GEOMETRIA

Sistemi di misura Enti geometricifondamentali

SISTEMI DI MISURA

Si dice grandezza tutto ciò che si può misurare,Es: la durata di una lezione di matematica, il peso di un ragazzo, la lunghezza di una parete …

Due o più grandezze dello stesso tipo, che si possono confrontare, sommare/sottrarre, si dicono omogenee. Ad es:L’altezza di una parete e la lunghezza di una matita;la massa di Alex e la massa di Angelo. Ecc…

Misurare una grandezza significa confrontarla con un’altra grandezza omogenea, detta unità di misura (u) e stabilire quante volte l’unità di misura u è contenuta nella grandezza data.La misura di una grandezza è un numero che dipende dall’unità di misura scelta.Ad es il tavolo è lungo 1,20 m oppure 120 cm oppure 12dm

SISTEMA METRICO DECIMALE

Il sistema metrico decimale fu introdotto inizialmente in Francia durante laRivoluzione francese (1794), in esso l’unità fondamentale di lunghezza è il metro (m).Si dice decimale perché per passare da una unità a quella di ordine superiore sidivide per 10 (o una sua potenza 100 -1000); invece per passare da una unità aquella di ordine inferiore si moltiplica per 10(o una sua potenza).A partire dal 1961 fu introdotto il SISTEMA INTERNAZIONALE di MISURA (S.I.)utilizzato ormai da quasi tutti i popoli. Questo Sistema si base su sette grandezzefondamentali

Grandezza Unità fondam. Simbolo

Lunghezza metro m

massa chilogrammo kg

Tempo secondo s

Temperatura grado Kelvin °k

Intensità elettr. Ampere A

Luminosità candela cd

Quantità di sostanza mole mol

Data una unità di misura fondamentale per definire i suoi multipli e i suoi sottomultipli si usano i seguenti prefissi:

kilo…. = 1000… milli….. = 0,001……etto…. = 100… centi …= 0,01…….Deca… = 10…… deci… = 0,1……..

L’unità di misura si scrive dopo il numero che rappresenta la misura e senza alcun punto (non è una abbreviazione!)

Es 564 g; 45 m; 432 hg

MISURA della LUNGHEZZA

L’unità di misura fondamentale di lunghezza è il metro (m). Il metro è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in 1/299 792 485 – esimo di secondo

MISURA DELLA SUPERFICIE

L’unità di misura fondamentale della superficie è il metro quadrato (m2) corrisponde ad un quadrato con il lato lungo 1 m. E’ una unità derivata dal metro.

In Italia ancora oggi si utilizzano alcune unità di misura di superficie agrarie: centiara (ca) = m2 ; ara (a) = dam2; ettaro (ha) = hm2

MISURA DEL VOLUME

L’unità di misura fondale di volume è il metro cubo (m3). Il metro cubo è la misura di volume di un cubo con lo spigolo lungo 1 metro. E’ una misura derivata dal metro

MISURA DELLA CAPACITA’

La capacità di un contenitore è il volume di un liquido che può contenere. L’unità di misura principale è il litro (l). Un litro equivale a 1 dm3

MISURA DI MASSA

L’unità di misura fondamentale è il chilogrammo( kg) che corrisponde alla massa di 1 dm3di acqua distillata a livello del mare e alla temperatura di 4° C.La massa indica la quantità di materia contenuta in un corpo e ha un valore costante.Il peso è una grandezza diversa, esso esprime la forza con cui un corpo viene attratto verso il centro della Terra

PESO MASSA

OPERAZIONI CON LE MISURE

Addizione e sottrazione:Si possono sommare o sottrarre solo misure omogenee. Il risultato sarà una misura omogenea a quelle date:11 m + 14 m = 25 m

Moltiplicazione e divisione:Moltiplicando due misure omogenee si può ottenere una misura priva di significato o misure non omogenee a quelle date ma accettabili:7 m x 8 m = 56 m2

56 ml X 3 ml = 168 ???

Dividendo due misure omogenee si ottengono numeri puri:Es : 50 kg : 5 kg = 10

Moltiplicando o dividendo una grandezza per un numero puro si ottiene una grandezza omogenea a quella data dal dividendo:

6 km : 2 = 3 km

SISTEMI DI MISURA NON DECIMALI

SISTEMI SESSAGESIMALI

Per alcune grandezze si usano sistemi di misura non decimali, ad esempio per misurare il tempo e l’ampiezza degli angoli si usa un sistema di misura sessagesimale.In questo sistema occorrono 60 unità di ordine inferiore per formare una unità di ordine superiore.

MISURA DELL’AMPIEZZA DEGLI ANGOLI:L’unità di misura principale è il grado (°) ed è anche la misura maggiore, il grado viene definito come la trecentosessantesima parte dell’angolo giro.Il grado ha solo sottomultipli : il primo (‘) e il secondo (“).

Es : 4° = 4 x 60 = 240’ 4° = 4 x 3 600 = 144 000”

1200’ = 1200:60 = 20°7 200” : 3 600= 2°

denominazione simbolo equivalenza

Grado ° 1° = 60' = 3 600"

primo 1' 1' = (1/60)°

secondo " 1" = ( 1/3 600)°

MISURA DEL TEMPO

L’unità di misura principale è il secondo, cioè il tempo impiegato da un orologio al Cesio 133 per compiere 9 192 631 770 vibrazioni. Il secondo ha sia multipli che sottomultipli.Questo sistema di misura è misto perché segue solo in parte la tecnica sessagesimale, una parte è decimale e un’altra è irregolare : 1 anno = 12 mesi = 360 giorni; 1 mese = 30 giorni; 1 giorno = 24 ore; 1 ora = 60 minuti; 1 minuto = 60 secondi; 1 decimo di secondo = 0,1 sec; 1 centesimo di sec = 0,01 sec; 1 millesimo = 0,001 sec:

Es : 50m = 50 x 60 = 300s

96M = 96 :12 = 6adenominazione simbolo equivalenza

anno commerciale a 31 104 000s = 360 d

mese commerciale M 2 592 000s = 30d

giorno d 86 400 s = 24h

ora h 3 600s 0 60 m

minuto m 60s

secondo s 1s

decimo di secondo 0,1s

centesimo di secondo 0,01s

millesimo di secondo 0,001s

TRASFORMAZIONE IN FORMA NORMALE

Ricordo che nelle misure di ampiezza di angoli i secondi non possono essere 60 o più di 60 e lo stesso vale per i primi; quindi se troviamo un’ampiezza di angolo scritta in modo errato dobbiamo ridurla alla forma normale:

Es : 45° 78’98” si procede in questo modo:Si normalizzano prima i secondi dividendoli per 60 98” : 60 = 1’ 38”Il primo ottenuto si somma agli altri. Quindi : 78’ +1’ = 79’Anche i primi sono più di 60 quindi vanno normalizzati 79’ :60 = 1°19’Il grado trovato si somma ai 45° e quindi avremo 45° + 1 ° = 46°

Il numero finale normalizzato sarà: 46°19’38”

La normalizzazione è più complessa con le misure di tempo perché isecondi e i minuti non devono superare 59, le ore non devono superare 23l’anno 12 mesi ecc…

Es: 45d 37h 78m 89s

89s= (89 : 60 ) = 1m 29s

79m= (79 : 60) = 1h 19m

38h= ( 38 : 24) = 1d14h

46d = (46 . 30) = 1M16d

Il numero normalizzato è : 1M16d 14h 19m 29s

ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI

Tutti gli oggetti che ci circondano possono essere confrontati con alcune figure geometriche note:Per esempio un pallone ha la forma di una sfera, la cialda di un gelato ha la forma di un cono, un libro ha la forma di un parallelepipedo, una lattina di Coca Cola ha la forma di un cilindro

Tutti gli oggetti che ci circondano anche i più piccoli e sottili hanno tre dimensioni.

La geometria che studieremo è stata scritta per la prima volta da EUCLIDE nel III sec. a.C. in un libro “Gli Elementi”. Euclide afferma che in geometria esistono delle forme\concetti primitive\i e intuitive\i che sono : il punto, la retta e il piano; questi concetti prendono il nome di Enti geometrici fondamentali

IL PUNTO

La traccia lasciata dal gesso sulla lavagna o dalla matita su un foglio o da un ago su un foglio di carta, sono tutti esempi di punto geometrico.

Il punto non ha dimensioni, si traccia e si indica con una lettera maiuscola dell’alfabeto

. A . C .

I tre trattini orizzontali indicano che i punti D e G coincidono

Linea intrecciata chiusa

LINEA E RETTA

La linea geometrica è senza spessore ed è formata da un insieme infinito di puntiEs :

Linea aperta

Linea chiusa

Linea intrecciata aperta

rs m

n

La linea si indica sempre con una lettera minuscola dell’alfabeto

A

C

I punti in cui due o più linee si incrociano si dicono “ punti di intersezione”. Si scrive

B D Er

s

r s =∩ { }EDCBA ,,,,

La retta è una linea formata da infiniti punti, ha una sola dimensione “ la lunghezza”.Sono esempi di retta : lo spigolo della porta, lo spigolo del banco, il bordo di una pagina del libro …Le rette sono linee pertanto si indicano con la lettera minuscola.Un punto può appartenere ad una retta oppure può non appartenereDue o più rette possono coincidere.La semiretta è ciascuna delle due parti in cui la retta viene divisa da un punto (origine delle semirette opposte.

.r A

A r

B r

r

r s

A

. B

Semirette opposte

Rette coincidenti Il punto A appartiene alla retta rIl punto B non appartiene

Superficie e piano

Il lago ghiacciato, la lavagna, il piano della cattedra … ci danno l’idea di una superficie.Il piano è un insieme di infinite rette e punti , privo di spessore e ha due dimensioni “ la lunghezza e la larghezza”.Il piano è infinito ma in geometria piana si disegna con un parallelogramma e si indica con una lettera dell’alfabeto greco:

. A

. B

.A

r

r

r

sr

s

A

αα

α

β

β β

GLI ASSIOMI

Un assioma è una affermazione sicuramente vera e non ha bisogno di essere dimostrata.Gli assiomi che seguiranno sono alla base della geometria euclidea, se se ne mette in discussione anche uno solo crolla tutta la geometria euclidea.

Per un punto passano infinite rette A

Per due punti distinti passa una e una sola retta A B

Se una retta ha in comune con il piano due punti , giace sul piano α

AB

Per tre punti non allineati passa uno e un solo pianoβ

. A. B

. C

Per una retta passano infiniti piani

SEGMENTI

Segmento è una parte di retta compresa tra due punti (estremi del segmento).Ogni punto appartenente al segmento è detto punto interno del segmento

A B

Si dice distanza tra due punti A e B il segmento che ha questi due punti come estremi, la distanza è sempre la linea più breve che congiunge A e B.

A B

Due o più segmenti si dicono consecutivi se hanno un estremo in comune

B

A C

Due o più segmenti si dicono adiacenti se hanno un estremo in comune e appartengono alla stessa retta

A B C

Più segmenti consecutivi a due a due formano una spezzata, i segmenti che compongono la spezzata prendono il nome di lati

Spezzata aperta Spezzata

intrecciata aperta Spezzata chiusa Spezzata

intrecciata chiusa

D

D

D

D

AB

C

A B

C

B C

A

E

A B

C

EE

AB – BC – CD – DE .. Sono i lati della spezzata

CONFRONTO TRA SEGMENTI

Confrontare due segmenti significa stabilire se hanno la stessa lunghezza o se hanno lunghezza diversa.Per confrontarli bisogna “trasportare” con un movimento rigido uno dei due segmenti sull’altro. Si possono verificare tre situazioni :

1, cioè gli estremi dei due segmenti coincidono perfettamente, si dice che i due segmenti sono congruenti

2. > se l’estremo D cade dentro AB

3. < se l’estremo D cade all’esterno di AB

CDAB ≅

AB CD

AB CD

AB maggiore di CD

PUNTO MEDIO

Il punto medio di un segmento si indica con “ M” , si trova esattamente in mezzo al segmento quindi lo divide in due parti uguali

A BM