III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di...
Transcript of III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di...
![Page 1: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/1.jpg)
PROGRAM PERKULIAHANDASAR DAN UMUM
(PPDU) TELKOM UNIVERSITY
KALKULUS IMUG1A4
III. LIMIT DAN KEKONTINUAN
![Page 2: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/2.jpg)
11)(
2
xxxf
3.1 Limit Fungsi di Satu TitikPengertian limit secara intuisiPerhatikan fungsi
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1
Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut
x
f(x)
0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011
21.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1
![Page 3: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/3.jpg)
1
º2
x x
f(x)
f(x)
Secara grafikDari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1
Secara matematis dapat dituliskansebagai berikut
211lim
2
1
xx
x
Dibaca “ limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 1
12
xx
Definisi (limit secara intuisi).Lxf
cx
)(limUntuk mengatakan bahwa berarti bahwa bilamana x dekat,
tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L.
![Page 4: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/4.jpg)
2)2)(12(lim
2232lim
2
2
2
x
xxx
xxxx
512lim2
xx
33
39lim
39lim
99
xx
xx
xx
xx 9)3)(9(lim
9
x
xxx
853lim1
xx
Contoh1.
2.
63lim9
xx
3.
4. )/1sin(lim0
xx
Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut
x
)/1sin( x/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2
1 0 -1 0 1 0 -1 0
0
?
Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju kesatu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada
![Page 5: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/5.jpg)
Lxfcx
)(lim 0, 0 | | | ( ) |x c f x L
Definisi Limit
jika
c
º
Untuk setiap 0
L
c
ºL
L
L
Terdapat sedemikian sehingga0
c
ºL
| |x c |)(| Lxfc c c
ºL
![Page 6: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/6.jpg)
)(lim xfcx
LxfLxfLxfcxcxcx
)(limdan)(lim)(lim
Limit Kiri dan Limit Kanan
cxJika x menuju c dari arah kiri(dari arah bilangan yang lebih kecil dari c) limit disebut limit kiri,
)(lim xfcx
Jika x menuju c dari arah kanan(dari arah bilangan yang lebih besar dari c)limit disebut limit kanan,
c x
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)
notasi
notasi
Jika )(lim xfcx
)(lim xfcx
, maka tidak ada)(lim xfcx
![Page 7: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/7.jpg)
)(lim1
xfx
)(lim2
xfx
1,210,0,
)(2
2
xxxxxx
xf
)(lim0
xfx
Contoh
a. Hitung
d. Gambarkan grafik f(x)
c. Hitung
b. Hitung
1.
![Page 8: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/8.jpg)
Jawaba. Karena aturan fungsi berubah di x = 0, maka perlu dicari limit
kiri dan limit kanan di x= 0
b. Karena aturan fungsi berubah di x = 1, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x = 1
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x = 2, maka tidak perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x = 2
2
0 00
0 0
lim ( ) lim 0lim ( ) 0
lim ( ) lim 0x x
xx x
f x xf x
f x x
1 12 1 1 1
1 1
lim ( ) lim 1lim ( ) lim ( ) lim ( )
lim ( ) lim 2 3x x
x x xx x
f x xf x tidak ada karena f x f x
f x x
2
2 2lim ( ) lim 2 6x x
f x x
![Page 9: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/9.jpg)
d.
Untuk x 02)( xxf
Grafik: parabola
Untuk 0<x<1
f(x)=x
Grafik:garis lurus
Untuk 1x
Grafik: parabola
di x=1 limit tidakada
22)( xxf
1
3
º
![Page 10: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/10.jpg)
2. Tentukan konstanta c agar fungsi
1,1,3
)( 2 xcxxcx
xf
mempunyai limit di x=-1
Jawab:
Agar f(x) mempunyai limit di x = -1, maka
1lim ( )
xf x
1lim 3 3
xcx c
1lim ( )
xf x
2
1lim 1
xx c c
Agar limit ada 3 + c = 1 - c
C = -1
1 1lim ( ) lim ( )
x xf x f x
![Page 11: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/11.jpg)
)(lim3
xfx
)(lim1
xfx
1lim ( )x
f x
A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilaifungsi tidak ada.
f(-3)
f(-1)
f(1)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Soal Latihan
![Page 12: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/12.jpg)
1,21,1
)(2
2
xxxxx
xf
1lim ( )x
f x x
f x 1lim ( )
xf x
1lim ( )
xxxg 32)(
xg x
2lim ( )
xg x
2lim ( )
xg x
2lim ( )
22
)(
xx
xf
xf x
2lim ( )
xf x
2lim ( )
xf x
2lim ( )
B. 1. Diketahui :
a. Hitung dan
b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya
2. Diketahui , hitung (bila ada) :
3. Diketahui , hitung (bila ada)
a. b. c.
a. b. c.
![Page 13: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/13.jpg)
LGxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
0,)(lim
)(lim
)()(lim
Gbila
GL
xg
xf
xgxf
ax
ax
ax
nnax
nax
Lxfxf
)(lim)(lim
GxgLxfaxax
)(limdan)(lim
GLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
Sifat limit fungsiMisal
(limit dari f dan g ada serta berhingga)
maka
2.
3.
4. n
ax
n
axxfxf ))(lim())((lim
, n bilangan bulat positif
5. bila n genap dan L harus positif
1.
![Page 14: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/14.jpg)
222 )1(1
1sin)1()1(
xx
xx
)()()( xhxgxf
01
1sin)1(lim 2
1
xx
x
LxhLxfcxcx
)(limserta)(lim
Lxgcx
)(lim
11sin)1(lim 2
1
xx
x
Prinsip Apit
Misal untuk x disekitar c dan
maka
Contoh : Hitung
Karena 1)1
1sin(1
x
dan 2 2
1 1lim ( 1) 0, lim( 1) 0x x
x x
maka
![Page 15: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/15.jpg)
( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arah atasi L g x
Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hinggaa. Limit Tak Hingga
maka,0)(limdan0)(limMisal
xgLxfaxax
)(
)(lim
xgxf
ax
( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arah bawahii L g x
( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arah bawahiii L g x atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv
Cttn :g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.
![Page 16: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/16.jpg)
2
1lim 1 2 0
xx
11lim 2
2
1 xx
x
Contoh: Hitung
11lim
2
1
xx
xa.
2
21
1lim1x
xx
x
xx sinlim
b. c.
Jawaba. 021lim 2
1
x
x, g(x) = x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karenax 1 dari kiri berarti x kurang dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatif
Sehingga
11lim
2
1 xx
x
b. akan menuju 0 dari arah atas karenax -1 dari kiri berarti x kurang dari -1, tapibilangan negatif yang kurang dari -1 jika dikuadratkan pastilah lebih dari 1 sehingga bernilai positif
2, ( ) 1g x x
12 x
Sehingga
![Page 17: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/17.jpg)
0lim
xx
x
xx sinlim
c.
dan
f(x)=sinx
x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sin x menuju 0 dari arahbawah (arah nilai sin x negatif)
sehingga
Karena
![Page 18: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/18.jpg)
Lxfx
)(lim
b. Limit di Tak Hinggaa. jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga
L
x
Contoh: Hitung
4252lim 2
2
xxx
x
Jawab:
)2()1(
lim2
2
42
522
x
xx
x xx
4252lim 2
2
xxx
x2
2
42
521lim
x
xxx
= 1/2
![Page 19: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/19.jpg)
Lxfx
)(lim jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga
b.
L
x
Contoh: Hitung
4252lim 2
x
xx
Jawab: 2 2 2
2
22 2
2 5 52
2 42 4
( ) ( )2 5 0 0 0lim lim lim 0(2 ) 2 0 2( )2 4
xxx x x
xx x xxx x
xx
![Page 20: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/20.jpg)
2lim 3
xx x x
2
22
3lim 33x
x x xx x xx x x
Contoh: Hitung xxx
x
3lim 2
Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )
2 2
2
3lim3x
x x x
x x x
2
3lim3x
x
x x x
2
3
2 31
(1 )lim
(1 )x
xx x
x
x x
2
3
31
(1 )lim
1x
xx x
x
x x
22
3 3
3131
1 1 1 0 1lim lim21 0 0 11 11 1
x xx x
x xx x
x
x
![Page 21: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/21.jpg)
Soal Latihan
limx
xx
3
33
limx x 2 2
3
4
)1(lim xxx
limx
x
x 1 2
11lim
2
xx
x
limx
x xx
2
1
.
Hitung:1.
2.
3.
4.
5.
6.
21
2 17. lim2x
xx x
2 2 58. lim2 5x
x xx
2
2 39. lim2x
xx x
![Page 22: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/22.jpg)
Limit Fungsi Trigonometri1sinlim.1
0
xx
x
02. lim cos 1
xx
1tanlim.30
x
xx
Contoh:
0 4 00 0
0 2 0
sin4 sin4 sin4.4 lim .4 4 limsin4 44 4 4lim lim 2tan2 tan2 tan2tan2 2.2 lim .2 2 lim2 2 2
x xx x
x x
x x xxx x x xx x xx x
x x x
x 0 ekivalen dgn 4x 0
![Page 23: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/23.jpg)
Soal Latihan
tt
t sin1coslim
2
0
ttt
t sec2sincotlim
0
tt
t 23tanlim
2
0
Hitung
1.
2.
3.
4.xx
x 2sintanlim
0
20
tanlim3x
xx x
5.
![Page 24: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/24.jpg)
ada)(lim xfax
)()(lim afxfax
Kekontinuan FungsiFungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika
(i) f(a) ada
(ii)
(iii)
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi, maka f dikatakan tidak kontinu di x=a
a
(i)
º f(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
![Page 25: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/25.jpg)
a
(ii)
1L2L
Karena limit kiri (L1) tidak samadengan limit kanan (L2), maka f(x) tidak mempunyai limit di x = a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x = a
(iii)
a
●
º
f(a) f(a) ada
)(lim xfaxL ada
Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x = a
![Page 26: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/26.jpg)
(iv)
a
f(a)
f(a) ada
)(lim xfax
ada
)()(lim afxfax
f(x) kontinu di x=a
Ketakkontinuan yang terhapuskan
Ketakkontinuan kasus (i) bisadihapus dengan caramendefinisikan nilai fungsidititik tersebut = limit fungsi
a
º
![Page 27: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/27.jpg)
Contoh:
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x = 2, jika tidak sebutkanalasannya
24)(
2
xxxf
2,3
2,24
)(2
x
xxx
xfa. b.
2,12,1
)( 2 xxxx
xfc.
Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x = 2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu di x = 2
b. - f(2) = 3
42lim)2(
)2)(2(lim24lim
22
2
2
x
xxx
xx
xxx
)2()(lim2
fxfx
-
- f(x) tidak kontinu di x=2
![Page 28: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN - Destinasi Wisata Di Solonurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/3.-Limit... · 1 1 2 x x f x 3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052302/5a7873317f8b9a87198b7354/html5/thumbnails/28.jpg)
c. 312)2( 2 f-
- 31lim)(lim22
xxf
xx
31lim)(lim 2
22
xxf
xx
3)(lim2
xfx
)2()(lim2
fxfx
-
Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x = 2