CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG -...
Transcript of CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG -...
![Page 2: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/2.jpg)
NỘI DUNG
- Định nghĩa và tính chất giới hạn
- Định nghĩa và tính chất hàm liên tục
- Giới hạn một bên và liên tục một bên
- Điểm gián đoạn có bước nhảy hữu hạn
- Giới hạn tại vô cùng
- Không tồn tại giới hạn
- Định lý giá trị trung gian
- Giới thiệu công cụ tính toán số
2
![Page 3: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/3.jpg)
GIỚI HẠN, LIÊN TỤC
3
![Page 4: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/4.jpg)
1. Đinh nghia
Ham số xac định trên tâp hơp cac số nguyên dương đươc goi la day sô vô han. Ki hiệu:
𝑥 ∶ 𝑁∗→ 𝑅
n → 𝑥(𝑛) Day số thương đươc viêt dưới dạng khai triển:
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, …
Trong đo :
xn = x(n), n ∈ 𝑁∗ la sô hang tông quat cua day
n la vị tri cua số hạng xn trong day
4
GIỚI HẠN CUA DAY SỐ
![Page 5: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/5.jpg)
Vi du: Cho cac day số sau:
a/ {1} = 1, 1, 1, …, 1, …
b/ {(-1)n } = -1, 1, -1, …, (-1)n ,…
c/ 1
𝑛= 1,
1
2,1
3, … ,
1
𝑛, …
d/ {n2} = 1, 4, 9, …, n2, …
e/ 𝑛
𝑛:1=
1
2,2
3,3
4… ,
𝑛
𝑛:1, …
5
![Page 6: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/6.jpg)
Day số 𝑥𝑛 goi la tăng nêu xn < xn+1 ,
∀𝑛 ∈ 𝑁∗
Day số 𝑥𝑛 goi la giam nêu xn > xn+1 ,
∀𝑛 ∈ 𝑁∗
Day số tăng hay giảm đươc goi la day sô đơn
điêu.
6
![Page 7: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/7.jpg)
Day số 𝑥𝑛 goi la bi chăn trên nêu tồn tại số
M sao cho 𝑥𝑛 ≤ 𝑀,∀𝑛 ∈ 𝑁∗
Day số 𝑥𝑛 goi la bi chăn dươi nêu tồn tại số
m sao cho 𝑥𝑛 ≥ 𝑚,∀𝑛 ∈ 𝑁∗
Day số vưa bị chăn trên vưa bị chăn dưới goi
la day số bi chăn, tưc la tồn tại cac số m, M sao
cho :
𝑚 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 𝑀,∀𝑛 ∈ 𝑁∗
7
![Page 8: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/8.jpg)
Vi du
a/ Day 1
𝑛 la day giảm, bị chăn dưới bơi 0 va bị
chăn trên bơi 1, nên day bị chăn.
b/ Day {n2} la 2 day tăng, bị chăn dưới bơi 1
nhưng không bị chăn trên nên day không bị
chăn.
c/ Day {(-1)n } không tăng, không giảm va no bị
chăn dưới bơi -1 va bị chăn trên bơi 1.
8
![Page 9: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/9.jpg)
2. Giới han cua day sô
Số a đươc goi la giới hạn cua day 𝑥𝑛 nêu
với moi số 휀 dương be tuy y cho trước, tồn tại
một số tư nhiên n0 sao cho với moi n > n0 thi
𝑥𝑛 − 𝑎 < 휀.
Ta viêt: lim𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑎 hay 𝑥𝑛 → 𝑎 𝑘𝑖 𝑛 → ∞
Khi đo, day 𝑥𝑛 đươc goi la day hội tụ; Ngươc
lại ta goi day số đo phân ky
9
![Page 10: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/10.jpg)
3. Tinh chât va cac phep toan vê giới han cua
day
Đinh ly 1
a/ Nêu một day số co giới hạn thi giới hạn đo la
duy nhất.
b/ Nêu một day số co giới hạn thi no bị chăn (la
điêu kiện cân cua day hội tụ)
10
![Page 11: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/11.jpg)
Suy ra nêu một day không bị chăn thi no
không hội tụ.
Vi du:
Day {n2} = 1, 4, 9, …, n2, … bị chăn dưới bơi
1, không bị chăn trên nên day nay không co
giới hạn.
11
![Page 12: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/12.jpg)
Đinh ly 2
Nêu cac day số 𝑥𝑛 va 𝑦𝑛 đêu co giới hạn thi:
i/ lim𝑛→∞
𝑥𝑛 ± 𝑦𝑛 = lim𝑛→∞
𝑥𝑛 ± lim𝑛→∞𝑦𝑛
ii/ lim𝑛→∞
𝑥𝑛. 𝑦𝑛 = lim𝑛→∞
𝑥𝑛 . lim𝑛→∞𝑦𝑛
iii/ lim𝑛→∞
𝑥𝑛
𝑦𝑛
=lim𝑛→∞
𝑥𝑛
lim𝑛→∞
𝑦𝑛
(𝑣ơ 𝑖 lim𝑛→∞
𝑦𝑛 ≠ 0)
12
![Page 13: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/13.jpg)
Chu y:
Trong tinh toan vê giới hạn, co khi ta găp cac
dạng vô định sau: 0
0,∞
∞, 0.∞,∞ −∞. Khi đo
ta phải dung cac phep biên đôi để khư cac
dạng vô định đo.
13
![Page 14: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/14.jpg)
CHƢƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Một sô kết quả giới han cần nhớ
1) lim ,nk k k
2) 1
lim =0 lim =nn n
n
xx
; lim = lim =n nn nx a x a .
3) 1
lim 0, 0n n
; 1
lim 0, 1nn
.
4) Nêu 1a thì lim 0n
na ; 1a thì lim n
na .
5) lim 1n
na ( 0a ); lim 1n
nn ;
1lim 1
n
ne
n.
14
![Page 15: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/15.jpg)
7) Tính
limg n
nL f n
(dạng 1)
Ta áp dụng công thưc lim 1 .
lim nf n g ng n
nL f n e
6) Nêu 1, 1 thì ln
lim lim 0nn n
n n
n.
Một sô kết quả giới han cần nhớ
15
![Page 16: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/16.jpg)
Câu 1. Tinh cac giới hạn sau:
a/ lim𝑛→∞
3𝑛;5
9𝑛:1 (dạng
∞
∞)
b/ lim𝑛→∞
3𝑛3:5𝑛;4
𝑛2:5 (dạng
∞
∞)
c/ lim𝑛→∞
3𝑛:4
𝑛2:5 (dạng
∞
∞)
d/ lim𝑛→∞
( 2𝑛 + 3 − 𝑛 − 1 ) (dạng ∞ −∞)
e/ lim𝑛→∞
𝑛2(𝑛 − 𝑛2 + 1) ( d𝑎 𝑛𝑔 ∞. 0)
16
![Page 17: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/17.jpg)
f/ lim𝑛→∞
2𝑛
𝑛!
g/ lim𝑛→∞
1:22:32:⋯:𝑛2
𝑛3:5
h/ lim𝑛→∞
3𝑛2:𝑛;1
4𝑛2:2
3
i/ lim𝑛→∞
𝑛2− 𝑛33 + 𝑛
17
BÀI TÂP
![Page 18: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/18.jpg)
1. Cac đinh nghia
Đinh nghia 1 ( Trên ngôn ngữ day)
Cho ham số xac định trong khoảng (a, b);
Ta noi ham f (x) co giới hạn la L ( hữu hạn )
khi x dân tới x0, 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 va viêt la
lim𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥) = L nêu với bất ky day *𝑥𝑛+ trong
(a, b)\*𝑥0+ ma 𝑥𝑛 → 𝑥0 thi lim𝑛→∞
𝑓(𝑥𝑛) = L
18
GIỚI HẠN CUA HÀM SỐ
![Page 19: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/19.jpg)
Đinh nghia 2 (Trên ngôn ngữ 휀, 𝛿)
Cho ham số f(x) xac định trong khoảng (a,b);
Ta noi ham f (x) co giới hạn la L ( hữu hạn) khi
x dân tới x0 ( 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 ) nêu với bất ky
휀 > 0 𝑐𝑜 𝑡𝑟ươ 𝑐 𝑡𝑖 𝑚 đươ 𝑐 𝛿 > 0 𝑠𝑎𝑜 𝑐𝑜
𝑘𝑖 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 thi 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀
19
GIỚI HẠN CUA HÀM SỐ
![Page 20: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/20.jpg)
2. Tinh chât a/ Nêu f(x) co giới hạn khi 𝑥 → 𝑥0 thi giới hạn
đo la duy nhất.
b/ Nêu lim𝑥→𝑥
0
𝑓 𝑥 = 𝑎 , lim𝑥→𝑥
0
𝑔 𝑥 = 𝑏 thi
i/ lim𝑥→𝑥
0
𝐶. 𝑓 𝑥 = 𝐶. 𝑎 (C la hăng sô)
ii/ lim𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = a ±𝑏
iii/ lim𝑥→𝑥
0
𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) = a . 𝑏
iv/ lim𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)=
𝑎
𝑏 (𝑣ơ 𝑖 𝑏 ≠ 0)
20
![Page 21: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/21.jpg)
Vi du: Tinh cac giới hạn sau:
a/ lim𝑥→1
(2𝑥 + 5)
b/ lim𝑥→;1
(2𝑥2− 5𝑥 + 1)
c/ lim𝑥→1
𝑥:1
𝑥2;1
d/ lim𝑥→1
𝑥;1
𝑥2;3𝑥:2
Chương 1. Hàm số,
giới hạn, liên tục
21
![Page 22: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/22.jpg)
Vi du: Tinh cac giới hạn sau:
e/ lim𝑥→;1
𝑥:1
𝑥2;1
f/ lim𝑥→2
𝑥3;8
𝑥;2
g/ lim𝑥→
𝜋
2
𝑠𝑖𝑛𝑥
3𝑥2:𝑥;1
22
![Page 23: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/23.jpg)
Đinh ly ( Nguyên ly giới hạn kep)
Cho 3 day số 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 𝑣𝑎 h(x). Giả sư trên
miên xac định ta co:
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤h(x)
Va lim𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑥
0
(𝑥) = 𝑎
Khi đo lim𝑥→𝑥
0
𝑔(𝑥) = 𝑎
23
![Page 24: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/24.jpg)
Một sô giới han đăc biêt:
24
x 0
sinx1 lim = 1
x)
x
1
x x 0
13) lim 1+ = e lim 1+ x = e
xxhay
x 0
tanx2 lim = 1
x)
x 0
e 14 lim = 1
x
x
)
x 0
15 lim = 1
x
ln( x ))
![Page 25: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/25.jpg)
25
( Dạng )
Ta co:
1
3
x
x + 2lim
x -1
x
a /
3 3
x x
x + 2 3lim lim 1+
x -1 1
x x
x
Vi du. Tim giới hạn sau
![Page 26: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Đăt: x-1 = 3t. Khi đo:
3 3 4
x t
34
t t
3 3
3 1lim 1+ lim 1+
1
1 1lim 1+ lim 1+
1
x t
t
x t
.t t
e . e
![Page 27: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/27.jpg)
Vi du. Tim giới hạn sau
27
x
3 + xb / lim
x
x
x x
3 + x 3lim lim 1+
x
x x
x
( Dạng )
Ta co:
1
![Page 28: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/28.jpg)
28
3
x t
3
3
t
3 1lim 1+ lim 1+
1lim 1+
x t
t
x t
et
Đăt: x = 3t. Khi đo:
![Page 29: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/29.jpg)
29
2
2
3
2x
x +1lim
x - 2
x
c / ( ÐS :e )
Vi du. Tim giới hạn sau
x
+ 2lim
1
xx
d /x
![Page 30: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/30.jpg)
3. Giới han một phia
Giới hạn trai:
Giới hạn phải:
30
0x
0
lim 0
0
xf x L , , x D :
x x f x L
0x
0
lim 0
0
xf x L , , x D :
x x f x L
![Page 31: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/31.jpg)
Đinh ly:
Giới hạn tồn tại khi va chi khi tồn
tại giới hạn trai, giới hạn phải va
31
0x
limx
f x L
0 0x x
lim limx x
f x f x L
![Page 32: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/32.jpg)
Vi du: Tinh cac giới hạn sau
32
x 1
1lim
1b /
x
1
x 0lim xc / e
1
x 0lim xd / e
x 1
1lim
1a /
x
1x 0
1lim
1 x
e /e
1
x 0
1lim
1 x
f /e
![Page 33: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/33.jpg)
Đinh nghia 1:
Một ham sô f(x) đươc goi la vô cung be
(VCB) khi 𝑥 → 𝑥0 nêu lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0
Vi du:
33
2
1
2
xa / la VCB khi x
x
2b / cos x , cot x la VCB khi x
2 3 0c / f x x sin x la VCB khi x
ĐẠI LƢỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN
![Page 34: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/34.jpg)
Đinh nghia 2:
Một ham sô f(x) đươc goi la vô cung lơn
(VCL) khi 𝑥 → 𝑥0 nêu lim𝑥→𝑥0
| 𝑓(𝑥) | = +∞
* Nêu f(x) la VCB khi 𝑥 → 𝑥0 thi 1
𝑓(𝑥) la môt
VCL, va ngươc lai.
34
![Page 35: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/35.jpg)
Tinh chât
1/ Nêu 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥) la hai VCB khi 𝑥 → 𝑥0 thi
𝑓1(𝑥) ± 𝑓2(𝑥) , 𝑓1 𝑥 . 𝑓2(𝑥) cung la những VCB khi
𝑥 → 𝑥0.
2/ Nêu 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥) la hai VCL cung dấu khi 𝑥 → 𝑥0 thi
𝑓1 𝑥 + 𝑓2(𝑥) cung la VCL khi 𝑥 → 𝑥0. Tich cua 2
VCL khi 𝑥 → 𝑥0 cung la một VCL khi 𝑥 → 𝑥0
35
![Page 36: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/36.jpg)
So sanh cac vô cung be
Đinh nghia 3: Gia sư α 𝑥 , 𝛽 𝑥 − 𝑉𝐶𝐵 𝑘𝑖
𝑥 → 𝑥0 𝑣𝑎 lim𝑥→𝑥0
𝛼 𝑥
𝛽 𝑥= 𝐿.
1/ Nêu L = 0 thi α 𝑥 la VCB bâc cao hơn 𝛽 𝑥
2/ Nêu 𝐿 = ∞ thi α 𝑥 la VCB bâc thấp hơn 𝛽 𝑥
3/ Nêu 𝐿 = 𝐴 thi α 𝑥 va 𝛽 𝑥 𝑙𝑎 𝑎𝑖 𝑉𝐶𝐵 cung bâc
4/ Nêu không tồn tại giới hạn, thi không thê so sanh
hai VCB α 𝑥 v𝑎 𝛽 𝑥
36
![Page 37: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/37.jpg)
Đinh nghia 4: Gia sư α 𝑥 , 𝛽 𝑥 − 𝑉𝐶𝐵 𝑘𝑖
𝑥 → 𝑥0 𝑣𝑎 lim𝑥→𝑥0
𝛼 𝑥
𝛽 𝑥= 1
Khi đo ta noi α 𝑥 v𝑎 𝛽 𝑥 la hai VCB tương
đương.
37
![Page 38: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/38.jpg)
Cac VCB thƣơng găp khi 𝒙 → 𝟎
38
2
1
2 1 1
13 1 1
4 1 5 1
6 1 1 7 1
8 12
m
m
x x
/ sin x ~ arcsin x ~ tan x ~ arctan x ~ x
x/ x ~
m
x/ ln x ln x ~
m m
/ e ~ x / a ~ ( x )ln a
/ x ~ x / ln x ~ x
x/ cos x ~
![Page 39: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/39.jpg)
Qui tăc thay thế tƣơng đƣơng cac VCB
Giả sư 𝛼 𝑥 ~𝛼′(𝑥) 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 ~𝛽′ 𝑥 𝑘𝑖
𝑥 → 𝑎, 𝑣𝑎 𝑛ê 𝑢 𝑡ô 𝑛 𝑡𝑎 𝑖:
Thi
39
x a x a
( x ) '( x )lim lim
( x ) '( x )
x a
'( x )lim
'( x )
![Page 40: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/40.jpg)
Qui tăc ngăt bo cac VCB bâc cao
Giả sư 𝛼 𝑥 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 𝑙𝑎 𝑐𝑎 𝑐 𝑉𝐶𝐵 𝑘𝑖
𝑥 → 𝑎, 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 la VCB bâc cao hơn 𝛼 𝑥 thi
𝑘𝑖 𝑥 → 𝑎, 𝛼 𝑥 + 𝛽 𝑥 ~𝛼 𝑥
40
![Page 41: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/41.jpg)
Vi du:
Tinh cac giới hạn sau:
41
2 2
0
2
3x
sin x arcsin x arctan xa / lim
x
3 3 5
0
1 4
x
cos x sin x sin x x xb / lim
x
![Page 42: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/42.jpg)
Vi du:
Tinh cac giới hạn sau:
42
30
x
tan x sin xc / lim
x
0
1
4 1xx
ln xd / lim
![Page 43: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Tính giới hạn
![Page 44: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/44.jpg)
44
![Page 45: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/45.jpg)
So sanh cac vô cung lớn
Đinh nghia 5: Giả sư α 𝑥 , 𝛽 𝑥 − 𝑉𝐶𝐿 𝑘𝑖
𝑥 → 𝑥0 𝑣𝑎 lim𝑥→𝑥0
𝛼 𝑥
𝛽 𝑥= 𝐿.
1/ Nêu L = 0 thi α 𝑥 la VCL bâc thấp hơn 𝛽 𝑥
2/ Nêu 𝐿 = ∞ thi α 𝑥 la VCL bâc cao hơn 𝛽 𝑥
3/ Nêu 𝐿 = 𝐴 thi α 𝑥 va 𝛽 𝑥 𝑙𝑎 𝑎𝑖 𝑉𝐶𝐿 cung bâc
4/ Nê 𝑢 𝐿 = 1 thi 𝑥 v𝑎 𝛽 𝑥 la hai VCL tương
đương.
45
![Page 46: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/46.jpg)
Qui tăc thay thế tƣơng đƣơng cac VCL
Giả sư 𝛼 𝑥 ~𝛼′(𝑥) 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 ~𝛽′ 𝑥 𝑘𝑖
𝑥 → 𝑎, 𝑣𝑎 𝑛ê 𝑢 𝑡ô 𝑛 𝑡𝑎 𝑖:
Thi
46
x a x a
( x ) '( x )lim lim
( x ) '( x )
x a
'( x )lim
'( x )
![Page 47: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/47.jpg)
Qui tăc ngăt bo cac VCL
Giả sư 𝛼 𝑥 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 𝑙𝑎 𝑐𝑎 𝑐 𝑉𝐶𝐿 𝑘𝑖
𝑥 → 𝑎, 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 la VCL bâc thấp hơn 𝛼 𝑥 thi
𝑘𝑖 𝑥 → 𝑎, 𝛼 𝑥 + 𝛽 𝑥 ~𝛼 𝑥
47
![Page 48: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/48.jpg)
Vi du:
Tinh cac giới hạn sau:
48
3
3 2
5 2 6
2 2 3x
x x xa / lim
x x x
2 4
3 1x
x xb / lim
x
![Page 49: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/49.jpg)
Vi du
Tim giới hạn sau
lim𝑥→0
𝑥 𝑠𝑖𝑛1
𝑥
49
![Page 50: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/50.jpg)
Bai tâp:
Tinh cac giới hạn sau:
50
2
11 1
x
xa / lim ÐS :
x
31
2 254
26 3x
xb / lim ÐS :
x
1
2
01 x
xc / lim x ÐS : e
![Page 51: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/51.jpg)
1. Đinh nghia
Đinh nghia 1
𝑓 la một ham sô xac định trong khoảng (𝑎, 𝑏), 𝑥0 la một điểm thuộc (𝑎, 𝑏). Ngươi ta noi răng ham sô 𝑓 liên tục tại 𝑥0 nêu:
• Nêu ham sô không liên tục tại 𝑥0, ta noi ham sô đo gian đoạn tại 𝑥0
51
HÀM SỐ LIÊN TỤC
0
0x xlim f x f x
![Page 52: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/52.jpg)
Đinh nghia 2
Ham sô 𝑓 liên tục trong khoảng mơ (𝑎, 𝑏) nêu
no liên tục tại moi điểm cua khoảng đo.
Ham sô 𝑓 đươc goi la liên tục trong khoảng
đong ,𝑎, 𝑏- nêu no liên tục trong khoảng (𝑎, 𝑏) va liên tục phải tại 𝑎 va liên tục trai tại 𝑏.
52
![Page 53: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/53.jpg)
2. Cac phep toan vê ham sô liên tuc
Đinh ly 1.
Nêu 𝑓 va 𝑔 la hai ham sô liên tục tại 𝑥0 thi :
a/ 𝑓 + 𝑔 liên tục tại 𝑥0
b/ 𝑓. 𝑔 liên tục tại 𝑥0
c/ 𝑓/𝑔 liên tục tại 𝑥0 nêu 𝑔(𝑥0 ) ≠ 0
53
![Page 54: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/54.jpg)
2. Cac phep toan vê ham sô liên tuc
Đinh ly 2.
Nêu ham sô 𝑢 = 𝜑(𝑥) liên tục tại 𝑥0 , ham
𝑦 = 𝑓(𝑢) liên tục tại 𝑢0 = 𝜑(𝑥0) thi ham sô
hơp 𝑦 = 𝑓𝑜𝜑 𝑥 = 𝑓 𝜑 𝑥 liên tục tại 𝑥0
Đinh ly 3.
Nêu ham sô f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thi no bị
chăn trong đoạn đo, tưc la tồn tại hai sô m va M
sao cho: 𝑚 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ,𝑎, 𝑏-
54
![Page 55: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/55.jpg)
2. Cac phep toan vê ham sô liên tuc
Đinh ly 4.
Nêu ham sô 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn ,𝑎, 𝑏- va 𝑓(𝑎) = 𝐴, 𝑓(𝑏) = 𝐵 thi moi điểm 𝐶 thuộc ,𝐴, 𝐵- , luôn tồn tại một 𝑥0 ∈ ,𝑎, 𝑏- sao cho 𝑓(𝑥0 ) = 𝐶
Hê qua:
Nêu ham sô 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn ,𝑎, 𝑏- va 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) < 0 thi tồn tại it nhất một 𝑥0 thuộc ,𝑎, 𝑏- sao cho 𝑓(𝑥0 ) = 0
55
![Page 56: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/56.jpg)
2. Cac phep toan vê ham sô liên tuc
Đinh ly 5.
Moi ham số sơ cấp đêu liên tục trên miên xac
định cua no.
56
![Page 57: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/57.jpg)
• Đinh ly
Ham số ( )f x liên tục tại 0x nêu
0 0
0lim ( ) lim ( ) ( ).x x x x
f x f x f x
4.3. Ham sô liên tuc một phia
• Đinh nghia
Ham số ( )f x đươc goi la liên tuc trai (phai) tại 0x nêu
0
0lim ( ) ( )x x
f x f x (0
0lim ( ) ( )x x
f x f x ).
57
![Page 58: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/58.jpg)
Phân loai điêm gian đoan
Cho 𝑥0 la điểm gian đoạn cua đô thi ham sô 𝑦 = 𝑓(𝑥).
1/ Điêm gian đoan loai 1:
Giới hạn phải va giới hạn trai tồn tại va hữu hạn thi :
• 𝑥0 la bước nhảy nêu
Với bước nhảy:
• x0 la điểm khư đươc
58
0f x 0
f x
0 0f x f x
0 0h f x f x
0 0 0f x f x f x
![Page 59: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/59.jpg)
2/ Điêm gian đoan loai 2:
Nêu một trong 2 giới hạn (trai hoăc phải)
không tồn tại hoăc tồn tại nhưng băng vô
cung.
59
O x
y( )C
0x
![Page 60: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/60.jpg)
Vi du: Xét tính liên tục cua hàm số
60
22 21
1
5 1
x xkhi x
a / h x x
khi x
![Page 61: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Ta có: Tâp xác định cua hàm số là R
• Nêu 𝑥 ≠ 1, thì 𝑥 =2𝑥2;2𝑥
𝑥;1 liên tục trên
(−∞; 1) ∪ (1;+∞)
• Nêu 𝑥 = 1 thì (1) = 5
Vây hàm số (𝑥) liên tục trên
(−∞; 1) ∪ (1;+∞) và gián đoạn tại 𝑥 = 1
2
1 1
2 22 1
1x x
x xlim f ( x ) lim h( )
x
![Page 62: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/62.jpg)
b/ Hàm số 𝑓(𝑥) =1
𝑥
Ta có hàm số không xác định tại 𝑥 = 0
Vây hàm số không liên tục tại 𝑥 = 0;
𝑥 = 0 là điểm gián đoạn loại 2
62
0 0
1 1
x x
lim , limx x
![Page 63: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/63.jpg)
c/ Hàm số 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 4, 𝑥 ≤ 2𝑥 − 1, 𝑥 > 2
Xác định tại moi 𝑥 ∈ 𝑅, nhưng
𝑓(2) = 𝑓 (−2 + 4) = 2 ≠ 𝑓 2 − 1 = 1,
Vây 𝑥 = 2 là điểm gián đoạn loại 1,
với bước nhảy cua hàm 𝑓 tại 𝑥 = 2 băng |2 − 1| = 1
63
![Page 64: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/64.jpg)
Ta có đồ thị hàm số:
64
Tại x0= 4 ta có:
lim𝑥→4
𝑓(𝑥)= lim𝑥→4
𝑥 − 1
= 3 = f(4)
Vây f(x) liên tục tại x0=4
![Page 65: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/65.jpg)
Vi du: Tim điêm gian đoan cua ham sô :
65
4 2
1 2
x ,xa / f x
x ,x
2
10
1 0
,xc / f x x
,x
2 22
2
1 2
x xx
b / f x x
x
![Page 66: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/66.jpg)
66
Tính giới hạn
BÀI TÂP
![Page 67: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/67.jpg)
67
Tính giới hạn
![Page 68: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/68.jpg)
68
![Page 69: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/69.jpg)
69
![Page 70: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/70.jpg)
70
Tính giới hạn
![Page 71: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/71.jpg)
71
HÀM SỐ LIÊN TỤC
![Page 72: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/72.jpg)
72
Xét tính liên tục của hàm số
![Page 73: CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG - Định nghĩa và tính chất giới hạn - Định nghĩa và tính chất hàm](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022013019/5e0e12e2e6ab943d4e3f2688/html5/thumbnails/73.jpg)
73
Xét tính liên tục của hàm số