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Appunti di Matematica 4

- I numeri complessi -

148

I numeri complessi

Abbiamo visto come dall’insieme N dei numeri naturali si passi all’insieme Z dei numeri relativi

per poter effettuare sempre la sottrazione e poi all’insieme Q dei numeri razionali per poter

effettuare sempre la divisione naturalmente con divisore diverso da zero).

Abbiamo infine ampliato il nostro insieme numerico con i numeri “irrazionali” cioè con i numeri

decimali illimitati aperiodici ( π,2 ecc.) ottenendo così l’insieme R dei numeri reali.

Ma i matematici non si sono fermati ai numeri reali ed hanno ampliato anche R definendo

l’insieme C dei numeri “complessi”.

Nel 1545 il matematico italiano Girolamo Cardano aveva pubblicato nella sua opera Ars Magna

la formula risolutiva delle equazioni di terzo e quarto grado ( gli “scopritori” di tali formule erano

stati altri matematici quali Scipione Del Ferro, Tartaglia e Ferrari).

Ma in certi casi la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado sembrava non funzionare…

Per esempio considerando l’equazione 04153 =−− xx , si verifica facilmente che x = 4 è

soluzione mentre applicando la formula risolutiva si ottengono radici quadrate di numeri

negativi…

Fu il matematico Raffaele Bombelli a proporre di operare sulle radici quadrate di numeri negativi

trattandole come “quantità silvestri” (letteralmente “selvatiche”) svolgendo i calcoli con esse fino

ad arrivare al risultato.

Il termine di numeri immaginari fu coniato solo in seguito da Cartesio.

Inizialmente ci fu molta diffidenza verso questi nuovi numeri e lo stesso Bombelli che li aveva

introdotti li considerava essenzialmente artifici per risolvere alcuni problemi.



149

Solo alla fine del Settecento i numeri complessi , espressi dalla scrittura bia + con Rba ∈, e

1−=i cioè 12 −=i , vennero riconosciuti come vero e proprio insieme numerico (contenente

l’insieme dei numeri reali) e fu il matematico Eulero, nel 1777, a indicare 1− con il simbolo i .

Il matematico Gauss ideò la rappresentazione geometrica dei numeri complessi associando al

numero complesso bia + il punto ( )ba, del piano (fissato un sistema di riferimento cartesiano

ortogonale).

Alla fine dell’Ottocento ci fu la prima applicazione dei numeri complessi alla realtà: i numeri

complessi furono utilizzati per sviluppare la teoria delle correnti alternate.

Ma ripartiamo dalla definizione.

Definizione di numero complesso

(espresso in forma algebrica)

Chiamiamo numero complesso z , espresso in forma algebrica, l’espressione

biaz += con Rba ∈, e 12 −=i

a viene detta “parte reale”

bi viene detta “parte immaginaria” (b è chiamato coefficiente della parte immaginaria).

Osservazione

Se 0=a abbiamo quello che viene chiamato “numero immaginario”;

se 0=b abbiamo un numero reale.

Quindi i numeri reali sono numeri complessi aventi coefficiente nullo della parte immaginaria e

diciamo quindi che l’insieme C è un’estensione di R.

Definizione

Due numeri complessi del tipo bia + e bia − aventi cioè la stessa parte reale e parti immaginarie

opposte si dicono numeri complessi “coniugati”.

Se per esempio consideriamo le soluzioni in campo complesso dell’equazione 012 =++ xx

abbiamo due soluzioni complesse coniugate:

2

31

2

31

2

4112,1

iz

±−=−±−=−±−=



150

Operazioni tra numeri complessi

Vediamo come sono definite le operazioni tra numeri complessi:

• addizione: ( ) ( ) ( ) ( )idbcadicbia +++=+++

• sottrazione: ( ) ( ) ( ) ( )idbcadicbia −+−=+−+

• moltiplicazione: ( ) ( ) ( ) ( )ibcadbdacdicbia ++−=+⋅+

Infatti sviluppando con le usuali regole di calcolo avremmo:

( ) ( ) ( ) ( )ibcadbdacbdbciadiacdicbia ++−=−++=+⋅+

• divisione:

( ) ( )( ) ( )

( )i

dc

adbc

dc

bdac

dc

iadbcbdac

dicdic

dicbia

dic

bia ⋅+−+

++=

+−++=

−⋅+−⋅+=

++

222222

Esempi

1) iii 35)43()2( −=−++

2) iii 51)43()2( +−=−−+

3) iiiii 5104386)43()2( −=++−=−⋅+

4) 25

112

)43()43(

)43()2(

43

2 i

ii

ii

i

i +=+⋅−+⋅+=

−+

Osservazione

Se consideriamo un numero complesso biaz += e il suo complesso coniugato biaz −=

osserviamo che:

azz 2=+ , bizz 2=− , 22 bazz +=⋅



151

Esercizi

Sviluppa:

1. ( ) ( )ii 432 −++ [ i35 − ]

2. ( ) ( )ii +−− 123 [ i32 − ]

3. ( ) ( )ii −⋅+ 225 [ i−12 ]

4. ( ) ( )ii +⋅− 22 [5]

5. ( ) ii ⋅+ 34 ]43[ i+−

6. i

i

24

2

++

[ 2

1 ]

7. i

i

25

25

+−

[ i29

20

29

21 − ]

8. ( )21 i+ [ 2i ]

9. ( )31 i+ [ i22 +− ]

10. ii

i 1

24

1 ++−

[ i10

13

10

1 − ]

11. ( ) ( ) iii 42323 +−⋅+ [ i413 + ]

12. ( ) ( ) ( )iii 32122 +⋅−−− [ i38 − ]

13. ( )iii

i −⋅+−+

421

32 [ i

2

21

2

3 + ]

14. ( ) ( )3242 +−− ii [ i5149 −− ]

15. ( ) ( )

i

ii

−+⋅−

1

15 [ i51+ ]



152

Rappresentazione geometrica di un numero complesso

Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale (O,x,y) si può associare ad ogni numero

complesso bia + un punto ( )baP , del piano e viceversa.

Il piano in cui si rappresenta l’insieme C dei numeri complessi viene chiamato piano complesso

(o piano di Gauss).

Quindi i punti dell’asse x sono associati ai numeri reali (l’asse x è detto asse reale) e i punti

dell’asse y sono associati ai numeri immaginari (l’asse y è detto asse immaginario).

Possiamo anche associare al numero complesso

biaz += il vettore →

OP con ( )baP , : ci accorgiamo che

la somma tra numeri complessi 1z e 2z corrisponde alla

somma tra i vettori corrispondenti con la regola del

parallelogramma e la differenza alla differenza tra

vettori.

( )baPbia ,↔+



153

Forma trigonometrica di un numero complesso

Dato il numero complesso biaz += se esprimiamo il suo punto associato nel piano complesso

( )baP , in coordinate polari abbiamo:

Il numero complesso può quindi anche essere scritto nella forma (detta trigonometrica):

( )ϑϑρ isenz +⋅= cos

Nota: ρ viene detto modulo di z e ϑ viene detto argomento di z ( πθ 20 <≤ ).

Esempio

Consideriamo il numero complesso (espresso in forma algebrica) iz += 3 .

Come possiamo esprimerlo in forma trigonometrica?

Considerando il punto associato nel piano complesso ( )1,3P in questo caso abbiamo:

2=ρ e 6

2

1

2

3cos πϑ

ϑ

ϑ=

=

=

sen

e quindi

+⋅=66

cos2ππ

isenz

⋅=⋅=

ϑρϑρ

senb

a cos

a

btg

ba

=

+=

θ

ρ 22



154

Esercizi

Passa dalla forma algebrica alla forma trigonometrica rappresentando il numero complesso nel

piano di Gauss:

1. iz 22 += [

+⋅=44

cos22ππ

isenz ]

2. iz −= 1 [

+⋅= ππ4

7

4

7cos2 isenz ]

3. iz 2−= [ ]2

3

2

3cos2

+⋅= ππ isenz

4. 4

1−=z [ ( )ππ isenz +⋅= cos4

1]

5. iz2

3

2

1 += [33

cosππ

isenz += ]

6. iz −−= 3 [

+⋅= ππ6

7

6

7cos2 isenz ]

7. iz4

1

4

3 −= [

+⋅= ππ6

11

6

11cos

2

1isenz ]

8. iz += 1 [

+⋅=44

cos2ππ

isenz ]

9. iz += 3 [

+⋅=66

cos2ππ

isenz ]

10. iz = [22

cosππ

isenz += ]



155

Prodotto e quoziente tra numeri complessi utilizzando la forma trigonometrica

Utilizzando la forma trigonometrica le operazioni di moltiplicazione e divisione tra numeri

complessi vengono espresse in modo molto più semplice e significativo.

Infatti sviluppando abbiamo:

( ) ( )( )[ ]

( ) ( )[ ]βαβαρρβαβαβαβαρρ

ββρααρ

+++⋅⋅==+⋅+⋅−⋅⋅=

=+⋅∗+⋅=⋅

isen

sensenisensen

isenisenzz

cos

coscoscoscos

coscos

21

21

2121

Quindi il prodotto di due numeri complessi risulti un numero complesso avente per modulo il

prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti dei due numeri.

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )[ ]βαβαρρ

βββαβαβαβα

ρρ

ββββρββααρ

ββρααρ

−+−⋅=

=

+−⋅+⋅+⋅⋅=

=−⋅+⋅−⋅+⋅

=+⋅+⋅

=

isen

sen

sensenisensen

isenisen

isenisen

isen

isen

z

z

cos

cos

coscoscoscos

coscos

coscos

cos

cos

2

1

22

2

1

2

1

2

1

2

1

Quindi il quoziente di due numeri complessi risulta un numero complesso avente per modulo il

rapporto tra i moduli e per argomento la differenza degli argomenti dei due numeri.

Nota

Da un punto di vista “geometrico” le operazioni di prodotto e quoziente tra numeri complessi

possono quindi essere viste come l’applicazione di una rotazione composta con un’omotetia:

infatti se il numero 2z ha modulo 2ρ e angolo associato β , il prodotto 21 zz ⋅ si trova ruotando

1z dell’angolo β e poi applicando l’omotetia ( )2; ρω O mentre il quoziente 2

1

z

z si trova ruotando

1z dell’angolo β− e poi applicando l’omotetia

2

1;ρ

ω O .



156

Per esempio moltiplicare un numero complesso →z per un numero complesso di modulo 1 e

argomento β equivale a ruotare →z di β , mentre dividerlo per un numero complesso di modulo 1

e argomento β equivale a ruotare →z di β− .

Quindi come caso ancora più particolare moltiplicare un numero complesso →z per i equivale a

ruotarlo di 90°.



157

Esercizi

1) Calcola il prodotto dei seguenti numeri complessi e scrivi il risultato in forma algebrica:

1.

+⋅= ππ3

2

3

2cos

2

11 isenz

+⋅= ππ6

5

6

5cos

3

22 isenz [ izz

3

121 −=⋅ ]

2.

+⋅=66

cos21

ππisenz

+⋅=33

cos2

12

ππisenz [ izz =⋅ 21 ]

3.

+⋅= ππ6

5

6

5cos

3

41 isenz

+⋅=33

cos2

12

ππisenz [ izz

3

1

3

321 −−=⋅ ]

4.

+= ππ4

3

4

3cos1 isenz

+⋅= ππ4

11

4

11cos22 isenz [ izz 221 −=⋅ ]

5.

+= ππ4

3

4

3cos1 isenz

+=44

cos2

ππisenz [ 121 −=⋅ zz ]

2) Calcola il quoziente tra i seguenti numeri complessi e scrivi il risultato in forma algebrica:

1.

+⋅= ππ4

7

4

7cos61 isenz

+⋅=22

cos22

ππisenz [ i

z

z

2

3

2

3

2

1 −−= ]

2.

+= ππ4

7

4

7cos1 isenz

+= ππ4

3

4

3cos2 isenz [ 1

2

1 −=z

z ]

3.

+= ππ6

7

6

7cos1 isenz

+= ππ6

5

6

5cos2 isenz [ i

z

z

2

3

2

1

2

1 += ]

4. 00cos1 isenz +=

+⋅=66

cos2

12

ππisenz [ i

z

z−= 3

2

1 ]

5. 00cos1 isenz += 22

cos2

ππisenz += [ i

z

z−=

2

1 ]



158

Potenza di un numero complesso

Utilizzando la forma trigonometrica si può calcolare facilmente la potenza di un numero

complesso poiché se )(cos ϑϑρ isenz += abbiamo , proprio per quanto osservato per il prodotto

))()(cos( ϑϑρ ⋅+⋅= nisennz nn

Radici n-esime di un numero in campo complesso

a) Radici n-esime dell’unità

Quali sono le soluzioni, in campo complesso, di 1=nz ?

In campo reale se consideriamo 1=nx abbiamo soluzioni 1± se n è pari e soltanto 1 se n è

dispari.

Esempi: 11 2,1

2 ±== xx ; 113 == xx

Ma in campo complesso?

Scrivendo z in forma trigonometrica abbiamo:

( ) ( ))()cos(cos θθρθθρ nisennzisenz nn +⋅=→+=

Quindi se vogliamo che 1=nz , essendo ( )00cos11 isen+⋅= dobbiamo avere 11 =→= ρρ n e

( )

−=−=

==

==

→=→=

n

nnk

nk

k

n

kkn

n

πθ

πθ

θ

πθπθ

121

....

21

00

22

2

1

Quindi ponendo 1,....,1,0 −= nk otterrò n soluzioni distinte.



159

Esempio 1:

Risolviamo 13 =z .

Abbiamo 1=ρ e 3

4,

3

2,0

3

2 πθπθθπθ ===→= k e quindi

+=

+==3

4

3

4cos,

3

2

3

2cos,1 321

ππππisenzisenzz

Possiamo rappresentare le tre soluzioni nel piano complesso ed osservare che risultano i vertici di

un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di centro l’origine e raggio 1.

Esempio 2 : risolviamo 14 =z

Abbiamo πθπθπθθπθρ2

3,,

2,0

4

2,1 43 ====→== k

e quindi abbiamo:

izzizz −=−=== 4321 ,1,,1



160

b) Radici n-esime di un numero complesso

Consideriamo l’equazione 0zz n = dove 0z è un generico numero complesso.

Scriviamo sia z che 0z in forma trigonometrica:

( ) ( ) ( ) ( )( )θθρθθρθθρ nisennzisenzisenz nn +=→+=+= coscos,cos 0000

Quindi perché sia 0zz n = in questo caso dovrà essere:

1.....,1,02

2 00

0

−=+

=→+=

=→=

nkconn

kkn

nn

πθθπθθ

ρρρρ

Esempio 1

Risolviamo iz 83 = .

In questo caso 2

,8 00

πθρ == e avremo quindi 2,1,0,3

22,2 =

+== kcon

kππ

θρ

+=

+=

+= ππππππ2

3

2

3cos2,

6

5

6

5cos2,

66cos2 321 isenzisenzisenz

Esempio 2

Risolviamo iz += 14

In questo caso 4

,2 00

πθρ == e avremo quindi

3,2,1,0,2164

24,24 =+=

+== kconk

k ππππ

θρ



161

Esercizi

1) Calcola le potenze dei seguenti numeri complessi dopo averli trasformati in forma trigonometrica

e rappresentale nel piano di Gauss:

a) iz2

3

2

1 += ...2 =z , ...3 =z ,….. ..6 =z

[ iz2

3

2

12 +−= ; 13 −=z ; iz2

3

2

14 −−= ; iz2

3

2

15 −= ; 16 =z ]

b) iz 22 += ...2 =z , ...3 =z ,….. ..8 =z

[ iz 42 = ; iz 24243 +−= ; 164 −z ; iz 2162165 −−= ; iz 646 −= ;

iz 2642647 −= 88 2=z ]

2) Risolvi in campo complesso le seguenti equazioni,rappresenta le soluzioni nel piano complesso

ed esprimile anche in forma algebrica:

a) iz =2 [ iziz2

1

2

1,

2

1

2

121 −−=+= ]

b) iz 42 −= [ iziz 22,22 21 −=+−= ]

c) iz 83 = [ iziziz 2,3,3 321 −=+−=+= ]

d) iz += 14 [ izzizz 84

83

82

81 2,2,2,2 ==−=−= ]

e) 15 =z [ 4,3,2,1,0,5

2

5

2cos =

+= kk

isenk

zππ

]

f) iz =5 [ 4,3,2,1,0,5

2

105

2

10cos =

++

+= kkisenkz ππππ ]

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