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ÁLGEBRA BOOLEANA
El Álgebra Booleana se define como una retícula:
Complementada: existe un elemento mínimo 0 y un elemento máximo I de tal
forma que si a esta en la retícula, a’ también lo está si a a’=I y a a’=0.
Distributiva: si a,b,c están en la retícula entonces a (b c)=(a b) (a c)
y a (b c)=(a b) (a c) .
Contiene al menos dos elementos.
Contiene sólo dos operaciones: suma(OR o +) y producto (AND o .)
En el Álgebra Booleana las operaciones se realizarán mediante
relaciones lógicas, lo que en el álgebra convencional son las
sumas y multiplicaciones.
Las variables con las que opera son las binarias 1 y 0 (verdadero
o falso). Los signos 1 y 0 no expresan cantidades, sino estados de
las variables.
Podemos decir, que el sistema de numeración binario y el álgebra
de Boole constituyen la base matemática para el diseño y
construcción de sistemas digitales.
ÁLGEBRA BOOLEANA
El álgebra booleana es un sistema algebraico que
consiste en un conjunto B que contiene dos o más
elementos y en el que están definidas dos
operaciones “suma u operación OR” (+) y
“producto u operación AND” (.).
PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
Las operaciones del Álgebra de Boole son:
Conmutativas. Para cada a, b en B:
a + b = b + a
a . b = b . a
Identidad o existencia de neutros. En B existen el elemento neutro de la suma (0) y el elemento neutro del producto (1), tales que para cualquier elemento a de B:
0 + a = a
1 . a = a
Asociatividad. Para cada a, b, c en B:
a + (b + c) = (a+ b )+ c
a. (b . c) = (a .b) . z
Distributiva. Para cada a, b, c en B:
a . (b + c) = a . b + a . c
a + b . c = (a + b) . (a + c)
Complemento. Para cada a en B existe un elemento a’, llamado complemento de a, tal que:
a+a’=1
a.a’=0
ALGEBRA BOOLEANA
Recuerda que:
1 + 1 = 1
1 + 1 + 1 = 1
0 + 1 = 1
0 + 0 = 0
Ya que el valor máximo es 1.
También se puede utilizar la ley de De Morgan:
(A.B.C.D)’ = A’ + B’ + C’ + D’
(A+B+C+D)’ = A’.B’.C’.D’
TEOREMAS
1. Idempotencia.
a + a = a a . a = a
2. Identidad de los elementos 0 y 1
a + 1 = 1 x . 0 = 0
3. Absorción
a + ( a . b ) = a
a . ( a + b ) = a
4. Complemento de 0 y 1
0’ = 1 1’ = 0
5. Involución
(a’)’ = a
6. Leyes de Morgan
( a + b )’ = a’ . b’ ( a . b )’ = a’ + b’
EJEMPLO
Demostración de indempotencia
a + a = a
a + a = (a + a ) . 1 axioma de identidad
= (a + a) . (a+a’) axioma inverso
= a + (a.a’) axioma distributiva
= a + 0 axioma inverso
= a axioma identidad
TEOREMAS DEL ÁLGEBRA BOOLEANA
Número Teorema DUAL
1. 0.A=0 1+A=1
2. 1A=A 0+A=A
3. A.A=A A+A=A
4. A.A’=0 A+A’=1
5. A.B=B.A A+B=B+A
6. A.B.C=A.(B.C) A.B.C=A.(B.C)
7. (A.B…Z)’=A’+B’+…Z’ (A+B+…+Z)’=A’.B’.…Z’
8. A.B+A.C=A.(B+C) (A+B).(A+C)=A+(B.C)
9. A.B+A.B’=A (A+B).(A+B’)=A
10. A+A.B=A A.(A+B)=A
11. A+A’.B=A+B A.(A’+B)=AB
12. C.A+C.A’.B=C.A+CB (C+A).(C+A’+B)=(C+A).(C+B)
13. A.B+A’.C+B.C=A.B+A’.C (A+B).(A’+C).(B+C)=(A+B).(A’+C)
FUNCIÓN BOOLEANA
Se define Función Lógica(Booleana) a toda variable binaria
cuyo valor depende de una expresión formada por otras
variables binarias relacionadas mediante los signos + y .
Por ejemplo: S=(a.b)+b.c Siendo S la función, mientras que a,
b y c son las variables. Esta función la leeríamos de la
siguiente forma: si a y b o b y c son verdaderas (1) la función
lógica S es verdadera (1).
Funciones básicas
Unión (OR), es decir a+b
Intersección (AND) , es decir a.b
Negación (Not), es decir a’
EJEMPLO DE FUNCIÓN BOOLEANA
Supongamos que una industria refresquera deseaun sistema automático que saque de la banda detransportación un refresco que no cumple con losrequisitos mínimos de calidad, para eso coloca 4sensores A,B,C,D y F representa al sistema quesacará el refresco.
La función equivalente a la tabla es:
F=A’B’C’D+A’B’CD+AB’C’D+AB’CD’+AB’CD
Eso implica que para cualquiera de estascombinaciones F=1 indica que el refresco debesalir de la cinta.
A=0, B=0,C=0,D=1
A=0, B=0,C=1,D=1
A=1, B=0,C=0,D=1
A=1, B=0,C=1,D=0
A=1, B=0,C=1,D=1
A B C D F
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
EJERCICIOS1. Determine la función F e indica para que valores se cumple cada
caso.
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Cuando se plantea un problema, en general la expresión booleana obtenida nonecesariamente es la óptima.
Esta expresión puede ser simplificada mediante los teoremas del álgebra booleana.
Ejemplo 1: Simplificar F=A’B+(ABC)’+C(B’+A)
= A’B+A’+B’+C’+C(B’+A) (7ª)
= A’B+A’+B’+C’+CB’+CA (8ª)
= A’B+A’+B’+CB’+C’+CA (5ª)
= A’(B+1)+B’(1+C)+C’+CA (8ª)
= A’1+B’1+C’+CA (1ª)
= A’+B’+C’+CA (2ª)
= A’+B’+C’+A (11ª)
= (A’+A)+B’+C’ (5ª)
= (1+B’)+C’ (4ª)
= (1+C’) (1ª)
1 (1ª)
SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS
Ejemplo 2: Simplificar F=Z’X+XY’Z+X’Z’W
= Z’X+XY’Z+X’Z’W
= Z’(X+X’W)+XY’Z (8ª)
= Z’(X+W)+XY’Z (11ª)
= Z’X+Z’W+XY’Z (8ª)
= X(ZY’+Z’)+Z’W (8ª)
= X(Y’+Z’)+Z’W (11ª)
= XY’+XZ’+Z’W (8ª)
SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS
Una función boolena puede definirse por una lista
de todas las posibles entradas junto con sus
correspondientes salidas.
Ejemplo: f: B2 - > B
Una razón importante del por qué usar expresiones
booleans es la representación de circuitos digitales.
Un circuito digital es un dispositivo electrónico para
desempeñar un computo digital . Tiene un determinado
numero de entradas, cada una de las cuales es una señal
eléctrica que toma uno de dos estados (0 o 1). Para cada
combinación dada de entradas, el dispositivo computa una
o mas salidas, que es o 0 o 1.
Un circuito digital se puede construir usando dispositivos
como las compuertas lógicas.
Una compuerta lógica es un simple circuito digital que
corresponde a uno de los conectivos lógicos.
EJERCICIO
Escribe la expresión booleana que corresponde al
siguiente circuito digital. Usa las leyes del
algebra booleana, para obtener una expresión
equivalente más simplificada, y dibuja el
correspondiente circuito.