GÖRÜNÜRDE İLİŞKİSİZ REGRESYON

GÖRÜNÜRDE İLİŞKİSİZ REGRESYON

1

Klasik doğrusal regresyon modelinin varsayımları geçerli

iken, tek denklemli modellerin “En Küçük Kareler Yöntemi”

(EKKY) ile tahmin edilmesi sonucu sapmasız, tutarlı ve

etkin tahmin ediciler elde edilebilir.

Klasik doğrusal regresyon, modelin spefikasyonunun

doğru olduğunu kabul eder.

Modelin tahmininde kullanılabilecek bazı diğer bilgiler

varsa ve dikkate alınmıyorsa tahmin ediciler klasik doğrusal

regresyon modelinin tahmin edicilerle ilgili özelliklerini

sağlamayabilir. 2

GİR modelinde çoklu regresyon denklemlerinin bir kümesi ele

alınmaktadır. Bu regresyon denklemler kümesi, eşanlı bir

denklemler kümesi biçiminde değildir. Yani herhangi bir

denklemde bağımlı değişken olarak bulunan bir değişken bir

başka denklemde bağımsız değişken olarak

bulunmamaktadır.

Zellner, GİR modelini meydana getiren denklemlerin hata

terimlerinin ilişkili olduğu, ancak farklı denklemlerdeki

bağımsız değişkenler arasında yüksek derecede ilişki

olmadığı durumlarda GİR tahmin edicisinin Basit En Küçük

Kareler (BEKK) tahmin edicisine göre daha etkin olduğunu

göstermiştir(Sezer, 2006).3

Bu sistemi meydana getiren çoklu regresyon denklemleri

yapısal olarak ilişkisiz gibi görünseler de (eşanlı denklem

sistemi özelliğinde olmasalar da) aşağıdaki sebeplerden

dolayı istatistiksel olarak ilişkili olabilirler:

Bazı katsayılar denklemler arasında ortak

kullanılmaktadır.

Aynı zaman noktasında, denklemlerdeki karşılıklı hata

terimleri ilişkilidir.

Denklemlerdeki bağımlı ve bağımsız değişkenler aynıdır,

bununla beraber gözlem değerleri aynı değildir. Denklemlerin

bir çok ortak yönü mevcuttur.4

Sistemde yer alan denklemlerin birbirleri ile ilişkileri,

denklemlere ait hata terimlerinin ilişkili olmasından

kaynaklanmaktadır. Karşılıklı hataları ilişkili olan denklem

sisteminin parametre tahminleri elde edilirken sistem bir bütün

olarak ele alınır.

Bu yöntem Zellner(1962) tarafından öne sürülen “Görünürde

İlişkisiz Regresyon(GİR)” yöntemidir. GİR yönteminin temeli

Genelleştirilmiş En Küçük Kareler yöntemine dayanır.

5

•İlişkili olan denklemler sistemine ayrı ayrı basit EKK yöntemi

uygulanırsa

sapmasız ve tutarlı

ancak etkin olmayan tahminciler elde edilir.

• Hata terimleri ilişkili denklemler sisteminin parametre

tahminlerini yaparken sistemi bir bütün olarak ele alan ve hata

varyans-kovaryans matrisini de regresyona dahil eden GİR

yöntemini kullanmak

sapmasız,

tutarlı ve

etkin tahmin ediciler elde edilmesini sağlar (Doğan,1998). 6

Görünürde İlişkisiz regresyon denklemlerine

Çeşitli malların talep fonksiyonları veya çeşitli endüstri

dallarının üretim fonksiyonlarında

Bağımlı ve bağımsız değişken verilerinin zaman serisi veya

anket verisi olduğu durumlarda

Biyokimya, göç, tarım ve nüfus hareketleri, farmakoloji vb.

gibi konularda

karşılaşılmaktadır.

7

Görünürde İlişkisiz Regresyonlar…

Aynı T zaman dönemi boyunca gözlenmiş ve aynı alanı

ilgilendiren iki denklemi (ekonomik göstergeler, yatırım ilişkileri

gibi…) göz önüne alalım:

1t 11 21 1t 31 1t 1Y X Z e (1)

(2)

Y: bağımlı değişkenler

X,Z: açıklayıcı değişkenler

8

2t 12 22 2t 32 2t 2Y X Z e

…Görünürde İlişkisiz Regresyonlar…Hatalar ile ilgili olarak basit En Küçük Kareler (BEKK) varsayımlarını kabul edelim:

1E(e ) 0 21 1var(e ) 1t 1t 1cov(e ,e ) 0

2E(e ) 02

2 2var(e ) 2 t 2 t-1cov(e ,e ) = 0

(1) ve (2) ile verilen her iki denklemin hata varyansları farklıdır. Her iki denklemdeki hatalar eşit varyanslı ve birbiriyle ilişkisizdir. Bu varsayımlar altında EKK’in en iyi tahmin tekniği olması (minimum varyanslı, sapmasız) beklenir.

(1)

(2)

(3)

(4)

9

1t 11 21 1t 31 1t 1Y X Z e

2t 12 22 2t 32 2t 2Y X Z e

…Görünürde İlişkisiz Regresyonlar…

M, modeldeki denklem sayısını, t zamanı ve n denklemlerdeki

gözlem sayısını göstermek üzere görünürde ilişkisiz regresyon

modelinde hata terimleri üzerindeki varsayımlar:

1. Kov (eit,, ejt) = E(eit,, ejt ) = ij i≠j, t = 1, 2, …, n i, j=1,…..,M

varsayıma göre, aynı zaman dönemindeki denklemlerin hata

terimleri arasında ilişki vardır.

İki denklemli bir sistem için eşitlik tekrar yazılırsa

Kov (e1t,, e2t) = E(e1t,, e2t ) = 12 t = 1, 2, …, n şeklinde olacaktır

10


2. Kov (eit,, eit) = Var(eit ) = ii

varsayıma göre, modeli meydana getiren her bir denklemde

sabit varyans varsayımı geçerlidir.


Kov (e1t,, e1t) = Var(e1t ) = 11

Kov (e2t,, e2t) = Var(e2t ) = 22

11


3. Kov (eit,, ejs) = E(eit,, ejs ) = 0 t≠s

varsayıma göre, farklı zaman dönemindeki denklemlerin hata

terimleri arasında ilişki yoktur.


Kov (e1t,, e2s) = E(e1t,, e2s ) = 0 t≠s elde edilir.

4. Her bir denklemin hata terimleri normal dağılıma sahiptir.

5. Her bir denklemin hata terimlerinin beklenen değeri sıfıra eşittir.

12

Hataların farklı zaman dönemlerinde birbirleriyle ilişkisiz oldukları

varsayımı altında


1., 2. ve 3. varsayımların geçerliliği ile iki denklemli bir

sistemde 1. ve 2. denklemlerin hata vektörü için e1 ve e2 yi

içeren kovaryans matrisi

1 1 2 11 12

1 2 2 21 22

var(e ) cov(e ,e )

cov(e ,e ) var(e )

(5)

t scov(e ,e )1 2 0

' '21 1 1 21 ' ' 1 T

1 2 2' '2 2 T2 1 2 2

E e e E e e 0eE e e E

e 0E e e e e

iki denklemin hataları birbirinden bağımsızdır.

(6)

13

11 21 11 22 11 2T

12 21 12 22 12 2T

1T 21 1T 22 1T 2T

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e


Farklı denklemlerdeki hataların ilişkili olduğu durumda

matrisin sağdan köşegen değerleri sıfır olamaz.

11

12

' 131 2 21 22 23 2T

1T

e

e

eE(e ,e ) E e e e . . e

.

.

e

0

(7)

Farklı dönemlerde hatalar arasında ilişki yoktur. (Varsayım 3)

t scov(e ,e )1 2 0

14


1t 2tcov(e ,e ) 1t 2tE(e ,e ) 12

12

12'

1 2 12

12

12

0 0 0

0 0 0

E(e ,e ) 0 0 0

. . . .

0 0 0

(8)

(9)

Aynı zaman dönemindeki denklemlerin hata terimleri

arasında ilişki vardır.

Farklı zaman dönemlerinde denklemlerin hataları

birbirinden bağımsızdır.

15

Hata terimleri varyans-kovaryans matrisinin kösegen olmaması denklemler arasında istatistiksel olarak bir ilişki olduğunu gösterir.

Farklı eşitlikteki hataların dağılımı aşağıdaki şekillerde gösterilebilir:


21 11 2

2 22 ve

T T

T T

ee N ; w

e

1 11 12

21 222

0

0(10)

te N ,w 0 te N ,0

11 12

21 22

Zellner bu tip denklemleri hata ilişkili regresyon denklemleri olarak adlandırmıştır.

1 1 2 11 12

2 1 2 21 22

var(e ) cov(e ,e )

cov(e ,e ) var(e )veya

16

Eşzamanlı Korelasyonun Test Edilmesi…

GİR modelinde hata terimi varyans kovaryans matrisinin

köşegen olması denklemlerdeki hata terimleri arasında bir

ilişkinin olmadığını gösterir. Bu durumda parametre

tahminlerinin GİR yöntemi ile elde edilmesinin bir kazancı

olmayacaktır. Bu amaçla varyans kovaryans matrisinin

köşegenliginin araştırılması gerekir.

► Varyans-kovaryans matrisinin köşegen olup olmadığı genel

olarak Olabilirlik Oranı (LR) ve Lagrange Çarpanı (LM) ile test

edilmektedir.

♦ M tane denklemden oluşan denklem seti için LM testinin sıfır ve

alternatif hipotezleri aşağıdaki gibidir:

…Eşzamanlı Korelasyonun Test Edilmesi…

Testlerin uygulanması sonucu, LR ve LM’ e ait sıfır hipotez

kabul edilirse her bir denklemin “En Küçük Kareler Yöntemi”

(EKKY) ile tahmin edilmesi gerekmektedir.

N N N ,NH :

H : ı ı ş ğ

0 12 13 1 23 24 2 1

1

(EKKY uygulanabilir)

en az bir kovaryans s f ra e it de ildir (SUR yöntemi uygulanabilir)

18


Normal doğrusal model kabulü altında uygun test istatistiği

M i

iji j

T r .

12

1 1

m M M ,MT(r r r r r r r )2 2 2 2 2 2 212 13 1 23 24 2 1

ij ij ii jjˆr /2 2

r2 korelasyon karesi,

T:Gözlem sayısı

:Test istatistiği ,

M: denklem sayısı

, M(M-1)/2 serbestlik derecesinde

asimtotik dağılıma sahiptir.

19


Eğer tanımlanan anlamlılık seviyesinde dağılımının kritik

değerinden büyükse Ho hipotezi reddedilir ve eş zamanlı

korelasyonlu olduğu söylenebilir.

Örneğin iki denklemlerden oluşan bir sistemde eş zamanlı

korelasyon testi için H0 ve H1 hipotezi şu şekilde kurulabilir.

H :

H :0 12

1 12

0

0

T(r )212

Test istatistiği:

20

r

12

2212

11 22

11 12

21 22

hesap ijT r 2 2

M(M-1)/2 serbestlik derecesinde tablo değerine bakılır.

hesap tablo2 2 H0 reddedilemez.

Her iki denklemin hataları arasında bir ilişki yoktur ve denklem

tahminleri için EKKY uygulanabilir.

UYGULAMA 1: TARIMSAL ÜRETİM SEKTÖRÜ

1979- 1988 yılları arasında tarım sektöründe ortak özellikleri

bulunan benzer iki ürünün fonksiyonları karşılaştırılmak

istenmiştir. Buğday ve arpa verimlerine etki eden faktörlerin de

aynı olduğu varsayımından hareketle denklem sistemleri

arasında görünürde bir ilişkinin olup olmadığını araştırınız.

22

Bağımlı Değişken

Yıllar Arpa VerimiKg / hektar

Arpa Ekili alanı

Bin hektar

Arpa ÜretimiBin Ton

1979 1871 2800 52401980 1893 2800 53001981 1990 2965 5900

1982 2040 3137 6400

1983 1871 2900 54251984 2000 3250 65001985 1949 3350 6500

1986 2103 3343 70001987 2092 3314 69001988 2189 3445 7500

Bağımlı DeğişkenBuğday VerimiKg / hektar

Buğday Ekili alanı

Bin hektar

Buğday ÜretimiBin Ton

1862 9400 175001829 9020 165001838 9250 17000

1944 9000 17500

1777 9230 164001911 9000 172001838 9350 17000

2036 9350 190002035 9415 189002188 9435 20500

Tahmin edilecek modeller

log (arpa_verim) = f (logarpa_alan, logarpa_uretimi)

log (bugday_verim) = f (logbugday_alan, logbugday_uretimi)23

ADIMLAR1) Denklemlere EKKY uygulanır.

a) Birinci Denkleme Ait EKKY Model Tahmin Sonuçları.

Dependent Variable: LOG(ARPA_VERIM)Method: Least SquaresSample: 1979 1988Included observations: 10

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 6.707761 0.086735 77.33606 0.0000LOG(ARPA_ALAN) -0.975863 0.029137 -33.49232 0.0000

LOG(ARPA_URETIM) 1.000880 0.018422 54.33014 0.0000

R-squared 0.999278 Mean dependent var 7.599514Adjusted R-squared 0.999071 S.D. dependent var 0.053414S.E. of regression 0.001628 Akaike info criterion -9.759834Sum squared resid 1.85E-05 Schwarz criterion -9.669058Log likelihood 51.79917 F-statistic 4841.716Durbin-Watson stat 1.835220 Prob(F-statistic) 0.000000

24

b) Otokorelasyon Testi

EKK yöntemi ile tahmin edilen modelde otokorelasyon olup

olmadığı incelendiğinde yapılan test sonucuna göre hatalar

arasında otokorelasyon olmadığını söyleyen H0 hipotezi kabul

edilebilir.

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:

F-statistic 0.047970 Probability 0.833895

Obs*R-squared 0.079316 Probability 0.778227

25

a) İkinci Denkleme Ait EKKY Model Tahmin Sonuçları

Dependent Variable: LOG(BUGDAY_VERIM)Method: Least SquaresSample: 1979 1988Included observations: 10

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 5.524540 0.774284 7.135032 0.0002

LOG(BUGDAY_ALAN) -0.862321 0.098206 -8.780696 0.0001LOG(BUGDAY_URETIM) 1.013219 0.026429 38.33666 0.0000

R-squared 0.996025 Mean dependent var 7.561210Adjusted R-squared 0.994890 S.D. dependent var 0.064257S.E. of regression 0.004594 Akaike info criterion -7.685018Sum squared resid 0.000148 Schwarz criterion -7.594243Log likelihood 41.42509 F-statistic 877.0696Durbin-Watson stat 2.680469 Prob(F-statistic) 0.000000

26


Benzer şekilde buğday verim modelinde hatalar arasında

otokorelasyon olup olmadığı incelendiğinde hatalar arasında

otokoreasyon olmadığına karar verilebilir.


F-statistic 3.396589 Probability 0.114902Obs*R-squared 3.614705 Probability 0.057271

27

System: SYS01Estimation Method: Seemingly Unrelated RegressionSample: 1979 1988Included observations: 10Total system (balanced) observations 20Linear estimation after one-step weighting matrix

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 6.726139 0.071981 93.44348 0.000LOG(ARPA_ALAN) -0.980962 0.024219 -40.50404 0.0000LOG(ARPA_URETIM) 1.003472 0.015337 65.42920 0.0000C 5.726876 0.642593 8.912134 0.0000LOG(BUGDAY_ALAN) -0.885814 0.081570 -10.85959 0.0000LOG(BUGDAY_URETIM) 1.014466 0.022078 45.94901 0.0000

Determinant residual covariance 2.61E-11

28

Observations: 10R-squared 0.999273 Mean dependent var 7.599514Adjusted R-squared 0.999065 S.D. dependent var 0.053414

S.E. of regression 0.001633 Sum squared resid 1.87E-05

Durbin-Watson stat 1.847210Observations: 10R-squared 0.995985 Mean dependent var 7.561210Adjusted R-squared 0.994838 S.D. dependent var 0.064257S.E. of regression 0.004617 Sum squared resid 0.000149Durbin-Watson stat 2.623456

29

3) Denklemlerin hataları arasında ilişki olup olmadığını

araştırmak için eş zamanlı kovaryans testi yapılması

gerekmektedir.

Eviews programından elde edilen hataların kovaryans matrisi aşağıdaki gibidir.

LOG(ARPA_VERIM) LOG(BUGDAY_VERIM)LOG(ARPA_VERIM) 1.867e-06 1.341e-06

LOG(BUGDAY_VERIM) 1.341e-06 1.491e-05

Matris notasyonu ile gösterimi:

11 12

21 22

. .w

. .

1867e 06 1 341e 06

1 341e 06 1491e 05

12=0 hipotezinin test edilebilmesi r212 katsayısının hesaplanması

gerekmektedir. 30

( . )

r .. .

12

2 2212

11 22

0 0000013410 0646

0 000001867 0 00001491

1. Adım

H :

H :0 12

1 12

0

0

hesap ijT r * . .2 2 10 0 0646 0 646

2. Adım

3. Adım


tablo , . .2 21 0 05 3 84

. .w

. .

1867e 06 1 341e 06

1 341e 06 1491e 05

11 12

21 22

31

hesap tablo2 2

4. Adım

H0 reddedilemez

Her iki denklemin hataları arasında bir ilişki olmadığı görülmüştür. Bu durumda iki tarım ürününe ilişkin verimlerin birbirinden etkilenmedikleri yorumu yapılabilir ve denklem tahminleri için EKKY uygulanabilir.

EKKY ve SUR Model Sonuçlarının KarşılaştırılmasıYöntem

EKKY SURKatsayı Std.Hata Katsayı Std.Hata

C 6.707761 0.086735 6.726139 0.071981LOG(ARPA_ALAN) -0.975863 0.029137 -0.980962 0.024219

LOG(ARPA_URETIM) 1.000880 0.018422 1.003472 0.015337C 5.524540 0.774284 5.726876 0.642593

LOG(BUGDAY_ALAN) -0.862321 0.098206 -0.885814 0.081570LOG(BUGDAY_URETIM) 1.013219 0.026429 1.014466 0.022078

32

UYGULAMA 1: TARIMSAL ÜRETİM SEKTÖRÜNDE (Çavdar ve Yulaf)

Aşağıdaki tablolarda 1979- 1988 yılları arasında tarım

sektöründen benzer iki ürünün fonksiyonları karşılaştırılmak

istenmiştir. Çavdar ve yulaf verimlerine etki eden faktörlerin

aynı olduğu varsayımından hareketle denklemler sistemleri

arasında görünürde bir ilişkin olup olmadığını araştırınız.

33


Yıllar Çavdar Verimi

Kg / hektar

Çavdar Ekili alanıBin/ hektar

Çavdar ÜretimiBin/ Ton

1979 1319 470 6201980 1186 443 5251981 1293 410 530

1982 1376 313 430

1983 1382 275 3801984 1440 250 3601985 1550 240 360

1986 1585 222 3501987 1581 242 3801988 1567 180 280


Yulaf VerimiKg / hektar

Yulaf Ekili alanıBin / hektar

Yulaf Üretimi

Bin / Ton1682 220 3701802 197 3551806 180 325

1886 175 330

1882 170 3201837 172 3161883 167 314

1899 158 3001826 178 3251852 149 276

Tahmin edilecek modeller

log (cavdar_verim) = f (cavdar _uretim, cavdar _alan)

log (yulaf _verim) = f (yulaf _uretim, yulaf_alan) 34

ADIMLAR1) Denklemlere EKKY uygulanır.

a) Birinci Denkleme Ait EKKY Model Tahmin Sonuçları.

Dependent Variable: LOG(CAVDAR_VERIM)

Method: Least Squares

Sample: 1979 1988

Included observations: 10Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 6.918401 0.165405 41.82715 0.0000LOG(CAVDAR_ALAN) -1.039640 0.061805 -16.82126 0.0000

LOG(CAVDAR_URETIM) 1.036502 0.082988 12.48973 0.0000

R-squared 0.991830 Mean dependent var 7.259539Adjusted R-squared 0.989495 S.D. dependent var 0.099751S.E. of regression 0.010224 Akaike info criterion -6.084883Sum squared resid 0.000732 Schwarz criterion -5.994107Log likelihood 33.42441 F-statistic 424.8800Durbin-Watson stat 2.589341 Prob(F-statistic) 0.000000

35

b) Otokorelasyon TestiEKK yöntemi ile tahmin edilen modelde otokorelasyon olup olmadığı incelendiğinde yapılan test sonucuna göre hatalar arasında otokorelasyon olmadığını söyleyen H0 hipotezi kabul edilebilir.


F-statistic 0.689292 Probability 0.438185Obs*R-squared 1.030441 Probability 0.310055

36

a) İkinci Denkleme Ait EKKY Model Tahmin SonuçlarıDependent Variable: LOG(YULAF_VERIM)Method: Least SquaresSample: 1979 1988Included observations: 10

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 6.896845 0.020446 337.3201 0.0000LOG(YULAF_ALAN) -1.004484 0.006842 -146.8164 0.0000

LOG(YULAF_URETIM) 1.005932 0.009182 109.5515 0.0000

R-squared 0.999830 Mean dependent var 7.514506Adjusted R-squared 0.999782 S.D. dependent var 0.035754S.E. of regression 0.000528 Akaike info criterion -12.01140Sum squared resid 1.95E-06 Schwarz criterion -11.92062Log likelihood 63.05699 F-statistic 20626.82Durbin-Watson stat 2.268799 Prob(F-statistic) 0.000000

37


EKK yöntemi ile tahmin edilen modelde otokorelasyon olup

olmadığı incelendiğinde yapılan test sonucuna göre hatalar

arasında otokorelasyon olmadığını söyleyen H0 hipotezi kabul

edilebilir. Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:

F-statistic 0.142993 Probability 0.718341

Obs*R-squared 0.232774 Probability 0.629475

38

2) Denklemlerin SUR ile tahmini aşağıdaki gibidir.

System: SYS01Estimation Method: Seemingly Unrelated RegressionSample: 1979 1988Included observations: 10Total system (balanced) observations 20Linear estimation after one-step weighting matrix

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 7.056788 0.077382 91.19375 0.0000LOG(CAVDAR_ALAN) -0.993493 0.021759 -45.65882 0.0000

LOG(CAVDAR_URETIM) 0.970014 0.030907 31.38527 0.0000C 6.906474 0.008800 784.8325 0.0000

LOG(YULAF_ALAN) -1.002821 0.002490 -402.7346 0.0000LOG(YULAF_URETIM) 1.002776 0.003231 310.4000 0.0000

Determinant residual covariance 5.26E-1339

Equation:LOG(CAVDAR_VERIM) =C(1)+C(2)*LOG(CAVDAR_ALAN) +C(3)*LOG(CAVDAR_URETIM)

Observations: 10

R-squared 0.991008 Mean dependent var 7.259539Adjusted R-squared 0.988439 S.D. dependent var 0.099751S.E. of regression 0.010725 Sum squared resid 0.000805Durbin-Watson stat 2.441828

Equation: LOG(YULAF_VERIM) =C(4) +C(5)*LOG(YULAF_ALAN) + C(6)*LOG(YULAF_URETIM)

Observations: 10

R-squared 0.999824 Mean dependent var 7.514506Adjusted R-squared 0.999774 S.D. dependent var 0.035754S.E. of regression 0.000538 Sum squared resid 2.03E-06Durbin-Watson stat 2.266296

40

3) Denklemlerin hataları arasında ilişki olup olmadığını araştırmak

için eş zamanlı kovaryans testi yapılması gerekmektedir.

Eviews programından elde edilen hataların kovaryans matrisi aşağıdaki gibidir.

LOG(CAVDAR_VERIM) LOG(YULAF_VERIM)LOG(CAVDAR_VERIM) 8.052e-05 3.973e-06LOG(YULAF_VERIM) 3.973e-06 2.026e-07

Matris notasyonu ile gösterimi

11 11

21 22

. .w

. .

8 052e 05 3 973e 06

3 973e 06 2 026e 07

12 = 0 hipotezinin test edilebilmesi r212 katsayısının

hesaplanması gerekmektedir. 41

( . )

r .. .

12

2 2212

11 22

0 0000039730 97

0 0000805 0 000000202

1. Adım

H :

H :0 12

1 12

0

0

hesap ijT r * . . 2 2 10 0 97 9 7

3. Adım


tablo , . .2 21 0 05 3 84

42

hesap tablo 2 2

4. Adım

Her iki denklemin hataları arasında bir ilişki olduğu görülmüştür.

Bu durumda iki tarım ürününe ilişkin verimlerin birbirinden

etkilendikleri yorumu yapılabilir ve denklem tahminleri için GİR

uygulanabilir.

43

GÖRÜNÜRDE İLİŞKİSİZ REGRESYON

Documents

Transcript of GÖRÜNÜRDE İLİŞKİSİZ REGRESYON