LOGIKA 01 Modul ke: MATEMATIKA-+Logika...dan contoh-contoh soal-jawab penerapan rumus khususnya pada...
Transcript of LOGIKA 01 Modul ke: MATEMATIKA-+Logika...dan contoh-contoh soal-jawab penerapan rumus khususnya pada...
Modul ke:
Fakultas
Program Studi
LOGIKA MATEMATIKA
Dosen:
Drs. Sumardi Hs., M.Sc.
01FASILKOM
Teknik Informatika
Tentang
Abstrak Kompetensi Modul ini membahas pengertian himpunan, notasi-notasi, rumus-rumus, dan contoh-contoh soal-jawab penerapan rumus khususnya pada himpunan bilangan riil.
Mahasiswa dapat memahami pengertian himpunan, notasi-notasi, rumus-rumus, dan contoh-contoh soal-jawab penerapan rumus khususnya pada himpunan bilangan riil agar dapat menerapkan pada soal-soal yang diberikan.
HHHIIIMMMPPPUUUNNNAAANNN 01.1. PENGERTIAN HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan sesuatu yang didefinisikan dengan jelas dan anggota-
anggotanya dapat dibedakan satu sama lain.
Contoh : 1. Himpunan bilangan bulat antara 1 dan 5.
A = {2,3,4} = {x | x = bilangan bulat, 1 < x < 5}
2. Himpunan hewan piaraan.
B = {kucing, anjing,…}
= {x | x = hewan piaraan}
3. Himpunan mahasiswa rajin belajar.
C = {Amir, Tuti, Hasan,…}
= {x | x = mahasiswa rajin belajar}
4. Himpunan titik-titik pada fungsi y = x-1 dengan x = bilangan bulat positif.
D = {(1,0),(2,1),(3,2),…}
= {(x,y) | y = x – 1, x = bil bulat positif}
Notasi : 1. = elemen/anggota.
aB = a elemen/anggota B
aC = a bukan elemen/anggota C.
2. Ø atau { } = Himpunan kosong
= Himpunan yang tidak mempunyai anggota.
3. S = Himpunan semesta (pembicaraan)
= Himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan
4. atau atau = Himpunan bagian
A B atau B A
A B dibaca “A himpunan bagian dari B”
B A dibaca “B memuat A”
Contoh : A = {1,2} ; B = {0,1,2,3}
5. = Union/gabungan.
C D = C union D
Contoh : C = {a,b} ; D = {b,c,d}
C D = {a,b} {b,c,d}
= {a,b,c,d}
6. = Interseksi/irisan
dengan contoh di atas
C D = {b}
Diagram Venn
A B A B
A atau A A – B = A ∩ Bc
= {x | x E A} = {x | x Ẹ A dan x E B}
Misal : S = {1,2,3,4,5} Misal : A = {a,b,c,d,e}A = {3,5} B = {c,d,e,f,g}A = {1,2,4} A – B = {a,b,c}AA = S B – A = {f,g}
RUMUS-RUMUS
B – A = B A
1. (AC)C = A2. Ø = S Sc = Ø 3. A – B = A BC A + B = (A B) – (A B)4. A Ø = A A Ø = Ø5. A S = S A S = A 6. A A =A A A =A7. A AC = S A AC = Ø
8. Asosiatif :(A B) C = A (B C)(A B) C = A (B C)
9. KomutatifA B = B AA B = B A
10. Distributif :A (B C) = (A B) )∩(A C)A (B C) = (A B) (A C)
11. Demorgan (A B) = AC BC
(A B) = AC BC
A – (B C) = (A – B) ∩(A – C)A – (B∩C) = (A – B) (A – C)
12. Banyak anggota himpunan (n)n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) - n(A B) –
n(A B) + n(A B C)
Bilangan Kompleks
Bilangan Riil Bilangan Imaginer
Bilangan Rasional Bilangan Irasional
Bilangan Pecah
Bilangan Bulat
Bilangan Bulat Negatif
Bilangan Cacah
Bilangan Nol
Bilangan Asli
1 dan Bilangan Prima
Bilangan Komposit
Bilangan Pecah Negatif
Bilangan Pecah Positif
Contoh :
Penerapan pada himpunan :
1. S = {x | x = bilangan asli}, A = {x | x bilangan prima}maka AC = {x | x = bilangan komposit atau x = 1}
2. A = {x | x = bilangan cacah}B = {x | x = bilangan komposit}maka A – B = {x | x {0,1}atau x = bilangan prima}
3. A = (x | x = bilangan riil}B = {x | x = bilangan bulat}maka A – B = {x | x = bilangan irasional atau x = Bilangan pecah}
HAL-HAL YANG PERLU DIKETAHUI !!
1. Bilangan Asli = 1,2,3,4,5,6,…
2. Bilangan Cacah = 0,1,2,3,4,5,…
3. Bilangan Prima = 2,3,5,7,11,13,…
4. Bilangan Komposit = 4,6,8,9,10,12,…(hasil perkalian mulai 4)
5. Bilangan Irasional = bilangan akar murni (,√2, √3, √5, √7 ,…), π, ..
6. Himpunan Lepas (saling asing) A & B, maka A B = Ø
77
7. Himpunan ekivalen C dan D, maka elemen-elemen yang seletak, ekivalen.
8. Himpunan Kuasa (2S).Adalah himpunan yang elemennya berupa himpunan-himpunan bagian dari S.Contoh : S = { a, b }
Maka 2S = { Ø, {a}, {b}, {a,b} }Jumlah anggota himpunan tersebut = 2² = 4
SOAL-SOAL DAN PENYELESAIAN
Diketahui : S = {x | x bilangan riil}A = {x | -1 < x ≤ 0}B = {x | 0 < x ≤1}
Ditanyakan : Cari A B, A B, AC BC !Jawab :
Maka A B = {x | -1 < x ≤1}A B = {0}A B C = ( A B)C = {x | x ≤ -1 atau x > 1}
2. Buktikan : a). A – (B C) = (A – B) (A – C)b). A – (B C) = (A – B) (A – C)
Bukti ;a). A – (B C) = A (B C)C
= A (BC CC)= (A BC) (A CC)= (A – B) (A – C)
b). A – (b C) = A (B C)C
= A (BC CC) = (A BC) (A CC)= (A – B) (A – C)
3. Diketahui : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; A = {1,2,3,4}B = {2,4,6,8} ; C = {3,4,5,6}
Ditanyakan ;
a). A B, A C, B Cb). A B, A C, B Cc). AC, BC, CC
d). A – B, B – A, C – A, B – Ce). (A B) – C
Jawab :a). A B = {2,4}
A C = {3,4}B C = {4,6}
b). A B = {1,2,3,4,6,8}A C = {1,2,3,4,5,6}B C = {5,6,7,8,9}
c). AC = {5,6,7,8,9}BC = {1,3,5,7,8,9}CC = {1,2,7,8,9
d). A – B = {1,3} B – A = {6,8}C – A = {5,6}B - C = {2,8}
e). (A B) – C = {2,4} – {3,4,5,6}= {2}
4. Sesuai soal nomor 3, buktikan :a). A (B C) = (A B) (A C)b). (A B) B (A B)c). (A B) B (A B)
Jawab :a). A (B C) = {1,2,3,4} {2,3,4,5,6,8}
= {2,3,4}(A B) (A C) = {2,4} {3,4}
= {2,3,4} Terbukti
b). (A B) A (A B){2,4} {1,2,3,4} {1,2,3,4,6,8}Terbukti bahwa setiap x (A B) maka x A dan setiap x A maka x (A B). Terbukti
c). (A B) B (A B){2,4} {2,4,6,8} {1,2,3,4,6,8}Terbukti bahwa setiap x (A B), maka x B dan setiap x B maka x (A B). Terbukti
5. Jika himpunan K = {x | x positif dan x² + 5x + 6 = 0}Maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah ?
Jawab : x² + 5x + 6 = 0(x + 3 (x + 2) = 0 - (x1 = -3)
- (x2 =-2)K = { } = Ø n (K) = 0
Jadi banyaknya himpunan bagian dari K = 2º = 1
SOAL - SOAL
1. Diketahui : S = {x | x bilangan riil}, A = {x | -3 < x ≤ 1}, B = {x | -1 < x ≤4}Ditanyakan : Cari A B, A B, A – B, B – AC, A BC !
2. Diketahui : S = {x | x bilangan riil}, A = {x | -5 ≤ x< 2}, B = {x | -2 < x ≤6}
Ditanyakan : Cari (A B) - ( A B), (A-B) (B-A), AC BC !
3. Diketahui : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; A = {1,3,5,7}B = {2,3,4,5} ; C = {3,6,8,9}
Ditanyakan : a). A B, A C, B C d). A – B, B – A, C – A, B – Cb). A B, A C, B C e). (A B) – Cc). AC, BC, CC
4. Diketahui : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; A = {2,4,6,8}B = {2,3,4,5} ; C = {3,6,8,9}
Ditanyakan : a). (AB) – C b). (AC BC) -CC
c). (A – B) (C – A) d). (C – A) (B – C)
5. Bila N = himpunan bilangan asli, tentukan elemen-elemen himpunan-himpunan:
a). A = { x | x N, -2 < x + 2 < 15 }b). B = { x | x N, x = bilangan genap, 0 < x - 2 < 15 }c). C = { x | x N, x = bilangan ganjil, -1 < x + 3 < 15 }d). D = { x | x N, x = bilangan prima, 0 < x + 2 < 15 }
6. Bila R = himpunan bilangan riil, tentukan elemen-elemen himpunan-himpunan:
a). A = { x | x R, | x + 2| < 5 }b). B = { x | x R, 3 log x < 5}c). C = { x | x R, V(x+2) < 5 }d). D = { x | x R, x3 – 2 x2 + 3x + 6 = 0 }
7. Bila N = Himpunan bilangan asli, M = Himpunan bilangan genap, M N,K = Himpunan bilangan ganjil, K N,L = Himpunan bilangan kelipatan 3, L N,P = Himpunan bilangan kelipatan 5, P N,
Tentukan elemen-elemen himpunan-himpunen berikut ini:a). A = { x | x N, x L, 1 < x < 50 }b). B = { x | x N, x P, 1 < x < 100 }c). C = { x | x M, x L, 1 < x < 50 }d). D = { x | x K, x L, 1 < x < 50 }e). E = { x | x M, x P, 1 < x < 100 }f). F = { x | x K, x P, 1 < x < 100 }
8. Himpunan N, M, K, L, P sama seperti no. 7, tentukan:g). G = { x | x N, x L P, 1 < x < 100 }h). H = { x | x N, x L P, 1 < x < 100 }i). I = { x | x M, x L P, 1 < x < 100 }j). J = { x | x K, x L P, 1 < x < 100 }