143빠른 정답

수능

특강

수학II PA

RT1

144 정승준 수능특강

1.�집합

� STEP� 1

예제�1 ③ 유제�1 ③ 유제�2 ②

예제�2 16 유제�3 ④ 유제�4 15

예제�3 ⑤ 유제�5 ③ 유제�6 6

� LEVEL� 1

01 ② 02 ④ 03 ② 04 7 05 8

� LEVEL� 2

01 ⑤ 02 ④ 03 10 04 54

� LEVEL� 3

01 ⑤ 02 ③ 03 ② 04 ④

� STEP� 2

01 2 02 45 03 60 04 16 05 7

06 ⑤ 07 ⑤ 08 ④

� STEP� 3

01 ③ 02 32 03 ② 04 3 05 ④

06 ③ 07 ③ 08 13 09 ① 10 ②

11 ④ 12 ② 13 992 14 10 15 ③

2.�명제

� STEP� 1

예제�1 ③ 유제�1 ④ 유제�2 ③

예제�2 60 유제�3 ⑤ 유제�4 ④

예제�3 ④ 유제�5 ② 유제�6 ④

� LEVEL� 1

01 ① 02 ④ 03 ⑤ 04 ③ 05 ⑤

� LEVEL� 2

01 ④ 02 ③ 03 ④ 04 ③

� LEVEL� 3

01 ③ 02 ⑤ 03 ⑤ 04 7

� STEP� 2

01 64 02 3 03 ⑤ 04 ① 05 ③

06 ⑤ 07 21 08 ③ 09 ② 10 ④

11 ④ 12 ②

� STEP� 3

01 ③ 02 5 03 ② 04 ① 05 ⑤

06 ② 07 ③ 08 4 09 11 10 ④

11 ④ 12 148 13 ④ 14 ③ 15 ③

16 8

145빠른 정답

3.�함수

� STEP� 1

예제�1 ④ 유제�1 ③ 유제�2 ②

예제�2 ② 유제�3 ⑤ 유제�4 ①

예제�3 ② 유제�5 ④ 유제�6 ②

� LEVEL� 1

01 ① 02 ① 03 12 04 ③ 05 ⑤

� LEVEL� 2

01 ④ 02 ② 03 ⑤ 04 ⑤ 05 ④

� LEVEL� 3

01 ③ 02 21 03 ②

� STEP� 2

01 3 02 24 03 ③ 04 2 05 ③

06 ③ 07 ⑤ 08 ② 09 ⑤ 10 ④

11 ②

� STEP� 3

01 ⑤ 02 ② 03 ④ 04 ⑤ 05 17

06 ② 07 ③ 08 15 09 ③ 10 ③

11 ⑤ 12 ⑤ 13 4 14 40 15 16

4.�유리함수와�무리함수

� STEP� 1

예제�1 198 유제�1 3 유제�2 ④

예제�2 ④ 유제�3 ② 유제�4 ④

예제�3 ① 유제�5 ④ 유제�6 ③

� LEVEL� 1

01 ⑤ 02 ④ 03 ③ 04 ④ 05 ①

� LEVEL� 2

01 ③ 02 ⑤ 03 ⑤ 04 ② 05 ③

� LEVEL� 3

01 ④ 02 ③ 03 ③ 04 11

� STEP� 2

01 1 02 ② 03 20 04 ② 05 ①

06 ③ 07 ① 08 ③ 09 ② 10 ②

11 ③ 12 ④

� STEP� 3

01 8 02 ④ 03 ⑤ 04 ③ 05 9

06 2 07 ① 08 3 09 ③ 10 38

11 32 12 2 13 149 14 ② 15 1

146 정승준 수능특강

5.�등차수열과�등비수열

� STEP� 1

예제�1 ③ 유제�1 ② 유제�2 7

예제�2 ③ 유제�3 ④ 유제�4 297

예제�3 ⑤ 유제�5 ④ 유제�6 92

예제�4 341 유제�7 43 유제�8 ①

� LEVEL� 1

01 ④ 02 ③ 03 ④ 04 ① 05 16

� LEVEL� 2

01 ② 02 ③ 03 ② 04 4

� LEVEL� 3

01 ① 02 ③ 03 7

� STEP� 2

01 115 02 ① 03 ① 04 ⑤ 05 1

06 ② 07 ③ 08 ① 09 ① 10 ⑤

11 23

� STEP� 3

01 ④ 02 ③ 03 25 04 ④ 05 48

06 ② 07 7 08 ③ 09 ③ 10 ③

11 22 12 13 13 ③ 14 18

147해설

1.�집합

� STEP� 2

01 2 02 45 03 60 04 16 05 7

06 ⑤ 07 ⑤ 08 ④

01 2

≤을 풀면 ≤≤라는 범위가

나오고, ≤이라는 수식을 풀면 ≤≤이라는 범위가 도출된다. ⊂를 만족시키기 위해서는 ≤≤이 ≤≤의 범위의

안쪽에 위치해야 하므로≤, ≤가 성립한다.

두 부등식을 풀어서 공통범위를 구하면, ≤≤가 나온다.

그러므로 자연수 의 최댓값은 이다.

02 45

이차방정식 을 풀면 이라는

해가 나오므로, 집합 가 임을 알 수 있다. ∩∩ 인데 ∩ 이므로 와 중 하나만 집합 의 원소라는 의미가 된다.

(ⅰ) 가 집합 의 원소일 경우

를 에 대입하면

, , 이다.

이때 ∉ 이므로 문제 조건을 만족시키고,

의 값은 이다.

(ⅱ) 이 집합 의 원소일 경우

을 에 대입하면

, 이다.

이때 ∉ 이므로 문제 조건을 만족시키고,

의 값은 이다.

이므로 의 값은 , 는 이다.

03 60

집합 ≠∅이기 때문에 집합 는 집합 의

부분집합일 수 없고, ∩∅이기에 집합 는

집합 의 원소를 원소로 가지지 않는다.

이러한 조건들을 종합해 보면 집합 는 이하의

짝수를 원소로 가지지 않고, 집합 의 부분집합이

되어서는 안 된다.

전체집합 중 홀수 원소는 개인데, 그 중 집합 에 속해있는 원소는 개이므로, 조건을 만족하는

집합 의 개수는

(홀수 원소로만 이루어진 집합 수) - (집합 의 홀수

원소로만 이루어진 집합 수)이므로 이다.

04 16

∪∩ 를 집합의 분배법칙을 이용해 풀어보면

∩ ∪∩ 가 된다. ∩ ∅이므로

∪∩ ∩ ∪∅ ∩ 가

된다.

집합 는 ∩ ∅ (∅)이라는

조건을 충족시켜야 하므로 집합 는 집합 안에

속하는 부분집합이 되어야만 한다.

그러면 집합 는 를 원소로 가지고, 나머지 개의 원소는 각각 가지거나 안 가질 수 있으므로

조건을 만족하는 집합 의 개수는 , 즉 이다.

05 7

먼저 집합 에 속해있는 원소가 무엇인지 알기 위해

부등식 ≤을 풀어보면 ≤≤이라는 범위가 나오게 된다. 따라서 집합 임을 알 수 있다.

148 정승준 수능특강

집합 는 ∩ , ∩ 라는 가지 조건을 동시에 만족시켜야만 한다. 그런데 집합 와 집합 에 공통으로 속해있는 원소 가

있어 이들이 집합 의 원소인가 아닌가 경우를

나누어서 생각해 볼 필요가 있다.

(ⅰ) ∈ ∉ 가 집합 의 원소라면 (나) 조건에서

∉이고, 집합 의 나머지 원소로부터

개의 원소를 더 선택하면 되기 때문에

가짓수는 C 로 가지이다.

(ⅱ) ∉ ∈ 마찬가지로 (나) 조건에서 ∉이고, 집합

에서 개의 원소를 더 선택하면 되기 때문에

가짓수는 가지이다.

(ⅲ) ∉ ∉ 이 경우, ∩ 라는 조건을

충족시키기 위해 이 반드시 집합 의

원소가 되어야만 한다. ∩ 라는

조건을 충족시키기 위해서는 ∩가 아닌

집합 의 원소 중에서 개를 고르면 되므로

C 가지이다.

총 가짓수는 이다.

06 ⑤ ∪ ∩ ∪ ∩∩ ∪따라서 ∪ 집합 의 모든 원소의 합은

집합 ∪를 벤 다이어그램으로

나타내면 위와 같다.

07 ⑤

문제의 상황을 정리하면

파란색 공 짝수 개

홀수 개, 빨간색 공 짝수 개

홀수 개

로 나타낼 수 있다.

ㄱ. ∪ (참)

ㄴ. 이면 이므로

이다. ∩는 이고,

(참)

ㄷ. ≥ ≥ ≥, ≥이다. 이때

에서 ≥이고

≤이다. 또한, 와 는 개수이므로

각각 이상의 정수이다. 따라서

∩이고 ≤∩≤ 이다. ∩의 최솟값과 최댓값의 합은

이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

08 ④∪ 에서

∩ 이므로 이것을 벤 다이어그램에

나타내면

이고, ∪∪ 안에는

원소가 존재하지 않는다.

한편, ∩∩ 이므로 전체집합 의 가지 원소 중 개의 원소가 집합 ∩∩ 에

들어가면 된다. 따라서 가지의 원소 중 개를

선택하는 경우의 수는 C 이다. 이제 남은 세 가지

집합 ∩∩에 나머지 개의 원소를 넣으면 된다.

149해설

원소 하나당 세 가지씩의 선택지가 있으므로 경우의

수는 이 된다. 따라서 C × ×

� STEP� 3

01 ③ 02 32 03 ② 04 3 05 ④

06 ③ 07 ③ 08 13 09 ① 10 ②

11 ④ 12 ② 13 992 14 10 15 ③

01 ③ 일 때 ∈ 일 때 ∈ 일 때 ∈ 일 때 ∈ 일 때 ∈ 일 때 ∈ 일 때 ∈ 일 때 ∈ 일 때 ∈따라서 이므로 02 32 ∪ 이므로∈ ∈ ∈ ∈ ∩ 이므로∈ ∉따라서 이므로 즉, 집합 의 부분집합의 개수는

03 ②∅이므로 부등식

을 만족시키는 실수 가 존재하지 않아야 한다.

따라서 에 대한 이차방정식

의 판별식을 라 하면

≤≤따라서 ≤≤이므로 정수 의 개수는

04 3∩ 이므로 ∈(ⅰ) 일 때, 즉 이면

이므로 ∩ 를 만족시키지 못한다.

(ⅱ) 일 때

또는 ① 이면

이므로 ∩ 를 만족시키지

못한다.

② 이면

이므로 ∩ 를 만족시킨다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

05 ④ 또는 이때 ⊂ 를 만족시키기 위해서는 두 집합 의 관계가 다음 그림과 같아야 한다.

150 정승준 수능특강

즉, ≤ 또는 ≤이므로≥ 또는 ≤따라서 ≥이므로 의 최솟값은 이다.

06 ③ ≤≤∪ ≤≤ ≤≤ ≤≤∪ ≤≤ ≤≤ 또는 ≤≤이때 두 집합 를 수직선 위에 나타내면 다음

그림과 같다.

따라서 ∩ ≤≤ 또는 ≤≤이므로

집합 ∩ 의 원소 중 가장 큰 원소는 , 가장 작은

원소는 이다.

즉, 가장 큰 원소와 가장 작은 원소의 합은

07 ③ ≤≤ ≤≤ 는 정수 이므로 ≤≤ 는 정수 이므로 이고 ⊂또한, ∩에서 ⊂ 이고∪에서 ⊂이므로 ⊂⊂따라서 구하는 집합 의 개수는

08 13

조건 (가)에서∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪∅ ∩∅조건 (나), (다)에서∪ ∩ ∅ 이고 이므로 따라서∪ ∩ 이고 ≠∅이므로 일 때 ∪ 의

최솟값은 이다.

09 ①

이고 ≤이므로≤따라서 ≤ ≤≤또한, 이때 ∩∅을 만족시키기 위해서는 두 집합 의 관계가 다음 그림과 같아야 한다.

151해설

즉, ≤ 또는 ≤(ⅰ) ≤일 때

≥에서 ≥(ⅱ) ≤일 때

≤에서 ≤≤(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 이하의 정수 는 ⋯ 이고, 그 개수는 이다.

10 ②

세 집합 의 관계를 벤다이어그램으로

나타내고 각 영역에 포함된 집합의 원소의 개수를

나타내면 그림과 같다.

조건 (가), (나), (다)에 의하여 , , 이므로 또한,∩ 는 의 배수 이므로∪ ∩ 즉, 이므로 집합 ∪ ∩ 의 원소의 개수는

11 ④ 의 원소 에서 의 차는 최대 이고 의

차는 최대 이다. 즉, 거리의 최댓값은

12 ②

색칠한 부분은 집합 와 집합 ∪ 의 공통

부분이므로 ∩∪와 같다.

13 992

전체 부분집합의 개수에서 홀수로만 된 부분집합의

개수를 뺀다.

14 10

각 책을 읽은 학생수를 , , 라 하고

두 종류의 책만 읽은 학생 수를 라 하면 ∪∪ ∩ ∩∩∩∩즉, 에서

15 ③∩∪∩ ∩∪ ,∪ ∩∪ ∪∩ 이므로 ∪

152 정승준 수능특강

2.�명제

� STEP� 2

01 64 02 3 03 ⑤ 04 ① 05 ③

06 ⑤ 07 21 08 ③ 09 ② 10 ④

11 ④ 12 ②

01 64

명제 ‘ ≤이면 ∈이다.’

의 역은 ‘∈이면 ≤이다.’가 된다.

≤이라는 부등식을 풀면 ≤≤이 되는데 전체집합 의 원소 중 범위

안에 들어가지 않는 원소는 밖에 없다.

그러므로 역이 거짓이 되게 하는 집합 는 을

반드시 원소로 가지고 있어야만 한다.

전체집합 의 부분집합 중 원소 을 가지고 있는

집합의 개수는 이므로, 답은 이다.

02 3∈∩ 이므로 ∈, ∈ 이다.

(ⅰ) ∈ 이므로 이다.

(ⅱ) ∈ , 즉 이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 의 범위는 이므로 자연수 의

최솟값은 이다.

03 ⑤

≤ ≥ ≤이 세 조건들의 진리집합을 각각 라 할 때,

부등식의 영역을 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

① → ⊄ 이므로 거짓이다.

② → ⊄ 이므로 거짓이다.

③ → ⊄ 이므로 거짓이다.

④ ∼→ ∼ ⊄ 이므로 거짓이다.

⑤ → ∼ ⊂ 이므로 참이다.

따라서 답은 ⑤이다.

04 ①

명제가 참이 되기 위해서는 이차식 의 최솟값이 이상의 값을

지녀야만 한다. 이므로이 이차식의 최솟값이 된다. 명제를 만족하기

위해서는 최솟값이 이상이여야 하므로 ≥, ≥이다.

따라서 명제가 참이 되도록 하는 실수 의 최댓값은 이다.

05 ③

이차함수 는 을 대칭축으로

하고 있기에 는 ≤≤에서 일 때 최댓값을 갖는다.

명제에서는 ‘어떤 실수 ’라고 규정하고 있어 범위

안의 한 실수만 명제의 조건을 충족시켜도 참이

153해설

되므로, 일 때 의 값이 이

되는 경우가 실수 가 최솟값을 가질 때이다.

에 을 대입하면 이므로 가 된다.

06 ⑤

명제와 그 명제의 대우는 참, 거짓이 같으므로

대우는 참, 거짓을 따지기 더 편할 때만 구하면 된다.

① → ∼ 이고,

∼ 이므로 거짓이다.

② → ∼ 이고,

∼ 이므로 거짓이다.

③ → ≤≤이고,

≤≤이므로 거짓이다.

④ ∼→ ∼ ≠이고,

≤≤이므로 거짓이다.

⑤ ∼→ ∼ 명제 ∼→ ∼의 대우는 → 다.

이고, ≤≤이므로

→ 는 참이다.

따라서 답은 ⑤이다.

07 21

으로

변형이 가능하다. 이 식이 모든 실수 에서 이상이 되기 위해서는 모두 이상이기에 이 이상이면 된다.

≥ 즉 ≥

따라서 문제 조건을 만족시키는 정수 는 ⋯ ⋯ 이므로의 개수는 이다.

08 ③

에서 ∼ ≤≤에서 ≤≤이고 는 정수이므로 또는 또는 ∼가 이기 위한 필요충분조건이 되려면

삼차방정식 의 세 근은 과 과 이어야 한다.

따라서 근과 계수의 관계에 의하여에서 ××× 에서 ⋅⋅에서 이므로

09 ②

주어진 집합들과의 관계 ∩∅ ∪ 를 벤 다이어그램으로

표현하면 다음 그림과 같다.

또는

ㄱ. ≠∅일 수 있으므로 ⊄ 인 경우가

존재한다. 따라서 는 이기 위한 필요조건이

아닐 수 있다. (거짓)

ㄴ. ⊂이므로 는 ∼이기 위한

충분조건이다. (참)

ㄷ. ⊂ 이기 때문에 는 ∼이기 위한

충분조건이 아닐 수 있다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄴ이다.

154 정승준 수능특강

10 ④

두 조건 의 진리집합을 각각 라 하면 조건

‘∼ 또는 ’의 진리집합은 ∪ 이다.

조건 가 조건 ‘∼ 또는 ’이기 위한 충분조건이

되려면 ⊂ ∪이어야 한다.

이때 ∩ ∅이므로 조건을 만족시키려면 ⊂ 이어야 한다. 이고 자연수 는 와 각각 서로소이어야 하므로, 는 의

배수도 아니고 의 배수도 아니고 의 배수도 아닌

수이다.

두 자리의 자연수 중 의 배수 또는 의 배수 또는 의 배수인 자연수의 개수는

(의 배수) (의 배수) (의 배수) (의

배수) (의 배수) (의 배수) (의 배수) 이다. 따라서 의 배수도 아니고 의 배수도 아니고 의 배수도 아닌 두 자리의 자연수 의 개수는 이다.

11 ④

부등식 에서 즉 그러므로 (가)의 명제가 참이려면 집합 는 집합 의 부분집합이어야 한다.

부등식 ≤에서

≤ 즉 ≤≤그러므로 (나)의 명제가 참이려면 집합 의 원소 중

적어도 하나는 이상 이하의 정수이어야 한다.

따라서 집합 가 될 수 있는 집합은 집합 의 부분집합 중 원소의

개수가 이면서 또는 또는 를 원소로 갖는

집합이다.

우선 집합 의 부분집합

중 개의 원소를 가지는 부분집합의 개수는 개의

원소 중 개의 원소를 고르는 경우의 수이므로

C 가지

한편, 이 집합이 또는 또는 를 원소로 가져야

하므로 개의 원소를 가지는 부분집합 중 이 세

가지의 원소가 들어가지 않는 부분집합의 개수를

제외해야 한다. 따라서 이 세 가지의 원소가 포함되지

않는 집합은 에서 세 가지의 원소를

뽑으면 된다. 이때의 경우의 수는 C

그러므로

12 ②P H ≥이라 하자.

이때, PH는 길이이므로 절댓값을 붙여야 한다.

따라서 PH 이다. 또한 A 이므로

AHPH

이므로 산술평균과 기하평균의 관계에

의하여

≥× 따라서

AHPH ≥

여기서 등호는

, 즉 일 때

성립한다.

따라서 ≤이므로 실수 의 최댓값은 이다.

155해설

� STEP� 3

01 ③ 02 5 03 ② 04 ① 05 ⑤

06 ② 07 ③ 08 4 09 11 10 ④

11 ④ 12 148 13 ④ 14 ③ 15 ③

16 8

01 ③→ 의 역은 → 이고 역의 대우가 참이기

위해서는 역이 참이면 된다.

ㄱ. 주어진 명제의 역은 ‘이고 이면

’이고 참인 명제이다.

따라서 역의 대우는 참이다.

ㄴ. 주어진 명제의 역은 ‘이면 또는

’이고 참인 명제이다.

따라서 역의 대우는 참이다.

ㄷ. 주어진 명제의 역은 ‘ 이면 이고

’이고 거짓인 명제이다.

따라서 역의 대우는 거짓이다.

[반례] 이면 이지만

이고 이상에서 역의 대우가 참인 명제인 것은 ㄱ, ㄴ이다.

02 5

따라서 주어진 부등식은 ≥ …… ㉠

이때 ≥ ≥이므로 ㉠이 모든

실수 에 대하여 성립하기 위해서는≤ ≥따라서 실수 의 최솟값은 이다.

03 ②

명제 ‘≥인 모든 에 대하여 ≥ ’의 부정은

‘≥인 어떤 에 대하여 ’이다.

04 ①

집합 ∩ 를 벤 다이어그램으로 나타내면 다음

그림과 같다.

집합 ∪ 을 벤 다이어그램으로 나타내면 다음

그림과 같다.

따라서 ∩ ∩∪ 을 벤 다이어그램으로

나타내면 다음 그림과 같으므로∩ ∩∪ ∩즉, ∩ 이므로 필요충분조건은 ⊂

다른�풀이

∩ ∩∪ ∩∩∪∩ ∩∩ ∩05 ⑤는 ∼이기 위한 필요조건이므로∼⇒ …… ㉠는 이기 위한 충분조건이므로⇒ …… ㉡

㉡에서 ∼⇒ ∼ …… ㉢

이므로 ㉠, ㉢에서 ∼⇒따라서 항상 참인 것은 ⑤ ∼→

156 정승준 수능특강

06 ②⊂ 에서

∩ ∩∅또한, ∅에서 ⊂ 이다.

ㄱ. ⊂ 이므로 → 는 참인 명제이다.

ㄴ. ⊂에서 ⊂ 이므로 → ∼는 참인

명제이다.

ㄷ. ⊄인 경우도 있으므로 ∼→는 항상

참인 명제는 아니다.

이상에서 항상 참인 명제는 ㄱ, ㄴ이다.

07 ③

(ⅰ) 에서

이므로 또는

이다. 따라서 또는 은

이기 위한 필요조건이다.

(ⅱ) 에서 이고

는 실수이므로 이다. 따라서 는

이기 위한 필요충분조건이다.

(ⅲ) 에서

이므로 또는

이다. 따라서 은

이기 위한 충분조건이다.

즉, (가), (나), (다)에 알맞은 내용은 차례대로

필요조건, 필요충분조건, 충분조건이다.

08 4

OP 즉, …… ㉠

또한, 직각삼각형 OHP의 넓이를 라 하면

×OH ×PH ×× 그런데 ㉠에서 산술평균과 기하평균의 관계에

의하여

≥(단, 등호는 일 때 성립한다.)

이므로 ≤따라서 ≤이므로 삼각형 OHP의

넓이의 최댓값은 이다.

09 11

전체집합 의

모든 원소의 합은 이다.

또한, 주어진 명제가 참이 되기 위해서는 두 집합

또는 중에서 모든 원소의 합이 크거나 같은 집합의

모든 원소의 합을 라 하면 두 조건 (가), (나)에

의하여 나머지 집합의 모든 원소의 합은 이다.

그런데 ≥이므로 ≥ 즉 ≥이다.

따라서 의 최댓값은 이다.

10 ④

두 조건 의 진리집합을 각각 라 하면 조건

≥에서 ≥이므로≤ 또는 ≥따라서 이다.

또한, ∼가 이기 위한 충분조건이 되려면 ⊂ 를 만족시켜야 한다.

따라서 라 하면

이므로

함수 의 그래프는 그림과 같아야 한다.

157해설

즉, ≤이어야 하므로

×≤따라서 ≤이므로 실수 의 최댓값은 이다.

11 ④ 는 임의의 부분집합이므로 일 때에도

성립한다. 대입하면 ∪ 이므로 ⊂

즉 →

12 148⊂ 이므로 의 원소는 또는 또는 이다.

(ⅰ) 의 원소가 개일 때 는 각각

개씩이고 의 경우가 세 가지이므로

×(ⅱ) 의 원소가 개일 때 는 각각

개씩이고 의 경우가 세 가지이므로

×(ⅲ) 일 때 는 개

위 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)은 가 모두 다른 경우이므로

중복되지 않는다.

따라서 순서쌍 의 개수는

13 ④

한 사람씩 진실을 말했다고 가정하여 조건에 맞는지

따져본다. 예를 들어 A가 진실을 말했다고 가정하면 D도 진실을 말한 것이 되어 조건에 맞지 않는다.

14 ③⊂ 이므로 → 이고, 와 은 서로소이므로 → ∼, → ∼가 성립한다. → 의 대우인 ∼→ ∼도 성립하므로 → ∼도 가능하다.

이상으로 참인 것은 ㄱ, ㄷ이다.

15 ③

[전기장치 누전] → [배터리 방전] → [시동×]

이 관계에서 우선 ㄱ은 참이다.

ㄴ. 명제의 이이므로 참이라고 할 수 없다.

ㄷ. 참인 명제 ‘전기장치가 누전되면 자동차의

시동이 걸리지 않는다.’의 대우이므로 참이다.

ㄹ. 명제의 역에 해당하므로 참이라고 할 수 없다.

따라서 항상 참인 명제는 ㄱ, ㄷ이다.

16 8

≥, (등호는 일 때 성립)

∴ 따라서 이므로

×

158 정승준 수능특강

3.�함수

� STEP� 2

01 3 02 24 03 ③ 04 2 05 ③

06 ③ 07 ⑤ 08 ② 09 ⑤ 10 ④

11 ②

01 3은 에 을 대입하면 , 은 일 때의 의 값이다.

에서 또는 이고,

이때 ≤이므로 이다.

에서 이고, 이때

이므로 성립하지 않는다.

따라서 ∴

02 24 는 일차함수이고, 기울기가

음수이기 때문에 일 때 최댓값, 일 때

최솟값을 가져야만 한다. 치역의 범위는 ≤≤이기에 여야 한다. ∴

03 ③ 인데, 함수 는

항등함수이므로 이다.

그러면 이고, 함수 가 로 대응하는

상수함수임을 알 수 있다.∘ ∘

04 2

라는 조건을 충족시키기 위해서는과 은 각각 혹은 이 되어야

한다.

(ⅰ) ≠ 인데, 이어서

이므로, 주어진 조건을

만족하지 않는다.

(ⅱ) 이기 때문에 의 값은 혹은

가 된다. 그러므로 주어진 조건

≠ 을 만족하게 된다.

함수 는 역함수를 가지는 일대일 대응이기

때문에 과 는 대응관계가 정해지지 않은 과 중의 하나씩을 함숫값으로 가지게 된다.

(ⅰ) ∘ 라는 조건을 만족하게

된다. 이때의 의 값은 이다.

(ⅱ) ∘ 라는 조건에 를 넣을

시 ∘ 이므로 주어진

조건을 만족하지 않게 된다.

05 ③

함수 ∘가 상수함수가 되려면 함수 가

상수함수이거나 함수 의 치역이 이어야 한다.

(ⅰ) 함수 가 상수함수일 때,

가 모두 같은 함숫값

을 가져야 하므로 또는 또는 또는 의 개다.

(ⅱ) 함수 의 치역이 일 때,

가 또는 의 값을

가지면 되므로 개다. 이 중

가 모두 인 경우나

모두 인 가지 경우를 제외해야 한다. 따라서

개다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 함수 의 개수는 개다.

159해설

06 ③∘∘ ∘ ∘ ∘ ∘로 놓으면 ∘이므로 ,

07 ⑤

방정식 의 두 근이 또는 이므로 방정식 ∘에서 또는 방정식 ∘을 만족시키는 서로 다른 실수 의 개수가 이므로 을 만족시키는 서로

다른 실수 의 개수가 이고 를 만족시키는

서로 다른 실수 의 개수는 이어야 한다.

이차함수 의 그래프가 직선 에 대하여

대칭이고, 마찬가지로 의 그래프도 직선 에 대하여 대칭이다.

(ⅰ) 을 만족시키는 서로 다른 실수

를 라 하면 , , , 라 할 수

있다.

따라서 이때의 모든 실수 의 값들의 합은

이다.

(ⅱ) 를 만족시키는 서로 다른 실수

를 라 하면

이다. 따라서

이때의 모든 실수 의 값들의 합은

이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구한 모든 서로 다른 실근의 합은 이다.

08 ②

정의역이 인 함수 의

치역은 이고 이 함수의 역함수는

정의역이 ≥인 함수

의 치역은 ≤이고 이

함수의 역함수는 ≤그러므로 함수 의 역함수 는

≤

방정식 × 에서

(ⅰ) 일 때,

× 이때의 실근 은

의 범위를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) ≤≤일 때,

× 이때의 실근 중

≤≤의 범위를 만족시키는 것은 (ⅲ) 일 때,

× 이때의 실근 중

의 범위를 만족시키는 것은 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 또는 따라서 방정식 × 의 서로 다른 모든

실근의 합은

160 정승준 수능특강

09 ⑤

함수 의 그래프는 함수 의

그래프와 직선 에 대하여 대칭이므로 다음

그림과 같이 점 , , , 를

지난다.

이때 두 함수 , 의 그래프는 세

점에서 만난다. 이 세 교점 중 좌표가 가 아닌

점의 좌표를 라 하면

, , ≤ , ≤ , ≤ , ≤에서 함수 , 는 각각

일차함수이다.≤ , ≤ , ≤에서 두 직선 , 의 기울기가 다르므로 함수

는 각 범위에서 일차함수이다.

≤에서 두 직선 , 의

기울기가 같으므로 함수 는 이

범위에서 상수함수이고, , 이므로

이다. 따라서 함수

의 그래프는 다음 그림과 같다.

따라서 의 값 중 정수인 것은 이고 이때의 의 개수는 각각 이므로 구하는 실수 의 개수는 이다.

10 ④∘∘에서 로 놓으면 이고, 이 방정식의 실근은 두 함수 , 의 그래프의 교점의 좌표와 같다.

이때의 교점의 좌표는 이므로 이다.

다시 라 하면 이다. 두 함수 , 의 그래프의 교점은 개이다. 이 네

교점의 좌표를 라 하자.

을 만족시키는 실수 는 두 함수

, 의 그래프의 교점과 같고, 이때 의 개수는 이다.

161해설

같은 방법으로 를 만족시키는 실수 의

개수는 이다.

같은 방법으로 을 만족시키는 실수 의

개수는 이다.

같은 방법으로 을 만족시키는 실수 의

개수는 이다.

따라서 방정식 ∘∘의 서로 다른 모든

실근의 개수는 이다.

11 ②

점 A의 좌표를 라 하자.

일차함수 의 그래프와 직선 의 교점이 A이므로 함수 의 역함수인 의

그래프도 점 A을 지난다.

직선 는 직선 을 축의

방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한

직선이다.

이때 직선 위의 점 A 을 축의

방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼

평행이동시키면 점 는 직선 위의 점이면서 직선 위의

점이다.

그러므로 점 B의 좌표는 이다. 두 점 A , B 에서 AB두 직선 가 이루는 예각의 크기가 이므로 두 직선 가 이루는

예각의 크기도 이다.

또 두 직선 , 가 서로

평행하므로 두 직선 , 가

이루는 예각의 크기도 이다.

그러므로 삼각형 APB는 한 변의 길이가 인

정삼각형이다.

따라서 PH의 길이는 한 변의 길이가 인

정삼각형의 높이와 같으므로 이다.

� STEP� 3

01 ⑤ 02 ② 03 ④ 04 ⑤ 05 17

06 ② 07 ③ 08 15 09 ③ 10 ③

11 ⑤ 12 ⑤ 13 4 14 40 15 16

01 ⑤∘ 라 하면 이므로 에서 즉, 이므로 역함수의 정의에 의하여 × 다른�풀이∘

에서 이므로 ×

162 정승준 수능특강

02 ②∘ ∘ ∘∘∘ ∘∘ ∘∘이므로∘∘ ∘∘ ∘ …… ㉠

이때 라 하면 역함수의 정의에 의하여

에서 이므로

따라서 ㉠에서

∘ ∘ ×

03 ④

두 함수 가 서로 같으므로 모든 ∈에 대하여 이다.에서 …… ㉠에서 …… ㉡

㉠, ㉡에서 이므로

04 ⑤이므로 인 경우와 ≥인 경우로 나누어 생각하자.

(ⅰ) 즉 인 경우

∘ 에서 이고, 조건 을

만족시키지 못한다.

(ⅱ) ≥ 즉 ≥인 경우

∘ 에서 이고, 조건 ≥을

만족시킨다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 05 17

∘ 이고

∘이므로

…… ㉠

일 때 이므로

㉠에 을 대입하면 다른�풀이

에서 라 하면

이므로따라서 ×

06 ②

≤≤에서 ≤ ≤

이때 이 대응이 함수가 되려면 ≥ ≤이어야 하므로 ≤≤따라서 조건을 만족시키는 정수 는 이고, 그 개수는 이다.

163해설

07 ③

조건 (나)에서 일 때 일 때 일 때이때 이면 의

값은 모두 이므로 함수 의 치역은 이고,

치역의 모든 원소의 합이 이다.

따라서 ≠이고 는 모두 다른 수이므로

함수 의 치역은 이다.

함수 의 치역의 모든 원소의 합이 이므로 에서

08 15

∈ ∈ 이므로 이 되는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) 인 경우

에서 에서 (ⅱ) 인 경우

에서 에서 (ⅲ) 인 경우

에서 에서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 순서쌍 는 따라서 의 최댓값은

09 ③

함수 가 일대일 대응이므로 함수 의

그래프는 [그림 1] 또는 [그림 2]와 같아야 한다.

ㄱ. [그림 1], [그림 2]에서 이다. (참)

ㄴ. 이면 이므로 이고, 함수

의 그래프는 [그림 1]과 같다. 따라서

…… ㉠

…… ㉡

을 만족시킨다.

㉠에서 이고 이를 ㉡에 대입하면

(참)

ㄷ. 이면 이므로 이고, 함수

의 그래프는 [그림 2]와 같다. 따라서

…… ㉢

…… ㉣

를 만족시킨다.

㉢에서 이고 이를 ㉣에 대입하면

(거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

10 ③

함수 의 그래프로부터

≤ ≤ ≤≤

함수 의 그래프로부터 를

만족시키는 의 값의 범위는 ≤≤함수 의 그래프로부터 ∘를 만족시키는 의 값의

범위는 ≤≤

164 정승준 수능특강

함수 의 그래프로부터 ≤≤을

만족시키는 의 값의 범위는 ≤≤따라서 실수 의 최댓값은 최솟값은 이므로

11 ⑤

≤≤ 에서

ㄱ. 과 의 기울기의 부호가

같아야 일대일대응이 되므로 ㄴ. 즉, 과 의 기울기의

부호가 같으면 두 함수의 경계점인 에서

함수값이 같아야 하므로 이고,

와 도 에서 만나야

하므로 , 따라서 ㄷ. 아래 그림과 같이 인 경우에도

일대일대응이 가능하다. 아래 왼쪽 그림에서

, 오른쪽 그림에서는 , 이

각각 성립하는데 두 경우 모두

12 ⑤

∘∘ ∘ ∘∘∘∘

13 4

함수 의 그래프는 직선 에

대하여 대칭이다. 따라서 일대일 대응이 되기 위해서는 ≥이어야 한다.

위의 그림과 같이 이어야 한다.

에서 또는 인데≥이어야 하므로 가 된다.

14 40

양의 실수에서 정의되는 함수 에서

, ∘에서

이므로 ,

∴ ∘15 16 의 원소 중 와 , 과 , 과 , 과 는 로 나누었을 때 나머지가 각각 , , , 로

같으므로 서로 동시에 의 원소가 될 수 없다. 이 네

165해설

쌍에서 각각 하나의 수만 의 원소가 되어야 하고, , , 은 각각 공역의 , , 에 대응되어야

하므로 에 반드시 있어야 한다. 따라서 가능한 의 개수는 개다.

4.�유리함수와�무리함수

� STEP� 2

01 1 02 ② 03 20 04 ② 05 ①

06 ③ 07 ① 08 ③ 09 ② 10 ②

11 ③ 12 ④

01 1 이기에 무리함수 의

그래프가 시작하는 점은 이고,

제사분면에 위치한다. 앞의 계수가 음수이므로 오른쪽 아래 방향으로

그래프가 그려진다.

따라서 제사분면을 항상 지나게 된다.

이러한 그래프가 개의 사분면만을 지난다는 조건을

만족하기 위해서는 원점을 지날 수밖에 없다.

원점의 좌표는 이므로 와 자리에 을

대입하면, 02 ②

이므로

역함수는

이라는 계산을 통해

임을 알 수 있다.

이 그래프의 점근선은 이므로 점근선의

교점은 이다.

166 정승준 수능특강

한편, 그래프의 점근선은

이므로 두 점근선의 교점은 이다.

따라서 점 와 점 가 원점에 대하여

대칭이므로 이다. 이므로 이다.

03 20

에서 이므로 를 바꾸어 식을 정리하면 역함수는

≥ ≥이다.

이 그래프가 직선 와 두 점에서 만나기

위해서는

직선이 ㉠과 ㉡ 사이에 위치해야 한다. (단, ㉠은

포함하고, ㉡은 포함하지 않는다.)

직선이 를 지날 때의 (㉠) 의 값은 즉 이다.

그래프에 접할 때의 (㉡) 의 값은

⇔ 에서 판별식의 값이 일 때이므로

, 즉 따라서 값의 범위는 ≤이므로

정수 의 최솟값은 최댓값은 이다.∴

04 ②

유리함수 의 그래프는 점근선의 교점

에 대하여 대칭이다.

구하는 부분이 점근선의 교점을 기준으로 각각 의 길이만큼 떨어져 있기에 곡선

와 축, 로 둘러싸인 부분과

곡선 와 축, , , 로

둘러싸인 부분을 합치면 한 변의 길이가 인

정사각형이 된다. 따라서 구하는 부분의 넓이의 합은 × 관련�개념

대칭성 심화(합동 관계)

05 ①

의 점근선의 교점은 이다. 한편

함수 는 이고

기울기가 이며 정점이 으로 의

점근선의 교점과 일치한다.

따라서 두 그래프가 만나지 않으려면 다음 그림처럼

167해설

일차함수의 기울기가 과 같거나 작으면 된다.

따라서 ≤

06 ③

함수 에서

이므로 함수

의 그래프는 함수 의

그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이고, 이 함수의 그래프의 두

점근선은 이다.

따라서 이고, 함수 는

ㄱ. 함수 의 그래프는 함수

의 그래프를 축의 방향으로

만큼, 축의 방향으로 만큼

평행이동한 것이다. (참)

ㄴ. 무리함수와 직선의 위치 관계를 알기 위

해서는 무리함수와 직선의 교점을 구하

는 방정식을 세우고 판별식을 이용한다.

이 방정식의 판별식을 라 하면

무리함수와 직선이 접할 때는 방정식의

근이 중근이라는 뜻이므로 판별식의

값이 이어야 한다. 따라서 일

때 다음 그림처럼 무리함수와 직선이

접하게 된다.

따라서 함수 와 의

교점이 개이려면 는 보다 작아야

한다. 그런데 가 를

지날 때, 즉 의 값이 일 때보다 더 작아지게

되면 교점이 하나만 생기게 된다.

그러므로 함수 와 의

교점이 개이려면 의 값의 범위는

≤ (거짓)

ㄷ. 함수 와 의

교점이 생기지 않으려면 두 그래프가 만

나지 않아야 한다. 따라서 ㄴ에서 알 수

있듯이 일 때 두 그래프가 접하게 되고,

가 보다 커지게 되면 두 그래프가 만나지

않는다.

따라서 함수 와 의

교점이 생기지 않는 의 값의 범위는

(참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

07 ①

에서 와 의 위치를 바꾸어

역함수를 구해보면

168 정승준 수능특강

∴ ≤≤

두 점 P P 는 에 대하여 대칭이므로

두 점 P P 사이의 거리는 직선 에서 점 P 사이의 거리를 배 한 것과 같다.

직선 에서 점 P 사이의 거리를 구해보면

(∵ ≤ ≤ )

분자인 가 최대가 되려면 의

값이 함수 의 꼭짓점의

좌표인 이 되어야 한다.∴

따라서 두 점 P과 P 사이의 거리가 최대가 될 때,

점 P의 좌표는 이고 점 P 는 에

대하여 대칭이므로 이다. 따라서 P과 P 사이의 거리의 최댓값은 다른�풀이

두 점 P P 사이의 거리는 두 점에서의 접선이 와 평행할 때, 즉 접선의 기울기가 일 때

최대가 된다.

함수 의 도함수를 구해보면

이고 이려면

이어야 한다. 따라서 점 P의 좌표는 이고 점 P 는 에 대하여 대칭이므로

이다. 따라서 P과 P 사이의 거리의

최댓값은 08 ③

함수 의 그래프와 직선 의 교점의 개수가 변하는 경우는 두

그래프가 접할 때, 함수 가 점 를 지날 때의 두 가지 경우가 있다.

(ⅰ) 직선 가 점 을 지나는

경우

직선 가 점 을 지나는

경우, 즉 가 일 때 두 그래프가 서로 다른

두 점에서 만나게 되고 의 값이 보다

커지면 두 그래프는 한 점에서 만나게 된다.

(ⅱ) 의 그래프와 직선

가 접하는 경우

두 그래프가 접하는 경우 교점이 하나가

된다.

이 식의 판별식을 라 하면

169해설

즉 일 때 두 그래프가 접하게 되고,

이때 교점이 하나만 생기게 된다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 이거나 일 때

의 그래프와 직선 가

한 점에서만 만난다. 따라서 실수 의 최솟값은

이다.

09 ②

이므로 실수 의 값에 따라 함수의 그래프가 지나는

사분면은 다음과 같다.

(ⅰ) 인 경우

또는 즉, 또는 일 때, 주어진 함수는

≠ 이므로 이 함수의 그래프는 제사분면을

지나지 않는다.

(ⅱ) ≠인 경우

≠에서 ≠ 이고

≠일 때, 주어진 함수는 유리함수이고 그

그래프의 점근선이 , 이므로

제사분면, 제사분면, 제사분면을 항상

지난다.

㉠ 일 때,

이고 이때 주어진 함수는 그림과

같이 제사분면을 지나지 않는다.

이때 문제 조건을 만족시키는 자연수 는

이다.

㉡ 일 때,

또는 …… () 이때 주어진 함수는 반드시 제사분면,

제사분면, 제사분면을 지나고 제사분면을

지나지 않기 위해서는 이 함수의 그래프와

축의 교점 에서

≤이어야 한다.

≤≤ …… () (, ()를 동시에 만족시키고 양수인 의

값의 범위는 ≤ 이때 문제 조건을 만족시키는 자연수 는

존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 문제 조건을 만족시키는 자연수 는 이므로 개수는 이다.

10 ②

함수 의 그래프가 점 를

지나므로 …… ㉠

한편 유리함수 가 직선 에 대하여

대칭이므로 의 점근선의 교점이 위에 있다.

즉, 가 위에 있으므로 …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 와 가 정수이므로 ㄱ. 는

제사분면을 지나지 않는다. (거짓)

170 정승준 수능특강

ㄴ. 함수 의 그래프는 의

그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의

방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 함수

의 그래프는 직선 에

대하여 대칭이다. (참)

ㄷ. 점 는 함수 의 그래프의

두 점근선의 교점이다. 따라서 점

에서 함수 의 그래프와 한

점에서 만나는 직선을 그을 수 없다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄴ이다.

11 ③

함수 에서 한편 함수 의 시작점인 점 는

직선 위의 점이다.

함수 의 그래프와 직선 의 두

교점을 A B라 하면 함수 의 그래프와

함수 의 그래프가 서로 다른 두

점에서 만나는 경우는 점 가 선분 AB 위의

점인 경우이다.

두 점 A B의 좌표를 각각 라 하면

방정식 의 서로 다른 두 실근이

이다.

따라서 ,

, 또는 즉, 이므로 ≤≤따라서 12 ④

직선 , 의 기울기를 각각 , 라 하면 조건을

만족시키는 두 직선 , 의 방정식은 다음과 같다. ㄱ. 함수 의 그래프와 직선 이

접하므로 이차방정식 이

중근을 갖는다. 즉, 이차방정식

의 판별식을 이라

하면 ± ± 이므로 (거짓)

ㄴ. 한편 직선 을 이라

하면 함수 ≥의 그래프와

접하고 점 을 지나는 직선은 과

뿐이다. 두 함수 ,

≥은 서로 역함수

관계이므로 두 함수의 그래프는 직선

에 대하여 대칭이다. 따라서 함수

의 그래프와 접하고 점 을

지나는 직선을 에 대하여 대칭이동한

직선은 또는 이다.

따라서 직선 를 에 대하여

대칭이동한 직선은 함수 과

접한다. (참)

ㄷ. 에서 이므로 직선 를 직선

에 대하여 대칭이동한 직선은 이다.

따라서 이므로

171해설

(참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

� STEP� 3

01 8 02 ④ 03 ⑤ 04 ③ 05 9

06 2 07 ① 08 3 09 ③ 10 38

11 32 12 2 13 149 14 ② 15 1

01 8

에서 이므로

또는 따라서 함수 의 그래프와 직선 가

만나는 두 점의 좌표는 AB …… ㉠

이때 이므로

≥× (단, 등호는 일 때

성립한다.)

따라서 ㉠에서 AB ≥이므로AB 의 최솟값은 이다.

02 ④

함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼,

축의 방향으로 만큼 평행이동하면

함수 의 그래프가 점 를

지나므로

03 ⑤

에서

(단, ≠ )

이 식에서 와 를 서로 바꾸면 의

역함수는

이다.

이때

이

므로 함수 의 그래프는 점 에

대하여 대칭이다.

따라서 이므로 다른�풀이

함수 의 그래프는 함수

172 정승준 수능특강

의 그래프를 축의 방향으로 만큼,

축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 점 에 대하여 대칭이다.

이때 두 함수 의 그래프는

직선 에 대하여 대칭이므로 함수

의 그래프는 점 에 대하여

대칭이다.

따라서 이므로

04 ③에서 양변을 제곱하면 …… ㉠

에서 역함수의 정의에 의하여

이므로 양변을 제곱하면 …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 이므로

05 9

곡선 ≠은 직선 에 대하여

대칭이고 두 직선 는 서로

수직이므로 곡선과 직선이 만나는 두 점 A B는

직선 에 대하여 대칭이다. 따라서 점 A의

좌표를 A 라 하면 점 B의 좌표는 B 이므로AB 에서 또는 또는 따라서 A 또는 A 이다.

이때 점 A는 곡선 위의 점이므로

또는 에서 이고

06 2

두 직선 의 교점의 좌표는 에서 이고 이므로 이다.

즉, 함수 의 그래프는 점 에

대하여 대칭이다.

한편, 함수 의 그래프는 점

에 대하여 대칭이므로 또한, 함수 의 그래프가 점 를

지나므로 에서 따라서 이므로

07 ①

함수 의 그래프는 그림과 같다.

≤≤에서 함수 의 최솟값이 이고

가 보다 큰 값이므로 이고, 최솟값은

이다.

173해설

이므로

에서

따라서 ≤≤에서 함수 의 최댓값은 이므로

08 3

함수 ≤ ≥ 의

그래프는 다음 그림과 같다.

실수 의 값의 범위에 따른 의 값을 구하면

다음 표와 같다.

≤≤ ≥

따라서 일 때 이므로

모든 실수 의 값의 합은

09 ③

이

므로 함수 의 정의역은 ≠인

실수이고, 치역은 ≠인 실수이때 이면 두 집합 가 모두

공집합이므로 ≠ 이고, 따라서 , 즉 함수 의 그래프가 점 를

지나므로

에서 따라서 이므로

10 38

함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼,

축의 방향으로 만큼 평행이동한 곡선이 이므로

두 곡선 는 직선 에

대하여 대칭이므로 ABAC이고, 삼각형 ABC의

넓이가 이므로

×AB×AC 에서 AC AC 따라서 AC에서

양변에 를 곱하면 또는

174 정승준 수능특강

이때 이므로

따라서 이므로

××

11 32

직선 은 기울기 에 관계없이

유리함수의 두 점근선의 교점 을 지난다.

유리함수의 그래프는 두 점근선의 교점을 지나고

기울기가 과 인 직선에 대하여 대칭이므로 이 일 때 두 함수의 교점

간의 거리가 최소가 된다. 두 식을 연립하여 교점을

구하면 과 이다.

12 2

유리함수가 점 에 대하여 대칭이므로

로 두고 지나는 점 을

대입하면 을 구한다. 그래프를

그려보면 구간 에서 ,

13 149

그래프가 다음과 같아야 한다.

≤, 이고 절편 이다.

이면 에서 는 개,

이면 에서 는 개,

이면 에서 는 개, ⋯,

이면 에서 는 개, 따라서

총 개수는 ⋅⋅ 14 ②

점근선 , , 절편 이므로 무리함수는 에서 시작하여

오른쪽 위로 향하는 증가함수이다.

15 1와 그 역함수는 에 대하여 대칭이므로 두

함수의 교점이 있다면 에 위에 있다. 의 교점을 , 라 하면의 양변을 제곱하여 얻은 식

175해설

에서 , ,두 점 간의 거리 에서

5.�등차수열과�등비수열

� STEP� 2

01 115 02 ① 03 ① 04 ⑤ 05 1

06 ② 07 ③ 08 ① 09 ① 10 ⑤

11 23

01 115 이므로 공차를 라고 한다면, 이다.

그렇다면 등차수열의 공차는 이고, 은 이다.

등차수열의 합 은

×××이므로 이다.

다른�풀이

이므로, 첫 항과 끝 항의 합이 임을 알 수 있다.

×

02 ①

이차방정식 에서 근과

계수의 관계에 의해 , 또, , 2, 가 순서대로 등비수열을 이루므로

,∴ , 따라서, ∴

03 ①

같은 개수의 연속된 등비수열 항들의 합은 다시

등비수열을 이룬다.

예를 들어, , ,

176 정승준 수능특강

은 등비수열을 이룬다.

따라서, 세 개의 등비수열 항의 합과 의 합으로 해석할

여지도 있다.

하지만, 이 문제에서는 의 값을 구하기 위해 의

값과 공비를 모두 구해야 하므로, 일반적인 풀이를

하는 것이 효율적이다.

이고, 문제에서 등비수열 의 모든

항이 양수라고 했으므로 또, 에서

∴

× 04 ⑤

× ∴ ∴ ∴ ×

05 1

∴ ∴

06 ② 에서 에서 로 치환하면, ∴ , , , ,⋮이므로∴

07 ③

첫째항을 라 할 때, 에서 ,즉 …… ㉠ 에서 …… ㉡

㉡에 ㉠을 대입하면 …… ㉢

㉢을 ㉠에 대입하면 ∴

177해설

08 ①

× ⋯ ∴ ∴

09 ①

세 점 A B C의 좌표는A B C 이므로OA AB AC세 수 이 이 순서대로 등차수열을

이루므로 × , 즉 양변을 제곱하면

10 ⑤

등차수열 의 공차를 , 등비수열 의 공비를 이라 하자.

조건 (가)에서 이므로

, 즉 …… ㉠

조건 (나)에서 이므로

, 즉 …… ㉡

㉠, ㉡에서 이때 이므로 을 ㉠에 대입하면 따라서 × 이므로

11 23

삼각형 OPQ의 넓이는 선분 PQ 을 밑변으로

생각하면, 높이는 이므로

××PQ× 이다.

수열 은 공비가 인 등비수열 이므로

× × 방정식 은

에서 이므로 이다.

× , 에서

, ∴

178 정승준 수능특강

� STEP� 3

01 ④ 02 ③ 03 25 04 ④ 05 48

06 ② 07 7 08 ③ 09 ③ 10 ③

11 22 12 13 13 ③ 14 18

01 ④ 에서 × × 따라서

⋯ 다른�풀이

등차수열 의 공차를 라 하면 ×수열 의 첫째항부터 제항까지의 합을 이라

하면 ⋯ ××××

02 ③

등비수열 의 공비를 라 하면 ⋯ ⋯ …… ㉠ ⋯ ⋯ …… ㉡

㉡÷ ㉠을 하면

따라서

03 25

⋯ …… ㉠

㉠에 을 대입하면 ㉠에 를 대입하면 즉, 등차수열 의 공차를 라 하면 에서 이므로 즉, 수열 은 첫째항이 , 공차가 인

등차수열이다.

따라서 ⋯ ⋯ ×

04 ④

세 수 가 이 순서대로 등차수열을 이루므로× 에서 …… ㉠

세 수 가 이 순서대로 등비수열을

이루므로

×에서 를 ㉠에 대입하면 따라서 ×

05 48

등비수열 의 첫째항을 라 하면

수열 의 첫째항부터 제항까지의 합은

179해설

즉, ×× × × × 따라서 06 ②

등차수열 의 첫째항을 , 공차를 라

하면 이므로즉, …… ㉠

또, 이므로 ㉠에서 이므로 이때 이므로 을 ㉠에 대입하면 ×× 에서 은 자연수이므로 따라서 구하는 자연수 의 최솟값은 이다.

07 7

등차수열 ⋯ 의 공차를 라 하면

이 수열의 첫째항은 , 제항이 이므로

그 합은

즉, 이때 이므로 등차수열의 공차가 양수이므로 ⋯ 의 값이 최소가 되려면

양수가 아닌 항을 모두 더해야 한다. 이므로 ×≤에서

≤ ≤따라서 구하는 자연수 의 값은 이다.

08 ③

등차수열 의 공차가 이므로 × ⋯세 항 는 이 순서대로 등비수열을

이루므로 ×에서 즉, 이므로 ×× 에서 이므로따라서 을 만족시키는 자연수 의 최솟값은 이다.

180 정승준 수능특강

09 ③

수열 은 등차수열이므로 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 이므로 ⋯ ⋯ ⋯ 즉,

× ⋯

에서×따라서

다른�풀이

수열 은 등차수열이므로 ⋯ 또, 에서

이고

⋯ 이므로 ⋯ × 따라서 ⋯ ⋯ ⋯

이므로

10 ③

공차가 음수이므로 이면 이고,

이면 이다.

또한, 이면 이므로 인 서로 다른 두 자연수 는 존재하지

않는다.

이므로

수열 이 등차수열이므로 ⋯ 이 성립한다. 이므로 이므로 이므로 ⋮ ⋯ 이므로 따라서 구하는 순서쌍 의 개수는 ⋯ 의 이다.

11 22의 공차를 라 하여 규칙대로 을

나열해보면 , ,

181해설

,

이때, 에서 , ,

이므로

12 13

첫째항을 , 공차를 라 할 때,

처음 네 개 항의 합 … ㉠

마지막 네 개 항의 합 … ㉡

첫째항부터 항까지의 합

… ㉢

㉠과 ㉡을 연립하면 … ㉣

㉠과 ㉢을 연립한 식 에

㉣을 대입하면 , 따라서

13 ③P , P , P , P , P , P , ⋯ 의 규칙이다. 즉, 점 P 의

좌표가 가 되려면

⋯ 이어야 한다.

따라서 점 P의 좌표가 이 되려면

⋯ 이다.

14 18

주어진 집합의 모든 원소에서 을 뺀 수 , , , , 이 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

음수 개가 있고, 임을 생각한다. ,