Grandes Déviations pour EDS de Poisson en Epidémiologie.
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Grandes Déviations pour EDS de Poisson enEpidémiologie.
Brice Samegni-KepgnouEn collaboration avec Etienne Pardoux
Université Aix-Marseille
L’Institut de Mathématiques de Marseille (I2M)
JPS, Les Houches, 21 Avril 2016
Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 1 / 22
Plan
1 MotivationModèles Déterministes CompartimentauxModèles d’EDS de Poisson
2 Grandes DéviationsPrincipe de Grandes DéviationsProblèmes de Sortie à la frontière caractéristique
Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 2 / 22
Plan
1 MotivationModèles Déterministes CompartimentauxModèles d’EDS de Poisson
2 Grandes DéviationsPrincipe de Grandes DéviationsProblèmes de Sortie à la frontière caractéristique
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Le modèle SIS
�
-
S IβSI/N
(infection)
(guérison)αI
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Equilibres et stabilité du modèle SIS
En fonction de i(t) = I (t)/N
di(t)
dt= (β − α)i(t)− βi2(t).
R0 = le nombre moyen d’individus qu’un infectieux infecte au début del’épidémie= β/α
Si R0 ≤ 1, 0(DFE) est l’unique l’équilibre.Si R0 > 1, un unique EE, EE1 = 1− α/β s’ajoute au DFE 0.
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Modèle S0IS1 (M.Safan, H. Heesterbeek et K.Dietz(2006))
-
-
�
??
-
?
S0 I S1βS0I/N
(infection)( guérison)
αI
µN
( naissance)
µS0( deccès) µI
βS1I/N
( re-infection )µS1
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EDO et forme renormalisée
Posant r = ββ , i(t) = I (t)
N et s1(t) = S1(t)N
di(t)dt = βi(t)
(1− i(t)− (1− r)s1(t)
)− (α + µ)i(t)
ds1(t)dt = αi(t)−
(µ+ rβi(t)
)s1(t)
s0(t) = 1− i(t)− s1(t).
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Equilibres et Stabilités du modèle S0IS1
R0 =β
α + µ
R∗0 =β∗
α + µoù β∗ =
(√µ(r − 1) +
√α)2
r.
R0 > 1, un unique équilibre endémique(EE) existe en plus del’équilibre sans maladie(DFE).R∗0 < R0 < 1 and r > 1 + µ/α deux équilibres endémiques(EE1, EE2)existent ainsi qu’un équilibre sans maladie(DFE).0 < R0 < R∗0 or (R∗0 < R0 < 1 and r < 1 + µ/α), seul le DFE existe.
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Frontière caractéristique du modèle S0IS1(en bleu)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
proportion I
prop
ortio
n S
1
EE1
EE2
DFE
Figure: β = 3,α = 5, r = 2 et µ = 0.015Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 9 / 22
Modèle d’EDS de Poisson
Y z(t) = z +
∫ t
0
k∑j=1
hjβj(Yz(s))ds (1)
ZN(t) := ZN,z(t) :=[N.z ]
N+
1N
k∑j=1
hjPj
(N
∫ t
0βj(Z
N(s))ds)
(2)
A ={z ∈ Rd
+ :d∑
i=1
zi ≤ 1}
(3)
QuestionsQuelle est la différence entre la solution de l’EDO et celle de l’EDSpoissonienne quand N est grand ?La solution de l’EDS peut-elle passer du bassin d’attraction d’unéquilibre stable de l’EDO à un autre (avec N grand) ?Combien de temps faut–il attendre pour que cela se produise ?
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Plan
1 MotivationModèles Déterministes CompartimentauxModèles d’EDS de Poisson
2 Grandes DéviationsPrincipe de Grandes DéviationsProblèmes de Sortie à la frontière caractéristique
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Fonction de taux
Fixons φ ∈ ACT ,A
IT (φ) = infµ
k∑j=1
∫ T
0f (µjt , βj(φt))dt
où
f (z , λ) = z logz
λ− z + λ, z , λ ≥ 0
et µ est une fonction mesurable positive à valeurs dans Rk+ telle que
dφtdt
=k∑
j=1
µjthj .
IT (φ) = 0 ssi φ = Y est solution de l’ODE sur [0,T ].IT (φ) s’interprète comme l’énergie nécessaire pour que le systèmesuive φ plutôt que Y .
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Principe de Grandes déviations(LDP)
ThéorèmeLa famille de solution de l’EDS Poissonienne noté ZN,z et définie en (2)satisfait au LDP sur DT ,A avec une "bonne" fonction de taux IT .
i.eIT : DT ,A → R est semi-continue inférieurement.Pour tout sous ensemble ouvert G de DT ,A
lim infN→∞
1N
logPz(ZN ∈ G ) ≥ − infφ∈G ,φ0=z
IT (φ).
pour tout sous ensemble fermé F de DT ,A
lim supN→∞
1N
logPz(ZN ∈ F ) ≤ − infφ∈F ,φ0=z
IT (φ).
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Remarques bibliographiques
Shwartz et Weiss 1995, Dupuis et Ellis 1997, Feng et Kurtz 2006,.Une difficulté pour nous : certains taux s’annulent quand le processusatteint la frontière de A, donc le logarithme correspondant devientinfini !
Shwartz et Weiss(2005)P.Kratz et E.Pardoux(2016), B.Samegni et E.Pardoux(201 ?).
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Notations
O = bassin d’attraction d’un équilibre z∗ = EE1.L’énergie minimale nécessaire pour aller de z à y dans l’intervalle detemps [0,T ]
VO(z , y ,T ) := infφ:φ(0)=z,φ(T )=y
IT (φ)
L’énergie minimale nécessaire pour aller de z à y
VO(z , y) := infT>0
VO(z , y ,T )
L’énergie minimale pour aller de z∗ à la frontière caractéristique ∂O
V∂O
:= infy∈∂O
VO(z∗, y)
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Point de sortie d’un bassin d’attraction
Pour un point z ∈ O, par quel point de la frontière caractéristiqueZN,z sort–il de O (et en suivant quelle trajectoire) ?
τN,zO = inf{t > 0 : ZN,z(t) 6∈ O}
Nous montrons le résultat suivant
Théorème
Pour tout z ∈ O, y ∈ ∂O et pour tout η, δ0 > 0 il existe δ < δ0 etN0 ∈ N, de sorte que pour tout N > N0
exp(−N(Sz(y) + η)) ≤ Pz(|ZN(τNO )− y | < δ)
etPz(|ZN(τNO )− y | < δ) ≤ exp(−N(Sz(y)− η))
où Sz(y) est défini par : Sz(y) = V (z , y) ∧ (V (z∗, y)− V∂O
).
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Point de sortie d’un bassin d’attraction
Pour un point z ∈ O, par quel point de la frontière caractéristiqueZN,z sort–il de O (et en suivant quelle trajectoire) ?
τN,zO = inf{t > 0 : ZN,z(t) 6∈ O}
Nous montrons le résultat suivant
Théorème
Pour tout z ∈ O, y ∈ ∂O et pour tout η, δ0 > 0 il existe δ < δ0 etN0 ∈ N, de sorte que pour tout N > N0
exp(−N(Sz(y) + η)) ≤ Pz(|ZN(τNO )− y | < δ)
etPz(|ZN(τNO )− y | < δ) ≤ exp(−N(Sz(y)− η))
où Sz(y) est défini par : Sz(y) = V (z , y) ∧ (V (z∗, y)− V∂O
).
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Une conséquence du théorème
S’il existe un unique point y∗ ∈ ∂O tel que V (z∗, y∗) = V∂O
alors
∀δ > 0, ∀z ∈ O, limN→∞
Pz(|ZN(τNO )− y∗| < δ) = 1.
Pour le modèle SIS , y∗ = 0 (DFE).Pour le modèle S0IS1, nous pensons que y∗ = EE2 (Equilibre instable).
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Une conséquence du théorème
S’il existe un unique point y∗ ∈ ∂O tel que V (z∗, y∗) = V∂O
alors
∀δ > 0, ∀z ∈ O, limN→∞
Pz(|ZN(τNO )− y∗| < δ) = 1.
Pour le modèle SIS , y∗ = 0 (DFE).Pour le modèle S0IS1, nous pensons que y∗ = EE2 (Equilibre instable).
Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 17 / 22
Une conséquence du théorème
S’il existe un unique point y∗ ∈ ∂O tel que V (z∗, y∗) = V∂O
alors
∀δ > 0, ∀z ∈ O, limN→∞
Pz(|ZN(τNO )− y∗| < δ) = 1.
Pour le modèle SIS , y∗ = 0 (DFE).Pour le modèle S0IS1, nous pensons que y∗ = EE2 (Equilibre instable).
Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 17 / 22
Temps de sortie du Bassin d’attraction
Pour tout z ∈ O, quand est ce que ZN,z sort–il de O (et entre dans lebassin d’attraction d’un autre équilibre) ?P.Kratz et E.Pardoux ont montré que
ThéorèmePour tout z ∈ O, η > 0,
limN→∞
P(exp{N(V
∂O− η)} < τN,zO < exp{N(V
∂O+ η)}
)= 1.
Ceci signifie que pour N grand,
τN,zO ≈ exp{N.V∂O}
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Temps de sortie du Bassin d’attraction
Pour tout z ∈ O, quand est ce que ZN,z sort–il de O (et entre dans lebassin d’attraction d’un autre équilibre) ?P.Kratz et E.Pardoux ont montré que
ThéorèmePour tout z ∈ O, η > 0,
limN→∞
P(exp{N(V
∂O− η)} < τN,zO < exp{N(V
∂O+ η)}
)= 1.
Ceci signifie que pour N grand,
τN,zO ≈ exp{N.V∂O}
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Temps de sortie du Bassin d’attraction
Pour tout z ∈ O, quand est ce que ZN,z sort–il de O (et entre dans lebassin d’attraction d’un autre équilibre) ?P.Kratz et E.Pardoux ont montré que
ThéorèmePour tout z ∈ O, η > 0,
limN→∞
P(exp{N(V
∂O− η)} < τN,zO < exp{N(V
∂O+ η)}
)= 1.
Ceci signifie que pour N grand,
τN,zO ≈ exp{N.V∂O}
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Calcul numérique de V∂O
Nous voulons calculer
V∂O
:= infT ,φ:φ(0)=z∗,φ(T )=y∗
infµ
∫ T
0
k∑j=1
f (µjs , βj(φs))dt,
où µ est une fonction mesurable positive telle que
dφtdt
=k∑
j=1
µjthj
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Programmation Dynamique
Pour t ∈ [0,T ], z ∈ O,
W T (t, z) = infφ;φ(t)=z,φ(T )=y∗
infµ
∫ T
t
k∑j=1
f (µjs , βj(φs))ds (4)
Nous faisons une discrétisation du temps : t`+1 − t` = ∆t et z ∈ G(La grille de l’espace d’état).
W T (t`, z) = infµ
{W(t`+1, z +
k∑j=1
µjhj
)+
k∑j=1
f (µj , βj(z))∆t},
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Application au modèle SIS
d = 1, ∂O = {0}, β = 1.5, α = 1, T = 40, V∂O
= 0.0702
Figure: Trajectoire optimaleBrice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 21 / 22
Merci pour votre attention !
P. Kratz, E. Pardoux and B. Samegni-Kepgnou, Numerical methods inthe context of compartmental models in epidemiology, ESAIM :Proceedings and Surveys 48, 169–189, 2015.P. Kratz and E. Pardoux, Large deviations for infection diseasesmodels, arXiv :1602.02803, 2016.M. Safan, H. Heesterbeek and K. Dietz, The minimum effort requiredto eradicate infections in models with backward bifurcation, J. Math.Biol. 53, 703–718, 2006.B.Samegni-Kepgnou and E. Pardoux, Large deviations for PoissonDriven SDE in Epidemiology, to be submitted.B. Samegni-Kepgnou and E. Pardoux, Position of exit from a Domainfor Poisson Driven SDE in Epidemiology, to be submitted.A. Shwartz and A. Weiss, Large deviations with diminishing rates,Mathematics of Operations Research 30 281–310, 2005.
Brice Samegni (I2M) Grandes Déviations JPS 2016 22 / 22