I PART 미적분 수능특강 · 2019-07-18 · 94정승준 수능특강 6.도함수의활용 step1...

93빠른 정답

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분I P

ART2

94 정승준 수능특강

6.�도함수의�활용

� STEP� 1

예제�1 ② 유제�1 ① 유제�2 ③

예제�2 16 유제�3 ③ 유제�4 ②

예제�3 ① 유제�5 ③ 유제�6 ②

예제�4 26 유제�7 ③ 유제�8 ②

예제�5 ② 유제�9 ① 유제10 ③

� LEVEL� 1

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ② 05 59

� LEVEL� 2

01 ③ 02 ② 03 ② 04 24 05 ⑤

06 50 07 ① 08 22

� LEVEL� 3

01 ④ 02 ④ 03 ③ 04 1 05 ②

06 ⑤

� STEP� 2

01 ① 02 ② 03 ① 04 ③ 05 ⑤

06 ② 07 57 08 ③ 09 ③ 10 ⑤

11 ① 12 ③ 13 132 14 5 15 ④

� STEP� 3

01 ① 02 ③ 03 ① 04 2 05 5

06 ⑤ 07 ③ 08 ① 09 ⑤ 10 ③

11 ⑤ 12 ② 13 3 14 ① 15 ④

16 4 17 3

7.�부정적분과�정적분

� STEP� 1

예제�1 ② 유제�1 ② 유제�2 ⑤

예제�2 ③ 유제�3 35 유제�4 ②

예제�3 ② 유제�5 ① 유제�6 4

� LEVEL� 1

01 ② 02 ④ 03 ② 04 ⑤ 05 ④

� LEVEL� 2

01 ⑤ 02 ② 03 ③ 04 ④

� LEVEL� 3

01 ① 02 ③ 03 ④

� STEP� 2

01 10 02 ③ 03 ③ 04 ② 05 ④

06 ③ 07 ④ 08 ③ 09 ③ 10 ②

11 ③ 12 81 13 ③

� STEP� 3

01 ④ 02 ① 03 ① 04 ④ 05 ③

06 11 07 ① 08 ⑤ 09 ④ 10 ④

11 30 12 5 13 38 14 ⑤

95빠른 정답

8.�정적분의�활용

� STEP� 1

예제�1 ② 유제�1 ④

예제�2 ③ 유제�2 ⑤ 유제�3 ④

예제�3 ② 유제�4� ③ 유제�5 ⑤

� LEVEL� 1

01 ③ 02 ④ 03 ① 04 ⑤ 05 ④

� LEVEL� 2

01 ③ 02 ⑤ 03 ③ 04 80

� LEVEL� 3

01 ③ 02 ② 03 ⑤

� STEP� 2

01 19 02 ④ 03 108 04 ② 05 ①

06 72 07 8 08 ⑤ 09 ③ 10 ④

11 ① 12 ⑤

� STEP� 3

01 ④ 02 ② 03 ③ 04 135 05 ①

06 ② 07 12 08 20 09 ③ 10 ③

11 12 12 ② 13 ③ 14 32


6.�도함수의�활용

� STEP� 2

01 ① 02 ② 03 ① 04 ③ 05 ⑤

06 ② 07 57 08 ③ 09 ③ 10 ⑤

11 ① 12 ③ 13 132 14 5 15 ④

01 ①

곡선 위의 점 에서의 접선의

방정식이 이므로 직선 에 를 대입하면 × , 이다.

또한, ′ ′ 이므로

′ , ′ 이다.

따라서 에서의 접선은

에서 이 직선이

축과 만나는 점의 좌표는 이다.

02 ②

도함수 ′ 에서

함수 는 에서 극대이고 에서

극소이다. , 에서

두 점 , 를 지나는 직선의

기울기는 이다.

03 ①

′ 에서 함수 는 에서 극대이고 에서

극소이다.

구간의 양 끝점도 최대 또는 최소가 될 수 있으므로

각 점의 함숫값들을 나열해보면

에서 , 이다. , 이다.

04 ③

함수 라고 하면

방정식 가 서로 다른 두 개의 음의 실근와

한 개의 양의 실근을 갖도록 하는 정수 의 개수를

찾아야 한다.

함수 를 미분하면

′ 에서 에서 극댓값을 가지고, 에서 극솟값을 가진다. 이므로

방정식 가 서로 다른 두 개의 음의 실근와

한 개의 양의 실근을 갖도록 하려면 , 에서

이를 만족하는 정수 의 개수는

05 ⑤

위치 를 미분하여 시각 에서의 속도를 라고

하면 이다. 이므로 점 P의 속도가 최소가 될 때는

에서 일

때이다.

일 때 P의 위치는

에서

97해설

06 ②


기울기는 ′ × 이므로 이 접선에

수직이고 점 을 지나는 직선의 방정식은

, ,

에서 이다.

07 57 ′ ′ 이고 삼차함수 의

최고차항의 계수가 양수라는 것에서

함수 는 에서 극대, 에서 극소를

가짐을 알 수 있다. 에서 삼차함수 의 그래프는

다음과 같다.

(삼차함수의 비율관계에서 , 이다.) 을 정리하면 이다.

≠이라고 하면 , 이므로

, 이다.

에서

× × , 이고 이다.

08 ③

함수 이라고 하면

도함수 ′ 이다.

곡선 위의 점에서 그은 접선 중 인 점에서의 접선과 평행하려면, 이차함수 ′의 축의 방정식이 이므로 × 에서 그은 접선이어야 한다.

함수 의 에서 그은 접선의 방정식은 이다.

이 직선의 절편은 이므로 , 이다.

09 ③

조건 (가)에서 함수 는 최고차항의 계수가 인 삼차함수이다.

조건 (나)에서 조건을 만족하는 의 최댓값과

최솟값은 아래 함수 의 그래프에서 다음과

같다.

삼차함수의 비율관계에 의하여 , 이므로

함수 는 에서 극소, 에서 극대이다.

따라서 도함수 ′ 이고, ′


10 ⑤

함수 의 역함수가 존재하려면 함수 가 실수

전체의 집합에서 증가하거나 감소하여야 한다. 즉,

도함수 ′가 실수 전체의 집합에서 ′≤

또는 ′≥이다.

′ 에서 이면 모든 실수 에 대하여 ′ 이므로 ≠으로 도함수 ′가 이차함수일 때를

살피자.

판별식 ≤ , ≤에서

판별식을 만족하는 정수 의 개수는 이다.

여기에 을 포함하여 조건을 만족하는 정수 의

개수는 이다.

11 ① 에서 곡선 의 접선의 기울기는 이다. 따라서 점 P에서의 접선과 수직인

직선의 기울기는 ×′

(단, ≠ )이고, 그 직선의 방정식은

이다.

따라서 이 직선의 절편 는≠인 실수 에 대하여

를 만족하고

이다.

한편, 일 때의 P에서의 접선으로부터 이므로, 함수 의 식은 모든 실수 에 대하여 위와 같다.≤≤에서 함수 의

그래프는 아래와 같다.

따라서 함수 는 극댓값을 가지는 점에서 최댓값을

가진다.

여기서 함수 를 미분하여 극대인 점의 좌표를

구할 수도 있으나 삼차함수의 비율관계에서

임을 알 수 있다.

12 ③

곡선 위의 점 P 에서의 접선의 절편은 ′이고

곡선 위의 점 R 에서의 접선의 절편은 ′이다.′ ′이고

′′ 이다.

따라서 직선 OP의 기울기와 직선 OR의 기울기의

차가 이므로 직선 PQ의 기울기와 직선 RQ의

기울기의 차는 이다.

13 132

함수 가 최고차항의 계수가 인 사차함수이므로

함수 의 도함수 ′는 최고차항의 계수가 인 삼차함수이다.

조건 (나), (다)에 의하여 ′ , ′ , ′ 이고 이다.

그러므로 ′ 로 놓을 수

있다.

조건 (가)에서 ′ 이므로 에서, 이라고

하면 조건 (다)에서 , 에서 이므로 이다.

따라서 ′

99해설

14 5

함수 는 다항함수이므로 조건 (가)에서

, 는 상수로

놓을 수 있다. 에서

′ 이고 조건 (나)에서 ′ 즉, 이므로

이고 에서 극댓값 , 에서 극솟값 를 갖는다. 조건 (다)에서

방정식 이 서로 다른 개의 실근을

가지므로 함수 의 그래프의 개형은

다음과 같이 두 가지 경우가 있다.

(ⅰ) (극댓값) , (극솟값) 인 경우

(극댓값) 이면 이므로

(극솟값) 이 된다.

이때 을 만족시킨다.

(ⅱ) (극댓값) , (극솟값) 인 경우

(극솟값) 이면

(극댓값) 이 된다.

이때 이 되어 조건을

만족시키지 않는다.

위의 (ⅰ), (ⅱ)에서 이므로

따라서

15 ④

ㄱ. 삼차함수 의 그래프는 아래와 같다.

따라서 의 부호는 함수 의 최고차항의

계수의 부호에 따라 결정되며 이 아닐 수도

있다. (거짓)

ㄴ. 최고차항의 계수가 양수이든, 음수이든 극댓값

또는 극솟값인 , 의 부호는 서로

다르므로 이다. (참)

ㄷ. 예를 들어, 최고차항의 계수가 양수일 때를

가정해보자.

삼차함수의 비율관계에 의하여 이다.

또한, ≠이므로

(참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.


� STEP� 3

01 ① 02 ③ 03 ① 04 2 05 5

06 ⑤ 07 ③ 08 ① 09 ⑤ 10 ③

11 ⑤ 12 ② 13 3 14 ① 15 ④

16 4 17 3

01 ①

두 점 A B 을 지나는 직선의 기울기는 이고 에서 ′ 이므로

접점의 좌표를 라 하면

에서 점 P의 좌표는 P 접선 은 기울기가 이고 점 P 을

지나므로 접선 의 방정식은

즉, 따라서 이므로

02 ③

라 하면 이므로 ′ 에서′이므로

곡선 위의 점 에서의

접선의 방정식은, 즉 …… ㉠

그런데 직선 ㉠의 절편이 이므로 , 즉

03 ①

두 점 P Q의 속도를 각각 P Q라 하면

P Q두 점 P Q의 가속도를 각각 P Q라 하면P Q 에서 P Q따라서 두 점 P Q사이의 거리는

04 2

라 하면

′ 곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기는

이므로 이라 하면

′ ′에서 또는 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과

같다.

⋯ ⋯ ⋯′ ↗ ↘ ↗

이때 이므로 함수 의 그래프는 다음 그림과 같다.

따라서 함수 의 값의 부호가 닫힌 구간 에서 바뀌므로 구하는

모든 정수 의 값의 합은

101해설

05 5

조건 (가)에서 이므로 조건 (나)의 에서이므로

(ⅰ) 이고 인 경우

인데

주어진 ′의 그래프에서 이므로

이어야 한다.

그러므로 는 존재할 수 없다.

(ⅱ) 이고 인 경우

이므로

함수 의 그래프의 개형은 다음 그림과

같다.

이므로

함수 의 그래프와 직선 가 만나는

점의 개수는 이다.

그러므로 방정식 의 서로 다른 실근의

개수는 이므로 또한, 이므로

함수 의 그래프와 직선 이 만나는 점의

개수는 이다.

그러므로 방정식 의 서로 다른 실근의

개수는 이므로 따라서

06 ⑤

이라 하면

ㄱ. ×

이므로 은 방정식 의 근이다. (참)

ㄴ. ′ ′에서 또는 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면

다음과 같다.

⋯ ⋯ ⋯′ ↘ ↘ ↗

함수 는 에서 극소이면서 최소이다.

이때 이고 최솟값은 이므로

곡선 는 일 때와 일

때 축을 지난다.

따라서 방정식 의 서로 다른

실근의 개수는 이다. (참)

ㄷ. ㄱ에서 이고 ×이므로

한 근은 이고 다른 한 근은 과 사이에

있다. 또한, ㄴ에서 방정식 의

서로 다른 실근의 개수는 이므로 서로 다른

모든 실근의 합은 보다 작다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

07 ③

라 하면

′ ′에서 또는 함수 는 에서 극대이고 에서

극소이므로 닫힌 구간 에서 일 때

최소이다.

한편, 에서

≥이므로 일 때 최대이다.

그런데 닫힌 구간 에서 함수 의 최댓값이 보다 작거나 같아야 하므로

≤에서 ≤


따라서 실수 의 최댓값은 이다.

08 ①

에서

점 P가 운동 방향을 바꾸는 시각 는

의 두 양의 실근이다. 이므로 의 서로 다른 두 양의 실근을 라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에

의하여 이므로 …… ㉠

…… ㉡

㉠에서 이므로 이 식을 ㉡에 대입하면

즉, …… ㉢

한편, 일 때의 위치가 이므로

즉, …… ㉣

㉣을 ㉢에 대입하면 ㉠에서 이므로 , 즉 그러므로 일 때, 이므로

에서 또는 이때 ≥이므로 조건을 만족시킨다.

따라서 이므로 일 때의 속도는

×

09 ⑤

이라 하면

′ ′에서 또는 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과

같다.

⋯ ⋯ ⋯′ ↗ ↘ ↗

한편, 곡선 과 직선 가

접한다고 할 때, 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은

…… ㉠

접선 ㉠이 원점을 지나므로 에서

는 실수이므로 그러므로 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은 이다.

이때 함수 의 그래프와 접선 는 다음

그림과 같다.

따라서 곡선 과 직선 가

서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 의 값의 범위는 이므로 자연수 의 최솟값은 이다.

103해설

10 ③

조건 (가)에서 ( 는 상수) …… ㉠

이라 하면 조건 (나)에서 함수 의 그래프는 점 을 지나므로 에서 …… ㉡

㉠과 ㉡에서 , 즉 이고

조건 (다)에서 방정식 은 이외의

근을 하나만 가져야 하고 조건 (나)에서 방정식 이 를 중근으로 갖게 되면 함수 는 에서 미분가능하게 되므로

의 근은 가 아닌 중근을

가져야 한다. 즉, 이차방정식 의 판별식을 라 하면

× 에서

또는 (ⅰ) 일 때

이므로 조건 (다)를 만족시키지

않는다.

(ⅱ) 일 때

이므로 조건 (다)를

만족시킨다.

㉠에서 이므로

′ 따라서 함수 의 극솟값은

× ×

다른�풀이

조건 (나)에서 함수 는 에서만

미분가능하지 않고, 조건 (다)를 만족시키는 함수 의 그래프와 축이 서로 다른 두 점에서

만나므로 함수 의 그래프의 개형은 다음

그림과 같다.

(ⅰ)

(ⅱ)

≠ 라 하면

조건 (가)에서 이때 ≠ 이므로 이다.

따라서 함수 의 그래프는 (ⅰ)과 같으므로

함수 의 극솟값은

11 ⑤

ㄱ. 열린 구간 에서 ′이므로 함수

는 감소한다.

그러므로 (참)

ㄴ. 두 함수 ′ ′의 그래프가 서로

축에 대하여 대칭이고 이므로

두 함수 의 그래프는 다음

그림과 같이 축에 대하여 대칭이다.

함수 는 연속이고

lim→∞∞이다.

라 하면

이므로 구간 ∞에서 방정식

는 적어도 하나의

실근을 갖는다. (참)


ㄷ. ′ ′′이고

닫힌 구간 을 포함하는 열린 구간

에서

′ 이므로 ′이고

′이므로 ′이다.

′ 이므로

닫힌 구간 에서 함수 는

감소한다.

따라서 함수 의 최솟값은

이다. (참)


12 ②

곡선 과 직선 가 서로 다른

두 점에서 만나므로 에서

의 판별식을 라 하면

에서 , 즉 …… ㉠

의 서로 다른 두 근을 라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 이고A B 이므로AB 한편, 원점 O 과 직선 , 즉 사이의 거리는

삼각형 AOB의 넓이 는

×× 이때 ㉠에서 이므로

이라 하면

′ ′에서 또는 에서 함수 의 증가와 감소를 표로

나타내면 다음과 같다.

⋯ ⋯ ′ ↗ ↘

따라서 일 때 최대이다.

13 3

방정식 에서

, 라 두고 두 함수의

그래프의 교점의 개수를 구한다. ′임을 이용해 그래프를 그려보면 두

함수는 에서 서로 다른 세 교점을 가진다. , ,

105해설

14 ①

출발한 후 초가 지났을 때 점 P의 위치는

P , 이 점에서 곡선 에 접선을

그었을 때 그 접점을 이라 하면 접선의

방정식은 도함수 ′ 에 의해 접선의 기울기가

이고 접점 을 지나므로

, 이 접선이 점 P를 지나므로

에서 , 접선의

절편은

, 따라서 Q의

속도는 이므로 일 때의

속도는 이다.

15 ④

′ 의 세 근은 , , 이고, 의 두 근의 곱

이므로 , , 이다.

따라서 사차함수 는 에서 극솟값을

갖고, 에서 극댓값을 갖는다.

ㄱ. 두 극솟값 , 은 극댓값 보다

작다. 따라서 두 값의 평균도 보다 작다. (참)

ㄴ. 두 극솟값이 모두 음수여야만 은 서로

다른 네 실근을 가진다. (거짓)

ㄷ. 그림과 같다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

16 4

사차함수 는 에서 극솟값 하나만을

갖는다. (가)의 조건을 만족시키기 위해서는 아래

그림과 같이 이어야 한다.

조건 (나)의 평균변화율

에서

17 3는 를 차식으로 나눈 나머지이므로 몫을 , 라 두면

이고

는 으로 나누어떨어지므로

,

이므로 ,

∴ lim→


lim→ · ′

7.�부정적분과�정적분

� STEP� 2

01 10 02 ③ 03 ③ 04 ② 05 ④

06 ③ 07 ④ 08 ③ 09 ③ 10 ②

11 ③ 12 81 13 ③

01 10

′ 이다. (단,

는 적분상수) ′ 에서 함수 는 에서 극댓값, 에서 극솟값을 가진다.

함수 의 그래프는 아래와 같다.

삼차함수의 비율관계에 따라 , 가 된다. (함수 에서 ,

그리고 , 를 대입하여 확인해도

훌륭하다.)

따라서 이면 × 이므로 이어야 한다. 이므로 이다.

,

02 ③

′ 이다. (단, 는

적분상수)

직선 가 곡선 와 축 위의 점 P에서 접하는데, 직선 의 절편은

107해설

이므로 , ′ 이다.

따라서 ′ , 이고 , 이다.

03 ③

미적분의 기본정리에 의하여 ′ 이다.

함수 는 에서 극대이고, 에서

극소이다.

함수 의 극솟값은 이므로

×× 이므로 함수 의 극솟값은 이다.

04 ②

함수 는 분명히 상수함수가 아니다.

함수 의 차수를 이라 하고, 최고차항의 계수를 ≠이라 하면 ⋯ 이므로 ,

이다.

함수 이라고 하면

에서 , , 에서

이다.

05 ④

≥ ≥에서

위의 세 식을 더하면

06 ③

′ 이다. (단,

는 적분상수)


07 ④

함수 의 그래프와

함수 의 그래프는 아래와 같다.

으로 생각하면 이 값은 밑변의 길이가 , 인

직각이등변삼각형의 넓이의 합에서 밑변의 길이가 , 인 직각이등변삼각형의 넓이의 합을 뺀 것과 같다. × ×

08 ③

이차함수 가 에서 극댓값을 가지므로 그

도함수 ′는 에서 ′ , ≥에서 ′≤이다. ′ ′ ′ 이다.

이차함수 가 에서 극댓값을 가진다는 것은

이차함수 의 축의 방정식이 이라는

것이다.

따라서 ,

09 ③′ ′이므로

조건 (가)에서

(단, 는 적분상수)

위 등식의 양변에 을 대입하면 따라서 이고,는 다항함수이므로

′ 이므로

조건 (나)에서′ ′ ′ (단, ′은 적분상수)

조건 (다)에 의하여 이므로 ′ 따라서

10 ②

준식에서 양변을 미분하면 ′ 양변을 으로 나누면 ∵ 다항함수의 도함수 ′는 연속함수이므로 일 때를 제외하고

으로 나눈 식에서 lim→ ′ ′임을

이용하면 된다.) ′ , 준 식에서 양변에 를 대입하면 에서 이다. , 이다.

에서 이다.

109해설

11 ③

두 함수 , 의 그래프는 오직

한 점에서만 만나므로 직선 는 함수 의 어떤 점 위에서의 접선이다.

따라서 실수 에 대하여 함수 의 그래프

위의 점 에서의 접선의 방정식에서

이라고 할 수 있다.

이므로

lim→∞ lim→∞ × 따라서 이다.

이다.

에서 또는 이다. 또는 이므로

12 81

함수 가 상수함수라면 에서

인데

이는 이므로 조건 (나)에 모순된다.

따라서 함수 는 상수함수가 아닌 다항함수이고

함수 의 차수를 이라 하면 이 아닌 상수 에 대하여 ⋯

이라고 할 수 있다.

모든 실수 에 대하여 ⋯ 이고

′ ⋯이므로 이다.

이라고 하면

′ 에서 , 이다.

따라서 이고 , ×이다.

13 ③

조건 (가)의 등식의 양변에 대신 를 대입하면 위 식의 양변을 에 대하여 미분하면

′ ′위 식에서 대신 를 대입하면 ′즉, ′이때 ′는 함수 의

그래프 위의 점 에서의 접선의 방정식이고

이 접선이 함수 의 그래프와 일치하므로

함수 의 그래프는 직선이다.이라고 하면


에서 , ,

� STEP� 3

01 ④ 02 ① 03 ① 04 ④ 05 ③

06 11 07 ① 08 ⑤ 09 ④ 10 ④

11 30 12 5 13 38 14 ⑤

01 ④

곡선 위의 임의의 점 에서의

접선의 기울기가 이므로

′ 곡선 가 원점을 지나므로 ′ 에서 ( 는 적분상수) 이므로 ×

02 ① ′ 라 하면

이므로 ′ ′ 이므로

03 ① 에 를 대입하면 따라서 에서 ×이므로 04 ④의 부정적분 중 하나를 라 하면

lim→ lim→ ′

05 ③

다항함수 의 그래프는 원점에 대하여

대칭이고, 이다.

자연수 에 대하여

⋯ 라 하면′ ⋯ 이므로 함수 ′는 모든 실수 에 대하여′′를 만족시킨다.

따라서 ′ ′′ ′

111해설

이므로

06 11

에서 ′이므로 함수

는 함수 의 도함수이다.

열린 구간 에서 함수 가 증가하므로 이고, 열린 구간 에서 함수 가

감소하므로 이다. ×

07 ①

lim→∞ lim→∞

× × 이므로

08 ⑤

두 점 를 지나는 직선의 기울기가

이고 ′ 이므로

직선 는 곡선 위의 점

에서의 접선이다.

따라서 두 함수 의 그래프의

개형은 다음 그림과 같다.

따라서 (는 상수)로 놓을 수 있다.

에서

′ 방정식 ′의 모든 실근의 합은 이므로

…… ㉠

이므

로

(㉠에 의해)


이라 하면

′ ′에서 에서 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면

다음과 같다.

⋯ ⋯′ ↘ 극소 ↗

함수 의 그래프는 다음 그림과 같다.

에서 함수 의 최솟값은

×× 따라서 의 최솟값은 이다.

09 ④

의 양변을 에 대하여 미분하면

′이므로 함수 의 도함수가 이다.

이고 함수 의 최솟값이

이므로 함수 는 에서 극솟값을

갖는다.

함수 가 최고차항의 계수가 이고 ′인 삼차함수이므로 함수 의

그래프는 다음 그림과 같다.

(는 상수)라 하면

이고, 함수 가

에서 극댓값 을 가지므로

즉, 따라서 이므로

×

10 ④

는 미분가능한 함수이므로 에서

좌미분계수와 우미분계수가 일치해야 하고 에서도 마찬가지다.

모든 실수 에 대하여 ≤′≤이므로

113해설

의 값이 최대가 되기 위해서는 그림과

같이 축 위에서는 접선의 기울기가 가장 큰 함수가

있어야 하고, 축 아래에서는 접선의 기울기가 이

되는 함수가 이어져야 한다. 즉, ≤ 에서는 , ≥에서는 이다. 따라서 × ⋅⋅

11 30

다항함수 의 차수부터 결정한다. 식 의 양변을 에 대하여

미분하여 정리하면 ′ , 의 최고차항을 이라 하면 위 식에 의해

즉, 의 형태이고, 다시 위

식에 의해 이므로

, , ,

따라서 에서

12 5

lim→∞ lim→∞ 이므로

lim→∞ 13 38 의 그래프와 그 역함수 의

그래프는 에 대하여 서로 대칭이고,

직선 는 에 대하여 대칭이다.

방정식 에서 교점 를 구한다.

이때 그래프와 그 교점을 나타낸 그림이 아래와 같다.

그림에서 색칠한 부분의 넓이

⋅⋅ 따라서 구하는 넓이는 의 배인 이다.

14 ⑤

주기함수는 적분 구간의 길이가 주기와 같을 때

정적분 값이 일정하다. 라 하자.

ㄱ. 조건에서 이므로 이다. 역시 적분

구간의 길이가 주기와 같으므로 정적분 값은 이다. (참)

ㄴ. 와 는 적분

구간의 길이가 주기와 같고 함수 에서 축

방향으로 각각 , 만큼 평행이동한 함수의

정적분 값이므로 그 값이 와 같다.

(참)


ㄷ. lim→∞ · 이고

lim→∞ ·

⋯ , 두 값 모두 로 같다.

(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

8.�정적분의�활용

� STEP� 2

01 19 02 ④ 03 108 04 ② 05 ①

06 72 07 8 08 ⑤ 09 ③ 10 ④

11 ① 12 ⑤

01 19 ′ ′ ′ 이므로 ′ 에서 이므로 이다. ′ 에서

의 그래프는 아래와 같다.

× × 이다.

따라서 삼각형 PQR의 밑변을 선분 PR로 잡으면 그

넓이는

×× , 에서 이다.

115해설

02 ④ 의 값은 결국

두 직선 와 와 곡선 으로

둘러싸인 부분의 넓이와 같다.

두 직선 와 와 곡선 으로

둘러싸인 부분의 넓이는

곡선 과 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이

× 에서

곡선 과 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이

× 을 뺀 것과 같다.

03 108


기울기는 ′ 에서

접선의 방정식은 이다.

직선 과 곡선 이 만나는 점의 좌표는

에서 가 방정식의 근이므로 조립제법에서

이다.

따라서 직선 과 곡선 로 둘러싸인

부분의 넓이는

× 이다. (삼차함수의 그래프가 축과 접할 때 둘러싸인

부분의 넓이 공식을 사용한 것이다. 이를 사용하지

않고 직접 적분해도 훌륭하다.)

04 ②

두 곡선 , 은

에서 , 에서 만난다.

따라서 이면 이다. 이다. 을 대입하면 양변이 같게 되므로

조립제법에서 이다.

05 ①

시각 에서 까지 점 P가 움직인

거리가 시각 에서 점 P의 위치와 같도록 하는 의 최댓값이 라는 의미는


점 P의 운동방향이 바뀌지 않도록 하는 시각 의

최댓값이 라는 의미와 같다.

따라서 이고 ,

06 72

점 P가 운동방향을 바뀌는 순간은 P 에서 일 때이다. 그 순간 두 점 P , Q 사이의

거리를 구하려면 각각의 점의 위치를 구해야 한다.

점 P의 위치는 P 점 Q의 위치는

Q 따라서 일 때 두 점 P , Q사이의 거리는

07 8

곡선 의 그래프와 직선 의

그래프는 아래와 같다.

함수 의 그래프와 축으로 둘러싸인

부분의 넓이를 라고 하면, 곡선

과 직선 으로 둘러싸인

부분의 넓이는 곡선 과 직선 으로 둘러싸인 부분의 넓이에서 × 을 뺀

것과 같다.

곡선 과 직선 으로 둘러싸인

부분의 넓이는 ×

에서 이고

따라서 구하는 넓이는

×

08 ⑤

시각 에서 까지 점 P의 위치의 변화량이 이므로 이다.

함수 의 그래프는

아래와 같은데,

색칠한 부분의 넓이가 시각 에서 까지 점 P가 움직인 거리와 같다.

따라서 구하는 값은

117해설

09 ③≤≤ 에서 함수 의 그래프는 다음 그림과 같다.

함수 의 그래프와 직선 으로 둘러싸인 부분의 넓이와 함수 의 그래프와 직선 으로

둘러싸인 부분의 넓이가 같으므로 의

값은 밑변의 길이가 인 직각이등변삼각형의 넓이와 같으므로

× 이다.

같은 방법으로 × 10 ④

시각 에서 시각 까지 점 P가 이동한 거리는 P P P P

시각 에서 시각 까지 점 Q가 이동한 거리는 Q Q

× ×이다.

∵ 그냥 적분을 할 수도 있지만 공식을 이용하기 좋은 꼴이라 공식으로 풀이를 적었다.)시각 에서 점 Q가 점 P 보다 만큼 앞서

있으므로 , 즉 이다.

11 ①

함수 의 그래프는 함수

의 그래프를 축의 방향으로

만큼 평행이동한 것이므로 함수 의 그래프는 다음 그림과 같다.

닫힌 구간 에서 함수 의 그래프와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 같은 방법으로 닫힌 구간 에서 함수 의 그래프와 축으로 둘러싸인 부분의


넓이는 ×닫힌 구간 에서 의 값은 ×⋯⋯등비급수의 공식에서

lim→∞

12 ⑤

ㄱ. 시각 에서의 점 P의 위치 는 시각 에서 까지 점 P가 움직인 거리

는 이다.

일 때, 즉 , 일 때, ≤일 때, 즉 ≤≤일 때, 이다.따라서 ′ 의 그래프는 다음과 같다.

따라서 에서 함수 ′는

에서 최솟값을 가지므로

모든 양수 에 대하여 ′≥′ (참)

ㄴ. ′이므로 의 값은 ≤≤에서 함수 ′의 그래프가 축으로 둘러싸인 부분의 넓이에 을 곱한 것이다.

× × ×

(참)

ㄷ. 함수 ′의 그래프에서 함수 의 그래프는 아래와 같다.

≤≤에서 함수 의 그래프는 삼차함수 그래프의 일부분이다.따라서 함수 의 그래프는 점 에 대하여 대칭이다.

이므로 × 이때 × 이므로 를 만족시키려면

이어야 한다.

따라서 ×이므로

119해설

에서

이다. (참)


� STEP� 3

01 ④ 02 ② 03 ③ 04 135 05 ①

06 ② 07 12 08 20 09 ③ 10 ③

11 12 12 ② 13 ③ 14 32

01 ④에서 또는

함수 의 그래프는 위의 그림과 같고, 닫힌

구간 에서 ≥이므로 구하는 넓이를 라 하면

02 ②

곡선 와 축의 교점의 좌표는

이므로 또는 또는 곡선 와 축으로

둘러싸인 부분의 넓이를 라 하면

03 ③

점 P가 원점을 다시 지날 때의 시각을 이라 하면

이므로 따라서

04 135

에서 또는 함수 의 그래프는≤에서 함수 의 그래프와 같고, 에서 함수 의 그래프를 원점에 대하여

대칭이동한 것이므로 다음 그림과 같다.


이때 구하는 넓이 는

따라서 ×

05 ①

곡선 와 축 및 축으로 둘러싸인

부분의 넓이는

×곡선 와 축으로 둘러싸인 부분의

넓이는

곡선 가 곡선 와

축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를

이등분하므로

×따라서

06 ②

에서 ′ ≥함수 는 증가하는 함수이므로 역함수를 갖는다.

두 곡선 는 직선 에 대하여

대칭이므로 두 곡선 로 둘러싸인

부분의 넓이는 곡선 와 직선 로

둘러싸인 부분의 넓이의 배이다.

곡선 와 직선 의 교점의 좌표는

또는 또는 따라서 구하는 넓이를 라 하면

121해설

07 12

점 P의 시각 에서 까지 위치의 변화량 는

×× ×× 점 P가 시각 에서 까지 움직인 거리 는 ×× ×× 따라서 ×

08 20

함수 가 실수 전체의 집합에서 증가하고 이므로 인 이 존재한다.

따라서 함수 가 실수 전체의 집합에서 증가하고 이므로 이므로 함수 의 그래프는 함수 의

그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨

것이므로 함수 을 에서 까지 적분한 값은 함수 를 에서 까지 적분한 값과 같다. 이므로 따라서 구하는 넓이는

09 ③

의 양변을 에 대하여 미분하면

′방정식 의 두 실근을 라 하면

함수 의 도함수가 이므로′에서 또는 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과

같다.

⋯ ⋯ ⋯′ ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

곡선 와 축 및 축으로 둘러싸인 부분의

넓이와 곡선 와 축으로 둘러싸인 부분의

넓이가 서로 같으므로


따라서 함수 의 그래프는 다음 그림과 같다.

함수 가 이차함수이므로 함수 는

삼차함수이다. 이라 하면

에서

′ ′에서 또는 이므로 이차방정식 에서 근과 계수의 관계에 의하여

이므로 따라서 ′이므로

′ ××

10 ③

조건 (가)에 의해 ′ (단, ),

(나)의 조건에 만족시키기 위한 와 의 관계를

따져보면 일 때 ′ ′이므로 인 모든 에 대하여 ′가 성립하는 것은

아니다.

따라서 그림과 같이 이어야 하고

′ ′ ′

이 인 임의의 에 대하여 성립하므로 ≤이고 , 즉, 의 극솟값이 이다.

′ 에서

(상수)이고

, 에서 , 이다.

따라서 구하는 넓이는

11 12 에서

즉, 사차함수 는 이고 , , 에서 극값을 가지며 , 과의 교점의 개수가 각각 개, 개이므로 그래프는 그림과 같다.

123해설

따라서 12 ②

속도의 부호가 반대이면 수직선 위에서 반대 방향으로

움직인다. 시간-속도 그래프에서는 속도의 그래프와

시간축 사이의 넓이가 곧 이동거리를 나타낸다. 문제의

그래프를 보면 일 때 출발점으로 되돌아오므로

출발점의 위치는 이다. 일 때의 위치 에서 따라서 일 때의 점 P의 위치는

13 ③

① ≤≤에서 ≥이므로

점 P가 움직인 거리는 ②

A : 앞으로 움직인 거리

B : 뒤로 움직인 거리

③ 속도의 부호가 양이므로 까지 계속 앞으로

움직인다.

④ 의 부호가 변할 때 점 P의 운동 방향이

바뀐다.

⑤ 속력

14 32

문제의 조건을 만족하는 이차함수는 아래 그림에서

처럼 와 의 넓이가 같아야 한다. 의 이외의 절편을 라 하면 이고 와 의 넓이가

같으므로 즉, 방정식

에서

, 따라서 와 축으로 둘러싸인

부분의 넓이는

I PART 미적분 수능특강 · 2019-07-18 · 94정승준 수능특강 6.도함수의활용 step1...

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