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COMPLÉMENT DE BÉTON ARMÉ - POTEAUX ÉLANCÉS

GCI758 ‐ Conception avancée des structures en béton 1

• Effets P-Δ

• Stabilité des colonnes élastiques en compression

• Longueur de flambement et facteur d’élancement

• Influence de la raideur en flexion sur la stabilité

• Dimensionnement des poteaux élancés contreventés

• Dimensionnement des poteaux élancés non contreventés

INTRODUCTION


Poteaux élancés• Poteaux avec des longueurs très grandes

comparées à leur dimensions transversales

• Les poteaux élancés sont sujets à de l’instabilité de type flambement

INTRODUCTION


Effets P-Δ

Facteurs influençant les effets P-Δ :- La charge axiale P et l’excentricité e- La longueur du poteau (l)- La raideur en flexion de la section du poteau (EI)- Les conditions de rétention des extrémités du poteau

Amplification du moment due à la déformation latérale d’un poteau soumis à de la compression-flexion

INTRODUCTION


• Poteaux courts : Les effets P-Δ sont négligeables, rupture par épuisement du matériau

• Poteaux élancés : Les effets P-Δ causent une diminution notable de la résistance du poteau, rupture par épuisement du matériau

• Poteaux très élancés : Les effets P-Δ sont dominants, rupture par instabilité

Classification des poteaux en fonction du mode de rupture du poteau en compression excentrée

STABILITÉ DES POTEAUX EN COMPRESSION PURE


États stables et instables

Charge critique d’Euler :

Stabilité élastique des colonnes en compression

équilibre stable

équilibre neutre

équilibre instable

h

2

24crEIPh

p=



Mode de flambement fondamental

Longueur de flambement kl

En remplaçant h par 0,5l on obtient :2

2crEIP

lp

=

( )2

2crEIP

klp

=

Généralisation à d’autres types de conditions de rétention aux extrémités du poteau :



Longueur de flambement klDistance maximale entre deux points d’inflexion consécutifs dans la déformée du poteau

• dépend des conditions d’appui aux extrémités du poteau

• k varie de 0,5 à ∞

fixe‐fixe rotulé‐libre



Longueur de flambement kl – Influence des conditions de rétention aux extrémités du poteau

• Ossatures à nœuds non déplaçables («contreventés») : 0,5 1

• Ossatures à nœuds déplaçables («non contreventés») : 1



Facteur d’élancement

( ) ( )2

22 2

1crcr

P EIf EAA kl A kl I

p p= = = ´ ´´ ´

Contrainte critique :

2

2 avec crE klf

rp ll

= =

: facteur d’élancement du poteau

r : rayon de giration de la section du poteau IA

=

est un indicateur de la sensibilité au flambement du poteau



Influence de la raideur en flexion EI du poteauÀ cause de la non linéarité du béton, E diminue avec l’augmentation de la charge axiale

( )2

2t

crE IP

klp

= Et : Module tangent au point correspondant au niveau decontrainte axiale

Élancements faibles à moyens :Rsection < Rglobale rupture par écrasement

Élancements élevés :Rglobale < Rsection rupture par flambement



Influence de la raideur en flexion EI du poteau

Facteurs influençant EI :

• Niveau de compression axiale

• Intensité du moment de flexion

• Vitesse de chargement du poteau

Valeurs de EI à utiliser pour le calcul de Pcr

STABILITÉ DES POTEAUX EN COMPRESSION-FLEXION


Cas simple : Poteau bi-articulé en simple courbure avec deux momentségaux aux extrémités

max 01

1cr

M MPP

æ öç ÷ç ÷=ç ÷-ç ÷è ø

Facteur d’amplification du moment du aux effets P-Δ



Cas général : Poteau bi-articulé avec des moments différents auxextrémités

Le moment max peut se trouver àune extrémité ou entre les abouts dupoteau

Le moment max est toujours inférieur ou égal à la somme du moment max primaire et du moment max secondaire



Coefficient d’équivalence des moments Cm

Cm est déterminé de telle sorte que le moment CmM2 produise le même moment maximum dans le cas d’un poteau bi-articulé avec deux moments égaux aux extrémités



Cas général : Poteau contreventé avec des moments différents auxextrémités

• Le moment max secondaire survient généralement entre les abouts• Le moments max primaire et le moment max secondaire ne surviennent pas au

même point • L’amplification est inférieure ou égale à 100% (Cm<1)



Cas général : Poteau non contreventé avec des moments différentsaux extrémités

• Le moment max secondaire survient généralement à une extrémité• Le moments max primaire et le moment max secondaire surviennent au même point • L’amplification est maximale (Cm = 1)

POTEAUX À NŒUDS DÉPLAÇABLES / NON DÉPLAÇABLES


Index de stabilité Q d’un étage (CSA A23.3-04, art 10.14.4) :

0f

f c

PQ

V lD

= å 0fP Då : Moment du au effet P-Δ à l’étage

f cV l : Moment de renversement de l’étage

L’étage est à nœuds non déplaçables lorsque ,

• Δ0 est déterminé à l’aide d’une analyse élastique utilisant les propriétés fissurées des éléments.

• De plus la raideur EI des éléments doit être divisée par 1+βds pour tenir compte du fluage

Calcul du déplacement Δ0

βds : Rapport du cisaillement maximum soutenu pondéré au cisaillement maximum pondéré pour l’étage

DIMENSIONNEMENT DES POTEAUXD’OSSATURES À NŒUDS NON

DÉPLAÇABLES


CALCUL DES POTEAUX À NŒUDS NON DÉPLAÇABLES


Étapes de dimensionnement1. Calcul de l’index de stabilité de l’étage

2. Calcul de l’élancement du poteau

Si 0,05 l’étage est à nœuds non déplaçablesSi 0,05 l’étage est à nœuds déplaçables

• lu : Longueur non supportée• r : rayon de giration• k : coefficient de longueur équivalente

(SBA figures 12.18; 12.19-a)

Élancement limite pour négliger les effets P-Δ ( CSA A23.3-04 art. 10.15.2)

| | | |; M1 positif en simple courbure et négatif en double courbureM2 toujours positif et 15 0,03

Si l’effet de l’élancement peut être négligé et le poteau peut être dimensionné

comme un poteau court.



Étapes de dimensionnement

( )

1

2 1

'lim 2

25 10, 0,5

/u

f g c

MMkl M

r MP A f

æ ö- ç ÷æ ö è øç ÷ = ³ -ç ÷

è ø

lim

u ukl klr r

æ öç ÷£ ç ÷è ø

3. Calcul du coefficient d’amplification du moment

11

m

f

m c

CPP

d

f

= ³-

(CSA A23.3-04 art. 10.15.3)



Étapes de dimensionnement3.1 Coefficient d’équivalence Cm

Poteau sans charge latérale entre les abouts : 0,6 0,4 0,4Poteau avec charge latérale entre les abouts : 1

3.2 Coefficient 0,75

3.3 Charge critique d’Euler Pc

EI est déterminée selon une des équations suivantes :

βdns : Rapport de la charge axiale maximum soutenue à la charge axiale maximum ………..pondérée

( )2

2cu

EIPklp

=

0,2 0, 4 ou

1 1c g s st c g

dns dns

E I E I E IEI EI

b b+

= =+ +

(CSA A23.3-04 art. 10.15.3)



Étapes de dimensionnement4. Calcul du moment amplifié

5. Calcul de l’armature longitudinale du poteau

6. Vérification de la capacité de la section

• Paramètres pour le dimensionnement : Pf/Ag et Mc/(Agh)•• Trouver le taux d’armature requis à partir des abaques (SBA Annexe A)• Choix des barres longitudinales (diamètres, nombre et disposition)

7. Vérification des exigences minimales• Taux d’armature minimum (0,01 Ag) et maximum (0,08 Ag)• Nombre minimum de barres (4 pour les sections rectangulaires; 6 pour les sections

circulaires)• espacement net minimum entre les barres longitudinale• Dimension minimale des étriers



Exemple de dimensionnementMatériauxBéton : E=25000MPa; f’c=30 MpaAcier : fy=400 MpaChargesPermanente : 10 kPa au 1er plancher

6,0 kPa au 2eme plancher15 kN/m sur les poutres au 1er plancher5 kN/m sur les poutres au 2eme plancher

Exploitation : 6 kPa au 1er plancher2,0 kPa au 2ème plancher

Vent : 350 kN au niveau 1200 kN au niveau 2

SectionsPoteaux : 350x350Poutres : 350x600Planchers : 250 mmMur : 350 mm

Dimensionner le poteau A2 au 1er niveau



Exemple de dimensionnementCas de charges à considérer :- 1,25D+1,5L+0,4W- 1,25D+1,4W+0,5L

1. Index de stabilité du 1er niveau

0,05 l’étage est à nœuds non déplaçables

2. Élancement du poteau

10000 600 9400 mm0,67 (fixe-élastique)0,3 105 mm

ulkr h

= - === =

60,0uklr

=

Cas de charge ΣPf Vf Δ0 Q1.25D+1,5L+0,4W 23635.54 220 1.2 0.0301,25D+0,5L+1,4W 18574.98 770 4.3 0.024



Exemple de dimensionnementEfforts dans le poteau

( )

1

2

'lim

25 10

/u

f g c

MMkl

r P A f

æ ö- ç ÷æ ö è øç ÷ =ç ÷

è ø

Cas de charge Pf M1 M2 (klu/r)lim

- (kN) (kNm) (kNm) -1.25D+1,5L+0,4W 1077 49.7 91.1 55.4171,25D+0,5L+1,4W 853 33.4 66.1 62.270

lim

u ukl klr r

æ öç ÷ç ÷è ø

Il faut prendre en compte les effets P-Delta



Exemple de dimensionnement3. Calcul du coefficient d’amplification du moment δ

3.1 Coefficient d’équivalence Cm

0,6 0,4 ,,

0,4 0,4

3.2 Coefficient 0,75


( )

412 2

2

2

1, 25 605,9 kN 0,561077,0 kN

0, 4 0, 4 25000 350 /12 8,016 10 N.mm1 1,56

1994,6 kN

Ddns

f

c g

dns

cu

PP

E IEI

EIPkl

b

b

p

= = =

´ ´= = = ´

+

= =



Exemple de dimensionnement0,4 1,43107711 0,75 1994,6

m

f

m c

CPP

d

f

= = =--

´

4. Calcul du moment amplifié

2 1,43 91,1 kN.m 130,3 kN.mcM Md= = ´ =

5. Calcul de l’armature longitudinale du poteau

3

2

6

3

350 80 20 20 0,66350

1077 10 8,8 MPa350

130,3 10 3,0 MPa350

f

g

c

g

PA

MA h

g - - -= =

´= =

´= =

Supposons un enrobage de 40 mm, des barres longitudinales en 20M et des étriers en 10M



Exemple de dimensionnement

En utilisant l’abaque correspondant à γ=0,70 et f’c=30 MPa (Annexe A.7), on trouve 1,8%

0,018 350 2205 mm2 Choix : 8 – 20M, As=4000 mm2

6. Vérification de la section du poteau



Exemple de dimensionnement7. Vérification des exigences minimales

• Taux d’armature min et max : 1% 3,3% 4,0%

• Nombre minimum de barres : 8 4

• Esp. max des barres non retenues :95 150

• Esp. max des barres retenues :350 80 20 2 20 210 500

• Diamètre min des étriers : 10 0,3 6

DIMENSIONNEMENT DES POTEAUXD’OSSATURES À NŒUDS DÉPLAÇABLES


CALCUL DES POTEAUX À NŒUDS DÉPLAÇABLES


Index de stabilité Q

0f

f c

PQ

V lD

= å 0fP Då : Moment du au effet P-Δ à l’étage

f cV l : Moment de renversement de l’étage

L’ossature est à nœuds déplaçables lorsque ,

Le moment de dimensionnement à chaque extrémité du poteau est donné par :

i ins s isM M Md= +

• : moment à l’extrémité i du poteau du aux charges de gravité

• : le moment à l’extrémité i du poteau du aux charges latérales incluantles effets de second ordre



• Analyse de second ordre (incluant les effets P-Δ) utilisant les propriétés des sections fissurées (SBA Tableau 12.2) et le facteur de réduction du au fluage 1/(1+βds).

OU

• Analyse élastique de premier ordre pour trouver + Amplification de par le facteur donné par :

1 1,01

sf

m c

PP

d

f

= ³- å

å

Calcul de

Lorsque l’index de stabilité 0,33 il est permis de prendre1

1s Qd =

-

(CSA A23.3-04 art. 10.16.3.2)



• Lorsque le poteau est très élancé, il y’a risque d’apparition du moment maximum entre les abouts Flambement du type des poteaux des ossatures à nœuds non déplaçables

Flambement local

• Le poteau doit être vérifié pour ce type de flambement lorsque :

( )'

35u

f

c g

lr P

f A

Pour cette vérification on utilise les valeurs de kl et EI correspondant au calcul des ossatures à nœuds non déplaçables



Flambement sous les charges de gravitéLe poteau doit être vérifié pour le risque de flambement sous les charges de gravité seulement.

Si a été déterminé à l’aide d’une analyse de second ordre

Deux analyses doivent être réalisées:• Une analyse de second ordre pour le pire cas de charge gravitaire

(1,25D+1,5L) accompagné d’un chargement latéral égal à 0,5% la charge gravitaire pondérée de chaque étage.

• Une analyse élastique de 1er ordre avec le même chargement

Le rapport des déplacements latéraux doit être inférieur à 2,52 ordre

1 ordre

nd

er

UU



Flambement sous les charges de gravité

Si a été déterminé à l’aide d’une analyse de 1er ordre puis amplifié

avec

• doit être calculé pour le pire cas de chargement gravitaire (1,25D+1,5L)

• Le calcul de doit tenir compte du fluage du à la charge axiale soutenue

(facteur )

• La valeur obtenue de doit être inférieur à 2,5



Étapes de dimensionnement1. Calcul de l’index de stabilité de l’étage

2. Calcul des moments Mns dus aux charges de gravité

3. Calcul des moments de 1er ordre Ms dus aux charges latérales

Si 0,05 l’étage est à nœuds non déplaçablesSi 0,05 l’étage est à nœuds déplaçables

• Analyse élastique utilisant les propriétés de sections fissurées (tableau 12.2)• Raideurs des éléments divisées par 1

• Analyse élastique utilisant les propriétés de sections fissurées (tableau 12.2)• Raideurs des éléments divisées par 1



Étapes de dimensionnement4. Calcul de l’élancement du poteau

• lu : Longueur non supportée

• r : rayon de giration

• k : coefficient de longueur équivalente(SBA figures 12.19-b)

• Ψi : rapport de rigidité entre les poteauxet les poutres à l’extrémité i

( )( )

poteau

poutre

i

EIl

EIl

y =åå



Étapes de dimensionnement5. Calcul du facteur d’amplification

1 1,01

sf

m c

PP

d

f

= ³- å

å5.1 Coefficient 0,75


EI est déterminée selon une des équations suivantes (CSA

βds : Rapport du cisaillement maximum soutenu pondéré au cisaillement maximumpondéré pour l’étage

( )2

2cu

EIPklp

=

0,2 0, 4 ou

1 1c g s st c g

ds ds

E I E I E IEI EI

b b+

= =+ +



Étapes de dimensionnement6. Calcul des moments amplifiés

7. Vérification que le moment maximum se produit aux extrémités du poteau

1 1 1

2 2 2

ns s s

ns s s

M M MM M M

dd

= +

= +

( )'

35u

f c g

lr P f A£Si le moment max se produit à une extrémité du poteau;

Si le moment max peut se produire entre les extrémités du

poteau et celui-ci doit être vérifié contre le flambement du type des ossatures à nœuds non déplaçables.

( )'

35u

f c g

lr P f A



Étapes de dimensionnement8. Vérification du flambement sous les charges de gravité

Calcul de pour le pire cas de chargement gravitaire (1,25D+1,5L)

1 1,01

sf

m c

PP

d

f

= ³- å

åLes rigidités effectives EI doivent être divisée par 1

La valeur de doit être inférieure à 2,5



Étapes de dimensionnement9. Calcul de l’armature longitudinale du poteau

10. Vérification de la capacité de la section

• Paramètres pour le dimensionnement : Pf/Ag et M2/(Agh)•• Trouver le taux d’armature requis à partir des abaques (SBA Annexe A)• Choix des barres longitudinales (diamètres, nombre et disposition)

• Taux d’armature minimum (0,01 Ag) et maximum (0,08 Ag)• Nombre minimum de barres (4 pour les sections rectangulaires; 6 pour les sections

circulaires)• espacement net minimum entre les barres longitudinale• Dimension minimale des étriers

11. Vérification des exigences minimales



Exemple de dimensionnementMatériauxBéton : E=25000MPa; f’c=30 MpaAcier : fy=400 Mpa

ChargesPermanente : 8,0 kPa aux planchers

3,5 kPa au toitExploitation : 4,8 kPa aux planchers

1,0 kPa au toitVent : 150 kN au niveau des planchers

100 kN au niveau du toit

SectionsPoteaux : 400x400Poutres : 400x500Planchers : 150 mm

Dimensionner le poteau D2 au 1er niveau



Exemple de dimensionnementCas de charges à considérer :- 1,25D+1,5L+0,4W- 1,25D+1,4W+0,5L

1. Index de stabilité du 1er niveau

0,05 l’étage est à nœuds déplaçables

2. Moments Mns dus aux charges de gravité

Cas de charge ΣPf (kN) Vf (kN) Δ0 (mm) Q1.25D+1,5L+0,4W 10874 160 3.8 0.0531,25D+0,5L+1,4W 8012 560 13.2 0.039



Exemple de dimensionnement3. Moments Ms dus aux charges latérales

4. Élancement du poteau4850 500 4350 mm0,30 0,3 400 120 mm

ulr h= - =

= = ´ =

4.1 Rigidité (EI/l) des poteaux D2 au 1er et 2nd niveau

( )

( )

49

_ 2_ 1

49

_ 2_ 2

0,7 25000 400 /12 7,70 10 N.mm4850

0,7 25000 400 /12 10,67 10 N.mm3500

poteau D N

poteau D N

EI l

EI l

´ ´= = ´

´ ´= = ´




( )

( ) ( )( )

9 4

99

_ 2 2

_ 2 _ 1 _ 2 _ 2

_ 2 2

2 /10 1600 mmmin 2 12 400 2 12 150 4000 mm

5000 mm

7, 4 10 mm

0,35 25000 7, 4 10 10,8 10 N.mm6000

1,7

0

w x

f w s

y

b

poutre C D

poteau D N poteau D Nhaut

poutre C D

bas

b lb b h

l

I

EI l

EI l EI l

EI ly

y

-

-

ì + =ïï= + ´ = + ´ ´ =íï

=ïî

= ´

´ ´ ´= = ´

ü+= =

ý

=

1, 22kïïÞ =ïïþ

4.2 Rigidité (EI/l) de la poutre C2-D2 au 1er plancher



Exemple de dimensionnement1, 22 4350 44,2

120ukl

r´

= =

5. Calcul du facteur d’amplification 5.1 Coefficient 0,75


( )

412 2

2

2

0, 4 0, 4 25000 400 /120; 21,33 10 N.mm1 1

7475,9 kN (poteau extérieur)

8860,5 kN (poteau intérieur)

c gds

ds

cu

c

E IEI

EIPkl

P

bb

p

´ ´= = = = ´

+

= =

=

Cas de charge ΣPf (kN) ΣPc (kN) δs

1.25D+1,5L+0,4W 10874.25 130691 1.1251,25D+0,5L+1,4W 8012.25 130691 1.089

Pour un poteau intérieur 0,85 , 1,12 et 40,6



Exemple de dimensionnement6. Moments amplifiés

7. Vérification que le moment maximum se produit aux extrémités du poteau

1 1 1

2 2 2

ns s s

ns s s

M M MM M M

dd

= +

= +

( ) ( )' 3 2

min

35 3536,25 98,6605,2 10 30 400

u

f c g

lr P f A

æ öç ÷

= £ = =ç ÷ç ÷ç ÷ ´ ´è ø

Il n’est pas nécessaire de vérifier le flambement du type d’ossature à nœuds non déplaçables



Exemple de dimensionnement8. Vérification du flambement sous les charges de gravité

( )( )

( )

412 2

_

_ int

2

2

1, 25 358,6 kN 0,60592,8 kN

0, 4 0, 4 25000 400 /12 13,33 10 N.mm1 1,60

1, 22 4350 5307 mm

1,12 4350 4872 mm

4671,3 kN (poteaux extérieurs)

Ddns

f

c g

dns

u poteaux ext

u poteaux

cu

c

PP

E IEI

kl

kl

EIPkl

P

b

b

p

p

= = =

´ ´= = = ´

+

= ´ =

= ´ =

= =

=( )

2

2 5542,6 kN (poteaux intérieurs)u

EIkl

=

Le facteur d’amplification pour le cas 1,25D+1,5L est alors :

Comme 2,5 il n’y a pas de risque de flambement sous les charges de gravité



Exemple de dimensionnement8 4671,3 8 5542,6 81711,2 kN

10874,25 kN

c

f

P

P

= ´ + ´ =

=

å

å

1 1 1, 2210874,311 0,75 81711, 2

sf

m c

PP

d

f

= = =--

´åå



Exemple de dimensionnement9. Calcul de l’armature longitudinale du poteau

400 80 20 20 0,70400

g - - -= =

Supposons un enrobage de 40 mm, des barres longitudinales en 20M et des étriers en 10M

En utilisant l’abque A.7 (SBA) correspondant à γ=0,7 , on obtient :

On utilise ρt-min=1% donc 400 0,01 1600 4-20M

Cas de charge 1,25D+1,5L+0,4W 1,25D+1,4W+0,5L

Pf/Ag 3,78 MPa 3,00 MPa

Mf/Agh 1,06 MPa 2,03 MPa

ρt <1% <1%



Exemple de dimensionnement10. Vérification de la section



Exemple de dimensionnement11. Vérification des exigences minimales

• Taux d’armature min et max : 1% 1,25% 4,0%

• Nombre minimum de barres : 4 4

• Espacement max des barres retenues par des étriers : 400 80 20 2 20 260 500

• Diamètre min des étriers : 10 0,3 6




Exemple 12.1 SBA

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