Himpunan Bilangan
description
Transcript of Himpunan Bilangan
![Page 1: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/1.jpg)
Himpunan BilanganHimpunan Bilangan
Pertemuan 2Pertemuan 2
(Himpunan Bilangan)(Himpunan Bilangan)
.::Erna Sri Hartatik::..::Erna Sri Hartatik::.
![Page 2: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/2.jpg)
Himpunan bilangan dan Himpunan bilangan dan skemanyaskemanya
![Page 3: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/3.jpg)
Skema Himpunan Skema Himpunan BilanganBilangan
![Page 4: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/4.jpg)
Himpunan bilangan asliHimpunan bilangan asliadalah himpunan bilangan yang anggota-adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat anggotanya merupakan bilangan bulat positif.positif.
Ex: N = {1,2,3,4,5,6,......}Ex: N = {1,2,3,4,5,6,......}
Himpunan bilangan primaHimpunan bilangan primaadalah himpunan bilangan-bilangan asli adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.dan satu, kecuali angka 1.
Ex: P = {2,3,5,7,11,13,....} Ex: P = {2,3,5,7,11,13,....}
![Page 5: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/5.jpg)
Himpunan bilangan cacahHimpunan bilangan cacahadalah himpunan bilangan yang anggota-adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.positif digabung dengan nol.
Ex: C = {0,1,2,3,4,5,6,....}Ex: C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
Himpunan bilangan bulatHimpunan bilangan bulatadalah himpunan bilangan yang anggota-adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.negatif, nol, dan positif.
Ex: B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} Ex: B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
![Page 6: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/6.jpg)
Himpunan bilangan rasionalHimpunan bilangan rasionaladalah himpunan bilangan yang anggota-adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:dinyatakan sebagai:p/q dimana p,q p/q dimana p,q bulat dan q bulat dan q 0 atau dapat 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.CContoh:ontoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
Himpunan bilangan irasionalHimpunan bilangan irasionaladalah himpunan bilangan yang anggota-adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.sebagai suatu desimal berulang.
contoh:contoh: log 2, e, log 2, e, 77
![Page 7: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/7.jpg)
Himpunan bilangan riilHimpunan bilangan riiladalah himpunan yang anggota-anggotanya adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.bilangan rasional dan irasional.contoh:contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3 log 10, 5/8, -3, 0, 3
Himpunan bilangan imajinerHimpunan bilangan imajineradalah himpunan bilangan yang anggota-adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan dimana i merupakan lambang bilangan baru.baru.
contoh:contoh: i, 4i, 5i i, 4i, 5i
![Page 8: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/8.jpg)
Himpunan bilangan kompleksHimpunan bilangan kompleksadalah himpunan bilangan yang anggota-adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b anggotanya (a + bi) dimana a, b R, i² = -R, i² = -1, 1,
dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.contoh:contoh: 2-3i, 8+2 2-3i, 8+2
![Page 9: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/9.jpg)
Bilangan bulatBilangan bulat
![Page 10: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/10.jpg)
Bilangan bulat adalah bilangan bukan Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan : pecahan yang terdiri dari bilangan :
Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …) Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …) Nol : 0 Nol : 0 Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1) Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1) Himpunan Bilangan bulat Himpunan Bilangan bulat
A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } }
![Page 11: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/11.jpg)
Garis bilangan bulat Garis bilangan bulat
0-1-2-3 1 2 3 4-4
bilangan bulat positif
bilangan bulat Negatif
Bilangan nol
Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil : Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … } Bilangan yang habis dibagi dengan 2 Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … } Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1
![Page 12: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/12.jpg)
Operasi Hitung Bilangan Operasi Hitung Bilangan BulatBulat
PenjumlahanPenjumlahan Sifat Asosiatif Sifat Asosiatif ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) Sifat Komutatif Sifat Komutatif a + b = b + a a + b = b + a Unsur Identitas terhadap penjumlahan Unsur Identitas terhadap penjumlahan a + 0 = a + 0 = 0 + a 0 + a Unsur invers terhadap penjumlahan Unsur invers terhadap penjumlahan a + (-a) = a + (-a) = (-a) + a(-a) + a Bersifat tertutupBersifat tertutup a dan b ∈ bilangan bulat a dan b ∈ bilangan bulat
maka maka a + b = c ; c ∈ bilangan bulat a + b = c ; c ∈ bilangan bulat
![Page 13: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/13.jpg)
PenguranganPengurangan Untuk sembarang bilangan bulat berlaku : Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :
a – b = a + (-b) a – b = a + (-b)
a – (-b) = a + ba – (-b) = a + b Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku
a – b ≠ b - a a – b ≠ b - a
(a – b ) – c ≠ a – ( b – c )(a – b ) – c ≠ a – ( b – c ) Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat : Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :
a – 0 = a dan 0 – a = -aa – 0 = a dan 0 – a = -a Bersifat tertutup Bersifat tertutup a dan b ∈ bilangan bulat a dan b ∈ bilangan bulat
maka maka
a - b = c ; c ∈ bilangan bulat a - b = c ; c ∈ bilangan bulat
![Page 14: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/14.jpg)
PerkalianPerkalian a x b = ab , a x –b = -ab , -a x -b = aba x b = ab , a x –b = -ab , -a x -b = ab Sifat Asosiatif Sifat Asosiatif (a x b) x c = a x (b x c) (a x b) x c = a x (b x c) Sifat komutatif Sifat komutatif a x b = b x a a x b = b x a Sifat distributif Sifat distributif a x (b+c) = (a x b ) + (a a x (b+c) = (a x b ) + (a
x c)x c) Unsur identitas untuk perkalianUnsur identitas untuk perkalian a x 0 = 0 a x 0 = 0
atau atau a x 1 = 1 x a = a a x 1 = 1 x a = a Bersifat tertutupBersifat tertutup a x b = c a x b = c
a, b, c ∈ bilangan bulat a, b, c ∈ bilangan bulat
![Page 15: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/15.jpg)
PembagianPembagian Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah
bilangan positif bilangan positif (+) : (+) = (+)(+) : (+) = (+) Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah
bilangan positifbilangan positif (-) : (-) = (+)(-) : (-) = (+) Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda
adalah bilangan negatif adalah bilangan negatif (+) : (-) = (-) atau (+) : (-) = (-) atau (-) : (+) = (-)(-) : (+) = (-)
Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi adalah tidak terdefinisi a : 0 a : 0 (~) atau 0 : (~) atau 0 : aa 0 (nol) 0 (nol)
Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif
a : b ≠ b : a atau (a:b):c ≠ a : (b:c)a : b ≠ b : a atau (a:b):c ≠ a : (b:c) Bersifat tidak tertutupBersifat tidak tertutup
![Page 16: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/16.jpg)
Pemangkatan bilangan Pemangkatan bilangan bulatbulat
Contoh : 3
4 = 4 x 4 x 4 = 64 53 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
![Page 17: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/17.jpg)
Akar pangkat duaAkar pangkat dua
Akar kuadrat (akar pangkat dua)Akar kuadrat (akar pangkat dua)
![Page 18: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/18.jpg)
Akar kubik (akar pangkat Akar kubik (akar pangkat tiga)tiga)
![Page 19: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/19.jpg)
Bilangan RiilBilangan Riil
![Page 20: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/20.jpg)
Notasi dari himpunan bilangan riil adalah Notasi dari himpunan bilangan riil adalah dinyatakan sebagai garis lurus dinyatakan sebagai garis lurus xx є є
dibaca dibaca x x (sembarang bilangan) anggota (sembarang bilangan) anggota dari dari Jika Jika xx є є dinyatakan sebagai suatu dinyatakan sebagai suatu titik di garis titik di garis
x
Bilangan x terletak antara -a dan a dengan titik pusatnya 0
0-a a
xx
![Page 21: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/21.jpg)
Urutan Pada Garis Urutan Pada Garis Bilangan RiilBilangan Riil
Misalkan: Misalkan: x x < < yy dibaca dibaca x x berada di sebelah kiri berada di sebelah kiri yy
atau x lebih kecil dari yatau x lebih kecil dari y
x x > > yy dibaca dibaca x x berada di sebelah berada di sebelah kanan kanan yy
atau y lebih kecil dari xatau y lebih kecil dari x
x yy x
x<y
x>y
• dibaca “ jika dan hanya jika”• x < y y-x positif
![Page 22: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/22.jpg)
Sifat–sifat bilangan real Sifat–sifat bilangan real Sifat-sifat urutan :Sifat-sifat urutan :
TrikotomiTrikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = yy
KetransitifanKetransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < zJika x < y dan y < z maka x < z PerkalianPerkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yzyz
![Page 23: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/23.jpg)
Penambahan Penambahan x<y x<y x+z <y+z x+z <y+z Relasi urutan Relasi urutan dibaca “kurang dari atau dibaca “kurang dari atau
sama dengan”sama dengan”
dibaca “lebih dari atau dibaca “lebih dari atau sama dengan” sama dengan”
x x y y y - x y - x positif atau nol positif atau nol
![Page 24: Himpunan Bilangan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061409/56815133550346895dbf4c7f/html5/thumbnails/24.jpg)
Selang (interval)Selang (interval)Penulisan Penulisan himpunan Grafik
(a,b) {x є | a < x < b}
[a,b] {x є | a ≤ x ≤ b}
[a,b) {x є | a ≤ x < b}
(a,b] {x є | a < x ∞ b}
(a,∞) {x є | x > a}
[a, ∞) {x є | x ≥ a}
(-∞,b) {x є | x < b}
(-∞,b] {x є | x ≤ b}
(-∞, ∞)
a
ba
b
a b
a b
a
a
b
b
himpunan bilangan real tertentu yang didefinisikan dan dilambangkan sebagai berikut: