I Historiaausers.jyu.fi/~juhaleh/geom2013/Geometria2008_print.pdf · I HISTORIAA 5 mainitse...
90
Lassi Kurittu, Veli-Matti Hokkanen ja Lauri Kahanp ¨ a ¨ a 1 GEOMETRIA Sis ¨ allys I Historiaa 2 II Hilbertin aksioomaj ¨ arjestelm ¨ a 8 2.1. Aksiomaattisesta menetelm ¨ ast ¨ a 8 2.2. Hilbertin aksioomat (H1)–(H3) 9 2.3. Hilbertin aksioomat (H4)–(H7) 11 2.4. Hilbertin aksioomat (H8)–(H13) 25 2.5. Arkhimedeen aksiooma 43 Janamitan konstruktio 44 Kulmamitan konstruktio 51 2.6. Dedekindin aksiooma 67 III Paralleeliaksiooma 84 3.1. Alkeellista euklidista geometriaa 84 Eukleideen viides aksiooma 84 Vuorokulmat ja kolmion kulmasumma 86 Yhdensuuntaiset ja samanmuotoiset 88 Pythagoras ja trigonometria 94 Kolmioon liittyv ¨ at perusympyr ¨ at 98 Keh ¨ akulmat 100 Kolmion ala 104 Cevan lause 105 3.2. V ¨ ah ¨ an kehittyneemp ¨ a ¨ a euklidista geometriaa 111 IV Liikkeet ja Poincar´ en malli 121 4.1. Peilaukset 121 Peilaus suoran suhteen 121 Inversio ympyr ¨ an suhteen 125 Pisteen potenssi ympyr ¨ an suhteen 135 Ortogonaalisista ympyr ¨ oist ¨ a 137 4.2. Poincar´ en malli 146 4.3. Hyperbolista geometriaa 146 4.4. Lopuksi 177 Hilbertin tasogeometrioiden aksioomat 178 Hakemisto 179 1 c � Lassi Kurittu ja Jyv ¨ askyl ¨ an yliopisto. Typeset by A M S-T E X 1 2 GEOMETRIA I Historiaa Sana geometria on per ¨ aisin kreikasta, geo = maa, metrein = mitata. Yksi en- simm ¨ aisist ¨ a geometrisista ongelmista oli ympyr ¨ an keh ¨ an pituuden (2πr)m ¨ a ¨ arit- t ¨ aminen, siis π:n likiarvon arviointi. Babylonialaiset k ¨ ayttiv ¨ at kaavaa ”keh ¨ a=3× halkaisija” eli π ≈ 3. My ¨ os muinaiset juutalaiset k ¨ ayttiv ¨ at samaa π:n arvoa; se mainitaan jopa Raamatussa (1. Kuningasten kirja 7:28), mill ¨ a perusteella Rabbi Nehemiahin my ¨ ohempi π:n likiarvo 22 7 ≈ 3.14159 hyl ¨ attiin. Muinaiset egypti ¨ aiset k ¨ ayttiv ¨ at π:lle arviota ( 16 9 ) 2 ≈ 3.1604. Matematiikan kannalta n ¨ aiss ¨ a eri likiarvoissa ei ole oleellista arvion tarkkuus vaan se oivallus, ett ¨ a kaiken kokoisissa ympyr ¨ oiss ¨ a keh ¨ an ja halkaisijan suhde on t ¨ asm ¨ alleen sama. (Vasta vuonna 1768 Lambert 2 osoitti, ett ¨ a π ei ole rationaaliluku, ja 1882 Lindemann 3 osoitti sen olevan trans- kendenttiluku.) Egyptil ¨ aisten geometria ei ollut varsinaista matematiikkaa, vaan pikemminkin kokoelma perustelemattomia kaavoja ja laskulakeja. Joskus he arvasivat oikein: he osasivat esimerkiksi laskea puolisuunnikkaan alan ja jopa katkaistun pyramidin tilavuuden aivan oikein. Suoran kulman egyptil ¨ aiset virittiv ¨ at maastoon pingot- tamalla kolmioksi narulenkin, johon oli merkitty kolmen, nelj ¨ an ja viiden yksik ¨ on pituiset sivut. Kaksoisvirran maan asukkaat olivat egyptil ¨ aisi ¨ a aikalaisiaan etev ¨ am- pi ¨ a laskijota, mik ¨ a osittain johtui heid ¨ an k ¨ aytt ¨ am ¨ ast ¨ a ¨ an erinomaisesta numeroj ¨ ar- jestelm ¨ ast ¨ a. Babylonialaiset tunsivat paremmin matematiikkaa, jopa Pythagoraan teoreeman (c 2 = a 2 + b 2 ) yleisess ¨ a muodossa. Kuitenkin vasta kreikkalaiset astui- vat ratkaisevan askelen kohti nykyaikaista matematiikkaa vaatiessaan, ett ¨ a lasku- lait on jotenkin yleisp ¨ atev ¨ asti todistettava sen sijaan, ett ¨ a edett ¨ aisiin yrityksen ja erehdyksen tiet ¨ a. Ensimm ¨ ainen tuntemamme t ¨ am ¨ an perinteen matemaatikko oli my ¨ os kreikkalaisen filosofian perustajana pidetty Thales 4 , josta tuli kuuluisa ennustettuaan oikein auringonpimennyksen ajankohdan 585 e.a.a. Parin seuraavan vuosisadan johtavia matemaatikkoja oli Pythagoras 5 oppilaineen. H ¨ an oli l ¨ ahinn ¨ a uskonnollinen profeetta, jolle luvun √ 2 osoittautuminen irrationaaliseksi oli suuri j ¨ arkytys (t ¨ at ¨ a vaarallista tulosta yritettiin aluksi jopa salata). Pythagoralaisen kou- lukunnan tuottama systemaattinen tasogeometrian esitys julkaistiin n. 400 e.a.a. Nelj ¨ as vuosisata e.a.a. oli Platonin 6 aikaa. H ¨ an korosti ep ¨ asuoran todistuk- sen merkityst ¨ a; itse asiassa Sokrateen dialogit ovat ep ¨ asuoraa todistamista: osoite- taan v ¨ aite oikeaksi l ¨ ahtem ¨ all ¨ a liikkeelle p ¨ ainvastaisesta v ¨ aitteest ¨ a ja p ¨ a ¨ atym ¨ all ¨ a siit ¨ a mahdottomiin tai kelvottomiin johtop ¨ a ¨ at ¨ oksiin. Geometrian kannalta t ¨ arkein Pla- tonin oppilas oli Eukleides 7 , joka noin 300 e.a.a. julkaisi mahtavan 13-osaisen teok- sen Stoikheia (Alkeet), jossa h ¨ an k ¨ asitteli kreikkalaista geometriaa ja lukuteoriaa. Eukleideen aksiomaattinen esitystapa on nykyaikaisen matematiikan prototyyppi: siin ¨ a ei v ¨ aitteit ¨ a perustella mill ¨ a ¨ an mittauksilla tai piirroksilla, vaan ne todiste- taan oikeiksi loogisella p ¨ a ¨ attelyll ¨ a tietyist ¨ a perusolettamuksista l ¨ ahtien. Euklei- des perusti geometriansa viiteen perusolettamukseen eli aksioomaan. Esit ¨ amme 2 Johann Heinrich Lambert 1728–1777. Saksa. 3 Carl Louis Ferdinand von Lindemann 1852–1939. Saksa. 4 Mileton Thales n.640-546 eaa. Kreikka. 5 Samoksen Pythagoras n. 569–n. 475 eaa. Kreikka. 6 Platon n. 427–347 eaa. Kreikka. 7 Eukleides Aleksandrialainen n. 325–265 eaa. Egypti.
Transcript of I Historiaausers.jyu.fi/~juhaleh/geom2013/Geometria2008_print.pdf · I HISTORIAA 5 mainitse...
-
Las
siK
urit
tu,V
eli-M
atti
Hok
kane
nja
Lau
riK
ahan
pää1
GEO
MET
RIA
Sis
älly
s
IH
isto
riaa
2II
Hilb
erti
nak
sioo
maj
ärje
stel
mä
82.
1.A
ksio
maa
ttis
esta
men
etel
mäs
tä8
2.2.
Hilb
erti
nak
sioo
mat
(H1)
–(H
3)9
2.3.
Hilb
erti
nak
sioo
mat
(H4)
–(H
7)11
2.4.
Hilb
erti
nak
sioo
mat
(H8)
–(H
13)
252.
5.A
rkhi
med
een
aksi
oom
a43
Jana
mit
anko
nstr
ukti
o44
Kul
mam
itan
kons
truk
tio
512.
6.D
edek
indi
nak
sioo
ma
67II
IPar
alle
elia
ksio
oma
843.
1.A
lkee
llist
aeu
klid
ista
geom
etri
aa84
Euk
leid
een
viid
esak
sioo
ma
84V
uoro
kulm
atja
kolm
ion
kulm
asum
ma
86Y
hden
suun
tais
etja
sam
anm
uoto
iset
88P
ytha
gora
sja
trig
onom
etri
a94
Kol
mio
onlii
ttyv
ätpe
rusy
mpy
rät
98K
ehäk
ulm
at10
0K
olm
ion
ala
104
Cev
anla
use
105
3.2.
Väh
änke
hitt
ynee
mpä
äeu
klid
ista
geom
etri
aa11
1IV
Liik
keet
jaPoi
ncar
énm
alli
121
4.1.
Pei
lauk
set
121
Pei
laus
suor
ansu
htee
n12
1In
vers
ioym
pyrä
nsu
htee
n12
5P
iste
enpo
tens
siym
pyrä
nsu
htee
n13
5O
rtog
onaa
lisis
taym
pyrö
istä
137
4.2.
Poi
ncar
énm
alli
146
4.3.
Hyp
erbo
lista
geom
etri
aa14
64.
4.Lop
uksi
177
Hilb
erti
nta
soge
omet
rioi
den
aksi
oom
at17
8H
akem
isto
179
1c �
Lass
iK
uri
ttu
jaJyväsk
ylä
nyliopis
to.
Types
etbyA M
S-TEX
1
2G
EO
ME
TR
IA
IH
isto
riaa
Sana
geom
etri
aon
perä
isin
krei
kast
a,ge
o=
maa
,m
etre
in=
mit
ata.
Yks
ien
-si
mm
äisi
stä
geom
etri
sist
aon
gelm
ista
oli
ympy
rän
kehä
npi
tuud
en(2
πr)
mää
rit-
täm
inen
,si
isπ:n
likia
rvon
arvi
oint
i.B
abyl
onia
lais
etkä
ytti
vät
kaav
aa”k
ehä
=3×
halk
aisi
ja”
eli
π≈
3.M
yös
mui
nais
etju
utal
aise
tkä
ytti
vät
sam
aaπ:n
arvo
a;se
mai
nita
anjo
paR
aam
atus
sa(1
.K
unin
gast
enki
rja
7:28
),m
illä
peru
stee
llaR
abbi
Neh
emia
hin
myö
hem
piπ:n
likia
rvo
22 7≈
3.14
159
hylä
ttiin
.M
uina
iset
egyp
tiäi
set
käyt
tivä
tπ:ll
ear
viot
a(1
6 9)2
≈3.
1604
.M
atem
atiik
anka
nnal
tanä
issä
eril
ikia
rvoi
ssa
eiol
eol
eelli
sta
arvi
onta
rkku
usva
anse
oiva
llus,
että
kaik
enko
kois
issa
ympy
röis
säke
hän
jaha
lkai
sija
nsu
hde
ontä
smäl
leen
sam
a.(V
asta
vuon
na17
68Lam
bert
2
osoi
tti,
että
πei
ole
rati
onaa
liluk
u,ja
1882
Lin
dem
ann3
osoi
tti
sen
olev
antr
ans-
kend
entt
iluku
.)E
gypt
iläis
ten
geom
etri
aei
ollu
tva
rsin
aist
am
atem
atiik
kaa,
vaan
pike
mm
inki
nko
koel
ma
peru
stel
emat
tom
iaka
avoj
aja
lask
ulak
eja.
Josk
ushe
arva
siva
toi
kein
:he
osas
ivat
esim
erki
ksila
skea
puol
isuu
nnik
kaan
alan
jajo
paka
tkai
stun
pyra
mid
inti
lavu
uden
aiva
noi
kein
.Su
oran
kulm
aneg
ypti
läis
etvi
ritt
ivät
maa
stoo
npi
ngot
-ta
mal
lako
lmio
ksina
rule
nkin
,jo
hon
olim
erki
tty
kolm
en,ne
ljän
javi
iden
yksi
kön
pitu
iset
sivu
t.K
akso
isvi
rran
maa
nas
ukka
atol
ivat
egyp
tilä
isiä
aika
lais
iaan
etev
äm-
piä
lask
ijota
,m
ikä
osit
tain
joht
uihe
idän
käyt
täm
ästä
äner
inom
aise
sta
num
eroj
är-
jest
elm
ästä
.B
abyl
onia
lais
ettu
nsiv
atpa
rem
min
mat
emat
iikka
a,jo
paPyt
hago
raan
teor
eem
an(c
2=
a2
+b2
)yl
eise
ssä
muo
doss
a.K
uite
nkin
vast
akr
eikk
alai
set
astu
i-va
tra
tkai
seva
nas
kele
nko
htiny
kyai
kais
tam
atem
atiik
kaa
vaat
iess
aan,
että
lask
u-la
iton
jote
nkin
ylei
spät
eväs
tito
dis
tett
ava
sen
sija
an,
että
edet
täis
iinyr
ityk
sen
jaer
ehdy
ksen
tiet
ä.E
nsim
mäi
nen
tunt
emam
me
täm
änpe
rint
een
mat
emaa
tikk
ool
im
yös
krei
kkal
aise
nfil
osofi
anpe
rust
ajan
api
dett
yT
hale
s4,
jost
atu
liku
ului
saen
nust
ettu
aan
oike
inau
ring
onpi
men
nyks
enaj
anko
hdan
585
e.a.
a.Par
inse
uraa
van
vuos
isad
anjo
htav
iam
atem
aati
kkoj
aol
iP
ytha
gora
s5op
pila
inee
n.H
änol
ilä
hinn
äus
konn
ollin
enpr
ofee
tta,
jolle
luvu
n√
2os
oitt
autu
min
enir
rati
onaa
lisek
siol
isu
uri
järk
ytys
(tät
äva
aral
lista
tulo
sta
yrit
etti
inal
uksi
jopa
sala
ta).
Pyt
hago
rala
isen
kou-
luku
nnan
tuot
tam
asy
stem
aatt
inen
taso
geom
etri
anes
itys
julk
aist
iinn.
400
e.a.
a.N
eljä
svu
osis
ata
e.a.
a.ol
iP
lato
nin6
aika
a.H
änko
rost
iep
äsuo
ran
todi
stuk
-se
nm
erki
tyst
ä;it
seas
iass
aSo
krat
een
dial
ogit
ovat
epäs
uora
ato
dist
amis
ta:
osoi
te-
taan
väit
eoi
keak
silä
htem
ällä
liikk
eelle
päin
vast
aise
sta
väit
tees
täja
päät
ymäl
läsi
itä
mah
dott
omiin
taike
lvot
tom
iinjo
htop
äätö
ksiin
.G
eom
etri
anka
nnal
tatä
rkei
nP
la-
toni
nop
pila
sol
iEuk
leid
es7,j
oka
noin
300
e.a.
a.ju
lkai
sim
ahta
van
13-o
sais
ente
ok-
sen
Stoi
khei
a(A
lkee
t),jo
ssa
hän
käsi
ttel
ikr
eikk
alai
sta
geom
etri
aaja
luku
teor
iaa.
Euk
leid
een
aksi
omaa
ttin
enes
itys
tapa
onny
kyai
kais
enm
atem
atiik
anpr
otot
yypp
i:si
inä
eivä
itte
itä
peru
stel
lam
illää
nm
itta
uksi
llata
ipi
irro
ksill
a,va
anne
todi
ste-
taan
oike
iksi
loog
isel
lapä
ätte
lyllä
tiet
yist
äpe
ruso
lett
amuk
sist
alä
htie
n.E
ukle
i-de
spe
rust
ige
omet
rian
savi
itee
npe
ruso
lett
amuk
seen
eli
aksi
oom
aan.
Esi
täm
me
2Johann
Hein
ric
hLambert
1728–1777.
Saksa
.3C
arl
Louis
Ferdin
and
von
Lin
demann
1852–1939.
Saksa
.4M
ileton
Thales
n.6
40-5
46
eaa.K
reik
ka.
5Samokse
nPythagoras
n.569–n.475
eaa.
Kre
ikka.
6Platon
n.427–347
eaa.K
reik
ka.
7Eukleid
es
Aleksa
ndria
lain
en
n.325–265
eaa.E
gypti
.
-
IH
IST
OR
IAA
3
seur
aava
ksini
istä
neljä
ensi
mm
äist
äse
llais
inaa
nja
viid
enne
nhi
eman
muu
tetu
ssa
muo
doss
a,(E
A1)
-(E
A4)
,(P
A).
(EA
1)Jo
sP
jaQ
ovat
eripi
stei
tä,ni
inni
iden
kaut
taku
lkee
yksi
java
inyk
sisu
ora.
Mer
kitä
änpi
stei
den
Pja
Qka
utta
kulk
evaa
suor
aasy
mbo
lilla
←→
PQ
:tu
olla
isen
suor
anol
emas
saol
onja
yksi
käsi
ttei
syyd
enta
kaa
(EA
1).
Mää
rite
llään
jana
PQ
niid
ensu
oran
←→
PQ
pist
eide
njo
ukko
na,j
otka
ovat
pist
eide
nP
jaQ
välis
säpi
stee
tP
jaQ
muk
aan
luki
en.
PQ
PQ
PQ
PQ
Kuva
1:
Suora
jaja
na
(EA
2)Jo
sA
Bja
CD
ovat
kaks
ijan
aa,n
iinon
olem
assa
yksi
java
inyk
sipi
ste
Esi
ten,
että
BE
jaC
Dov
atsa
man
pitu
isia
jaB
onja
nalla
AE
.
AB
EC
D
Kuva
2:
Janan
jatkamin
en
Hav
ainn
ollis
esti
(EA
2)sa
noo,
että
jana
aA
Bvo
idaa
nja
tkaa
jana
nC
Dpi
tuis
ella
jana
lla.
Olk
oot
Oja
Pka
ksie
ripi
stet
tä.
Kai
kkie
nni
iden
pist
eide
nP
jouk
koa,
joill
eO
Pja
OA
ovat
sam
anpi
tuis
ia,
sano
taan
ympy
räks
i,jo
nka
kesk
ipis
teon
Oja
säde
onja
nan
OA
pitu
us.
AO
P
Kuva
3:
Ympyrä
(EA
3)Jo
sO
jaA
ovat
eripi
stei
tä,ni
inon
olem
assa
ympy
rä,jo
nka
kesk
ipis
teon
Oja
säde
onja
nan
OA
pitu
us.
Mui
taE
ukle
idee
nak
sioo
mia
vart
enta
rvit
aan
lisää
mää
rite
lmiä
.Puo
lisuo
ra−→ AB
(A�=
B)
onni
iden
suor
an←→
AB
pist
eide
nP
jouk
ko,jo
tka
kuul
uvat
jana
anA
Bta
ijo
ille
Bon
pist
eide
nA
jaP
välis
sä.
AB
AB
P
Kuva
4:
Puolis
uora
4G
EO
ME
TR
IA
Puo
lisuo
ria
−→ AB
ja−→ AC
sano
taan
vast
akka
isik
si,j
osne
eivä
tol
esa
moj
aja
←→
AB
=←→
AC
.
AB
CD
EF
AB
ja A
C o
vat v
asta
kkai
sia
ED
ja E
F ei
vät o
le v
asta
kkai
sia
Kuva
5:
Vast
akkais
et
puolis
uorat
Seur
aava
ksi
mää
ritt
elem
me
kulm
an:
Kul
ma
�BA
Cko
ostu
uka
hdes
tapu
oli-
suor
asta
−→ AB
ja−→ AC
,jo
tka
eivä
tol
esa
moj
aei
vätk
äva
stak
kais
ia.
Kul
maa
�BA
Cm
erki
tään
myö
s�C
AB
taily
hyes
ti�A
.P
iste
ttä
Asa
nota
anku
lman
�Akä
rjek
si
japu
olis
uori
a−→ AB
ja−→ AC
sen
kylji
ksi.
Jos
kahd
ella
kulm
alla
�BA
Dja
�CA
Don
yhte
inen
kylk
i−→ AD
japu
olis
uora
t−→ AB
ja−→ AC
ovat
vast
akka
isia
,ni
insa
nota
an,et
tä�B
AD
ja�C
AD
ovat
tois
tens
atä
yden
nysk
ulm
ia:
AB
D
C
Kuva
6:
Täydennysk
ulmat
Kul
maa
�BA
Dsa
nota
ansu
orak
siku
lmak
si,j
ossi
lläon
täyd
enny
skul
ma
�CA
D,
joka
onyh
täsu
uriku
inse
itse
:
AB
C
D
Kuva
7:
Suora
kulma
Huo
maa
,et
täsu
oran
kulm
antä
yden
nysk
ulm
aon
seki
nsu
ora
kulm
a.
(EA
4)K
aikk
isu
orat
kulm
atov
atyh
täsu
uria
.M
atem
aati
kot
hyvä
ksyi
vät
kahd
envu
osit
uhan
nen
ajan
näm
äne
ljäE
ukle
idee
nak
sioo
maa
(EA
1)-(
EA
4)vä
lttä
mät
töm
inä
tosi
asio
ina,
joit
aei
voiei
käta
rvit
seto
-di
staa
oike
iksi
mui
den
aksi
oom
ien
jalo
ogis
ten
päät
tely
sään
töje
nav
ulla
.Se
nsi
jaan
viid
enne
stä
Euk
leid
een
aksi
oom
asta
kesk
uste
ltiin
vilk
kaas
tiai
na18
00-luv
ulle
asti
.E
mm
evi
elä
esit
äsi
täE
ukle
idee
nal
keid
enkä
yttä
mäs
säsa
nam
uodo
ssa,
kosk
asi
lloin
tarv
itsi
sim
me
runs
aast
ilis
ääm
ääri
telm
iä,
vaan
esit
ämm
ese
nka
nssa
yhtä
pitä
vän
para
lleel
iaks
ioom
an(y
htäp
itäv
yyde
nto
dist
amm
em
yöhe
mm
in).
Euk
leid
esei
itse
-
IH
IST
OR
IAA
5
mai
nits
epa
ralle
elia
ksio
omaa
,va
anse
nes
itti
ensi
mm
äise
näva
sta
Pro
clus
8.
Sa-
nom
me,
että
suor
at�
jam
ovat
yhde
nsuu
ntai
sia,
jos
neei
vät
leik
kaa
tois
iaan
eli
niill
äei
ole
yhte
isiä
pist
eitä
.M
erki
tsem
me
sillo
in��
m,m
uullo
in���
m.
m
mm
m
Kuva
8:
Yhdensu
untais
uus
Huo
maa
,ett
ätä
män
mää
rite
lmän
muk
aan
suor
aei
ole
yhde
nsuu
ntai
nen
itse
nsä
kans
sa.
Täm
äou
dolt
atu
ntuv
ase
ikka
voit
aisi
inko
rjat
am
uutt
amal
lahi
eman
yhde
n-su
unta
isuu
den
mää
rite
lmää
,m
utta
osoi
ttau
tuu,
että
sem
onim
utka
ista
isi
joit
akin
mui
taas
ioit
a.Si
ksipi
däm
me
kiin
nitä
stä
hist
oria
llise
sta
mää
rite
lmäs
tä.
(PA
)Par
alleel
iaks
ioom
a.O
lkoo
n�
suor
aja
Ppi
ste,
joka
eiol
esu
oral
la�.
Täl
löin
onol
emas
sayk
sija
vain
yksi
suor
am
,jo
kaku
lkee
pist
een
Pka
utta
jajo
kaon
yhde
nsuu
ntai
nen
suor
an�
kans
sa.
mm'
P
Kuva
9:
Paralleelia
ksi
ooma
Par
alle
elia
ksio
oma
siis
taka
a,et
täpi
stee
nP
kaut
taku
lkee
suor
am
site
n,et
täm
��
jaen
nen
kaik
kea
myö
sse
n,et
täto
ista
tälla
ista
suor
aaei
ole.
Kuv
anti
lant
eess
aon
siis
vält
täm
ättä
m���
�.Par
alle
elia
ksio
oma
tunt
uulu
onno
llise
lta,
mut
tase
eiol
eai
van
sam
assa
mie
less
äilm
eine
nku
inm
uut
Euk
leid
een
aksi
oom
at:
(EA
1)-(
EA
3)vo
idaa
nin
tuit
iivis
esti
nähd
äoi
keik
siva
ikka
paha
rpill
aja
viiv
otti
-m
ella
;(E
A4)
onilm
eine
n,jo
shy
väks
ytää
nku
lman
mit
taam
inen
vaik
kapa
aste
le-
vyllä
.Par
alle
elia
ksio
oma
onto
ista
maa
ta:
toki
void
aan
piir
tää
suor
a,jo
kanä
yttä
äyh
dens
uunt
aise
lta
suor
an�
kans
sa,
mut
tam
iten
todi
stet
aan,
että
seto
della
onse
llain
en?
Mää
rite
lmän
muk
aan
olis
inä
htäv
ä,et
tä�
jam
eivä
tle
ikka
ato
isia
anla
inka
an,m
utta
sitä
void
aan
tutk
iava
inpa
peri
nla
itaa
nas
ti.
Ehk
äne
leik
kaav
atjo
ssak
inka
uem
pana
.Toi
nen
onge
lma
onsu
oran
myk
sikä
sitt
eisy
ys:
entä
pä,
jos
kuva
n9
�ja
m�ei
vät
sitt
enkä
änle
ikka
ato
isia
an,k
unha
nni
iden
välin
enku
lma
vain
onta
rpee
ksi
pien
i.N
ämä
seik
atlie
nevä
tol
leet
syyn
äsi
ihen
,et
täm
onet
mer
kit-
tävä
tm
atem
aati
kot
aset
tiva
tpa
ralle
elia
ksio
oman
kyse
enal
aise
ksi:
usko
ttiin
,et
täse
pitä
isi—
javo
itai
siin
—to
dist
aaoi
keak
sim
uide
nne
ljän
Euk
leid
een
aksi
oom
anav
ulla
.M
onia
todi
stus
yrityk
siä
teht
iin.
Käy
mm
elä
pini
istä
yhde
n,jo
nka
on17
00-
luvu
nlo
pulla
esit
täny
tA
drie
n-M
arie
Leg
endr
e9.
Olk
oon
pist
eP
suor
an�
ulko
puol
ella
.P
iirre
tään
P:n
kaut
tasu
oral
le�
norm
aali,
jonk
ani
mion
nja
joka
leik
kaa
suor
an�
pist
eess
äQ
.P
iirre
tään
edel
leen
n:ll
eP
:n
8Proclus
Dia
dochus
411–485.
Kre
ikka
9A
drie
n-M
arie
Legendre
1752–1833.
Ransk
a.
6G
EO
ME
TR
IA
kaut
tano
rmal
im
.Täl
löin
mja
�ov
atyh
dens
uunt
aisi
a,ko
ska
niill
äon
yhte
inen
norm
aali
n.
On
viel
äto
dist
etta
vam
:nyk
sikä
sitt
eisy
ys.
mP
P'
P''
s
Bn
R'
QA
R
Kuva
10:
Paralleellia
ksi
ooman
todis
tusk
o?
Olk
oon
siis
ssu
ora,
joka
kulk
eeP
:nka
utta
mut
taei
ole
m.
On
siis
osoi
tett
ava,
että
s��
�el
iet
täs
ja�
leik
kaav
atto
isen
sa.
Val
itaa
npi
stee
tP
�ja
P��
suor
alta
msi
ten,
että
Pon
niid
envä
lissä
.V
alit
aan
viel
äpi
ste
Rsu
oral
tas
site
n,et
täse
onjo
koku
lman
�P� P
Qta
i�P
�� PQ
sisä
llä(k
uvas
sam
me
siis
Rva
litaa
nsu
oran
mal
apuo
lelt
a).
Val
itaa
nlo
puks
ipi
ste
R�si
ten,
että
Rja
R�ov
ater
ipu
olill
asu
oraa
nja
lisäk
siku
lmat
�QP
Rja
�R� P
Qov
atyh
täsu
uria
,jo
lloin
pist
eQ
onku
lman
�RP
R�si
sällä
.Toi
saal
taQ
kuul
uusu
oral
le�,
jote
n�
onos
itta
inku
lman
�RP
R�
sisä
lläja
leik
kaa
siis
aina
kin
tois
enku
lman
�RP
R�ky
ljist
ä−→ PR
tai
−→ PR
� .
Jos
�le
ikka
aky
ljen
−→ PR
,ni
inse
leik
kaa
myö
ssu
oran
s,si
lläs
=←→
PR
(EA
1):n
noja
lla,
jaas
iaon
tällö
inse
lvä.
Voi
mm
esi
ten
olet
taa,
että
�le
ikka
aky
ljen
−→ PR
�
joss
akin
pist
eess
äA
.V
alit
aan
puol
isuo
ralt
a−→ PR
pist
eB
site
n,et
täja
natP
Aja
PB
ovat
yhtä
pitk
iä.
Oso
itet
aan
nyt,
että
Bku
uluu
suor
alle
�,m
istä
väit
ese
uraa
jälle
en(E
A1)
:nno
jalla
kute
nyl
lä.
Tar
kast
ella
anko
lmio
ita�
PB
Qja
�P
AQ
.N
iillä
onyh
tein
ensi
vuP
Qja
sivu
tP
Aja
PB
ovat
yhtä
pitk
iä.
Lis
äksi
näid
ensi
vuje
nvä
liset
kulm
at�B
PQ
ja�A
PQ
ovat
yhtä
suur
ia.
Sillo
inko
lmio
iden
muu
tkin
vast
insi
vut
ja-k
ulm
atov
atyh
täsu
uria
(”si
vu-k
ulm
a-si
vu-s
äänt
ö”).
Eri
tyis
esti
tällö
inku
lmat
�BQ
Pja
�AQ
Pov
atyh
täsu
uria
.K
oska
non
�:n
norm
aali,
niin
kulm
a�A
QP
onsu
ora.
Täl
löin
myö
s�B
QP
onsu
ora.
(Huo
maa
,et
tätä
mä
eisu
oraa
nse
uraa
(EA
4):s
tä).
Kos
kany
t�A
QP
ja�B
QP
ovat
mol
emm
atsu
oria
,ni
inpu
olis
uora
t−→ QP
ja−→ QA
ovat
vast
akka
isia
,jo
ten
←→
QB
=←→
QA
.K
oska
Aku
uluu
suor
alle
�,ni
in←→
QA
=�
jasi
ten
←→
QB
=�
jaer
ityi
sest
ipi
ste
Bku
uluu
suor
alle
�.M
.O.T
.M
ikä
vika
atä
ssä
todi
stuk
sess
aon
?Si
inä
onjo
ukko
mää
ritt
elem
ättö
miä
käsi
t-te
itä:
”nor
maa
li”,”
kulm
ansi
sällä
”,”e
ripu
olill
asu
oraa
”;to
kine
void
aan
mää
rite
llätä
smäl
lises
ti.
Per
uste
lem
atta
jäi:
(1)
Onk
osu
oral
laai
nano
rmaa
li,jo
kaku
lkee
anne
tun
pist
een
kaut
ta?
(2)
Ova
tko
suor
atyh
dens
uunt
aisi
a,jo
sni
illä
onyh
tein
enno
rmaa
li?(3
)V
oida
anko
P�ja
P��
valit
aai
nayl
läm
aini
tulla
tava
lla?
(4)
Voi
daan
koR
valit
aai
nayl
läm
aini
tulla
tava
lla?
(5)
Voi
daan
koR
�va
lita
aina
yllä
mai
nitu
llata
valla
?(6
)Lei
kkaa
ko�
vält
täm
ättä
aina
kin
tois
ta�R
PR
� :nky
ljist
ä?(7
)V
oida
anko
Bai
nava
lita
yllä
mai
nitu
llata
valla
?(8
)Pät
eekö
aina
sivu
-kul
ma-
sivu
-sää
ntö?
-
IH
IST
OR
IAA
7
(9)
Onk
o�B
QP
vält
täm
ättä
suor
a?
(10)
Ova
tko
−→ QB
ja−→ QA
vält
täm
ättä
vast
akka
isia
?K
ehit
ämm
ege
omet
rist
akä
sitt
eist
öäni
in,
että
voim
me
vast
ata
näih
inky
sy-
myk
siin
jasi
ten
tark
asta
a,on
koLeg
endr
e’in
todi
stus
päte
vä.
Oso
itta
utuu
,et
täyh
deks
ään
kysy
myk
seen
void
aan
vast
ata
myö
ntäv
ästi
,yh
teen
ei.
Seyk
sika
ataa
koko
todi
stuk
sen.
Par
haid
ensa
lapo
liisi
tari
noid
enpe
rint
eide
nm
ukai
sest
imur
haaj
apa
ljast
uuva
sta
lopu
ssa
—sy
yttö
miä
löyt
yypi
kkuh
iljaa
tari
nan
edet
essä
.
Kom
men
ttej
aEuk
leid
een
aksi
oom
ista
.(E
A1)
Mik
äon
pist
e,su
ora,
jana
?M
itä
tark
oitt
aa,e
ttä
suor
aku
lkee
jonk
inpi
stee
nka
utta
taiet
täyk
sipi
ste
onka
hden
muu
nvä
lissä
?(E
A2)
Mitä
tark
oitt
aa,et
täja
nat
ovat
sam
anpi
tuis
ia?
(EA
4)M
itä
tark
oitt
aaku
lmie
nyh
täsu
uruu
s?M
ikä
onsu
ora
kulm
a?N
ämä
asia
tka
ipaa
vatlä
hem
pää
tark
aste
lua.
Tod
ista
essa
ante
oree
moj
aan
(joi
tayh
-te
ensä
on46
5kp
l.)E
ukle
ides
harh
autu
itoi
sina
anku
vien
johd
atte
lem
ana
pitä
mää
njo
itak
inas
ioit
ait
sest
ääns
elvi
nähu
omaa
mat
tasi
täit
se.
Kuv
ioha
non
usei
noi
kein
hyvä
apu
todi
stuk
sen
keks
imis
elle
,mut
tato
dist
ukse
ssa
siih
enve
toam
inen
eiol
em
a-te
maa
ttis
esti
oike
ata
pa,ja
piir
rett
yku
vaon
sitä
pait
sito
isin
aan
harh
aanj
ohta
va,
sillä
seei
aina
kata
kaik
kia
mah
dolli
sia
tapa
uksi
a.It
seas
iass
aE
ukle
idee
nla
usee
tei
vät
tark
kaan
otta
ense
uraa
häne
nak
sioo
mis
taan
,vaa
nE
ukle
ides
pitä
äit
sest
ään-
selv
inä
eräi
täm
uita
kin
asio
ita
nim
eäm
ättä
niitä
erik
seen
.Jo
tta
nyky
aika
ises
sam
iele
ssä
tiuk
anm
atem
aatt
iset
todi
stuk
set
voit
aisi
inte
hdä,
täyt
yyE
ukle
idee
nsi
-nä
nsä
terv
että
aksi
oom
ajär
jest
elm
ääla
ajen
taa
jata
rken
taa.
Par
annu
sesi
tyks
iäon
luku
isia
;seu
raav
assa
tutu
stum
me
Hilb
ertin
aksi
oom
ajär
jest
elm
ään.
Hilb
ert1
0es
itti
aksi
oom
ansa
laaj
assa
teok
sess
aan
Gru
ndla
gen
der
Geo
met
rie
vuon
na19
02.
10D
avid
Hil
bert
1861–1943.
Saksa
8G
EO
ME
TR
IA
IIH
ilber
tin
aksi
oom
ajä
rjes
telm
ä
2.1.
Aksi
omaa
ttis
esta
men
etel
mäs
tä.
Mik
äon
mat
emaa
ttin
ento
dist
us?
Kui
nka
todi
stet
aan,
että
joki
nla
use
Ton
tosi
?So
vim
me,
että
Ton
todi
stet
tuoi
keak
si,
jos
onlö
ydet
tyyk
sita
ius
eam
pila
use
T� ,
jotk
ati
edet
ään
tode
ksi,
jajo
snä
istä
laus
eist
aT
�yh
dess
äse
uraa
laus
eT
ääre
llise
lläm
äärä
llälo
ogis
iapä
ätte
lyjä
.K
uten
mat
emaa
tiko
tyl
eens
äkin
(jos
-ka
anei
vät
aina
)ty
ydym
me
täss
äki
rjas
sain
tuit
ioom
me
siitä,
mit
käov
atlo
ogis
iapä
ätte
lyjä
elioi
keid
enpä
ätte
lysä
äntö
jen
oike
inso
velt
amis
ta.
Jott
ato
siks
iti
edet
-ty
jen
laus
eide
njo
ukko
olis
im
uuta
kin
kuin
koko
elm
ata
utol
ogio
ita
(esi
m.
”sat
aata
iei
sada
”)se
urau
ksin
een,
onol
etet
tava
joit
akin
laus
eita
tosi
ksi.
Niit
äsa
nota
anak
sioo
mik
siel
ise
lviö
iksi
.E
ukle
idee
llese
lviö
tol
ivat
itse
stää
nsel
väst
ito
sia,
niit
äei
tarv
innu
tpe
rust
ella
.N
iiden
koet
tiin
myö
sku
vaav
an”t
odel
lisuu
tta”
.N
ytte
mm
inse
lviö
tei
vät
olek
aan
aina
itse
stää
nsel
viä,
vaan
saat
tava
tab
stra
ktis
uude
ssaa
nva
i-ku
ttaa
intu
itio
stam
me
jako
kem
ukse
stam
me
irra
llisi
lta
taijo
pani
iden
vast
aisi
lta.
Hyp
erbo
lisen
geom
etri
anpa
ralle
elia
ksio
oma
onse
llain
en(”
suor
anul
kopu
olis
enpi
s-te
enka
utta
kulk
eeai
naki
nka
ksis
enka
nssa
yhde
nsuu
ntai
sta
suor
aa”)
.A
ksio
omie
npi
täm
inen
tosi
naon
myö
syh
äus
eam
min
vain
met
odol
ogis
ta:
halu
taan
rake
ntaa
teor
ia,j
oka
peru
stuu
joill
ekin
aksi
oom
ille,
min
käjä
lkee
nsi
tten
arvi
oida
anva
littu
jen
aksi
oom
ien
hyvä
ksyt
tävy
yttä
,hed
elm
ällis
yytt
äta
itot
uutt
ara
kenn
etun
teor
ian
pe-
rust
eella
.Jo
nkin
fysi
ikan
teor
ian
muo
dost
amin
enja
test
aam
inen
onyk
sies
imer
kki
tälla
ises
taaj
atte
luta
vast
a:jo
sjo
kin
seur
ausl
ause
onva
stoi
nha
vain
toja
,on
syyt
äep
äillä
aina
kin
jonk
inak
sioo
man
olev
anha
vain
noit
avas
sam
aailm
assa
epät
oden
.A
jatu
sak
sioo
mie
nm
etod
olog
ises
tato
tuud
esta
vie
viel
äpi
dem
mäl
le:
aksi
oom
illa
eita
rvit
seol
lato
tuus
arvo
a(t
osi,
epät
osi)
lain
kaan
,on
vain
jouk
kola
usei
ta,jo
ista
tiet
tyje
npä
ätte
lysä
äntö
jen
avul
lajo
hdet
aan
tois
iala
usei
ta.
Jos
mor
aalik
äsityk
siä
esit
etää
nak
siom
aatt
ises
ti,ol
laan
tälla
ises
sati
lant
eess
a,si
lläva
llits
evan
käsi
tyks
enm
ukaa
nm
oraa
liarv
oste
lmill
aei
ole
totu
usar
voa.
Yks
ittä
isiin
aksi
oom
iinei
sinä
nsä
kohd
istu
mitää
ner
ityi
svaa
tim
uksi
a,ku
nhan
peru
skäs
itte
et(”
pist
e”,”
suor
a”,.
..)ki
rjat
aan
niih
inse
lväs
ti.
Kel
volli
sia
aksi
oom
iaov
ates
im.
”jok
aise
llasu
oral
laon
tasa
nka
ksi
pist
että
”,”o
nol
emas
sasu
ora”
tai
”jok
aise
llasu
oral
laon
ääre
ttöm
änm
onta
pist
että
”,m
utta
näit
äko
lmea
laus
etta
eisa
aot
taa
aksi
oom
iksi
yhtä
aika
a,si
lläne
ovat
rist
iriid
assa
kesk
enää
nja
sil-
loin
niis
tävo
itai
siin
päät
ellä
loog
ises
tim
ikä
hyvä
nsä
laus
e.Teo
rian
kehi
ttel
yol
isi
mie
letö
ntä.
Aks
ioom
ajär
jest
elm
äntu
lee
siis
olla
rist
iriida
ton.
Ris
tiri
idat
tom
uu-
den
osoi
ttam
inen
eiol
eus
eink
aan
kovi
nhe
lppo
a,m
utta
esit
tele
mm
esi
ihen
kein
on—
mal
lien
käyt
täm
isen
.A
ksio
omik
siei
ylee
nsä
valit
ata
utol
ogio
ita,
vaan
sella
i-si
ala
usei
ta,
jotk
alo
giik
anka
nnal
tavo
ivat
olla
joko
tosi
ata
iep
ätos
ia.
Lei
bniz
11
käyt
tini
mitys
täm
ahdo
lline
nm
aailm
a.Lau
se”n
ytsa
taa”
onto
sita
iep
ätos
iri
ip-
puen
siitä,
olem
mek
ose
llais
essa
maa
ilmas
sa,jo
ssa
parh
ailla
ansa
taa;
jos
olis
imm
ehi
eman
tois
enla
ises
sam
aailm
assa
,jo
ssa
olis
iju
uriny
tta
rpee
ksien
emm
änta
ivä
-he
mm
änve
sihö
yryä
ilmas
sa,ol
isila
usee
n”n
ytsa
taa”
totu
usar
voto
inen
.N
ykyä
änja
erityi
sest
im
atem
atiik
assa
käyt
etää
nar
kise
mpa
ani
mitys
täm
alli
mah
tipo
ntis
en”m
ahdo
llise
nm
aailm
an”
sija
sta.
Jos
aksi
oom
ajär
jest
elm
ällä
oned
esyk
sim
alli,
joss
aka
ikki
sen
aksi
oom
atov
atto
sia,
onjä
rjes
telm
äri
stir
iida
ton.
Täm
änhu
omio
n
11G
ottfrie
dW
ilhelm
von
Leib
niz
1646–1716.
Saksa
-
IIH
ILB
ERT
INA
KSIO
OM
AJÄ
RJE
ST
ELM
Ä9
peru
stee
llanä
ytäm
me
pian
,ett
äne
ljäen
sim
mäi
stä
Euk
leid
een
aksi
oom
aaov
atri
s-ti
riid
atto
mia
kons
truo
imal
layh
den
konk
reet
tise
nm
allin
,jos
sane
kaik
kiov
atto
sia.
Myö
hem
min
rake
nnam
me
mal
lin,jo
ssa
muu
tkin
aksi
oom
atov
atto
sia
laus
eita
.Loo
gise
ssa
päät
tely
ssä
tosi
sta
olet
uksi
sta
eivo
ida
päät
yäep
ätos
iinjo
htop
ää-
töks
iin,j
oten
teor
ian
joka
inen
todi
stet
tute
oree
ma
onto
sijo
kais
essa
mal
lissa
,jo
ssa
teor
ian
aksi
oom
atov
atto
sia.
Täm
ähu
omio
autt
aato
isen
aksi
omaa
ttis
iinjä
rjes
tel-
miin
liitt
yvän
kysy
myk
sen
ratk
aise
mis
essa
:O
nko
aksi
oom
ajär
jest
elm
äky
llin
laaj
a,jo
tta
tiet
tyte
oree
ma
Tvo
itai
siin
siitä
todi
staa
?Jo
son
nist
utaa
nm
uodo
stam
aan
mal
li,jo
ssa
Ton
epät
osi,
vaik
kaka
ikki
järj
este
lmän
aksi
oom
atov
atto
sia,
eiT
:tä
täss
äjä
rjes
telm
ässä
void
ato
dist
aaoi
keak
si.
Aks
ioom
ajär
jest
elm
ien
tulis
imie
lellä
änol
lam
inim
aalis
iael
iniis
säei
ylee
nsä
ha-
luta
olev
an(a
inak
aan
mon
ia)tu
rhia
aksi
oom
ia:
josjo
kin
aksi
oom
avo
idaa
npä
ätel
läm
uist
aak
sioo
mis
ta,
onty
ylik
kääm
pää
nim
etä
sete
oree
mak
siku
inak
sioo
mak
si.
Par
alle
elia
ksio
omas
takä
ydys
säke
skus
telu
ssa
oli
kyse
Euk
leid
een
aksi
oom
ajär
jes-
telm
änm
inim
aalis
uude
sta
jasi
isep
äeuk
lidis
en,
tark
emm
insa
noen
hype
rbol
isen
,ge
omet
rian
rist
iriid
atto
muu
dest
a.A
ksio
omat
sisä
ltäv
ätpe
rusk
äsitte
itä
(kut
en”s
uora
”,”p
iste
”,...
),jo
ita
eiek
s-pl
isiit
tise
stim
ääri
tellä
.Toi
sina
ansa
nota
an,e
ttä
aksi
oom
ajär
jest
elm
ä”m
ääri
ttel
eene
impl
isiit
tise
sti”
.N
äide
npe
rusk
äsit
teid
enav
ulla
mää
rite
llään
kaik
kim
uutta
rvit
-ta
vat
käsi
ttee
t(e
sim
.su
orak
ulm
aine
nko
lmio
),jo
tka
loog
isel
taka
nnal
taov
atva
innä
ppär
iäly
henn
ysm
erki
ntöj
äpe
rusk
äsit
teid
enko
mpl
ekse
ille.
2.2.
Hilber
tin
aksi
oom
at(H
1)–(
H3)
.
Täs
sälu
vuss
ata
rkas
tele
mm
eko
lmea
ensi
mm
äist
äH
ilber
tin
aksi
oom
ajär
jest
el-
män
selv
iötä
.Per
uskä
sitt
eet
ovat
pist
e,su
ora
jasu
ora
kulk
eepi
stee
nka
utta
.Il-
mai
sulla
”pis
teP
sisä
ltyy
suor
aan
�”ta
rkoi
tam
me
sam
aaku
insa
noes
sam
me,
että
suor
a�
kulk
eepi
stee
nP
kaut
ta.
Päi
nvas
tais
enilm
aise
mm
esa
nom
alla
,et
täP
onsu
oran
�ul
kopu
olel
la.
Pis
teen
jasu
oran
välis
enre
laat
ion
eita
rvit
seol
lasa
ma
kuin
jouk
ko-o
pin
P∈
l.R
iittä
ä,et
täse
tote
utta
aH
ilber
tin
aksi
oom
at.1
2
Kol
me
ensi
mm
äist
äH
ilber
tin
aksi
oom
aaov
at:
(H1)
Jos
Pja
Qov
ater
ipis
teitä,
niin
onol
emas
sayk
sija
vain
yksi
suor
a,jo
kaku
lkee
sekä
P:n
että
Q:n
kaut
ta.
(H2)
Joka
isee
nsu
oraa
nsi
sältyy
aina
kin
kaks
ipi
stet
tä.
(H3)
On
olem
assa
kolm
eer
ipi
stet
täsi
ten,
että
mik
ään
suor
aei
kulje
niid
enka
ikki
enka
utta
.E
nsim
mäi
nen
Hilb
erti
nak
sioo
ma
onsi
isai
van
sam
aku
in(E
A1)
.Jo
sP
jaQ
ovat
erip
iste
itä,
niin
(H1)
:nno
jalla
void
aan
anta
ani
mis
ille
yhde
lleja
aino
alle
suor
alle
,
joka
kulk
eeni
iden
kaut
ta.
Olk
oon
se←→
PQ
.So
vita
anlis
äksi
,et
täjo
ski
rjoi
tam
me
←→
PQ
,ni
inol
etam
me
sillo
insa
mal
laet
täP
�=Q
.K
olm
anne
sta
Hilb
erti
nak
sioo
mas
tase
uraa
,et
täon
olem
assa
pist
eitä
.Täs
täse
uraa
(H1)
:nno
jalla
,et
täon
olem
assa
myö
ssu
oria
.Tät
äpä
ätte
lyä
eiE
ukle
idee
nak
sioo
mis
tavo
ite
hdä.
12A
ksi
oom
at
eivät
ollen
kaan
liity
siih
en,m
itä
suora
tja
pis
teet
”ovat”
.A
ksi
oom
asy
stee
mim
me
mallis
savoiv
at
pis
teet
kyllä
olla
alk
ioit
aja
suora
tniiden
joukkoja
—ja
use
inm
allinäin
tehdään-
kin
.E
sim
erkkej
ätu
lee
tuonnem
pana.
10
HIL
BE
RT
INA
KSIO
OM
AT
(H1)–
(H3)
Nyt
onai
kaky
syä,
ovat
koko
lme
ensi
mm
äist
äH
ilber
tin
aksi
oom
aake
sken
ään
rist
iriid
atto
mia
.K
äytä
mm
em
alle
ja.
Hae
mm
esi
ised
esyh
täm
ahdo
llist
am
aail-
maa
,jo
ssa
(H1)
–(H
3)ov
atto
sia.
Ole
tam
me
tunn
etui
ksijo
ukko
-opi
npe
rust
eet
jalu
kujo
ukko
jen
Rja
Rn
omin
aisu
udet
.
Mal
li1.
Tar
kast
ella
anko
lmen
eria
lkio
njo
ukko
a{A
,B,C
}.So
vita
an,e
ttä
pist
eitä
ovat
P1
={A
,B},
P2
={A
,C}
jaP
3=
{B,C
}se
käsu
oria
� 1=
{A},
� 2=
{B}
ja� 3
={C
}.Sa
nom
me,
että
suor
a�
kulk
eepi
stee
nP
kaut
ta,jo
s�⊂
P.
Täl
löin
(H1)
päte
e:pi
stei
den
P1
jaP
2ka
utta
kulk
eesu
ora
� 1ja
seon
aino
atä
llain
ensu
ora.
Mui
llepi
step
arei
llevo
idaa
nte
hdä
vast
aava
hava
into
.M
yös
(H2)
päte
e:pi
stee
tP
1ja
P2
ovat
suor
alla
� 1ja
vast
aava
stim
yös
suor
illa
� 2ja
� 3on
kaks
ipi
stet
tä.
Lop
uksi
(H3)
päte
e:m
ikää
nsu
oris
ta� 1
,�2
ja� 3
eiku
ljeka
ikki
enko
lmen
pist
een
P1,
P2
jaP
3ka
utta
.N
äin
kaik
kiko
lme
Hilb
erti
nak
sioo
maa
tote
utuv
at,
jote
nol
emm
eon
nist
unee
tko
nstr
uoim
aan
mal
linak
sioo
maj
ärje
stel
mäl
le(H
1)–(
H3)
.Tät
enak
sioo
mat
(H1)
–(H
3)ov
atri
stir
iidat
tom
ia.
Mal
li2.
Tar
kast
ella
anyh
äm
allin
1jo
ukko
a,m
utta
sovi
taan
—eh
kävä
hän
edel
-lis
täes
imer
kkiä
tutu
mm
alla
tava
lla—
että
pist
eitä
ovat
{A},
{B}
ja{C
},et
täsu
oria
ovat
{A,B
},{A
,C}
ja{B
,C}
jaet
täsu
ora
�ku
lkee
pist
een
Pka
utta
,jo
sP
⊂l.
Täl
löin
kin
kolm
een
sim
mäi
stä
Hilb
erti
nak
sioo
maa
tote
utuv
at(T
otea
!).
Täs
täm
allis
tavo
idaa
npi
irtä
äku
vaki
n:
AB
C
Kuva
11:
Malli2
Mal
li3.
Tar
kast
ella
anne
ljän
erip
iste
enjo
ukko
a{A
,B,C
,D}.
Sovi
taan
,ett
äpi
s-te
itä
ovat
{A},
{B},
{C}j
a{D
}sek
äsu
oria
jouk
ot{A
,B},
{A,C
},{A
,D},
{B,C
},{B
,D}j
a{C
,D}s
ekä
että
suor
anku
lkem
inen
pist
een
kaut
tata
rkoi
ttaa
sam
aaku
inm
allis
sa2.
Täl
löin
kin
kolm
een
sim
mäi
stä
Hilb
erti
nak
sioo
maa
päte
vät
(Tot
ea!)
.
Mal
li4.
Kut
enm
alli
3m
utta
5pi
stee
lle.
Mal
li5.
(Des
cart
esin
koor
dina
atti
geom
etri
a)O
lkoo
t(k
oord
inaa
ttig
eom
etri
an)
pist
eet(x
,y)∈
R2
ja(k
oord
inaa
ttig
eom
etri
an)
suor
at
{(x,y
)∈
R2
� �(x
,y)
=(x
0,y
0)+
λ(α
,β),
λ∈
R},
,m
issä
(α,β
),(x
0,y
0)∈
R2,(α
,β)�=
(0,0
).Su
ora
�ku
lkee
pist
een
Pka
utta
,jo
sP
∈l.
Lin
eaar
ialg
ebra
nti
edoi
nos
oitt
autu
u,et
tä(H
1)–(
H3)
päte
vät
(Tot
ea!)
.
Mää
rite
lmä
2.1.
Olk
oot
�ja
msu
oria
.N
iitä
sano
taan
yhde
nsuu
ntai
siks
i,jo
sei
ole
pist
että
,jo
nka
kaut
tane
mol
emm
atku
lkev
at.
Mer
kits
emm
etä
llöin
��
m,
muu
lloin
���
m.
-
IIH
ILB
ERT
INA
KSIO
OM
AJÄ
RJE
ST
ELM
Ä11
Huo
maa
,ett
äku
nki
rjoi
tam
me
��
m,n
iinsi
lloin
ilmai
sem
me
myö
set
t�=
m.
Täm
äjo
htuu
aksi
oom
asta
(H2)
.
Tar
kast
ella
anm
alle
issa
1-4
suor
ien
yhde
nsuu
ntai
suut
taja
edel
lises
sälu
vuss
am
aini
ttua
para
lleel
iaks
ioom
aa(P
AR
).M
allis
sa1
suor
an� 1
={A
}ul
kopu
olel
laon
vain
pist
eP
3=
{B,C
}.Se
nka
utta
kulk
evat
vain
suor
at� 2
={B
}ja
� 3=
{C}.
� 2ku
lkee
suor
an� 1
pist
een
P1
kaut
ta;�
3ku
lkee
suor
an� 1
pist
een
P2
kaut
ta.
Site
n� 1
eiol
eyh
dens
uunt
aine
n� 2
:nei
kä� 3
:nka
nssa
.Par
alle
elia
ksio
oma
onm
allis
sa1
epät
osi—
mal
lissa
eiol
eol
lenk
aan
yhde
nsuu
ntai
sia
suor
ia.
Mal
lissa
2kä
ysa
moi
n,si
inäk
ään
eiol
eyh
dens
uunt
aisi
asu
oria
lain
kaan
(Tot
ea!)
.M
allis
sa3
para
lleel
iak-
sioo
ma
päte
e(T
otea
!).
Mal
lissa
4su
oran
ulko
puol
ella
olev
anpi
stee
nka
utta
kulk
eepe
räti
kaksi
sen
kans
sayh
dens
uunt
aist
asu
oraa
(Tot
ea!)
.
Huom
autu
s1.
Löy
sim
me
mal
lin,j
ossa
para
lleel
iaks
ioom
aei
päde
jato
isen
,jos
sase
päte
e.Si
ten
aksi
oom
ajär
jest
elm
ä(H
1)–(
H3)
onlii
ansu
ppea
,jo
tta
para
llelli
ak-
sioo
ma
taise
npä
tem
ättö
myy
svo
itai
siin
siin
äto
dist
aa.
Mää
rite
lmä
2.2.
Sano
mm
e,et
täm
allil
laon
(1)
ellip
tine
npa
ralle
elio
min
aisu
us,jo
ssi
inä
eiol
eyh
dens
uunt
aisi
asu
oria
,(2
)eu
klid
inen
para
lleel
iom
inai
suus
,jo
ssi
inä
para
lleel
iaks
ioom
apä
tee,
(3)
hype
rbol
inen
para
lleel
iom
inai
suus
,jo
sjo
kais
tasu
oraa
�ja
sen
ulko
puol
ista
pist
että
Pko
hti
onol
emas
saai
naki
nka
ksi
suor
aa,
jotk
aov
atyh
dens
uun-
tais
iasu
oran
�ka
nssa
jaku
lkev
atP
:nka
utta
.
Seur
aava
tla
usee
tsa
adaa
nvä
littö
mäs
tiko
lmes
taen
sim
mäi
sest
äH
ilber
tin
aksi
oo-
mas
ta.
Jätä
mm
eni
iden
todi
stam
isen
harj
oitu
steh
tävä
ksi.
LA
USE
2.2.
1.O
lkoot
�ja
mer
isu
oria
,jo
tka
eivä
tol
eyhden
suunta
isia
.Sillo
inon
ole
mas
satä
smäl
leen
yksi
pis
te,jo
nka
kautt
ase
kä�
että
mkulk
evat
.
Suor
atei
vät
siis
voiol
latä
män
näkö
isiä
:
m
Kuva
12:
Oudot
suorat
LA
USE
2.2.
2.Jok
aise
nsu
oran
ulk
opuole
lla
on
ainak
inyksi
pis
te.
LA
USE
2.2.
3.Jos
Pon
mie
liva
ltain
enpis
te,niin
onol
emass
aai
nakin
yksi
suor
a,jo
hon
Pei
sisä
lly.
LA
USE
2.2.
4.Jok
aise
npis
teen
kautt
akulk
eeai
nakin
kaksi
erisu
ora
a.
2.3.
Hilber
tin
aksi
oom
at(H
4)–(
H7)
.
Tar
kast
ella
anse
uraa
vaa
”tod
istu
sta’
”,jo
llayr
itet
ään
näyt
tää,
että
tasa
kylk
isen
kolm
ion
kant
akul
mat
ovat
yhtä
suur
et.
Olk
oon�
AB
Cko
lmio
site
n,et
täja
natA
Cja
BC
ovat
yhtä
suur
etel
iA
C=
BC
.Väi
te.
�A=
�B.
12
HIL
BE
RT
INA
KSIO
OM
AT
(H4)–
(H7)
Tod
istu
s.Val
itaa
nsu
ora
�,jo
kapu
olit
taa
kulm
an�C
.Lei
katk
oon
sesu
oraa
←→
AB
pist
eess
äD
.Täl
löin
kolm
ioill
a�
AC
Dja
�C
DB
onyh
tein
ensi
vuC
D,�A
CD
=�D
CB
(kul
man
puol
itta
jan
omin
aisu
us)
jaA
C=
CB
(ole
tus)
,jo
ten
sivu
-kul
ma-
sivu
-sää
nnön
noja
llako
lmio
issa
kaik
kiva
stin
sivu
tja
-kul
mat
ovat
yhtä
suur
ia,
erityi
sest
i�A
=�B
.�
A
C
B
D
Kuva
13:
”Tasa
kylkin
en
kolmio
”
Kom
men
ttej
a.M
ikä
onko
lmio
,m
ikä
kulm
anpu
olit
taja
?N
ämä
void
aan
toki
mää
rite
llä.
Onk
oku
lman
puol
itta
jasi
tten
olem
assa
?Lei
kkaa
kose
vält
täm
ättä
suor
aa←→
AB
.O
nko
sivu
-kul
ma-
sivu
-sää
ntö
voim
assa
?N
äihi
nky
sym
yksi
invo
i-da
anva
stat
am
yönt
eise
sti,
kute
nm
yöhe
mm
inte
emm
e,m
utta
todi
stuk
sess
aon
viel
äyk
siau
kko,
joka
joht
uuku
vios
taka
tsom
ises
ta:
mis
täti
edäm
me,
että
pist
eD
onpi
stei
den
Aja
Bvä
lissä
?E
ihän
ole
mit
ään
tiet
oa,
min
känä
köis
iäsu
orat
ovat
;ti
lann
ehan
vois
inä
yttä
äva
ikka
pase
uraa
valt
a:
A
C
BD
AB
Kuva
14:
Tasa
kylkin
en
kolmio
ko?
Mik
äon
nyt
kolm
io�
AD
C?
Täs
säjo
udut
aan
vaik
euks
iin!
Aks
ioom
at(H
1)–(
H3)
eivä
tri
itä
estä
mää
ntä
män
tapa
iste
nti
lant
eide
nsy
ntym
istä
,jo
ten
tarv
itse
mm
elis
ääak
sioo
mia
jauu
den
peru
skäs
itte
envä
lissä
olo.
Mer
kitä
änA∗B
∗Cja
luet
aan
se”p
iste
Bon
pist
eide
nA
jaC
välis
sä”.
Täm
änkä
sitt
een,
yhde
ssä
jokä
yttö
önot
ettu
jen
käsi
ttei
den
(suo
ra,p
iste
,kul
kee
kaut
ta)ka
nssa
,tul
eeto
teut
taa
(H1)
–(H
3)ja
seur
aava
tvä
lissä
oloa
ksio
omat
(H4)
–(H
7):
(H4)
Jos
A∗B
∗C,
niin
A,
Bja
Cov
ater
ipi
stei
tä,
joid
enka
ikki
enka
utta
kulk
eesa
ma
suor
aja
C∗B
∗A.
Esi
mer
kki1.
Tar
kast
ella
anvi
elä
mal
lia5
elik
oord
inaa
ttit
ason
pist
eitä
jasu
oria
.So
vita
an,
että
pist
eille
A=
(a1,a
2),
B=
(b1,b
2)
jaC
=(c
1,c
2)∈
R2
päte
eA∗B
∗C,j
oson
olem
assa
(x0,y
0)∈
R2,(
α,β
)∈
R2
�{(
0,0)}
jaλ,µ
,ν∈
Rsi
ten,
että
λ<
µ<
νta
iλ
>µ
>ν
ja
(a1,a
2)
=(x
0,y
0)+
λ(α
,β),
(b1,b
2)
=(x
0,y
0)+
µ(α
,β),
(c1,c
2)
=(x
0,y
0)+
ν(α
,β).
-
IIH
ILB
ERT
INA
KSIO
OM
AJÄ
RJE
ST
ELM
Ä13
Täl
löin
(H4)
onvo
imas
sa(T
otea
!).
A
B
C
(x ,
y ) (
,
)
oo
Kuva
15:
Suora
koordin
aattit
aso
ssa
Esi
täm
me
seur
aava
ksika
ksiH
ilber
tin
aksi
oom
aalis
ää:
(H5)
Jos
Aja
Bov
ater
ipi
stei
tä,ni
insu
oral
la←→
AB
onpi
stee
tC
,D
jaE
site
n,et
täC
∗A∗B
,A∗D
∗Bja
A∗B
∗E.
Huom
autu
s2.
Aks
ioom
a(H
5)ta
kaa,
ette
isu
ora
←→
AB
päät
ypi
stee
seen
Ata
iB
eikä
ole
tyhj
äni
iden
välil
lä:
AB
CE
DA
B
Kuva
16:
Välis
säoloaksi
ooma
(H5)
Aks
ioom
asta
(H3)
seur
aa,
että
kaik
enka
ikki
aan
onol
emas
savä
hint
ään
kolm
epi
stet
tä.
Aks
ioom
at(H
4)ja
(H5)
taka
avat
,ett
äjo
kais
ella
suor
alla
onai
naki
nko
lme
pist
että
(ja
yhte
ensä
siis
aina
kin
seit
sem
än).
Siks
im
allit
1-4
eivä
tto
teut
aak
si-
oom
aa(H
5),so
vitt
iinvä
lissä
olem
inen
mit
enta
hans
a.Toi
saal
taak
sioo
mat
(H1)
–(H
5)ei
vätvi
elä
taka
a,et
täm
illää
nsu
oral
laol
isie
nem
-m
änku
innu
oko
lme
pist
että
.A
ksio
omas
sa(H
5)pi
stee
tC
,Dja
Evo
ivat
nim
ittä
inol
lake
sken
ään
sam
oja.
Suor
aan
aksi
oom
aa(H
5)va
staa
nri
kkom
atta
voim
ääri
tellä
välis
säol
onva
ikka
site
n,et
täA∗B
∗Cai
na,k
unA
,B
jaC
ovat
erip
iste
itä
mal
linsa
mal
lasu
oral
la.
Vas
tase
uraa
vana
esit
eltä
väak
sioo
ma
(H6)
estä
äsu
oria
olem
asta
kuva
n17
muk
aisi
ale
nkku
ja,k
unku
vass
avä
lissä
olo
tulk
itaa
nni
in,e
ttä
kuki
npi
ste
onka
hden
muu
nvä
lissä
.V
älis
säol
oaks
ioom
a(H
6)te
kee
site
nse
lvän
eron
esim
er-
kiks
ipa
lloge
omet
riaa
n,jo
ssa
suor
ien
rool
issa
ovat
isoy
mpy
rät.
AB
C
Kuva
17:
Eisu
ora
(H6)
Jos
A,B
jaC
ovat
erip
iste
itä,
jotk
aku
uluv
atsa
mal
lesu
oral
le,n
iinyk
sija
vain
yksi
seur
aavi
sta
ehdo
ista
onvo
imas
sa:
A∗B
∗C,
A∗C
∗Bta
iB
∗A∗C
.
14
HIL
BE
RT
INA
KSIO
OM
AT
(H4)–
(H7)
Esi
mer
kin
5m
alli,
tava
lline
nko
ordi
naat
tige
omet
ria,
tote
utta
aak
sioo
mat
(H5)
ja(H
6).
(Tot
ea!)
Aks
ioom
ista
(H1)
–(H
6)se
uraa
,et
täjo
kais
ella
suor
alla
onai
naki
nvi
isipi
stet
tä,
mut
tani
istä
kään
eivi
elä
seur
aa,
että
mill
ään
suor
alla
tai
edes
koko
mal
lissa
tar-
vits
isiol
laää
rett
ömän
mon
tapi
stet
tä.
On
mie
lenk
iinto
inen
harj
oitu
steh
tävä
muo
-do
staa
ääre
lline
nm
alli
aksi
oom
ille
(H1)
–(H
6).
Mää
rite
lmä
2.3.
Olk
oot
Aja
Ber
ipi
stei
tä.
(1)
Jouk
koa AB
:=
{Con
pist
e� �A∗C
∗Bta
iC
=A
taiC
=B}
sano
taan
pist
eide
nA
jaB
välis
eksi
jana
ksiel
ija
naks
iA
B.
(2)
Puo
lisuo
raks
ipi
stee
stä
Api
stee
nB
suun
taan
sano
taan
jouk
koa
−→ AB
=A
B∪{C
onpi
ste
� �A∗B
∗C}.
AB
AB
AB
AB
Kuva
18:
Jana
japuolis
uora
Huom
autu
s3.
Aks
ioom
an(H
4)no
jalla
AB
=B
A.
Kun
kirj
oita
mm
eA
Bta
i−→ AB
,sa
nom
me
sam
alla
,et
täA
jaB
ovat
eripi
stei
tä.
LA
USE
2.3.
1.O
lkoot
Aja
Ber
ipis
teitä.
Sillo
in
(a)
−→ AB
∩−→ B
A=
AB
(b)
−→ AB
∪−→ B
A=
{P� �←→
AB
kulk
eepis
teen
Pka
utt
a}.
Huom
autu
s4.
Koh
dass
a(b
)ei
voit
uki
rjoi
ttaa
lyhy
esti
−→ AB
∪−→ B
A=
←→
AB
,si
lläed
ellin
enon
aina
pist
eide
njo
ukko
,mitä
suor
aei
Hilb
erti
njä
rjes
telm
änm
ukai
sess
aak
siom
aatt
ises
sage
omet
rias
saol
e;ve
rtaa
esim
erkk
iin1.
Tod
istu
s.(a
).P
uolis
uora
nm
ääri
telm
änja
huom
autu
ksen
3no
jalla
−→ AB
∩−→ B
A=
�A
B∪{C
� �A∗B
∗C}�
∩�B
A∪{C
� �C
∗A∗B
}�=
=A
B∪
�{C
� �A∗B
∗C}∩
{C� �C
∗A∗B
}�=
=A
B∪{C
� �A∗B
∗Cja
C∗A
∗B}
(∗) =A
B∪∅
=A
B.
Täs
säm
uut
yhtä
löt
ovat
help
poa
jouk
ko-o
ppia
pait
siyh
tälö
(∗),
joka
seur
aasi
itä,
etä
(H6)
:nno
jalla
eivo
iol
lase
käA∗B
∗Cet
täC
∗A∗B
.
(b),
”⊂”.
(H1)
:nno
jalla
A:n
jaB
:nka
utta
kulk
eeva
insu
ora
←→
AB
,jol
loin
(H4)
:n
japu
olis
uora
nm
ääri
telm
anm
ukaa
n−→ B
A⊂
{P� �
←→
AB
kulk
eeP
:nka
utta}.
Sam
oin
-
IIH
ILB
ERT
INA
KSIO
OM
AJÄ
RJE
ST
ELM
Ä15
−→ AB
⊂{P
� �←→
BA
kulk
eeP
:nka
utta}.
Site
n−→ AB∪
−→ BA
⊂{P
� �←→
AB
kulk
eeP
:nka
utta}.
(b)
”⊃”
Olk
oon
Ppi
ste,
jonk
aka
utta
suor
a←→
AB
kulk
ee.
On
osoi
tett
ava,
että
P∈
−→ AB
∪−→ B
A.
Jos
P=
Ata
iP
=B
,on
asia
selv
ä.Jo
sP
�=A
jaP
�=B
,ni
in(H
6):n
noja
llajo
koP
∗A∗B
,A∗P
∗Bta
iA∗B
∗P.
Kah
dess
aen
sim
mäi
-
sess
äta
pauk
sess
aja
nan
japu
olis
uora
nm
ääri
telm
änm
ukaa
nP
∈−→ B
A⊂
−→ AB∪
−→ BA
.
Viim
eise
ssä
tapa
ukse
ssa
puol
isuo
ran
mää
rite
lmän
muk
aan
P∈
−→ AB
⊂−→ AB
∪−→ B
A.
� Mää
rite
lmä
2.4.
Puo
lisuo
ria
−→ AB
ja−→ AC
sano
taan
vast
akka
isik
si,jo
sB
∗A∗C
.
AB
C
Kuva
19:
Vast
akkais
et
puolis
uorat
−→ AB
ja−→ AC
Kuv
asta
kats
oen
näyt
täis
iilm
eise
ltä,
että
joka
inen
suor
an←→
BC
pist
eku
ului
sijo
ko
puol
isuo
raan
−→ AB
tai
−→ AC
.N
äin
eiku
iten
kaan
viel
äak
sioo
mie
n(H
1)–(
H6)
noja
llata
rvit
seol
la,va
anon
olem
assa
mal
li,jo
kato
teut
taa
aksi
oom
at(H
1)–(
H6)
,m
utta
joss
asu
oral
la←→
BC
onm
uita
kin
pist
eitä
,kui
npu
olis
uori
en−→ AB
ja−→ AC
pist
eet.
Mal
linko
nstr
uoim
inen
jäte
tään
harj
oitu
steh
tävä
ksi.
Täl
lais
ten
ihm
eelli
syyk
sien
vält
täm
i-se
ksita
rvit
sem
me
uude
nak
sioo
man
,jo
nka
pitä
isivä
ittä
äsu
unni
lleen
,et
tä”j
okai
-ne
nsu
oran
pist
eja
kaa
sen
kaht
een
puol
isuo
raan
”.A
seta
mm
etu
levi
ata
rpei
tam
me
vart
enhi
eman
vahv
emm
anak
sioo
man
,jok
aol
enna
ises
tisa
noo,
että
joka
inen
suor
aja
kaa
taso
nka
htee
npu
olit
asoo
n.
Mää
rite
lmä
2.5.
Olk
oon
�su
ora
jaA
jaB
pist
eitä
,jo
iden
kaut
ta�
eiku
lje.
Sa-
nom
me,
että
Aja
Bov
atsa
mal
lapu
olel
lasu
oraa
�ja
mer
kits
emm
eA
B�
taiB
A�,
jos
A=
Bta
isu
ora
�ei
sisä
lläja
nan
AB
pist
eitä
.M
uuss
ata
pauk
sess
asa
nom
me,
että
Aja
Bov
ater
ipu
olilla
suor
aa�
jam
erki
tsem
me
B�A
taiA
�B.
AB
C
Kuva
20:
AB
�ja
A�C
Huom
autu
s5.
Siis
A�B
,jo
sja
vain
jos
�le
ikka
aja
naa
AB
,m
utta
eise
npä
äte-
pist
eiss
ä.
(H7)
Olk
oot
�su
ora
sekä
A,B
jaC
pist
eitä
,joi
den
kaut
tasu
ora
�ei
kulje
.Täl
löin
onvo
imas
sa:
(i)
jos
AB
�ja
BC
�,ni
inA
C�
(ii)
jos
A�B
jaB
�C,ni
inA
C�.
16
HIL
BE
RT
INA
KSIO
OM
AT
(H4)–
(H7)
A
CB
AC
B
Kuva
21:
Aksi
ooma
(H7)
Esi
mer
kki
2.E
sim
erki
n1
mal
li(k
oord
inaa
ttit
ason
suor
atja
pist
eet)
tote
utta
aak
sioo
man
(H7)
.Se
nto
team
inen
suor
aan
lask
emal
laon
kuit
enki
nha
nkal
aa,m
utta
linea
aria
lgeb
ran
tied
oilla
taso
nsi
irro
ista
jaki
erro
ista
void
aan
mie
lival
tain
enti
lann
epa
laut
taa
sella
isek
si,et
täta
rkas
telt
ava
suor
aon
x-a
ksel
i.Tok
itäs
säm
allis
sa(H
7)on
intu
itiiv
ises
tiai
van
selv
ä.
Esi
mer
kki3.
Mer
kitä
än
S=
{a 2n
� �a∈
Z,n
∈N}⊂
R.
Jouk
onS
alki
otov
atsi
islu
vut,
joid
enes
ittä
mis
een
2-jä
rjes
telm
ässä
tarv
itaa
nva
inää
relli
nen
mää
räyk
kösi
ä,no
llia
sekä
pilk
ku.
Sovi
taan
,ett
äpi
stee
tov
attu
lojo
ukon
S2
=S×
Sal
kiot
,suo
ratov
atne
jouk
ot(S
×S
)∩�,
jois
saon
vähi
ntää
n2
pist
että
jam
issä
�on
koor
dina
atti
taso
nR
2ta
valli
nen
suor
a(k
s.es
imer
kki1)
.P
iste
enol
osu
oral
laja
välis
säol
om
ääri
tellä
änsa
moi
nku
inko
ordi
naat
tita
soss
a.N
yt(H
1)–(
H4)
ja(H
6)ov
atilm
eise
sti
voim
assa
kute
nes
imer
kin
1m
allis
saki
n.M
yös
(H5)
päte
e(T
otea
!).
Mut
ta(H
7)ei
päd
e!Jo
sni
mit
täin
valit
aan
�=
(S×
S)∩
(R×
{0})
,A
=(1
,−1)
,B
=(−
1,2)
jaC
=(1
,2),
ACB
Kuva
22:
Esi
merkki3
niin
selv
ästi
BC
�,si
lläsu
ora
�ei
leik
kaa
suor
aa←→
BC
eikä
siis
myö
skää
nja
naa
BC
.H
ämm
ästy
ttäv
ästi
myö
sA
B�:
jana
nA
Bja
suor
an�
aino
am
ahdo
lline
nle
ikka
us-
pist
eon
(1 3,0
),m
utta
seei
ole
täm
änm
allin
pist
e,si
llä1 3�∈
S.
Toi
saal
taA
�C,
sillä
(1,0
)on
sekä
suor
an�
että
jana
nA
Cpi
ste.
Site
nA
B�,
BC
�,m
utta
silt
iA
�C,m
ikä
onva
stoi
nak
sioo
maa
(H7)
.
Huom
autu
s6.
Aks
ioom
a(H
7)es
tää
sen,
että
suor
issa
olis
ire
ikiä
,jo
iden
kaut
tane
vois
ivat
kulk
eato
iste
nsa
läpi
tois
iaan
leik
kaam
atta
;vr
t.es
imer
kki3.
Jääk
öön
harj
oitu
steh
tävä
ksito
dist
aa,et
täak
sioo
man
(H7)
ansi
osta
suor
illa
onää
rett
ömän
mon
tapi
stet
tä.
Huom
autu
s7.
Suor
an�
ulko
puol
iste
npi
stei
den
olem
inen
sam
alla
puol
ella
suor
aa�
eliA
B�
onek
viva
lens
sire
laat
io,ts
.(1
)Jo
sA
B�,
niin
BA
�(r
elaa
tio
onsy
mm
etri
nen)
.(2
)A
ina
AA
�(r
elaa
tio
onre
fleks
iivin
en).
(3)
Jos
AB
�ja
BC
�,ni
inA
C�
(rel
aati
oon
tran
siti
ivin
en).
