Kekontinuan Fungsi

Kekontinuan di Suatu Titik

Definisi 1 Misalkan f terdefinisi pada selang buka yang memuat a. Fungsi fkontinu di a jika

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎

Perhatikan bahwa definisi ini secara implisit memerlukan tiga hal untuk dipenuhi agar f kontinu di a:1. f(a) terdefinisi (yaitu, a berada di domain f)2. lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑥𝑥 ada

3. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎

Contoh 1

Gambar di samping menunjukkan grafik fungsi f. Di mana sajakah f tidak kontinu? Mengapa?PEMBAHASAN Fungsi f tidak kontinu di 1 karena tidak terdefinisi di x = 1. Fungsi f tidak kontinu di 3 karena limitnya tidak ada. Fungsi f juga tidak kontinu di 5 karena

lim𝑥𝑥→5

𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≠ 𝑓𝑓 51 2 3 4 5 x

y

0

Latihan 1

Misalkan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2−9𝑥𝑥−3

, 𝑥𝑥 ≠ 3. Bagaimana f didefinisikan di x = 3 agar f kontinu di 3?

Kontinu dari Kiri dan dari Kanan

Definisi 2 Suatu fungsi f kontinu dari kanan di a jikalim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎

Dan f kontinu dari kiri di a jikalim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎

Contoh 2

Untuk setiap bilangan bulat 𝑛𝑛, fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 (lihat gambar di samping) kontinu dari kanan tetapi tidak kontinu dari kiri karena

lim𝑥𝑥→𝑛𝑛+

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑛𝑛+

𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 = 𝑓𝑓 𝑛𝑛 1 2 3 x–1

y

0

1

Kekontinuan pada Interval

Definisi 3 Suatu fungsi kontinu pada interval jika fungsi tersebut kontinu di setiap bilangan dalam interval tersebut. (Jika f terdefinisi hanya pada satu sisi titik ujung, maka yang dimaksud kontinu pada titik ujung tersebut berarti bahwa kontinu dari kiri atau kontinu dari kanan.)

Contoh 3

Tunjukkan bahwa fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1 − 𝑥𝑥2 kontinu pada selang [–1, 1].PEMBAHASAN Jika –1 < a < 1, maka dengan menggunakan teorema-teorema limit

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

1 − 𝑥𝑥2

= lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

1 − 𝑥𝑥2

= 1 − 𝑎𝑎2

= 𝑓𝑓 𝑎𝑎Sehingga, berdasarkan definisi, f kontinu di a jika –1 < a < 1.

Pembahasan

Dengan menggunakan perhitungan yang serupa, diperoleh

lim𝑥𝑥→−1+

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 −1 , dan

lim𝑥𝑥→1−

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 1

sehingga f kontinu dari kanan di –1 dan kontinu dari kiri di 1. Akibatnya, berdasarkan Definisi 3, f kontinu pada [–1, 1].

–1 1

1

y

x0

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1 − 𝑥𝑥2

Operasi-Operasi Fungsi

Teorema 4 Jika f dan g kontinu di a dan jika c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu di a.1. f + g 2. f – g 3. cf4. fg 5. f/g, jika g(a) ≠ 0

Pembuktian

Bukti Kelima bagian dari Teorema 4 dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema-teorema limit. Misalkan di sini kita akan membuktikan bagian pertama. Karena f dan g kontinu di a, maka

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 , dan

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔 𝑎𝑎 .

Sehingga,lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥

= 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + 𝑔𝑔 𝑎𝑎Hal ini menunjukkan bahwa f + gkontinu di a.

Fungsi-Fungsi Kontinu

Teorema 5 Jenis-jenis fungsi berikut kontinu di setiap bilangan dalam domainnya.• Fungsi polinomial• Fungsi rasional• Fungsi akar• Fungsi trigonometri

Latihan 2

Di interval-interval mana saja fungsi berikut kontinu?

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥2 − 4

Teorema Limit Fungsi Komposit

Teorema 6 Jika f kontinu di b dan lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏, maka lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑏𝑏 . Dengan kata lain

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥

Secara khusus, jika g kontinu di a dan f kontinu di g(a), maka fungsi komposit 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 kontinu di a.

Latihan 3

Dimanakah fungsi berikut kontinu?

𝐹𝐹 𝑥𝑥 =1

𝑥𝑥2 + 7 − 4

Teorema Nilai Tengah

Teorema 7 Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b] dan misalkan N sembarang bilangan di antara f(a) dan f(b), dimana f(a) ≠ f(b). Maka ada bilangan c di dalam (a, b) sedemikian sehingga f(c) = N.

a bc1 c2 c3

N

f(a)

f(b)

0 x

y

Latihan 4

Tunjukkan bahwa ada akar persamaan x4 + x – 3 = 0 di antara 1 dan 2.

#HaveANiceDay