Gia sư hành Được 1 ÔN TẬP NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỂ VẬN DỤNG GIẢI...

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

1

ÔN TẬP NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ

ĐỂ VẬN DỤNG GIẢI TOÁN

Vấn đề 1

CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM

( ) ( ) 1 1' . ' . . 'x x u u ua a a aa a- -= =a

( ) ( ) 1 '

' '2 2

ux u

x u= =a

' '

2 2

1 1 1 'u

x x u u

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

a

( ) ( ) ' ' ' .x x u ue e e u e= =a

( ) ( )' . ln ' ' . . lnx x u ua a a a u a a= =a

( ). ' ' . ' .u v u v v u= +

'

2

' . 'u u v v u

v v

æ ö -÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø

( ) ( ) sin ' cos sin ' '. cosx x u u u= =a

(cos ) ' sin (cos ) ' ' . sinx x x u u= - = -a

( ) ( ) 2 2

1 'tan ' tan '

cos cos

ux u

x u= =a

( ) ( )2 2

1 'cot ' cot '

sin sin

ux u

x u= - = -a

( ) ( ) 1 '

ln ' ln 'u

x ux u

= =a

( ) ( ) 1 '

ln ' ln 'u

x ux u

= =a

( ) ( )1 '

log ' log 'ln ln

a a

ux u

x a u a= =a

Vấn đề 2

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

H t ứ n n C n t ứ n n đ – n n –

2 2sin cos 1x x+ = tan .cot 1x x =

sintan

cos

xx

x=

coscot

sin

xx

x=

os

2

2

11 tan x

c x+ =

2

2

11 cot

sinx

x+ =

sin 2 2sin .cosx x x= 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinx x x x x= - = - = -

2 1 cos2sin

2

xx

-Þ = ;

2 1 cos2cos

2

xx

+=

3sin 3 3sin 4sinx x x= - sin – s n

3cos3 4cos 3cosx x x= - c – 3 cô)

C n t ứ n un C n t ứ n đổ tổn t n t

( )sin sin . cos cos . sina b a b a b± = ±

( )cos cos . cos sin . sina b a b a b± = m

( )tan tan

tan1 tan . tan

a ba b

a b

++ =

-

( )tan tan

tan1 tan . tan

a ba b

a b

-- =

+

cos cos 2 cos . cos2 2

a b a ba b

+ -+ =

cos cos 2 sin . sin2 2

a b a ba b

+ -- = -

sin sin 2 sin . cos2 2

a b a ba b

+ -+ =

sin sin 2 cos . sin2 2

a b a ba b

+ -- =

C n t ứ n đổ tổn t n t C n t ứ t n sin , cosa a theo t an

2t

a=


2

( ) ( )1

cos . cos cos cos2

a b a b a bé ù= - + +ê úë û

( ) ( )1

sin . cos sin sin2

a b a b a bé ù= - + +ê úë û

( ) ( )1

sin . sin cos cos2

a b a b a bé ù= - - +ê úë û

Đ t t an2

ta

=

2

2

2

2

2sin

1

1cos

1

2tan

1

t

t

t

t

t

t

a

a

a

íïï =ï +ïïïï -ïÞ =ìï +ïïïï =ïï -ïî

M t số n t ứ

M t số n t ứ

4 4 21 cos 4cos sin 1 sin 2

1

42

3 xx x x

++ = - =

6 6 23 cos 4

cos sin 1 sin 23

84

5 xx x x

++ = - =

2

tan cotsin 2

x xx

+ =

cot tan 2cot 2x x x- =

sin cos 2 sin 2 cos4 4

x x x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ = + = -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

sin cos 2 sin 2 cos4 4

x x x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- = - = +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Vấn đề 3

PHƯ NG TR NH LƯỢNG GIÁC C ẢN

1 P n tr 1 P n tr nnhh llưư nngg ggiiáácc ccơơ bb nn::

aa.. ::

2sin sin

2

u v ku v

u v k

p

p p

é = +ê= Û ê = - +êë

Đ c i t:

sin 0

sin 1 22

sin 1 22

x x k

x x k

x x k

p

pp

pp

íïï = Þ =ïïïïï = Þ = +ìïïïïï = - Þ = - +ïïî

bb.. :: 2

cos cos2

u v ku v

u v l

p

p

é = +ê= Û ê = - +êë

Đ c i t:

cos 02

cos 1 2

cos 1 2

x x k

x x k

x x k

pp

p

p p

íïï = Þ = +ïïïï = Þ =ìïï = - Þ = +ïïïïî

cc.. ::

tan tan

: ,2

u v u v k

Ðk u v k

p

pp

= Û = +

¹ + Đ c i t:

t an 0

tan 14

x x k

x x k

p

pp

íï = Û =ïïïìï = ± Û = ± +ïïïî

dd.. :: cot cot

: ,

u v u v k

Ðk u v k

p

p

= Û = +

¹ Đ c i t:

cot 02

cot 14

x x k

x x k

pp

pp

íïï = Û = +ïïïìïï = ± Û = ± +ïïïî

22.. hư n tr nh lượn i c c i n n hư n tr nh lượn i c c i n n :: ( ) sin cos 1a x b x c+ =

Đi u ki n c n hi m 2 2 2a b c+ ³ .

hia hai v cho 2 2a b+ ta ược ( )

2 2 2 2 2 21 sin cos

a b cx x

a b a b a bÛ + =

+ + +

Đ t ( )2 2 2 2

sin , cos 0, 2a b

a b a ba a a pé ù= = Î ê úë û+ +

hư n tr nh tr thành

2 2 2 2sin . sin cos . cos cos( ) cos

c cx x x

a b a ba a a b+ = Û - = =

+ +

2 ( )x k ka b pÛ = ± + Î ¢


3

33.. hư n tr nh lượn i c n c p c hai n hư n tr nh lượn i c n c p c hai ngg: ( ) 2 2sin sin cos cos 2a x b x x c x d+ + =

i m tra m cos 0x = c ph i là n hi m ha kh n u c th nh n n hi m nà

Khi cos 0x ¹ chia hai v phư n tr nh ( )2 cho 2cos x ta ược

2 2. t an . tan (1 tan )a x b x c d x+ + = +

Đ t tant x= ưa v phư n tr nh c hai th o t : 2( ) . 0a d t b t c d t x- + + - = ® ®

33.. hư n tr nh i n n hư n tr nh i n n : ( ) ( ) sin cos sin cos 0 3a x x b x x c± + + =

Đ t ( )cos sin 2.cos ; 24

t x x x tp

= ± = £m .

2 211 2sin .cos sin .cos ( 1)

2t x x x x tÞ = ± Þ = ± -

Tha vào phư n tr nh ( )3 ta ược phư n tr nh c hai th o t t x® ®

44.. hư n tr nh i n n hư n tr nh i n n : ( ) sin cos sin cos 0 4a x x b x x c± + + =

Đ t ( ) 21cos sin 2. cos ; : 0 2 sin .cos ( 1)

4 2t x x x ÐK t x x t

p= ± = £ £ Þ = ± -m

Gi i tư n t như n tr n hi t mx c n lưu phư n tr nh ch a u tr tu t i

Vấn đề 4

PHƯ NG TR NH ĐẠI SỐ

11.. P n tr n P n tr n : ( ) 2 0 1ax bx c+ + =

aa// hhaaii

N u b số N u b số n

T nh 2 4b acD = -

u 0D < Þ hư n tr nh v n hi m

u 0D = Þ hư n tr nh c n hi m

k p 2

bx

a= - .

u 0D > Þ hư n tr nh c hai

n hi m ph n i t 1

2

2

2

bx

a

bx

a

é - - Dê =êêê - + Dê =êë

T nh 2' 'b acD = - v i ' 2

bb =

u ' 0D < Þ hư n tr nh v n hi m

u ' 0D = Þ hư n tr nh c n hi m

k p 'b

xa

= - .

u ' 0D > Þ hư n tr nh c hai n hi m

ph n i t 1

2

' '

' '

bx

a

bx

a

é - - Dê =êêê - + Dê =êë

bb//

u phư n tr nh ( )1 c hai n hi m ph n i t 1 2,x x th

T n hai n hi m 1 2

bS x x

a= + = -

T ch hai n hi m 1 2.c

P x xa

= =

cc//

1 2

2 'x x

a a

D DÞ - = =


4

hư n tr nh c hai n hi m ph n i t

0

0

a ¹íïïÛ ìïD >ïî

hư n tr nh c hai n hi m tr i u . 0a cÛ <

hư n tr nh c hai n hi m ph n i t c n u 0

0P

íD >ïïÛ ìï >ïî

hư n tr nh c hai n hi m m ph n i t

0

0

0

P

S

íïD >ïïïïÛ >ìïïï <ïïî

hư n tr nh c hai n hi m ư n ph n i t

0

0

0

P

S

íïD >ïïïïÛ >ìïïï >ïïî

dd// 2( ) 0g x ax bx c= + + = v i s v i s t k t k

( )2 1

0

. 0

2

x x a g

S

b b

b

íïïïD >ïïï> > Û >ìïïïï >ïïî

( )

1 2

0

. 0

2

x x a g

S

b b

b

íïïïD >ïïï< < Û >ìïïïï <ïïî

( )1 2 . 0x x a gb b< < Û <

22.. P n tr n 3 P n tr n 3 ( ) 3 2' ' ' 0 2ax b x c x d+ + + =

( )( )

22( ) 0

0 3

x

x ax bx cax bx c

a

a

=éêÛ - + + = Û ê + + =êë

Đ t 2 2( ) , 4g x ax bx c b ac= + + D = -

hư n tr nh ( )2 c n hi m ph n i t ( )3Û c n hi m ph n i t 0

( ) 0x

ga

a

íD >ïïï¹ Û ìï ¹ïïî

hư n tr nh ( )2 c n hi m ph n i t ( )3Û c n hi m k p x a¹ ho c ( )3 c hai n hi m

ph n i t tron c n hi m x a=

0

( ) 0

0

( ) 0

g

g

a

a

éíD =ïïêïìêï ¹êïïîêÛêíD >ïêïïìêï =êïïîë

hư n tr nh ( )2 c n hi m ( )3Û v n hi m ho c ( )3 c n hi m k p x a=

0

( ) 0

0

g a

éíD =ïïêïìêï =Û êïïîêêD <êë

33.. P n tr n P n tr n ốn tr n p n ốn tr n p n : ( ) 4 2 0 4ax bx c+ + =

Đ t 2. : 0t x ÐK t= ³ hư n tr nh ( ) ( ) 24 0 5at bt cÛ + + =


5

hư n tr nh ( )4 c n hi m ph n i t ( )5Û c n hi m ư n ph n i t

0

0

0

P

S

íïD >ïïïïÛ >ìïïï >ïïî

hư n tr nh ( )4 c n hi m ph n i t ( )5Û c n hi m 0t = và n hi m

0

00

c

t b

a

íï =ïïï> Û ìï - >ïïïî

hư n tr nh ( )4 c n hi m ph n i t ( )5Û c n hi m tr i u ho c ( )5 c n hi m k p

ư n

0

0

0

ac

S

<éêêíD =ïÛ êïêìï >êïîë

44.. P n tr n ứ n t ứ P n tr n ứ n t ứ : + 2

0BA B

A B

í ³ïïï= Û ìï =ïïî

+ ( ) 0 0A hay B

A BA B

í ³ ³ïïï= Û ìï =ïïî

55.. PPhhưư n tr n ứ ấu tr tu t đố n tr n ứ ấu tr tu t đố :: ++

0BA B

A B

í ³ïï= Û ìï = ±ïî

++ A B A B= Û = ±

66.. ất p n tr n ứ n t ứ ất p n tr n ứ n t ứ :: ++

2

0

0

0

B

A

A BB

A B

éí <ïïêìêï ³êïîê³ Ûêí ³ïêïïìêï ³êïïîë

++

2

0

0

B

A B A

A B

íï ³ïïïï£ Û ³ìïïï £ïïî

77.. ất p n tr n ứ ấu ất p n tr n ứ ấu tr tu t đố tr tu t đố :: ++ A B B A B£ Û - £ £

++

A BA B

A B

é ³ê³ Û ê £ -êë

Vấn đề 5

H NH H C PH NG

Tron m t ph n cac Oxy cho:

o n i m ( ),A AA x y , ( ),B BB x y , ( ),C CC x y và ( ),o oM x y

o Đư n th n : 0ax by cD + + = .

o Đư n tr n ( ) ( ) ( ) 22 2 2: ( ) : 2 2 0m mC x a y b R hay C x y ax by c- + - = + - - + = c t m là

( ),I a b và n k nh là 2 2R a b c= + - .

ct ( ) ;B A B AAB x x y y= - - Þuuur

Đ ài o n th n ( ) ( )2 2

B A B AAB x x y y= - + -

A, B)

Đ a i m ( ),A AA x y ; ( ),B BB x y và ( ),C CC x y th ng hàng B A C A

B A C A

x x x x

y y y y

- -Û =

- -.

ho n c ch t i m ( ),o o

M x y n ư n th n : 0ax by cD + + = là ( )2 2

, o oax bx cd M

a b

+ +D =

+

Đ và i n nhau qua ư n th n D Û D là ư n th n trun tr c c a o n th n

i n t ch Δ ( )2

2 21 1. . sin . .

2 2ABCS AB AC A AB AC AB ACD = = -

uuur uuur


6

( )( )( )1 1 1

. . .2 2 2 4

a b c

abcp p a p b p c a h bh c h pr

R= - - - = = = = =

Tron : , ,R r p l n lượt là n k nh ư n tr n n o i ti p n k nh ư n tr n n i ti p và n a chu vi

Đ A và B nằm v 2 phía (khác phía) so v i ư n th n ( ) ( ). 0A A B Bax by c ax by cD Û + + + + < .

Đ và nằm v c n ph a so v i ư n th n ( ) ( ). 0A A B Bax by c ax by cD Û + + + + > .

Đ A và B cùng nằm tron ư ng tròn hay cùng nằm n oài ư ng tròn

( )( )2 2 2 2

/ ( ) / ( ). 0 2 2 2 2 0A Cm B Cm A A A A B B B BP P x y ax by c x y ax by cÛ > Û + - - + + - - + > .

Đ và nằm v hai ph a kh c nhau i v i ư n tr n i m ph a tron m t i m ph a n oài

( )( )2 2 2 2

/ ( ) / ( ). 0 2 2 2 2 0A Cm B Cm A A A A B B B BP P x y ax by c x y ax by cÛ < Û + - - + + - - + <

CHƯ NG I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

BÀI 1

TÍNH Đ N ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

C sở ý t u t

1. Đ n n ĩ :

+ Hàm s ( )y f x= ồn i n tr n 1 2,K x x KÛ " Î và 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< Þ < .

+ Hàm s ( )y f x= n h ch i n tr n 1 2,K x x KÛ " Î và 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< Þ > .

2. Đ ều n ần: Gi s ( )y f x= c o hàm tr n kho n I

+ u ( )y f x= ồn i n tr n kho n I th '( ) 0,f x x I³ " Î .

+ u ( )y f x= n h ch i n tr n kho n I th '( ) 0,f x x I£ " Î .

3. Đ ều n đủ: Gi s ( )y f x= c o hàm tr n kho n I

+ u ' '( ) 0y f x= ³ , x I" Î [ '( ) 0f x = t i s hữu h n i m] th ( )y f x= ồn i n tr n I

+ u ' '( ) 0y f x= £ , x I" Î [ '( ) 0f x = t i s hữu h n i m] th ( )y f x= n h ch i n tr n I

+ u ' '( ) 0y f x= = , thì ( )y f x= kh n i tr n I

Chú ý: u kho n I ược tha i đo n ho c nử o n thì ( )y f x= p ên tụ tr n

DẠNG 1

XÉT TÍNH Đ N ĐIỆU (t m o n t n - m) CỦA HÀM SỐ y f x

1. P n p p + Bước 1: T m t p c nh c a hàm s Thư n p c c trư n hợp sau

- ( )

: ( ) 0( )

P xy TXÐ Q x

Q x= Þ ¹

- ( ) : ( ) 0y Q x TXÐ Q x= Þ ³


7

- ( )

: ( ) 0( )

P xy TXÐ Q x

Q x= Þ >

+ Bước 2: T m c c i m t i ' '( ) 0y f x= = ho c ' '( )y f x= kh n c nh n hĩa là t m o hàm

' '( )y f x= . Cho ' '( ) 0y f x= = t m n hi m ix v i ( ) 1; 2; 3...i n= .

+ Bước 3: Sắp p c c i m th o th t tăn n và l p n i n thi n t u ' '( )y f x= .

+ Bước 4: a vào n i n thi n k t lu n c c kho n ồn i n và n h ch i n c a hàm s

- '( ) ' 0f x y= ³ Þ Hàm s ồn i n tăn tr n kho n ……và……

- '( ) ' 0f x y= < Þ Hàm s n h ch i n i m tr n kho n …và……

2. M t số u ý to n

+ L u ý 1 Đ i v i hàm phân th c hữu t th u “=” không x y ra.

+ L u ý 2:

Đ i v i hàm d ng: ax b

ycx d

+=

+ thì hàm s lu n ồng bi n (ho c ngh ch bi n tr n TXĐ n hĩa là lu n

t m ược ' 0y > (ho c ' 0y < tr n TXĐ

Đ i v i hàm d ng:

2

' '

ax bx cy

a x b

+ +=

+ luôn có ít nh t hai kho n n i u.

Đ i v i hàm d ng: 4 3 2y ax bx cx dx e= + + + + luôn có ít nh t m t kho n ồng bi n và m t

kho ng ngh ch bi n.

C ba hàm s trên không thể luôn đ n đ u trên ¡ .

+ L u ý 3: B ng xét d u m t s hàm thư n p

a) Nh thức b c nhất: ( ) ,( ) 0y f x ax b a= = + ¹

x b

a-

ax b+ tr i u v i a 0 c n u v i a

b) Tam thức b c hai : ( ) ,2( ) 0y f x ax bx c a= = + + ¹

u 0D < ta c ng xét d u:

x

( )f x c n u v i a

u 0D = ta c ng xét d u:

x 2

b

a

-

( )f x c n u v i a 0 c n u v i a

u 0D > i 1 2,x x là hai n hi m c a tam th c ( ) 0f x = ta c ng xét d u:

x 1x 2x

( )f x c n u v i a 0 tr i u v i a 0 c n u v i a

c) Đ i v i hàm mà c ' '( ) 0y f x= = c nhi u n hi m ta t u th o n u n tắc

Tha i m lân c n ox g n nx

bên ô ph i c a b ng xét d u vào '( )f x . [Thay s ox sao cho dễ tìm

'( )f x ].

Xét d u theo nguyên tắc: D u c a '( )f x đổi dấu đ qu n m đ n và n đổi dấu khi qua

nghi m kép.

+ L u ý 4 X m l i s cách gi i phư n tr nh lượn i c thư ng g p và ta có th ưa hàm s lượng giác v

d n a th c trong 1 s trư ng hợp.

+ L u ý 5 ch t nh o hàm hàm s d n hữu t ph n th c


8

( ) ( )2 2

'

a b

c dax b ad cby y

cx d cx d cx d

+ -= Þ = =

+ + +. ch nh T ch ư n ch o ch nh tr t ch ư n ch o ph

( )

( ) ( ) ( )

( )

2

22

2 22 2 2

2' '' ' ' ' ' ' 2 ' ' ' '

'' ' ' ' ' ' ' ' '

a ca b b cx x

a ca b b c b a a b x c a a c x c b b cax bx cy y

a x b x c a x b x c a x b x c

+ +- + - + -+ +

= Þ = =+ + + + + +

Bài 1. T m c c kho n n i u c a c c hàm s

a/ 4 24 3y x x= - + - . b/

4 26 8 1y x x x= - + + . c/ 4 4 6y x x= + + .

d/ 3 26 9 4y x x x= - + - + . e/

3 23 3 2y x x x= + + + . f/ 2 2y x x= - .

g/ 2 1

1

xy

x

-=

-. h/

3 1

1

xy

x

+=

-. i/

3 2

7

xy

x

-=

+.


a/

2 2 1

2

x xy

x

- + -=

+. b/

2 8 9

5

x xy

x

- +=

-. c/

2

2

3

xy

x x

+=

- +.

d/ ( ) 24 3 6 1y x x= - + . e/ 21 2 3 3y x x x= + - + + . f/

3 2 2y x x= - .


a/ 2 5 6y x x= + + . b/

21 2 5 7y x x x= - + - + - . c/ 24y x x= - .

d/ 2 2 3y x x= + + . e/

3 27 7 15y x x x= - - + . f/

22 3

3 2

x xy

x

- +=

+.

Bài 4. T m c c kho n n i u c a c c hàm s sau

a/ sin , 0;y x x x pé ù= - Î ê úë û . b/ 2 sin cos2 , 0;y x x x pé ù= + Î ê úë û

.

c/ 2sin cos , 0;y x x pé ù= + ê úë û. d/

3sin cos2 sin 2y x x x= - + + .

e/ 2sin cos 1 , 0;2

y x x xpé ù

= + + Î ê úê úë û

. f/ [ ] 342sin sin , 0;

3y x x x p= - Î

Bài 5. h n minh rằn

a Hàm s 3 cos 4y x x x= + - - ồn i n tr n ¡ .

Hàm s 2sin tan 3y x x x= + - ồn i n tr n n a kho n )0;

2pé

êë

.

DẠNG 2

T m đ ều n ủ t m số để m số y f x đồn n oặ n n

I C sở ý t u t

Cho hàm s ( ),y f x m= v i m là tham s c t p c nh

Hàm s ( ),y f x m= ồn i n tr n Û ' 0y ³ x" Î D

Hàm s ( ),y f x m= n h ch i n tr n Û ' 0y £ , x" Î D

Hàm s ( ),y f x m= ồn i n tr n ¡ ' '( , ) 0, min ' 0x

y f x m x yÎ

Û = ³ " Î Û ³¡

¡

Hàm s ( ),y f x m= n h ch i n tr n ¡ ' '( , ) 0, max ' 0x

y f x m x yÎ

Û = £ " Î Û £¡

¡

Hàm s ồn i n tr n ¡ th n ph i c nh tr n ¡ .

ch nh : (Anh b n n ch o hai l n b ch

Tham s m


9

II. P n p p

D ng 1: N u 2' '( , )y f x m ax bx c= = + + thì:

Đ hàm s ( ),y f x m= ồn i n tăn tr n 0

' '( , ) 0;0

ay f x m x

íï >ïÛ = ³ " Î Û ìï D £ïî

¡ ¡

Đ hàm s ( ),y f x m= n h ch i n i m tr n 0

' '( , ) 0;0

ay f x m x

íï <ïÛ = £ " Î Û ìï D £ïî

¡ ¡

Chú ý: ố vớ à â ố ỉ d “=” ô x y .

D ng 2: N u [ ] ' ; ;y ax b x a b= + " Î thì:

Đ hàm s ( ),y f x m= ồn i n tr n [ ];a b [ ] '( ) 0

' 0 ; ;'( ) 0

yy x

y

aa b

b

í ³ïïïÛ ³ " Î Û ìï ³ïïî

Đ hàm s ( ),y f x m= n h ch i n tr n [ ];a b [ ] '( ) 0

' 0 ; ;'( ) 0

yy x

y

aa b

b

í £ïïïÛ £ " Î Û ìï £ïïî

D ng 3: N u 2' '( )y f x ax bx c= = + + ho c ' '( )y f x= là m t hàm b t kỳ nào khác, mà ta c n

' '( ) 0y f x= ³ hay ' '( ) 0y f x= £ trên kho ng ( ),a b ho c o n [ ],a b (ho c trên n a o n hay n a kho ng

nào Th ta làm th o c c ư c sau:

ớ 1 T m mi n c nh c a ' '( )y f x= .

ớ 2 Đ c l p t ch m ha i u th c ch a m ra kh i i n x và chu n m v m t v Đ t v c n l i

là ( )g x ưu khi chu n v thành ph n th c th ph i i u ki n c nh c a i u th c khi t u '( )g x

ta ưa vào n t u '( )g x .

ớ 3: Tính '( )g x . Cho '( ) 0g x = và t m n hi m

ớ 4 p n i n thi n c a '( )g x .

ớ 5 t lu n “Lớn n số ớn – é n số é” hĩa là

+ khi ta t ( )m g x³ th a vào n i n thi n ta sẽ l i tr m ³ số ớn n ất tron n i n thi n

+ khi ta t ( )m g x£ th a vào n i n thi n ta sẽ l i tr m £ số n ỏ n ất tron n i n thi n

D ng 4: Tìm m hàm số 3 2y ax bx cx d= + + + c dài kho n ồng bi n (ngh ch bi n) l= .

Ta gi i như sau

ớ 1: Tính ' '( )y f x= .

ớ 2 T m i u ki n hàm s c kho n ồn i n và n h ch i n ( )

01

0

a ¹íïïìïD >ïî

.

ớ 3 i n i 1 2

x x l- = thành ( ) ( ) 2

2

1 2 1 24 . 2x x x x l- - = .

ớ 4 S n nh l i t ưa thành phư n tr nh th o m .

ớ 5 Gi i phư n tr nh so v i i u ki n ch n n hi m

III M t số u ý to n

L u ý 1 n s n thành th o nh l i t và so s nh n hi m c a phư n tr nh c hai v i s .

L u ý 2 Ta c th n n to n lo i i i ài to n t m tham s m c a m t t phư n tr nh ho c t m

i u ki n phư n tr nh c n hi m v n hi m ho c …n n hi m …

Bài 1. Tìm tham s m hàm s


10

a/ 3 23 3( 2) 3 1y x x m x m= - + + + - ồn i n tr n ¡ .

b/ ( ) ( )3 22 1 2 2y x m x m x= - - + - + ồn i n tr n ¡ .

c/ ( )3 23 2 2y x m x mx= + - + + ồn i n tr n t p c nh c a n

d/ ( )3 2 2 23 3 1 3 1y x x m x m= - + + - - - lu n i m

e/ ( ) ( ) ( )3 213 3 2 3

3y m x m x m x= - - + + + - lu n tăn tr n ¡ .

f/ ( ) ( )2 3 21 1 1 3 53y m x m x x= - + + + + lu n ồn i n tr n ¡ .

Đ p số: a/ 1m ³ - b/ 5

14

m- £ £ c/ 6 3 3;6 3 3mé ù

Î - +ê úë û

d/ 0m = e/ 3

12

m- £ £ - f/ ( ) ); 1 2;m éÎ - ¥ - È + ¥êë


a/ 3 2mx m

yx m

+ -=

+ luôn n h ch i n tr n m i t p c nh c a n

b/ 2

1

mxy

x m

-=

- + ồn i n tr n t n kho n c nh c a n

c/ 2 1mx

yx m

+=

+ n h ch i n tr n t n kho n c nh c a n

d/ ( )22 2 3 1

1

x m x my

x

- + + - +=

- n h ch i n tr n t n kho n c nh c a n

Đ p số: a/ 3 1m- < < b/ 1 2m- < < c/ 1 1

2 2m- < < d/

1

2m £


a/ ( )3 22 1 1y x mx m x= - - + + ồn i n tr n o n 0;2é ùê úë û

.

b/ ( )3 23 1 4y x x m x m= + + + + n h ch i n tr n kho n ( )1;1- .

c/ 3 23 4y x x mx= + - - ồn i n tr n kho n ( )0;+ ¥ .

d/ ( )3 212 1 2

3y x mx m x m= - + - - + n h ch i n tr n kho n ( )2;0- .

e/ 4mx

yx m

+=

+ n h ch i n tr n kho n ( );1- ¥ .

f/

2 6 2

2

mx xy

x

+ -=

+ n h ch i n tr n n a kho n )1;é + ¥êë

.

g/ cosy x m x= + ồn i n tr n ¡ .

Đ p số: a/ 1m £ - b/ 10m £ - c/ 0m £ d/ 1

2m ³

e/ 3

22

m- £ £ f/ 2 1m- < < - g/ 14

5m £ - h/ 1 1m- £ £


a/ ( ) ( )3 2 2 21 2 3 2 2y x m x m m x m m= - + - - + + - ồn i n tr n n a kho n )2;é + ¥êë.

b/ 2223 ).34().1(

3

2mxmmxmxy ồn i n tr n n a kho n )1;é + ¥êë

.

c/ 7).2.().1(3

1 23 xmmxmxy ồn i n tr n o n 4;9é ùê úë û

.


11

d/ )32).(1(2).772( 223 mmxmmmxxy ồn i n tr n n a kho n )2;é + ¥êë.

Bài 5. T m i tr th c m hàm s

a/ 3 23y x x mx m= + + + i m tr n o n c ài ằn

b/ ( )3 2 2 1y x x m x= - + - - + tăn tr n o n c ài ằn

Đ p số a/ 9

4m = . b/

14

3m = .

DẠNG 3

Ứn ụn t n đ n đ u ứn m n ất đ n t ứ

1. P n p p

ớ 1 hu n t n th c v n ( ) ( ) 0 , ,f x hay> < ³ £ . X t hàm s ( )y f x= tr n t p c nh

o ài ch nh ho c mi m c nh c a ài to n mà ta ph i t m

ớ 2: X t u ' '( )y f x= Su ra hàm s ồn i n ha n h ch i n

ớ 3 a vào nh n hĩa ồn i n ha n h ch i n k t lu n T c là

+ Hàm s ( )y f x= ồng bi n trên 1 2,K x x KÛ " Î và 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< Þ < .

+ Hàm s ( )y f x= ngh ch bi n trên 1 2,K x x KÛ " Î và 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< Þ > .


Lưu ý 1: Tron trư n hợp ta chưa t ược u c a '( )f x th ta t ( ) '( )h x f x= và qua l i ti p t c t

u '( )h x … cho n khi nào t u ược th th i

Lưu ý 2: u t n th c c hai i n th ta ưa t n th c v n ( ) ( )f a f b< . X t t nh n i u c a

hàm s ( )f x tron kho n ( ),a b .


a/ sin , 0,2

x x xpé ù

£ " Î ê úê úë û

b/ ( ) t an , 0; 2x x x p> " Î

c/ tan sin , 0;2

x x xpæ ö÷ç> " Î ÷ç ÷è ø

d/ , 3

sin 0;3! 2

xx x x

pæ ö÷ç> - " Î ÷ç ÷è ø

e/ tan 2sin 3 , 0;2

x x x xpæ ö÷ç+ > " Î ÷ç ÷è ø

f/ , 3

t an 0;3 2

xx x x

pæ ö÷ç> + " Î ÷ç ÷è ø


a. 2 1

sin tan , 0;3 3 2

x x x xpæ ö÷ç+ > " Î ÷ç ÷è ø

b. , 3 5

sin 06 120

x xx x x< - + " >

c. ( ), 2sin 0; 2xx x p

p> " Î d. ( ) 2

1 1sin 1 , 0;

6x x

x x> - " Î + ¥

e. 2 2 2

1 1 41 , 0;

sin 2x

x x

p

p

æ ö÷ç< + - " Î ÷ç ÷è ø

f.

21 11 1 1 , 0

2 8 2

xx x x x+ - < + < + " >

g. ( ) 1

2 3 , 1;x xx

> - " Î + ¥ h. 28/ ( ) 2

2

4sin , 0;

2

xx x x

pp

p

æ ö÷ç< - " Î ÷ç ÷è ø

DẠNG 4

Ứn ụn t n đ n đ u để p n tr n – ất p n tr n ó ứ t m số m

to n 1. T m m phư n tr nh ( )f x;m 0= c n hi m tr n


12

ư c Đ c l p t ch m ra kh i i n s và ưa v n ( ) ( )f x A m= .

ư c p n i n thi n c a hàm s ( )f x trên D.

ư c a vào n i n thi n c nh i tr c a tham s m ư n th n ( )y A m= nằm n an cắt

ồ th hàm s ( )y f x= .

ư c t lu n nhữn i tr c n t m c a m phư n tr nh ( ) ( )f x A m= c n hi m tr n

L u ý:

+ u hàm s ( )y f x= c GT và GT tr n th i tr m c n t m là nhữn m th a m n

( ) ( ) ( )D D

min f x A m max f x£ £ .

+ u ài to n u c u t m t m tham s phư n tr nh c k n hi m ph n i t ta ch c n a vào n

i n thi n c nh sao cho ư n th n ( )y A m= nằm n an cắt ồ th hàm s ( )y f x= t i k i m ph n

i t

to n 2. T m m t phư n tr nh ( )f x;m 0³ ho c ( )f x;m 0£ c n hi m tr n

ư c . Đ c l p t ch m ra kh i i n s và ưa v n ( ) ( )f x A m³ ho c ( ) ( )f x A m£ .

ư c . p n i n thi n c a hàm s ( )f x trên D.

ư c . a vào n i n thi n c nh i tr c a tham s m t phư n tr nh c n hi m

+ i t phư n tr nh ( ) ( )f x A m³ là nhữn m sao cho tồn t i ph n ồ th nằm tr n ư n

th n ( )y A m ,= t c là ( ) ( )D

A m max f x£ ( )( ) D

khi max f x $ .

+ i t phư n tr nh ( ) ( )f x A m£ là nhữn m sao cho tồn t i ph n ồ th nằm ư i ư n

th n ( )y A m ,= t c là ( ) ( )D

A m min f x³ ( )( ) D

khi min f x $ .

to n 3. T m tham s m t phư n tr nh ( ) ( )f x A m³ ho c ( ) ( )f x A m£ n hi m n x D" Î ?

+ t phư n tr nh ( ) ( )f x A m³ n hi m n ( ) ( )D

x D min f x A m" Î Û ³ .

+ t phư n tr nh ( ) ( )f x A m£ n hi m n ( ) ( )D

x D max f x A m" Î Û £ .

L u ý:

+ c ài to n li n quan h phư n tr nh h t phư n tr nh ¾ ¾® ta c n i n i chu n v c c

phư n tr nh và t phư n tr nh

+ hi i i n c n quan t m n i u ki n c a i n m i

LOẠI 1

Ứn ụn t n đ n đ u để p n tr n ó ứ t m số m

Bài 1. T m tham s th cm phư n tr nh

a/ 23 1x x m+ + = c n hi m th c

b/ 2 2m x x m+ = + c n n hi m th c ph n i t

c/ 2 24 5 4x x x x m- + ³ - + c n hi m th c tron o n 2;3é ù

ê úë û.

Đ p số: a/ 3 1

2 6m ³ - . b/ 2 2m- < < . c/ 1m £ -

Bài 2. T m tham s th c m phư n tr nh


13

a/ 2 2 2 1x mx x c hai n hi m ph n i t

b/ 29 9x x x x m c n hi m

c/ 243 1 1 2 1x m x x c n hi m

d/ 6 3x x mx c n hi m

Đ p số a/ 9

2m b/

910

4m c/

11

3m d/

1

1

2

m

m

Bài 3. T m tham s th c m phư n tr nh

a/ mxxxx 6363 c n hi m

b/ mxxxx 11 22 c n hi m

LOẠI 2

Ứn ụn t n đ n đ u để ất p n tr n ó ứ t m số

Bài 1. Tìm m t phư n tr nh 4 2 2 4x x m c n hi m

Đ p số 14m .

Bài 2. T m tham s m t phư n tr nh sau c n hi m 3 1mx x m

Đ p số 3 1

4m

Bài 3. T m m t phư n trình 24 6 2x x x x m n hi m n v i m i 4;6x

Đ p số 6m .

Bài 4. Tìm m t phư n tr nh 22 9m x x m c n hi m v i m i x .

Đ p số 3

4m .

BÀI 2

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

C sở ý t u t

1. Khái niệm cực trị của hàm số: Gi s hàm s ( )y f x= c nh tr n t p ( )D D Ì ¡ và Do

x Î

+ ox là i m c c i c a hàm s ( )y f x= n u ( ) D,a b$ Î và ( ),ox a bÎ sao cho ( )( ) ,o

f x f x<

( ) { }; \o

x a b x" Î hi ( )of x ược i là i tr c c i c a ( )y f x=

+ ox là i m c c ti u c a hàm s ( )y f x= n u ( ) D,a b$ Î và ( ),ox a bÎ sao cho ( ) ( ),of x f x>

( ) { }; \o

x a b x" Î hi ( )of x ược i là i tr c c ti u c a ( )y f x=

+ u ox là i m c c tr c a hàm s ( )y f x= th i m ( ); ( )o ox f x ược i là i m c c tr c a ồ th hàm

s ( )y f x= .

2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Định ý erman

u hàm s ( )y f x= c o hàm t i ox và t c c tr t i i m th ( )' 0of x = hĩa là hàm s

( )y f x= ch c th t c c tr t i nhữn i m mà t i o hàm ằn 0 ho c kh n c o hàm

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị


14

a. Đ n ý 1: Gi s hàm s ( )y f x= li n t c tr n kho n ( ); oa b xÉ và c o hàm ( ) { } , \ oa b x

+ u '( )f x i u t âm sang dương khi x i qua ox thì ( )y f x= t c c ti u t i ox .

+ u '( )f x i u t dương sang âm khi x i qua ox thì ( )y f x= t c c i t i ox .

x a xo b

'( )f x – 0 +

( )y f x=

f(a) f(b)

t ểu

f(xo)

x a xo b

'( )f x + 0 –

( )y f x=

f(xo)

đ f(a) f(b)

b. Đ n ý 2: Gi s hàm s ( )y f x= c o hàm tr n ( ) ; oa b xÉ ; ( )' 0of x = và ( )'' 0of x ¹

+ u ( )'' 0of x < thì ( )y f x= t c c i t i ox .

+ u ( )'' 0of x > thì ( )y f x= t c c ti u t i ox .

DẠNG 1

T M CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. P n p p Qui tắc 1: n nh l

ư c T m mi n c nh T nh ' '( )y f x= .

ư c : Tìm c c i m ( )1,2, ..,ix i n= t i ' '( ) 0y f x= = ho c ' '( )y f x= kh n c nh

ư c : X t u '( )f x t su ra i m c c tr a vào nh l

Qui tắc 2: n nh l

ư c T m mi n c nh T nh ' '( )y f x= .

ư c : Tìm c c i m ( )1,2, ..,ix i n= t i ' '( ) 0y f x= = ho c ' '( )y f x= kh n c nh

ư c : X t u ''( )f x và ''( )if x

- u ''( ) 0if x < thì hàm s t c c i t i ix .

- u ''( ) 0if x > th hàm s t c c ti u t i ix .


qui tắc t m c c tr a vào nh l qui tắc và nh l qui tắc

u vi c t u c a o hàm c nh t ễ àn th n n n qui tắc

u vi c t u kh khăn v như tron ài to n mà hàm s cho c n lượn i c ho c ài

to n c ch a tham s th n n n qui tắc

u 'y kh n i u khi i qua n hi m n hi m k p th hàm s kh n c c c tr

Đ i v i hàm c th ' 0y = c n hi m ph n i t là i u ki n c n và hàm c c c tr

h n c n t hàm s ( )y f x= c ha kh n c o hàm t i i m ox x= nhưn kh n th qua i u

ki n “ à ố ox ”.

Hàm s t c c tr t i '( ) 0

''( ) 0

o

o

o

y xx

y x

íï =ïÛ ìï ¹ïî

Đ i v i hàm s căn th c ta kh n t u ược như c c th ch n i m t u


15

Bài 1. T m c c tr c a c c hàm s sau

a/ 3 23 3 5y x x x= + + + b/

3 23 9 4y x x x= + - + c/ 3 22 5

23 2

y x x x= - + -

d/ 3 24

6 9 13

y x x x= - + - e/ 4 26 8 1y x x x= - + - + f/

4 22 3y x x= - -

Đ p số a Hàm s kh n c c c tr b/ ( )3 31CÐ

y y= - = ; ( )1 1CT

y y= = - .

c/ ( )2

23CÐ

y y= = ; 1 11

2 4CTy y

æ ö÷ç ÷= = -ç ÷ç ÷çè ø

hàm s kh n c c c tr

e/ ( )D2 25

Cy y= - = ; Hàm s kh n c c c ti u f/ ( )0 3

CÐy y= = - ; ( ) ( )1 1 4

CTy y y= = - = - .

Bài 2. T m c c tr c a c c hàm s sau

a/ 3 2

1

xy

x

-=

- b/

3 1

1

xy

x

+=

- c/

2 2 1

2

x xy

x

- + -=

+ d/

2 8 9

5

x xy

x

- +=

-

Đ p số a Hàm s kh n c c c tr Hàm s kh n c c c tr

c/ ( )1 0CÐ

y y= = ; ( )5 12CT

y y= - = . d Hàm s kh n c c c tr .

Bài 3. T m c c tr c a c c hàm s

a/ 3 23y x x= - + b/

24y x x= - c/ 22 3y x x= - -

d/ 22 1 2 8y x x= + - - e/ ( )2y x x= + f/ ( )3y x x= -

Đ p số

a/ ( )2 2CÐ

y y= = ; ( )0 0CT

y y= = . b/ ( )2 2CT

y y= - = - ; ( )2 2CÐ

y y= = .

c Hàm s kh n c c c i d/ ( )2 2 3 2 1CT

y y= = + .Hàm s kh n c i m c c i

e/ ( )1 1CÐ

y y= - = ; ( )0 0CT

y y= = . f/ ( )0 0CÐ

y y= = ; ( )1 2CT

y y= = -

Bài 4. T m c c tr c a c c hàm s

a/ sin 2y x x= - b/ 2sin 2 3y x= -

c/ 3 2cos cos2y x x= - - d/ cos sin 0;2

y x x trênpé ù

ê ú=ê úë û

Đ p số

a/ 1

6 2 6CÐy y k k

p pp p

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= + = - +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

. 1

6 2 6CTy y k k

p pp p

æ ö÷ç ÷= - + = - + -ç ÷ç ÷çè ø

.

b/ 14CÐ

y y kp

pæ ö

÷ç ÷= + = -ç ÷ç ÷çè ø. ( )2 1 5

4 2CTy y k

p pæ ö÷ç ÷= + + = -ç ÷ç ÷çè ø

.

c/ 2 9

23 2

CÐy y kp

pæ ö

÷ç= ± + =÷ç ÷çè ø. ( ) ( )2 1 cos

CTy y k kp p= = - .

Hàm s t c c i t ix b= ; ( )412

3y b = v i

1sin

3b = .

DẠNG 2

T M THAM SỐ m ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI 0

x

Bài toán 1: ho hàm s ( , )y f x m= T m tham s m hàm s t tr t i i m 0

x x= .


16

+ T m t p c nh

+ Tính ' '( , )y f x m=

+ Đ hàm s t c c tr t i 0

x x= thì:

0'( , ) 0f x m m= Þ .

Bài toán 2: Cho hàm s ( , )y f x m= T m tham s m hàm s t đ t i i m 0

x x= .

+ T m t p c nh

+ Tính ' '( , ); '' ''( , )y f x m y f x m= =

+ Đ hàm s t đ t i 0

x x= thì: ( )( )

0

0

' , 0

'' , 0

f x mm

f x m

íï =ïï Þìï <ïïî

Bài toán 3: ho hàm s ( , )y f x m= T m tham s m hàm s t t ểu t i i m 0

x x= .

+ T m t p c nh

+ Tính ' '( , ); '' ''( , )y f x m y f x m= =

+ Đ hàm s t t ểu t i 0

x x= thì: ( )( )

0

0

' , 0

'' , 0

f x mm

f x m

íï =ïï Þìï >ïïî

Bài 1. T m tham s hàm s

a/ ( )3 2 23 3 1y x mx m x m= - + - + t c c i t i 2x = .

b/ ( )2 3 25 6 6 6y m m x mx x= - + + + - t c c ti u t i 1x = .

c/ 3 22 1y x x mx= - + + t c c ti u t i 1x =

d/ 3 23 12 2y mx x x= + + + t c c i t i i m 2x = .

e/

2 1x mxy

x m

+ +=

+ t c c i t i 2x = .

Đ p số a/ 3m = b/ 2m = - c/ 1m = d/ 2m = - e/ 3m = -

Bài 2. T m tham s m hàm s

a/ ( )3 2 211 1

3y x mx m m x= - + - + + t c c tr t i 1x = hi hàm s t c c i ha c c ti u

T m c c tr tư n n

b/ 3 2 4y x mx= - + - hàm s nh n i m ( )2;0M làm i m c c i

c/ ( )22 3 sin 2 sin 2 3 1y m x m x m= - - + - t c c ti u t i 3

xp

= .

Đ p số a/ 2m = b/ 3m = c/ 1m =

Bài 3. T m tham s ,a b hàm s

a/

42

4

xy ax b= + + c c c tr t i 1x = - và i tr c c tr tư n n c a hàm s ằn 2- .

b/ 2 3 25

2 93

y a x ax x b= + - + c i tr c c tr là nhữn s ư n và 5

9ox = - là i m c c i

Đ p số:a/ 1 9

;2 4

a b= - = b/ 9 128

;25 27

a b= - ³ - ho c 9 140

;5 27

a b= ³ -

Bài 4. T m i tr c a tham s hàm s

a/ ( )3 2 1 1y x mx m x= + + + - c c c tr t i 2x = hi hàm s t c c i ha c c ti u T nh i

tr c c tr tư n n

b/ ( ) ( )3 22 4 2 5 4y x m x m x= - - + - - c c c tr khi 0x = hi hàm s t c c i ha c c ti u

T nh i tr c c tr tư n n .


17

c/ 2 2 2

1

x mxy

x

+ -=

+ c i m c c tr khi 2x = - hi hàm s t i tr c c ti u ha c c i T nh i

tr c c tr tư n n

d/ 3 2 2

53

y x mx m xæ ö

÷ç= - + - +÷ç ÷çè ø t c c tr t i 1x = hi n là i m c c i ha c c ti u t nh i

tr c c tr c n l i n u c

Bài 5. T m i tr c a tham s ;a b hàm s

a/ ( )4 212

4y x a b x a b= - + - - t i tr c c i ằn t i 1x = .

b/ ( )4 23 3y x a b x a b= - + - - + t i tr c c ti u ằn t i 0x =

c/ ( )4 233 2 2

4y x a b x a b= - - - + c i tr c c tr ằn 0 khi 0x = hi hàm s t c c ti u ha

c c i.

d/

2ax bx aby

bx a

+ +=

+ t c c tr t i 0x = và 4x = .

e/ 2

2

2

1

ax x by

x

+ +=

+ t c c i ằn 5 t i 1x = .

d/

2

1

x ax by

x

+ +=

- hàm s t c c tr bằng –6 t i 1x = - .

Bài 6. T m i tr c a tham s ; ;a b c hàm s

a/ 3 2y x ax bx c= + + + t c c tr ằn 0 t i i m 2x = - và ồ th hàm s i qua i m ( )0,1A .

b/ 3 2y x ax bx c= + + + t c c ti u t i i m ( )1, 3A - và ồ th hàm s cắt tr c tun t i i m c tun

ằn

c/ 4 2y ax bx c= + + ồ th i qua c t a O và t c c tr bằng 9- t i 3x = .

Bài 7. T m i tr c a tham s ; ; ;a b c d hàm s

a/ 3 2y ax bx cx d= + + + t c c ti u t i i m ( )0, 0 0x f= = và t c c i t i 1x = , c i tr c c

i ằn

b/ 3 2y ax bx cx d= + + + t c c ti u ằn 0 t i 0x = và t c c i ằn

4

27 t i

1

3x = .

DẠNG 3

IỆN LUẬN HOÀNH ĐỘ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Hàm s ( )y f x= c n tr ó n n m p n t.

M t số u ý to n

L u ý 1: Hoành c c tr thư ng là nghi m c a phư n tr nh c o ta c n ph i nắm vững ki n

th c v phư n tr nh c như Đ nh lý i t so s nh n hi m phư n tr nh c 2 v i 1 s b t kỳ c c i u ki n

có nghi m c a phư n tr nh … ồn th i n li n quan n m t s t nh ch t c a h nh h c ph n

L u ý 2: Hàm s c a 3 2y ax bx cx d= + + + và hàm hữu t

2ax bx cy

dx e

+ +=

+ c c c i và c c

ti u c c tr ' 0yÛ = c hai n hi m ph n i t

0

0

a ¹íïïÛ ìïD >ïî

L u ý 3: Đ A và B thu c hai nhánh c a ồ th d ng ax b

ycx d

+=

+

ho c 2ax bx c

yex d

+ +=

+

th i m A

và B ph i nằm v hai phía so v i ư ng ti m c n n tư n ng c a ồ th .

y

A

y


18

L u ý 4: C c tr của m ốn 4 3 2y ax bx cx d= + + +

+ Ta c ( ) ( )

3 2

2

0' 4 3 2 ' 0

4 3 2 0 2

xy ax bx cx y

ax bx c g x

é =ê= + + Þ = Û ê + + = =êë

+ Hàm s có 3 c c tr khi và ch khi (2) có hai nghi m phân bi t khác 0( )

( )2

0

0 0g

íïD >ïïÛ ìï ¹ïïî

hi Hàm s có 2 c c ti u, 1 c c i khi 0a > .

Hàm s có 2 c c i, 1 c c ti u khi 0a < .

+ Hàm s có 1 c c tr khi và ch khi (2) có nghi m kép ho c vô nghi m ho c có 1 nghi m

0x =( )

0

0 0g

íï D <ïïÛ ìï =ïïî

hi Hàm ch có c c ti u khi 0a > n hĩa là c c c ti u mà kh n c c c i

Hàm s ch có c c i khi 0a < n hĩa là c c c i mà kh n c c c ti u

Lo 1

T m tr t m số m để m số n tr , oặ n ó tr

H m 3

( ) 3 2 0y ax bx cx d a= + + + ¹

H m 3 ( ) ( ) 3 2 0 *y ax bx cx d a= + + + ¹

hương pháp gi i:

(C):

2ax bx cy

ex d

+ +=

+

(C): ax b

ycx d

+=

+

T Đ x = – d/c

TCN: y = – a/c

T Đ x = – d/e


19

- Ta c ( ) 2 2' 3 2 ' 0 3 2 0 1y ax bx c y ax bx c= + + Þ = Û + + =

+ Hàm s ( )* có 2 c c tr ( )1 có hai nghi m phân bi t

( )

1

0

0

aíï ¹ïïÛ ìD >ïïïî

+ Hàm s ( )* không có c c tr ( )1 có nghi m kép ho c vô nghi m

( )

1

0

0

aíï ¹ïïÛ ìD £ïïïî

Bài 1. T m i tr tham s m hàm s c c c tr

a/ 3 23 ( 2) 3 4y x mx m x m= - + + + + b/ ( )3 21 3y x m x x= - + + -

c/ ( ) 3 22 3 5y m x x mx= + + + - d/ ( )3 233 2 1

3

my x m x x

æ - ö÷ç= - - + -÷ç ÷çè ø

e/ 3 21

(2 3) 13

y x mx m x= + + + + f/ ( ) ( )3 24 2 8 3y m x m x x= + - + + +


a/ ( ) ( )3 22 2 3y x m x m x= + - - + - b/ 3 22 ( 2) (6 3 ) 1y x m x m x m= - - + - + +

c/ ( )3 2 23( 1) (2 3 2) 1y x m x m m x m m= - - + - + - - d/ ( ) ( ) ( )3 21 2 1 2y m x m x m x m= - + + - - + +

e/ ( ) ( )3 23 9 3 2y x m x m x m= - + - - - + f/ ( )3 233 2 1

3

my x m x x

æ - ö÷ç= - - + -÷ç ÷çè ø

Bài 3. T m i tr tham s m hàm s kh n c c c tr

a/ 3 23 3 3 4y x mx mx m= - + + + b/ ( )3 21 3 2y x m x x= + - + -

c/ ( ) ( )3 24 2 8 3y m x m x x= + - + + + d/ ( )3 22 1 3 2y x m x x= - - + +

Bài 4. h n minh rằn hàm s

a/ 3 21

13

y x mx x m= - - + + lu n c c c i và c c ti u v i m i i tr m .

b/ ( ) ( )3 22 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= - + + + + lu n t c c tr t i 1 2,x x v i m i i tr m và i u th c

2 1x x- kh n ph thu c vào m .

H m 4 tr n p n

( ) 4 2 0y ax bx c a= + + ¹

H m 4 tr n p n ( ) 4 2 0y ax bx c a= + + ¹ ( )*

P n p p

Ta c ( )( ) ( )

3 2

2

0' 4 2 4 2 ' 0

4 2 0 1

xy ax bx x ax b y

ax b g x

é =ê= + = + Þ = Û ê + = =êë

Hàm s ( )* có 3 c c tr ( )1 có hai nghi m phân bi t khác 0 ( )

( )

1

0 0

0

gíï ¹ïïÛ ìD >ïïïî

hi : Hàm s có 2 c c ti u, 1 c c i khi 0a > .

Hàm s có 2 c c i, 1 c c ti u khi 0a < .

Hàm s có 1 c c tr khi và ch khi ( )1 có nghi m kép ho c vô nghi m ho c có 1 nghi m 0x =

( )

( ) ( )

10 0 . 0

00 00 0

a b

bgg

é í íD £ ï ïD < >ïê ïïÛ Û Ûì ìê ï ï ===ê ï ïîïîë

hi : Hàm s ch có c c ti u khi 0a > n hĩa là c c c ti u mà kh n c c c i

Hàm s ch có c c i khi 0a < n hĩa là c c c i mà kh n c c c ti u


20

Chú ý: H m 4 tr n p n

Luôn có ít nh t 1 cực tr .

Nếu có 3 cực tr thì 3 cực tr này luôn t o thành 1 tam giác cân t ỉnh thuộc tr c oy.


a/ ( )4 22 4 2 5y x m x m= - - + -

b/ ( )4 22 1 1y x m x= + + +

c/ ( )4 2 24 3y x m x= + - + d/ ( )4 2 29 10y mx m x= + - +


a/ ( )4 22 1 1y x m x= + + + b/ 4 2( 1) 1 2y mx m x m= + - + -

c/ 4 2 4y x mx x m= - + +

d/ ( )4 2 21 1

14 2

y x m x m m= - - + -


a/ ( )4 3 22 8 8 1y x mx m x= + + + b/ ( )4 21 2y x m x= + - +

c/ 4 22 2 1y x mx m= - + - d/ ( ) 4 22 2 1y m x mx m= - + + -

Bài 4. h n minh rằn hàm s lu n c c c i và c c ti u Dm" Î

a/ ( )3 223 4

3y x mx m x m= - + + + - b/ ( ) ( )3 2 21

2 1 3 13

y x m x m m x= - + - - - - +

c/ ( ) ( )3 22 2 3y x m x m x= + - - + - d/ ( )3 2 2 33 3 1y x mx m x m= - + - -

H m p n t ứ 2

( )ax bx c

y f xdx e

+ += =

+

H m p n t ức:

2

( )ax bx c

y f xdx e

+ += =

+

( )*

hương pháp gi i:

Ta c

( ) ( ) ( )

2

22

0. 2 .' '( ) '( ) 0

. 2 . 0 1

dx ead x ae x bc dcy f x f x

ad x ae x bc dc g xdx e

íï + ¹+ + + ïï= = Þ = Û ìï + + + = =ï+ ïî

Hàm s ( )* có 2 c c tr ( )1 có hai nghi m phân bi t khác e

xd

¹ -

( )

1

0

0

eg

d

í æ öï ÷ï ç ÷- ¹ï ç ÷ï ç ÷çÛ è øìïï D >ïïî

Hàm s ( )* không có c c tr ( )1 có nghi m kép ho c vô nghi m

( )

1

0

0

adíï ¹ïïÛ ìD £ïïïî


a/

2 2 1

1

x x my

x

- + -=

+ b/

( )2 2 1

2

mx m xy

x

- - -=

+

c/ ( )2 1 2

1

x m x my

x

- + - +=

- d/

2 2

1

x mxy

mx

+ -=

- Bài 2. T m i tr tham s m hàm s c c c tr

a/ ( )2 21 4 2

1

x m x m my

x

- + - + -=

- b/

2

1

x x my

x

- +=

+

c/

2 2

1

x mxy

x

- +=

- d/

( )2 2 1

1

x m x my

x

+ - -=

+


21

Bài 3. T m i tr tham s m hàm s kh n c c c tr

a/

2 2 3x mxy

x m

+ -=

- b/

2 5

3

x mxy

x

- + +=

- c/

( )2 21 4 2

1

x m x m my

x

- + - + -=

-

Bài 4. h n minh rằn hàm s lu n c c c i và c c ti u Dm" Î

a/ ( )2 31 1x m m x m

yx m

- + + +=

- b/

( )2 2 41 1x m m x my

x m

+ - - +=

-

c/

2 2 1

1

x x my

x

- + -=

+ d/

2 2

1

x mx my

x m

+ - +=

- +

Lo 2

T m tr t m số m để m số ó n tr t ỏ đ ều n o tr ớ

(sử ụn đ n V ét)

H m 3

( ) 3 2 0y ax bx cx d a= + + + ¹

C v t p n tr n đ n t n nố đ ểm tr ủ m

( )3 2y f x ax bx cx d= = + + +

B ớ 1: T ề ó ự à: ' 0y = ó 2 â .

ó ( )1 1,x y , ( )2 2,x y à ự

B ớc 2: Chia ( )f x cho '( )f x : ( ) ( ). '( )f x Q x f x Ax B= + +

B ớc 3: Vì ( )1 1,x y , ( )2 2,x y à ự nên: ( )( )

1 1 1 1

2 2 2 2

( ). '( )

( ). '( )

y f x Q x f x Ax B

y f x Q x f x Ax B

íï = = + +ïïìï = = + +ïïî

M t khác: 1

2

'( ) 0

'( ) 0

f x

f x

íï =ïìï =ïî

( )( )

1 1 1

2 2 2

y f x Ax B

y f x Ax B

íï = = +ïïÞ ìï = = +ïïî

c i m ( )1 1,x y , ( )2 2,x y nằm tr n ư n th n y Ax B= + là ư n th n n i hai i m c c

à ố ( )3 2y f x ax bx cx d= = + + + .

Bài 1. H vi t phư n tr nh ư n th n i qua i m c c tr c a hàm s sau

a/ 3 23 6 8y x x x= - - + b/

3 22 3 12 10y x x x= - - +

Bài 2. T m tham s m hàm s sau c c c tr H vi t phư n tr nh ư n th n i qua i m c c tr

c a hàm s sau

a/ 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m= - + - -

b/ ( ) ( )3 2 23 1 (2 3 2) 1y x m x m m x m m= - - + - + - -

Bài 3. ho hàm s : ( ) ( ) ( )3 2 2 22 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + - + - + - + T m m hàm s t c c tr t i

hai i m 1 2,x x sao cho: ( )1 2

1 2

1 1 1

2x x

x x+ = + .

Đ p số 1m = ho c 5m =

Bài 4. ho hàm s : ( ) ( )3 21 11 3 2

3 3y mx m x m x= - - + - + T m m ồ th hàm s c i m c c tr

1 2;x x ồn th i hai i m c c tr nà th a 1 22 1x x+ = .

Đ p số 2

3m = ho c 2m =


22

Bài 5. ho hàm s : ( )3 212 1 2

3y x mx m x= - + - + T m m ồ th c a hàm s c hai c c tr u ư n

Đ p số

1

1

2

m

m

íï ¹ïïïìï >ïïïî

Bài 6. T m m ồ th c a hàm s ( ) ( )3 2 2 23 1 3 7 1 1y x m x m m x m= - + + - + - + - c i m c c ti u

t i m t i m c hoành nh h n

Đ p số 1m <

Bài 7. T m m ồ th hàm s ( ) 3 23 2y x x C= - + c i m c c i và i m c c ti u c a ồ th ( )C nằm

v hai ph a kh c nhau c a m t ư n tr n ph a tron ư n tr n và ph a n oài ư n tr n

( ) 2 2 2: 2 4 5 1 0m

C x y mx my m+ - - + - = .

Đ p số 3

15

m< <

Bài 8. T mm ồ th hàm s ( ) 3 2: 2 12 13m

C y x mx x= + - - c c c i và c c ti u ồn th i c c i m

nà c ch u tr c tun Oy .

Đ p số 0m =

Bài 9. T mm ồ th hàm s 3 2 23y x x m x m= - + + c c c i và c c ti u ồn th i c c i m c c i và

c c ti u i n nhau qua ư n th n : 2 5 0x yD - - = .

Đ p số 0m =

Bài 10. T m tham s m hàm s ( ) ( )3 2 22 1 3 2 4y x m x m m x= - + + - + + c hai i m c c i và c c

ti u nằm v hai ph a so v i tr c tun

Đ p số 1 2m< <

Bài 11. ho hàm s 3 21

13

y x mx x m= - - + + T m m hàm s c c c i và c c ti u ồn th i kho n

c ch iữa hai i m là n ắn nh t

Đ p số 0m = Bài 12. T m i tr c a tham s m hàm s

a/ 3 23 7 3y x mx x= + + + c ư n th n i qua c c i m c c i c c ti u vu n c v i ư n th n

3 7y x= - .

b/ 3 2 23y x x m x m= - + + c c c i m c c i và c c ti u i n nhau qua ư n th n

1 5

2 2y x= - .

c/ ( )3 23 1 6( 2) 1y x m x m x= + - + - - c ư n th n i qua hai i m c c tr son son v i ư n

th n 4 1y x= - + .

d/ ( )3 23 1 6( 2)y x m x m x= + - + - c c c i m c c i và c c ti u c a ồ th nằm tr n ư n th n

4y x= - .

Bài 13. T m tham s m hàm s th a u c u c a ài to n

a ho hàm s ( )3 2 23 1 1y x mx m x= - - - + T m m hàm s c c c tr th a ( ) 2 2

1 2 1 22 x x x x+ = + .

ho hàm s ( )3 22 3. 2 1 6 ( 1) 1y x m x m m x= - + + + + T m m hàm s lu n t c c tr t i 1 2;x x

v i 2 1x x- kh n ph thu c vào m

c/ Cho hàm s ( ) ( )3 21 11 3 2

3 3y mx m x m x= - - + - + T m tham s m hàm s c c c tr th a

1 22 1x x+ = .

ho hàm s 3 21

13

y mx mx mx= - + - T m m hàm s c c c tr th a 1 2 8x x- ³ .


23

ho hàm s ( )2( ) 3 1y x m x x m= - - - - T m m hàm s c c c i và c c ti u th a

. 1CÐ CTx x = .

f ho hàm s ( )3 23 1 9y x m x x m= - + + - T m m hàm s c c c tr ồn th i hai hoành c c

tr th a m n 1 2 2x x- £ .

Bài 14. T m tham s m hàm s th a u c u c a bài toán.

a ho hàm s ( ) ( )3 21 13 1 2 1

3 2y mx m x m m x= - - + - T m m hàm s c c c tr th a

2

1 2 3x x= + .

ho hàm s ( )3 2 211

3 3

my mx mx m x= - + - - T m m hàm s c c c tr th a

( )2

1 1 2. 5 12x x x= - + .

c ho hàm s 3 2 22 9 12 1y x mx m x= + + + T m m hàm s c c c tr ồn th i hoành c c tr

th a 2

CÐ CTx x= .


a ho hàm s 3 2. ( 1) ( 2) 5

3

my x m x m x= + - + + + T m m hàm s c c c tr ồn th i i m

c c tr nà nằm v hai ph a so v i tr c hoành Ox .

ho hàm s ( ) 3 21

3 13

my x mx m

+= - - + - T m m hàm s c c c i và c c ti u ồn th i hai

i m nà nằm v hai ph a so v i tr c tun Oy .

c ho hàm s 3 22 1y x x mx= - + - T m m hàm s c hai i m c c tr ồn th i i m c c tr nà

nằm hai n kh c ph a nhau so v i ư n th n 3x = .


a ho hàm s ( ) ( )3 2 2 23 1 3 7 1 1y x m x m m x m= - + + - + - + - . T m m hàm s c i m c c ti u

t i m t i m c hoành nh h n

b ho hàm s ( )3 23 1 4y mx mx m x= - + + - T m m hàm s c i m c c ti u t i m t i m c

hoành m


a ho hàm s 3 2 5 1y x mx x m= - + - + T m m hàm s c c c tr và kho n c ch iữa i m c c tr

h n 2 .

ho hàm s 3 2 4y x mx= - + - T m m hàm s c c c tr là và th a

22 900

729

mAB = .

c ho hàm s 3 21

13

y x mx x m= - - + + T m m hàm s c c c i và c c ti u ồn th i kho n

c ch iữa hai i m là n ắn nh t


a ho hàm s ( )3 213 1 4 2

3y x m x x= - + - - - T m m hàm s c hai i m c c tr là sao cho

i n t ch tam i c M ằn v i M 0;

ho hàm s ( )3 211

3y x x m x m= - + - + T m m hàm s c hai i m c c tr sao cho tam i c

O vu n c n v i O là c t a

c ho hàm s 2

3 23

2

my x x= - + T m m hàm s c c c i c c ti u và t o v i –2; 3) thành tam

i c u

ho hàm s 3 2 33 4y x mx m= - + T m m hàm s c c c i và c c ti u i n nhau qua ư n

ph n i c th nh t


24

H m 4 tr n p n

( ) 4 2 0y ax bx c a= + + ¹ L ô ó 1 ự .

Nế ó 3 ự 3 ự ày ô à 1 â ỉ ộ y.

Bài 1. ho hàm s 4 23 2y x mx= - - T m tham s m hàm s c c c i t i 0;–2) và t c c ti u t i hai

i m B; C sao cho: ( )26C Bx x m m- < - .

Đ p số: 1m ³

Bài 2. ho hàm s 4 2 22 1y x m x= - + T m tham s m hàm s c c c tr ồn th i i m c c tr nà là

nh c a m t tam i c vu n c n

Đ p số: 1m = ±

Bài 3. ho hàm s 4 42 2y x mx m m= - + + T m tham s m hàm s c c c tr ồn th i i m c c tr

nà l p thành m t tam i c u

Đ p số: 33m =

Bài 4. ho hàm s 4 22 1y x mx m= - + - T m tham s m hàm s c c c tr ồn th i c c i m c c tr

c a ồ th t o thành m t tam i c c n k nh ư n tr n n o i ti p ằn

Đ p số:

1

5 1

2

m

m

é =êê

-ê=ê

ë


a ho hàm s 4 23 2y x mx= - - T m m hàm s c c c i t i 0; – và t c c ti u t i hai i m ;

C sao cho: ( )2. 2 8 10B Cx x m m> + + .

ho hàm s 4 24 1y x mx= - + T m m hàm s c c c i t i 0; và t c c ti u t i hai i m ;

sao cho: ( )22 2C Bx x m m- > - .


a ho hàm s 4 2 3y x mx= - + T m m hàm s c c c tr và i m nà l p thành tam i c u

b/ Cho hàm s 4 2 4y x mx m= - + + T m m hàm s c i m c c tr là và tam i c

nh n c t a O làm tr n t m

c ho hàm s 4 2 22 1y x m x= - + T m m hàm s c c c tr là sao cho tam i c c i n

t ch ằn

d ho hàm s 4 22 1y x mx m= - + - T m m hàm s c c c tr ồn th i c c i m c c tr

c a ồ th t o thành m t tam i c c n k nh ư n tr n n o i ti p ằn

BÀI 3

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTNN) CỦA HÀM SỐ


25

1. Đ n n ĩ : Gi s hàm s ( )y f x= c nh tr n mi nD v i D = ¡ .

( )( )

( )

,max

:o oD

f x M x DM f x

x D f x M

íï £ " Îïï= Û ìï $ Î =ïïî

và ( )( )

( )

,min

:o oD

f x m x Dm f x

x D f x m

íï ³ " Îïï= Û ìï $ Î =ïïî

2. T n ất:

a. nh ch t 1: u hàm s ( )y f x= ồn i n tr n ,a bé ùê úë û

th

( ) ( )

( ) ( )

[ , ]

[ , ]

max

min

a b

a b

f x f b

f x f a

íï =ïïïïìï =ïïïïî

b. nh ch t 2: u hàm s ( )y f x= n h ch i n tr n ,a bé ùê úë û

th

( ) ( )

( ) ( )

[ , ]

[ , ]

max

min

a b

a b

f x f a

f x f b


DẠNG 1

T M GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTNN) CỦA HÀM SỐ

DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

1 P n p p

P n p p 1: n n i n thi n t m ma – min hư n ph p nà thư n n cho ài to n t m

GT và GTNN trên m t o n ( ),a b oặ nử đo n ) (, , ,a b a bé ùê úë û

.

Bước 1: Tính ( )'f x .

Bước 2: X t u ( )'f x và l p n i n thi n

Bước 3: a vào n i n thi n k t lu n

P n p p 2: Thư n n khi t m ma – min c a hàm s li n t c tr n m t đo n ,a bé ùê úë û

.

Bước 1: Tính ( )'f x .

Bước 2: Gi i ( )' 0f x = t m ược c c n hi m ( )1,i

x i n= tr n o n ,a bé ùê úë û

n u c

Bước 3: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2, , , , ...,

nf a f b f x f x f x .

Bước 4: So s nh c c i tr v a t nh ược và k t lu n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

1 2

1 2

[ , ]

[ , ]

max max , , , , ...,

min min , , , , ...,

n

n

a b

a b

f x f a f b f x f x f x

f x f a f b f x f x f x


.

Chú ý: th n n i n thi n t m ma – min c a hàm s trên m t đo n ,a bé ùê úë û

.


Lưu ý 1 hư n tr nh ( )' 0f x = có th là phư n tr nh mũ lo arit i s lượn i c … o c n

nắm vững ki n th c v cách gi i phư n tr nh c c lo i.

Lưu ý 2: Đ i v i hàm lượng giác d ng: ( ) 1 1 1

2 2 2

sin cos

sin cos

a x b x cy

a x b x c

+ += *

+ +.

Đ t 2

2 2

2 1tan sin ; cos

2 1 1

x t tt x x

t t

æ ö -÷ç ÷= Þ = =ç ÷ç ÷ç + +è ø.


26

Tha vào( )* ta ược hàm hữu t i s n ( )2

2' ' '

at bt cf t

a t b t c

+ +=

+ +

Lưu ý 3: Khi bài toán yêu c u tìm max – min nhưn kh n n i tr n t p nào thì ta hi u t m ma – min trên

t p c nh D c a hàm s .

Lưu ý 4: Đ tìm tham s ,m n

c a hàm s ( , , )f x m n v i x là bi n s sao cho ( , , )f x m n có

max ( , , )f x m n a= và min ( , , )f x m n b= Ta làm như sau

+ Bước 1: Hàm s cho c nh và li n t c tr n mà cho ho c ta t m

- Hàm s c i tr l n nh t ằn a khi và ch khi

có nghiêm 0

( , , )

: ( , , )o o

f x m n a

x D f x m n a x

í £ïïïìï $ Î =ïïî

- Gi i t m i u ki n và k t hợp nh i hai v c a m t n th c A B

A BA B

í ³ïïï Û =ìï £ïïî

(1).

+ Bước 2: Hàm s c i tr nh nh t ằn khi và ch khi

có nghiêm 0

( , , )

: ( , , )o o

f x m n b

x D f x m n b x

í ³ïïïìï $ Î =ïïî

.

Tư n t ta ược phư n tr nh

+ Bước 3: Gi i h phư n tr nh ( )

( )

1,

2m n

íïïï Þìïïïî

c n t m

Lưu ý 5: Ta c th t m GT và GT c a hàm s ằn c ch n mi n i tr (đ ó n m)

Đặt v n đề: Tìm max – min c a hàm s ( )y f x= tr n m t mi n cho trư c

Bước 1 G i oy là m t i tr t c a ( )f x tr n th h phư n tr nh ẩn x sau c n hi m

( )

of x y

x D

í =ïïìï Îïî

Bước 2: T th o i u ki n c a h tr n mà ta c c c i u ki n tư n n Th n thư n i u

ki n sau khi i n i c n ( ) 3om y M£ £ . Vì oy là m t i tr t kỳ c a ( )f x n n t ( )3 ta suy ra

ược D

D

min ( )

max ( )

f x m

f x M

í =ïïïìï =ïïî

Lo 1

T M GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG

Bài 1. T m i tr l n nh t và i tr nh nh t n u c c a c c hàm s sau

a/ ( ) 4

, 0y x xx

= + > . b/ 2

1

1

xy

x x

-=

- +.

c/ (1

, 0;2y x xx

ù= - Î úû. d/ ( )

2

2

1 9, 0

8 1

x xy x

x

+ += >

+.

Đ p số:

a/ ( )( )

khi

0;

min 4 2f x x

+ ¥

= =

b/ khi 1

max 03x

y xÎ

= =¡

và khi 1

min 23x

y xÎ

= =¡

.


27

c/ ( )(

khi

0;2

min 0 1f x xùúû

= = .

f/ ( ) ( )

khi khi 0; 0;

2 2 1 1 3 2 1min ( ) ; max ( )

3 46 2 2 2 6 2

3

g x x f x x+ ¥ + ¥

= = = = = .

Bài 2. T m GT và GT c a c c hàm s sau

a/ 21 8y x x= + - . b/

3 44 3y x x= - . c/

2

2

1

1

x xy

x x

- +=

+ +.

d/ 24

xy

x=

+. e/

2

2

2 10 3

3 2 1

x xy

x x

+ +=

+ +. f/

2

4 2

1

1

xy

x x

-=

- +.


a/ 1

, 0y x xx

= + > . b/ 2 2

, 0y x xx

= + > . c/ 3y x x= -

d/ 2 2y x= +

e/

2

200

xy

x

+=

+

f/ 2 2 3y x x= - +

Lo 2

T M GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN

Bài 1. T m i tr l n nh t và i tr nh nh t c a c c hàm s sau

a/ ( ) 3 23 7 1y f x x x x= = - - + tr n o n 0;2é ùê úë û

b/ ( ) 4 22 4 3y f x x x= = - + + tr n o n 0;2é ùê úë û

c/ ( )3

6 24 1y x x= + - tr n o n 1;1é ù-ê úë û. d/ ( )

9y f x x

x= = + tr n o n 2;4é ù

ê úë û.

e/ ( )2

2

xy f x

x= =

+tr n o n 5; 3é ù- -ê úë û

. f/ ( )3 1

3

xy f x

x

-= =

- tr n o n 0;2é ù

ê úë û.

Đ p số:

a/

( )

( )

khi

khi

0;2

0;2

max 1 0

min 9 2

f x x

f x x

é ùê úë û

é ùê úë û

íï = =ïïïïìï = - =ïïïïî

b/

( )

( )

khi

khi

0;2

0;2

max 5 1

min 13 2

f x x

f x x

é ùê úë û

é ùê úë û

íï = =ïïïïìï = - =ïïïïî

c/

khi

khi

1;1

1;1

max 4 0

4 2min

9 3

y x

y x

é ùê úë û

é ùê úë û

-

-

íï = =ïïïïìïï = =ïïïî

d/

( )

( )

khi

khi

2;4

2;4

11max 2

2

min 6 3

f x x

f x x

é ùê úë û

é ùê úë û

íïï = =ïïïìï = =ïïïïî

e/

( )

( )

khi

khi

5; 3

5; 3

max 8 4

min 9 3

f x x

f x x

é ùê úë û

é ùê úë û

- -

- -

íï = - = -ïïïïìï = - = -ïïïïî

f/

( )

( )

= khi

= khi

0;2

0;2

1max 0 03

min 2 5 2

y f x

y f x

é ùê úë û

é ùê úë û

íï = =ïïïìï = - =ïïïî


a/ ( ) 2 3 2y f x x x= = - + tr n o n 10;10é ù-ê úë û. b/

3 23 1y x x= - + tr n o n 2;1é ù-ê úë û.

Đ p số: a/

( ) ( ) ( )

( ) ( )10;10

10;10

min 1 2 0

max 10 132

f x f f

f x f

é ùê úë û

é ùê úë û

-

-

íï = = =ïïïïìï = - =ïïïïî

b/

( )

( )

2;1

2;1

max 19

min 0

f x

g x

é ùê úë û

é ùê úë û

-

-

íï =ïïïìï =ïïïî


a/ 2 2 5y x x= - + trên 1;3é ù-ê úë û

. b/ 21 3 6 9y x x x= + + - + + trên 1;3é ù-ê úë û

.


28

c/ 22y x x= + - trên 2; 2

é ù-ê úë û

. d/ 21 2 2 2 4y x x x= + + - + + trên 1;2é ù-ê úë û

.

e/ ( ) 26 4y x x= - + trên 0;3é ùê úë û

. f/ 2

1

1

xy

x

+=

+trên 1;2é ù-ê úë û

.

Đ p số:

a/

( )

( )

khi

khi

1;3

1;3

max 2 2 1; 2

min 2 1

f x x x

f x x

é ùê úë û

é ùê úë û

-

-

íï = = - =ïïïïìï = =ïïïïî

b/

( )

( )

khi

khi

1;3

1;3

max 6 2

min 0 1

f x x

f x x

é ùê úë û

é ùê úë û

-

-

íï = =ïïïïìï = = -ïïïïî

c/

( )

( )

khi

khi

2; 2

2; 2

max 2 1

min 2 2

f x x

f x x

é ùê úê úë û


-

-

íï = =ïïïïïìï = - = -ïïïïïî

d/

( )

( )

khi

khi

1;2

1;2

3 6 3 1 6max 2.

2 2 2

min 0 1

f x x

f x x

é ùê úë û

é ùê úë û

-

-

íï + +ïï = + =ïïïìïï = = -ïïïïî

e/

khi

khi

0;3

0;3

max 3 13 3

min 12 0

y x

y x

é ùê úë û

é ùê úë û

íï = - =ïïïïìï = - =ïïïïî

f/

( )

( )

khi

khi

1;2

1;2

max 2 1

min 0 1

f x x

f x x

é ùê úë û

é ùê úë û

-

-

íï = =ïïïïìï = = -ïïïïî


a/ 24y x= - b/

24y x x= + - c/ 2 4y x x= + + -

d/ 23 10y x x= + - e/ ( ) 22 4y x x= + - f/

23 2y x x= + -

Đ p số:

a/

( )

( )

khi

khi

2;2

2;2

max 0 2

min 2 0

f x x

f x x

é ùê úë û

é ùê úë û

-

-

íï = = ±ïïïïìï = =ïïïïî

b/

( )

( )

khi

khi

2;2

2;2

max 2 2 2

min 2 2

f x x

f x x

é ùê úë û

é ùê úë û

-

-

íï = =ïïïïìï = - = -ïïïïî

c/

( )

( )

khi

khi

2;4

2;4

max 2 3 1

min 6 2; 4

f x x

f x x x

é ùê úë û

é ùê úë û

-

-

íï = =ïïïïìï = = - =ïïïïî

d/

khi

khi

10; 10

10; 10

max 10 3

min 3 10 10

y x

y x



-

-

íï = =ïïïïïìï = - = -ïïïïïî

e/

khi

khi

2;2

2;2

max 3 3 1

min 0 2

y x

y x

é ùê úë û

é ùê úë û

-

-

íï = =ïïïìï = = ±ïïïî

f/

khi

khi

1;3

1;3

max 2 1

min 0 1, 3

y x

y x x

é ùê úë û

é ùê úë û

-

-

íï = =ïïïìï = = - =ïïïî


a/ 2 4 3 0;3y x x trên é ù= - + ê úë û. b/ 2 3 2 10;10y x x trên é ù= - + -ê úë û

.

Lo 3

T M GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC


a/ sin 2y x x= - tr n o n ;2 2

p pé ùê ú-ê úë û

. b/ 2 cos2 4siny x x= + tr n o n 0;2

pé ùê úê úë û

.


29

c/ 342 sin sin 0;

3y x x trên pé ù= - ê úë û

d) 1 1

0;sin cos 2

y trênx x

pæ ö÷ç ÷= + ç ÷ç ÷çè ø

Đ p số:

a/ khi

;2 2

max2 2

y xp p

p p

é ùê úê úê úê úë û

-

= = - và khi

;2 2

min2 2

y xp p

p p


-

= - = .

b/ khi

0;2

max 2 24

y xp

p


= = và khi

0;2

min 2 0y xpé ù

ê úê úê úê úë û

= = .

c/ ( )

( )

khi

khi

0,

0,

2 2 3max ,

3 4 4

min 0 0,

f x x x

f x x x

p

p

p p

p

é ùê úë û

é ùê úë û

íïïï = = =ïïìïï = = =ïïïî


a/ 22sin 2sin 1y x x= + - . b/

2cos 2 sin cos 4y x x x= - + .

c/ 4 2cos sin 2y x x= + - . d/ sin 3sin 2y x x= +

e/ 2

sin 1

sin sin 1

xy

x x

+=

+ + f/

cos 2 sin 3

2cos sin 4

x xy

x x

+ +=

- +.

g/ 1

sin cosy

x x=

+. h/ 1 sin 1 cosy x x= + + +

Đ p số:

a/

( )

( )

D

D

khi

khi

1,1

1,1

max max 3 sin 1 22

23 1 6min min sin72 2

26

f t y t x x k

x kf t y t x

x k

pp

pp

pp

é ù =ê úë û

é ù =ê úë û

-

-

íïï = = = = Û = +ïïïï éïï êì = - +ï êï = = - = = - Û êïï êï = +ï êï ëïî

¡

¡

( ), k Î ¢ .

b/

( )

( )

khi

khi

81 1 1 1max sin 2 arcsin

16 4 2 4

7min sin 2 1

2 4 2

f x t x x k

f x t x x k

p

p p

í æ öï ÷ï ç ÷= = = - Û = - +ï ç ÷çï ÷çï è øìïïï = = = Û = +ïïî

( ), k Î ¢ .

c/

khi

khi

max 1 1; 0

5 1min

4 2

y t t

y t

íï = - = =ïïïìï = - =ïïïî

d/ khi

2 2cos arccos

5 5 3 3max3 5 5

sin arccos3 3

x x

y

x x

í íï ïï ï= =ï ïï ïï ï= Ûì ìï ïï ï= =ï ïï ïï ïî î


30

e/

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

khi

khi

1;1

1;1

max max 1 sin 0 ,

min min 0 sin 1 2 ,2

t

t

f x f t t x x k k

f x f t t x x k k

p

pp

é ùê úë û

é ùê úë û

Î -

Î -

íï = = = = Û = Îïïïïìï = = = = - Û = - + Îïïïïî

¢

¢

f/

khi

khi

max ( ) 2 2

2 4min ( )

11 3

f t t

f t t

íï = =ïïïìï = = -ïïïî

¡

¡

g/

4

1min

8max 1

y

y

íïï =ïïìïï =ïïî

h/ ( )

( )

max 4 2 2

min 1

f x

f x

íïï = +ïìï =ïïî

¡

¡

BÀI 4

TIỆM CẬN VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

C SỞ LÝ THUYẾT

I T m n ủ đồ t m số

1 Đ n n ĩ

a Đư n th n ox x= ược i là đ n t m n đứn c a ồ th hàm s ( )y f x= n u t nh t m t

tron c c i u ki n sau ược th a m n

2

3

4

1 lim ( )

lim ( )

:lim ( )

lim ( )

o

o

o

o

x x

x x

o

x x

x x

f x

f x

TCÐ x xf x

f x

+

+

-

-

®

®

®

®

é = + ¥êê

= - ¥êê

Þ =ê= + ¥ê

êê = - ¥êë

Đư n th n oy y= ược i là đ n t m n n n c a ồ th hàm s ( )y f x= n u t nh t

tron c c i u ki n sau ược th a m n

2

1 lim ( ):

lim ( )

ox

o

ox

f x yT CN y y

f x y

® + ¥

® - ¥

é =ê

Þ =êê =ë

c Đư n th n ( ) ; 0y ax b a= + ¹ ược i là đ n t m n ên c a ồ th hàm s ( )y f x= n u

t nh t m t tron c c i u ki n sau ược th a m n

( )[ ]

( )[ ]

2

1 lim ( ) 0:

lim ( ) 0

x

x

f x ax bT CX y ax b

f x ax b

® + ¥

® - ¥

üé ï- + = ïê ï Þ = +ýêïê - + = ïïë þ

T m i n

Ti m c n i n

O

U

x

y

Đi m u n

O x

I

y

O

I

x

y

Ti m c n n Ti m c n n an

y

O x


31

2. L u ý

Trư n hợp ( )

( )( )

P xy f x

Q x= = là hàm s ph n th c hữu t

+ u ( ) 0Q x = c n hi m 0x th ồ th c ti m c n n ox x= ( ox là i m t i hàm s kh n

c nh ox x= là ti m c n n

+ u c [ ]( )P x £ c [ ]( )Q x th ồ th c ti m c n n an

+ u c [ ]( )P x = c [ ]( ) 1Q x + th ồ th c ti m c n i n

+ S ti m c n n c a hàm s ph n th c ( )

( )

P xy

Q x= là s n hi m c a h

( ) 0

( ) 0

Q x

P x

í =ïïïìï ¹ïïî

+ Đồ th c ti m c n n an th kh n c ti m c n i n và n ược l i

Đ c nh c c h s ,a b tron phư n tr nh c a đ n t m n ên ta c th p n c c c n

th c

[ ]

[ ]

( )lim ; lim ( )

( )lim ; lim ( )

x x

x x

f xa b f x ax

x

f xa b f x ax

x

® + ¥ ® + ¥

® - ¥ ® - ¥

éê = = -êêê

= = -êë

u 0a = th T X tr thành T Đ

Th n thư n i v i hàm n

2ax bx cy

dx e

+ +=

+ th ta t m c n i n ằn c ch chia a th c l

ph n n u n là ti m c n i n o limx® ± ¥

ph n ư = 0

Hàm s c a và c n kh n c c c ư n ti m c n

Hàm s 2 ; ( 0)y ax bx c a= + + ¹

+ u 0a < Þ ồ th hàm s kh n c c c ư n ti m c n

+ u 0a > Þ ồ th hàm s c ti m c n i n 2

by a x khi x

a

æ ö÷ç= + ® + ¥÷ç ÷çè ø

và

2

by a x khi x

a

æ ö÷ç= - + ® - ¥÷ç ÷çè ø

.

Đồ th hàm s 2 ; ( 0)y mx n p ax bx c a= + + + + > c ti m c n là ư n th n

2

by mx n p a x

a= + + + .

II – Đ ểm uốn ủ đồ t m số

1. Đ n n ĩ : Đi m ( )( )0 0;I x f x ược i là i m u n c a ồ th hàm s ( )y f x= n u tồn t i m t kho n

( ),a b ch a i m ox sao cho tr n m t tron hai kho n ( ), oa x và ( ),ox b ti p tu n c a ồ th t i i m U nằm v

ph a tr n ồ th c n tr n i m kia ti p tu n nằm ph a ư i ồ th

2. T n ất

u hàm s ( )y f x= c o hàm c p hai tr n m t kho n ch a i m ( ); '' 0o ox f x = và ''( )f x i

u khi x i qua ox th ( )( )0 0;I x f x là m t i m u n c a ồ th hàm s

Đồ th hàm s c a ( ) 3 2( ) ; 0y f x ax bx cx d a= = + + + ¹ lu n c m t i m u n và là t m

i n c a ồ th

DẠNG 1

TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1. T m c c ti m c n c a c c hàm s sau


32

a/ 2 5

1

xy

x

-=

- b/

2

xy

x=

- c/

10 3

1 2

xy

x

+=

- d/

71y

x= -


a/

2 4 1

2 1

x xy

x

+ -=

- b/

2 6

1

x xy

x

- +=

- c/

27 4 5

2 3

x xy

x

+ +=

-

d/

3

2

2

2

xy

x x

+=

- e/

3

2 1

xy

x=

- f/

3 2

2

2

1

x xy

x

-=

+


a/ 2 3y x= + b/

1

1

xy

x

+=

- c/

2 3y x x= + +

d/ 2

y xx

= + e/

2

1

x xy

x

+=

- f/

3

1

xy

x

+=

+

g/ 2

4 2

9

xy

x

+=

- h/

2

1

4 1y

x x=

- + i/

2 5 1

2

x xy

x

+ +=

+

Bài 4. T m i tr c a tham s m ồ th c a c c hàm s sau c n hai ti m c n n

a/ ( )2 2

3

4 2 2 3 1y

x m x m=

+ + + - b/

( )

2

2

2

3 2 1 4

xy

x m x

+=

+ + +

c/ 2

3

2

xy

x x m

+=

+ + - d/

( )2 2

3

2 2 1

xy

x m x m

-=

+ + + +

Bài 5. T m m ồ th hàm s sau c ti m c n i n

a/ ( )2 3 2 2 1

5

x m x my

x

+ + + -=

+ b/

( )2 2 1 3

2

mx m x my

x

+ + + +=

+

Bài 6. T nh i n t ch c a tam i c t o i ti m c n i n c a ồ th c c hàm s sau chắn tr n hai tr c t a Oxy

a/

23 1

1

x xy

x

+ +=

- b/

23 4

2

x xy

x

- + -=

+ c/

2 7

3

x xy

x

+ -=

-

Bài 7. T m m ti m c n i n c a ồ th c c hàm s sau t o v i c c tr c t a m t tam i c c i n t ch S

ược ch ra

a/

2 1; 8

1

x mxy S

x

+ -= =

- b/

( )2 2 1 2 3; 8

1

x m x xy S

x

+ - - += =

+

Bài 8. h n minh rằn T ch c c kho n c ch t m t i m t kỳ tr n ồ th c a c c hàm s n hai ti m c n

ằn m t hằn s

a)

2 1

1

x xy

x

- +=

- b)

22 5 4

3

x xy

x

+ -=

+ c)

2 7

3

x xy

x

+ -=

-

Bài 9. Đ nh m hàm s c ti m c n n i qua ( )1; 2A - v i 1

2

mxy

x m

-=

+

Bài 10. T m m hàm s

2 1

1

mx mx my

x

- + -=

- c c c tr và kho n c ch t i m c c ti u c a ồ th hàm s

cho n ư n ti m c n i n c a n ằn 12

.

Bài 11. ho hàm s ( )2 22 4 3

1

x m x m my

mx

+ + + - +=

+ T m m kho n c ch t c t a O n ti m c n

i n ho c n an là nh nh t

Bài 12. ho hàm s ( ) ( )

( )

21 1 2 3,

2 m

m x m x my C m

x m

- + + - += " Î

-¡ .

a/ T m m c iữa hai ti m c n c a ồ th ( )mC ằn 50.

b/ T m m ồ th ( )mC c ti m c n i n cắt hai tr c t a t i sao cho Δ O c i n t ch ằn


33

DẠNG 2

ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1. T m i m u n c a ồ th c c hàm s sau

a/ 3 26 3 2y x x x= - + + b/

3 23 9 9y x x x= - - +

c/ 4 26 3y x x= - + d/

4 22 34xy x= - +

Bài 2. T m i tr c a tham s ,m n ồ th c a hàm s sau c i m u n I ược ch ra

a/ ( ) ( ) ( ) 3 2 81 3 ; 1;33 3

xy m x m x I-= + - + + - b/ ( ) 3 23 3 3 4; 1;2y x x mx m I= - + + +

c/ ( ) 3 2 1; 1,4y mx nx I= + + d/ ( ) 3 2 22; , 33y x mx nx I= - + - -

BÀI 5

KHẢO SÁT SỰ IẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

C ớ o s t s n t ên v v đồ t m số

ớ 1: T m t p c nh c a hàm s

ớ 2: X t s i n thi n c a hàm s

+ T nh 'y

+ T m c c i m t i o hàm ' 0y = ho c kh n c nh

+ T m c c i i h n ti m c n n u c

+ p n i n thi n hi r u c a o hàm chi u i n thi n c c tr c a hàm s

ớ 3: ẽ ồ th hàm s

+ T m i m u n c a ồ th i v i hàm s c a và hàm s tr n phư n

- T nh ''y

- T m c c i m t i '' 0y = và t u ''y

+ ẽ c c ư n ti m c n n u c c a ồ th .

+ X c nh m t s i m c i t c a ồ th như iao i m c a ồ th v i tr c t a tron trư n hợp ồ

th kh n cắt c c tr c t a ho c t m t a iao i m ph c t p th c th qua oài ra ta t m th m m t s

i m thu c ồ th nhằm vẽ h nh ch nh c h n

+ h n t v ồ th h ra tr c i n t m i n n u c c a ồ th

Bài 1. h o s t và vẽ ồ th c a c c hàm s c a sau

a/ 3 23 2y x x= - + - b/

32 3y x x= + - c/ 3 23 3 5y x x x= + + +

d/ 3 2 13

xy x x-= + - - e/ 3 1y x x= + + f/

32 2y x x= - - +

g/ ( ) ( )2

1 4y x x= - - h/ ( )2

3y x x= + i/ 3 23 4 2y x x x= - - - +

Bài 2. h o s t và vẽ ồ th c a c c hàm s c n sau

a/ 4 22 1y x x= - - b/

4 22 4 5y x x= - + + c/ 4 21

2 12

y x x= + -

d/ 4 2 2y x x= - - + e/ ( ) ( )

2 21 1y x x= - + f/ ( ) ( )

2 22 2y x x= - +

Bài 3. h o s t và vẽ ồ th c a c c hàm s nh t i n sau

a/ 1

2

xy

x

+=

+ b/

2 1

1

xy

x

-=

+ c/

2 1

1

xy

x

+=

- d/

2

1

xy

x=

-

Bài 4. h o s t và vẽ ồ th c a c c hàm s hữu t sau


34

a/

2 1

1

x xy

x

+ +=

+ b/

2 2

1

x xy

x

+ -=

+ c/

2 2

1

x xy

x

+ +=

- d/

11

1y x

x= - + +

+

BÀI 6

CÁC ÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

BÀI TOÁN 1

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ

D ng 1: i t phương tr nh ti p tu n của đư ng cong ( )C : ( )y f x= t i điểm ( ),o o

M x y :

hương pháp:

ớ 1 hư n tr nh ti p tu n c n :Pttt ( ) ( ) .tt o o

y k x x y= - + * v i ( )'tt o

k f x= .

ớ 2: T nh ( ) ( )' ' 'tt o

y f x k f x= Þ = .

ớ 3: Thay , ,o o tt

x y k vào ( )* Þ hư n tr nh ti p tu n c n t m

D ng 2: i t phương tr nh ti p tu n của đư ng cong ( )C : ( )y f x= i t ti p tu n đi qua điểm

( );M M

M x y cho trước:

hương pháp:

C 1:

ớ 1 G i ( )0 0;N x y là t a ti p i m c a ti p tuy n v i ồ th ( )C

Pttt c n t m i qua i m ( );M M

M x y c n ( )tt M My k x x y= - + ( )*

ớ 2

+ T nh ( )' 'y f x= ( )0'

ttk f xÞ = .

+ Vì ti p tuy n ti p xúc v i ồ th ( )C t i ( )0 0;N x y nên:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

0

0 0 0

' 1

' 2

tt

M M

k f x

f x f x x x y

íï =ïïìï = - +ïïî

ớ 3

+ Gi i phư n tr nh ( )2 tìm 0

x sau tha vào phư n tr nh ( )1 t m ược tt

k

+ Thay tt

k vào ( )* ta ược Pttt c n t m


35

C 2:

ớ 1 G i Pttt c n :Pttt y ax m= + ( )1

ớ 2: p n i u ki n ti p c ( )

( )

' '

ttC

ttC

y ya

y y

íï =ïï Þìï =ïïî

ớ 3: Do Pttt i qua M n n ta tha t a M vào ( )1 Þ m

D ng 3: i t phương tr nh ti p tu n của đư ng cong ( )C : ( )y f x= i t ti p tu n có hệ số góc tt

k cho

trước:

hương pháp:

ớ 1 G i ( )0 0;N x y là t a ti p i m c a ti p tuy n v i ồ th ( )C

Pttt c n t m t i i m ( )0 0;N x y c n ( )0 0tt

y k x x y= - + ( )*

ớ 2 T nh ( )' 'y f x= ( ) ( ) 0

' 1tt

k f xÞ = .

ớ 3

+ Gi i phư n tr nh ( )1 tìm 0

x sau tha vào ồ th ( )C t m ược 0

y .

+ Thay 0

x , 0

y vào ( )* ta ược Pttt c n t m

L u ý: i t Pttt là t m a thành ph n , ,o o tt

x y k M t s c ch t m h s c tt

k thư n p

u Pttt // ( ): 'tt o o o

y ax b k k a f x x yD

D = + Û = = = Þ Þ .

u ( )1 1

: 'tt o o o

Pttt y ax b k f x x yk a

D

^ D = + Û = - = - = Þ Þ .

u ( ) ( ) ( ), 0 'o o o o o

M x y C Oy x y f x= Ç Þ = ® ® .

u ( ) ( ) ( ), 0 'o o o o o

M x y C Ox y x f x= Ç Þ = ® ® .

u Pttt t o v i chi u ư n Ox m t c a th ( )' t antt o o o

k f x x ya= = Þ Þ

u Pttt t o v i : y ax bD = + m t c a th t an1 .

tt

tt

k a

k aa

-=

+ o ox yÞ Þ .

Bài 1. i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t đ ểm ược ch ra

a/ ( ) 3 2: 3 7 1C y x x= - - + t i i m ( )0;1A . b/ ( ) 4 2: 2 1C y x x= - + t i i m ( )1;0B .

c/ ( )3 4

:2 1

xC y

x

+=

- t i i m ( )1;7C . d/ ( )

2: 1

2 1C y x

x= + -

- t i i m ( )0;3D .

Bài 2. i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t đ ểm ược ch ra

a/ ( )( )3 2

:1

xC y

x

-=

- t i i m A c tun ằn 4 .

b/ ( )1

:2

xC y

x

+=

-t i c c iao i m c a ( )C v i tr c hoành tr c tun

c/ ( ) 3: 3 1C y x x= - + t i i m u n c a ồ th ( )C .

d/ ( ) 4 21 9: 2

4 4C y x x= - -

t i c c iao i m c a ( )C v i tr c hoành


36

e/ ( )2 3 3

:2

x xC y

x

- +=

- t i i m B c hoàn là 4 .

f/ ( ) 2: 2 2 1C y x x= - + t i c c iao i m c a ( )C v i tr c hoành tr c tun

Bài 3. i t phư n tr nh ti p tu nD c a ( )C i t rằn D ó số ó k ược ch ra

a/ ( ) 3 2: 2 2 5 ; 12C y x x k= - + = b/ ( ) 2 1

: ; 32

xC y k

x

-= = -

-

c/ ( ) 2 3 4

: ; 11

x xC y k

x

- += = -

- d/ ( ) 2: 4 3 ; 2C y x x k= - + =

Bài 4. i t phư n tr nh ti p tu nD c a ( )C i t rằn D song song v i ư n th n d cho trư c

a/ ( ) 3

2: 2 3 1 & : 3 23

xC y x x d y x= - + + = + .

b/ ( ) 2 1 3

: & : 22 4

xC y d y x

x

-= = - +

-.

c/ ( ) 4 21 3: 3 & : 4 2015 0

2 2C y x x d x y= - + + - = .

d/ ( ) 2 2 3

: & : 2 2016 04 6

x xC y d x y

x

- -= + - =

+.

Bài 5. i t phư n tr nh ti p tu nD c a ( )C i t rằn D vu n ó v i ư n th n d cho trư c

a/ ( ) 3

2: 2 3 1 & : 8 999 03

xC y x x d x y= - + + + - = .

b/ ( ) 2 1

: &2

xC y

x

-=

- ư n th n d là ư n ph n i c c ph n tư th nh t c a h tr c O .

c/ ( ) 2 3

: & : 3 20151

xC y d y x

x

+= = - +

+.

d/ ( ) 2 1

: & : 22

x xC y d y x

x

+ -= = -

+.

Bài 6. i t phư n tr nh ti p tu n c a( )C t o đ ểm c a( )C v i c c ư n ược ch ra

a/ ( ) 3 2: 2 3 9 4 & : 7 4C y x x x d y x= - + - = + .

b/ ( ) 3 2 2: 2 3 9 4 & : 8 3C y x x x d y x x= - + - = - + - .

c/ ( ) ( ) 3 2 3 2: 2 3 9 4 & ' : 4 6 7C y x x x C y x x x= - + - = - + - .

Bài 7. i t phư n tr nh ti p tu nD c a ( )C i t D đ qu đ ểm ược ch ra

a/ ( ) ( ) 3: 3 2 ; 2;4C y x x A= - + - b/ ( ) ( ) 3: 3 1 ; 1; 6C y x x B= - + -

c/ ( ) ( ) ( ) 2

2: 2 ; 0;4C y x C= - d/ ( ) 4 21 3 3: 3 ; 0;

2 2 2C y x x D

æ ö÷ç ÷= - + ç ÷ç ÷çè ø

e/ ( ) ( ) 2

: ; 6;52

xC y E

x

+= -

- f/ ( ) ( )

3 4: ; 2;3

1

xC y F

x

+=

-

g/ ( ) ( ) 2 3 3

: ; 1;02

x xC y G

x

- +=

- h/ ( ) ( )

2 2: ; 2;2

1

x xC y H

x

- +=

-

Bài 8. i t phư n tr nh ti p tu nD c a ( )C i t D t o vớ ều n trụ o n Ox m t ó a :


37

a/ ( ) 3

2: 2 4 ; 603

oxC y x x a= - + - = . b/ ( )

32: 2 4 ; 75

3

oxC y x x a= - + - = .

c/ ( ) 3 2

: ; 451

oxC y

xa

-= =

-

Bài 9. i t phư n tr nh ti p tu nD c a ( )C i t D t o vớ đ n t n d m t ó a :

a/ ( ) 3

2: 2 4 & : 3 7 ; 453

oxC y x x d y x a= - + - = + = .

b/ ( ) 3

2 1: 2 4 & : 3 ; 30

3 2

oxC y x x d y x a= - + - = - + = .

c/ ( ) 4 3

: & : 3 ; 451

oxC y d y x

xa

-= = =

-.

d/ ( ) 3 7

: & : 0 ; 605 2

oxC y d x y

xa

-= + = =

-.

e/ ( ) 2 3

: & : 1 ; 602

ox xC y d y x

xa

- += = - + =

-.

Bài 10. T nh i n t ch tam i c chắn hai tr c t a i ti p tu n c a ồ th ( )C t i i m ược ch ra

a/ ( )5 11

:2 3

xC y

x

+=

- t i i m A c hoành là 2

Ax = .

b/ ( ) 2: 27 26C y x x= - + t i i m B c 2B

x = .

Bài 11. T m m ti p tu n c a ồ th ( )C t i i m ược ch ra chắn hai tr c t a m t tam i c c i n t ch

S cho trư c

a/ ( )2

:1

x mC y

x

+=

- t i i m A c 2

Ax = và

1

2S = .

b/ ( )3

:2

x mC y

x

-=

+ t i i m B c 1

Bx = - và

9

2S = .

c/ ( ) ( )3: 1 1C x m x+ - + t i i m C c 0C

x = và 8S = .

BÀI TOÁN 2

IỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯ NG TR NH ẰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Bài 1. ho hàm s 3 23 1y x x= + + ( )C

a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .

n ồ th i n lu n s n hi m c a phư n tr nh 3 23 0x x m+ + = .

Bài 2. ho hàm s 3 3y x x= - + ( )C


i i tr nào c a m th phư n tr nh 3

2

23 0

1

mx x

m- + =

+ c n hi m th c ph n i t

Bài 3. ho hàm s ( ) 3 3 1y x x C= - +


a vào ồ th ( )C i n lu n s n hi m c a phư n tr nh 3 23 2 2 0x x m m- - - - =

Bài 4. ho hàm s 3 21 3

54 2

y x x= - +


38

a h o s t và vẽ ồ th c a hàm s cho

T m m phư n tr nh 3 26 0x x m- + = c n hi m th c ph n i t

Bài 5. ho hàm s 3 23 2y x x= + - ( )C


S n ồ th i n lu n th o tham s m s n hi m c a phư n tr nh 3( 1) 3 3 0x m x+ - + - = .

Bài 6. ho hàm s ( ) 4 28 10y x x C= - +

a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s

a vào i n lu n th o m s n hi m c a phư n tr nh 4 8 0x x m- - = .

c i t phư n tr nh ư n th n i qua hai i m c c ti u c a

Bài 7. ho hàm s 3 21 9

33 2

y x x x= + - +

a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th c a hàm s

T m k phư n tr nh 3 22 6 18 0x x x k+ - - = c n hi m ph n i t

c i t phư n tr nh ti p tu n c a i t ti p tu n vu n c v i ư n th n 1

25

y x= - + .

Bài 8. ho hàm s ( ) 3 21 2

3 3y x x C= - +


a vào ( )C i n lu n th o m s n hi m c a phư n tr nh 3 23 0x x m- + = .

c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C i t ti p tu n c h s c ằng 3.

Bài 9. ho hàm s ( ) 3 212 3 1

3y x x x C= - + - +


a vào ( )C i n lu n th o m s n hi m c a phư n tr nh 3 26 9 0x x x m- + + = .

c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c tun

Bài 10. ho hàm s ( ) 3 2 7

23 2 3

x xy x C= - - + +


T m m phư n tr nh 3 22 3 12 0x x x m+ - + = c n m t n hi m

c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C i t ti p tu n son son v i ư n th n : 4 1 0x yD + - =

Bài 11. ho hàm s ( ) 3 2( ) 2 9 12 4y f x x x x C= = - + -


T m m phư n tr nh 3 22 9 12x x x m- + = c n m t n hi m ư n

c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i i m là n hi m c a phư n tr nh ''( ) 0f x = .

Bài 12. ho hàm s ( ) 32 6 1y x x C= - +


a vào ( )C i n lu n th o m s iao i m c a ( )C và ư n th n :2

md y = .

c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i i m c hoành ằn 3- .

Bài 13. ho hàm s ( ) 3 22 3 1y x x C= - +


T m m phư n tr nh 3 22 3 0x x m- - = c a n hi m ph n i t

c X c nh t a c c iao i m c a ( )C và ư n th n 2 1y x= + .


39

Bài 14. ho hàm s ( ) ( ) 4

22 12

xy x C= - -


a vào i n lu n th o m s n hi m c a phư n tr nh 4 24 0x x m- - = .

c i t phư n tr nh ti p tu n c a t i i m ( ) ( );2A a CÎ v i 0a > .

Bài 15. ho hàm s ( ) 4 21 92

4 4y x x C= - + +


a vào ( )C t m m phư n tr nh 4 28 0x x m- + = c n n hi m th c ph n i t

c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i iao i m c a ( )C và tr c hoành

Bài 16. ho hàm s ( ) 4 2 2y x x C= + -


T m m phư n tr nh 4 2 0x x m+ + = c hai n hi m th c ph n i t

c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C i t ti p tu n vu n c v i ư n th n 6 1 0x y+ - = .

Bài 17. ho hàm s ( ) 4 22 4y x x C= -


T m m phư n tr nh 4 22 0x x m- + = c a n hi m ph n i t

c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c hoành i t iao i m c hoành

là m t s m

Bài 18. ho hàm s ( ) 4

22 14

xy x C= - + -


a vào ( )C t m m phư n tr nh 4 28 0x x m- + = v n hi m

c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i i m c hoành 2x = - .

Bài 19. ho hàm s ( ) 4 24 1y x x C= - +


T m m phư n tr nh 4 24 0x x m- + = c n hi m th c ph n i t

c X c nh t a c c iao i m c a ( )C và ư n th n 1y = i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i

c c iao i m

Bài 20. ho hàm s ( ) 3 2

2 1

xy C

x

+=

-


i n lu n th o m s n hi m c a phư n tr nh 3 2

12 1

xm

x

+= +

-.

c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c hoành

T m c c i m tr n ( )C c ch u hai tr c t a

BÀI TOÁN 3

GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ

Cho ( ) ( ) 1 2: ( ), : ( )C y f x C y g x= =

hư n tr nh hoành iao i m c a ( )1C và ( )2C là ( ) ( ) ( )f x g x= *


40

Đ ( )1C cắt ( )2C t i n i m ph n i t Û phư n tr nh hoành iao i m phư n tr nh( )* ] c n

n hi m ph n i t

Lưu ý 1: u m t tron hai ồ th tr n c n hữu t và c TXĐ { }\D a= ¡ hi ( )1C cắt ( )2C t i

n i m ph n i t Û phư n tr nh hoành iao i m phư n tr nh( )* ] c n n hi m ph n i t a¹ .

Lưu ý 2: Đ nh l i t i v i phư n tr nh c a ( )3 2 0, 0ax bx cx d a+ + + = ¹

u phư n tr nh c a n ( )3 2 0, 0ax bx cx d a+ + + = ¹ c a n hi m ph n i t 1 2 3, ,x x x th :

( ) ( )

1 2 3

22 2 2

1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1

1 2 3

2

bx x x

ac

x x x x x x x x x x x x x x x x x xa

dx x x

a

íïï + + = -ïïïïïï + + = Þ + + = + + - + +ìïïïïï = -ïïïî

Lưu ý 3: X m l i ph n Ôn t p phư n tr nh i s

Lưu ý 4: T m tham s ồ th hàm s c a n ( ) ( ) 3 2y f x ax bx cx d C= = + + + cắt tr c hoành Ox

t i n i m ph n i t (P n p p tr )

c phư n tr nh hoành iao i m ( ) 3 2 0ax bx cx d+ + + = *

Đ ( )C cắt Ox t i i m ph n i t ( )Û * c n hi m ph n i t ( )

. 0CÐ CT

y f x

y y

íï =ïïÛ ìï <ïïî

Đ ( )C cắt Ox t i i m ph n i t ( )Û * c n hi m ph n i t ( )

. 0CÐ CT

y f x

y y

íï =ïïÛ ìï =ïïî

l c nà ồ th ( )C ti p c v i tr c hoành Ox )

Đ ( )C cắt Ox t i i m u nh t ( )Û * ch c n hi m

( )( )

. 0CÐ CT

y f x

y f x

y y

é =êêíïÛ =êïïêìï >êïïîë

Đ ( )C cắt Ox t i i m ph n i t c hoành ư n ( )Û * c n hi m ư n ph n i t:

( )

( ) ( )

. 0

0, 0

. 0 0 . 0

CÐ CT

CÐ CT

y f x

y y

x x

a f hay a d

íï =ïïï <ïïÛ ìï > >ïïï < <ïïî

Đ ( )C cắt Ox t i i m ph n i t c hoành m ( )Û * c n hi m m ph n i t:

( )

( ) ( )

. 0

0, 0

. 0 0 . 0

CÐ CT

CÐ CT

y f x

y y

x x

a f hay a d

íï =ïïï <ïïÛ ìï < <ïïï > >ïïî

H c sinh t vẽ h nh

c c c tr

c c c tr

c c c tr

kh n c c c tr

c c c tr .

c c c tr


41

Lưu ý 5: T m tham s ồ th hàm s c n tr n phư n ( ) 4 2y ax bx c C= + + cắt tr c hoành Ox t i

i m ph n i t l p thành c p s c n c ch u nhau

hư n tr nh hoành iao i m ( ) 4 2 0 1ax bx c+ + =

Đ t 2 0t x= ³ c ( ) ( ) 21 0 2at bt cÛ + + =

Đ ( )C cắt tr c hoành Ox t i i m ph n i t ( )1Û c n hi m ph n i t ( )2Û c hai n hi m

ph n i t ư n 1 2

0

0 0

0

t t S

P

íïD >ïïïÛ < < Û >ìïï >ïïî

Þ tham s ( )3

G i 1 2,t t là hai n hi m ph n i t c a ( )2 c n hi m ph n i t c a ( )1 là

2 1 1 2, , ,t t t t- -

n n sắp p th o th t t n l n

o n hi m nà l p thành c p s c n ha c ch u 1 2 1 1 2

2 9t t t t tÛ - + = Û = t hợp

nh l i t ta t m ược tham s So v i ( )3 Þ i tr tham s th a u c u ài to n

HÀM SỐ ẬC 3

( ) 3 2y f x ax bx cx d= = + + +

Bài 1. ho hàm s ( ) 3 3 2y x x C= - +


G i d là ư n th n i qua i m ( )3,20A và c h s c m T m m ư n th n d cắt ( )C t i a

i m ph n i t

ĐS: 15

4m > và 24m ¹

Bài 2. ho hàm s ( ) 3 26 9 1y x x x C= - + -


G i d là ư n th n i qua i m ( )2,1A và c h s c m T m tham s m ư n th n d cắt ồ th

( )C t i a i m ph n i t

ĐS: 3m > -

Bài 3. ho hàm s ( ) 3 23 4y x x C= - +


h n minh rằn m i ư n th n i qua i m ( )1,2I v i h s c ( ) 3k k > - u cắt ồ th hàm s

( )C t i a i m ph n i t I ồn th i I là trun i m c a o n th n

Bài 4. ho hàm s ( ) ( ) 3 22 1 1y x x m x m= - + - + Tr ch thi ĐH kh i – 2010)


T m m ồ th hàm s ( )1 cắt tr c hoành t i i m ph n i t c hoành 1 2 3, ,x x x th a m n i u ki n

2 2 2

1 2 3 4x x x+ + < .

ĐS: 1

1 04

m m- < < Ü ¹

Bài 5. Cho ( ) 3 21 2:

3 3mC y x mx x m= - - + + T m m ( )mC cắt tr c hoành t i a i m ph n i t c

hoành 1 2 3, ,x x x và th a m n i u ki n 2 2 2

1 2 3 15x x x+ + >


42

ĐS: 1m >

Bài 6. ho hàm s ( )3 22 3 1 2y x mx m x= + + - + c ồ th là ( )mC i m ( )3,1M ư n th n d c

phư n tr nh 2 0x y+ - = T m c c i tr c a m ư n th n d cắt ( )mC t i i m ( )0, 2 , ,A B C sao cho

tam i c M c i n t ch ằn 2 6

ĐS: 2 5m m= - Ú =

Bài 7. Tìm m ồ th hàm s ( )3 23 2 2y x x m x m= + + + + cắt tr c hoành t i i m ph n i t c hoành

m

ĐS: 1

04

m< <

Bài 8. Tìm m ồ th hàm s ( ) ( ) ( )3 2 21 2 3 2 2 2 1y x m x m m x m m= - + - - + + - cắt tr c hoành t i

i m ph n i t tron c hai i m c hoành m

ĐS: 1 1

02 3

m m< < Ü ¹

Bài 9. ho hàm s ( ) 3 23y x x C= -

a h o s t và vẽ ồ th hàm s

G i d là ư n th n qua ( )1; 2A - và c h s c là m i n lu n th o m v tr tư n i iữa ư n

th n d và ồ th ( )C .

Bài 10. ho hàm s 3 2 23( 1) 2( 4 1) 4 ( 1)y x m x m m x m m= - + + + + - + ( )

mC . Đ nh i tr c a m

hàm s cắtOx t i i m ph n i t c hoành u l n h n

Bài 11. ho hàm s 3 2 2 33 3( 1) 1y x mx m x m= - + - - -

a h o s t và vẽ ồ th hàm s khi 1m = .

T m m cắtOx t i i m ph n i t

Bài 12. ho hàm s 3 23 2y x x= - +


Đ nh m ( 1) 2y m x= + - cắt ồ th t i i m sao cho = 2 2 v i ( )1; 2A - -


(3 2)3

my x mx m x

-= + + -

( )

mC

a h o s t khi 2m = .

T m m ồ th ( )m

C cắtOx t i i m ph n i t

Bài 14. ho hàm s

3

33

xy x= - + ( )C và ư n th n : ( 3)d y m x= -

a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C .

T m m ( )C và d c iao i m v i c nh và OA OC^ , 42BC =

Bài 15. ho hàm s 3 23 2 4 4y x x mx m= - + + - ( )

mC


T mm ( )m

C cắtOx t i i m ph n i t c hoành u l n h n 2- .

c T mm ( )m

C cắtOx t i i m ph n i t c hoành c ch u nhau

T mm ( )m

C cắt 2y mx= + t i i m c ch u nhau

Bài 16. T m tham s m ồ th c a c c hàm s

a/ 3 23 6 8y x mx mx= - + - cắt tr c hoành t i i m ph n i t c hoành l p thành c p s c n


43

b/ 3 23 9 1 ; 4y x x x y x m= - - + = + cắt nhau t i i m v i là trun i m c a

c/ ( )4 2 22 4y x m x m= - + + cắt tr c hoành t i i m ph n i t c hoành l p thành c p s c n

d/ ( ) ( )3 21 1 2 1y x m x m x m= - + - - + - cắt tr c hoành t i i m ph n i t c hoành l p thành

c p s nh n

e/ ( )3 23 2 1 9 192y x m x mx= + + + + cắt tr c hoành t i i m ph n i t l p thành c p s nh n

Bài 17. T m tham s m c c phư n tr nh sau ch c n n hi m

a/ ( )3 22 3 1 6 2 0x m x mx- + + - = b/ ( )3 23 3 1 1 3 0x x m x m- + - + + =

c/ ( )3 22 3 6 1 3 12 0x mx m x m- + - - + = d/ ( )3 26 3 4 4 8 0x x m x m- - - + - =

e/ ( ) ( )3 22 3 1 6 2 2 0x m x m x m+ - + - + - = f/ 3 3 2 0x mx m- + =

Bài 18. T m tham s m c c phư n tr nh sau ch c n hi m

a/ ( ) ( ) ( )3 2 21 2 3 2 2 2 1 0x m x m m x m m- + - - + + - = b/ 3 3 2 0x mx m- + =

c/ ( ) ( ) ( )3 22 1 3 1 1 0x m x m x m- + + + - + = d/ ( )3 23 3 1 1 3 0x x m x m- + - + + =

Bài 19. T m tham s m phư n tr nh sau c n hi m ph n i t

a/ ( ) ( )3 2 2 23 3 1 1 0x mx m x m- + - - - = b/ ( )3 26 3 4 4 8 0x x m x x- - - + - =

c/ ( ) ( )3 22 3 1 6 1 2 0x m x m x m+ - + - + - = d/ 31

03

x x m- + =

Bài 20. T m tham s m c c phư n tr nh sau c n hi m ư n ph n i t

a/ ( ) ( )3 2 2 22 3 3 1 1 0x mx m x m- + - - - = b/ ( )3 26 3 4 4 8 0x x m x m- - - + - =

c/ 3 21 5 7

4 03 2 6

x x x m- + + + = d/ ( )3 2 2 1 2 0x mx m x m- + + - - =

Bài 21. T m tham s m c c phư n tr nh sau c n hi m m ph n i t

a/ ( ) ( )3 22 3 1 6 2 2 0x m x m x m+ - + - + - = b/ ( ) ( )3 2 2 23 3 1 1 0x mx m x m- + - - - =

c/ 3 23 9 0x x x m+ - + = d/

3 2 18 2 0x x mx m- + - =

HÀM SỐ TRÙNG PHƯ NG

( ) 4 2y f x ax bx c= = + +

Bài 1. ho hàm s ( )4 23 2 3y x m x m= - + + c ồ th là ( )mC

a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s khi 1m = .

b/ Tìm m ư n th n 1y = - cắt ( )mC t i i m ph n i t u c hoành nh h n

ĐS: 1

1, 03

m m- < < ¹

Bài 2. ho ồ th hàm s ( ) ( ) 4 2 22 2 5 5 1y x m x m m= + - + - +

a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C khi 1m =

T m tham s m ồ th hàm s ( )1 cắt tr c hoành t i i m ph n i t

ĐS: 5 5

12

m-

< <

Bài 3. ho ồ th hàm s ( ) ( ) 4 21 3 1y x m x= + - -

a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )1 khi 1m = -


44

T m tham s m ư n th ng 4y = - cắt ồ th hàm s ( )1 t i i m ph n i t

Bài 4. ho hàm s 4 22 2 1y x mx m= - + - + ( )

mC

a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C khi 5m = .

Đ nh m hàm s ( )m

C c c c tr

c Đ nh m ( )m

C cắt tr c hoành t i i m ph n i t

Bài 5. ho hàm s 4 22( 1) 2y x m x m= - + + ( )

mC


Đ nh m ( )m


c Đ nh m ( )m

C cắt ư n th n 2y = t i i m ph n i t

Bài 6. ho hàm s 4 22 1 4y mx x m= - + - ( )

mC

a h o s t và vẽ ồ th hàm s khi 1

2m = .

b/ Đ nh m hàm s ( )m

C c c c tr

c Đ nh m ( )m

C cắt ư n th n 3y = - t i i m ph n i t

Bài 7. ho hàm s 4 22( 1) 4y x m x= + + + ( )

mC


Đ nhm ( )m

C cắt Ox t i i m ph n i t mà c hoành l p thành c p s c n i m c ch u

c Đ nhm ( )m

C cắt Ox t i i m ph n i t mà c hoành u l n h n 2- .

Bài 8. ho hàm s 4 22 2 1y x mx m= - + - + ( )

mC

a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C khi 1m =

i n lu n th o m s c c tr c a hàm s

c Đ nh m ( )m

C cắtOx t i i m ph n i t mà c hoành l p thành c p s c n

Bài 9. ho hàm s 4 210 9y x mx m= - + ( )

mC


T m m ( )m

C cắt Ox t i i m ph n i t c hoành c ch u nhau

Bài 10. ho hàm s 4 22 2 1y x mx m= - + - ( )

mC

a h o s t khi và vẽ ồ th hàm s khi 1m = .

T m m ( )m

C c i m c c tr l p thành tam i c vu n c n

c T m m ( )m

C cắt Ox t i i m c ch u nhau

HÀM SỐ NHẤT IẾN

( )ax b

y f xcx d

+= =

+


xy C

x=

-



45

T m m ư n th n :d y x m= - + cắt ồ th ( )C t i hai i m ph n i t

ĐS: ( ) ( ) / , 0 4,b m Î - ¥ È + ¥

Bài 2. ho hàm s ( ) 3 2

1

xy C

x

-=

-


T m m sao cho tr n ồ th ( )C c hai i m ( ) ( ), , ,A A B BA x y B x y kh c nhau và th a i u ki n

2

2

A A

B B

mx y

mx y

í - = -ïïìï - = -ïî

ĐS: ( ) ( ) { }, 6 2 5 6 2 5, \ 0m Î - ¥ - - È - + + ¥


1

xy C

x

+=

+


G i d là ư n th n i qua i m ( )1, 3M - và c h s c m T m m d cắt ( )C t i hai i m ph n

i t

Bài 4. T m m ư n th n 3y mx= + cắt ( )2 1

:1

xC y

x

+=

- t i hai i m ph n i t sao cho tam i c

vu n t i O

ĐS: 3 5m = ±


1

xy

x

-=

+ c ồ th ( )C G i D là ư n th n i qua i m ( )2, 0I và c h s c m

T m tham s m D cắt ( )C t i i m ph n i t sao cho I là trun i m c a o n th n

ĐS: 2

3m =

Bài 6. h n minh rằn ư n th n 1

:2

d y x m= - lu n cắt ồ th hàm s ( )3

:2

xC y

x

+=

+ t i hai i m

ph n i t T m tham s m n ắn nh t

ĐS: min 10 2AB khi m= = -

Bài 7. ho hàm s ( ) 2 1

1

xy C

x

+=

+


T m tham s m ư n th n 2y x m= - + cắt ồ th ( )C t i hai i m ph n i t sao cho tam

i c O c i n t ch ằn 3 v i O là c t a

ĐS: 2m = ±


1

xy

x

+=

+ ( )C


G i d là ư n th n qua ( )2;2A c h s c là k Đ nh k d cắt ( )C t i i m ph n i t


2

xy C

x

-=


T m m ư n th n 1 1

:2 2

d y m xæ ö

÷ç ÷= - -ç ÷ç ÷çè ø cắt ( )C t i i m ph n i t


46


11

y Cx

= -+


T m m ư n th n :d y x m= - cắt ( )C t i i m ph n i t

Bài 11. ho hàm s 3

21

yx

= -+

( )C


M ư n th n :2

xd y m= - + lu n cắt ( )C t i i m ph n i t

Bài 12. ho hàm s 3 23 9 2y x x x= - + + + ( )C


G i A là i m tr n ( )C c 2A

x = và d là ư n th n qua A c h s c k T mk cắt ( )C t i

i m ph n i t

Bài 13. ho hàm s

32 4

3

xy x= - - + ( )C


Đ nh m : 4 3 0d mx y m- + + = cắt ( )C t i i m ph n i t

Bài 14. ho hàm s 3 1y x mx m= - + + - ( )

mC


Đ nh m ( )m


Bài 15. ho hàm s 3 22 3 2y x x mx m= + - + -


Đ nh m ( )m


Bài 16. ho hàm s ( )3 24 4y x m x x m= - + - + ( )C


Đ nh k ( )C cắt ư n th n y kx= t i i m ph n i t


1

xy

x

+=

+


b/ CMR 2y x m= + lu n cắt( )C t i i m ph n i t M và

c T m m min

MN


2

xy

x

+=

- ( )C

a/ CMR d : y x m= + lu n cắt( )C t i i m và thu c nh nh kh c nhau c a ồ th

T mm OPQD vu n t i O

c/ T mm min

PQ

T mm 14PQ =

HÀM SỐ HỮU TỈ ẬC 2


47

( )2ax bx c

y f xdx e

+ += =

+

Bài 1. T m c c i tr c a tham s m ư n th n y x m= - + cắt ồ th hàm s

2 1xy

x

-= t i hai i m

ph n i t sao cho =

ĐS: 2 6m = ±

Bài 2. T m m ư n th n :d y m= cắt ( )( )

2 3 3:

2 1

x xC y

x

- + -=

- t i hai i m sao cho =

ĐS: 1 5

2m

±=

Bài 3. T m tham s m ồ th hàm s ( )2

:1

m

mx x mC y

x

+ +=

- cắt tr c hoành t i hai i m ph n i t và hai

i m c hoành ư n

ĐS: 1

02

m- < <

Bài 4. T m tham s m ư n th n 2y x m= - + cắt ồ th hàm s

2 1x xy

x

+ -= t i hai i m ph n i t

sao cho trun i m c a o n th n thu c tr c tun

ĐS: 1m =

Bài 5. h n minh rằn ư n th n : 3d y x m= + lu n cắt ồ th hàm s ( )4

:C y xx

= + t i hai i m

ph n i t G i I là trun i m c a o n th n t m tham s m I nằm tr n ư n th n

' : 2 3d y x= + .

ĐS: 4m =

Bài 6. ho hàm s

2 1

1

x mxy

x

+ -=

- ( )

mC


T m m ( ) :d y m= cắt ( )m

C t i i m sao cho OA OB^ .

c T m m ( ) : 2 1y xD = - cắt ( )m

C t i i m thu c nh nh kh c nhau c a ồ th

T m m ( ) : 2 1y xD = - cắt ( )m

C t i i m thu c c n m t nh nh c a ồ th

BÀI TOÁN 4

CÁC ÀI TOÁN KHÁC LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ

T m đ ều n để đ n t p n u

a) Đi u ki n c n và hai ư n ( ) ( )1:C y f x= và( ) ( )2

:C y g x= ti p c nhau là h phư n tr nh

( ) ( )( ) ( )

( ) ' '

f x g x

f x g x

íï =ïï *ìï =ïïî

c n hi m hi m c a h ( )* là hoành c a ti p i m c a hai ư n

b) u ( )1:C y px q= + và( ) 2

2:C y ax bx c= + + th ( )1

C ti p c v i ( )2C Û phư n tr nh

2ax bx c px q+ + = + c n hi m k p

Bài 1. T m i u ki n c a tham s m hai ư n ( )1C và( )2

C ti p c nhau

a/ ( ) ( ) ( ) 3 2

1 2: 3 2 & :C y x m x mx C= + + + + tr c hoành


48

b/ ( ) ( ) ( ) 3 2

1 2: 2 1 & :C y x x m x m C= - - - + tr c hoành.

c/ ( ) ( ) ( ) 3

1 2: 1 1 & : 1C y x m x C y x= + + + = + .

d/ ( ) ( ) 3 2

1 2: 2 2 1 & :C y x x x C y x m= + + - = + .

Bài 2. T m i u ki n c a tham s m hai ư n ( )1C và( )2

C ti p c nhau

a/ ( ) ( ) 4 2 2

1 2: 2 1 & : 2C y x x C y mx m= + + = +

b/ ( ) ( ) 4 2 2

1 2: 1 & :C y x x C y x m= - + - = - +

c/ ( ) ( ) 4 2 2

1 2

1 9: 2 & :

4 4C y x x C y x m= - + + = - +

d/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

2

1 2: 1 1 & : 2C y x x C y x m= + - = +

e/ ( )( )

( )

2

1 2

2 1: & :

1

m x mC y C y x

x

- -= =

-

f/ ( ) ( ) 2

2

1 2

1: & :

1

x xC y C y x m

x

- += = +

-

L p p n tr n t p tu n un ủ đồ t ( ) ( )1:C y f x= v ( ) ( )2

:C y g x=

a/ G i : y ax bD = + là ti p tu n chun c a ( )1C và( )2

C v i u là hoành ti p i m c a D và( )1C , v là

hoành ti p i m c aD và( )2C .

+ D ti p c v i ( )1C và ( )2

C khi và ch khi h

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1

' 2

3

' 4

f u au b

f u a

g v av b

g v a

íï = +ïïïï =ïìï = +ïïï =ïïî

c n hi m

+ T ( )2 và( )4 Þ ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 5f u g v u h v= Þ =

+ Th a t ( )2 vào( )1 ( ) ( ) 6b uj=

+ Th ( ) ( ) ( )2 , 5 , 6 vào( )3 v a u bÞ Þ Þ Þ T vi t ược phư n tr nhD .

b/ u ( )1C và ( )2

C ti p c nhau t i i m c hoành o

x th m t ti p chun c a ( )1C và ( )2

C cũn là ti p

tu n c a( )1C và ( )2

C t i i m

Bài 3. H vi t phư n tr nh ti p tu n chun c a hai ồ th

a/ ( ) ( ) 2 2

1 2: 5 6 & : 5 11C y x x C y x x= - + = - + -

b/ ( ) ( ) 2 2

1 2: 5 6 & : 14C y x x C y x x= - + = - - -

c/ ( ) ( ) 2 3

1 2: 5 6 & : 3 10C y x x C y x x= - + = + -

ÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯ NG 1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Bài 1. ho hàm s 1

2

mxy

x m

-=

+

a h n minh rằng m" Î ¡ hàm s lu n lu n ồn i n tr n m i kho n c nh c a n


49

Đ nhm ư n ti m c n n c a ồ th i qua i m ( )1; 2A -

c Đ nhm ư n ti m c n n an c a ồ th c phư n tr nh 5y = -

h o s t và vẽ ồ th ( )C khi 2m =

i t TTT c a( )C t i M tr n ( )C c 2M

x = -

f i t TTT c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c hoành

i t TTT c a ( )C c h s c ằn 1

6

h i t TTT c a ( )C i t ti p tu n son son : 6 1d y x= -

i i t TTT c a ( )C i t ti p tu n vu n c : 24 7 0x yD + - =

j i t TTT c a ( )C i t ti p tu n i qua i m ( )1;3B -

Bài 2. ho hàm s ( )1 2 1

1

m x my

x

+ - +=

-

a Đ nhm hàm s hàm s lu n n h ch i n tr n m i kho n c nh

Đ nhm ư n ti m c n n an c a ồ th i qua ( )3; 6A -

c Đ nhm ồ th cắt tr c tun t i i m c tun ằn

h o s t và vẽ ồ th ( )C c a hàm s khi 0m =

e/ Vi t TTT c a( )C t i tr n ( )C c tun là

f i t TTT c a( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c tun

i t TTT c a( )C c h s c ằn 1

2-

h i t TTT c a ( )C và son son v i ư n th n : 2 3d y x= - +

i i t TTT c a ( )C và vu n c v i ư n th n : 8 1 0x yD - + =

j i t TTT c a ( )C i t ti p tu n i qua i m ( )2;0C

Bài 3. ho hàm s 2

1

xy

x m

-=

+ -

a/ T mm hàm s lu n ồn i n tr n m i kho n c nh

b/ T mm ư n ti m c n n c a ồ th là 5x = - .

c/ T mm ồ th cắt tr c hoành t i i m c hoành ằn 3- .

d/ h o s t và vẽ ồ th ( )C khi 2m = .

e/ i t TTT c a ( )C t i A trên ( )C c tun là

f/ i t TTT c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c tun

g/ i t TTT c a ( )C c h s c ằn 1

3

h/ i t TTT c a ( )C và son son v i ư n th n : 3d y x=

i/ i t TTT c a ( )C và vu n c v i ư n th n : 9 4 0x yD + - =

j/ i t TTT c a ( )C i t ti p tu n i qua ( )3; 1B -

Bài 4. ho hàm s 3 2 1y x ax bx= + + +

a/ T m a và ồ th hàm s qua i m ( )1,2A và ( )2, 1B - -


50

b/ h o s t và vẽ ồ th ( )C v i 1a = và 1b = - .

c/ i t TTT c a ( )C t i i m M trên ( )C c hoành là 1- .

d/ i t TTT c a( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c tun

e/ i t TTT c a ( )C c h s c ằn 1- .

f/ i t TTT c a ( )C và son son v i ư n th n : 4 7d y x= -

g/ i t TTT c a ( )C và vu n c v i ư n th n : 20 0x yD + =

h/ i t TTT c a ( )C i t ti p tu n i qua ( )2,2C

Bài 5. ho hàm s ( )3 23 1y x m x m= + + + - ( )mC

a/ Đ nh m hàm s c i m c c i là 1x = - .

b/ Đ nh m m cắt tr c hoành t i i m c hoành ằn 2- .

c/ Đ nh m m cắt tr c tun t i i m c tun ằn

d/ h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C v i 0m = .

e/ i t TTT c a ( )C t i i mA trên ( )C c tun ằn

f/ i t TTT c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c tun

g/ i t TTT c a ( )C c h s c ằn 0

h/ i t TTT c a ( )C và ti p tu n son son v i ư n th n : 9 8d y x= -

i/ i t TTT c a ( )C và ti p tu n vu n c v i ư n th n : 3 2 0x yD - - =

j/ i t TTT c a ( )C i t ti p tu n i qua ( )4,5C

Bài 6. ho hàm s ( )3 211 ( 1) 4

3y x m x m x= - + - + + - ( )m

C

a/ Đ nhm hàm s c i m c c ti u là 3x = - .

b/ Đ nhm ( )mC cắt tr c hoành t i i m c hoành ằn

c/ h n minh rằn hàm s lu n c c c tr


e/ i t TTT c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c tun

f/ i t TTT c a( )C t i tr n( )C c hoành ằn 3- .

g/ i t TTT c a( )C c h s c ằn

h/ i t TTT c a( )C và ti p tu n son son v i ư n th n : 5 2d y x= - +

i/ i t TTT c a ( )C và ti p tu n vu n c v i ư n th n : 12 1 0x yD - - =

j/ i t TTT c a ( )C i t ti p tu n i qua i m ( )2,5C -

Bài 7. ho hàm s ( )4 21 12

2 2y x m x m= - + + - ( )

mC

a/ T m m hàm s c i m c c tr

b/ T mm hàm s c i m c c tr là 1x = - t i là i m c c i ha i m c c ti u T m i tr c c

tr tư n n

c/ T m m ( )m



e/ i t TTT c a ( )C t i M tr n ( )C c hoành là 1- .


51

f/ i t TTT c a( )C t i i m c hoành là n hi m c a phư n tr nh ''( ) 0f x =

g/ i t TTT c a ( )C và son son v i ư n th n : 4 10d y x= - -

h/ i t TTT c a ( )C và vu n c v i ư n th n : 4 0x yD - =

i/ i t TTT c a ( )C i t ti p tu n i qua ( )1,2A

Bài 8. ho hàm s 4 22 2 1y x mx m= - + - + ( )

mC

a/ T m m hàm s c c c tr

b/ T m m hàm s c i m c c i là 1x = .

c/ T m m ( )m



e/ i t TTT c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c hoành

f/ i t TTT c a ( )C t i i m c hoành là n hi m c a phư n tr nh ''( ) 44f x = -

Bài 9. ho hàm s 4 2y x ax b= + +

a/ T m a và b hàm s c i tr c c tr ằng 3

2 khi 1x = .

b/ T m a và b sao cho ( )1 0y - = và ( )'' 1 8y - =

c/ h o s t và vẽ ồ th khi 1

2a = - và 1b =

d/ i t TTT c a ( )C t i i m c tun ằn

e/ i t TTT c a ( )C t i i m c hoành là n hi m c a phư n tr nh ( )'' 2f x =

f/ i t TTT c a ( )C và son son v i ư n th n : 3 2d y x= +

Bài 10. ho hàm s 3 23 9 2y x x x= - + + +

a/ h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C .

b/ Gi i t phư n tr nh ( )' 1 0f x - >

c/ i t TTT c a ( )C t i i m c hoành o i t ''( ) 6o

f x = -

d/ i t TTT c a ( )C và c h s c 9k = .

e/ a vào ( )C i n lu n s n hi m c a phư n tr nh 3 23 9 2 0x x x m- - - + =

f/ i t phư n tr nh ư n th n i qua i m c c i và c c ti u c a ồ th hàm s

Bài 11. ho hàm s 3 23 1y x x= + +

a/ h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C

b/ n ồ th i n lu n s n hi m c a phư n tr nh 3 22 6 2 0x x m+ - =

c/ Đ nh k ( ) ( ): 2 5d y k x= + + cắt ồ th t i i m ph n i t

d/ i t TTT c a ( )C t i i m c hoành th a ( )' 9y x =

e/ i t phư n tr nh ư n th n i qua i m c c i và i m c c ti u

Bài 12. ho hàm s ( ) ( ) 3 211 3 4 ( )

3 my x m x m x C= - + - + + -

a/ T m m hàm s ồn i n tr n t p c nh

b/ h o s t và vẽ ( )C v i 0m = .

c/ a vào ồ th i n lu n s n hi m c a phư n tr nh 3 22 6 18 24 3 0x x x k+ + + + =


52

d/ i t phư n tr nh ư n th n i qua i m c c i và i m c c ti u

e/ i t TTT c a ( )C t i i m c hoành th a ''( ) 4y x = -

f/ T m a ( )( ) : 3 13d y a x= + - cắt ( )C t i i m ph n i t


2y x ax b= + +

a/ T m a và b hàm s c c c ti u ằn 7

2- khi 3x =

b/ h o s t và vẽ ( )C khi 3a = - và 3a = - .

c/ a vào ồ th i n lu n s n hi m c a phư n tr nh 4 26 2x x m- + =

d/ i t TTT c a ( )C t i i m c hoành th a ( )'' 18o

y x =

Bài 14. ho hàm s 4 21 9

24 4

y x x= - -

a/ h o s t và vẽ ồ th c a hàm s

b/ i t TTT c a ( )C t i c c iao i m c a ( )C v i tr c hoành

c/ Đ nhm ( )C cắt ara ol 2( ) : 2P y x= - t i i m ph n i t

d/ i t TTT c a( )C t i i m c hoành là n hi m c a phư n tr nh ''( ) 8y x =

e/ i n lu n th o k s n hi m c a phư n tr nh 4 28 9 4 0x x k- - - =

Bài 15. ho hàm s ( ) 4 22 1 2 1 ( )m

y x m x m C= - + + - -

a/ Đ nhm hàm s cắt tr c hoành t i i m ph n i t

b/ Đ nhm hàm s c c c tr

c/ Đ nhm hàm s c c c i khi 1x = .

d/ h o s t và vẽ ( )C khi 1m = .

e/ i t TTT c a ( )C t i c c iao i m c a ( )C v i ư n th n 3y = - i t hoành c a n là s m

f/ n ồ th i n lu n s n hi m c a phư n tr nh 4 24 0x x m- + =

Gia sư hành Được 1 ÔN TẬP NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỂ VẬN DỤNG GIẢI...

Documents

Transcript of Gia sư hành Được 1 ÔN TẬP NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỂ VẬN DỤNG GIẢI...