Aplicações da teoria de conjuntos álgebra booleana
Transcript of Aplicações da teoria de conjuntos álgebra booleana
Pontifícia Universidade Católica de Goiás
Msc. Gustavo Siqueira Vinhal
2016/1
Aplicações da teoria de conjuntos –
álgebra booleana
CONJUNTOS
Conjuntos são fundamentais para formalização de qualquer teoria.
Uma teoria é construída a partir de um conjunto de pressupostos básicos (axiomas), os quais fazem referência a um conjunto de elementos primitivos. A partir desses elementos e utilizando um conjunto de regras de inferência, é criado um conjunto de propriedades, enumerados e provados através de teoremas.
Exemplos:
Construção das Álgebras Boolenas (Computação Digital);
Desenvolvimento e validação da Teoria de Banco de Dados;
Desenvolvimento de Linguagens Formais;
Etc.
CONJUNTOS
Conceitos primitivos:
Conjunto: reunião de elementos segundo uma característica
em comum;
Elemento: uma entidade que pertence a um conjunto;
Relação de Pertença (ou Relação de Pertinência): indica
se um elemento pertence a um conjunto ou não.
Um elemento pertence a um conjunto
CONJUNTOS
Notações:
Elementos são representados por letras minúscula;
Conjuntos são representados por letras maiúsculas;
Relação de pertença: é representada pelo símbolo ∈.
Observações:
A definição sempre é feita através do símbolo de igualdade (=);
Os elementos de um conjunto sempre são representados entre
chaves.
CONJUNTOS
Representação
Por extensão:
A = {C++, Delphi, Java,...}
B = {a, e, i, o u}
Por compreensão:
C = {x | x ∈ N ^ x é impar ^ x ≤ 5}
D = {f| f é múltiplo de 4}
Por gráficos:
E = {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 2}
CONJUNTOS
Conjunto universo: conjunto que contém todos os conjuntos.
Representado pelo símbolo U. Exemplo:
U = {x| x = x}
Conjunto vazio: conjunto que não possui elementos.
Representado pelo símbolo ∅ ou {}. Exemplos:
∅ = {x| x ≠ x} = {x ∈ R| x > x+1} = {x ∈ R| x² < 0}
∅ ≠ {∅}. Por quê?
RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS
Inclusão: Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A está
contido em B se, e somente se, qualquer elemento de A
também for elemento de B.
𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ ∀𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
Propriedades:
∅ ⊆ 𝐴;
𝐴 ⊆ 𝐴; Reflexividade
𝐴 ⊆ 𝐵 ^(𝐵 ⊆ 𝐶) ⇒ 𝐴 ⊆ 𝐶. Transitividade
RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS
Inclusão Estrita: Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A
está estritamente contido em B se, e somente se, qualquer
elemento de A também for elemento de B, mas A for
diferente de B.
𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ ∀𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵 ^ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∉ 𝐴)
Propriedades:
𝐴 ≠ ∅ ⇒ ∅ ⊂ 𝐴;
𝐴 ⊂ 𝐵 ^(𝐵 ⊂ 𝐶) ⇒ 𝐴 ⊂ 𝐶. Transitividade
RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS
Igualdade: Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A é igual
a B se, e somente se, tiverem exatamente os mesmos
elementos.
𝐴 = 𝐵 ⇔ ∀𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵
Propriedades:
𝐴 = 𝐴; Reflexividade
𝐴 = 𝐵 ⇒ 𝐵 = 𝐴; Simetria
𝐴 = 𝐵 ^(𝐵 = 𝐶) ⇒ 𝐴 = 𝐶. Transitividade
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
Relações e Operações NÃO são sinônimos.
Relações = formas de comparar conjuntos;
Operações = forma de criar novos conjuntos.
Operações entre conjuntos sempre gera um novo conjunto como
resultado
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
União: Dados dois conjuntos A e B, a operação de união gera um novo conjunto C, cujos elementos são provenientes tanto de A quanto de B.
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
Propriedades: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴; Comutatividade
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶); Associatividade
𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴 ; Idempotência
𝐴 ∪ ∅ = 𝐴; Elemento Neutro
𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈. Elemento Absorvente
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
Intersecção: Dados dois conjuntos A e B, a operação de intersecção gera um novo conjunto C, cujos elementos são comuns a A e a B.
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
Propriedades: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴; Comutatividade
𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶); Associatividade
𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 ; Idempotência
𝐴 ∩ ∅ = ∅; Elemento Absorvente
𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴. Elemento Neutro
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
Diferença: Dados dois conjuntos A e B, a operação de
diferença gera um novo conjunto C, cujos elementos são
aqueles que pertencem a A mas não pertencem a B.
𝐴 − 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵} Obs.: 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
Complementação: Dado um conjunto A, o complemento
de A é o conjunto formado por todos elementos que
pertencem ao conjunto universo e não a A.
𝐴′ = {𝑥 ∈ 𝑈|𝑥 ∉ 𝐴}
Propriedades:
𝐴′ ∪ 𝐴 = 𝑈; 𝐴′ ∩ 𝐴 = ∅;
𝑈′ = ∅ ;
∅′ = 𝑈.
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
Complementação: Dado um conjunto A, o complemento
de A é o conjunto formado por todos elementos que
pertencem ao conjunto universo e não a A.
𝐴′ = {𝑥 ∈ 𝑈|𝑥 ∉ 𝐴}
Propriedades:
𝐴′ ∪ 𝐴 = 𝑈; 𝐴′ ∩ 𝐴 = ∅;
𝑈′ = ∅ ;
∅′ = 𝑈.
ÁLGEBRA BOOLEANA
Seja S um conjunto composto pelos conjuntos vazio e universo:
𝑆 = ∅, 𝑈
Seja as operações de intersecção, união e complementação sobre
esses conjuntos, considere as propriedades a seguir:
𝐴 ∪ ∅ = 𝐴;
𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈;
𝐴 ∩ ∅ = ∅;
𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴;
𝑈′ = ∅ ;
∅′ = 𝑈.
ÁLGEBRA BOOLEANA
Considerando:
∪= OR ∅ = 0 ′ = NOT
∩= AND 𝑈 = 1
Podemos representar as operações booleanas através de
operações de conjuntos.
𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 X OR 0 = X
𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈 X OR 1 = 1
𝐴 ∩ ∅ = ∅ X AND 0 = 0
𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴 X AND 1 = X
𝑈′ = ∅ NOT 1 = 0
∅′ = 𝑈 NOT 0 = 1
ÁLGEBRA BOOLEANA
A B A AND B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A B A OR B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A NOT A
0 1
1 0
EXERCÍCIOS
1. Descreva cada um dos conjuntos a seguir, listando seus elementos :
(a) { x ∈ R / | x | < 2 }
(b) { x ∈ N / ( ∀ y ) ( y é par → x ≠ y ) }
2. Determine os conjuntos A e B tais que A' = { f, g, h, l }, A ∩ B = { d, e } e A ∪ B = { a, b, d,
e, f }.
3. Sejam A, B e C conjuntos tais que A ⊆ B e B ⊆ C. Sejam a, b, c, d, e, f ∈ U tais que a ∈ A, b ∈
B-A, c ∈ C-B, d ∉ A, e ∉ B e f ∉ C. Quais das afirmações abaixo são corretas?
(a) a ∈ C (b) b ∈ A (c) c ∉ A
(d) b ∈ B (e) e ∉ A (f) f ∉ A
4. Sejam A, B e C conjuntos. Verifique se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas,
justificando a sua resposta.
(a) A ∩ B = C ∩ B → B - A = B – C
(b) A ∪ ( B - A ) = A ∪ B
(c) A ∩ B = A ∩ C ↔ B = C
(d) ( A' ∪ B' )' = A ∩ B
(e) ( A ∪ B ) - C = A ∪ ( B - C )