HÀM SỐ LIÊN TỤC - Hoc360.net

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

HÀM SỐ LIÊN TỤC

PHẦN 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1. Hàm số liên tục:

+) Cho hàm số ( )=y f x xác định trên K và 0 x K . Hàm số ( )=y f x liên tục tại 0x khi và chỉ khi

0

0lim ( ) ( )→

=x x

f x f x .

+) Hàm số ( )=y f x liên tục trên một khoảng ( );a b nếu nó liên tục tại mọi điểm 0x của khoảng

đó.

+) Hàm số ( )=y f x liên tục trên ;a b nếu nó liên tục trên ( );a b và lim ( ) ( ),+→

=x a

f x f a

lim ( ) ( )−→

=x b

f x f b .

2. Các định lý:

a. Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

b. Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục tại 0x thì cũng liên tục tại 0x .

c. Nếu hàm số ( )=y f x và ( )=y g x liên tục tại 0x và 0( ) 0g x thì hàm số( )

( )=

f xy

g x liên tục tại 0x

.

d. Cho hàm số ( )=y f x liên tục trên ;a b và ( ). ( ) 0f a f b . Khi đó phương trình ( ) 0=f x có ít

nhất một nghiệm trên ( ); .a b

PHẦN 2. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN.

DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM.

Loại 1: Hàm số có dạng: ( )( )

( )

1 0

2 0

, khi

, khi

=

=

f x x xf x

f x x x

Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0).

Bước 2: Tính ( ) ( )0 0

2lim lim→ →

= =x x x x

f x f x L .

Bước 3: + Nếu f2(x0) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x0.

+ Nếu f2(x0) L thì hàm số f(x) không liên tục tại x0.

https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/



Ví dụ 1. Giá trị nào của tham số m để hàm số ( )

2

2

1, khi 1

1

4, 1

− −

= + − = −

xx

f x x

m khi x

liên tục tại 1= −x .

A. 2 . B. 2− . C. 2 . D. 2 .

Đáp án : C.

Cách 1 : (Tự luận)

Ta có : ( ) 21 4− = −f m .

( ) ( )2

1 1 1

1lim lim lim 1 2

1→− →− →−

−= = − = −

+x x x

xf x x

x .

Hàm số liên tục tại 1= −x khi và chỉ khi ( ) ( )1

lim 1 2→−

= − = x

f x f m .

Cách 2: Sử dụng MTCT. Để tính giới hạn : 2

1

1lim

1→−

−

+x

x

x ta sử dụng tính năng tính giá trị biểu thức trên

máy tính (CALC) với giá trị 101 10−= − +x ta được kết quả : 2− .

Ví dụ 2. Hàm số có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

A. 0 . B. 1. C. 2. D. 3.

Đáp án : C

Cách giải : (Quan sát đồ thị)

Quan sát đồ thị ta thấy . Vậy nên không

tồn tại. Do đó hàm số gián đoạn tại điểm .

Ví dụ 3. Cho hàm số ( )4 6

, khi 2 2

, khi 2

+ −

= − =

xx

f x x

a x

. Tập hợp các giá trị của a để hàm số liên

tục tại 2=x .

( ) ( )1 1

lim 3; lim 0x x

f x f x− +→ →

= = ( ) ( )1 1

lim limx x

f x f x− +→ →

( )1

limx

f x→

1x =




A. 1 . B. 1

2 6

. C. 1

6

. D. 1

2 6

−

.

Đáp án : B


Ta có : ( )2 =f a .

( )2 1 1

4 6 1 1lim lim lim

2 4 6 2 6→ →− →−

+ −= = =

− + +x x x

xf x

x x .

Hàm số liên tục tại 2=x khi và chỉ khi ( ) ( )2

1lim 2

2 6→= =

xf x f a .

Cách 2: Sử dụng MTCT. Để tính giới hạn : 1

4 6lim

2→−

+ −

−x

x

x ta sử dụng tính năng tính giá trị biểu

thức trên máy tính (CALC) với giá trị 102 10−= +x ta được kết quả gần bằng : 0.2042 . Trong các kết

quả đã cho của đề bài thì kết quả trên gần với 1

2 6

nhất.

Loại 2: Hàm số có dạng: ( )( )

( )

1 0

2 0

khi

khi

=

f x x xf x

f x x x

Bước 1: + Tính ( ) ( )0 0

1 1lim lim+ +→ →

= =x x x x

f x f x L .

+ Tính ( ) ( )0 0

2 2lim lim− −→ →

= =x x x x

f x f x L .

+ Tính ( ) ( )0 1 0= =f x f x L .

Bước 2: + Nếu 1=L L thì hàm số liên tục bên phải tại 0x .

+ Nếu 2=L L thì hàm số liên tục bên trái tại 0x .

+ Nếu 1 2= =L L L thì hàm số liên tục tại 0x .

* Nếu cả 3 trường hợp trên không xảy ra thì hàm số không liên tục tại x0.

Ví dụ 4. Cho hàm số ( )

( )2

2

2

1 , 1

3 , 1

, 1

+

= +

=

x x

f x x x

k x

. Tìm k để ( )f x gián đoạn tại 1=x .

A. 2 k . B. 2k . C. 2 −k . D. 1 k .




Đáp án : A.


TXĐ: =D .

Với 1=x ta có : ( ) 21 =f k

Với 1x ta có :

( ) ( )2

1 1lim lim 3 4

− −→ →= + =

x xf x x ; ( ) ( )

2

1 1lim lim 1 4

+ +→ →= + =

x xf x x suy ra ( )

1lim 4→

=x

f x .

Vậy để hàm số gián đoạn tại 1=x khi ( ) 2

1lim→

x

f x k 2 4 k 2 k .

Cách 2: Sử dụng MTCT.

Ví dụ 5. Cho hàm số ( )2

, khi 1 1

2 3 , khi 1

+ + −

= + + −

x xx

f x x

x x

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất:

A. Hàm số liên tục tại 0 1= −x . B. Hàm số liên tục tại mọi điểm.

C. Hàm số gián đoạn tại 0 1= −x . D. Tất cả đều sai.

Đáp án : C.


Ta có : ( )1 1− =f và ( )

( )1

lim 1−

→ −

=x

f x .

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

1 1 1 1

2 2 2 3lim lim lim lim

1 221 2+ + + +

→ − → − → − → −

+ + − − −= = = =

+ − ++ − +x x x x

x x x x xf x

x x xx x x .

Suy ra : ( )

( )( )

( )1 1

lim lim+ −

→ − → −

x x

f x f x .

Vậy hàm số gián đoạn tại 1= −x .

Cách 2: Sử dụng MTCT. Để tính giới hạn : ( )1

2lim

1+→ −

+ +

+x

x x

x ta sử dụng tính năng tính giá trị biểu

thức trên máy tính (CALC) với giá trị 101 10−= − +x ta được kết quả gần bằng : 1.4999 . Trong khi đó

giá trị hàm số tại 1= −x bằng 1. Vậy hàm số gián đoạn tại 1= −x .

DẠNG 2: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN MIỀN D

Ví dụ 6. Cho hàm số ( ) 2 4= −f x x . Chọn câu đúng trong các câu sau:




(I) ( )f x liên tục tại 2=x .

(II) ( )f x gián đoạn tại 2=x .

(III) ( )f x liên tục trên đoạn 2;2− .

A. Chỉ (I) và (III). B. Chỉ (I). C. Chỉ (II). D. Chỉ (II) và (III).

Đáp án : B.


Ta có: Tập xác định của hàm số ( ); 2 2;= − − +D .

( ) 2

2 2lim lim 4 0→ →

= − =x x

f x x .

( )2 0=f .

Vậy hàm số liên tục tại 2=x .

Cách 2: Sử dụng MTCT. Tính giá trị hàm số ( ) 2 4= −f x x tại 0=x ta thấy máy báo lỗi Math Error

( do ( )f x không xác định tại 0=x ), nghĩa là hàm số không liên tục trên đoạn 2;2− và giá trị hàm

số tại 2=x là 0 nên hàm số liên tục tại 2=x .

Ví dụ 7. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) ( ) 5 23 1= − +f x x x liên tục trên .

(II) ( )2

1

1=

−f x

x liên tục trên ( )1;1− .

(III) ( ) 2= −f x x liên tục trên đoạn )2;+ .

A. Chỉ (I) và (III). B. Chỉ (I). C. Chỉ (II). D. Chỉ (II) và (III).

Đáp án : A.


Hàm số (I) ( ) 5 23 1= − +f x x x là hàm đa thức nên liên tục trên .

Hàm (III) ( ) 2= −f x x liên tục trên ( )2;+ và ( ) ( )2

lim 2 0+→

= =x

f x f nên hàm số liên tục trên )2;+

.

Cách 2: Các hàm số được học đều liên tục trên tập xác định của nó. Ta thấy hàm số (II) xác định khi 2 1 0− x , do đó hàm số (II) gián đoạn trên ( )1;1− .




Ví dụ 8. Cho hàm số ( )

3 9 , 0 9

, 0

3 , 9

− −

= =

xx

x

f x m x

xx

. Giá trị của m để ( )f x liên tục trên )0;+

là :

A. 1

.3

B. 1

.2

C. 1

.6

D. 1.

Đáp án : C.


Với ( )0;9x : ( )3 9− −

=x

f xx

liên tục trên ( )0;9 .

Với )9; +x : ( )3

=f xx

liên tục trên )9;+ .

Với 0=x ta có ( )0 =f m .

Ta có ( )0 0

3 9lim lim

+ +→ →

− −=

x x

xf x

x 0

1lim

3 9+→

=+ −x x

1

6= .

Vậy để hàm số liên tục trên )0;+ khi nó phải liên tục tại 0=x ( )0

lim+→

=x

f x m1

6 =m .

Cách 2: Sử dụng MTCT. Dễ dàng thấy hàm số liên tục trên ( )0;+ nên ta chỉ cần tìm điều kiện để nó

liên tục phải tại 0=x .

Tính ( )0 0

3 9lim lim

+ +→ →

− −=

x x

xf x

x bằng cách tính giá trị hàm số

3 9− − x

x tại 100 10−+ (sử dụng chức

năng CALC) được kết quả gần bằng 0.1667 và ( )0 =f m . Vậy 0.1667m .

Ví dụ 9. Cho hàm số ( )sin ,

2

, 2

= +

x x

f x

ax b x

. Giá trị của a, b để hàm số liên tục trên :

A.

2

.

1

a

b

=

=

B.

2

.

2

a

b

=

=

C.

1

.

0

a

b

=

=

D.

2

.

0

a

b

=

=

Đáp án : D.





Hàm số liên tục trên hàm số liên tục tại 2

= x

212

.

012

a ba

ba b

+ = =

=− + = −

DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM.

3.1. Kiến thức cần nhớ :

Định lí: (Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn ;a b .Nếu ( ) ( )f a f b thì với mỗi số thực M nằm giữa

( ) ( ),f a f b , tồn tại ít nhất một điểm ( );c a b sao cho ( ) .=f c M

Ý nghĩa hình học :

y=M

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn ;a b và M là một số thực nằm giữa ( ) ( ),f a f b thì đường thẳng =y M

cắt đồ thị của hàm số ( )=y f x tại ít nhất một điểm có hoành độ ( );c a b .

Hệ quả :

O

x

y

Y=F(x)

a

F(a)

c

F(b

)

b




Nếu hàm số f liên tục trên đoạn ;a b và ( ) ( ). 0f a f b thì tồn tại ít nhất một điểm ( );c a b sao cho

( ) 0.=f c

Ý nghĩa hình học của hệ quả :

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn ;a b và ( ) ( ). 0f a f b thì đồ thị của hàm số ( )=y f x cắt trục hoành

ít nhất tại một điểm có hoành độ ( );c a b .

3.2. Phương pháp giải

Cho phương trình ( ) ( )0 *=f x

Để chứng minh phương trình ( )* có k nghiệm trong ;a b , ta thực hiện các bước sau :

Bước 1 : Chọn các số 1 2 1... − ka T T T b chia đoạn ;a b thành k đoạn thỏa mãn :

( ) ( )

( ) ( )

1

1

. 0

...

. 0−

k

f a f T

f T f b

Hàm số ( )=y f x liên tục trên ;a b nên liện tục trên k đoạn 1 1 2 1; ; ; ;...; ;−ka T T T T b .

Bước 2 : Kết luận về số nghiệm phương trình ( )* trên ;a b .

3.2. Các ví dụ :

Ví dụ 10. Số nghiệm thực của phương trình : 32 6 1 0− + =x x thuộc khoảng ( )2;2− là :

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Đáp án : D

Hướng dẫn giải :

Cách 1: Xét hàm số ( ) 32 6 1= − +f x x x liên tục trên 2;2− .

Ta có : ( ) ( ) ( ) ( )2 3; 0 1; 1 3; 2 5− = − = = − =f f f f .

Suy ra : ( ) ( )2 . 0 0− f f ; ( ) ( )0 . 1 0f f và ( ) ( )1 . 2 0f f .

Do đó phương trình : 32 6 1 0− + =x x có ít nhất 3 ngiệm thuộc khoảng ( )2;2− .

Cách 2 : Sử dụng MTCT.

+ Bấm máy tính giải phương trình bậc 3 (Mode + 5 + 4).

+ Sử dụng chức năng Table (Mode + 7) với hàm số : ( ) 32 6 1= − +f x x x .

Start: -2




End : 2

Step : 1.

Ví dụ 11. Cho phương trình ( ) 4 2 13 0

8= − + − =f x x x x .Chọn khẳng định đúng:

A. Phương trình có đúng một nghiệm trên khoảng ( )1;3− .

B. Phương trình có đúng hai nghiệm trên khoảng ( )1;3− .

C. Phương trình có đúng ba nghiệm trên khoảng ( )1;3− .

D. Phương trình có đúng bốn nghiệm trên khoảng ( )1;3− .

Đáp án : D.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Xét hàm số ( ) 4 3 13 0

8= − + − =f x x x x liên tục trên 1;3− .

Ta có : ( ) ( ) ( ) ( )23 1 1 1 9 23

1 ; 0 ; ; 1 ; 38 8 2 16 8 8

− = = − = = − =

f f f f f .

Suy ra : ( ) ( )1 . 0 0− f f ; ( )1

0 . 02

f f ; ( )

1. 1 0

2

f f và ( ) ( )1 . 3 0f f

Do đó phương trình có ít nhất 4 ngiệm thuộc khoảng ( )1;3− .

Mặt khác phương trình bậc 4 có tối đa bốn nghiệm.

Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng ( )1;3− .

Cách 2: Sử dụng chức năng Table trên MTCT: Start: End: Step:

ta được kết quả như sau:

( )1

( )1

( )1

( )1

( ) 4 3 13 ,

8f X X X X= − + − 1,− 3,

0.2




Quan sát kết quả ta thấy giá trị của tại các điểm trong khoảng đổi dấu 4 lần. Mà phương

trình bậc 4 thì có tối đa 4 nghiệm thực. Vậy phương trình có đúng bốn nghiệm trên khoảng .

Do đó D là đáp án đúng.

Cách 3: Sử dụng chức năng Shift Calc (Solve) của MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ của phương trình trong

khoảng Tuy nhiên cách này tiềm ẩn nhiều may rủi hơn cách sử dụng chức năng Table như trên.

Ví dụ 12. Cho phương trình 3 2 0 (1)+ + + =x ax bx c trong đó là các tham số thực. Chọn khẳng

định đúng trong các khẳng định sau :

A. Phương trình vô nghiệm với mọi .

B. Phương trình có ít nhất một nghiệm với mọi .

C. Phương trình có ít nhất hai nghiệm với mọi .

D. Phương trình có ít nhất ba nghiệm với mọi .

Đáp án : B.

Hướng dẫn giải.

Cách 1: Dễ thấy thì phương trình trở thành

Vậy A, C, D sai. Do đó B đúng.

Cách 2 :

Đặt ( ) 3 2= + + +f x x ax bx c Ta có:

+ ( )3 2lim→−

+ + + = −x

x ax bx c với mọi nên tồn tại một giá trị 1=x x sao cho ( )1 0f x .

+ ( )3 2lim→+

+ + + = +x

x ax bx c với mọi nên tồn tại một giá trị 2=x x sao cho ( )2 0f x .

Vậy ( ) ( )1 2. 0f x f x mà ( )f x liên tục trên nên suy ra ( ) 0=f x có ít nhất một nghiệm trên khoảng

( )1 2;x x . Từ đó suy ra ĐPCM.

Kinh nghiệm .

Phương trình đa thức bậc lẻ trong đó hệ số bậc cao nhất khác 0 luôn có ít nhất một nghiệm.

Ví dụ 13. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho phương trình sau có nghiệm:

( )( ) ( )20172 20182 5 2 1 2 2 3 0− + − − + + =m m x x x

A. . B.

.

( )f x ( )1;3−

( )1 ( )1;3−

( )1;3 .−

, ,a b c

( )1 , ,a b c

( )1 , ,a b c

( )1 , ,a b c

( )1 , ,a b c

0a b c= = = ( )1 3 0 0.x x= =

, ,a b c

, ,a b c

m

1\ ;2

2m

( )1

; 2;2

m

− +




C. . D. .

Đáp án : D.


+ Nếu 22 5 2 0− + =m m thì phương trình đã cho trở thành 3

2 3 02

+ = = −x x .

+ Nếu 22 5 2 0− + m m phương trình đã cho là một đa thưc bậc lẻ (bậc 4035) nên theo kết

quả ở ví dụ 12, phương trình có ít nhất một nghiệm.

Vậy với mọi phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.

Ví dụ 14. Phương trình 32 6 1 3+ − =x x có bao nhiêu nghiệm thuộc ( 7;9).−

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Đáp án : C.


Cách 1: Đặt 3 1= −t x . Khi đó phương trình đã cho có dạng 32 6 1 0.− + =t t

Xét hàm 3(t) 2 6 1= − +f t t liên tục trên R.

Ta có ( 2) 3,f(0) 1,f(1) 3,f(2) 5− = − = = − =f . Suy ra :

• ( 2).f(0) 3 0− = − f , phương trình có một nghiệm 1 ( 2;0) −t . Khi đó

331 1 11 1 , (1;9).= − = − t x x t t

• (0).f(1) 3 0= − f , phương trình có một nghiệm 1 (0;1)t . Khi đó

331 1 21 1 , (0;1).= − = − t x x t t

• (1).f(2) 15 0= − f , phương trình có một nghiệm 1 (1;2)t . Khi đó

331 1 11 1 , ( 7;0).= − = − −t x x t t

Cách 2: Sử dụng chức năng giải phương trình trên MTCT (SOLVE) để kiểm tra số nghiệm của phương

trình.

PHẦN 3. BÀI TẬP.

A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KIỂM TRA.

Câu 1. Cho hàm số ( )

2

3

13; 2

6

3 3;

+

= − +

+ =

xkhi x x

f x x x

b khi x b

. Tìm b để ( )f x liên tục tại 3=x .

A. 3 . B. 3− . C. 2 3

3. D.

2 3.

3−

Đáp án

1;2

2m

m

,m




Chọn D.


2 3 khi 3

3

2 3 khi 3

−

= −

=

xx

f x x

x

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

( )I . ( )f x liên tục tại 3=x .

( )II . ( )f x gián đoạn tại 3=x .

( )III . ( )f x liên tục trên .

A. Chỉ ( )I và ( )II . B. Chỉ ( )II và ( )III .

C. Chỉ ( )I và ( )III . D. Cả ( )I , ( )II , ( )III đều đúng.

Lời giải

Chọn C.

Câu 3. Hàm số nào sau đây không liên tục tại 1=x :

A. ( )

2 1 khi 1

1

3 1 khi 1

−

= − − =

xx

f x x

x x

. B. ( )2 2 khi 1

2 3 khi 1

− =

− =

x xf x

x x.

C. ( )

22 1 khi 1

1

2 1 khi 1

− −

= − − =

x xx

f x x

x x

. D. ( )1

- khi 1

2 3 khi 1

= −

xf x x

x x

Lời giải

Chọn D.

Câu 4. Hàm số liên tục trên khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

( )2

2

1

5x 6

xf x

x

+=

+ +

( );3− ( )2;3 ( )3;2− ( )3;− +




Câu 5. Cho và là các số thực khác . Tìm hệ thức liên hệ giữa và để hàm số

liên tục tại .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: Theo kết quả đã biết thì . Mặt khác . Để hàm số đã

cho liên tục tại thì . Vậy đáp án đúng là B.

Cách 2: Sử dụng MTCT. Chọn các giá trị cụ thể của và thỏa mãn từng hệ thức rồi tính toán cho

đến khi được kết quả . Chẳng hạn với hệ thức ở đáp án A, chọn ta tìm được

nên không thỏa mãn. Với hệ thức ở đáp án B, chọn ta được

nên thỏa mãn . Do đó đáp án là B.

Kinh nghiệm:

.

Câu 6. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực

để hàm số liên tục trên .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Cách 1: Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng .

Ta có .

Nếu thì nên hàm số không liên tục tại .

Nếu thì ta có .

Để hàm số liên tục tại thì .

a b 0 a b

( )2

1 1 khi 0

4 5 khi 0

axx

f x x

x b x

+ −

= + =

0x =

5a b= 10a b= a b= 2a b=

( )0 0

1 1lim lim

2x x

ax af x

x→ →

+ −= = ( )0 5f b=

0x = ( ) ( )0

lim 0 5 102x

af x f b a b

→= = =

a b

( ) ( )0

lim 0x

f x f→

= 5; 1a b= =

( )0

5 1 1 5lim ; 0 5

2x

xf

x→

+ −= = 10; 1a b= =

( )0

10 1 1lim 5; 0 5x

xf

x→

+ −= = ( ) ( )

0lim 0x

f x f→

=

0

1 1lim

n

x

ax a

x n→

+ −=

( )2

2 4 3 khi 2

1 khi 2

2 3 2

x x

f x xx

x mx m

− +

= +

− + +

m

3m = 4m = 5m = 6m =

( )2;+

( ) ( ) ( )2 2

2 3; lim lim 2 4 3 3x x

f f x x+ +→ →

= = − + =

6m = ( ) 22 2

1lim lim

12 20x x

xf x

x x− −→ →

+= = −

− +2x =

6m ( ) 22 2

1 3lim lim

2 3 2 6x x

xf x

x mx m m− −→ →

+= =

− + + −

2x =3

3 6 1 56

m mm= − = =

−




Với thì khi , liên tục trên .

Tóm lại với thì hàm số đã cho liên tục trên .

Cách 2: Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng .

Ta có .

Thử lần lượt các giá trị từ A dến C thấy thỏa mãn . Do đó chọn đáp án C.

Câu 7. Cho hàm số . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. liên tục trên . B. liên tục trên .

C. liên tục trên . D. liên tục tại .

Lời giải

Chọn C.

Câu 8. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

( )I . ( )1

1

+=

−

xf x

x liên tục với mọi 1x .

( )II . ( ) sin=f x x liên tục trên .

( )III . ( ) =x

f xx

liên tục tại 1=x .

A. Chỉ ( )I đúng. B. Chỉ ( )I và ( )II . C. Chỉ ( )I và ( )III . D. Chỉ ( )II và ( )III .

Lời giải

Chọn D.

Câu 9. Cho hàm số ( )( )

2 2

2

khi 2,

2 khi 2

=

−

a x x af x

a x x. Giá trị của a để ( )f x liên tục trên là:

A. 1 và 2 . B. 1 và –1. C. –1 và 2 . D. 1 và –2 .

Lời giải

Chọn D.

TXĐ: =D .

Với 2x ta có hàm số ( ) 2 2=f x a x liên tục trên khoảng ( )2;+ .

5m = 2x ( ) 2

1

10 17

xf x

x x

+=

− +( );2−

5m =

( )2;+

( ) ( ) ( )2 2

2 3; lim lim 2 4 3 3x x

f f x x+ +→ →

= = − + =

5m = ( )2

lim 3x

f x−→

=

( ) 2

3 2 khi 1

1 khi 1

x xf x

x x

+ −=

− −

( )f x ( )f x ( ; 1− −

( )f x )1;− + ( )f x 1x = −




Với 2x ta có hàm số ( ) ( ) 22= −f x a x liên tục trên khoảng ( ); 2− .

Với 2=x ta có ( ) 22 2=f a .

( ) ( ) ( )2

2 2

lim lim 2 2 2+ +

→ →

= − = −x x

f x a x a ; ( ) 2 2 2

2 2

lim lim 2− −

→ →

= =x x

f x a x a .

Để hàm số liên tục tại 2=x

( ) ( ) ( )2 2

lim lim 2+ −

→ →

= =x x

f x f x f ( )22 2 2 = −a a 2 2 0 + − =a a1

2

=

= −

a

a.

Vậy 1=a hoặc 2= −a thì hàm số liên tục trên .


2

3

, 1

2 , 0 1

1

sin , 0

= +

x x

xf x x

x

x x x

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. ( )f x liên tục trên . B. ( )f x liên tục trên \ 0 .

C. ( )f x liên tục trên \ 1 . D. ( )f x liên tục trên \ 0;1 .

Lời giải

Chọn A.

Câu 11. Cho hàm số có đồ thị như hình dưới đây:

Chọn khẳng định đúng:

A. Hàm số liên tục trên . B. Hàm số liên tục trên .

C. Hàm số liên tục trên . D. Hàm số liên tục trên .

( )y f x=

( );4−

( )1;+ ( )1;4




Lời giải

Chọn D.

Câu 12. Cho phương trình 4 22 5 1 0 (1)− + + =x x x .Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định

sau:

A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng ( )1;1− .

B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng ( )2;0− .

C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng ( )2;1− .

D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng ( )0;2 .

Lời giải

Chọn D.

Câu 13. Cho hàm số

3 7 3 1, 1

( ) 1

, 1

+ − +

= − =

x xx

f x x

ax x

. Tìm a để hàm số liên tục tại 0 1=x .

A. -3. B. 2. C. 3

.2

− D. -2.

Lời giải

Chọn C.

( )3 3

1 1 1

7 3 1 7 2 2 3 1lim lim lim

1 1 1→ → →

+ − + + − − += = + − − −

x x x

x x x xf x

x x x

( ) ( )

( )

( )( )21 3 3

3 11lim

1 2 3 11 7 2. 7 4→

− −−

= + − + + − + + + +

x

xx

x xx x x

( )21 3 3

1 3 3lim .

22 3 17 2. 7 4→

= − = − + + + + + +

x xx x

Hàm số liên tục tại ( ) ( )01

31 lim 1

2→= = = −

xx f x f a .

Câu 14. Phương trình 5 3 23 0− + =x x có nghiệm thuộc khoảng nào

A. (-3;-2). B. (0;1). C. (-2;-1). D. (2,3).

Lời giải

Chọn C.

( )1

( )1

( )1

( )1




Xét 5(x) 3 23= − +f x x liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [-2,-1].

Ta có ( 2) 3;f( 1) 25 ( 2).f( 1) 0.− = − − = − − f f Vậy phương trình f(x) luôn có nghiệm thuộc khoảng

( 2, 1).− −

Bấm máy tinh: mode 7 → 5(x) 3 23= − +f x x →=→Start -9→=→End 9→=→Step 1→=.

Câu 15. Trong các phương trình sau, phương trình nào có đúng 5 nghiệm phân biệt.

A. 5 3 1 0.x x+ + = B. 5 3 2 22 15 14 2 3 1.x x x x x x+ + + + = + +

C. 3 2 4 3 3 2 .x x x+ = + − D. 32 6 1 3.x x+ − =

Lời giải

Chọn B

A. Xét hàm số 5( ) 3 1= + +f x x x là hàm liên tục trên Mặt khác:

( 1) 1, (0) 1 ( 1). (0) 1 0− = − = − = − f f f f

Nên phương trình ( ) 0=f x có ít nhất một nghiệm thuộc ( )1;0− .

Giả sử phương trình có hai nghiệm 1 2,x x .

Khi đó: ( ) ( )5 5

1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0 3 0− = − + − =f x f x x x x x

( )( )4 3 2 2 3 4

1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 3 0 − + + + + + =

A

x x x x x x x x x x (1)

Do

2 2

2 2 2 2

1 1 2 1 2 2 1 2

1 1 13 0

2 4 2

= + + + + +

A x x x x x x x x Nên (1) 1 2 =x x

Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm.

B. Phương trình đã cho tương đương với

( )2

5 3 2 22 15 14 2 3 1+ + + + = + +x x x x x x 5 4 3 29 4 18 12 1 0 − − + + + =x x x x x (1)

Hàm số 5 4 3 2( ) 9 4 18 12 1= − − + + +f x x x x x x liên tục trên .

Ta có: 1 19

( 2) 95 0, ( 1) 1 0, 02 32

− = − − = − = −

f f f

(0) 1 0, (2) 47 0, (10) 7921 0= = − = f f f

Do đó phương trình ( ) 0=f x có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng

( ) ( ) ( )1 1

2; 1 , 1; , ;0 , 0;2 , 2;102 2

− − − − −




Mặt khác ( )f x là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.

C. Điều kiện: 3

2x .

Phương trình 3 2 3 3 2 4 0 + − − − =x x x .

Xét hàm số 3( ) 2 3 3 2 4= + − − −f x x x x liên tục trên 3

;2

−

.

3 19 3(0) 4 3 3 0, 0 (0). 0

2 8 2

= − − =

f f f f Nên phương trình ( ) 0=f x có ít nhất một

nghiệm.

Giả sử phương trình ( ) 0=f x có hai nghiệm 1 2,x x .

Khi đó: 1 2( ) ( ) 0− =f x f x ( ) ( ) ( )3 3

1 2 1 2 1 22 3 3 2 3 2 0 − + − − − − − =x x x x x x

( ) 2 2

1 2 1 1 2 2

1 2

62 0

3 2 3 2

− + + + + =

− + − B

x x x x x xx x

1 2 =x x (Vì

2 2

2 21

1 2

3 62 0

2 4 3 2 3 2

= + + + +

− + −

x xB x

x x).

Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất.

D. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.


HÀM SỐ LIÊN TỤC - Hoc360.net

Documents

Transcript of HÀM SỐ LIÊN TỤC - Hoc360.net