deluje na ovaj strujni element.

Rešenje: Na strujni element deluje magnetna sila

mdF Qv B

Za strujni element zapreminskih struja

Qv JdV mdF JdV B

Za strujni element površinskih struja

Qv JdS mdF JdS B

Za strujni element linijskih struja

Qv Idl mdF Idl B

DEJSTVO MAGNETNOG POLJA NA PRAVOLINIJSKI PROVODNIK SA STRUJOM

Pretpostavka: Posmatramo dug pravolinijski provodnik sa strujom I u

spoljašnjem homogenom magnetnom polju B .

Cilj: Odrediti magnetnu silu kojom spoljašnje polje deluje na pravolinijski provodnik sa strujom dužine l .

Rešenje: Magnetna sila koja deluje na linijski strujni element Idl

mdF Idl B , za mB dl dF Idl B

Ukupna magnetna sila koja deluje na provodnik dužine l :

0 0

( )

l l

mF Idl B I dl B Il B , l je u smeru struje I

mF Il B sinmF IlB

Sila mF je normalna na provodnik

Ako je B L onda važi: sin90mF IlB BIl

mF BIl (AMPEROVA SILA)

Podužna magnetna sila: /m mF F l BI / mN

I l - strujni

element pravolinijskog provodnika

UZAJAMNO DEJSTVO DVA PROVODNIKA SA STRUJAMA

Pretpostavka: Posmatramo dva dugačka paralelna pravolinijska provodnika sa strujama I1 i I2 suprotnih smerova.

Cilj: Odrediti magnetne sile kojim provodnici uzajamno deluju.

Rešenje: Magnetna indukcija prvog provodnika na mestu drugog je konstantna i iznosi:

0 11

2

IB

d

(prema usvojenim referentnim smerovima za I1 i B1 ) 1B l

Magnetna sila koja deluje na drugi provodnik dužine l iznosi:

2 1mF I l B (odbojna sila)

1B l 0 1

2 1 22

m

IF I lB I l

d

0 1 2

2m

I I lF

d

Podužna magnetna sila kojom prvi provodnik sa strujom deluje na drugi provodnik sa strujom je:

Sila je odbojna ako su struje provodnika suprotne, inače je privlačna. Ista formula važi i za dejstvo drugog provodnika na prvi.

0 1 2

2

mm

F I IF

l d

N

m

DEJSTVO MAGNETNOG POLJA NA STRUJNU KONTURU

Pretpostavka: Posmatramo krutu strujnu konturu proizvoljnog oblika sa

strujom I koja se nalazi u magnetnom polju B .

Cilj: Odrediti ukupnu magnetnu silu kojom spoljašnje magnetno polje deluje na ovu konturu.

Rešenje:

Elementarna magnetna sila koja deluje na strujni element Idlkonture iznosi:

mdF Idl B

Ukupna magnetna sila koja deluje na celu zatvorenu konturu sa strujom I :

mC

F Idl B

DEJSTVO HOMOGENOG MAGNETNOG POLJA NA STRUJNU KONTURU

Pretpostavka: Posmatramo krutu strujnu konturu sa strujom I u homogenom

magnetnom polju indukcije B .

Cilj: Odrediti ukupnu magnetnu silu i moment sprega sila koji deluju na ovu konturu.

Rešenje:

1. Rezultujuća magnetna sila

0

0mC C

F Idl B I dl B

0mF

U homogenom magnetnom polju, rezultujuća magnetnih sila koje deluju na zatvorenu strujnu konturu jednaka je nuli.

Zaključak: U homogenom magnetnom polju ne dolazi do translatornog kretanja konture!

2. Moment sprega magnetnetnih sila na konturu

Iako je rezultujuća magnetna sila u homogenom magnetnom polju na strujnu konturu jednaka nuli, postoji moment magnetnih sila na konturu i on iznosi:

mM m B Am T Nm 2

m IS - magnetni moment strujne konture

S - vektor površine oslonjen na strujnu konturu orjentisan prema pravilu desne šake u odnosu na smer struje u konturi.

U homogenom magnetnom polju javlja se moment magnetnih sila

mM m B koji teži da zaokrene zatvorenu strujnu konturu tako da

se njen magnetni moment m poklopi sa magnetnom indukcijom

B spoljašnjeg magnetnog polja.

Kada se m poklopi sa B , moment sila iznosu :

sin0 0mM m B mB

F

F

F

F ΣF=0 ΣM=0

ΣF=0, M≠0

1.3 MAGNETNI FLUKS

Fluks vektora magnetne indukcije B kroz površ S definiše se na sledeći način:

S

BdS 2Wb Tm

Površ dS orjentisana je u smeru usvojene normale n .

1.3.1 ZAKON O KONZERVACIJI MAGNETNOG FLUKSA

Fluks vektora magnetne indukcije B kroz proizvoljnu zatvorenu površ S jednak je nuli.

0S

BdS

Posledica:

Linije vektora magnetne indukcije su zatvorene linije (nemaju početak i kraj).

Broj linija sila koje izađu iz zatvorene površine mora biti jednak broju linija sila koje uđu u zatvorenu površinu.

1.4 AMPEROV ZAKON

Za magnetno polje električnih struja u vakumu važi Amperov zakon:

Linijski integral vektora B po nekoj zatvorenoj konturi C (cirkulacija vektora B ) srazmeran je algebarskom zbiru struja koje prolaze kroz površinu koja se oslanja na tu konturu:

0

C

Bdl I

I - algebarska suma struja koje protiču kroz zatvorenu konturu C , odnosno kroz proizvoljnu površ S koja se oslanja na konturu C .

- Pozitivan smer proticanja struje određuje se po pravilu desne šake u odnosu na proizvoljno izabrani smer obilaženja po konturi C.

Za kalem sa N navojaka važi I NI , pa Amperov zakon glasi

0

C

Bdl NI

U slučaju kada struje nisu kanalisane duž tankih provodnika, već je zadato strujno polje opisano

vektorom gustine struje J koja protiče kroz površinu S, tada važi

S

I JdS

pa Amperov zakon glasi:

Linijski integral vektora B po nekoj zatvorenoj konturi C srazmeran je fluksu vektora gustine struje kroz površinu koja se oslanja na konturu C

0

C S

Bdl JdS

1.4.1 PRIMENA AMPEROVOG ZAKONA

Slučaj 1. Magnetna indukcija dugačkog pravolinijskog provodnika sa strujom

Posmatramo veoma dugačak pravolinijski provodnik sa strujom I .

Simetrija linije vektora magnetne indukcije B provodnika sa strujom su kružnice koje leže i ravnima koje su normalne na provodnik,

intenzitet B zavisi samo od rastojanja r od provodnika.

Smer vektora B je određen pravilom desnog zavrtnja (šake) u odnosu na smer struje I .

Primenom Amperovog zakona dobija se:

0C

Bdl I

02C C C

Bdl Bdl B dl B r I

02

IB

r

Isti rezultat je dobijen i primenom Bio-Savarovog zakona.

Slučaj 2. Magnetna indukcija torusnog namotaja sa N namotaja

Simetrija linije vektora B su kružnice poluprečnika r unutar torusa.

Primenom Amperovog zakona dobija se:

Za a r b :

0 kroz 02 CC C C

Bdl Bdl B dl B r I NI , 02

NIB

r

Za r b ili r a :

0 kroz 02 0 0CC

Bdl B r I

0B

Za tanki torus (b a a )

0 02

NI NIB

r l

l - dužina srednje linije

torusa

Magnetna indukcija tankog torusnog namotaja sa strujom I je približno konstantna i iznosi 0 /IN l .

2 MAGNETNO POLJE U MATERIJALNOJ SREDINI 2.1 MAGNETNI MOMENT ATOMA (MOLEKULA)

Elektron koji se kreće po orbiti poluprečnika r oko jezgra atoma sa periodom T može

se smatrati strujnom konturom čija struja eI i orbitalni magnetni moment m iznose

eQ e

I eft T

, 2em I S efS efr

Usled rotacije oko svoje ose, elektron poseduje i

magnetni moment spina sm , ali se on može

zanemariti u odnosu na orbitalni magnetni moment.

Magnetni moment jednog atoma (molekula) predstavlja vektorski zbir magnetnih momenata pojedinačnih elektrona atoma (molekula)

ie

i

m m

U magnetnom smislu, svaki atom (molekul) materijala se može zamisliti kao mala strujna kontura (Amperova struja) u vakumu koja se opisuje magnetnim momentom m .

Aproksimacija atoma (molekula)

v I

2.2 VEKTOR GUSTINE MAGNETNOG MOMENTA; AMPEROVE MIKRO STRUJE

Magnetni momenti atoma ili molekula su pogodni za analizu ponašanja materijalne supstance u magnetnom polju na nivou mikrosveta.

Za makroskopsku analizu uvodi se nove veličine.

Osnovna makroskopska veličina kojom se karakteriše stanje namagnetisanosti materijalne sredine je vektor gustine magnetnih momenata (u literaturi se on drugačije naziva i vektor magnetizacije).

Vektor gustine magnetnih momenata predstavlja količnik vektorskog zbira magnetnih

momenata svih atoma u maloj zapremini V i zapremine V :

Vm

MV

jedinica je

2

3

Am A

mm

Element materijalne sredine zapremine ,V na mestu gde je vektor magnetizacije M

poseduje magnetni moment

m M V

Posmatrajmo jedan mali cilindrični element materijalne sredine

zapremine V koji je namagnetisan i neka je vektor

magnetizacije M normalan na bazis površine .S Magnetni moment ovog malog materijalnog elementa iznosi:

m M V M h S

Zamislimo sada jedan nematerijalni cilindar u vakumu istih dimenzija kao i prethodni cilindar i neka po površini omotača ovog cilindra teče struja AI (Amperova mikrostruja). Ova struja

formira strujnu konturu čiji magnetni moment iznosi

Am I S

U magnetnom smislu, ova dva cilindra će biti ekvivalentna ako su njihovi magnetni momenti međusobno jednaki:

AM h S I S AI M h

AdI Mdh (za elementarni cilindar)

Element materijalne sredine cilindričnog oblika, čiji gustina magnetnih momenata iznosi M , može se zameniti Amperovom mikrostrujom u vakumu jačine

AdI Mdh

materijal

vakum

2.3 GENERALISANI AMPEROV ZAKON; JAČINA MAGNETNOG POLJA

Amperov zakon daje vezu između vektora magnetne indukcije i kondukcionih struja u

vakumu: 0

C

Bdl I

Ako uticaj materijalne sredine zamenimo sistemom Amperovih mikrostruja u vakumu, Amperov zakon se može primeniti i za određivanje magnetnog polja u materijalnoj sredini.

Zbiru struja I , koji se nalazi na desnoj strani Amperovog zakona, treba dodati i Amperove mikrostruje AI , koje su

takođe uzročnici magnentnog polja.

0 AC

B dl I I ?AI

Neka kroz N navojaka, koji se nalaze u vakumu u blizini materijalne sredine protiče struja I . Ova struja formira magnetno polje koje se prostire u vakumu i materijalu.

Usvojimo konturu C koja jednim delom prolazi kroz vakum a drugim delom kroz materijalnu sredinu.

vakum sredina

cilindar (2D oblik)

cilindar (3D oblik)

Suma Amperovih mikrostruja obuhvaćenih konturom C iznosi

0

A A A A A

AaB AaB BbA C

I dI dI dI dI , ?AdI

Amperove mikrostruje su povezane sa vektorom magnetizacije M : AdI Mdh , ?dh

Sa slike se vidi da je cos ,dh dl M dl , pa jačina Amperovih mikrostruja iznosi

cos ,AdI Mdh Mdl M dl M dl , AdI M dl

Za sumu Amperovih mikrostruja dobija se sledeći izraz:

A AC C

I dI M dl

Amperov zakon poprima sledeći oblik

0

C C

B dl I M dl

0C

BM dl I

cilindar (2D)

Definišimo vektor jačine magnetnog polja H kao:

0

BH M

jedinica:

A

m

0C C

H

BM dl I H dl I

Generalisani Amperov zakon:

Linijski integral vektora jačine magnetnog polja po proizvoljno zatvoreno konturi jednak je algebarskoj sumi kondukcionih struja koje prodiru površinu koja se oslanja na konturu integracije

C

H dl I

Opšti slučaj: U slučaju kada struje nisu kanalisane tankim provodnicima, već je zadato

strujno polje vektorom gustine struje J , generalisani Amperov zakon glasi:

Linijski integral vektora jačine magnetnog polja po proizvoljno zatvoreno konturi jednak je fluksu vektora gustine kroz površinu koja se oslanja na konturu integracije

C S

H dl JdS

OSNOVNA VEZA između vektora B , H i M :

0

BH M

0 ( )B H M H Osnovna veza između vektora , ,B H M

VEZA U VAKUMU:

U vakumu je magnetizacija 0M 0B H linearna veza između B i H

U vakumu se linije polja vektora B i H poklapaju.

Pošto vektor H ne zavisi od sredine, sledi da su linije datog polja H iste u bilo kojoj sredini, pa i vakumu.

VEZA U LINEARNOJ SREDINI (sve sredine izuzev feromagnetika):

mM H , m - magnetna susceptibilnost

0 0 0 01m m rB H M H H H H H 1r m relativna magnetna permeabilnost materijala,

magnetna permeabilnost materijala.

B H

3 MAGNETNE KARAKTERISTIKE MATERIJALA 3.1 PODELA MAGNETNIH MATERIJALA

Prema magnetnim osobinama, svi materijali koji se koriste u elektrotehnici mogu se podeliti u dve osnovne grupe: LINEARNI i NELINEARNI magnetni materijali.

Kod LINEARNIH MAGNETNIH MATERIJALA važi linearna veza između vektora M i H :

mM H

odnosno, apsolutna i relativna r magnetna permeabilnost su konstantne veličine

0 01 m r , 1r m

Linearni magnetni materijali se prema znaku m , odnosno prema vrednosti r , dele na

diamagnetike ( 0m 1 1r m )

paramagnetike ( 0m 1 1r m )

Kod dijamagnetika i paramagnetika m je izuzetno malo, tako da se njihova relativna

magnetna permeabilnost veoma malo razlikuje od jedinice ( 1r ).

U praktičnim izračunavanjima diamagnetne i paramagnetne sredine možemo tretirati kao vakum. U ovim sredinama mogu se primeniti svi rezultati i izrazi dobijeni za magnetno polja u vakumu.

Kod NELINEARNIH MAGNETNIH MATERIJALA veza između H , M i B nije linearna.

m i nisu konstantne veličine, već zavise od jačine magnetnog polja H

m i zavise i od magnetnog stanja materijala ( M )

Najzastupljeniji nelinearni magnetni materijali su FEROMAGNETICI .

U feromagnetike spadaju: gvožđe, kobalt, nikl i njihove legure.

Kod feromagnetnih materijala, pri povećanju spoljašnjeg magnetnog polja H , magnetna indukcija brzo raste i dostiže velike vrednosti usled brzog porasta vrednosti magnetizacije M (kriva a)

0( , )B H M H M

Pri jednoj određenoj vrednosti jačine polja SH H ,

magnetizacija M dostiže maksimalnu vrednost (vrednost zasićenja SM ), pri čemu magnetna indukcija iznosi SB

0( , )S S S S SB B H M H M

Nakon dostizanja zasićenja, sa porastom H , indukcija B nadalje linearno raste (kriva b)

0( ) SB H H M

Nakon prestanka delovanja stranog polja H , magnetizacija M kod feromagnetika ne pada na nulu već poprima određenu

vrednost rM koju nazivamo zaostala (remamntna) magnetizacija.

Posledica zaostale magnetizacije u feromagnetiku: - feromagnetik se ponaša kao izvor stalnog magnetnog polja, te ga

nazivamo stalni magnet.

Kod stalnog magneta uočavamo severni (N) i južni (S) pol, pri

čemu je vektor zaostale magnetizacije rM usmeren od južnog ka severnom polu.

Smer linije polja stalnog magneta prate smer vektora zaostale magnetizacije rM :

- kroz feromagnetik linije polja su usmerene od južnog ka severnom polu, - van feromagnetika usmerene od severnog ka južnom polu.

Temperaturna zavisnost feromagnetika

- Zaostala magnetizacija feromagnetika rM opada sa porastom temperature.

- Pri temperaturi koja je viša od tzv. Kirijeva temperature, zaostala magnetizacija potpuno nestaje i feromagnetik gubi magnetna svojstva (postaje neutralan). Neutralnost se zadržava i nakon hlađenja.

Primena feromagnetika - za izradu stalnih magneta - za izradu magnetnih kola električnih mašina i transformatora.

3.2 OBJAŠNJENJE FENOMENA FEROMAGNETIZMA

U feromagnetnim materijalima postoje mikroskopski mali domeni koji su spontano namagnetisani do zasićenja (slika a).

ODSUSTVO STRANOG MAGNETNOG POLJA ( 0H )

U odsustvu stranog magnetnog polja, magnetni momenti m domena su orjentisani u raznim pravcima, tako da je njihov vektorski zbir u posmatranoj zapremini V jednak nuli (sl. a):

0m / 0M m V

a) b) c) d) e) f)

reverzibilni proces nereverzibilni proces

povećavanje polja H

POSTEPENO POVEĆAVANJE JAČINE STRANOG MAGNETNOG POLJA ( max0

HH )

Kada se jačina stranog magnetnog polja postepeno povećava od nule, dolazi do porasta jednih domena na račun smanjivanja drugih domena (sl. b).

Pri malim jačinama stranog polja, manjim od neke vrednosti 1H , 1H H , proces je reverzibilan

- nakon prestanka delovanja stranog polja domeni se vraćaju u prvobitni položaj.

Sa daljim povećanjem polja, 1H H , promene granica domena postaju nereverzibilne (sl. c, d).

Domeni rastu a njihovi magnetni momenti teže da se postave u pravcu stranog polja, pri čemu magnetizacija M naglo raste.

Zavisnost magnetne indukcije B od stranog polja H označena je na slici krivom 0-1, a njen matematički izraz je:

0( , )B H M H M , za 0 SH H

Pri određenoj jačini stranog polja SH H , ceo uzorak materijala postaje jedinstven

domen čija magnetizacija dostiže maksimalnu vrednost (zasićenje) SM (sl. e).

Odgovarajuća magnetna indukcija u materijalu se naziva magnetna indukcija zasićenja

0S S SB H M , za SH H

Dalje povećanje stranog polja iznad vrednosti SH do

maksimalne vrednosti maxH , maxSH H H dovodi do

neznatnog linearnog povećanja indukcije B (sl. f i kriva 1-2)

0( ) SB H H M , za maxSH H H

Zavisnost magnetne indukcije B od postepenog povećanja jačine stranog polja H , max0 H H , prikazana je na slici krivom 0-1-2.

POSTEPENO SMANJIVANJE JAČINE STRANOG MAGNETNOG POLJA ( max0

HH )

Pri smanjivanju magnetnog polja od vrednosti maxH do vrednosti SH , max SH H H (sl. a)

magnetna indukcije se linearno smanjuje po istoj krivoj 1-2 kao i pri uvećanju H .

Sa daljim smanjivanjem jačine magnetnog polja od SH H do 0H , 0SH H usled

termičkih kretanja (sl. b, c, d), dolazi do dezorijentacije i usitnjavanja domena namagnetisanosti. Smanjuje se magnetizacija M a samim tim i indukcija B .

Smanjenje indukcije B ne odvija se po krivoj 1-0 kao kod povećanja H , već po krivoj 1-3.

Kada se jačina stranog polja smanji na nulu, materijal se ne vraća u prvobitno neutralno stanje, pri čemu u materijalu postoji zaostala magnetizacija

rM , odnosno zaostala

magnetna indukcija r rB M (remanentna magnetna indukcija).

d) c) b) a)

smanjivanje polja H

3.3 KARAKTERISTIKE MAGNEĆENJA I CIKLUS HISTEREZISA

Karakteristika magnećenja predstavlja zavisnost magnetne indukcije B u feromagnetiku od jačine stranog magnetnog polja H :

( )B B H

Karakteristika magnećenja se dobija merenjem magnetne indukcije B pri postepenom: (a) povećanju stranog magnetnog polja H od nule do maksimalne vrednosti maxH ,

(b) smanjivanju polja od maxH do minimalne vrednosti maxH ,

(c) povećavanju polja od maxH do maxH .

Karakteristika magnećenja je nelinearna funkcija koja poseduje histerezis.

Histrerzisna kriva sadrži sledeće elemente

0-1-2: kriva prvobitnog magnećenja 1-2: zasićenje 2-1-3: razmagnetisavanje materijala 3-4-5-6: magnećenje (suprotni smer) 5-6: zasićenje 6-5-7-8: razmagnetisavanje materijala 8-1-2: magnećenje materijala 1-2: zasićenje

koraci (b) i (c) se ponavljaju više puta

Za

0H

Nakon ukidanja spoljašnjeg magnetnog polja ( 0)H u feromagnetiku postoji

zaostala magnetizacija rM , odnosno

zaostala magnetna indukcija 0r rB M

koju nazivamo remanentna magnetna indukcija.

Za

0B

Da bi magnetna indukcija u feromagnetiku bila jednaka nuli ( 0)B ,

potrebno je uspostaviti spoljašnje

magnetno polje jačine cH H koje

nazivamo koercitivno magnetno polje:

00 CB H M CH M

Oblik histerezisnog ciklusa zavisi od: (a) vrste feromagnetnog materijala i (b) maksimalne vrednosti maxH .

Prema širini histerezisa, feromagnetike delimo na: magnetno meke feromagnetike

- imaju uzani histerezis (malo CH )

magnetno tvrde feromagnetike - imaju široki histerezis (veliko CH )

rB potiče

od rM

4 MAGNETNA KOLA

Magnetno kolo je skup tela i sredina (vazduh) koje obrazuju put po kome se zatvara magnetni fluks.

U zavisnosti od materijala od koga su načinjena, magnetna kola se dele na linearna i nelinearna.

4.1 LINEARNA MAGNETNA KOLA Linearna magnetna kola su načinjena od linearnih sredina:

- dijamagnetnih i - paramagnetnih materijala.

Da bi se kanalisao magnetni fluks kroz magnetno kolo, za izgradnju linearnih magnetnih kola koristi se isključivo torus od dijamagnetika ili paramagnetika na koji je gusto i ravnomerno namotan određeni broj navojaka tanke žice.

Linearna magnetna kola NE KORISTE SE u elektrotehnici zbog malih vrednosti magnetne indukcije koja se postiže unutar magnetnog kola.

4.2 NELINEARNA MAGNETNA KOLA

Nelinearna magnetna kola - magnetna kola čiji je bar jedan deo načinjen od feromagnetnog (nelinearnog) materijala.

Često se nelinearna magnetna kola izrađuju sa jednim ili više vazdušnih zazora.

Pretpostavke vezane za analizu magnetnih kola

1. Zanemaruje se rasipanje magnetnih flukseva u magnetnom kolu.

2. H i B su homogeni po poprečnom preseku S

3. H i B su normalni na S

(1-3) SBdS BS

Razlikujemo dva problema vezana za rešavanje magnetnih kola:

Direktni problem

NI je poznato odrediti ili B

Inverzni problem ili B je poznato odrediti NI ( I za poznato N ili obrnuto)

fluks se dobija kao proizvod indukcije i poprečnog preseka

BS

Primer. Posmatramo magnetno kolo sa slike, čije je jezgro načinjeno od nelinearnog feromagnetnog materijala konstantnog poporečnog preseka S čija je kriva magnetisanja data na drugoj slici. Broj namotaja je

N .

Direktni problem: I je poznato odrediti

Generalisani Amperov zakon:

/C C C

Hdl Hdl H dl Hl NI H NI l

iz krive magnećenja za poznato H pročita se B BS

Inverzni problem: je poznato odrediti I

/B S iz krive magnjećenja za poznato B pročita se H

Generalisani Amperov zakon:

Hl NI /I Hl N

Primer. Na slici je prikazano jedno prosto magnetno kolo sa jednim vazdušnim zazorom. Srednji obim feromagnetnog materijala je l , a dužina zazora je 0l .

Površina poprečnog preseka materijala i zazora su jednake i iznose 0S S .

Direktni problem: poznato I B

Magnetni fluks i polje u jezgru i zazoru

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0/

BS B S B H

B B H H B

Generalisani Amperov zakon

0 0Hl H l NI

0 0 0 0 0( / ) /Hl l B Hl l B NI ( )B H

0 0 0 0 00

( )

k n

B NI Hl l l H NI l kH nl

(radna prava, k i n poznato )

Rešenje ( , )H B se dobija u preseku krive magnećenja i radne prave B , 0B B

5 INDUKTIVNOSTI ANALOGIJE:

U elektrostatici, električna kapacitivnost - veličina koja karakteriše provodno telo ili sistem provodnih tela.

U magnetizmu, induktivnosti - veličina koja karakteriše provodnu konturu (kalem) ili sistem provodnih kontura (sistem kalemova).

5.1 SOPSTVENA INDUKTIVNOST

Posmatramo jednu provodnu strujnu konturu proizvoljnog oblika koja se nalazi u linearnoj (neferomagnetnoj) sredini.

Smer struje I koja protiče kroz konturu definiše

smer vektora površine S .

Strujna kontura oko sebe stvara magnetno polje indukcije .B

Magnetna indukcija B kroz površinu konture S stvara fluks kroz konturu C.

U slučaju linearnih sredina, magnetna indukcija B proporcionalna je sa jačinom struje I u konturi

B I

Sa druge strane, magnetni fluks kroz strujnu konturu

S

BdS

direktno je proporcionalan magnetnoj indukciji B

B

Prema tome, fluks kroz strujnu konturu proporcionalan je sa strujom konture I .

B I

Kod linearnih sredina, količnik / I f ne zavisi od struje i fluksa konture, već od oblika i dimenzije konture kao i sredine u kojoj se nalazi kontura.

Sopstvena induktivnost (samoinduktivnost) konture predstavlja odnos fluksa konture i struje koja teče u konturi

LI

jedinica b

WH

A

jedinica H (henri)

Za slučaj kalema sa N navojaka sopstvena induktivnost se definiše na isti način kao i za konturu, pri čemu se fluks računa kroz sve navojke kalema.

0N

LI I

, 0 - fluks kroz jedan zavojak

U električnim šemama, za označavanje kalema (konture) određene induktivnosti koristi se simbol sa slike.

Primer. Sopstvena induktivnost tankog torusnog namotaja.

0

sr

INB

l

,

0

2

0

sr

N ISN BS

l

2

0

sr

N SL

I l

S

B

5.2 MEĐUSOBNE INDUKTIVNOSTI

Posmatramo sada dve provodne konture 1C i

2C koje se nalaze u linearnoj sredini u

proizvoljnom međusobnom položaju.

Ako kroz konturu 1C propustimo struju 1I ona

će stvarati magnetno polje indukcije 1B čiji je

intenzitet proporcionalan jačini struje 1I ,

1 1B I

Fluks vektora magnetne indukcije 1B kroz

površinu konture 1C , 1

1 1

S

B dS , direktno je

proporcionalan indukciji 1B 1 1( )B , odnosno struji 1I 1 1( )I pa se može

definisati sopstvena induktivnost konture 1C :

111

LI

jedinica H (henri)

Takođe, fluks vektora magnetne indukcije 1B

kroz površinu konture 2C , 2

21 1S

B dS ,

direktni je proporcionalan indukciji 1B ,

odnosno struji 1I

21 1 1B I

Kod linearnih sredina, količnik 21 1/ I ne

zavisi od struje 1I i fluksa 21 , već od oblika i

dimenzija kontura 1C i 2C , njihovog

međusobnog položaja i magnetnih karakteristika sredine u kojoj se konture nalaze.

Međusobna induktivnost kontura 2C i 1C predstavlja odnos fluksa konture 2C i

struje koja teče u konturi 1C

21211

LI

jedinica H (henri)

Na sličan način, propuštanjem struje 2I kroz konturu 2C i

određivanjem fluksa 12 kroz konturu 1C , može se naći

količnik 12 2/ I .

Međusobna induktivnost kontura 1C i 2C predstavlja

odnos fluksa konture 1C i struje u konturi 2C

12122

LI

, jedinica H (henri)

Ako je sredina linearna važi

12 21L L M , M – međusobna induktivnost dve konture

Međusobna induktivnost M kontura 1C i 2C zavisi od oblika i dimenzija kontura,

njihovog međusobnog položaja i magnetnih karakteristika sredine u kojoj se konture nalaze.

Za razliku od sopstvene induktivnosti koja je uvek pozitivna ( 0)L , međusobna

induktivnost može biti i pozitivna ( 0)M ili negativna ( 0)M .

Znak M zavisi od izbora pozitivne orjentacije kontura, jer od

toga zavise i predznaci flukseva 12 ili 21 .

Napomena. Struje u konturama i vektori površina su usaglašeni sa smerovima kontura

Međusobna induktivnost M dve konture se može izraziti preko

sopstvene induktivnosti tih kontura 1L i 2L i jednog koeficijenta

k koji zavisi od njihovog međusobnog položaja

1 2M k L L

Koeficijent k se naziva koeficijent induktivne sprege.

To je neimenovani broj čija se vrednost kreće u granicama

1 1k

Za slučaj dva kalema sa više zavojaka, M i k se definišu na isti način kao i za dve konture, pri čemu se fluks računa kroz sve navojke kalemova.

Primer. Na tanko torusno jezgro od neferomagnetnog materijala 0( ) dužine

srednje linije srl i površine poprečnog preseka S

gusto i ravnomerno su namotana dva namotaja tanke žice sa 1N i 2N zavojaka. Odrediti

međusobnu induktivnost ova dva namotaja.

Neka kroz prvi kalem teče struja 1I . Magnetna indukcija u torusu usled struje

prvog kalema iznosi 1 1 1 / srB N I l

Za usvojeni referentni smer drugog namotaja, fluks kroz njega iznosi

Međusobna induktivnost:

Ako se referentni smer drugog namotaja promeni, fluks iznosi

Međusobna induktivnost:

6 PROMENLJIVO ELEKTRIČNO I MAGNETNO POLJE

Do sada smo razmatrali nepromenljiva električna i magnetna polja.

Jedina činjenica koja je ukazivala na vezu između električnog i magnetnog polja jeste električna struja:

- pod uticajem električnog polja nastaje i održava se električna struja

- nastala električna struja je uzročnik magnetnog polja

Međutim, pri proučavanju promenljivog električnog i magnetnog polja uočeno je da je:

- promenljivo električno polje neizbežno praćeno promenljivim magnetnim poljem i obrnuto.

Odavde sledi da su električno i magnetno polje samo posebni vidovi jednog složenog fizičkog polja koje nazivamo elektromagnetno polje.

6.1 FARADEJEV ZAKON ELEKTROMAGNETNE INDUKCIJE

Posmatramo provodnu konturu C u spoljašnjem magnetnom polju indukcije .B

Smer konture C je izabran tako da je usaglašen sa poljem B pravilom desne šake.

Faradejev zakon elektromagnetne indukcije: Promena magnetnog fluksa kroz površinu koja se oslanja na provodnu konturu dovodi do pojave indukovane elektromotorne sile (ems) u toj konturi koja je srazmerna brzini promene fluksa:

de

dt

SBdS je magnetski fluks kroz konturu C

S je površina koja se oslanja na konturu C

Orjentacije površi i konture C povezane su pravilom desne šake.

Za referentni smer indukovane ems e uzima se referentni smer konture C .

6.1.1 LENCOVO PRAVILO

Znak indukovane ems /e d dt

0d - stvarni smer e je suprotan smeru konture C.

0d - stvarni smer e se poklapa sa smerom konture C.

Smer indukovane struje u zatvorenoj provodnoj konturi

- U zatvorenoj provodnoj konturi C javlja se indukovana struja i usled pojave indukovane ems e .

- Referentni smer indukovane struje i poklapa se sa referentnim smerom ems e (tj. smerom konture C ).

Sopstveno magnetno polje i sopstveni fluks konture

- Struja i formira sopstveno magnetno polje konture .SB

- Sopstveno polje SB formira sopstveni fluks konture S .

LENCOVO PRAVILO. Prilikom promene fluksa kroz zatvorenu provodnu konturu, u njoj se indukuje ems takvog smera da struja, koja je njena posledica, stvara sopstveno magnetno polje koje se suprotstavlja promeni fluksa.

6.1.2 VRSTE ELEKTROMAGNETNE INDUKCIJE

Statička indukcija

kontura miruje u odnosu na posmatrača P u magnetnom polju, a magnetno polje se menja:

C miruje ( 0v ), ( )B B t

Dinamička indukcija

provodnik ili provodna kontura se kreće ili deformiše (menja svoju površinu) u odnosu na posmatrača P u stalnom magnetnom polju:

C se kreće brzinom 0v , .B Const

Mešovita ili složena indukcija

kontura se kreće ili deformiše u odnosu na posmatrača u promenljivom magnetnom polju:

C se kreće brzinom ( )v v t , ( )B B t

kretanje stalnog magneta menja

magnetno polje

6.1.3 PROTEKLA KOLIČINA ELEKTRICITETA PRI PROMENI FLUKSA KROZ KONTURU

Posmatramo provodnu konturu otpornosti R u magnetnom polju indukcije .B

Ako se : (1) kontura kreće ili se (2) magnetno polje menja u toku vremena, menja se fluks kroz površinu konture u toku vremena.

Na osnovu Faradejevog zakona, u konturi se indukuje ems

d

edt

Kao posledica indukovane ems u konturi će proticati struja

1e d

iR R dt

U vremenskom intervalu od trenutka 1t do trenutka 2t kroz konturu će proteći

količina elektriciteta

2 2 2

1 1 1

2 11 1t t t

t t t

dq idt dt d

R dt R R R

q R

gde su 1 i 2 su fluksevi kroz površinu konture u trenucima 1t i 2t .

6.2 INDUKOVANO ELEKTRIČNO POLJE PRI DINAMIČKOJ INDUKCIJI

Kod dinamičke indukcije posmatramo kretanje konture ili dela

konture (provodnika) brzinom v u spoljašnjem magnetnom

polju indukcije B . Takođe, možemo posmatrati i deformaciju konture u ovom magnetnom polju.

U svim ovim slučajevima zajedno sa provodnikom kreću se i sva naelektrisanja

eQ tog provodnika, tako da će na njih delovati Lorencova sila eF Q v B .

Pod uticajem ove sile dolazi do kretanja slobodnih naelektrisanja duž provodnika.

Posmatrajmo najpre prav provodnik koji se kreće stalnom

brzinom v u homogenom magnetnom polju B u odnosu na

nepokretnog posmatrača 1P .

Nepokretni posmatrač P konstatuje da na slobodne nosioce naelektrisanja deluje Lorencova sila

eF Q v B

Pod dejstvom Lorencove sile slobodna naelektrisanja će se kretati i nagomilavati na krajevima provodnika.

Nagomilana naelektrisanja formiraju električno polje E koje deluje na

slobodna naelektrisanja silom EF čiji je smer suprotan od Lorencove sile

E eF Q E

Kretanje slobodnih naelektrisanja trajaće sve dok se ove dve sile ne izjednače po intenzitetu (uslov ravnoteže)

0EF F

Prethodni opis u potpunosti odgovara opisu rada generatora koji smo opisali u elektrokinetici, pri čemu ulogu strane sile ovde ima Lorencova sila.

Kao i kod generatora u elektorkinetici, i ovde se radije posmatra strano električno polje umesto strane (Lorencove) sile koja deluje na pokretna naelektrisanja.

Ovde strano električno polje nazivamo indukovano električno polje idE pri

dinamičkoj indukciji.

nepokretni

posmatrač

ODREĐIVANJE INDUKOVANOG ELEKTRIČNOG POLJA

Indukovano električno polje određujemo iz uslova da ono deluje na slobodne nosioce silom koja je jednaka Lorencovoj sili

:e id e eQ E Q v B Q

idE v B

U svakoj tački provodnika koji se kreće u magnetnom polju indukuje se električno polje dinamičke indukcije

idE v B

Analogno određivanju ems generatora, može se definisati i indukovana ems de

usled dinamičke indukcije u provodniku:

d id

l

e E dl

6.2.1 INDUKOVANA ELEKTROMOTORNA SILA DINAMIČKE INDUKCIJE

Posmatramo provodnika veoma male dužine dl koji se kreće brzinom v u nehomogenom magnetnom polju

Prethodno izvedeni izraz za idE ostaje u važnosti jer se smatra

da je polje homogeno u prostoru koji zauzima kratki provodnik.

idE v B

Indukovana ems u elementu provodnika dužine dl

id ( )dde E dl v B dl

Indukovana ems u provodniku konačne dužine l

d id ( )l l l

e de E dl v B dl , d ( )l

e v B dl

Indukovana ems u provodnoj konturi C:

d id ( )C C

e E dl v B dl

Pošto je id 0C

E dl sledi da je idE bezizvorno polje.

INDUKOVANA EMS U PRAVOM PROVODNIKU KOJI SE TRANSLATORNO KREĆE U

HOMOGENOM POLJU B (sve tačke provodnika u jednom trenutku imaju istu brzinu)

d ( )l l

e v B dl v B dl v B l ,

Ako je ( , )v B i (( ), )v B l onda:

d ( ) cos ( sin ) cos sin cose v B l v B l vB l vBl

Mogući slučajevi:

( , )v B (( ), )v B l d ( )e v B l

d sin cose vBl 00 ( v B ) 0de

090 ( ( )l v B ) 0de

090 ( v B ) d cose vBl

00 ( ( )l v B )

tj. ( l v , l B ) d sine vBl

090 ( v B ) 00 ( l v , l B ) de vBl

d ( )e v B l

6.2.2 DOKAZ POSTOJANJA INDUKOVANOG ELEKTRIČNOG POLJA DINAMIČKE INDUKCIJE

Indukovano elekt. polje idE nije fiktivno uvedeno polje, već ono stvarno postoji.

Ovo se može dokazati pomoću sledećeg misaonog eksperimenta.

Posmatrajmo isti problem kretanja provodnika u polju B , ali sada iz ugla posmatrača 2 ,P koji se kreće zajedno sa njim.

Posmatrač 2P detektuje pojavu nagomilavanja naelektrisanja i

indukovanu ems u provodniku i pokušava da objasni njihovo poreklo.

Iz ugla posmatrača 2P provodnik se ne kreće u magnetnom

polju, pa on zaključuje da na naelektrisanja u provodniku ne deluje Lorencova sila, već neka električna sila.

Pošto električna sila potiče isključivi od električnog polja, posmatrač 2P zaključuje

da u provodniku mora da postoji električno polje.

To električno polje je upravo indukovano električno polje dinamičke indukcije.

pokretni posmatrač

6.3 STATIČKA INDUKCIJA

Posmatramo nepokretnu konturu ( 0)v koja se nalazi u

promenljivom magnetnom polju ( ( )).B t

Na osnovu Faradejevog zakona, do promene fluksa u

konturi dolazi usled promene magnetnog polja ( )B t .

Jedan od najčešćih izvora promenljivog magnetnog polja jeste strujna kontura sa promenljivom strujom.

U nastavku posmatramo dva karakteristična slučaja promene fluksa i pojave indukovane ems:

1) Promena fluksa usamljene nepokretne strujne konture C kroz koju protiče promenljiva struja i dovodi do pojave indukovane ems samoindukcije.

2) Promena fluksa nepokretne konture 2C usled promene struje

1i u konturI 1C dovodi do pojave indukovane ems međusobne

indukcije u konturi 2C .

6.3.1 ELEKTROMOTORNA SILA SAMOINDUKCIJE

Fluks u konturi C menja se usled promene struje i u samoj konturi.

Na osnovu Faradejevig zakona indukovana ems usled statičke indukcije iznosi

( )

s

d d Li die L

dt dt dt

Ova indukovana ems se naziva ems samoindukcije i ona je srazmerna brzini promene struje u konturi i sopstvenoj induktivnosti (samoinduktivnosti) L konture.

Smer ems samoindukcije se računa u odnosu na pozitivnu orjentaciju konture koja je određena smerom struje i .

Pri porastu struje i ems samoindukcije će biti negativna, što znači da će smer ems biti suprotan smeru struje i .

Dakle, ems samoindukcije se suprotstavlja promeni struje i u konturi.

NAPON NA KRAJEVIMA KALEMA USLED SAMOINDUKCIJE U KALEMU

Posmatrajmo jedan kalem sa slike kroz koga protiče promenljiva električna struja i .

Usled promenljive struje, u kalemu se indukuje ems

samoindukcije se čiji je smer suprotan je od smera struje i

Usled ems samoindukcije, na krajevima kalema se javlja

INDUKOVANI napon Lu .

Referentni smer napona Lu je izabran tako da je on usaglašen sa referentnim

smerom struje .i

Pošto su referentni smerovi ems samoindukcije se i napona Lu suprotni važi:

( )L sdi di

u e L Ldt dt

Usled promenljive struje i koja teče kroz kalem, na krajevima kalema se INDUKUJE napon:

L

diu L

dt

6.3.2 ELEKTROMOTORNA SILA MEĐUSOBNE INDUKCIJE

Slučaj 1:

Posmatrajmo dve konture 1C i 2C koje su

međusobno spregnute i kroz konturu 1C teče

promenljiva struja 1i .

Fluks kroz površinu konture 2C iznosi

21 1M i

Usled promene struje 1i u konturi 1C dolazi do

promene fluksa u konturi 2C .

Na osnovu Faradejevog zakona, u konturi 2C indukukovaće se ems koju

nazivamo ems međusobne indukcije:

21 1 121( )d d M i di

e Mdt dt dt

Slučaj 2: (obrnut slučaj)

U konturi 2C teče struja 2i a kontrira 1C se nalazi

u njenoj okolini.

Fluks kroz površinu konture 1C iznosi

12 2M i

Usled promene struje 2i u konturi 2C dolazi do

promene fluksa u konturi 1C .

Na osnovu Faradejevog zakona, u konturi 1C indukukovaće se ems koju

nazivamo ems međusobne indukcije:

12 2 212( )d d M i di

e Mdt dt dt

6.3.3 UKUPNA INDUKOVANA ELEKTROMOTORNA SILA U KONTURI

Posmatrajmo dve konture 1C i 2C koje su međusobno spregnute i kroz koje teku

promenljive struje, 1i u konturi 1C i 2i u konturi 2C .

U svakoj konturi će se indukovati po dve ems:

- ems smoindukcije - usled promene sopstvene struje u konturi - ems međusobne indukcije - usled promene struje u drugoj konturi.

Ove ems se međusobno sabiraju, pa ukupne ems u prvoj i drugoj konturi iznose

1 21 1 12 1sdi di

e e e L Mdt dt

2 12 2 21 2sdi di

e e e L Mdt dt

6.3.4 INDUKOVANO ELEKTRIČNO POLJE STATIČKE INDUKCIJE

Videli smo da kod dinamičke indukcije dolazi do pojave indukovanog električ. poja idE .

Da li i pri statičkoj indukciji dolazi do pojave indukovanog električnog polja ?

Posmatramo nepokretnu kontura ( 0)v u promenljivom magnet. polju ( )B t i

posmatrača koji se nalazi na konturi.

Posmatrač konstatuje sledeće činjenice:

1. Pri isključenom magnetnom polju slobodna naelektrisanja Q u provodnoj konturi se ne kreću.

2. Kada se uključi promenljivo magnetno polje ( )B t ,

slobodna naelektrisanja Q počinju da se kreću usmereno

duž konture.

Posmatrač izvodi sledeći zaključak: 1. Zapažanje 1 je korektno jer na naelektrisanja ne deluje ni jedna sila. 2. Zapažanje 2 sa kosi sa činjenicom da magnetno polje ne deluje na nepokretna

naelektrisanja, pa naelektrisanja ne mogu da se pokrenu iz početnog stanja mirovanja.

Koja sila onda pokreće naelektrisanja iz stanja mirovanja?

Poznato je da na nepokretna naelektrisanja deluje samo električna sila koja potiče od električnog polja.

Odakle potiče ovo električno polje?

Jedini uzrok pojave ovog električnog polja jeste promena magnetnog polja ( )B t .

Električno polje nastalo usled promene magnetnog polja ( )B t nazivamo

indukovano električno polje statičke indukcije i označavamo ga sa isE .

Električna sila kojom ovo indukovano električno polje deluje na naelektrisanja u provodnoj konturi iznosi

is isF QE

Indukovana ems statičke indukcije duž zatvorene provodne konture C iznosi

s isC

e E dl

Na osnovu Faradejevog zakona elektromagnetne indukcije indukovana Se iznosi i

sS

d de BdS

dt dt

Pošto se kontura C ne pomera i ne deformiše ( S je konstantno), indukovana ems

Se u konturi C iznos

( )sS S S

d d dBe BdS BdS dS

dt dt dt

Indukovana ems statičke indukcije u zatvorenoj krutoj konturi C zavisi od brzine promene magnetnog polja kroz tu konturu

s

S

dBe dS

dt

Veza između indukovanog električnog polja isE i magnetnog polja B

is

C S

dBE dl dS

dt

OSOBINE indukovanog električnog polja isE statičke indukcije:

1) isE postoji kad god postoji promenljivo magnetno polje ( )B t .

2) isE postoji nezavisno od postojanja provodne konture

jer veza između isE i ( )B t :

isC S

dBE dl dS

dt

važi i za zamišljenu konturu C koja ne mora da bude materijalna provodna kontura (npr. napravljena od provodnog metala).

3) isE je bezizvorno polje jer je

is 0C S

dBE dl dS

dt

6.4 MEŠOVITA ILI SLOŽENA INDUKCIJA

Posmatrajmo slučaj provodne konture C koja se kreće brzinom v u

promenljivom magnetnom polju indukcije ( )B t . Važi sledeća tvrđenja:

Ukupna vrednost indukovanog električnog polja u svakoj tački konture C jednaka je zbiru indukovanih električnih polja usled statičke i dinamičke indukcije:

i is idE E E

Ukupna indukovana elektromotorna sila u konturi C jednaka je zbiru indukovanih ems usled statičke i dinamičke indukcije: s de e e

Jedinstven zapis ukupne indukovane ems je

( )S S C

d d dBe BdS dS v B dl

dt dt dt

6.5 ENERGIJA MAGNETNOG POLJA 6.5.1 ENERGIJA MAGNETNOG POLJA KALEMA

Posmatrajmo električno kolo sa slike. Neka je prekidač P uključen.

Primenom II Kirhofovog zakona dobijamo:

0 /Ldi

E Ri u E Ri L idtdt

2Eidt Ri dt Lidi

Eidt - rad koji izvrše strane sile u generatoru za vreme dt

2Ri dt - Džulovi gubici u otporniku

Li di - energija magnetnog polja koja se troši na povećanje struje kalema za di

Nagomila magnetna energija u kalemu pri promeni struje kalema od 0 do I iznosu:

2

21

2 2

I I

m

o o

IW Lidi L idi L LI

LI 2

21 1 1

2 2 2mW LI I

L

za kalem

6.5.2 LOKALIZACIJA ENERGIJE U MAGNETNOM POLJU

Kako iskazati energiju magnetnog polja preko magnetne H i B ?

Posmatramo kalem sa N navojaka i strujom I namotan na tanki torus

od neferomagnetnog materijala magnetne permeabilnosti 0 ,

srednje linije srl , površine poprečnog preseka S i zapremine srV Sl

Magnetno polje kalema se prostire isključivo unutar torusa i iznosi / srH NI l .

Sopstvena induktivnost ovog kalema iznosi: 2 / srL N S l

Energija magnetnog polja ovog kalema sa neferomagnetnim jezgrom 0( ) iznosi:

22 2 2

2 2 21 1 1 ( ) 1 ( ) 1 1 / :2 2 2 2 2 2

m sr

sr sr sr sr sr

N NI NI NIW LI S I S S l V H V V

l l l l l

Gustina energije magnetnog polja

21

2mw H

Pošto je sredina linearna B H

221 1 1 1

2 2 2 2m

Bw H BH BH

neferomagnetni materijal

6.5.3 GUSTINA ENERGIJE MAGNEĆENJA FEROMAGNETIKA

Feromagnetni materijali su nelinerani zavisnost između B i H je nelinearna

Posmatramo kalem namotan na tanki torus od feromagnetnog materijala.

Kada se priključi generator, kroz namotaj će početi da teče promenljiva struja i usled koje će se javiti ems samoindukcije

( )sd d dB

e NBS NSdt dt dt

Primenom II Kirhofovog zakona

0R sE u e /dB

E Ri NS idtdt

2Eidt Ri dt NSidB

Eidt - rad koji izvrše strane sile u generatoru za vreme dt 2Ri dt - Džulovi gubici u otporniku

NSi dB - energija magnećenja feromagnetika koja se troši na povećanje magnetne

indukcije za iznos dB

feromagnetni materijal

isti članovi kao i kod kalema sa jezgrom od neferomagnetika

Energija magnećenja feromagnetika pri povećanju magnetne indukcije za iznos dB

.magdW NSidB .magNi

dW NSidB Sl dB HV dBl

Energija magnećenja feromagnetika jednaka je zbiru

magnetne energije i

energije gubitaka nastalih u procesu magnećenja.

Energija gubitaka pri magnećenju troši se na zagrevanje feromagnetika

Pri ukidanju magnetnog polja: - magnetna energija se transformiše u električnu energiju i predaje se genaratoru u elek. kolu. - energija gubitaka pri magnećenju se ne transformiše u električnu energiju već bsepovratno u

toplotnu energiju.

Ukupna energija magnećenja feromagnetika pri povećanju indukcije u feromagnetiku od 0 do B iznosi:

.0 0

B B

mag

B B

W HdBV V HdB

Gustina energije magnećenja feromagnetika: .

.

0

Bmag

mag

B

Ww HdB

V

ZA LINEARNE (NEFEROMAGNETNE) SREDINE (dijamagnetici i paramagnetici):

Gustina energije magnećenja jednaka je gustini energije magnetnog polja:

2

.

0 0 0

1 1

2

B B B

mag

B B B

B Bw HdB dB BdB

(izvedeno je ranije)

Pri magnećenju linearnih sredina (dijamagnetika i paramagnetika) nema magnetnih gubitaka:

Sva magnetna energija koja je uložena za uspostavljanje magnetnog polja u ovim sredinama, nakon ukidanja ovog polja, transformiše se u električnu energiju.

Pri ukidanju magnetnog polja magnetna energija se vraća generatoru u obliku električne energije.

ZA NELINEARNE (FEROMAGNETNE) SREDINE:

Gustina energije gubitaka u feromagnetiku u toku jednog ciklusa magnećenja srazmerna površini histerezisne krive.

Feromagnetni materijali sa širim histerezisom (tvrdi magnetni materijali) imaju veće gubitke pri magnetizaciji.