República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental de la Fuerza ArmadaING-C-4S-D-01

Geometría Descriptiva

Profesor(a): Integrantes :

Josefina Domínguez Ánngel Rico C.I: 20.483.557 Juan Vásquez C.I: 24.407.754

Keylli Rodríguez C.I: 21.148.534 Smailling Colmenares C.I: 24.455.819

Santa Teresa del Tuy – Estado Miranda20/01/2014

HOMOLOGIA, REBATIMIENTO Y

VISIBILIDAD

Introducción

A continuación tenemos un trabajo en el cual presentamos conceptos y actividades de lo que es la Homología.

Principalmente la homología como ejemplo puede ser estructural, molecular o fisiológica.

Otro ejemplo podría ser los huesos del ala de un ave y los del miembro anterior de un perro; aunque cumplen diferentes funciones y su aspecto es completamente distinto son homólogos en cuanto que ambos comparten una estructura general idéntica heredada de un ancestro común. No siempre es sencillo identificar las homologías, pese a ello se trata de un concepto muy importante en biología evolutiva ya que es uno de los argumentos esgrimidos como prueba de la teoría del origen común propuesta por Charles Darwin en 1859 a partir de sus observaciones de los pinzones de las islas Galápagos. También resultan útiles para identificar el parentesco entre especies o grupos de especies tanto actuales como fósiles

La HomografíaCorresponde a la biunívoca entre elementos de la misma especie.

HOMOLOGÍA: Es una relación espacial entre dos figuras de una misma radiación. Se dibuja como una transformación plana, aunque siempre es tridimensional

AFINIDAD: es una homología en la que el centro de la radiación se encuentra en el infinito. La radiación resulta ser paralela

Las dos condiciones exigibles para considerar una relación homológica entre dos figuras son:

El par de puntos homólogos ha de estar alineados con el centro de la homología. Un par de rectas homólogas se han de cortar en un punto situado sobre el

eje de la homología. Se denominan puntos dobles aquellos que son homólogos de sí mismos.

Por lo tanto, todos los puntos del eje son dobles; de aquí que se pueda definir a éste como el lugar geométrico de los puntos dobles de una homología. Se llaman rectas dobles a aquellas que unen dos puntos homólogos con el

centro de homología, por ser estas rectas homólogas de sí mismas

- ELEMENTOS: Centro, radiación, planos de corte, figuras, eje, rectas límites, pares de puntos y rectas

Abatimiento de los planos Homología Afinidad

- RECTAS LÍMITES. CONCEPTO. DETERMINACIÓN. Igual distancia al eje y al foco; por dentro o fuera

Planos paralelos a los dados por O; abatimiento de los planos

Por estar el centro en el infinito, en la afinidad las rectas límites no son accesibles

- DETERMINACIÓN DE UNA HOMOLOGÍA: Elementos necesarios.

A y A´, e y O O, e, rl A y A´, e y rl A y A´, B y B´e O, rl, rl´.

paralelasparalelas

TEOREMA DE LAS TRES HOMOLOGÍAS:Cuando se aplican simultáneamente dos homologías a una misma forma

plana, se determina una tercera homología que mantiene el mismo eje y un nuevo centro que está alineado con los anteriores. Cuando son afinidades las aplicadas, se obtiene otra afinidad; si es una homología y una afinidad se logra una homología. Este teorema posee muchas utilidades en descriptiva: secciones, abatimientos, sombras.

TRANSFORMACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA MEDIANTE HOMOLOGÍA Y AFINIDAD

La circunferencia puede transformarse mediante homología en cualquier otra curva cónica, es decir, en otra circunferencia, en una elipse, en una parábola o en una hipérbola. La determinación de una u otra curva vendrá dada por la relación entre la recta límite y la circunferencia.

Elipse: Tangentes a la circunferencia desde la recta límite Cuando la cir. es tangente a la recta límite parábola

Figura afín a otra Transformación de ángulos: el ángulo inscrito = mitad del ángulo del arco

Cuadrado afín a rectángulo: 2 x 45 = 90

Circunferencia afín a elipse

La perpendicular a la tangente desde el foco la corta en la cir. principal

Circunferencia principal

foco

Dirección de afinidad

Dirección de afinidad

- APLICACIONES DE LA HOMOLOGÍA:- LOS MOVIMIENTOS BAJO LA HOMOLOGÍA

Igualdad: Planos coincidentes

Traslación: Afinidad de planos paralelos

Simetría Axial: Afinidad razón = -1

Simetría Central: Homología de razón -1

Homotecia: Homología de planos paralelos

- Sin embargo, los usos más comunes se dan en geometría descriptiva. Siempre que se puedan relacionar dos figuras mediante una radiación de centro cercano o en el infinito, será posible aplicar las relaciones homológicas. Por ejemplo, relacionar una figura con su sombra y el foco o la sección de una superficie radiada con el vértice y la base dada. Todo el sistema cónico es una homología y los elementos de la homología coinciden con los propios del sistema: LT = eje, LH = rl, V = O...

METODO DE REBATIMIENTOEl Rebatimiento consiste en hacer girar un plano cualquiera alrededor de

una de sus Rectas Características o en su defecto y preferiblemente se utilizan las Trazas Horizontal y Vertical. En el caso del rebatimiento sólo vamos a trabajar con las Rectas Características denominadas: Recta Horizontal y con la Recta Frontal.

El primer movimiento que se realiza, consiste en girar el plano que contiene el objeto y hacerlo paralelo a uno de los dos Planos de Proyección (Horizontal o Vertical), este primer movimiento se denomina ABATIMIENTO. Posteriormente se procede a construir la figura en verdadero tamaño en el plano rebatido, luego se devuelven los puntos faltantes hasta la proyección del plano original, este segundo movimiento o giro se denomina REBATIMIENTO.

La recta que se la recta que se utiliza como eje de giro se denomina CHARNELA O EJE DE REBATIMIENTO. Esta CHARNELA funciona como la bisagra de una puerta alrededor de la cual gira el plano hasta hacerse paralelo a cualquiera de los Planos de Proyección.

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS PLANAS EN VERDADERO TAMAÑO

Para poder observar en verdadero tamaño figuras construidas en planos oblicuos, es necesario utilizar unos métodos que nos permitan hacerlas paralelas

a los Planos de Proyección (Vertical y Horizontal). Estos métodos se llaman REBATIMIENTO Y CAMBIO DE PLANOS.

PROCEDIMIENTO PARA REBATIR UN PLANOSupongamos que tenemos un plano dado por sus trazas h y f, y queremos

rebatir el plano alrededor de su traza horizontal (recta horizontal de cota cero), hasta que coincida con el plano horizontal. En este caso la recta h es el eje de rebatimiento (se la denomina también “charnela”), y por consiguiente conserva su posición (h hR).

- MÉTODO GENERAL:Rebatimos el punto A (un punto cualquiera del plano) y vamos a observar

qué trayectoria efectúa durante el rebatimiento:1) El punto se conserva siempre en un plano perpendicular al eje de

rebatimiento (en este caso un plano vertical), el cual se proyecta en proyección horizontal según la recta ph. El punto AR debe estar también sobre la recta ph

2) La distancia AB entre el punto A y el eje de rebatimiento (segmento de recta de máxima pendiente entre el punto y el eje de rebatimiento) debe verse en la proyección rebatida en verdadero tamaño (como todas las demás distancias del plano rebatido).Para ello buscamos el verdadero tamaño del segmento AB y lo colocamos

a partir del eje de rebatimiento BR sobre la recta ph obteniéndose el punto AR.De esta forma se podría obtener todos los puntos del plano en la proyección rebatida.

Para la obtención de la proyección des-rebatida (horizontal), habría que efectuar los pasos inversos (véase figura), siendo los verdaderos tamaños paralelos entre sí.

Rebatiendo la traza: Otra forma de rebatir los puntos es la de utilizar las trazas.

- La traza horizontal es el eje de rebatimiento.- El punto A yace sobre la traza vertical.- El segmento AVBV se proyecta en verdadero tamaño, porque está sobre

la recta frontal.- El punto BV Bh — BR por estar sobre el eje.- El punto AR debe estar sobre la recta ph (ver método anterior) y a la vez

conservar la distancia AVBV ARBR; por esta razón la traza vertical rebatida es la recta ARBR fR

- Para rebatir un punto M del plano: Se traza una recta horizontal c por el punto M; esta recta corta la traza f en el punto C, el cual rebatido está también sobre la traza rebatida fR.

El punto MR está sobre la recta cR y sobre la de “referencia de rebatimiento” MhMR. Para el des-rebatimiento se usa el procedimiento a la inversa.

La visibilidadEs una abstracción matemática de la noción existente en la vida cotidiana

de visibilidad. Se emplea en geometría y se define como aquel segmento de línea que no se interseca con cualquier otra figura. La visibilidad de figuras geométricas es un problema a resolver en el campo de la geometría computacional. Mostrando aplicaciones en computación gráfica (en la determinación de cara oculta) y en el dominio de la robótica planificación de movimiento.

COMO DETERMINAMOS LA VISIBILIDAD EN UN TRAPEZOIDE

Para determinar la visibilidad se elige un punto donde las dos proyecciones horizontales coincidan, como m-n, y se lleva a las proyecciones verticales de las dos rectas que lo forman, m' sobre a'-c' y n' sobre e'-f'. En la

proyección vertical n' tiene mayor cota (está más alto) que m', luego se deduce que la línea sobre la que está, e'-f', está encima de a'-c', por lo que e'-f' será vista en proyección horizontal. Así, en proyección horizontal, a-m y e-n son vistos por ser contorno de la figura (o dicho de otra forma aquí no se tapan uno al otro por lo que los dos son vistos) y a partir de m-n la recta e-f es vista mientras que a-c es oculto (es decir uno se mete debajo del otro y el más bajo pasa a oculto), hasta llegar a la intersección de los dos triángulos, j-k, donde intercambian su visibilidad (por que la parte del triángulo abc que estaba debajo de efg lo atraviesa y pasa a ser visto) hasta que vuelven a ser contornos y pasan ambos a ser vistos (dejan de taparse).

Esto se puede repetir con el resto de las líneas de la proyección horizontal o utilizar la lógica que es más rápido. Razónalo apoyándote en el coloreado de los triángulos.

Para determinar la visibilidad de la proyección vertical se procede igual. En mi caso, elegí el punto ñ'-o' en proyección vertical y se lleva a la proyección horizontal, ñ y o. Como o tiene más alejamiento (está más cerca del observador) que ñ esto implica que b-c está delante de e-f, por lo que b'-c' tapará a e'-f' en la proyección vertical. A partir de la intersección, j'-k', cambian su visibilidad.

Bibliografía

SUAREZ, F (2013) “Geometría” www.rincondelvago.com/geometria_13.com Internet El rincón del vago “Homología” www.rincondelvago.com/homologia.html Internet

Cursos de Formación para Profesorado“Homología y Afinidad”www.juntadeandalucia.es/averroes/cepsevilla/tablon_plastica/FichaHOMOLOGiAYAFINIDAD.pdf Internet

Wikipedia“Visibilidad (Geometría)”www.wikipedia.org/wiki/VisibilidadInternet