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DOCUMENTO DE TRABAJO N 1

I. Aprendizajes Esperados: Aplicar el concepto de lmite de una funcin en el desarrollo de ejercicios y en el clculo de lmites.II. Sntesis esquemtica de ContenidosMDULO LMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES. LMITE DE UNA FUNCIN: Idea intuitiva de lmite. Generalizacin del concepto de lmite. Formalizacin de la idea intuitiva de lmite. Definicin de lmite. Teoremas fundamentales sobre lmites (Algebra de lmites). Lmites algebraicos: Inmediatos, factorizables y racionalizables. Lmites infinitos y al infinito. Definicin de lmites laterales o unilaterales.Recordar:

El concepto de lmite es la base fundamental con la que se construye el clculo infinitesimal (diferencial e integral). Limite es el valor al que tiende una funcin cuando la variable independiente tiende a un nmero determinado o al infinito.

DEFINICIN DE LMITE: Sea una funcin definida en algn intervalo abierto que contenga a

. El lmite de cuando tiende a es y se escribe:

Se dice que la funcin tiene lmite , cuando tiende a , si dado positivo arbitrario y tan pequeo como se quiera, existe un tal que para todo perteneciente al entorno de de radio , la funcin pertenece al entorno de de radio .

TEOREMAS SOBRE LMITES

1.

Unicidad del lmite de una funcin: Si una funcin tiene lmite, ese lmite es nico. a) Existe b) es nicoDEFINICIN: LMITES LATERALES

1) Lmite de en el punto por la derecha:

1) Lmite de en el punto por la izquierda:

Observacin: 1.

indica que tiende a por la derecha, es decir que pertenece al entorno (,). 2.

indica que tiende a por la izquierda, es decir que pertenece al entorno ( , ). 3. A veces las funciones son discontinuas o no estn definidas en un punto , pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el lmite por la izquierda puede ser distinto del lmite por la derecha.

Teorema:

Existe el lmite finito de una funcin s y slo s los lmites laterales existe y son iguales.

Ejemplos:

1. Qu le sucede a cuando se acerca a 3?

Podemos ver que entre ms cerca se encuentre de 3, entonces los valores de se encuentran ms cercanos a 12.

Hacia 3 por la izquierda3Hacia 3 por la derecha

x2,82,92,992,9993,0013,013, 13,0

f(x)10,8411,4111,940111,99400112,00612,0612,6113,24


Podemos darnos cuenta que a medida que tomamos valores de x ms prximos a 3, tanto para valores mayores que 3 como para valores menores que 3, los valores de se aproximan a 12.

Luegof(x) = (x2 + 3) = 12

f(x) = (x2 + 3) = 12

Por lo tanto x2 + 3 =12,

Note que la imagen de 3 es precisamente 12.

2. Si , a qu valor se aproxima si se aproxima a 2?

Podemos ver que las imgenes de los muy cercanos a 2, son muy cercanas a 4.


x1,81,91,991,9992,0012,012,12,2

f(x)3,83,93,993,99994,0014,014,14,2


As, de la tabla deducimos que los valores de se aproximan a 4 cuando los valores de se aproximan a 2, tanto por la derecha como por la izquierda.

Teorema: OPERACIONES CON LMITE:

Suponga que son funciones tales que y entonces se tienen las siguientes propiedades: a) con k : constante.El lmite de una constante es la constante''

b)

El lmite de la funcin identidad es la identidad evaluada en la tendencia''

c)

"El lmite de una suma (resta) de funciones es igual a la suma (resta) de los lmites de las funciones (cuando stos existen)''

d)

"El lmite de un producto de funciones es el producto de los lmites de esas funciones (cuando stos existen)"

e) , siempre que R Sea distinto de 0."El lmite de un cociente de funciones es el cociente de los lmites de esas funciones (cuando stos existen y el lmite en el denominador es diferente de 0)"

f) Si n es un nmero entero entonces . Cuando n es negativo se debe tener que L sea distinto de 0."El lmite de una potencia de una funcin es la potencia del lmite de esa funcin (cuando ste existe y en caso de que el exponente sea negativo L distinto de 0)"

Ejemplos:

1. 21/2 = 21/2 2. 3,5 = 3,5 3. x = 5 4. x = -3 5.

( x + 15 ) = x + 15 = 3 + 15 = 18 6.

( x - 15 ) = x - 15 = 3 - 15 = -12 7.

4x = 4 x = 4 5 = 20 8.

9.

x3 = [x]3 = 23 = 8 10. Calcule

CLCULO DE LMITES:

LMITES FACTORIZABLES:Ac se hace uso de los productos notables y del lgebra en general, para simplificar el argumento del lmite, y as lograr que no nos de una forma indeterminada al evaluar la tendencia.

Ejemplo 1: Calcular:Solucin:

al evaluar la tendencia nos queda una forma indeterminada, para determinar el valor del lmite factorizaremos y eliminaremos el factor que produce la indeterminacin (el que hace cero el denominador), note que esto es posible ya que el factor a simplificar no se anula exactamente, ms bien tiene un valor muy cercano a cero, pero no se anula. En efecto:

Ahora evaluando nuevamente la tendencia tenemos:

Por lo tanto:

Ejemplo 2: Calcular:

Solucin: Evaluando, nuevamente nos da una forma indeterminada, procediendo como en el caso anterior, tenemos:



LMITES RACIONALIZABLES:

Aqu se hace uso de la racionalizacin para simplificar el argumento del lmite, y as lograr que no nos de una forma indeterminada al evaluar la tendencia.


Solucin: Al evaluar la tendencia nos da una forma indeterminada, para determinar el valor del lmite racionalizaremos y luego eliminaremos el factor que produce la indeterminacin (el que hace cero el denominador), note que esto es posible ya que el factor a simplificar no se anula exactamente, ms bien tiene un valor muy cercano a cero, pero no se anula. Observacin: Se habla comnmente de racionalizar, pero no en el sentido aritmtico de sacar las races del denominador, aqu lo que se hace es generar una suma por su diferencia para eliminar, algebraicamente los radicales y as poder reducir ms fcilmente aquel factor que est indeterminado el resultado.

En efecto:

Por lo tanto



En muchas ocasiones se debe factorizar y racionalizar a la vez, incluso racionalizar ms de una vez, veamos los siguientes ejemplos:


Solucin: Evaluando nos da una forma indeterminada, racionalizaremos y factorizaremos, en efecto:

Simplificando


Solucin: Evaluando nos da una forma indeterminada, racionalizando tenemos (note que racionalizaremos numerador y denominador a la vez):

LMITES INFINITOS Y AL INFINITO:

LMITES AL INFINITO:

Definicin: Consideremos , el lmite de la funcin cuando crece indefinidamente es el nmero y denotaremos , si para todo , existe un tal que si entonces: , es decir:

Definicin: Consideremos , el lmite de la funcin cuando crece indefinidamente es el nmero y denotaremos , si para todo , existe un tal que si entonces: , es decir:

Definicin: Consideremos , una funcin definida en su dominio, el lmite de la funcin cuando , es el nmero real que denotaremos por, si para todo , , tal que si , entonces: .

Teorema: Sea , entonces se cumple que:

i) ii)

Ejemplo 1: Calcular

Solucin: evaluando la tendencia nos da la forma indeterminada , aplicando las definiciones y artificios algebraicos, encontraremos el valor.

Observacin: Una forma prctica de calcular lmites cuando es dividiendo tanto el numerador como el denominador entre la mayor potencia de del divisor que aparece en el argumento del lmite, en este caso dividimos entre , en efecto:

evaluando nuevamente tenemos:

Por lo tanto

Ejemplo 2: Calcular

Solucin: En este caso y para poder aplicar el mtodo del ejemplo anterior, es necesario expresar a la funcin como un cociente y para ello racionalizamos, en efecto: como toma valores positivos y muy grandes dividamos por , en efecto:

LMITES INFINITOS:

Definicin: Consideremos una funcin definida en algn intervalo que contiene a , excepto en , entonces , si y slo s, dado un nmero , existe un tal que , entonces , es decir:

Definicin: Consideremos una funcin definida en algn intervalo que contiene a , excepto en , entonces , si y slo s, dado un nmero , existe un tal que , entonces , es decir:

Teorema: Sea , entonces se cumple que:

i) ii)

Propiedades:

Si , donde es un nmero real, , entonces:

i) Si , para valores positivos de , entonces

ii) Si , para valores negativos de , entonces

iii) Si , para valores positivos de , entonces

iv) Si , para valores negativos de , entonces

Ejemplo 1:. Solucin: Claramente, al evaluar nos da una forma indeterminada, procedemos as:

Ejemplo 2:. Solucin: Claramente, al evaluar nos da una forma indeterminada, procedemos as:

Ejemplo 3:. Usando lmites laterales calcule, si existe: Solucin:

Si evaluamos el lmite en la tendencia dada nos da la forma indeterminada , luego:Una manera sencilla de obtener este lmite es eliminando el mdulo (las barras de valor absoluto). Recuerde que: para eliminar el valor absoluto debemos saber si el argumento del valor absoluto (lo que est entre barras) es positivo o negativo. Si lo que est adentro es positivo simplemente se sacan las barras, si lo que est adentro es negativo tambin se sacan las barras pero se antepone un signo menos.

Ahora, para saber si lo de adentro del valor absoluto es positivo o negativo debemos averiguar para qu valores de la expresin cambia de signo, en este caso la expresin se anula (o cambia de signo) en , y se observa que:

Para valores de mayores que 2 la expresin es mayor que cero (positiva)

Luego (simplemente sacamos las barras, ya que lo de adentro es positivo para esos valores de x)

Y para valores de menores que 2 la expresin es menor que cero (negativa)

Luego (sacamos las barras y anteponemos un signo menos, ya que lo de adentro es negativo para esos valores de x)

Finalmente si queremos calcular el lmite Sacaremos las barras y sabemos que si nos aproximamos al 2 por la izquierda, es decir, con valores ms pequeos que el 2 como por ejemplo 1,99999, el valor absoluto se saca y se antepone y signo menos, y si nos aproximamos a 2 por la derecha, es decir, con valores ms grandes que 2 por ejemplo 2,00001, el valor absoluto simplemente se saca (es positivo para valores de x mayores que 2)

En efecto, si calculamos el lmite por la izquierda tenemos:

Factorizando por 3 el denominador:

Simplificando los parntesis

Evaluando nuevamente la tendencia tenemos:

Note que queda una constante y se sabe que el lmite de una constante es la misma constante luego

Si calculamos el lmite por la derecha tenemos:

Factorizando por 3 el denominador:

Simplificando los parntesis

Y como el lmite existe slo si los laterales son iguales, y como en este caso los lmites laterales son distintos , entonces el lmite no existe.

No existe.

Ejemplo 4:. Usando lmites laterales calcule, si existe: Solucin:

Si evaluamos el lmite en la tendencia dada nos da la forma indeterminada , luego:De manera anloga al ejercicio anterior eliminaremos el mdulo:Recuerde que: para eliminar el valor absoluto debemos saber si el argumento del valor absoluto (lo que est entre barras) es positivo o negativo. Si lo que est adentro es positivo simplemente se sacan las barras, si lo que est adentro es negativo tambin se sacan las barras pero se antepone un signo menos.

Ahora, para saber si lo de adentro del valor absoluto es positivo o negativo debemos averiguar para qu valores de la expresin cambia de signo, en este caso la expresin se anula (o cambia de signo) en , y se observa que:

Para valores de mayores que 3 la expresin es mayor que cero (positiva)

Luego (simplemente sacamos las barras, ya que lo de adentro es positivo para esos valores de x)

Y para valores de menores que 3 la expresin es menor que cero (negativa)

Luego (sacamos las barras y anteponemos un signo menos, ya que lo de adentro es negativo para esos valores de x)

Finalmente si queremos calcular el lmite Sacaremos las barras y sabemos que si nos aproximamos al 3 por la izquierda, es decir, con valores ms pequeos que el 3 como por ejemplo 2,99999, el valor absoluto se saca y se antepone y signo menos, y si nos aproximamos a 3 por la derecha, es decir, con valores ms grandes que 3 por ejemplo 3,00001, el valor absoluto simplemente se saca (es positivo para valores de x mayores que 3) En efecto si calculamos el lmite por la izquierda tenemos:

Simplificando los parntesis:

Evaluando nuevamente la tendencia:

Si calculamos el lmite por la derecha tenemos:

Simplificando los parntesis:

Evaluando nuevamente la tendencia:

Y como el lmite existe slo si los laterales son iguales, y como en este caso los lmites laterales son distintos , entonces el lmite no existe.

No existe.

IV. Actividades (individuales o grupales): Desarrolla los siguientes ejercicios:

Parte 1: Resuelva los ejercicios:

1. Calcular los siguientes lmites:

LIMITE DE FUNCIONES REALES

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46) Si Determine el valor de

47) Si Determine el valor de:

48) Si Determine el valor de:

49) Si con determine el valor de:

50)

51)

52)

53)

54)

55)

56)

57)

58)

59)

60)

61)

62)

63)

64)

65)

66)

67)

68)

69)

70)

71)

72)

73)

74)

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76)

77)

78)

79)

80)

Soluciones:

Ejercicio NSolucin.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

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80

V. Evaluacin de la ActividadesAcciones de evaluacin: FormativaIndicadores de evaluacin: Resuelve los ejercicios propuestos y verifica tus logros. Cantidad de ejercicios buenos: _________Cantidad de ejercicios correctos[footnoteRef:1]. [1: ]

Evaluacin desempeoEquivalencia en Nota

69 - 80Muy Bueno6,0 7,0

59 - 68Bueno5,0 5,9

48 - 58Regular4,0 4,9

32 - 47Deficiente3,0 3,9

1 - 31Muy Deficiente1,0 2,9

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