1. Koordinačių sistemos. Taško padeties aprašymas. Koordinatiniai paviršiai ir kreives. Lame koeficientai. Cilindrine koordinačių sistema. Diferencialinių operacijų (gradientas, divergencija, rotorius, Laplaso operatorius) reiškimas.Tegul kiekvienas plokštumos taškas aprašomas

1 2 3, ,q q q (apibendrintos arba kreivinės koordinatės). Jo radius vektorių galime nagrinėti kaip vektorinę f-ja

1 2 3, ,r r q q q

.Dekarto koord. sistemoje:Reikalaujame, kad kiekvienas taškas x,y,z atititktų tik viena

1 2 3, ,q q q rinkinį.

Jei 1q const o kinta tik 2 3,q q tuomet visi taškai priklausys tam tikrai paviršių šeimai, vadinami

koordinatiniai paviršiai, taip pat, kai 2q const

arba 3q const .Dviejų paviršių susikirtimas duoda kreivę. Koordinatinės kreivės:

1 21

3 32

q const q constq const

q const q constq const

Lame koeficientas:

2 2 2

ii i i i

r x y zh

q q q q

Atstumo kvadratas: 2 2 221 1 2 2 3 3ds h dq h dq h dq

Tūrio elementas: 1 2 3 1 2 3d V h h h d q d q d q

Cilindrinė koordinačių sistema:

0

0 2

r

z

cos

sin

x r

y r

z z

2 21

2

3

r q x y

yq arctg

xz q z

Koordinatiniai paviršiai ir linijos:

apskritasis cilindras

plokštuma

plokštuma

r const

const

z const

, tiesė

, apskritimas

, spindulys

r const const

r const z const

const z const

2 2 2 20 0 0, , ( )r zr r r kz a r a a ka ds dr rd dz

. : 1, , 1. . :r zLame koef h h r h Tūrio elem dV rdrd dz

Diferencialines operacijos:

0 0

0 0

.. 1 .. ..: .. ;

1

Nabla r kr r z

f f fgrad f f r k

r r

Norint rasti divergencija reikia diferencijuoti ortus.

0

00

0

0

0

r

r

r

r

z

0

00

0

0

0

r

r

z

0

0

0

k

r

k

k

z

Divergencija:

0 0 0 01

( , ) ,

1 1 1 1

r z

zr r z r

diva a r k r a a kar r z

a aa a a ra

r r r z r r r z

Laplaso operatorius:2 2

2 2 2

1 .. 1 .. ..( , ) ; ..div grad f f f r

r r r r z

Rotorius: 0 0 0 0 r k r k

0 0 0 0

0 0

1, ,

1 1,

1

r z

z r

r

rot a a r k r a a kar r z

r a a a az k r ar z z r r r

ar

2. , Koordinačių sistemos. Taško padeties aprašymas. Koordinatiniai paviršiai ir kreives. Lame koeficientai. Sferine koordinačių sistema. Diferencialinių operacijų (gradientas, divergencija, rotorius, Laplaso operatorius) reiškimas.

Tegul kiekvienas plokštumos taškas aprašomas

1 2 3 1 1

1 2 3 2 2

1 2 3 3 3

, , , ,

, , , ,

, , , ,

x x q q q q q x y z

y y q q q q q x y z

z z q q q q q x y z

1 2 3 1 1

1 2 3 2 2

1 2 3 3 3

, , , ,

, , , ,

, , , ,

x x q q q q q x y z

y y q q q q q x y z

z z q q q q q x y z

1 2 3, ,q q q (apibendrintos arba kreivinės koordinatės). Jo radius vektorių galime nagrinėti kaip vektorinę f-ja

1 2 3, ,r r q q q

.Dekarto koord. sistemoje:Reikalaujame, kad kiekvienas taškas x,y,z atititktų tik

viena 1 2 3, ,q q q rinkinį.

Jei 1q const o kinta tik 2 3,q q tuomet visi taškai

priklausys tam tikrai paviršių šeimai, vadinami

koordinatiniai paviršiai, taip pat, kai 2q const

arba 3q const .Dviejų paviršių susikirtimas duoda kreivę. Koordinatinės kreivės:

1 21

3 32

q const q constq const

q const q constq const

Lame koeficientas:

2 2 2

ii i i i

r x y zh

q q q q

Atstumo kvadratas: 2 2 221 1 2 2 3 3ds h dq h dq h dq

Tūrio elementas: 1 2 3 1 2 3dV h h h dq dq dq

Sferinė koordinčių sistema:

0

0

0 2

r

sin cos

sin sin

cos

x r

y r

z r

Koordinatiniai paviršiai ir linijos:

sfera

kūgio paviršius

pusplokštumė

r const

const

const

, apskritimas

, pusapskritimis

, spindulys

r const const

r const const

const const

. : 1, , sinrLame koef h h r h r

Diferencialines operacijos:

0 0 00

0 0 00

.. 1 .. 1 ..: .. ;

sin

1 1

sin

Nabla rr r r

f f fgrad f f r

r r r

Norint rasti divergencija reikia diferencijuoti ortus.

0

00

00

0

sin

r

r

r

r

0

00

00

0

cos

r

r

0

0

00

0 0

0

0

sin cos

r

r

Divergencija:

0 0 0 0 0

20 2

1 1( , ) ,

sin

1 1 1sin

sin sin

r

r

diva a r r a ar r r

aa r a a

r r rr

Laplaso operatorius:2

22 2 2 2 2

1 .. 1 .. 1 .... sin

sin sinr

r rr r r

Rotorius: 0 0 0 0 0 0 r r

0 0 0 0 0 0

0 0

0

1 1, ,

sin

1 1 1sin

sin sin

1 1,

r

r

r

rota a r r a a ar r r

r a a a a rr r r

r a ar r r

3. Paprastosios diferencialinės lygtys.Pirmos eilės diferencialinės lygtysir jų sprendimo metodai.Diferencialine lygtimi vadinama lygtis, turinti nepriklausoma kintamąjį x, ieškoma f-ja y, ir išvestinę

y’,y’’. ( )( , , ',..., ) 0nF x y y y

Jei reiškiama funkcija yra tik vieno kintamojo funkcija ji vadinama paprastąja dif. lygtimi.Dif. lygties sprendiniu (integralu) vadiname f-ja y=φ(x). Kiekvieną sprendinį atitinkakreivė, kuri vadinama integraline.

Košy uždavinys: reikia rasti lygties y’=f(x,y) atskirąjį sprendinį tenkinantį pradines sąlygas.Kadangi

( , , ') 0F x y y turi be galo daug sprendinių, todėl reikalaujame kad sprendinys eitų per tam tikrą tašką.Lygties sprendiniai nusakomi f-ja priklausancia nuo laisvosios konstantos c. Bendru atveju y=φ(x,c)-lygties bendrasis sprendinys. Bendrasis sprendinys turi tenkinti šias salygas:

1.)su bet kuria c reikšme, sprend. turi tenkinti dif.lygtį2.)kad ir kokios butu pradinės sąlygos galima rasti tokia c reikmę c0, su kuria f-ja y=φ(x, c0)tenkintų lygties pradines sąlygas.

Lygties sprendinys kurio negauname iš pradinio sprendiniovadinamas ypatinguoju sprendiniu y=ψ(x).lygtį galime užrašyti: A(x)y’+B(x)y+C(x)=0 A,B,C- tolydžios funkcijos intervale (a,b). Jei A(x)≠0, tada y’+P(x)y=Q(x). Jei Q(x)=0- homogeninė,jei Q(x) ≠0-nehomogeninė.Bernulio sprendimo metodas:

( ) ( ); ' ' ' ; : ' ' ( ) ( )y u x v x y u v v u Gaunam u v v u P x uv Q x

( )

1

' ' ( ) ( ) ' ( ) 0; ( ) ;

( ) ;integruojame : ln | | ( ) ;P x dx

dvu v u v P x v Q x v P x v P x v

dxdv

P x dx v P x dx c v c ev

( ) ( )1

1

( )2

1

( ) ( )2 1

1

( ) ( )2 1

1' ( );atskiriam kint.: ( )

1( ) , ,

1( )

( ) ;čia:

P x dx P x dx

P x dx

P x dx P x dx

P x dx P x dx

u c e Q x du Q x e dxc

u Q x e dx c kadangi y uv taic

y Q x e dx c c ec

e Q x e dx c c c c

Konstantu varijavimo (Lagranžo) metodas:Pirmiausia sprendžiame homogeninę lygtį y’+P(x)=0. Kadangi y≠0

( ) homog.( ) ; ln | | ( ) ln | |;

sprend.P x dxdy

P x dx y P x dx c y cey

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )* *

( ) ; '( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ); ( ) '( ) ; ( ) ( )

. ( ).

P x dx P x dx P x dx

P x dx P x dx P x dx

P x dx P x dx P x dx

įrašomy c x e c x e P x c x e P x

įpradinę

c x e Q x Q x c x e c x Q x e dx

Bendrasc y c e e Q x e dx

sprend

4. Paprastosios diferencialinės lygtys. Antros eilės tiesinės diferencialinės lygtys. Bendrasis sprendinys. Vronskio determinantas. Liuvilio formulė.Diferencialine lygtimi vadinama lygtis, turinti nepriklausoma kintamąjį x, ieškoma f-ja y, ir išvestinę

y’,y’’. ( )( , , ',..., ) 0nF x y y y

Jei reiškiama funkcija yra tik vieno kintamojo funkcija ji vadinama paprastąja dif. lygtimi.Dif. lygties sprendiniu (integralu) vadiname f-ja y=φ(x). Kiekvieną sprendinį atitinkakreivė, kuri vadinama integraline.Antrosios eilės diferencialine lygtimi vadiname

lygtį ( , , ', '') 0F x y y y .

1 2 1 2'' ( ) ' ( ) ( ); , tolydžios intervale ( , )y P x y P x y f x P P a b

Kai f(x)≡0, kiekviename ( , )x a b turėsime homogeninę

lygtį. 1 2( ), ( )P x P x gali būti konstantos, tada turime homogenine lygtį su pastoviais koeficientais.

1 2'' ( ) ' ( ) ; ( ) 0L y y P x y P x y L y f x arba L y

L[y]-diferenciavimo operatorius, kuriam galioja tiesiškumo savybė:

Tiesiškumas: 1 1 2 2 1 1 2 2L c y c y c L y c L y

Terorema:Jei f-jos y1 y2 yra lygties 0L y sprendiniai

tada 1 1 2 2c y c y irgi yra tos lygties sprendinys.

Vromskio determinantas:Tarkime kad galime parinkti:

2 1 1 1

1 1 1 2 1 1 2 1 1 1

3 kai y yra tos lygties sprendinys, tai ir 3y yra tos lygties

sprendinys. 3 3 sprendinys

y y

y c y y c y c c y c y

Taigi y=c1y1+c2y2 bus bendrasis lygties

0L y sprendinys, kai iš jo galima gauti atskirajį sprendinį tenkinantį pradines sąlygas:

0 00 0

;x x x x

y y y y

Tada gauname:

10 1 10 10 00 1 10 2 20

0 1 10 2 20 20 2 20 20 0

, x x x x

x x x x

y y y yy c y c y

y c y c y y y y y

Gauname determinantą:

10 20 1 21 2 1 2 2 1

10 20 1 20; ,

y y y yW y y y y y y

y y y y

Kai Vromskio determinantas ≠0, tada y=c1y1+c2y2 yra

lygties 0L y bendrasis sprendinys.Iš šio determinanto galime gauti konstantų c1c2 reikšmes. Sprendiniai y1,y2

sudaro fundamentalią sprendinių sistemą.y1,y2,...yn-vadinami tiesiškai nepriklausomi intervale[a,b], kai c1y1+c2y2+...+cnyn=0o tai b8na tik tada kai c1...cn=0Liuvilio formule:

0L y ; 1 2'' ( ) ' ( ) ( )y P x y P x y f x

Tarkime, kad y1 ir y2 – tiesiškai nepriklausomi atskirieji lygties sprendiniai.Tada jie tenkina:Norint rasti P1(x) ir P2(x), pirmąją lygtį dauginame iš (-y2)o antrąją iš y1 ir sudedam

1 2 1 2 1 1 2 2 1

( , )1 2

( )( ) 0

W y y

y y y y P x y y y y

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2( , )xy y y y y y y y y y y y y y y y W y y

1 2 1 1 2 1 2( , ) ( ) ( , ) 0; ( , ) 0xW y y P x W y y W y y , tada:

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y P x y P x y f x

y P x y P x y f x

1 21 1 1

1 2

( , )( ) ; ( ) ; ( )

( , )xW y y dW dWdW

P x W P x W P x dxdxW y y dx W

( )11 1 2ln ( ) ln ; ( , )

P x dxW P x dx c W y y ce Liudvilio formulė

Remiantis šia formule galime rasti y2, kai žinome y1.

( ) ( )2 1 2 1 2 11 11 2 2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) *2 21 12 2

1 11 1

( , )0; ; ;

;

P x dx P x dx

P x dx P x dx

W y y y y y yc cy e e

y y y y

y yc ce e c

y yy y

Reikia rasti atskirajį sprendinį, todėl c=1, o c*=0:Kadangi y1 ir y2

tiesiškai nepriklausomi,tada y1/y2≠const, tuomet bendrasis sprendinys:

y=c1y1+c2y2.

5.Paprastosios diferencialinės lygtys.Antrosios eilės tiesinės dif. lygtys ir jų sprendimo metodai.Diferencialine lygtimi vadinama lygtis, turinti nepriklausoma kintamąjį x, ieškoma f-ja y, ir išvestinę

y’,y’’. ( )( , , ',..., ) 0nF x y y y

Jei reiškiama funkcija yra tik vieno kintamojo funkcija ji vadinama paprastąja dif. lygtimi.Dif. lygties sprendiniu (integralu) vadiname f-ja y=φ(x). Kiekvieną sprendinį atitinkakreivė, kuri vadinama integraline.Antrosios eilės diferencialine

lygtimi vadiname lygtį ( , , ', '') 0F x y y y , o tiesine antros eilės dif. Lygtimi vadiname lygtį kurią galima išreikšti tokiu pavidalu.

1 2 1 2'' ( ) ' ( ) ( ); , tolydžios intervale ( , )y P x y P x y f x P P a b

Kai f(x)≡0, kiekviename ( , )x a b turėsime

homogeninę lygtį. 1 2( ), ( )P x P x gali būti konstantos, tada turime homogenine lygtį su pastoviais koeficientais.

1 2'' ( ) ' ( ) ; ( ) 0L y y P x y P x y L y f x arba L y

L[y]-diferenciavimo operatorius, kuriam galioja tiesiškumo savybė:

Tiesiškumas: 1 1 2 2 1 1 2 2L c y c y c L y c L y

Terorema: Jei f-jos y1,y2 yra lygties

0L y sprendiniai tada 1 1 2 2c y c y irgi yra tos lygties sprendinys.Sprendimo metodai:1.y”=f(x) – mažindami eilę nuosekliai integruojame abi lygties puses.

2. y”=f(x,y’) – naudojame keitinį y’=P(x) ,y”=P’(x). P’=f(x, P) – išsprendžiame P atžvilgiu.3. y”=f(y,y’) – naudojame keitinį y’=p(y)

, ( , )dy dp dp dy dp dp

y p tada p f y pdx dx dy dx dy dy

integruojame gautą lygtį.4. y”+py’+qy =0, čia p,q realieji skaičiai. Tarkime kad atskiras tiesiškai nepriklausomas sprendinys apibrėžtas:

2

2 2

, ; ;

0; 0, 0

kx kx kx

kx kx kx kx kx

y e kur k const y ke y k e sustatom į pradinę

k e pke qe e k pk q kur e

tuomet 2 0k pk q , ši lygtis vadinama diferencialinės lygties charakteristika. Išsprendžiamelygtį, jei:a)jei k1,k2 realios bet skirtingos reikšmės:

( )11 2 1 21 2 1 2

2

1 21 2

; ; ; ( . .)

:

k x k x k k x

k x k x

yk k y e y e e const ties neprikl

y

Bendrasis sprendinys y c e c e

b) jei k1,k2 realios, bet vienodos

11 2 1 2

2

; ; ; 1 ( . .)kx kx yk k k y e y e ties prikl

y

Turi

me pirmąji atskirąjį sprendinį 1kxy e Randame antrąjį:

1 2

2 1 2 21

1 2 1 2

: ( ) 2 .

Pasinaudoję Liuvilio formule gausime:

:

pdx pxkx kx kx

kx

kx kx kx

Pagal Vieto teorema p k k k

e ey y dx e dx e dx xe

y e

Bendrasis sprendinys y c e c xe e c c x

c)Šaknys k1,k2 kompleksinės.

2 21,2

( )1 1

( )2 2

; ; / 4 , / 4 02

(cos sin ),

(cos sin )

i x x

i x x

pk i q p q p

y e y e x i xpagal Eulerio

formuley e y e x i x

y1 ir y2 – realiojo argumento kompleksinės f-jos. Jei kompleksinė realiojo argumento funkcija y=u(x)+iv(x)yra diferencialinės lygties sprendinys, tuomet ir u(x), v(x) yra tos lygties sprendinys.

1 1

22

cos Atskirieji homog. tiesiskai ;

lygties sprendiniai neprikl.sin

x

x

y e x yctg x const

yy e x

Bendrasis lygties sprendinys:

1 2 1 2y= cos sin ( cos sin )x x xc e x c e x e c x c x

6.Paprastųjų diferencialinių lygčių kraštinis uždavinys ir Gryno funkcija.

( )1

2 1 21

P x dxe

y y dxy

Yra sprendinių kurie intervalo galuose įgyja tam tikras reikšmes, tokie uždaviniai vadinami kraštiniais.

'' ( ) ' ( ) 0Imame y P x y Q x y Šios lygties Košy uždavinys tokias pradines

sąlygas: 0 0 0 0( ) ; ( )y x y y x y Nurodome kad intervalo [a,b] galuose sprendinys įgyja tokias reikšmes y(a)=A,y(b)=B, čia A ir B – const.Tokias sąlygas vadiname kraštinėmis, nes jos apibūdina sprendinį int[a,b] kraštuose. Taigi iš daugelio integralų reikės atrinkti tą kuris eina per taškus M1 ir M2. Kraštinis uždavinys ne visada turi sprendinį.Tarkime y”=f(x)(1) tolydi intervale [a,b].Jos sprendinys:

1 2( ) (2)y f x dxdx c x c (2)- f-ja srityje a<x<b, |y|<+∞, |y’|<+∞ yra (1)-os lygties atskirasis sprendinys.(2)- f-ja turi tenkinti pradines sąlygasIntegruodami (1) lygtį gauname:

1 1 0 2

0 0 0

( ) ; ( ) ( )x x x

x x x

y f x dxdx c y f x dxdx c x x c ,

matom kad

1 0 2 0 0 0 0

0 0

, ; : ( ) ( )x x

x x

c y c y istatome y f x dxdx y x x y

0 0,y y-pasirenkame laisvai. Paimame atskirąjį lygties

sprendinį: 0 0

( )x x

x x

y f x dxdx . Taip bus, kai

0 0 0 0( ) 0, ( ) 0y x y x

0 0 0 0

0 0 0

( ) ( )( ) ; ( )( )

( )

x x x x

x x x x

y f x dxdx f t x t dx tuomet y f t x t dx

y x x y

Lygties bendrasis sprendinys:

;nehomog.lygties atskirasis sprendinys ( )x x

a a

y y y y f x dx dx

Tarkim, kad:

1 2( ) ; ( ) ; ( - ) homog. lygties sprendinysy a y b y c x a c

Reikia išreikšti ( )

x x

a a

f x dxdx vienu integralu:

Sritys :t=at=uu=x

Gauname:

( )x t u

a t a

du f t dt

dtdu reiškia ploto elementą

( ) ( ) ( )( )x u x u x x

a a a u t a

du f t dt f t dt du f t x t dt

Bendrasis

sprendinys bus:1 2( ) ( ) ( )( )

x

a

y x c c x a f S x S dS

Kadangi ( ) ; ( )y a y b , galime gauti:

1

1 2

( )

( ) ( ) ( ) ( )b

a

y a c

y b c c a b b S f S dS

1

21

( ) ( )b

a

c

c b S f S dSb a

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

b x

a a

x ay x b S f S dS f S x S dS

b a

Atskliaudziame, o nariai:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

b x x

a a a

b x

x a

b

x

x a x ab S f S dS f S x S dS b S

b a b a

x a x b S ax S f S dS S b f S dS

b a b a

x a S bf S dS f S dS

b a

Taigi kraštutinio užd. sprendinį galime užrašyti taip:

( )( ) ( , ) ( ) ;

( , ) GRYNO f-ja

b

a

x ay x G x S f S dS

b a

G x S

( )( ),

( , )( )( )

,

x b S akai a S x

b aG x Sx a S b

kai x S bb a

Taigi homogeninės lygties su kraštinėmis sąlygomis

( ) ; ( )y a y b sprendinys:

( )( )

x ay x

b a

.

Nehomogeninės:( ) ( , ) ( )

b

a

y x G x S f S dS .

Gryno f-jos sąvybės:

1.G(x,S)tolydi intervaluose: a S x ir x S b

2.Kai x=S turime trūkį

( , ) ( 0, ) ( 0, ) 1S a S b

G x S G S S G S Sb a

3.Kai x=a, x=b, tenkina kraštinės sąlygas.4.Kai x≠S yra

1 0'' ( ) ' ( ) 0y a x y a x y sprendinys.

7.Paprastųjų diferencialinių lygčių sistemosir pagrindiniai jų sprendimo būdai.Sistema,kurią sudaro dif. lygtys, siejančios kintamąjį x, f-jas y1(x)...yn(x) ir jų išvestines vadinama dif. lygčių sistema.Normaliųjų dif. lygčių sistema(x-neprikl. Kintamasis, y1...yn-ieškomosios f-jos):

11 1

1 12

2 1

( , ,..., )( )

( , ,..., ) ...

( )...

n

n

n n

dyf x y y

dx turi y xdy

f x y y sprendiniudx

aibe y x

Košy uždavinys: reikia rasti sistemos sprendinius tenkinančius pradines

sąlygas:1 10 0

0 0,..., n nx x x x

y y y y

Normaliosios dif. lygčių sistemos sprndimo būdai: integrujamų darinių, eliminavimo.Integruojamų darinių:Integruojami dariniai – tai visa dif. lygtis kurią gaunam iš nagrinėjamos dif. lygčių sistemos sudėties, atimties, dalybos, daugybos veiksmais ir kuri yra suintegruojama.

1 1

2

( ) : ;ln( ) ln ;

( ): ;

t

t

dx d x yy sudedam x y x y c t x y c e

dt dtdy d x y

x atimam x y x y c edt dt

Gaunam bendrąjį sprendinį:

1 1 2

2 1 2

( ) x(t)=1/2( )

( ) y(t)=1/2( )

t t t

t t t

e x y c c e c e

e x y c c e c e

Eliminavimo:Iš sistemos imame pirmąją lygtį ir diferencijuojame pagal x. Gauname lygtį:.............

Tiesinių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimas:..................

8.Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija. Analizinės funkcijos. Košy ir Rymano analiziškumo sąlygos, funkcijos analizinio tęsinio sąvoka. Gama funkcija, jos ypatingieji taškai.

Menamasis vienetas: 1i ;1i2

Kompleksinis skaičius: iyxz zImy

zRex

Patogu vaizduoti polinėje koordinačių sistemoje:

,...1,0k ,k2zarg

20

yx|z|r

0

0

22

zzr

skaiciusjungtinis iyxz2

Trigonometrinė forma:

ire)sini(cosrz

Kompleksinio kintamojo f-ja)z(ww ,kai pagal taisykles surandam vienam z kitą

)y,x(iv)y,x(uw

Diferenciavimas

yixz

iyxz

z

)z(w)zz(wlim

z

wlim

dz

dw 00

0|z|0|z|

Analizinė f-ja — vienareikšmė, diferencijuojamakiekviename taške f-ja. Jos išvestinės nepriklauso nuo artėjimo krypties prie taško, kurį diferencijuojame.

y

ui

y

v

x

vi

x

u

Košy ir Rymano sąlygos:

y

u

x

v

y

v

x

u

dekarto koord.sis.

r

vr

u

v

r

1

r

u

polinėj

Funkcijų analizinis tęsinysTurime kompleksinę z plokštumą, kurioje

)z(ww 11 , 1S analizinėje srityje

)z(ww 22 , 2S analizinėje srityje

jei 21 ww srityje 21 SS , tai turime f-jos analizinį tęsinį.

22

11

Sz ),z(w

Sz ),z(w)z(w

Gama funkcija:

0

1zt dtte)z( ji analizinė, kai

0zRe

paimkime

)z(zdttezetdtte)1z(0

1zt

0

t2

0

zt

)1z(z

1)z(

f-ja analizinė,

kai 1zRe , o taške 0z bus polius.

Analogiškai: )2z(

)1z(z

1)z(

ir t.t.

Taigi gauname gama fukcijos analizinį tęsinį su

įpatingaisiais taškais ,...2,1,0zRe

9.Integravimas kompleksinėje plokštumoje. Košy teorema, Košy integralas ir Košy integralinė formulė.

Tarkime, kad kompleksinėje plokštumoje turime dalimis glodžią kreivę AB, kurią aprašo funkcija f(z). A=z0 B=z=zn

n,...,2,1i zir z i1i

n

1iii

n

1i1iiin

z)(f

)zz)((fS

0|z|max i

Košy integravimo teoremaJei funkcija f(z) tam tikroje srityje yra analizinė, tai keivinis integralas aplink

uždarą kontūrą yra lygus nuliui. 0dz)z(f

L

Įrodymas:f-ja analizinė srityje D

)y,x(iv)y,x(u)z(f

idydxdz

CC

C

CC

)udyvdx(i)vdyudx(

vdyiudyivdxudx

idydx)y,x(iv)y,x(udz)z(f

Pasinaud

oję Gryno formule dxdy

y

P

x

QQdyPdx

DC

gauname, kad abu integralai lygus nuliui, taigi ir visas integralas lygus nuliui. Q.E.D.Taip pat iš šios teoremos gauname:

B2AB1A

A2BB1A

dz)z(fdz)z(f

0dz)z(fdz)z(f

Košy integralas. Košy integralinė formulė

C az

dz)z(f)a(I

taške z=a funkcija neanalizinė1) kai a kontūrui nepriklauso2) kai a kontūro viduje3) kai a yra ant kontūro

1) 0

az

dz)z(f

C

2) z=a funkcija neanalizinė, integralas nelygus nuliuikontūrą deformuojame iki r spindulio apskritimo

rrrC

dzaz

)a(f)z(f

ar

dz)a(f

az

dz)z(f

az

dz)z(f)a(I

įvertiname 2-ąjį narį:

2)a(f)z(fmaxr2r

)a(f)z(fmaxdz

az

)a(f)z(f

r

kai 0r ,tai az ir0)a(f)z(fmax

,taigi 2-asis narys =0

Sutvarkom pimąjį narį: ireaz ,

driedz i

)a(fi2dre

rie)a(f)a(I2

0i

i

3) kai a yra ant kontūro, integralas suprantamas Košy pagr. prasm.

reikšme..p.v

az

dz)z(f

C

Papildom kontūrą iki uždarumo

az

dz)z(f

az

dz)z(f

az

dz)z(f

az

dz)z(f)a(I

0C

patogu skaičiuoti polinėje koordinačių sistemoje:

ireaz , driedz i,

tadai)a(fd

re

rie)a(f)a(I

0

i

i

Apibendrinę gauname Koši integralinę formulę:

konturopaciont //aCakai, i

vidujenturo //koCakai, i2

vidujekonturo e //nCakai, 0

)a(faz

dz)z(f

C

10.Funkcijos reziduumas. Pagrindinė reziduumų teorema, jos taikymas kopleksinio kintamojo funkcijų integralams skaiciuoti.Ap. Funkcijos f(x) reziduumu taške

0z ( 0z0 ), kai 0z priklauso kokios nors uždaros kreivės L ribojamai sričiai,

vadiname skaičių

dz)z(fi2

1

ir jį

žymime

)z(fsRe0zz

dz)z(f

i2

1)z(fsRe

0zz

Pagrindinė teorema: Jeigu f-ja f(z) yra analizinė srityje apribotoje kontūru C, išskyrus baigtinį skaičių

n21 z,...z,z vadinamų poliais, tada

n

1k kzzC

)z(fsRei2dz)z(f

Reziduumų skaičiavimo atvejai:

1) az

)z(f)z(f 1

0)a(f1 )a(f)z(fsRe 1

0z

2) )z(f

)z(f)z(f

2

1 0)a(f

0)a(f

2

1

)a()a(f

)az)(z()z()z(f

)z()az()z(f

2

2

2

taigi )a(f

)a(f)z(fsRe

2

1

az

3) n-tos eilės polius n1

)az(

)z(f)z(f

, 0)a(f1

)z(f1 skleidžiame eilute arti taško a

n)n(

1111 )az(

!n

)a(f...)az)(a(f)a(f)z(f

...)az()!1n(

)a(f...

)az(

)a(f

)az(

)a(f)z(f

)1n(1

1n1

n1

)a(f)!1n(

1)z(fsRe )1n(

1az

Funkcijos reziduumų taikymas integralams skaičiuoti

1.

2

0d)sin,(cosfI

f-ja racionali, trupmeninė

įvedame naujo kintamojo plokštumą

iez 1z

tegul kryptis prieš laikrodžio rodyklętada:

)z

1z(

2

1)ieie(

2

1cos

)z

1z(

2

1sin

; diiedz

iz

dziie

dzd

)z(fsRei2dz)z(f1z

2.

R

RRdx)x(flimdx)x(fI

f-ja racionali, trupmeninė

)z(fsRei2dz)z(fdx)x(fR

R

dz)z(f)z(fsRei2dx)x(flimIR

RR

3.

0

1 dx)x(fxI

skaičiuojame integralus uždaru kontūruRymano paviršius

R;0r

dz)z(fzI 1

)z(fzsRei2I 1

)z(fzI 1

0FGADF

0BCDAB

integralai apskritimu lygūs nuliui...

1//e f(z)z)(Res sinπi

π

...Res 1)2isinπis

2ππi...Res

ee

2ππiI

f(z)zRes e1

2ππI

f(z)zRes 2ππI)e(1I

)e(1If(x)dxxe

f(x)dxx)dxf(xeexf(x)dxexI

dx0 dz xez

iπ1μ

1)iππ(

1)iππ(1)iππ(

1)iππ(

1

1μ1)i2π2π1

1μ1)i2π2π1

1)i2π2π1

01μ1)i2π2π

0

1μ0

i2π1)i2π2π1μ

0

i01μ

i

11. Begalinių sumų skaičiavimas pasinaudojant reziduumų teorema

1

2

( )

( 1) ( )

n

n

n

I f n

I f n

Į šias sumas žiūrime kaip į uždaro

integralo integravimą.

Reikia parinkti polius, kur , 0, 1, 2,...z n n Tada reikia sudaryti uždarą kontūrą.

( )...C

f z dz�- ypatinga pagalbinė f-ja. Jos reziduumas

turi būti lygus 1-am pirmai sumai, ir ( 1)n antrai

sumai. Pagalbinės f-jos: ,

sinctg z

z

.

1z nRes ctg z

( 1)sin

n

z nRes

z

Imame integralą uždaru kontūru. Uždaras kontūras turi būti toks, kad visi poliai būtų jo viduj. Po to jį didinam:

( ) 2 ( )

2 ( ( ) ( ) ) 0n

ctg z f z dz i Res ctg z f z

i f n Res ctg z f z

�

Iš čia:

( ) ( )

( 1) ( ) ( )sin

n R

n

n R

f n Res ctg z f z

f n Res f zz

Integralinis f-jų vaizdavimas1) Hevisaido (vienetinė) f-ja

1, 0( )

0, 0

xx

x

1( )

2

ixk

c

ex dk

i k

k k ik

a) 0x

( )ixk ix k ik ixk xke e e e konverguoja, exp

mažėja iki nulio

1 2( ) 1 1

2 2

ixk

c

e ix dk

i k i

b) 0x diverguoja, papildyti iš viršaus negalima, tai papildome iš apačios:

1 1( ) ( 2 0) 0

2 2

ixk

c

ex dk i

i k i

2) Dirako delta f-ja

1 1( ) ( )

2 2

ixkixke

x x ik dk e dki k

Galima integruoti išilgai realios ašies nes dingo

polius 0k .Savybės:

a)

1 1( ) [ ]

2 2ixk ixkx e dk k ki e dk

i

,

( ) ( )x x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b

aa a

x dx x dx x a b baigtini

s integralasa ir b turi būti skirtingose pusėse, tada integralas bus lygus 1.

b)( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x dx f x x dx

=

[1 ir 3 integralai lygūs nuliui]

( ) ( ) (0)f x x dx f

pagal vidurkių teoremą

Turint integralą( ) ( ) ( )f x x c dx f c

c)1( ) ( ) ( ) (| | ) [ ]f x ax dx f x a x dx x ax

1 11

1( ) (0)

| | | | | |

x dxf x f

a a a

d)

2 2( ) ( ) ( ) (( )( ))c

c

f x x c dx f x x c x c dx

( ) (( )( )) ( ) ( 2 ( ))c c

c c

f x x c x c dx f x c x c dx

1 1( ) (2 ( )) ( ) ( )

2 | | 2 | |

c

c

f x c x c dx f c f cc c

---

11

1( )

2ixkx e dk

22

1( )

2iyky e dk

( )1 21 22 2

1 1( ) ( )

(2 ) (2 )

ixk iyk i kzx yx y e dk dk dk dk e

( )2

1

(2 )i kzdk e

( ) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( )

(2 ) (2 )

i k x k y k z i krx y zx y zx y z dk dk dk e dk e

12. Greičiausio nuolydžio, arba balno metodas integralo asimptotinei reikšmei skaičiuoti

( )( ) q z

C

J e dz integralas z plokštumoje, kai kur gali

būti analizinis. exponentė labai kinta0 - realus iš teig.

( )q z u iv nežinomoji ( ) 0bq z

| | 1ive . Arti balno taško

Svarbu, kad arti to taško svyravimų nebūtų

Im( ( )) Im[ ( ( ))]bq z q z C

f-ją ( )q z galima skleisti eilute

21( ) ( ) ( ) ( ) ...

2b b bq z q z z z q z

( ) 0bq z ,

2( ) ( )bq z q z s

2 2( ( ) ) ( )( ) q z s q z sb b

z zb

dz dzJ e ds e e ds

ds ds

( )q zb

z zb

dze

ds

Skaičiuojame

dz

ds

:

( ) 2dz

q z sds

2 2

( ) ( )

dz sdzds q z q zds

22

( )

dz

ds q z

0

2

( )z z bbs

dz

ds q z

Gauname:

( ) 2( )

( )q zb

b

J eq z

Stirlingo f-lė – didelio skaičiaus faktorialo apytikslis skaičiavimas. Naudosime gama f-ją.

1

0

( ) t zz e t dt

,

( 1) !z n

11

0 0

( 1) [ ]t z zt z zz e t dt t zt e z t dt

1 ln 1 (ln )

0 0

z zt z t z z t tz e e dt z e dt

( ) lnq t t t 1( ) 1 0q t

t

(prilyginam nuliui),

tada1bt

2

1( ) ( 0)q t

t

balno taške nelygu 0, t.y. balno taškas

Rasime skleidinį

2ln t t i s abi puses diferencijuojame

11 2

dts

t ds

iš čia 2

2 21 1

1

dt sdtds

t dst

01

2st

dt

ds

, tada

21 ( )

01

( 1) z z i s

st

dtz z e ds

ds

čia įrašome

dt

ds

1( 1) 2z zz z ez

(tai Puasono kažkas )

1

2( 1) 2z

zz z e

, ( 1z )Vietoj „z“ įrašome „n“

1

2! 2n

nn n e

Stirlingo f-lė.

13. Furjė transformacija, jos savybės. Furjė integralas kompleksinėje plokštumoje.

Furje integralas: ( ) ( ) itF t f e d

Tarkime

turime f-ją f(x), kur x – realus kintamasis, tada f-ja f(x) irgi reali, apibrėžta - iki + . F-jos furje transformacija:

1( ) ( )

2ikxf k e f x dx

, čia k realus sk.

Čia f(k) – Furje vaizdas, ikxe - Furje transformacijos

branduolys.Orginalą atstatome iš vaizdo:

1( ) ( )

2ikxf x e f k dk

Tikriname:

11 1

1 1( ) ( )

2 2ikxikxf x e e f x dx dk

( )11 1 1 1 1

1( ) ( ) ( )

2ik x xdx f x e f k dk dx f x x x

1[ ] ( )x x f x

Savybės:1. Integravimas kompleksinėje plokštumoje

z x iy k i Mūsų kompleksinė f-ja f(z) yra analizinė arti x ašies. Galime įvesti analiziškumo sritį (juostą): y- < y < y+ Praplėsti juostos nebegalime. F-ja f(k) taip pat analizinė, kai f(z) analizinė. Jeigu

, kai , 0| ( ) |

, kai x - , 0

x

x

Ae xf z

Be

Tada f(k) yra analizinė juostoje

( )1| ( ) | | ( ) |

2i i xf k e f x dx

1| ( ) |

2i x xe e f x dx

, matom

( 1i xe )

Taigi, kai x ( )x x xe e ,

kai

x ( )x x xe e ,

Gauname, kad tas integralas egzistuoja ir , kad f(x) arti ir analizinė. Integralai

konverguoja.Gauname analiziškumo juostą.2. F-ja (f(x) bloga, Furje vaizdas neegzistuoja

( ) ( ) xog x f x e , čia 0o , toks, kad g(x) mažėtų pakankamai greitai, kad Furje integralas egzistuotų

(konverguotų)1

( ) ( ) ( )2

x ikxog x f x e e g k dk

tada

pagal apibrėžimą vaizdo orginalas:

( )1 1( ) ( ) ( )

2 2ikx x ix k io of x e g k dk e g k dk

Pasižymime 1 ok k i tada orginalas:

11 1

1( ) ( )

2

i oik x

oi o

f x e g k i dk

Daba tikriname

rėžius kai k , tada 1 ok i ir

1( ) ( )

2xikx og k e f x e dx

( )11

1( ) ( )

2ix k i xo o

og k i e f x e dx

11

1( ) ( )

2ixke f x dx f k

Čia k1 yra

kompleksinis skaičius: 1k i Matome, kad

1( )og k iyra reiškaimas taip pat kaip f(k) turintis

menamą pokytį , kuris užtikrina, kad integralas

konverguotų

( )1 1( ) ( ) ( )

2 2ix i ix xf k e f x dx e f x dx

Integralas konverguoja, jei 0o

3. f(x) bloga f-ja

Įvedame f-ją g(x), kur būtų 1

1( ) ( ) xg x f x e , 1 < 0, kad konverguotų

1( ) ( )

2ikxf k e f x dx

, kur k i

1( ) ( )

2i x xf k e e f x dx

integralas egzistuoja, kai

1 0 . Orginalas:

1( ) ( )

2

iikx

i

f x e f k dk

4. f(x) bloga prie ir

Tada įvedame f-jas

( ), kai 0( )

0, kai 0

f x xf x

x

0, kai 0( )

( ), kai 0

xf x

f x x

Skaičiuojame vaizdus:

0

1( ) ( )

2ikxF k e f x dx

- analizinė f-ja. k –

kompleksinis skaičius, k i . Kai 0o ,

konverguoja.

01( ) ( )

2ikxF k e f x dx

irgi analizinė.

k i , ir konverguoja kai 1 0

. Orginalai:

1( ) ( )

2

i oikx

i o

f x e F k dk

1( ) ( )

2

i oikx

i o

f x e F k dk

Orginalas yra pastumtas. Sudėję abu šiuos narius gausime f-ją f(x). Patikrinimas:

1)1

0 ( ) ( ) 0, nes yra ypat. tashkas2

ikxx f x e F k dk

�

10 ( ) ( ) 0

2ikxx f x e F k dk

�

2)

10 ( ) ( ) 0, nes nera ypat tashko

2ikxx f x e F k dk

�

10 ( ) ( ) 0

2ikxx f x e F k dk

�

14. Furje transformacija. Dviejų f-jų sąsuka, jos Furjė vaizdas.

Furje integralas: ( ) ( ) itF t f e d

Tarkime turime f-

ją f(x), kur x – realus kintamasis, tada f-ja f(x) irgi reali,

apibrėžta - iki + . F-jos furje transformacija:

1( ) ( )

2ikxf k e f x dx

, čia k realus sk.

Čia f(k) – Furje vaizdas, ikxe - Furje transformacijos

branduolys.Orginalą atstatome iš vaizdo:

1( ) ( )

2ikxf x e f k dk

Tikriname:

11 1

1 1( ) ( )

2 2ikxikxf x e e f x dx dk

( )11 1 1 1 1

1( ) ( ) ( )

2ik x xdx f x e f k dk dx f x x x

1[ ] ( )x x f x

Turime f-jas f1(x) ir f2(x), jos tolydžios. Jų sąsuka

vadinama f-ja:1 2

1( ) ( ) ( )

2f x f y f x y dy

. Jos

furje transformacija:

( )1 21 1 1 2 2 2

1 1 1( ) ( ) ( )

2 2 2ik y ik x yf x dy dk e f k dk e f k

( )2 2 11 1 1 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2ik x k k iydk f k dk e f k dye

21 1 1 2 2 2 2 1

1( ) ( ) ( )

2ik xdk f k dk f k e k k

1 2k k , tada Direchle delta f-jos argumentas lygus nuliui, tada f-ja nelygi nuliui. Dviejų f-jų sąsukos Furjė vaizdas:

11 1 1 2 2

1( ) ( ) ( )

2ik xf x dk f k f k e

15. Laplaso transformacija. Rymano ir Melino f-lė. Kai kurių f-jų Laplaso vaizdai.Laplaso transformacija dar vadinama operaciniu

skaičiavimu. Integralas 0

( ) ( )pxf p e f x dx

yra Laplaso

transformacija, kur ( )f p Laplaso vaizdas, p –

kompleksinis kintamasis. Re( ) 0pf p Furje ir

Laplaso transformacijos siejasi:

( ), 0( )

0, 0tf x x

f xx

F-jos ( )tf x

Furje

transformacija

0

1( ) ( )

2ikx

tF k e f x dx

,kai k ip

0

1 1( ) ( ) ( )

2 2px

tF ip e f x dx f p

( ) 2 ( )f p F k

1( ) ( )

2

i oikx

t ti o

f x e F k dk

, ok i k ip p ik

1( ) ( ) ( )

22

i io opx px

t ti io o

if x e F ip idp e f p dp

1( ) ( )

2

i opx

i o

e f p dp f xi

Iš vaizdo gaunam

orginalą.

p i

Orginalo suradimo formulė (žinant Laplaso atvaizdą) vadinama Rymano ir Melino f-lė.

1( ) ( )

2

i opx

i o

f x e f p dpi

Keletos f-jų atvaizdai:1. Vienetinė Hevisaido f-ja.

1, 0( )

0, 0

xx

x

0 0

1 1( ) px pxx e dx e

p p

, p=0

ypatingas taškas.1

( )pp

,

Re 0p .

2. ( ) xf x e

( ) ( )

0 0 0

1 1( ) px x p x p xf x e e dx e dx e

p p

Re Rep ,

3.( )

dfx

dx

00 0

( ) ( ) ( ) ( ) (0).px px pxdfx e dx e f x p f x e dx p f p f

dx

4. 0

( ) ( )x

y f y dy

( )( ) ( ) (0) ( )

d yf y p p f p

dy

1

( ) ( )p f pp

16. Laplaso transformacija. Vėlavimo teorema. Poslinkio teorema. Periodinės funkcijos Laplaso vaizdas.Laplaso transformacija dar vadinama operaciniu

skaičiavimu. Integralas 0

( ) ( )pxf p e f x dx

yra Laplaso

transformacija, kur ( )f p Laplaso vaizdas, p –

kompleksinis kintamasis. Re( ) 0pf p .

Vėlavimo teorema.

0, ( )

( ),

tf t

f t t

1 10

( ) ( ) [ , ]ptf t e f t dt t t dt dt

( )1 11 1 1 1

0 0

( ) ( ) ( )p t ptp pe f t dt e e f t dt e f p

- vėlavimo teorema.Poslinkio teorema

0

( ) ( )pxf p e f x dx

0

( ) ( )px xf p e e f x dx

( ) ( )f x f p

( ) ( )xe f x f p

Periodinės funkcijos Laplaso vaizdasf-ja f(t) – periodinė.

toks 0, kad ( ) ( ), 0T f t T f t t

( ), 0( )

0,

f t t Tt

t T

0

( ) ( )ptf p e f t dt

Suskaidome 5 du integravimo

intervalus:

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )T

pt pt pt

T T

f p e f t dt e f t dt p e f t dt

( )11 1 1 1

0

( ) [ , ] ( )p t Tpt

T

e f t dt t t T dt dt e f t T dt

11 1( ) ( )ptpT pT

T

e e f t dt e f p

, ( ) ( ) ( )pTf p p e f p

( ) (1 ) ( )pTp e f p , 0

( ) ( )T

pTp e f t dt .

17. Laplaso transformacija. Dviejų funkcijų sąsuka, jos Laplaso vaizdas. Vaizdo diferencijavimas. Vaizdo integravimas.Laplaso transformacija dar vadinama operaciniu

skaičiavimu. Integralas 0

( ) ( )pxf p e f x dx

yra Laplaso

transformacija, kur ( )f p Laplaso vaizdas, p –

kompleksinis kintamasis. Re( ) 0pf p .

Dviejų f-jų sąsuka. Turime f-jas 1( )f x ir 2( )f x . Sąsuka

bus: 1 2

0

( ) ( ) ( )x

f x f x f x y dy Užtenka integruoti iki

x, nes kai 0, tai ( ) 0x y f x . Laplaso operacija komutatyvi:

y x , 0

1 2 1 2 2 20 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x

x

f x f x y dy f x f d f f x d

Tai pritaikome ir šiuo atveju:

1 20 0

( ) ( ) ( )y x

px

y

f p dx e f y f x y dy

1 20

( ) ( ) ( )px

x y

f p dy f y e f x y dx

1 11 2 1 1 21

1 0 0

( ) ( ) ( ) ( )pxpyx x ydy f y e f x e dx f p f p

dx dx

21( ) ( ) ( )f p f p f p Tai vaizdų sandaugos teorema.

Sąsūkos Laplaso vaizdas:

1 2 210

( ) ( ) ( ) ( )x

f x f x y dy f p f p

Vaizdo diferencijavimas

0

( ) ( )pxf p e f x dx

0

( ) ( )pxdf p xe f x dx

dp

( ) ( )f x f p

,( ) ( )

dxf x f p

dp

, ... ,

( ) ( )

n

n dx f x f p

dp

.

Vaizdo integravimas

0

( ) ( )pxf p e f x dx

11 1 1

0

( ) ( ) p x

p p

f p dp dxf x dp e

11

10 0

1 1( ) ( )

pp x px

p pdxf x e dxf x e

x x

( ) ( )f x f p

1 11

( ) ( )p

f x f p dpx

18.Elementariųjų fizikinių vyksmų diferencialinės lygtys. Stygos svyravimų lygtis. Stygos svyravimų kinetinė ir potencinė energija.Styga vadiname ištemptą tarp dviejų taškų absoliučiai lankstų siūlą. Siūlą vadiname absoliučiai lanksčiu, kai jame susidariusi įtempimo jėga visada veikia liestinės kryptimi. Kokiu nors būdu išveskime stygą iš pusiausvyros. Imkime, kad kiekvienas stygos taškas juda vienoje plokštumoje.y(x,t) – vertikalus atsilenkimasTempimo jėga T nepriklauso nuo laiko, nes stygos dalių ilgiai nekinta.

Kadangi 0

TcosT

)dxx(yTTtgsinT x

Elementui dx dxyT)x(y)dxx(yT xxxx

Niutono dėsnis

dx)t,x(fdxx

yT

t

)t,x(ydx

2

2

2

2

mase

čiadx)t,x(f

išorinių jėgu tankisStygos svyravimus aprašanti lygtis:

dx)t,x(fx

yT

t

y2

2

2

2

Įstatę 2c

T

, kur c –

signalo sklidimo greitis išilgai stygos, gauname:

T

dx)t,x(f

x

y

t

y

c

12

2

2

2

2

jei išorinės jėgos neveikia

2

2

2

2

2 x

y

t

y

c

1

arba xxtt yTy

Dimensijos: m

kg][ ;

s

m]c[ ;

s

mkgN1]T[

2

Gavom antros eilės diferencialinę lygtį. Papildysime ją papildomomis sąlygomis. Pvz. reikia pradinio momento…

Kai t=0

greiciainiai //pradi)x(vt

)0t,x(y

)x(f)0t,x(y

Kraštinės sąlygos

0)t,lx(y

0)t,0x(y

duos begalinį

stačiakampį.Šios sąlygos nusakys pradinį elemento greitį ir formą.Sprendžiant lygtį galima taikyti Laplaso transformacijas.Kinetinė ir potencinė energijos

Kinetinė enegija:

l

0

2

t

)t,x(ydx

2

1K

Darbas, reikalingas elemento dx deformacijai, yra proporcingas stygos ilgio pokyčiui:

dx1x

)t,x(y1)x(T)dxdl)(x(T

2

Kai svyravimai maži, šaknies

2

x

)t,x(y1

skleidinyje x

)t,x(y

laipsniais galima atmesti

aukštesniuosius laipsnius. Todėl elemento dx potencinė energija

dxx

)t,x(y)x(T

2

1dx1

x

)t,x(y

2

11)x(T)dxdl)(x(T

22

Visos stygos potencinė energija:

l

0

2

dxx

)t,x(y)x(T

2

1v

19.Difuzijos lygtis ir jos sprendimas (vienmatis atvejis)

Difuzijos viendimensinė lygtis: 2

2

t

nD

t

n

.const)t,x(n

pradinė sąlyga: (x)0)tN(x,

Reikia nusakyti bet kuriuo laiko momentu. Taikome

Laplaso transformaciją

0

-pt dt)t,x(nep)(x,n

Difuzijos Laplaso vaizdas

2

2

(x)_/__\ x

p)(x,nD0)tn(x,-p)(x,np

Toliau taikom Furjė transformaciją (pagal x)

0

ikx-

0

-ikx

dxe2

1)x(

dk)p,k(nep)(x,n

Užrašome lygties Furjė vaizdą

D

pk

1

D2

1

Dkp

1

2

1)p,k(n

2

1Dkp)p,k(n

)p,k(nDk2

1)p,k(np

22

2

2

Dabar reikia gauti originalą n(x,t). Tuo tikslu integruojame uždaru kontūru naudodami kompleksinį kintamąjį.

D/px

D/px2

2

ikx

2

ikx

epD2

1

D/pi2

ei2

D/pi2

1D/pikD/pik

D

pk

D

pk

dke

D2

1

D

pk

dk

D2

1ep)(x,n

pasižymime: Dx//a /e

p

1)p(

pa

Pasinaudojam Rymano ir Meleno formule

C

papt dpep

1e

i2

1)t(

Plokštumoje vaizduosime pjūvį. Jei funkcija yra analizinė, tai nepriklauso nuo integravimo kelio ir tą kelią galime deformuoti.

irep , idredp i. Integruojame apskritimu BCD.

0d...r...rdr

1

BCD

. Integruojam AB

dreeπ

(t)

drer

r

π

r

dre

r

dre

πi

ri

)dr(e

i)(r

)dr(e

πi(t)

)t

iat(r

t

a

t

ia

t

ia

t

iarrt

iartriartr

riatrriatr

22

222

22

24

2222

0

20 2

0

0

1

2

2

2

1

11

2

1

pasižymime z

t2

iar

πt

e

t

πe

πdzee

πdzee

π(t)

t

a

t

atzt

a

C

tzt

a 4444

2

2

2

2

1

2

2

111

Dt4

2x

et

1

D2

1)t,x(n

difuzija…

Suintegravę turim gaut konsantą:

14tDtD2

1dxe

tD2

1 t4

2x

20.Dalinių išvestinių diferencialinės lygtys. Diferencialinės lygties charakteristikos. Diferencialinių lygčių klasifikavimas.Bendru atveju turime:

y

,x

,,y,xFy

)y,x(Cyx

)y,x(B2x

)y,x(A2

22

2

2

Sprendinys ieškomas tam tikroje srityje, apribotoje kontūru C (užduodama parametrinė sąlyga).Karštinės sąlygos: )(

)(

S

S

Imkime taškus )y,x( kurie nedaug skiriasi nuo ),(

vidury esantiems taškams parašome Teiloro eilutę:

...!3

1)y(

y)x)(y(

xy2

)x(x!2

1)y(

y)x(

x),()y,x(

2

C

2

2

C

2

2

C

2

2

CC

Reikia apskaičiuoti skleidimo koeficientus:

)s(

)S(NydS

d

xdS

d

0C

CC

Sprendžiam Košy uždavinį: Išdiferencijuojame pagal S kaip sudėtinę funkciją

dS

d

ydS

d

xdS

d

CC

//tiesinė nehomogeninė

Gauname determinantą:

01dS

dS

dS

d

dS

d

dS

d

dS

ddS

d

dS

d

2

222

dS

dj

dS

di

dS

rd

; )S(p

xC

; )S(q

yC

Diferencijuojame pagal S dar kartą (kaip sudėtinę f-ją) ir gauname antrąsias išvestines:

dif.lygtis //pati...B2x

)y,x(A

dS

dq

dS

d

ydS

d

xy

dS

dp

dS

d

xydS

d

x

2

2

C

2

2

C

2

C

2

C

2

2

Randame determinantą:

0dS

dC

dS

d

dS

dB2

dS

dA

CB2AdS

d

dS

d0

0dS

d

dS

d

22

Kai 0 , tada ši lygtis užrašoma visiems taškams (ne tik kraštiniams), todėl vietoj , atsiranda x,y

0Cdx

dyB2

dx

dyA

arba

0CdxBdydx2Ady

0dS

dxC

dS

dx

dS

dyB2

dS

dyA

2

22

22

gavome II eilės diferencialinę kreivės lygtį.Diferencialinės lygties charakteristikos aprašo kreivę plokštumoje.

dxACBBAdy

arba

ACBBdx

dyA

0ACdx

dyAB2

dx

dyA

2

2

2

Išsprendžiame ir gauname sprendinius

neig. //kaiconsty)(x,

teig. //kaiconst)y,x(

Lygčių klasifikavimas:1)kai D>0 B2>AC — hiperbolinė diferencialinė lygtis2)kai D<0 B2<AC — elipsinė diferencialinė lygtis3)kai D=0 B2=AC — parabolinė diferencialinė lygtis

21.Dalinių išvestinių diferencialinės lygtys. Košy uždavinys: D‘Alambero formulė; baigtinės stygos svyravimų lygties sprendimas.Ieškosime vienmatės bangavimo lygties

0t,Rx ),t,x(fuau xx2

tt sprendinio,

tenkinančio pradines sąlygas:

Rx ),x(u ),x(u0tt0t

Bangavimų lygtį atitinka charakteristikų lygtis

0ax 22 . Integruodami ją, randame dvi

charakteristikų klases:

constatx ,constatx Kadangi Košy uždavinys yra tiesinis, tai jį patogu išskaidyti į du paprastesnius Košy uždavinius:

0u ,0u ),t,x(fuau

)x(u ),x(u ,0uau

0tt0txx2

tt

0tt0txx2

tt

Iš pradžių rasime pirmojo Košy uždavinio sprendinį. Apibrėžiame naujus nepriklausomus kintamuosius

atx ,atx Tada homogeninė bangavimo

lygtis virsta 0u o jos bendrasis sprendinys:

)(c)(cu 21 į šią formulę sustatę ir gausime homogeninės lygties bendrąjį sprendinį:

)atx(c)atx(cu 21 . Parenkame 1c ir 2c :

)x()x(ca)x(ca

)x()x(c)x(c

21

21

Šios sistemos sprendiniai:

Cd)(a2

1)x(

2

1)x(c

Cd)(a2

1)x(

2

1)x(c

x

01

x

01

//čia C – laisvoji const

pirmoje formulėje x pakeisime x-at, o antroje — x+at. Gauname Košy uždavinio sprendinį (Dalambero formulė):

atx

atx

d)(a2

1)atx()atx(

2

1)t,x(u

22.Dalinių išvestinių diferencialinės lygtys. Kintamojo atskyrimo (Furjė) metodas. Laplaso lygtis plokštumoje. Dirichlė ir Noimano uždavinys.Kaip pavyzdį nagrinėsime Laplaso lygtį plokštumoje

0yx 2

2

2

22

Sritis yra uždaras kontūras, taigi reikalinga tik viena kraštinė sąlyga

)S(C

<...kol kas neikirtau ka rasyti...>

Dirichlė uždavinys: reikia rasti funkciją )P(uu ,

harmoninė srityje , apribotoje paviršiumi ,

tolydinę uždaroje srityje ir turinčią

paviršiuje iš anksto duotas reikšmes:

)Q(f)Q(u 1Q

.Noimano uždavinys: reikia rasti

funkciją )P(uu , harmoninė

srityje

, apribotoje lygiu uždaru paviršiumi , tolydinę,turinčią tolydines pirmąsias dalines išvestines

uždaroje srityje ir įgyjančią paviršiuje

duotas normalinės išvestinės reikšmes:

)(fn

)Q(u2

Q

.

23.Šturmo ir Liuvilio, arba tikrinių verčių, uždavinys. Funkcijų ortogonalumas ir normavimas. Membranos svyravimų lygties tikrinės funkcijos. Helmholco diferencialinė lygtis.Sprendžiam lygtį:

konstantaatskyrimo 0)z()z(r)z(qdz

d)z(p

dz

d

Kraštinės sąlygos: bza 0;(b) ;0)a(

f-jos p(z), q(z), r(z) turi būti duotos.

įgauna tam tikras vertes, vadinamas tikrinėmis, o p,q,z — tikrinės funcijos

22

2111

nn

,ssprendiniuduturim

ja-ftikrinekai,vertetikrine

tada sudarome dvi lygtis:

1222

2111

/0rqdz

dp

dz

d

/0rqdz

dp

dz

d

atimame

z

02112

z

21

12

z

02112

21

12

21122

11

2

dzr)(dz

dp

dz

dp

0a taske

mintegruojair dz //r)(dz

dp

dz

dp

dz

d

r)(dz

dp

dz

d

dz

dp

dz

d

Tegul z=b, tada, pasinaudojus kraštine

sąlyga,0dzr)(

b

02112

, o kadangi integralas lygus

nuliui, tai 12 ir funkcijos yra ortogonalios.

Jei 12 , tai integralas gali būti ir nelygus nuliui.Jei tikrinę vertę atitinka viena funkcija, tai tikrinė vertė

nėra išsigimusi. 0constdzr

b

a

21

. Ieškomos funkcijos

atžvilgiu uždavinys teisingas.

Tikrinę funkciją galima normuoti: 1dzr

b

a

21

Jeigu sujungsime dar ir ortogonalumą, turėsime

m,n

b

amn dzr

— ortonormavimas.

Išsigimusi funkcija — kai vieną tikrinę vertę atitinka keletas tikrinių funkcijų, tada tos funkcijos nebus ortogonalios, tačiau jas galima ortonormuoti.

Tarkim turim: 13,12,11,1 ,,, .

1)Sudarom funkcijas, kurios tenkina diferencialinę lygtį

ir kraštines sąlygas: 1,11,1

2)Surandam jų tiesinius darinius (kombinacijas)

(1) );(B)(A0);(

),(dz2

BA

2,11,12

1,12,11,1

21

b

a21

2,11,12,1

3) 3,12,11,13,1 CBA

0),(

0),(

mavimas //nor1),(

1,13,1

2,13,1

3,13,1

paimam 2

2,11,12

2,12,1 B),(AB2A1),( (2)

Iš (1) ir (2) rasim A,BMembranos svyravimų lygties tikrinės funkcijos.

Turim uždavinį 0

tt

1)t,y,x(

2

2

2

Karštinės sąlygos:

0)t,y,x(0

Nagrinėjam nusistovėjusius vyksmus. Išvedame membraną iš pusiausvyros ir laukiam ilgą laiką.

tie)y,x()t,y,x(

Nagrinėjamos funkcijos harmoninės.

0kyx

22

2

2

2

daznissvyravimumembranos-

skaiciusbangos-k

ck

— Hemholco lygtis

Sprendimui taikomas kintamųjų atskyrimo metodas:

0kY

Y

X

X

)y(Y)x(X)y,x(

2

ši lygybė galios, jei 2y

2x

kY

Y

kX

X

2y

2x

2 kkk

Turim 0kxx2 XkcosBXksinAx xx

Iš kraštinės sąlygos:

1,2,...n,a

nk;nak,ax kai

0xkai,0B

xx

Analogiškai: 1,2,...m ,

a

mky

222

nm, a

n

a

mk

; y

b

msinx

a

nsinAn,m

A – normavimo konstantaDažniai, kai svyruoja membrana, fiksuojami.Nagrinėjami sprendimai:

a) 1n , 1m ; y

bsinx

asinA1,1

gaunam pusę

sinusoidės, taigi visi taškai juda vienoda faze.

b) 2n , 1m ;y

bsinx

a

2sinA1,2

atsilenkimas taške a/2 lygus nuliui.Gauname liniją stačiakampio viduj, kur funkcija lygi nuliui. Ši linija vadinama mazgų linija

Dipolis judėjimas…

c) 2n , 2m ;y

b

2sinx

a

2sinA2,2

Atsiranda dar viena mazgų linija.

24. Variacinis skaičiavimas. Funkcionalo sąvoka. Variacinio uždavinio formulavimas. Funkcionalo ekstremumas. Funkcijos ir funkcionalo variacija. Pagrindinė teorema.Funkcionalais vadinami kintamieji dydžiai, kurie nusakomi viena ar kelių f-jų parinkimu.

Jos kreivės ilgis - funkcionalas

12

0

[ ( )] 1 ( )x

x

y x y dx - funkcionalas

[ ] ( , ( ) ( ))b

a

J y F x y x y x dx (1)

Variacinis skaičiavimas nagrinėja funkcionalo ekstremumus. Uždavinys formuluojamas taip: Reikia

rasti glodžiąją f-ją y=y(x), kur ( )a x b tenkina

kraštines sąlygas: ( ) ay a y , ( ) by b y . Ir minimizuojančią arba maksimizuojančią funkcionalą

apibrėžtą (1) formule. Fubkcionalas [ ]J y , kai

( )oy y x įgyja min arba max, jei su visom f-jom y(x)

teisinga nelygybė: 0[ ] [ ]J y J y . Variacinis skaičiavimas nagrinėja metodus, kurie leidžia rasti funkcionalų min arba max reikšmes.Turim f-ją f(x) ir kintamojo skirtumą

1x x x dx x Funkcionalas [ ( )]J y x

. Jo pokytis

bus y pokytis ( ) ( )y y x y x - tai yra variacija.

( )y,

[ , ]x a bvadinamas kreivės y(x) variacija,

Jei ( ) ( ) ( )y x y x y x F-jos pokytis

( ) ( )f f x x f x ,

t.y. ( ) ( , )f A x x x x x ,( , ) 0 0x xx .

Tokia f-ja vadinama diferencialine, o f-jos diferencialas

( )A x x df , ( ) ( )A x f x , ( )df f x x . Funkcionalo pokytis:

[ ( ) ( )] [ ( )]J J y x y J y x

[ ( ), ( )] ( ( ), ( ))max | |J L y x y y x y y , max | |y -

variacijos rekšmė. ( ( ), ( )) 0y x y tai max | | 0y .

L bus f-jos variacija [ ( ), ( )]J L y x y .

Pagrindinė teorema. Tarkime, kad funkcionalas [ ]J y ,

kai 1( ) [ , ]oy y x C a b įgyja ekstremumą. Todėl

egzistuoja funkcionalo variacija [ , ] 0oJ y y

teisinga lygybė.

25. Variacinia uždaviniai su nejudamais rėžiais. Pirmoji funkcionalo variacija. Eulerio lygtis. Eulerio ir Ostrogradskio lygtis. Ekstremalė.

Tiriame funkcionalą [ ] ( , ( ), ( ))

b

xa

J y F x y x y x dx

Galai įtvirtinti.Kraštinės sąlygos:

( )

( )a

b

y a y

y b y

Reikia rasti tokią f-ją, kad ekstremumas = 0. Pirmoji variacija:

( ; ; ) ( , , )b b

xa a

J F x y y y y dx F x y y dx

( ; ; ) ( , , )b

xa

J F x y y y y F x y y dx

b

xa

F F dy y dx

y y dx

0

( ) 0

x bb

xax

F F d Fy y x dx

y y dx y

0 Eulerio lygtis

Krashtines salygos konstantoms surasti:

0

0

x

x x a

x x b

F d F

y dx y

Fy

y

Fy

y

Kai turime 1 2 1 2[ ] ( , , , , )b

a

J y F x y y y y dx

1 1

2 2

0

0

+ 4 krashtines salygos.

F d F

y dx y

F d F

y dx y

Jei turime aukštesnių eilių išvestines

[ ] ( , ( ), , )b

a

J y F x y x y y dx , tada lygtis:

2

20

+ 4 krashtines salygos.

F d F d F

y dx y ydx

n-tos išvestinės lygtis:

2

2 ( )

(n-1) (n-1)a a a

(n-1)(n-1)b b b

... ( 1) 0

+ 2n krashtiniu salygu.

y(a)=y ,y (a)=y ,...,y (a )=y

y(b)=y ,y (b)=y ,...,y (b )=y

nn

n n

F d F d F d F

y dx y ydx dx y

( , , ( , ), ( , ), ( , )x yS

J F x y u x y u x y u x y dxdy Pirmoji

variacija:

x yS

F F FJ u u u dxdy

u u x u y

x xS

F F Fu u u

u x u x u

y y

F Fu u dxdy

y u y u

S C

Adxdy Ady

x

�

S C

Bdxdy Bdy

y

� Dabr įrodome tai:

( )2

2 1( )1

( , ( )) ( , ( ))y xb b

S a y x a

B Bdxdy dx dy dx B x y x B x y x

y y

2 1

2 1

( , ) ( , ) ( , )By A By A C

dxB x y dxB x y B x y dx �

x yC C

F FJ udy udx

u u

� �

( , ) 0x yS

F F Fu x y dxdy

u x u y u

Eulerio - Ostrogradskio lygtis:

0x y

F F F

x x u y u

26.Variaciniai sąlyginio

ekstremumo uždaviniai. Izoperimetrinis uždavinys. Variacinio skaičiavimo Hamiltono funkcija.Variaciniai ekstremumo uždaviniai — tai uždaviniai, kuriuose reikia rasti funkcionalo ekstremumą, o funkcijoms kuriose yra funkcionalas, yra uždėti papildomi ryšiai (apribojimai).Jei funkcijose kintamieji nepriklausomi, tai ekstremumai vadinami absoliučiaisiais.Reliatyvieji ekstremumai — tai funkcijų kintamieji, surišti tam tikrais sąryšiais.Izoperimetrinis uždavinys: tarp visų kreivių y(x),

kurioms integralas constadx)y,y,x(qJ

b

a1

turi

duotą reikšmę a, reikia nustatyti tą, kuri duoda integralo

J ekstremumą: b

a

dx)y,y,x(FJ Siaurąja prasme.

Teorema: jeigu kreivė y(x) duoda J integralo ekstremumą esant papildomai sąlygai J1 ir įprastinėm kraštinės sąlygoms y(a)=ya y(b)=yb ir jeigu y(x) nėra J1 integralo ekstremalė, tada egzistuoja toks daugiklis

, kad kreivė y(x) yra integralo J* ekstremalė.

b

a

* dx}qF{J J* - pagalbinis ekstremalas,

- pagalbinis Lagrandžo daugiklis.Imame paprasčiausią Eulerio lygtį

0y

F

dx

d

y

F

x

)y,y(FF

0yFyFF ,0F yyyyyyx ;

0FyFdx

d

y

1y

yFFFy

yFyyFyFyyFyFFyFdx

d

yyyyy

yyyyyyyy

iš čia turime pirmąjį integralą

constCFyF 1y

yFyFH - variacinio skaičiavimo Hamiltono f-

ja

27.Stygos svyravimų lygtis ir variacinis principasRemsimės mažiausio veikimo principu.

Veikimo funkcija: 2t

1t

LdtS

jegatempimo-T

energijapotencine-V

energijakinetine-K

VKL

l

0

2

t

ydx

2

1K

dxx

yTdx

x

yTdxdydxTdx)T(dSdV

2222

2

111

s_/itvirtintastrypasnesatsiranda,_\

22

21

2l

0

)t,l(yC2

1)t,0(yC

2

1dx

x

yT

2

1V

)t,l(yC2

1)t,0(yC

2

1

x

yT

2

1

t

y

2

1dxdtS 2

22

1

l

0

222t

1t

Kadangi nagrinėjama mažiausio veikimu principu, tai pirmoji variacija turi būti lygi nuliui.Variacijos išvestinė lygi išvestinės variacijai

)t,l(y)t,l(yC)t,0(y)t,0(yCx

yT

xyy

x

yT

x

t

y

tyy

t

y

tdxdt)t,l(y)t,l(yC

)t,0(y)t,0(yCxxx

yTy

tt

ydxdtS

21

l

0

2t

1t2

1

l

0

2t

1t

variacijos: 0)t(y 1 ir 0)t(y 2 . t1 ir t2 yra fiksuoti, tai

0)t,l(yyC)t,0(yyC)t,0(yt

yT

)t,l(yt

yT)t,x(y

x

yT

t

ydxdtS

21

l

02

2

2

22t

1t

Svyravimų lygtis:

salygos krastines

)t,l(yCx

)t,l(yT

)t,0(yCx

)t,0(yT

x

yT

t

y

2

1

2

2

2

2

a)jei atramos nejuda, o c , tada

0)t,l(y

0)t,0(y

b) 0c

0x

)t,l(yT

0x

)t,0(yT

28.Extremalės su lūžio taškais.Vejerštraso ir Erdmano kraštinės sąlygos.

Reikia rasti funkcionalo extremumą

2x

0x

dx))x(y),x(y,x(FJ, kreivė eina

per taška x0 ir x2. Į tašką B patenka po atspindžio nuo y = (x). Ta6kas x1 – lūžio kampas. y’(x1-0) << artėja iš kairės pusės, y’(x1+0) << iš dešnės. Bendru atveju jos nelygios. Patogu funkcionalą užrašyti taip:

2x

1x

1x

0x

dx)y,y,x(Fdx)y,y,x(F)]x(y[J. Tuose

intervaluose funkcija y‘ tolydi. Pagrindinė ir būtina

ekstremumo sąlyga 0J

.

0dx)y,y,x(Fdx)y,y,x(FJ2x

1x

1x

0x

. Taškas y1, y2

gali judėti. Gauname uždavinį su judančiais taškais. Kreivė AC ir CB bus extremalės. y(x)- Eulerio lygties sprendinys. Jei laikom, kad viena kreivė žinoma, tai uždavinys susivestų į funkcionalo ekstremumo

ieškojimą.

1x

0x

2x

1x

FdxFdx.Skaičiuojam variacijas:

101xx

y

1x

0x

xFyFdx)y,y,x(F

,

0x0 ,

101xx

y

2x

1x

xFyFdx)y,y,x(F

.

J sąlyga bus

0xFyFxFyF 101xx

y101xx

y

. 1x kinta laisvai, todėl gaunama sąlyga:

01xx

y01xx

y FyFFyF

Įstatę

reikšmes gauname:

))0x(y,y,x(F))0x(y)x(())0x(y,y,x(F

))0x(y,y,x(F))0x(y)x(())0x(y,y,x(F

111y11111

111y11111

Kraštinės sąlygos kai yra lūžio kampai: tegul ekstremalė turi tik vieną lūžio tašką C, kuriame tos sąlygos turi būti tenkinamos :

2x

1x

1x

0x

2x

0x

dx)y,y,x(Fdx)y,y,x(Fdx)y,y,x(FJ

x1 yra kampinio taško abscisė. AC ir CB- Eulerio lygties integralines kreivės. Dabar skaičiuojame pirmaja variaciją:

0)xyy(y

FxF

2x

1x

0yF

x)FyF(yFx)FyF(J

101xx

y

101xxy101xx

y101xxy

Tada galime užrašyti:

101xx

y101xxy101xx

y101xxy yFx)FyF(yFx)FyF(

x1 ir y1 yra nepriklausomos, tuomet galimi du atvejai:

1) x1=0, y1≠0, 01xxy

01xxy FF

2) x1≠0,

y1=0, 01xxy01xxy )FyF()FyF(

šios sąlygos

yra skaičiuojamos kritiniuose taškuose ir jos vadinamos Vejerštraso ir Erdmano kraštinėmis sąlygomis.