. استگام یک دانشجو براي ذیصالح شدن در آن رشته نخستینیادگیري زبان یک رشته علمی تانسور یک نام عمومی اینجا. در است 1تانسورها، جبر و حسابان هاي پیوستهزبان مکانیک محیط

هاي پیوسته، هاي فیزیکی مهم مکانیک محیطهاي ریاضی است که براي ارائه کمیتبراي ماهیت صورت به 𝐓𝐓𝒗𝒗را به بردار دیگر 𝒗𝒗گیرد. یک تانسور یا انتقال خطی، هر بردار ستفاده قرار میمورد ا

𝐓𝐓(𝒗𝒗 )الف 1.2( + 𝒘) = 𝐓𝐓𝒗𝒗 + 𝐓𝐓𝒘 , و𝐓𝐓(α𝒗𝒗) ب) 1.2( = α𝐓𝐓𝒗𝒗

به این صورت ،دهد. بنابراین جمع دو تانسور و ضرب اسکالر یک تانسورنسبت می 𝒘و 𝒗𝒗براي هر شودتعریف می

𝐓𝐓) )ج 1.2( + 𝐒)𝒗𝒗 = 𝐓𝐓𝒗𝒗 + 𝐒𝒗𝒗 , و𝒗𝒗(α𝐓𝐓) )د 1.2( = α(𝐓𝐓𝒗𝒗) .

دهند.به علت این خواص، تانسورها یک فضاي برداري را شکل می

) به مبناي دیگر 2مرجع چارچوبانتقال از یک مبنا ( واسطهبه مفیديبسیار تانسورها خاصیتهاي) ، کمیت (مؤلفهاست شدهمرجع تعریف چارچوبدارند. با داشتن یک تانسور که نسبت به یک

تواند تنش ، نوشته شود. یک نمونه از این، میقبول قابلمرجع چارچوبتواند در هر این تانسور میهاي اصلی و غیر اصلی باشد که هر دو مربوط به یک تانسور تنش یکسان با مؤلفه شده یفتعر

هاي چارچوبکه ارتباط بین نبا فرض اید. ند متفاوت باشنتوانها میتک مؤلفههستند، اگرچه تکدیگر چارچوبرا نسبت به چارچوبهاي متناسب با یک توان مؤلفهمرجع شناخته شده است، می

پیدا کرد.

1 - Tensor 2 - Reference Frame

ریاضیات ضروري

2

هاي پیوسته براي مهندسانمکانیک محیط 8

1دکارتیتانسورهاي که معروف به اند شده استفاده در این کتاب فقط آن دسته از تانسورهاطور بهادگذاري عمومی تانسورها، هاي بعدي ارائه خواهد شد. نمها در صفحهتعریف آن هستند و

، اما ضرورتی براي متن اصلی کتاب ندارد. معادالت تانسوري شده استدر ضمیمه آورده کاملهاي پیوسته، در دو نمادگذاري متمایز، مکانیک محیط براي توسعه نظریه بنیادي کاررفته به

ن از هر دو نوع نمادگذاريتواشوند. مینوشته می 3نمادگذاري اندیسییا 2نمادگذاري نمادینتر است، اما باید به ارتباط ، بسته به اینکه کدام براي استخراج یا تحلیل موضوع راحتاستفاده کرد

که بر شده استدر اغلب متون سعی هرحال بهداخلی بین آن دو نوع نمادگذاري توجه داشت. اري اندیسی به دانشجویانی که نمادگذاري اندیسی تأکید شود. در یک دوره مقدماتی باید نمادگذ

ممکن است آگاهی کمی از پیش به این موضوع داشته باشند، آموزش داده شود.

هاي هاي فیزیکی و هندسی، نقش مهمی در مکانیک محیطاز کمیت يا مالحظه قابلتعداد براي مثال توان با نوعی از تانسورها نمایش داد. ها را میپیوسته دارند و خوشبختانه هر یک از آن

کامل مشخص طور بهها، ممکن است با ارائه مقدار آن درجه حرارتو چگالیهایی نظیر کمیتنمایش داده 4ها از لحاظ ریاضی با اسکالرهاشوند، یعنی با یک مقدار عددي بیان شوند. این کمیت

کالرها ثابت گویند. الزم به تأکید است که اسمی 5تانسورهاي مرتبه صفرها شوند، که به آنمیچنین مقدار عددي دقیق یک توانند توابعی از موقعیت و یا زمان باشند. همنیستند، اما در واقع می

شود. بنابراین درجه حرارت در یک موقعیت اسکالر بستگی به واحدهایی دارد که در آن بیان میونانی کوچک که یک قانون کلی، حروف ی عنوان بهارائه شود. 20℃یا 68℉ خاص، ممکن است با

نماد براي اسکالرها در هر دو نمادگذاري عنوان به ...و α ،β ،λظیر کج نوشته شوند، ن صورت به اندیسی یا نمادین استفاده خواهند شد.

بر آننظیر نیرو و سرعت، نه فقط به تعیین مقدار، بلکه عالوه مکانیک کمیت فیزیکی ینچندیک مثال ابتدایی، یک نیروي عنوان به. دارندنیاز توصیف کامل خودبه یک جهت مشخص براي

20 𝑁 متفاوت با یک نیروي يا مالحظه قابل طور بهشود عمودي به یک نقطه وارد می صورت بهکه

1 - Cartesian Tensors 2 - Symbolic Notation

3 - Indicial Notation 4 - Scalar 5 - Zero-Order Tensor

دکارتیاسکالرها، بردارها و تانسورهاي 1.2

9 : ریاضیات ضروري2 فصل

20 𝑁 دار هستند، هایی که داراي چنین خواص جهتوارد بر آن نقطه در جهت افقی است. کمیتشوند. به لحاظ هندسی، باشند، نمایش داده میمی 2تانسورهاي مرتبه اولکه 1توسط بردارها

راي یک طول معین (اندازه)، یک راستاي مشخص ادهند، که دنشان می 3پیکانبردارها را عموماً با شود. در این کتاب طول (امتداد) و یک جهت عمل هستند که با سر و انتهاي پیکان مشخص می

هاي خاص در مکانیک، براي مثال . کمیته استنشدها با مقیاس اندازه بردارها ترسیم پیکان شوند.می نمایش داده اقع بردار نیستند نیز با پیکانهاي کوچک که در ودوران

بیشتري نیاز دارد: هايگزارهیک بردار، کاملعالوه بر مشخصه اندازه و جهت، تعریف ،در نتیجهکه بردار حاصل از جمع دو بردار، يطور هبشود، ن میجمع (و تفریق) بردارها، که با قانون مثلث بیا

شود، وقتی که این بردارها پیکانی است که از ابتداي بردار اول تا انتهاي بردار دوم کشیده می وصل شده باشند. »سر به ته«

هر چند بردارها از هر دستگاه مختصات خاصی مستقل هستند، اغلب مفید است که یک بردار تی خود تعریف شود. از دید محدودیت ما که منحصر به تانسورهاي هاي مختصابرحسب مؤلفه

هاي براي مشخص کردن مؤلفه دکارتیهاي مختصات است، خودمان را به بررسی دستگاه دکارتی کنیم.یک بردار، محدود می

هاي پیوسته مهمی در مکانیک محیط جایگاههاي فیزیکی داراي از کمیت يا مالحظه قابلشمار باشد که در حیطه هاي ریاضی مرتبه باالتر از بردارها نیاز میها، به ماهیتبراي بیان آنهستند که

ها، تانسورهاي تنش و ترین آنگونه که بعداً خواهیم دید، معروفگیرند. همانتانسورها قرار میکه داراي شودهستند و گفته می 4تانسورهاي مرتبه دومکرنش هستند. این تانسورهاي خاص،

هاي پیوسته غیر رایج . تانسورهاي مرتبه سوم و مرتبه چهارم در مکانیک محیطباشندمیدو 5بهرتاستفاده بدون شرط از کلمه رو ینازانیستند اما حضورشان به فراوانی تانسورهاي مرتبه دوم نیست.

در نمایش اغلبمورد استثناء، دفقط با چن. است تانسور مرتبه دومدر این کتاب، به معنی تانسورسیاه نمایش صورت به، تانسورهاي مرتبه دوم را با حروف التین بزرگ تانسورهاي تنش و کرنش

، عموماً با حروف کوچک شده انیبهاي تانسور است. مؤلفه 𝐓𝐓دهیم، یک مثال شاخص آن تانسور می . tijشوند:نشان داده می مربوطههاي التین، با اندیس

، مستقل از هر دستگاه مختصات هستند، اما مانند بردارها هرگاه بخواهیم تانسورها مانند بردارها

1 - Vector 2 - First-Order Tensor 3 - Arrow 4 - Second-Order Tensor 5 - Rank

هاي پیوسته براي مهندسانمکانیک محیط 10

هایش مشخص کنیم، مجبوریم به یک مجموعه مناسب از محورهاي مرجع، یک تانسور را با مؤلفه الـواص انتقـبرحسب خ ،مرتبه مختلف ع دهیم. در ادامه، تعـاریف دقـیق تانسورهاي بااـارج

، ارائه خواهند شد.دکارتیوعه مرتبط از محورهاي مختصات هایشان بین دو مجممؤلفه

) قراردادي براي ISOالمللی (بین استانداردسازمان ،عنوان مروري سریع بر نمادگذاري به :شده استزیر خالصه صورت بهچینی ریاضی ارائه داده که حروف

هاي بسته به کمیتتوانند شوند. این حروف میمتغیرهاي اسکالر با حروف کج نوشته می. 1هاي زیر بخشی از لیست یونانی باشند. مثالیا Romanهاي دهند، با فونتکی که نشان میفیزی

نمادگذاري اسکالر هستند:

شتاب اندازه - 𝑎𝑎الف) سرعت اندازه - 𝑣𝑣ب)

شعاع - 𝑟) ج درجه حرارت یا زاویه، با توجه به متن - θ) د ضریب انبساط حرارتی - α) ه مقدار اصلی تنش - σ) و اتساعمقدار ویژه یا - λ) ز

هاي زیر:صورت مثالشوند. بهکج و سیاه نوشته می صورت بهبردارها . 2

موقعیت - 𝒙الف) سرعت - 𝒗𝒗ب)

شتاب - 𝒂) ج 𝑥𝑥1بردار مبنا در جهت -𝒆𝒆�1 ) د

ها براي عالوه، ماتریسبهشوند. هاي بزرگ نوشته میتانسورهاي مرتبه دوم و باالتر با فونت. 3ها نمایش توانند با ماتریسشوند. تانسورها مینشان داده می شکستهتمایز با تانسورها، به فرم

ها تانسور نیستند. این قرارداد، در مورد چند کمیت معروف داده شوند، اما همه ماتریسچند اینجاشود. در مینمایش داده ϵنمونه، کرنش خطی با عنوان بهمهندسی، سازگار نیست.

:شده استمثال از نمادهاي تانسور و ماتریس بیان

ماتریس متعامد - 𝓠𝓠الف) کرنش محدود - 𝚬𝚬ب)

تانسور تنش کوشی - 𝐓𝐓) ج

11 : ریاضیات ضروري2 فصل

تانسور کرنش کوچک - 𝛜𝛜) د ماتریس دوران - 𝓡𝓡) ه

هاي فضاي فیزیکی سه بعدي زندگی روزمره، فضایی است که بسیاري از وقایع مکانیک محیطو است 1لحاظ ریاضی، این فضا مشهور به فضاي سه بعدي اقلیدسی بهدهد. پیوسته در آن رخ می

، نسبت داد. در برخی موارد، دکارتیتوان به یک دستگاه محورهاي مختصات هندسه آن را مییک چونکنند. پیوسته بازي می در موضوعات محیط ناپذیريجدایی قشعد باالتر، نفضاهاي با ب

در هر دستگاه محورهاي مختصات، همان مقدار را خواهد ط یک مؤلفه منفرد دارد،اسکالر فقهاي بردارها و تانسورها، براي هر مجموعه از محورهاي مختصات، کلی مؤلفه طور به اماداشت،

اي متفاوت خواهند داشت.مقادیر مؤلفه

یک دستگاه فضاي فیزیکی خودماناي، در نمایش بردارها و تانسورها در شکل مؤلفه منظور بهکنیم و براي این ، معرفی میO𝑥𝑥1𝑥𝑥2𝑥𝑥3مستطیلی دکارتیاز محورهاي مختصات گرد راست

کنیم. مشخص می(الف) 1.2، را مطابق شکل 𝒆𝒆�1 ،𝒆𝒆�2 ،𝒆𝒆�3 گانه سه 2یکه يمحورها، بردارهاي مبناشوند. به ها نوشته میروي آن ̂ د حروف سیاه و یک عالمت ین کتاب با نماا کلیه بردارهاي یکه در

بر و عالوه دهندرا تشکیل می 3ناي متعامدبها یک مدوي این بردارهاي مبنا، آن به خاطر تعامد دونامند. بر طبق این مبنا، یک بردار می 4هاي یکه هستند، مبنا را متعامد یکهها برداراین، چون آن

شودمی ارائهزیر صورت بهاي مؤلفه در شکل 𝒗𝒗 دلخواه

)2.2( 𝒗𝒗 = 𝑣𝑣1𝒆𝒆�1 + 𝑣𝑣2𝒆𝒆�2 + 𝑣𝑣3𝒆𝒆�3 = �𝑣𝑣i𝒆𝒆�i

3

i=1 .

صیف نمادین، . براي تواند شده دادهنشان (ب) 1.2شکل هاي مختصاتی آن در این بردار و مؤلفهف بیان ه بردار با همان حرد و اندازنشوائه میسیاه ار صورت بهالتین کوچک حروف بردارها معموالً با

است. 𝒗𝒗اندازه 𝑣𝑣شود. بنابراین می

که است، مفید 5قرارداد جمعمعروف به ينمادگذاراز بحث، معرفی یک روش در این مقطع

1 - Euclidean Three-Space 2 - Unit Base Vector

3 - Orthogonal Basis 4 - Orthonormal 5 - Summation Convention

قرارداد جمع -جبر تانسوري در نمادگذاري نمادین 2.2

هاي پیوسته براي مهندسانمکانیک محیط 12

کند، پیوسته را ساده می هاينوشتن معادالت مکانیک محیط يا مالحظه قابل طور بهاین روش در یک عبارت ظاهر شود، این دو مرتبهدقیقاً 1یرنویسزکنیم هرگاه یک وافق میخالصه، ت طور به را اختیار کند و جمالت حاصله با هم جمع شوند. براي مثال 3,2,1متوالی مقادیر طور بهیرنویس ز

را به فرم ساده 2.2معادله توانبا استفاده از این روش می

)3.2( 𝒗𝒗 = 𝑣𝑣i𝒆𝒆�i ,

∑ماد جمعنوشت و ن فقط براي ها زیرنویس، دکارتیتانسورهاي درکامل حذف کرد. طور بهرا شود. استفاده می 2سیباالنوو زیرنویسها نیاز هستند. براي تانسورهاي عمومی، هر دو مؤلفه

نامند، زیرا مهم نیست که چه حرف خاصی می 3مکرر هاياندیسجمع شونده را هاي زیرنویس 𝑣𝑣k𝒆𝒆�kیا 𝑣𝑣j𝒆𝒆�jکامالً معادل 𝑣𝑣i𝒆𝒆�iست. بنابراین وقتی قرارداد جمع استفاده شود، شده ااستفاده

گردد. اما ظاهر نباید بیش از دو مرتبه در یک عبارت ویسیباشد. توجه نمایید که هیچ زیرنمیتواند در یک عبارت نشان خواهیم داد، بیش از یک جفت اندیس مکرر می يزود بهگونه که همانچنین توجه نمایید ). هم2.2 (رجوع به مثال است، ظاهر شود که معنی آن، جمع جمالت شده داده

از بردارهاي یکه و ضرایب اسکالر باشد. ییها سیرنویزتواند شامل که قرارداد جمع می

1 - Subscript 2 - Superscript 3 - Dummy Indices - کاذبشاخص

1.2شکل هاي یک بردار دکارتی.بردارهاي مبنا و مؤلفه

𝒗𝒗رتی مستطیلی از بردار هاي دکاب) مؤلفه

، 𝑥𝑥1 هاي مختصاتالف) بردارهاي یکه در جهت𝑥𝑥2 و𝑥𝑥3.

13 : ریاضیات ضروري2 فصل

قرارداد جمع ، طبقاستها تا جایی که مربوط به مکانیک بدون توجه به معانی آن روابط زیر را توسعه دهید:

حل

jو سپس روي iالف) ابتدا جمع روي

𝑢𝑢i𝑣𝑣i𝑤𝑤j𝒆𝒆�j = (𝑢𝑢1𝑣𝑣1 + 𝑢𝑢2𝑣𝑣2 + 𝑢𝑢3𝑣𝑣3)(𝑤𝑤1𝒆𝒆�1 + 𝑤𝑤2𝒆𝒆�2 + 𝑤𝑤3𝒆𝒆�3)

.و جمع جمالت روي بردارهاي یکه jو سپس روي iب) جمع روي

tij𝑣𝑣j𝒆𝒆�i = t1j𝑣𝑣j𝒆𝒆�1 + t2j𝑣𝑣j𝒆𝒆�2 + t3j𝑣𝑣j𝒆𝒆�3

= (t11𝑣𝑣1 + t12𝑣𝑣2 + t13𝑣𝑣3) 𝒆𝒆�1 + (t21𝑣𝑣1 + t22𝑣𝑣2 + t23𝑣𝑣3) 𝒆𝒆�2

+(t31𝑣𝑣1 + t32𝑣𝑣2 + t33𝑣𝑣3) 𝒆𝒆�3 ،jو سپس روي i) جمع روي ج

tii𝑣𝑣j𝒆𝒆�j = (t11 + t22 + t33)(𝑣𝑣1𝒆𝒆�1 + 𝑣𝑣2𝒆𝒆�2 + 𝑣𝑣3𝒆𝒆�3)

بین (الف) و (ب) توجه کنید. شباهتبه

از سودمندچند تعریف ارائه براي ،، اکنون استفاده از نمادگذاري نمادینباالبا ذهنیتی از مطالب

. دو نماد وجود دارد که از ابتدا براي نوشتن جبر بردار و تانسور استجبر بردار و تانسور، مقدور هستند. عالوه بر این، چند رابطه 2و نماد جایگشت 1کرانکر. این دو نماد، دلتاي هستندضروري

هاي پیوسته همه جاي مکانیک محیطو نماد جایگشت وجود دارد که در کرانکرمفید بین دلتاي شود.شوند. به دنبال آن جبر بردار و تانسور بیان میاستفاده می

است، بنابراین خواننده باید این ماهیت جدید را سریعاً 3شبیه ماتریس همانی کرانکردلتاي ن را با یک توان آاست زیرا نمیکرانکر تر از دلتاي بپذیرد. در هر حال، نماد جایگشت کمی مفهومی

را در ناپذیرينقش جداییو نماد جایگشت کرانکرهاي بعدي، دلتاي ماتریس نمایش داد. در فصل خواهند کرد. ایفاروي اجسام پیوسته و توصیف موقعیت یک ذره، یروهانتوصیف چگونگی اعمال

1 - Kronecker Delta 2 - Permutation Symbol 3 - Identity Matrix

tii𝑣𝑣j𝒆𝒆�j ج) tij𝑣𝑣j𝒆𝒆�i ب) 𝑢𝑢i𝑣𝑣i𝑤𝑤j𝒆𝒆�j الف)

1.2مثال

هاي پیوسته براي مهندسانمکانیک محیط 14

دلتاي کرانکر 1.2.2

𝒆𝒆�i (iبردارهاي مبنا ازآنجاکه = متعامد هستند ، بردارهاي یکه و(1,2,3

𝒆𝒆�i ∙ 𝒆𝒆�j = � 1 j مقدار عددي = i اگر مقدار عددي

0 j مقدار عددي ≠ i اگر مقدار عددي

زیر معرفی کنیم صورت بهرا کرانکربنابراین اگر دلتاي

δij = �1 j مقدار عددي = i اگر مقدار عددي

0 j مقدار عددي ≠ i اگر مقدار عددي

که بینیممی

)4.2( 𝒆𝒆�i ∙ 𝒆𝒆�j = δij (i = 1,2,3) .

داد جمعارچنین، توجه نمایید که با قرهم

δii = δjj = δ11 + δ22 + δ33 = 1 + 1 + 1 = 3 ,

زیر توجه) عبارت jتوسط بسط (جمع روي کرانکرو عالوه بر آن، به خاصیت جایگزینی دلتاي نماییممی

δij𝒆𝒆�j = δi1𝒆𝒆�1 + δi2𝒆𝒆�2 + δi3𝒆𝒆�3 .

در سمت راست معادله، دلتاهاي کرانکردر این معادله، فقط یکی از شده داده iاما براي یک مقدار غیر صفر است و مقدار یک دارد. بنابراین

δij𝒆𝒆�j = 𝒆𝒆�i ,

𝒆𝒆�iصورت ساده و کاهش عبارت به iبا 𝒆𝒆�jدر jموجب جایگزینی زیرنویس δij𝒆𝒆�jدر و دلتاي کرانکر شود.می

نماد جایگشت 2.2.2

شودزیر تعریف می صورت بهکه εijkبا معرفی نماد جایگشت

)5.2( εijk =

⎩⎪⎨

⎪⎧

گرا مقادیر عددي ijk به ترتیب 12312 ظاهر شوند 1

اگر مقادیر عددي ijk به ترتیب 32132 ظاهر شوند 1−

اگر مقادیر عددي ijk به ترتیب دیگري ظاهر شوند 0

15 : ریاضیات ضروري2 فصل

i)اري بردارهاي مبنا دضرب بر توانمی = زیر بیان کرد صورت به 5.2معادله را به کمک (1,2,3

)6.2( 𝒆𝒆�i × 𝒆𝒆�j = εijk𝒆𝒆�k (i, j, k = 1,2,3) .

موجب تغییر در عالمت εijkدر زیرنویسجایی هر دو چنین، از روي تعریف دقت شود که جابههم ،شود، براي مثالمی

εijk = −εkji = εkij = −εikj ,

شود یعنیتکراري صفر می هاي زیرنویسآن، براي عالوه برو

ε113 = ε212 = ε133 = ε222 = 0 .

– 𝛆𝛆تساوي 3.2.2 𝛅

– εتساوي توسط کرانکر يها دلتاتوان برحسب را می εmiqεjkqجایگشت هايضرب نماد δ

εmiqεjkq الف) 7.2( = δmjδik − δmkδij

در است که ذکر یانشااست. این یک فرمول بسیار مهم و اثبات قابلکه با بسط مستقیم بیان کرد ،εijkچنین با خاصیت تغییر عالمت . همشده است استفاده ن کتابسرتاسر ای

εmiqεjkq = εmiqεqjk = εqmiεqjk = εqmiεjkq .

توان نشان دادمی (الف) 7.2عالوه، به آسانی از معادله به

εjkqεmkq ب) 7.2( = 2δjm ,

i قرار دادنبا = k و

εjkqεjkq ج) 7.2( = 6 .

جبر تانسور و بردار 4.2.2

شودبراي شروع، جمع برداري به آسانی به شکل اندیسی نوشته می

)8.2( 𝒘 = 𝒖𝒖 + 𝒗𝒗 یا 𝑤𝑤i𝒆𝒆�i = (𝑢𝑢i + 𝑣𝑣i)𝒆𝒆�i

شوند.ها به سادگی با هم دیگر جمع میکه مؤلفه

ا داشته باشد. شکل خاص آن، به نوع تواند یکی از چند شکل ممکن رضرب ساده برداري می صورت بهتوان ضرب شونده در بردار بستگی دارد. اکنون دو شکل از ضرب برداري را می کمیت

شودزیر نوشته می صورت بهنمادین تعریف کرد. ضرب یک بردار با یک اسکالر

هاي پیوسته براي مهندسانمکانیک محیط 16

)9.2( λ𝒗𝒗 = λ𝑣𝑣i𝒆𝒆�i ,

استصورت بین دو بردار به این (اسکالر) 1ايضرب نقطهو

)10.2( 𝒖𝒖 ∙ 𝒗𝒗 = 𝒗𝒗 ∙ 𝒖𝒖 = 𝑢𝑢𝑣𝑣 cosθ

بین دو بردار است وقتی که از یک مبدأ مشترك رسم شوند. تر کوچکزاویه θکه در آن،

𝒖𝒖 ايضرب نقطهو خاصیت جایگزینی آن، δijاز تعریف ∙ 𝒗𝒗 زیر نوشته شود صورت بهتواند می

)11.2( 𝒖𝒖 ∙ 𝒗𝒗 = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i ∙ 𝑣𝑣j𝒆𝒆�j = 𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝒆𝒆�i ∙ 𝒆𝒆�j = 𝑢𝑢i𝑣𝑣jδij = 𝑢𝑢i𝑣𝑣i .

د.نکنمی هاي اسکالر از آن عبوربرداري است، مؤلفه عملگراي یک ضرب نقطه ازآنجاکهتوجه نمایید

شودزیر تعریف می صورت بهدو بردار (ضربدري) 2ضرب برداري

𝒖𝒖 × 𝒗𝒗 = −𝒗𝒗 × 𝒖𝒖 = (𝑢𝑢𝑣𝑣 sinθ)𝒆𝒆�

0که در آن ⩽ θ ⩽ π ، و تی که از یک مبدأ مشترك رسم شوندبین دو بردار است وقزاویه𝒆𝒆� θزاویه اندازه به �𝒆𝒆گرد حول که یک چرخش راست طوري بهبردار یکه عمود بر صفحه آن دو است

قرار گیرد. 𝒗𝒗روي 𝒖𝒖موجب شود

زیر نوشت صورت به) 5.2توان برحسب نماد جایگشت (معادله ضرب برداري را می

)12.2( 𝒖𝒖 × 𝒗𝒗 = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i × 𝑣𝑣j𝒆𝒆�j = 𝑢𝑢i𝑣𝑣j(𝒆𝒆�i × 𝒆𝒆�j) = εijk𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝒆𝒆�k .

کنند.هاي اسکالر از عملگر ضرب برداري عبور میدوباره توجه نمایید که چگونه مؤلفه

(ضرب 3گانهضرب اسکالر سهتوان به دو روش مفید، در هم ضرب نمود. سه بردار را می استزیر صورت به 4اي)بهجع

𝒖𝒖 ∙ 𝒗𝒗 × 𝒘 = 𝒖𝒖 × 𝒗𝒗 ∙ 𝒘 = [𝒖𝒖,𝒗𝒗,𝒘] , یا

)13.2( [𝒖𝒖,𝒗𝒗,𝒘] = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i ∙ (𝑣𝑣j𝒆𝒆�j × 𝑤𝑤k𝒆𝒆�k) = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i ∙ εjkq𝑣𝑣j𝑤𝑤k𝒆𝒆�q

= εjkq𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤kδiq = εijk𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤k

ضرب استفاده شده است. εijkو تغییر عالمت δiqت جایگزینی که در مرحله آخر از هر دو خاصی

1 - Dot Product 2 - Vector Cross Product 3 - Triple Scalar Product 4 - Box Product

17 : ریاضیات ضروري2 فصل

استگانه مشابه ضرب اسکالر سه 1گانهبرداري سه

)14.2( 𝒖𝒖 × (𝒗𝒗 × 𝒘) = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i × (𝑣𝑣j𝒆𝒆�j × 𝑤𝑤k𝒆𝒆�k) = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i × (εjkq𝑣𝑣j𝑤𝑤k𝒆𝒆�q)

= εiqmεjkq𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤k𝒆𝒆�m = εmiqεjkq𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤k𝒆𝒆�m

زیر نوشته شود صورت به دتوانکه می

)15.2( 𝒖𝒖 × (𝒗𝒗 × 𝒘) = (δmjδik − δmkδij)𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤k𝒆𝒆�m

= (𝑢𝑢i𝑣𝑣m𝑤𝑤i − 𝑢𝑢i𝑣𝑣i𝑤𝑤m)𝒆𝒆�m = 𝑢𝑢i𝑤𝑤i𝑣𝑣m𝒆𝒆�m − 𝑢𝑢i𝑣𝑣i𝑤𝑤m𝒆𝒆�m .

دهد که نشان می 15.2ها در معادله مشاهده اندیس

𝒖𝒖 × (𝒗𝒗 × 𝒘) = (𝒖𝒖 ∙ 𝒘)𝒗𝒗 − (𝒖𝒖 ∙ 𝒗𝒗)𝒘 .استکه تساوي معروفی در جبر بردارها

توانند در یکدیگر ضرب شده و یک تانسور ، دو بردار میباالهاي برداري متعارف ضرب عالوه بر کندمیرا ایجاد 2دیاد . تانسور حاصل از دو بردار یکرا نتیجه دهند

)16.2( 𝒖𝒖𝒗𝒗 = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i𝑣𝑣j𝒆𝒆�j = 𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝒆𝒆�i𝒆𝒆�j

دهدنتیجه می iشده، جمع اول روي که در شکل بسط داده

𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝒆𝒆�i𝒆𝒆�j = 𝑢𝑢1𝑣𝑣j𝒆𝒆�1𝒆𝒆�j + 𝑢𝑢2𝑣𝑣j𝒆𝒆�2𝒆𝒆�j + 𝑢𝑢3𝑣𝑣j𝒆𝒆�3𝒆𝒆�j ,

دهدنتیجه می jو سپس جمع روي

𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝒆𝒆�i𝒆𝒆�j = 𝑢𝑢1𝑣𝑣1𝒆𝒆�1𝒆𝒆�1 + 𝑢𝑢1𝑣𝑣2𝒆𝒆�1𝒆𝒆�2 + 𝑢𝑢1𝑣𝑣3𝒆𝒆�1𝒆𝒆�3

)17.2( + 𝑢𝑢2𝑣𝑣1𝒆𝒆�2𝒆𝒆�1 + 𝑢𝑢2𝑣𝑣2𝒆𝒆�2𝒆𝒆�2 + 𝑢𝑢2𝑣𝑣3𝒆𝒆�2𝒆𝒆�3

+ 𝑢𝑢3𝑣𝑣1𝒆𝒆�3𝒆𝒆�1 + 𝑢𝑢3𝑣𝑣2𝒆𝒆�3𝒆𝒆�2 + 𝑢𝑢3𝑣𝑣3𝒆𝒆�3𝒆𝒆�3 .

زیر صورت بهدیادها نامند. جمعمی 𝒖𝒖𝒗𝒗 دیاد ییتا نه شکلاي را این جمع نه جمله

)18.2( 𝒖𝒖1𝒗𝒗1 + 𝒖𝒖2𝒗𝒗2 + ⋯+ 𝒖𝒖N𝒗𝒗N

شود.نامیده می 3یکددیا

شودزیر استفاده می صورت بهاغلب، نمادگذاري رایج دیگري براي ضرب دیاد

1 - Triple Cross Product 2 - Dyad 3 - Dyadic

هاي پیوسته براي مهندسانمکانیک محیط 18

)19.2( 𝒂 ⨂ 𝐛 = 𝑎𝑎i𝒆𝒆�i ⨂bj𝒆𝒆�j = 𝑎𝑎ibj𝒆𝒆�i ⨂𝒆𝒆�j

شودتعریف می به این صورت 𝐛و 𝒂شود. ضرب تانسوري بردارهاي نامیده می ضرب تانسوريکه ⨂ 𝒂که چگونه 𝐛 همه بردارهاي𝒖𝒖 کند را نگاشت می

)20.2( (𝒂 ⨂ 𝐛)𝒖𝒖 = 𝒂(𝐛 ∙ 𝐮) .

بردارهایی از فضاي سه بعدي اقلیدسی باشند، شکل بسط یافته 𝒖𝒖و 𝒂 ،𝐛اگر فرض کنیم بردارهاي زیر نوشت صورت بهتوان ضرب تانسوري را می

)21.2( (𝒂 ⨂ 𝐛)𝒖𝒖 = 𝒂(𝐛 ∙ 𝐮) = �𝑎𝑎1𝑎𝑎2𝑎𝑎3� (b1𝑢𝑢1 + b2𝑢𝑢2 + b3𝑢𝑢3)

= �𝑎𝑎1b1𝑢𝑢1 + 𝑎𝑎1b2𝑢𝑢2 + 𝑎𝑎1b3𝑢𝑢3𝑎𝑎2b1𝑢𝑢1 + 𝑎𝑎2b2𝑢𝑢2 + 𝑎𝑎2b3𝑢𝑢3𝑎𝑎3b1𝑢𝑢1 + 𝑎𝑎3b2𝑢𝑢2 + 𝑎𝑎3b3𝑢𝑢3

�

= �𝑎𝑎1b1 𝑎𝑎1b2 𝑎𝑎1b3𝑎𝑎2b1 𝑎𝑎2b2 𝑎𝑎2b3𝑎𝑎3b1 𝑎𝑎3b2 𝑎𝑎3b3

� �𝑢𝑢1𝑢𝑢2𝑢𝑢3�

= ��𝑎𝑎1𝑎𝑎2𝑎𝑎3� [b1 b2 b3]� �

𝑢𝑢1𝑢𝑢2𝑢𝑢3� .

1ضرب خارجیات ضرب تانسوري را دهد که چرا گاهی اوقنشان می 21.2آخرین خط معادله شودزیر تعریف می صورت بههم 2ضرب داخلینامند. البته می

𝒂 ∙ 𝐛 = [𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 𝑎𝑎3] �b1b2b3

� = 𝑎𝑎1b1 + 𝑎𝑎2b2 + 𝑎𝑎3b3 .

هر دو . استدهد که ضرب تانسوري، معادل ضرب دیاد دو بردار نشان می 21.2خط دوم از معادله نمادگذاري در این کتاب استفاده خواهد شد.

دهدرا می 3دیاد -ضرب بردارتواند در یک بردار ضرب شود که یک دیاد می

1 - Outer Product 2 - Inner Product 3 - Vector-Dyad Product

19 : ریاضیات ضروري2 فصل

)22.2( 1. 𝒖𝒖 ∙ (𝒗𝒗𝒘) = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i ∙ (𝑣𝑣j𝒆𝒆�j𝑤𝑤k𝒆𝒆�k) = 𝑢𝑢i𝑣𝑣i𝑤𝑤k𝒆𝒆�k

)23.2( 2. (𝒖𝒖𝒗𝒗) ∙ 𝒘 = (𝑢𝑢i𝒆𝒆�i𝑣𝑣j𝒆𝒆�j) ∙ 𝑤𝑤k𝒆𝒆�k = 𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤j𝒆𝒆�i

)24.2( 3. 𝒖𝒖 × (𝒗𝒗𝒘) = (𝑢𝑢i𝒆𝒆�i × 𝑣𝑣j𝒆𝒆�j)𝑤𝑤k𝒆𝒆�k = εijq𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤k𝒆𝒆�q𝒆𝒆�k

)25.2( 4. (𝒖𝒖𝒗𝒗) × 𝒘 = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i(𝑣𝑣j𝒆𝒆�j × 𝑤𝑤k𝒆𝒆�k) = εjqk𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤k𝒆𝒆�i𝒆𝒆�q

.)استمهم 𝒆𝒆�i، مرتبه بردارهاي مبناي 4 و 3هاي ردیف وجه نمایید که در ضرب(ت

ضرب شده و یک دیاد دیگر را نتیجه دهند یکدیگرتوانند در دیادها می

)26.2( (𝒖𝒖𝒗𝒗) ∙ (𝒘𝒔) = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i(𝑣𝑣j𝒆𝒆�j ∙ 𝑤𝑤k𝒆𝒆�k)𝑠q𝒆𝒆�q = 𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤j𝑠q𝒆𝒆�i𝒆𝒆�q .

توانند در یک تانسور ضرب شده و یک بردار را نتیجه دهند. کاهش در مرتبه تانسور بردارها می .استدر نمادگذاري »نقطه« به علت استفاده مستقیم از

)27.2( 1. 𝒗𝒗 ∙ 𝐓𝐓 = 𝑣𝑣i𝒆𝒆�i ∙ tjk𝒆𝒆�j𝒆𝒆�k = 𝑣𝑣itjkδij𝒆𝒆�k = 𝑣𝑣itik𝒆𝒆�k

)28.2( 2. 𝐓𝐓 ∙ 𝒗𝒗 = tij𝒆𝒆�i𝒆𝒆�j ∙ 𝑣𝑣k𝒆𝒆�k = tij𝒆𝒆�iδjk𝑣𝑣k = tij𝑣𝑣j𝒆𝒆�i

شوند.)نیز نوشته می 𝐓𝐓𝒗𝒗و 𝒗𝒗𝐓𝐓ها، به شکل ساده (توجه نمایید که این ضرب

رب شده، یک تانسور را نتیجه دهندند در هم ضنتوادر نهایت، دو تانسور می

)29.2( 𝐓𝐓 ∙ 𝐒 = tij𝒆𝒆�i𝒆𝒆�j ∙ spq𝒆𝒆�p𝒆𝒆�q = tijspqδjp𝒆𝒆�i𝒆𝒆�q = tijsjp𝒆𝒆�i𝒆𝒆�q .

𝒗𝒗 صورت به 𝒗𝒗بردار = (𝒂 ∙ 𝒏�)𝒏� + 𝒏� × (𝒂 × 𝒏�) داده شده است که در آن𝒂 یک برداربیان نموده، بسط داده و 𝒆𝒆�iبردارهاي مبناي برحسبرا 𝒗𝒗. استیک بردار یکه �𝒏دلخواه و

�𝒏ساده کنید. (توجه نمایید که ∙ 𝒏� = 𝑛𝑛i𝒆𝒆�i ∙ 𝑛𝑛j𝒆𝒆�i = 𝑛𝑛i𝑛𝑛jδij = 𝑛𝑛i𝑛𝑛i = 1(.

حل

شودمی توسط معادله زیر بیان 𝒗𝒗، بردار 𝒆𝒆�iبرحسب بردارهاي مبنا

𝒗𝒗 = (𝑎𝑎i𝒆𝒆�i ∙ 𝑛𝑛j𝒆𝒆�i)𝑛𝑛k𝒆𝒆�k + 𝑛𝑛i𝒆𝒆�i × (𝑎𝑎j𝒆𝒆�j × 𝑛𝑛k𝒆𝒆�k) .

شوند، اما قرارداد جمع نقض چهار مرتبه ظاهر می kو i ،jهاي اندیس کهدر این جا توجه داریم مالت متفاوت در نظر گرفته اند، جیا منها مجزا شده اضافه بهنشده است. جمالتی که با عالمت

اي یا . بردارهایی که با ضرب نقطهقابل استفاده استها شوند که روال قرارداد جمع، روي آنمیها برقرار باشد. روي آن باید قرارداد جمع،و نیستندبرداري به هم مرتبط هستند، جمالت مجزا

2.2مثال

هاي پیوسته براي مهندسانمکانیک محیط 20

، خواهیم داشتشده دادههاي نشان با اعمال ضرب

𝒗𝒗 = (𝑎𝑎i𝑛𝑛jδij)𝑛𝑛k𝒆𝒆�k + 𝑛𝑛i𝒆𝒆�i × (εjkq𝑎𝑎j𝑛𝑛k𝒆𝒆�q)

= 𝑎𝑎i𝑛𝑛i𝑛𝑛k𝒆𝒆�k + εiqmεjkq𝑛𝑛i𝑎𝑎j𝑛𝑛k𝒆𝒆�m

= 𝑎𝑎i𝑛𝑛i𝑛𝑛k𝒆𝒆�k + εmiqεjkq𝑛𝑛i𝑎𝑎j𝑛𝑛k𝒆𝒆�m

= 𝑎𝑎i𝑛𝑛i𝑛𝑛k𝒆𝒆�k + (δmjδik − δmkδij)𝑛𝑛i𝑎𝑎j𝑛𝑛k𝒆𝒆�m

= 𝑎𝑎i𝑛𝑛i𝑛𝑛k𝒆𝒆�k + 𝑛𝑛i𝑎𝑎j𝑛𝑛i𝒆𝒆�j − 𝑛𝑛i𝑎𝑎i𝑛𝑛k𝒆𝒆�k

= 𝑛𝑛i𝑛𝑛i𝑎𝑎j𝒆𝒆�j = 𝑎𝑎j𝒆𝒆�j = 𝒂 .

تواند به یک مؤلفه می 𝒗𝒗دهد که بردار باشد، این مثال نشان می 𝒗𝒗باید مساوي با 𝒂چون (𝒗𝒗 ∙ 𝒏�)𝒏� در امتداد𝒏� و یک مؤلفه𝒏� × (𝒗𝒗× 𝒏�) عمود بر𝒏� .تجزیه شود

εmkqεjkqنشان دهید که (الف) 7.2با استفاده از معادله = 2δmj (ب) وεjkqεjkq = . ( به 6δkkکه یادآورید = δmkδkjو 3 = δmj(.

حل

نویسیممی kبا iاندیس را با جایگزینی )الف( 7.2الف) معادله

εmkqεjkq = δmjδkk − δmkδkj

= 3δmj − δmj = 2δmj .

خواهیم داشت jبا mب) با استفاده از معادله اول در قسمت (الف) و جایگزینی اندیس

εjkqεjkq = δjjδkk − δjkδjk

= (3)(3)− δjj = 9 − 3 = 6 .

شوندزیر تعریف می صورت بهدیادها 1ايهاي دو نقطهضرب

1 - Double Dot Product

3.2مثال

4.2مثال

21 : ریاضیات ضروري2 فصل

(الف (𝒖𝒖𝒗𝒗) ∙∙ (𝒘𝒔) = (𝒗𝒗 ∙ 𝒘)(𝒖𝒖 ∙ 𝒔)

(ب (𝒖𝒖𝒗𝒗) ∶ (𝒘𝒔) = (𝒖𝒖 ∙ 𝒘)(𝒗𝒗 ∙ 𝒔) .

ها را با هم مقایسه کنید.اي آنهاي مؤلفهها را بسط داده و شکلاین ضرب

حل

(الف (𝒖𝒖𝒗𝒗) ∙∙ (𝒘𝒔) = (𝑣𝑣i𝒆𝒆�i ∙ 𝑤𝑤j𝒆𝒆�j)(𝑢𝑢k𝒆𝒆�k ∙ 𝑠q𝒆𝒆�q) = 𝑣𝑣i𝑤𝑤i𝑢𝑢k𝑠k

(ب (𝒖𝒖𝒗𝒗) ∶ (𝒘𝒔) = (𝑢𝑢i𝒆𝒆�i ∙ 𝑤𝑤j𝒆𝒆�j)(𝑣𝑣k𝒆𝒆�k ∙ 𝑠q𝒆𝒆�q) = 𝑢𝑢i𝑤𝑤i𝑣𝑣k𝑠k

اي از نمادگذاري نمادینخالصه

:8.2جمع بردارها، معادله . 1

𝒘 = 𝒖𝒖 + 𝒗𝒗 یا 𝑤𝑤i𝒆𝒆�i = (𝑢𝑢i + 𝑣𝑣i)𝒆𝒆�i

ضرب:. 2

:9.2الف) بردار با اسکالر، معادله

λ𝒗𝒗 = λ𝑣𝑣i𝒆𝒆�i

:11.2اي ( اسکالر) دو بردار، معادله ب) ضرب نقطه

𝒖𝒖 ∙ 𝒗𝒗 = 𝒗𝒗 ∙ 𝒖𝒖 = 𝑢𝑢𝑣𝑣 cosθ = 𝑢𝑢i𝑣𝑣i :12.2) ضرب برداري (ضربدري) دو بردار، معادله ج

𝒖𝒖× 𝒗𝒗 = −𝒗𝒗× 𝒖𝒖 = (𝑢𝑢𝑣𝑣 sinθ)𝒆𝒆� = εijk𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝒆𝒆�k

:13.2اي)، معادله (ضرب جعبه گانه سه) ضرب اسکالر د

[𝒖𝒖,𝒗𝒗,𝒘] = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i ∙ (𝑣𝑣j𝒆𝒆�j × 𝑤𝑤k𝒆𝒆�k) = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i ∙ εjkq𝑣𝑣j𝑤𝑤k𝒆𝒆�q

= εjkq𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤kδiq = εijk𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤k

:14.2معادله ،گانه سه) ضرب برداري ه

𝒖𝒖 × (𝒗𝒗 × 𝒘) = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i × (𝑣𝑣j𝒆𝒆�j × 𝑤𝑤k𝒆𝒆�k) = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i × (εjkq𝑣𝑣j𝑤𝑤k𝒆𝒆�q)

= εiqmεjkq𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤k𝒆𝒆�m = εmiqεjkq𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤k𝒆𝒆�m

:16.2) ضرب تانسوري دو بردار ( دیاد)، معادله و

هاي پیوسته براي مهندسانمکانیک محیط 22

𝒖𝒖𝒗𝒗 = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i𝑣𝑣j𝒆𝒆�j = 𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝒆𝒆�i𝒆𝒆�j = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i ⨂ 𝑣𝑣j𝒆𝒆�j = 𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝒆𝒆�i ⨂ 𝒆𝒆�j

:25.2تا 22.2دیاد، معادالت -هاي بردار) ضربز

1. 𝒖𝒖 ∙ (𝒗𝒗𝒘) = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i ∙ (𝑣𝑣j𝒆𝒆�j𝑤𝑤k𝒆𝒆�k) = 𝑢𝑢i𝑣𝑣i𝑤𝑤k𝒆𝒆�k

2. (𝒖𝒖𝒗𝒗) ∙ 𝒘 = (𝑢𝑢i𝒆𝒆�i𝑣𝑣j𝒆𝒆�j) ∙ 𝑤𝑤k𝒆𝒆�k = 𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤j𝒆𝒆�i

3. 𝒖𝒖 × (𝒗𝒗𝒘) = (𝑢𝑢i𝒆𝒆�i × 𝑣𝑣j𝒆𝒆�j)𝑤𝑤k𝒆𝒆�k = εijq𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤k𝒆𝒆�q𝒆𝒆�k

4. (𝒖𝒖𝒗𝒗) × 𝒘 = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i(𝑣𝑣j𝒆𝒆�j × 𝑤𝑤k𝒆𝒆�k) = εjkq𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤k𝒆𝒆�i𝒆𝒆�q

:26.2دیاد، معادله -ح) ضرب دیاد

(𝒖𝒖𝒗𝒗) ∙ (𝒘𝒔) = 𝑢𝑢i𝒆𝒆�i(𝑣𝑣j𝒆𝒆�j ∙ 𝑤𝑤k𝒆𝒆�k)𝑠q𝒆𝒆�q = 𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤j𝑠q𝒆𝒆�i𝒆𝒆�q

:28.2و 27.2سور، معادالت تان -هاي بردار) ضربط

1. 𝒗𝒗 ∙ 𝐓𝐓 = 𝑣𝑣i𝒆𝒆�i ∙ tjk𝒆𝒆�j𝒆𝒆�k = 𝑣𝑣itjkδij𝒆𝒆�k = 𝑣𝑣itik𝒆𝒆�k

2. 𝐓𝐓 ∙ 𝒗𝒗 = tij𝒆𝒆�i𝒆𝒆�j ∙ 𝑣𝑣k𝒆𝒆�k = tij𝒆𝒆�iδjk𝑣𝑣k = tij𝑣𝑣j𝒆𝒆�i

:29.2تانسور، معادله -) ضرب تانسوري

𝐓𝐓 ∙ 𝐒 = tij𝒆𝒆�i𝒆𝒆�j ∙ spq𝒆𝒆�p𝒆𝒆�q = tijsjp𝒆𝒆�i𝒆𝒆�q

اي:) ضرب دو نقطهك

(𝒖𝒖𝒗𝒗) ∙∙ (𝒘𝒔) = (𝑣𝑣i𝒆𝒆�i ∙ 𝑤𝑤j𝒆𝒆�j)(𝑢𝑢k𝒆𝒆�k ∙ 𝑠q𝒆𝒆�q) = 𝑣𝑣i𝑤𝑤i𝑢𝑢k𝑠k (𝒖𝒖𝒗𝒗) ∶ (𝒘𝒔) = (𝑢𝑢i𝒆𝒆�i ∙ 𝑤𝑤j𝒆𝒆�j)(𝑣𝑣k𝒆𝒆�k ∙ 𝑠q𝒆𝒆�q) = 𝑢𝑢i𝑤𝑤i𝑣𝑣k𝑠k

امکان اجراي عملیات نمادگذاري اندیسی، ها زیرنویسبا اختصاص دادن معناي خاص به در معادالت 𝒆𝒆�iدهد، بدون اینکه بردارهاي مبناي را می ...گیري و تانسوري جمع، ضرب، دیفرانسیل

کنیم که رتبه (مرتبه) تانسوري یک عبارت، با ساده توافق می طور بهاستفاده یا حتی ظاهر شوند. در آن عبارت بدون تکرار ی کههایزیرنویسیعنی مشخص گردد، »1آزاد« هاي زیرنویستعداد

، یک عبارت با دو اندیس استیک عبارت با یک اندیس آزاد، یک بردار . بر این اساساند ظاهرشده

1 - Free

نمادگذاري اندیسی 3.2

23 : ریاضیات ضروري2 فصل

بیان شده 2.1و به همین ترتیب. معناي خاص این نمادها در جدول است آزاد، تانسور مرتبه دوم است.

3و 2، 1هاي آزاد به ترتیب مقادیر بعدي، اندیسدر یک فضاي سه شده یفتعربراي تانسورهاي هاي آزاد در . اگر تعداد اندیسهستندسه 1دامنهها داراي گوییم این اندیسکنند و میرا اختیار می مؤلفه در فضاي سه بعدي خواهد داشت. 3Nباشد، آن تانسور Nیک تانسور،

شود:ظاهر می زیرنویس دو نوعباید تأکید کرد که در نمادگذاري اندیسی دقیقاً

بار در یک عبارت واقـع یکه فقط ـک گـردندبیان می یـ، توسط حروف»آزاد«هاي اندیس. 1 .شوندمی

در یک عبارت دو بارکه فقط گردندبیان می حروفی، توسط »مکرر«یا »جمع«هاي اندیس. 2 .شوندظاهر می

هاي آزاد یکسانی براي اندیس زیرنویسهر عبارت در یک معادله معتبر، باید حروف این، عالوه بر ، ظاهر گردد.شده دادهدر هر عبارت دو بارنباید بیش از یرنویسیزدارا باشد. هیچ حرف

شود. بنابراین به آسانی با استفاده از نمادگذاري اندیسی اجرا میعملیات ریاضی روي تانسورها، 𝑢𝑢i، نمونهجمع (و تفریق) بین تانسورهاي با رتبه برابر، بر اساس معادالت + 𝑣𝑣i − 𝑤𝑤i = 𝑠i براي

tijبردارها و − vij + sij = qij شود. ضرب دو تانسور برايبراي تانسورهاي مرتبه دوم دنبال می

1 - Range

1.2جدول هاي تانسوري مختلف.شکل اندیسی براي کمیت

λ = (تانسور مرتبه صفر ) اسکالرλ

𝑣𝑣i = نسور مرتبه اول) بردار (تا𝒗𝒗 ،مؤلفه آن 3، یا به طول معادل

𝑢𝑢i𝑣𝑣j = (تانسور مرتبه دوم ) دیاد𝒖𝒖𝒗𝒗 مؤلفه آن 9، یا

tij = (تانسور مرتبه دوم ) دیادیک𝐓𝐓 مؤلفه آن 9، یا

Qijk = (تانسور مرتبه سوم ) تریادیک𝐐𝐐 مؤلفه آن 27، یا

Cijkm = رتبه چهارم) تترادیک ( تانسور م𝐂𝐂 مؤلفه آن 81، یا

هاي پیوسته براي مهندسانمکانیک محیط 24

، به سادگی با قرار دادن نماد تانسورها در کنار هم، بدون ظاهر ضرب تانسوري خارجیایجاد یک و 𝑣𝑣iخارجی بردار یک مثال شاخص، ضرب عنوان بهپذیرد. هاي مکرر صورت میشدن اندیس

قرار یکدیگر (یعنی مساوي یکی کردن یندفرآ، 1ادغام. است 𝑣𝑣itjk ، تانسور مرتبه سومtjkتانسور از یک ضرب تانسوري ضرب تانسوري داخلی) هر دو اندیس از یک عبارت تانسوري است. دادن

شود. هاي تانسورهاي مجزا در ضرب خارجی، تشکیل میادغام روي اندیس دخارجی با یک یا چندي از یابد. تعدامی کاهش دو درجه، به ازاي هر ادغام شده دادهتوجه نمایید که رتبه یک تانسور

آورده 2.2دهند، در جدول هاي داخلی معروف را تشکیل میهاي خارجی که با ادغام، ضربضرب اند.شده

جا کردن آن دو اندیس با یکدیگر، مقدار است اگر جابه 2متقارنیک تانسور در هر دو اندیسی sijتانسور را تغییر ندهد. براي مثال، اگر = sji وcijm = cjimر دوي این تانسورها را در ، ه

) در هر دو اندیس 4مورب متقارنیا ( 3پادمتقارننامند. یک تانسور، متقارن می jو iهاي اندیسجایی آن دو اندیس با یکدیگر، موجب تغییر عالمت در مقدار تانسور شود. بنابراین ر جابهـاست اگ

aijر ـاگ = −aji در تانسور، اینi وj ه از تعریف، ـک یادآوریدبه چنین . هماست پادمتقارنεijk = −εjik = εjki ،ها، پادمتقارن است.نماد جایگشت در همه اندیس رو ینازاو غیره

sijبراي یک تانسور متقارن sijaijنشان دهید که ضرب داخلی = sji پادمتقارنو یک تانسور aij = −aji .برابر صفر است

1 - Contraction 2 - Symmetric 3 - Anti-Symmetric 4 - Skew-Symmetric

2.2جدول .هاي داخلی و خارجیهاي ضربشکل

هاي داخلیضرب ادغام (ها) هاي خارجیضرب

𝑢𝑢i𝑣𝑣j i = j 𝑢𝑢i𝑣𝑣i اي بردار)(ضرب نقطه

εijk𝑢𝑢q𝑣𝑣m j = q, k = m εijk𝑢𝑢j𝑣𝑣k (ضرب برداري بردار)

εijk𝑢𝑢q𝑣𝑣m𝑤𝑤n i = q, j = m, k = n εijk𝑢𝑢i𝑣𝑣j𝑤𝑤k اي)(ضرب جعبه

5.2مثال

25 : ریاضیات ضروري2 فصل

حل

، داریمaij پادمتقارنو تانسور sijیف تانسور متقارن طبق تعر

sijaij = −sjiaji = −smnamn = −sijaij

2sijaij. بنابراین استها ه دو مرحله آخر، حاصل از مکرر بودن همه اندیسـک = یا 0sijaij = 0.

سه بعددر بیان معادالت در یجادشدها یدگفشرترین مزایاي نمادگذاري اندیسی، یکی از مهم

هاي پیوسته براي تشریح این ویژگی، در زیر اي از معادالت شاخص مکانیک محیط. خالصهاست ارائه شده است.

1 .ϕ = sijtij − siitjj ،عبارت در طرف راست آن) 18( یک معادله

2 .ti = qijnj (سه معادله، سه عبارت در طرف راست هر کدام )

3 .tij = λδijΕkk + 2µΕij )9 (معادله، چهار عبارت در طرف راست هر کدام

𝑣𝑣iبا بسط مستقیم عبارت = εijk𝑤𝑤jkهاي بردار ، مؤلفه𝑣𝑣i تانسورهاي را برحسب مؤلفه 𝑤𝑤jk تعیین کنید.

حل

گیریم کهنتیجه می حذف جمالت صفر، آنگاهو kو سپس روي jبا جمع روي ابتدا

𝑣𝑣i = ε𝑖1𝑘𝑤𝑤1k + ε𝑖2𝑘𝑤𝑤2k + ε𝑖3𝑘𝑤𝑤3k

= ε𝑖12𝑤𝑤12 + ε𝑖13𝑤𝑤13 + ε𝑖21𝑤𝑤21 + ε𝑖23𝑤𝑤23 + ε𝑖31𝑤𝑤31 + ε𝑖32𝑤𝑤32 . بنابراین،

𝑣𝑣1 = ε123𝑤𝑤23 + ε132𝑤𝑤32 = 𝑤𝑤23 −𝑤𝑤32 ,

𝑣𝑣2 = ε213𝑤𝑤13 + ε231𝑤𝑤31 = 𝑤𝑤31 −𝑤𝑤13 ,

𝑣𝑣3 = ε312𝑤𝑤12 + ε321𝑤𝑤21 = 𝑤𝑤12 −𝑤𝑤21 . .استیک بردار تهی (صفر) 𝑣𝑣iمتقارن بود، بردار 𝑤𝑤jkتوجه نمایید که اگر تانسور

𝐖 پادمتقارنسور مرتبه دوم براي پایان این بخش، یک تان = 𝑤𝑤ij𝒆𝒆�i𝒆𝒆�j را در نظر بگیرید. همه

6.2مثال

هاي پیوسته براي مهندسانمکانیک محیط 26

بیان کرد. 1بردار محوريیک برحسبتوان با استفاده از نماد جایگشت، را می پادمتقارنتانسورهاي کنیمزیر تعریف می صورت به ωiرا با 𝑤𝑤ijبردار محوري

)30.2( ωi = −12 εijk𝑤𝑤jk .

توان برحسب را می 𝑤𝑤jk. استها کارگیري اندیساي در بهتمرین ساده 30.2یافتن معکوس معادله ωi زیر نوشت صورت به

εimnωi = −12 εimnεijk𝑤𝑤jk

= −12

(δmjδnk − δmkδnj)𝑤𝑤jk

)31.2( = −12 (𝑤𝑤mn − 𝑤𝑤nm)

= −12

(2𝑤𝑤mn)

= −𝑤𝑤mn

استفاده شده است. 𝑤𝑤ij پاد تقارنو خاصیت )الف( 7.2معادله از که در آن،

بردارها و تانسورها استفاده بیان ماتریسیکند که از براي مقاصد محاسباتی، اغلب اقتضا می کنیم.ها را مرور میتعریف و عملیات از نظریه مقدماتی ماتریس چند اینجاشود. بر این اساس، در

و شده محصورکروشه در بین، یک آرایش مستطیلی منظم از عناصر است که ماتریسیک ام iیک ماتریس در موقعیت سطر از 𝒜𝒜ijشخصه متحت قوانین عملیاتی خاص قرار دارد. عنصر

تواند که می 𝒜𝒜ijهاي ام (عمودي) در این آرایش قرار دارد. یک ماتریس با درایه j(افقی) و ستون نمادین با حرف صورت بهیا [𝒜𝒜ij]داد، متغیرها، توابع یا هر یک از چندین ماهیت ریاضی باشد، با اع

M شود(نوشته می Nدر Mشود. یک ماتریس مشخص می 𝓐𝓐اصلی × N داراي (M سطر وN توان به این صورت نشان دادو می استستون

1 - Axial Vector

هاها و دترمینانماتریس 4.2