Hatrids gyletek

A kontraktusok fbb jellemziA kontraktusok fbb jellemzi Kontraktusmret: egy kontraktusra szl ajnlat

legkisebb (oszthatatlan) mennyisgeEl l l t d tt Elszmolr: az az r, amelyet az adott nap vgn a BT megllapt.

Napi maximlis rmozgs: az utols elszmolrhoz Napi maximlis rmozgs: az utols elszmolrhoz kpest megllaptott, a BT ltal elzetesen meghatrozott s nyilvnossgra hozott eltrseg a o o s y ossg a o o e s

Lejrati hnapok: azok a hnapok, amelyekben egy adott instrumentum lejrj

Letti kvetelmny: a hatrids kontraktusok megktsnl elklntett pnzsszeg, amelynek terhre naponta trtnik az elszmols

Nhny hatrids termk jellemzjeNv Mret rlpskz Hatrid Zrs Induls

Hatrids BUX

BUX*100Ft

0,5 pont Mrcius, jnius, szeptember, december

H 3. pntekje

ves, ktvesp j

T-Com 100 1 Ft Mrcius jnius H 3 ves + 3T Com 100 ezer forint

1 Ft Mrcius, jnius, szeptember, december + kt legkzelebbi hnap

H 3. pntekje

ves + 3 hnapos

EUR/HUF 1000 0 01 Ft Legkzelebbi ht Minden Elz htEUR/HUF 1000 eur

0,01 Ft Legkzelebbi ht Minden szerda

Elz ht szerda

BUBOR( 10 0 01% M i j i H 3 2 lBUBOR(1 hnap)

10 mFT

0,01% Mrcius, jnius, szeptember, december kt vre elre, + kt legkzelebbi hnap

H 3. szerdja

2 vvel a zrs eltt, + 3 hnap

legkzelebbi hnap

Bza 100 t 10 Ft Mrcius, mjus, augusztus, szeptember, december csepeli

Havi utols keresk

17 hnapra elre

pszabadkiktbe

keresk. nap

Hatrids gyletek rsztveviHatrids gyletek rsztvevi

Termelk vagy felhasznlk

Spekulnsok

sajt szmlra dolgoz tzsdetagok

kis s nagybefektetk kis- s nagybefektetk

A bit k Arbitrazsrk

Hatrids gylet cljaHatrids gylet clja

Rsztvevk Hatrids vtelclja

Hatrids eladscljaclja clja

Hedger Vdekezs az Vdekezs azgremelkeds

ellenrcskkens ellen

ellenSpekulns Profitszerzs az

emelkedProfitszerzs a

cskken rakblemelkedrakbl

cskken rakbl

A futures nyeresgfggvnyeA futures nyeresgfggvnye

Longfutures

Shortfutures

Mgttes termkra

Ktsi r

Az egyszer opcik nyeresgfggvnyeiVteli jog (long call) +C Eladsi jog (long put) + P

100

n

y

e

r

e

s

g

n

y

e

r

e

s

g

100 piaci rfolyampiaci rfolyam

e

s

z

t

e

s

g

e

s

z

t

e

s

g

Eladsi ktelezettsg (short call) -C Vteli ktelezettsg (short put) -P

v

e

v

e

piaci rfolyam

y

e

r

e

s

g

n

y

e

r

e

s

g

100 100

p y

piaci rfolyam

z

t

e

s

g

n

y

s

z

t

e

s

g

n

Miskolci Egyetem Pnzgyi Tanszk - rtkpaprszmtan

v

e

s

z

v

e

s

Spekulci elemi gyletek segtsgvel rfolyamemelkedssegtsgvel - rfolyamemelkeds

Jellemz Vrhat Vrhat TkeignyJellemz Vrhat hozam

Vrhat maximlis vesztesg

Tkeigny

Prompt vtel Magas Befektetett tke

Befektetett tke

Hatrids vtel

Igen magas Lett + tovbbi befiz.

Lett

Vteli jog vtele

Mint hatrids vtel opcis dj

Opcis dj Opcis dj

djEladsi jog eladsa

Opcis dj Mint hatrids elads opcis

Negatveladsa elads-opcis

dj

Spekulci elemi gyletek segtsgvel rfolyamcskkenssegtsgvel - rfolyamcskkens

Jellemz Vrhat h

Vrhat i li

Tkeignyhozam maximlis

vesztesgRvidre Magas Mint hatrids NincsRvidre elads

Magas Mint hatrids elads+hitelkamat

Nincs

matHatrids elads

Igen magas Lett + tovbbi befiz.

Lett

Eladsi jog vtele

Mint hatrids vtel opcis

Opcis dj Opcis djp

djVteli jog Opcis dj Mint hatrids Negatveladsa elads-opcis

dj

sszetett hatrids fggvnyek csoportostsacsoportostsa

Klnbzeti ktsi rfolyamok kztt - vertiklis spread

(pillang, kesely, teknsbka) lejratok kztt - horizontlis spread ktsi rfolyam s lejrat kztt -ktsi rfolyam s lejrat kztt

diagonlis spreadKombincik Kombincik szintetikus futures strip, strap terpesz, szles terpeszterpesz, szles terpesz

Szintetikus elemi hatrids gyletekgySzintetikus short futures -Cx[0;-1]

+Px[-1;0]F [ 1 1]

Szintetikus short call -Fx[-1;-1]-Px[+1;0]= C [0; 1]

+P=-Fx[-1;-1] -F

=-Cx[0;-1]

-C-P

X

Szintetikus long futures+C [0;+1]

X

Szintetikus long call +Fx[+1;+1]+Px[-1;0]

+C

+Cx[0;+1]-Px[+1;0]

=+Fx[+1;+1]-F

x[ ; ]=-Cx[0;+1]

-P-P

X

-PX

Terpesz-szles terpeszHoss terpes +C [0;+1] Hossz szles terpesz +C [0;0;+1]Hossz terpesz

+P

+Cx[0;+1]+Px[-1;0]=[-1;+1]

Hossz szles terpesz

+P +C

+Cx,y[0;0;+1]+Px,y[-1;0;0]=[-1;0;+1]

C

X+C

X YX

Rvid terpesz-Cx[0;-1]P [+1;0]

X Y

Rvid szles terpesz-Cx,y[0;0;-1]-Px,y[+1;0;0]=[+1;0;-1]

P-C

-Px[+1;0]=[+1;-1] -P -C

-PX

PX Y

Strip-strapHossz strip

+2P

+Cx[0;+1]+2Px[-2;0]=[-2;+1]

Hossz strap

+P

+2Cx[0;+2]+Px[-1;0]=[-1;+2]

2P P

+C +2CX

Rvid strip -Cx[0;-1]-2Px[+2;0]

X

Rvid strap -2Cx[0;-2]-P [+1;0]

-C

x[ ]=[+2;-1]

-2C

Px[ 1;0]=[+1;-2]

X

-2PX

-P

Kombincik sszehasonltsaJellemz Vrhat hozam Vrhat vesztesg Tke-igny Cljag g y j

Hossz terpesz

Korltlan Korltozott, nagy, kis terleten rvnyesl

Kt opcis dj

Volatilits jvben n

Rvid terpesz Korltozott, nagy, kis Korltlan -kt opcis Volatilits jvbenRvid terpesz Korltozott, nagy, kis terleten rvnyesl

Korltlan kt opcis dj

Volatilits jvben cskken

Hossz sz. terpesz

Korltlan Korltozott, kicsi, nagy terleten rvnyesl

Kt opcis dj

Volatilits jvben n

Rvid sz. terpesz

Korltozott, kicsi, nagy terleten rvnyesl

Korltlan -kt opcis dj

Volatilits jvben cskken

Hossz strip Korltlan Korltozott, nagy, kis t l t l

Hrom i dj

Volatilits jvben n, de f l kk lterleten rvnyesl opcis dj rfolyam-cskkens val. nagyobb

Rvid strip Korltozott, nagy, kis terleten rvnyesl

Korltlan -hrom opcis dj

Volatilits jvben cskken, de y p jrfolyamnvekeds valsznsge nagyobb

Hossz strap Korltlan Korltozott, nagy, kis terleten rvnyesl

Hrom opcis dj

Volatilits jvben n, de rfolyamnvekedsterleten rvnyesl opcis dj rfolyamnvekeds valsznsge nagyobb

Rvid strap Korltozott, nagy, kis terleten rvnyesl

Korltlan -hrom opcis dj

Volatilits jvben cskken, de rfolyamcskkens val. nagyobb

Kombincik nyeresgfggvnyeiKombincik nyeresgfggvnyeiKombincik Nyeresgfggvnyek

Hossz terpesz

Rvid terpeszxX pcXS +>xX pcXS ++> xxX cXS vagy pcSX

pcYSspcSX +

Egyszerbb spread-ekgy pErsd klnbzet

+Cx,y[0;+1;+1]-Cx,y[0;0;-1]

Gyengl klnbzet-Cx,y[0;-1;-1]+Cx,y[0;0;+1],y

[0;+1;0],y

[0;-1;0]

+C-CY

+Cx

-CY

X YCx

Nyeresg: ( )yX ccXS +> X Yx

Nyeresg: ( )yX ccXS +

++ X Y Z W

+CY

Nyeresg:( )zywX ccccXS ++X Y Z W

Nyeresg: ( )wyzX ccccYS ++ kzvetlenl eladunkkeresztrfolyami vteli => kzvetlenl eladunk, keresztrfolyamon vesznk

Ha a kzvetlen vteli rfolyam nagyobb mint a Ha a kzvetlen vteli rfolyam nagyobb, mint a keresztrfolyami eladsi => kzvetlenl vesznk keresztrfolyamon eladunkvesznk, keresztrfolyamon eladunk

Egyik sem => nincs arbitrzs

Plda megoldsa

Relci Vtel Elads

USD/EUR 1,2072 1,2272

HUF/EUR 260 66 262 66HUF/EUR 260,66 262,66

HUF/USD 215,08 217,08HUF/USD 215,08 217,08

HUF/USD k t f l

212,40 217,58keresztrfolyam

Akkor lenne lehetsg arbitrzsra, ha vagy g gy215,08>217,58 vagy 212,40>217,08 Egyik sem ll fenn.gy

Nzzk meg, tnyleg gy van-e?g, y g gy1.000.000 Ft-om van.

Veszek 217,58-rt dollrt = 4.596,01$

Dollrt tvltom 1,2272 eurra = 3.745.12

Eurrt veszek 260,66-rt forintot = 976.202,85 Ft

Vesztesg = -23.797,15 Ft

10.000 $-om van.

Veszek 215,08-rt forintot = 2.150.800 Ft

Forintot tvltom 262,66-on eurra = 8.188,5

Eurrt veszek 1,2072-n dollrt = 9.885$

Vesztesg = -115$

ArbitrzslehetsggKzvetlen eladsi rfolyam 210,00

1.000.000 Ft-om van.

Veszek 210,00-rt dollrt = 4.761,90$

Dollrt tvltom 1,2272 eurra = 3.880,30

Eurrt veszek 260,66-rt forintot = 1.011.439 Ft

Nyeresg = 11.439 Ft

Kzvetlen vteli rfolyam 218,00

10.000 $-om van.

Veszek 218,00-rt forintot = 2.180.000 Ft

Forintot tvltom 262,66-on eurra = 8.299,7

Eurrt veszek 1,2072-n dollrt = 10.019,4$

Nyeresg = 19,4$

Hatrids rszvnyrakAz OTP rfolyama mrcius 10-n 7.470 Ft, jnius 16-i hatrids

rfolyama 8.000 Ft. A kockzatmentes kamatlb 6%. Hogyan rdemes arbitrlnia ha a tranzakcis kltsgektl eltekintnk?rdemes arbitrlnia, ha a tranzakcis kltsgektl eltekintnk?

Azonelad

P Azv

nnalids

3 hnap

Vegyk szre, hogy lejratkor mindenkppen 8.000 Ft-om leszzonnali

vtel

3 hnaprfolyam 4.000 12.000

Prompt piac 4.000 12.000

T

Hatridselads

Hatrids piac 8.000-4000

8.000-12.000

T Hatridvtel

3 hnap Eredmny 8.000 8.000

s

MegoldsEgyenslyi azonnali r

trfeFS *Egyenslyi hatrids r

trfeSF *feFS = feSF =Behelyettestve:Behelyettestve:

591.7470.7 36598*06,0* === eeSF trf

Kvetkeztets:Mivel az egyenslyi hatrids r kisebb mint aMivel az egyenslyi hatrids r kisebb, mint a tnyleges, hatridre eladok, prompt piacon veszek, hitelt veszek fel kockzatmentes kamatlbonhitelt veszek fel kockzatmentes kamatlbon. (Legksbb) lejrat eltt prompt piacon eladok, hatridre veszek (gyakoribb) vagy megvrom ahatridre veszek (gyakoribb), vagy megvrom a hatrids termk lejratt s teljestek (igen ritka).

Mi van ha a hatrids r 7 000 Ft?Mi van, ha a hatrids r 7.000 Ft?

Mi l l i h t id bb i tMivel az egyenslyi hatrids r nagyobb, mint a tnyleges, hatridre veszek, prompt piacon rvidre eladok, az eladsrt kapott pnzt kockzatmentes , p peszkzbe fektetem. (Legksbb) lejrat eltt prompt piacon visszavsrolok, hatridre eladok (gyakoribb), vagy megvrom a hatrids termk lejratt svagy megvrom a hatrids termk lejratt s befektetsbl kifizetem (igen ritka).

Mi van, ha a prompt piaci brkeri jutalk elads s vtel esetn 0,25%, tovbb az rtkpapr-klcsnzs dja 1,5% (elre

fi t d)?fizetend)?

( ) ( ) 610.70025,01470.71 36598*06,0* =+=+= eefSF trbb fKplet:

( ) ( )( ) ( ) 458.70175,01470.71

,

36598*06,0* === eefSF

f

trss

bb

f

Kvetkeztets:

Ha a hatrids r nagyobb, mint Fb, hatridre eladok, prompt piacon gy , b, , p p pveszek, hitelt veszek fel kockzatmentes kamatlbon. (Legksbb) lejrat eltt prompt piacon eladok, hatridre veszek (gyakoribb), vagy megvrom a hatrids termk lejratt s teljestek (igen ritka).megvrom a hatrids termk lejratt s teljestek (igen ritka).

Ha a hatrids r kisebb, mint Fs hatridre veszek, prompt piacon rvidre eladok, az eladsrt kapott pnzt kockzatmentes eszkzbervidre eladok, az eladsrt kapott pnzt kockzatmentes eszkzbe fektetem. (Legksbb) lejrat eltt prompt piacon visszavsrolok, hatridre eladok (gyakoribb), vagy megvrom a hatrids termk lejratt s befektetsbl kifizetem (igen ritka).j ( g )

Ha az r Fb s Fs kztt van, nem csinlok semmit.

Mi van, ha a rszvnyre a hatrids termk lejrata eltt osztalkot/kamatot fizetnek?lejrata eltt osztalkot/kamatot fizetnek?

Mivel lejratkor az alaptermk rbl mr kikerl az osztalk/kamat, de az rtkels idpontjban mg benne van, a felhalmozott osztalktl/kamattl az azonnali rfolyamot meg kell tiszttani

Egyenslyi hatrids r, ha az osztalk van megadva

Egyenslyi hatrids r, ha az osztalkhozam van megadva

meg kell tiszttani.

osztalk van megadva

( )( ) trfeDPVSF *= osztalkhozam van megadva( ) tdrfeSF *=Ttelezzk fel, hogy az OTP rszvnyre 30%-os osztalkot fognak fizetni jnius 1-n. Mekkora lesz a hatrids egyenslyi r, ha a tranzakcis kltsgektl eltekintnk?kltsgektl eltekintnk?

73912010004707 36598*06,0

36583*06,0 =

= eeF 73912,01000470.7 =

= eeF

Hatrids rurak

Az arbitrzstechnika ugyanaz, mint az rtkpaprok esetben csak itt figyelembe kell venni a trolsiesetben, csak itt figyelembe kell venni a trolsi kltsget, ami negatv osztalknak tekinthet.

Egyenslyi hatrids r, ha a trolsi kltsg van megadva

( )( ) trfUPVSF *Egyenslyi hatrids r, ha a

trolsi kltsghnyad van megadva ( ) turfS *+( )( ) trfeUPVSF += ( ) turfeSF +=

Plda hatrids rura vonatkoz arbitrzsra

Jelenleg a takarmnybza ra 30 eFt/tonna. A hatrids piacon augusztusi lejratra 45 eFt/tonna az ra. Egy tonna bza havi trolsi kltsge 100 Ft, ami a hnap vgn esedkes. Mekkora a bza hatrids egyenslyi ra, ha a tranzakcis kltsgektl eltekintnk? Hogyan arbitrlna? A k k t t k tlb 6% h t id t k l j t t 29kockzatmentes kamatlb 6%, a hatrids termk lejrata augusztus 29.

7( )( ) ( ) 272.31100000.30 12706,07,12/%6* =+=+= eAFeUPVSF trfArbitrzstechnika:A hatrids r magasabb, mint az egyenslyi, ezrt hatridre eladok bzt, prompt veszek bzt s ezt kockzatmentes kamatlbra felvett hitelbl finanszrozom.Ha a hatrids r kisebb, mint az egyenslyi, akkor hatridre veszek bzt, prompt eladok s a kapott pnzt

Hatrids devizarak

0 1

0 1

Kamatparits (ismtls)p ( ) Kt devizban ugyanakkora a befektets vrhat hozama

HUFHUF ( ) ( )( )eurhuf EUR

HUFErrEURHUF

+=+ 11

1

1

0

0

( )( )eur

huf

rr

EURHUF

EURHUFE +

+=

11

*0

0

1

1

Plda: A HUF/EUR rfolyam jelenleg 265 HUF/EUR. A forint kamatlba 6%, az eur kamatlba 2,5%. Mekkora lesz hrom hnap mlva a HUF/EUR rfolyam?

mlva a HUF/EUR rfolyam?

( ) 3026725,0*%6100265t*r1*EURHUFE huf01 ++ ( )( ) 30,26725,0*%5,21,00,265

t*r1*

HUFEURE

eur

huf

0

0

1

1 =+=+=

Felttele: kt deviza kockzata ugyanakkora

Tzsdei gyletgyBefektetsi krnyezet

Folytonos hozamrealizlsi lehetsg Folytonos hozamrealizlsi lehetsg Klnbz betti s hitelkamatlbak Azonnali devizapiac f terepe a bankkzi

pnzpiac

Egyenslyi hatrids rfolyam kplete: (hitelEgyenslyi hatrids rfolyam kplete: (hitel s bettkamatlb azonos):

( ) trrHUFt*r

t*r

HUFHUFEURHUF

EUR

HUF

e*SeSF ==EURHUFtr

EURHUF

EURHUF EURe

Hogyan arbitrlna?gy A HUF/EUR rfolyam mrcius 21-n 265 HUF/EUR.

A forint kamatlba 6%, az eur kamatlba 2,5%. A jnius 14-i hatrids HUF/EUR rfolyam 280 HUF/EUR?

1.000 eFt hitelt veszek fel, forintot eladok

HUF/EUR?

3.774 eurt berakok bettbe( ) 17,267e*265F 36585025,006,0

HUF ==

3.796 ezer eurt tvltok hatridre forintra

EUR

1.062,9 ezer forintom lesz

Hitel adssgszolglataHitel adssgszolglata viszont csak 1.014,1 ezer forint

Nyerek biztosan 48,8 eFt-ot.

Hogyan arbitrlna?gy A HUF/EUR rfolyam mrcius 21-n 265 HUF/EUR.

A forint kamatlba 6%, az eur kamatlba 2,5%. A jnius 14-i hatrids HUF/EUR rfolyam 260 HUF/EUR?

10.000 eur hitelt veszek fel, eurt eladok

HUF/EUR?

2.650 ezer forintot berakok bettbe

( )17,267e*265F 365

85025,006,0

HUF ==

bettbe

2 687 3 ezer forintot

EUR

2.687,3 ezer forintot tvltok hatridre eurra

10.336 eurm lesz

Hitel adssgszolglata viszont csak 10.058 eur

Nyerek biztosan 278 eurt.

Arbitrzslehetsg klnbz hitel-s betti kamatlbak esetns betti kamatlbak esetn

A HUF/EUR rfolyam mrcius 21-n 265 HUF/EUR. A ll l t k XX b k lbbi k tlb k ll ttvllalatnak az XX bank az albbi kamatlbak mellett

nyjt szolgltatst a klnbz devizanemekben:

Devizanem Bett HitelEur 2 0 3 0Eur 2,0 3,0Forint 5% 7%

( )1,268e*265F 365

8502,007,0U

HUF== F>FU forint gyenge, ezrt

hatridre veszek

( )2,266e*265F 365

8503,005,0D

EUR

== hatridre veszekF

Hatrids kamatlbak Eurpban a leglikvidebb piacok (2001-ben) Rgzteni lehet vell a jvbeli hitel- s Rgzteni lehet vell a jvbeli hitel- s

bettkamatlbakat

Hatrids termk neve Ktsek szma (milli)Euro-Bund EUREX, Ger & CH 178.03 month Eurodollar CME, U.S. 162.4Euro-Bobl EUREX, Ger & CH 99.6

Euro-Shatz EUREX, Ger & CH 92.6, &3 Month Euribor LIFFE, U.K. 91.0US T-Bond CBOT, US 56.6

Hozamgrbeg Klnbz lejrat homogn rtkpaprok (vrhat)

hozamaihoz hzott regresszis grbehozamaihoz hzott regresszis grbe

Hozamgrbvel kapcsolatos elmletek

Gazdasgi ciklus

Egyenslyi kamatlbak

Likviditspreferencia

Piacszegmentci

Kamatlbak alakulsa az zleti ciklusbanK tlb ciklusbanKamatlb

Rvid tv kamatlb

Hossz tv kamatlb

IdFellendls Virgzs VisszaessRecesszi

Hozamgrbe alakjaRecesszi Fellendls

HHozam Hozam

Virgzs VisszaessLejrat Lejrat

Hozam Hozam

Lejrat Lejrat

A magyar hozamgrbe 2006. mrciusban

6,807,00

6 206,406,60

,

m

o

k

5,806,006,20

H

o

z

a

m

5,405,60

,

0 25 0 5 1 3 5 10 150,25 0,5 1 3 5 10 15

Lejrat

Forrs: MNB

Jvbeli kamatlbPlda: Kis Jnos kt v mlva nyugdjba megy. 100 ezer

forintot tesz flre azrt, hogy nyugdjba vonulsakor , gy y g jhorgszfelszerelst vsrolhasson. llampaprba szeretn fektetni a pnzt. Az 1 ves lejrat llampapr h 6% k l j ll 5% Khozama 6%, a kt ves lejrat llampapr 5%. Kt lehetsge van:

Els lehetsg Msodik lehetsg

( ) ( )( )rE1r1 ++ ( )22r1+=( ) ( )( )111 rE1r1 ++ ( )2r1+=( ) ( ) %014105,11r1rE 222 ==+=( ) ( ) %01,4106,11r1rE 1111 ==+=

( ) ( ) 1r1E nmnm+ ++ltalnos kplet: ( ) ( )( ) 1r1r1rE n m

m

nmnm +

+= +

Nzzk meg ezt a tzsdn!g Befektetsi krnyezety

Folytonos hozamrealizlsi lehetsg Klnbz lejrat llampaprok kereskedse Klnbz lejrat llampaprok kereskedse

a tzsdn s a bankkzi pnzpiaconAzonnali pnzpiac f terepe a bankkzi Azonnali pnzpiac f terepe a bankkzi pnzpiac

Egyenslyi hatrids kamatlb kplete:

( )

( ) ( ) n*rnm*reee nm*rnrm*r nmnmm

+= + +

( ) ( )n

nrnmrrnm*rn*rm*r nnmnmnmnmm+=+=+ ++

Hatrozzuk meg a hozamgrbbl az implicit forwardrtkat s a vrhat inflci nagysgt!forwardrtkat s a vrhat inflci nagysgt!

v 0,25 0,5 1 3 5 10 152006 i 5 95 6 16 6 42 6 92 6 63 6 62 6 772006 mrcius 5,95 6,16 6,42 6,92 6,63 6,62 6,77

Implicit forwardrta 5,95% 6,37% 6,68% 7,17% 6,20% 6,61% 7,07%Inflci 2,50% 2,90% 3,22% 3,73% 2,72% 3,15% 3,62%Relhozam 3 51% 3 51% 3 51% 3 51% 3 51% 3 51% 3 51%

Pldul 3-5 v kztti implicit forwardrta kiszmtsa:

Relhozam 3,51% 3,51% 3,51% 3,51% 3,51% 3,51% 3,51%

( ) %20,62

3*%92,65*%63,6** ==+= +n

mrnmrr mnmnm

Ha a relhozam vltozatlan marad, akkor a 3-5 vre vrhat inflci (2006-ban 2,5%-os vrhat inflcival szmolva):

%72,21eei%51,31

eer 0351,0

062,0

5325,0*025,0

25,0*0595,0

r ==== ee

Hogyan tudjuk kiszmolni a megfelel lejrat hozamokat? (bootstrap)lejrat hozamokat? (bootstrap)

1. Kivlasztjuk azokat az rtkpaprokat, melyek lejrata egybeesik a hozamgrbe lejratval

2 Az ven belli lejrat (nem kamatoz) paprok esetben2. Az ven belli lejrat (nem kamatoz) paprok esetben kiszmoljuk a folytonos hozamot.

3. Lpsenknt kiszmoljuk az egyre hosszabb lejrat p j gy jrtkpaprok hozamt gy, hogy az esedkes kamatokat a rvidebb lejrat elemi hozamokkal diszkontljuk.

4 A h l j k lb l ik ll f l4. Az a hossz lejrat kamatlb, amelyik mellett az rfolyam megegyezik az rtkpaprbl szrmaz pnzramok jelenrtkvel lesz az adott lejrat hozamjelenrtkvel, lesz az adott lejrat hozam.

5. A 4-es lpst ismteljk az brzolni kvnt hozamgrbe vgig.g g

llampaprok tblzataN k L j i k f lNvrtk Lejrat vi kamat rfolyam

100 0,5 0 97100 1 0 94100 1,5 8 102100 2 10 106100 2,5 12 111

Id-szak

Egyenlet Eredmny

0 5 6 09%100ln 0,5 6,09%

1,0 6,19%5,0

97ln

r 5,0 =

0194

100lnr 50

=

1,5 6,48%

2 0 6 66%

0,1r 5,0

5,1*1*0619,005*,0609,0 *104*4*4102 Xeee ++=2,0 6,66%

2,5 7,06%

0,2*5,1*0648,01*0619,005*,0609,0 *105*5*5*5106 Xeeee +++=5,2*0,2*0666,05,1*0648,01*0619,005*,0609,0 *106*6*6*6*6111 Xeeeee ++++=

Hatrids kamatparitsHatrids kamatparits A hozamgrbe a kvetkez vre

vonatkozan a kvetkez:Lejrat Negyedv Flv vLejrat Negyedv Flv vFolytonos ho am

6,05% 6,09% 6,19%

Szmolja ki az elemi hozamok ismertben hozam

az implicit forwardrtkat. Ttelezzk fel, hogy negyedv mlva lejr hrom hnapos DWIX rfolyama 96%. Hogyan arbitrlna?

ArbitrzsLejrat Negyedv Flv vFolytonos hozam

6,05% 6,09% 6,19%

Implicit forwardrta

6,05% 6,13% 6,29%

Egyenslyi DWIX rfolyam:

48,98*100* 25,0*0613,0* === eeNP triArbitrzs: hatrids DWIX olcs (96 00) venniArbitrzs: hatrids DWIX olcs (96,00), venni kell, hrom hnapra befektetek diszkont kincstrjegybe amit flves diszkont kincstrjegykincstrjegybe, amit flves diszkont kincstrjegy eladsbl fedezek.

Az arbitrzs brzolsa

Arbitrzs 99%-os rfolyam esetn: hatrids DWIX drga, hatridre eladok, hat hnapra befektetek diszkont kincstrjegybe, amit negyedves diszkont kincstrjegy eladsbl fedezek.

Likviditsprefenciap A befektetk a rvidebb lejrat

llampaprt ugyanakkora hozam mellett elnyben rszestik a hosszabb lejrat llampaprral szemben.

Magyarzat: rvidebb lejrat llampaprMagyarzat: rvidebb lejrat llampapr likviditsa jobb

Jelenleg ez nem igaz. Valdi ok: hosszabb l j t ll k tk k tlejrat llampapr kamatkockzata nagyobb, mint rvidebb lejrat ll H f l t jllampapr. Hozamfelr ezrt jr.

Durci-szmts folytonos kamatok esetben

n Differenciljuk az albbi egyenletet: =

=

= n t*r

ii

n

1i

t*ri

i

i

e*CF*tr

e*CF

rP

Plda: Mennyi a durcija a 3 5 v mlva

= 1irrId Nvrtk Jelenrtk Id*Jelenrtk

0 085 4 00% 0 0398 -0 0034durcija a 3,5 v mlva oktber 20-n lejr llampaprnak, melynek

0,085 4,00% 0,0398 0,00340,585 4,00% 0,0385 -0,02251,085 4,00% 0,0373 -0,04041 585 4 00% 0 0361 0 0572 a pap a , e y e

ves kamata 8%, jelenleg az elvrt

1,585 4,00% 0,0361 -0,05722,085 4,00% 0,0349 -0,07282,585 4,00% 0,0338 -0,0874

folytonos hozam 6,5% s a kamatfizets gyakorisga fl v?

3,085 4,00% 0,0327 -0,10103,585 104,00% 0,8238 -2,9533

1 0769 -3 3381gyakorisga fl v? 1,0769 -3,3381Durci -3,10 v

Konvexits-szmts folytonos kamatszmts esetben

n Ktszer differenciljuk az albbi egyenletet: =

=

= n tr

ii

n

i

tri

i

i

eCFteCF

P *21*

2

2

***

Plda: Mennyi a konvexitsa a 3 5 v

= irr 12

Id Nvrtk Jelenrtk Id^2*Jelenr0,085 4,00% 0,0398 0,000konvexitsa a 3,5 v

mlva oktber 20-n lejr llampaprnak,

, , , ,0,585 4,00% 0,0385 -0,0131,085 4,00% 0,0373 -0,0441 585 4 00% 0 0361 0 091lejr llampaprnak,

melynek ves kamata 8%, jelenleg az elvrt

1,585 4,00% 0,0361 -0,0912,085 4,00% 0,0349 -0,1522 585 4 00% 0 0338 -0 226

folytonos hozam 6,5% s a kamatfizets gyakorisga fl v?

2,585 4,00% 0,0338 0,2263,085 4,00% 0,0327 -0,3123,585 104,00% 0,8238 -10,588

gyakorisga fl v? 1,0769 -11,425Konvexit -10,61

Hozamgrbvel kapcsolatos elmletek sszehasonltsa

Megnevezs Vrakozsi elmlet Likviditspreferencia elmlet PiacszegmentciKulcsfogalom Vrakozsok Mdostott vrakozsok Intzmnyi viselkedsA kulcsfogalom Rvid lejrat Rvid lejrat kamatlbak s Az rtkpaprok keresleti sA kulcsfogalom alkalmazsa

Rvid lejrat kamatlbak elrejelzse

Rvid lejrat kamatlbak s likviditsi prmiumok elrejelzse

Az rtkpaprok keresleti s knlati grbje

Egyenslyi h i

Profitmaximalizl magatarts a befektets

Profit maximalizl magatarts plusz valamennyi nem elrejelezhet elem

A kereslet s knlat eri szegmentljk a piacokat ( l k k f d imechanizmus magatarts a befektets ideje alatt

valamennyi nem elrejelezhet elem ltal induklt bizonytalansg (pl. kockzat fedezsi nyoms)

Kapcsolat a rvid s hossz lejrat Kplet a vrhat h kk l

Kplet forward rtkkal (azaz vrhat k l k i f l )

Nincs kplettel kifejezhet kapcsolat, a piacok j

kamatlbak kztt hozamokkal kamat plusz kompenzcis felr)p , p

szegmentltakA forward rtk lersa Tiszta vrhat hozamok

Vrhat hozamok plusz kompenzcis felrak Nem adott

A f ltt l kA felttelezsek korltozottsga Nagyon korltozott Kevsb korltozott, mint a PET-nl Nem korltoz

Intuitv j ll

Vrakozsok fontosak br h k t i

Vratlan elemek, mint lejrati preferencik, bizonytalansg vagy

Intzmnyi struktrk s magatartsok; knlati s jellemvons nehz ket mrni p , y g gytranzakcis kltsgek

g ;keresleti erk

Az rtkpaprok relatv knlatnak fontossga

Nem lnyeges, hacsak nem befolysoljk a rako sokat

Meglehetsen fontosak, mert meghatrozzk a kompenzcis felr nag sgt

Abszolt fontosakfontossga vrakozsokat nagysgtJelentsebb kpviseli Lutz, Meiselman

Hicks, Kessel, Modigliani&Sutch, Kane&Malkiel

Culbertson, Homer&Johannesen

Arbitrzs az opcis piacokonp p

Tanult egyezsgek: Put-call paritsp

j egyezsgekS i t tik f t Szintetikus futures

Box gylet

Put Call paritsPut-Call parits

+S+P

+XElem SX S

Szintetikus futures PV(F-X) = c - pLegyen egy 900 Ft-os ktsi r negyedves lejrat vteli opci tk 200 Ft l d i irtke 200 Ft, az eladsi opci rtke ugyanilyen paramterekkel 50 Ft. Jelenleg 1000 Ft-on lehet futurest ktni. Hogyan arbitrlna, ha a kockzatmentes kamatlb 6%?

( )1505198

50200e*9001000 25,0*06,0

<

15051,98 +

X F

Opcis oldal az olcs: veszek x-en vteli opcit, eladok eladsi opcit, y-n eladok vteli opcit, veszek X F eladsi opcit, ez 75-be kerl, de felveszek 100 jelenrtkt hitelben, ami 98,51.

Fedezeti gyletekgy

Kockzati kitettsg cskkentse hatridsKockzati kitettsg cskkentse hatrids gyletek segtsgvelAl bl k Alapszablyok: Hatrids piacon pontosan ellenttes pozcit p p p

kell vllalni, mint az azonnali piacon Azonnali gylet lejrata Hatrids gyletAzonnali gylet lejrata Hatrids gylet

lejrataHatrids s az azonnali piacon (lehetleg) Hatrids s az azonnali piacon (lehetleg) egy idben zrjuk a pozcit.

Plda eladsi (short) hedge rePlda eladsi (short) hedge-re Iparvllalat vezetje alumniumr-cskkenstl fl. Ezrt

eladja 1605 USD/tonna ron 3 hnap mlva trtn szllts mellett az alumniumt (ru hedge)szllts mellett az alumniumt. (ru-hedge)

nkormnyzat vezetjnek fejtrst okoz, hogy kt hnap mlva jelents pnzsszegre szmthat (10 millihnap mlva jelents pnzsszegre szmthat (10 milli forint), de fl a kamatok cskkenstl. Ezrt elhatrozza, hogy elad 1 hnapos BUBOR-t kt havi lejratra. (kamatlb-hedge)

Iparvllalatnak 3 hnap mlva 30 milli eur bevtele lesz. Fl az eur tovbbi cskkenstl. Ezrt eladja eurjt jliusra 261 Ft ron (deviza-hedge)

Plda vteli (long) hedge rePlda vteli (long) hedge-re Az Egyeslt Drtmvek a rzr emelkedstl fl. Ezrt

vesz rezet hrom hnapos szlltsra 1769 USD/t ron. Vll l t 100 illi f i t hit lt dk ik 1 h Vllalat 100 milli forint hitelt szndkozik 1 hnapos lejratra felvenni hrom hnap mlva, de fl attl, hogy a kamatlbak idkzben emelkednek Ezrt elhatrozzakamatlbak idkzben emelkednek. Ezrt elhatrozza, hogy vesz 1 hnapos BUBOR-t 11%-on hrom havi lejratra. (kamatlb-hedge)

Iparvllalatnak 3 hnap mlva 50 milli dollr importkiadsa lesz. Fl a dollr rfolyamnvekedstl. Ezrt dollrt vesz jliusra 268 Ft ron (deviza-hedge)

Plda short ruhedge rePlda short ruhedge-re Bzatermel ugyanolyan

i b t llt l i tminsg bzt llt el, mint a tzsdei termk. A kockzatmentes kamatlb 6%. Mrcius 20-n a bza ra 30 eFt/tonna. A bzjt oktber 20-n szeretn rtkesteni? A bza trolsi kltsge 100 Ft/tonna/h. Milyen fedezeti gyletet kt s hogyan alakulgyletet kt s hogyan alakul vrhat pozcija, ha a piacok helyesen razottak s a bza ra oktber 20-nra oktber 20-n A) 20 eFt/tonna B) 40 eFt/tonna.

MegoldsgHatridre elad, oktber 20-n hatridre vesz, December 30-i egyenslyi r:( ) 932363e*AF*10000030F 365286*06,0 =+= ( ) 9,32363eAF100000.30F 9,12/%631.12 =+= Oktber 20-n az r 20 eFt/tonna

( ) 6,435.20e*AF*100000.20F 36571*06,02,12/%631.12 =+=Eredmny=20.000+32.363,9-20.435,6=31.928,3 Oktber 20-n az r 40 eFt/tonnaOktber 20 n az r 40 eFt/tonna

( ) 4,670.40e*AF*100000.40F 36571*06,0212/%63112 =+= ( ) ,2,12/%631.12Eredmny=40.000+32.363,9-40.670,4=31.693,5

Bziskockzat

1. A fedezett eszkz nem pontosan ugyanaz, mint amire a fedezeti gyletet gy , gyktik

2 A fedez bizonytalan lehet a tnyleges2. A fedez bizonytalan lehet a tnyleges elads vagy vtel dtumban

3. A szerzdst lehet, hogy a lejrat eltt kell zrni.kell zrni.

Bzis fogalmaBzis = A fedezett eszkz spot ra az alkalmazottBzis = A fedezett eszkz spot ra - az alkalmazott

szerzds futures ra Bzisersds - bzis nvekszikBzisersds bzis nvekszik Bzisgyengls - bzis cskkenPlda S1= t1-ben a spot r=2,5; S2=t2-ben a spot r=2,0 F1=t1-ben a futures r=2,2; F2=t2-ben a futures r=1,9 Ebbl: Bzis t1-ben=2,5 2,2 = 0,3; Bzis t2-ben=2,0

1,9 = 0,1Tt l k f l h l ki l dj k t t2 b Ttelezzk fel, hogy valaki eladja az eszkzt t2-ben, s

shortol, akkor a tnylegesen kapott vtelra: S2+F1-F2= F1+b2 = 2 2+0 1=2 3 mivel b2 elre nemS2+F1 F2 F1+b2 2,2+0,1 2,3, mivel b2 elre nem

ismert nem tudjuk a pontos kockzatot.Longolsnl az r ugyanaz: S2+F1-F2=F1+b2=2,3

Bziskockzat-kezelsKt mdon trtnhet: A megfelel eszkzre vonatkoz futures

szerzds kivlasztsa A teljestsi hatrid megvlasztsa

A teljestsi hatrids ltalban hosszabb, mint a vrhat vtel/elads mivel a lejratkor avrhat vtel/elads, mivel a lejratkor a hatrids r igen gyorsan vltozhat. Viszont minl hosszabb a lejrat, annl nagyobb a j , gybziskockzat.

Legjobb hvelykujj-szably, vrhat teljests utni gj y jj y, jels lehetsges lejratra ktni.

Optimlis fedezeti arny meghatrozsa S = a spot r vltozsa a fedezeti gylet ideje alatt F = a futures r vltozsa a fedezeti gylet ideje alatt s=a S szrsa

f F f = a F szrsa p = a korrelci a S s a F kztt h = fedezeti arny

H h d l i k j b t h t l Ha a hedger vsrolni akar a jvben s ezrt shortol a futures piacon, a pozcijnak vltozsa az gylet ideje alatt

S - h*F Long hedge esetben ennek fordtottja:

h*F S h*F - S A variancia: v h hS F S F= + 2 2 2 2* * * * *

v Derivlva ezt h szerint , ennek kell 0-nak lennie.

vh

h F S F= 2 22* * * * *

Ebbl h= hS

F

= *

Plda optimlis fedezeti arnyrap y

A hatrids MOL hozamainak szrsa 30%, az azonnali MOL hozamainak ,szrsa 25%, a kt hozam kztti korrelci 0 90 Mekkora az optimliskorrelci 0,90. Mekkora az optimlis fedezeti arny?

75,030025,0*9,0*h S ===30,0F

Makrokockzatok fedezse indexgylettelindexgylettel

Cl: Egyedi rszvnyre spekulci, makrokockzat nlkl.

Mdszer: egyedi rszvnyre vtel/elads, hatrids indexre ellenttes pozcihatrids indexre ellenttes pozci

Hatrids kontraktusszm:

*e*Int*rf

Ahol, n kontraktusszmp index pontrtke (100 Ft/pont)= *

BUX*pn p index pontrtke (100 Ft/pont)BUX index rtke

adott papr (portfli) btja

Megjegyzs: karakterisztikus egyenes btjnak szignifiknsnak kell lennie!

Plda egyedi informci kihasznlsraPlda egyedi informci kihasznlsra

Bennfentes informcit kapott a MOL-al kapcsolatban, ami j hr. gy szeretne a MOL-ra spekullni, hogy kiszri a makrokockzatot A MOL ra jelenleg 25 850kiszri a makrokockzatot. A MOL ra jelenleg 25.850 Ft. 10 milli forintot szeretne befektetni. A negyedves BUX rtke 25.000, egy pont 100 Ft-ot r a hatrids , gy ppiacon. A MOL btja 1,4. Mit fog csinlni? (kockzatmentes kamatlb 6%) (4 pont)

668,54,1*00025*100e*000.000.10*

BUX*e*In

25,0*06,0t*rf ===000.25*100BUX*p

Veszek MOL-t, hatridre eladok 6 ktsegysg BUX-t.

Optimlis fedezetarny szmts rutzsdn Egy bzatermel I. osztly malmi bzt termel, de hatrids gyletet

csak gyengbb minsg eurbzra lehet ktni. A malmi bza ra mjus 5-n 40 ezer Ft/tonna, az eurbz 30 ezer Ft/tonna. Amjus 5 n 40 ezer Ft/tonna, az eurbz 30 ezer Ft/tonna. A vllalkoz fedezni szeretn az rkockzatt, ezrt hatrids gyletet szeretne ktni. Hatrids gyletet minden hnap utols napjra lehet ktni eurobzra. Ktsegysg 100 tonna. augusztus 15-n akarja gy g g jeladni 10 etonna bzjt. Milyen futamidre, milyen irny gyletet kssn s hny kontraktust vegyen, ha egy kontraktus 100 tonna, a malmi bza rvltozsnak variancija 20%, az eurbz 30%, a kt r kztti korrelci 0,8.

53,030020,0*8,0*h

F

S ===

30,0F

7205,7253,0*30*100*40*000.10*

** 365

118*06,0*

=== ehF

eIntrf

30*100*Fp

Augusztus 31-i hatridre 72 ktsegysgnyi eurbzt elad. Augusztus 15 n prompt elad hatrids eurobzjt visszaveszi15-n prompt elad, hatrids eurobzjt visszaveszi.

PortflielmletPortflielmletE l k tk l j l t k t tt h tk lEgy elemz a kvetkez ves elrejelzst ksztette nhny rtkpaprrl

s a piacrl. A kincstrjegy hozama jelenleg 5%.

Gazdasg llapota Valsz-nsg

A rszvny B rszvny Piaci index

Recesszi 0,2 -15% +5% -5%

Kis nvekeds 0,6 +0% +20% +10%

Nagy nvekeds 0,2 +30% +10% +20%

Szmolja ki az A s B papr btjt s alfjt! Ha az A s B paprbl akar portflit kszteniSzmolja ki az A s B papr btjt s alfjt! Ha az A s B paprbl akar portflit kszteni, mi lenne a legkisebb kockzat portfli befektetsi arnya?

CAPM pldapEgy rtkpapr elemz cg a kvetkez becslst ksztette:

Rszvny neve

Jelenlegi r

Negyedv mlva a

Osztalk Btaneve r mlva a

vrhat rA 7 200 7 500 400 0,89A 7 200 7 500 400 0,89

B 950 1 100 75 1,14

C 22 350 22 000 1 500 1,60

D 3 450 3 500 200 0 50D 3 450 3 500 200 0,50

A piac vrhat hozama 10% lesz az elkvetkezend negyedvben. A kockzatmentes kamatlb ves nagysga 12%. Melyik paprt rdemes venni?

Pnzgyi opcis pldkEgy befektet MATV call opcit adott el 1000 ktsi ron 300 Ft-rt, mikor a MATV ra az azonnali piacon 800 volt. A lejrat idpontjban a MATV ra 1200 Ft d b lt i it? M kk ll ki j k Ft. rdemes-e bevltani az opcit? Mekkora a call kirjnak nyeresge (vesztesge)? Hogyan vltozott a vsrlstl a lejratig az opci bels s idrtke?

Egy befektet MATV put opcit adott el 1000 ktsi ron 300 Ft-rt, mikor a MATV ra az azonnali piacon 800 volt. A lejrat idpontjban a MATV ra 1200 Ft rdemes e bevltani az opcit? Mekkora a put kirjnak nyeresgeFt. rdemes-e bevltani az opcit? Mekkora a put kirjnak nyeresge (vesztesge)? Hogyan vltozott a vsrlstl a lejratig az opci bels s idrtke?

Egy rszvny jelenlegi ra 1000. Ttelezzk fel, hogy egy negyedv mlva ra vagy 1300, vagy 900 Ft. Mekkora erre a rszvnyre szl 1100 forintos ktsi ru vteli opci rtke, ha a kockzatmentes kamatlb 10%? Mekkora a vteli opcivteli opci rtke, ha a kockzatmentes kamatlb 10%? Mekkora a vteli opci rtke?

A Richter rszvny jelenlegi rfolyama 44.500 Ft. Mekkora a negyedves lejrat, y j g y gy j ,40.000 Ft-os ktsi ru vteli opci ra, ha a Richter hozamainak relatv szrsa az elmlt vben 40% volt, tovbb a kockzatmentes kamatlb 6%.

Binominlis opcis rmodell

20$ S

uS=24$

C

cu=max(0,uS-X)=3$1. bra 2. bra

20$=SdS=13,4$

Ccd=max(0,dS-X)=0$

uS mc3 bra uS - mcu3. bra

S - mcdS - mcd

Miskolci Egyetem Pnzgyi Tanszk - rtkpaprszmtan

A binominlis opcis rmodell kpletei

Opcis delta kplete:( )[ ]S 1m S u d

c cu d=

( )p p( )[ ]c S r u m c

m rf u

f= + + +

1

1( )Vteli opci rtke:

( ) ( )c

cr du d

cu r

u duf

df

= +

+

+

+

1 1

1

Behelyettestve m-t:rf+1

( )r d u rf f+ +( )1 1( )p r du d

s pu r

u df f= + =

+

( )_ _

11

1Fedezeti valsznsg

[ ]c p c p cr

u d

f= + +

( )11Opcis rkplet, ha ismerjk rf+1a valsznsgeket:

Miskolci Egyetem Pnzgyi Tanszk - rtkpaprszmtan

Black-Sholes modell

A vteli opci rtke:p

( )c S N d X e N dr Tf= 1 2( )( )c S N d X e N df= 1 2( )ahol:

SX

r TTf

+ ln d X

TTf

1 2= +

d d T2 1= Szimulcija a hitelbl trtn rszvnyvrslsnak

Miskolci Egyetem Pnzgyi Tanszk - rtkpaprszmtan

rszvnyvrslsnak

Az opci befolysol tnyezi

Delta - az opci rtknek vltozsa a prompt rfolyam fggvnyben

Theta - az opci rtknek vltozsa az id fggvnybengg y

Vega - az opci rtknek vltozsa a volatilits fggvnybenfggvnyben

Rho - az opci rtknek vltozsa a kockzatmentes kamatlb fggvnybenkockzatmentes kamatlb fggvnyben

Gamma - a delta rtknek vltozsa a prompt rfolyam fggvnybenrfolyam fggvnyben

Miskolci Egyetem Pnzgyi Tanszk - rtkpaprszmtan

Opcirtkelsi tblzat - C/S rtke

S/PV(X)S/PV(X)szrs*id 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% 105% 110% 115% 120% 125%

10% 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,007 0,050 0,237 0,792 1,987 3,988 6,728 9,958 13,387 16,789 20,04020% 0,002 0,011 0,044 0,138 0,354 0,775 1,482 2,543 3,988 5,810 7,966 10,386 12,993 15,706 18,456 21,18630% 0,149 0,347 0,698 1,250 2,042 3,097 4,418 5,992 7,792 9,783 11,924 14,173 16,492 18,845 21,200 23,53440% 0,940 1,577 2,434 3,516 4,816 6,315 7,989 9,809 11,746 13,769 15,852 17,969 20,098 22,222 24,323 26,39150% 2,614 3,737 5,058 6,555 8,201 9,968 11,829 13,758 15,733 17,733 19,741 21,742 23,723 25,676 27,591 29,46350% 2,614 3,737 5,058 6,555 8,201 9,968 11,829 13,758 15,733 17,733 19,741 21,742 23,723 25,676 27,591 29,46360% 5,061 6,596 8,271 10,053 11,915 13,832 15,781 17,745 19,708 21,657 23,582 25,476 27,331 29,143 30,908 32,62570% 8,084 9,932 11,852 13,816 15,802 17,791 19,768 21,722 23,644 25,527 27,366 29,158 30,899 32,590 34,228 35,81480% 11,509 13,577 15,655 17,724 19,769 21,778 23,744 25,661 27,525 29,333 31,084 32,779 34,416 35,997 37,523 38,99590% 15,202 17,411 19,580 21,698 23,757 25,752 27,681 29,542 31,337 33,065 34,729 36,330 37,869 39,350 40,774 42,144

100% 19,061 21,351 23,560 25,685 27,725 29,682 31,556 33,351 35,070 36,716 38,292 39,803 41,250 42,637 43,968 45,245110% 23,012 25,334 27,545 29,647 31,646 33,547 35,355 37,076 38,715 40,278 41,768 43,191 44,550 45,849 47,093 48,284120% 26,998 29,316 31,499 33,556 35,497 37,330 39,065 40,707 42,265 43,743 45,149 46,488 47,763 48,979 50,141 51,252130% 30,976 33,262 35,395 37,391 39,262 41,020 42,675 44,236 45,711 47,107 48,431 49,687 50,882 52,020 53,105 54,140140% 34,913 37,144 39,212 41,135 42,928 44,606 46,178 47,657 49,049 50,364 51,607 52,785 53,904 54,966 55,978 56,943150% 38,781 40,943 42,934 44,775 46,485 48,078 49,567 50,963 52,274 53,509 54,675 55,777 56,822 57,813 58,756 59,654

szrs*id 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% 105% 110% 115% 120% 125%155% 40 684 42 805 44 754 46 553 48 220 49 770 51 217 52 571 53 842 55 038 56 166 57 232 58 241 59 198 60 108 60 974155% 40,684 42,805 44,754 46,553 48,220 49,770 51,217 52,571 53,842 55,038 56,166 57,232 58,241 59,198 60,108 60,974160% 42,561 44,641 46,546 48,301 49,924 51,431 52,836 54,150 55,381 56,538 57,629 58,659 59,633 60,557 61,434 62,269165% 44,413 46,447 48,308 50,018 51,597 53,061 54,424 55,697 56,889 58,009 59,063 60,058 60,998 61,889 62,735 63,539170% 46,236 48,225 50,039 51,703 53,238 54,660 55,981 57,214 58,367 59,449 60,468 61,428 62,335 63,195 64,010 64,785175% 48,030 49,971 51,738 53,357 54,847 56,225 57,506 58,698 59,814 60,859 61,843 62,769 63,644 64,473 65,258 66,004180% 49,793 51,685 53,404 54,977 56,423 57,759 58,998 60,152 61,229 62,239 63,188 64,082 64,925 65,723 66,480 67,198185% 51 524 53 366 55 037 56 564 57 965 59 259 60 458 61 573 62 614 63 588 64 503 65 365 66 178 66 946 67 675 68 366185% 51,524 53,366 55,037 56,564 57,965 59,259 60,458 61,573 62,614 63,588 64,503 65,365 66,178 66,946 67,675 68,366190% 53,222 55,013 56,636 58,116 59,474 60,726 61,885 62,962 63,966 64,907 65,789 66,619 67,402 68,142 68,843 69,508195% 54,885 56,626 58,200 59,635 60,949 62,159 63,278 64,318 65,287 66,194 67,044 67,843 68,597 69,309 69,983 70,623200% 56,514 58,204 59,730 61,118 62,389 63,559 64,639 65,642 66,577 67,450 68,269 69,039 69,764 70,449 71,097 71,711205% 58,108 59,746 61,224 62,567 63,795 64,924 65,967 66,934 67,835 68,676 69,464 70,204 70,902 71,560 72,183 72,774210% 59,665 61,252 62,682 63,981 65,167 66,256 67,261 68,193 69,060 69,870 70,628 71,340 72,011 72,643 73,242 73,809215% 61,186 62,722 64,105 65,359 66,504 67,554 68,523 69,420 70,255 71,033 71,763 72,447 73,091 73,699 74,274 74,818

Miskolci Egyetem Pnzgyi Tanszk - rtkpaprszmtan

, , , , , , , , , , , , , , , ,220% 62,670 64,156 65,492 66,702 67,806 68,818 69,751 70,615 71,417 72,166 72,867 73,524 74,143 74,727 75,278 75,801225% 64,118 65,553 66,843 68,010 69,073 70,048 70,946 71,777 72,548 73,268 73,941 74,572 75,166 75,726 76,256 76,757