Fuerzas Internas en Reticulados

24/08/2015

1

Universidad Nacional de Ingeniería

FUERZAS INTERNAS EN RETICULADOS

“El análisis es un medio para un fin,ya que el principal objetivo del ingeniero estructural es diseñar, no analizar".

Norris, Ch. y Wilbur, J.


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2


4.1 DEFINICIÓN DE RETICULADO


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3


R4

R3Y

R3X

2P P

1 2 3

4 5

S3 S4 S5 S6

S7

S1 S2

2PS1

S3

1

1. Un reticulado está formado por barras o elementos rectos conectados en susextremos mediante nudos.

2. Si un reticulado está en equilibrio, cada una de sus partes (nudos y barras)también lo está.


5. El análisis de un reticulado, requiere de determinar sus fuerzas internas(fuerzas que mantiene unidos los elementos); para ello empleamos elconcepto de equilibrio aplicado en cada uno de sus componentes.

3. Las cargas actúan en los nudos y no en las barras (se desprecia el pesopropio de las barras).

4. Las cargas aplicadas en los nudos originan sólo fuerzas axiales que puedenser de tracción o compresión.

C T

Cada barra, es un elemento con fuerzas en sus extremos.

Fuerza externa

Fuerza interna

Barra en compresión

Fuerza externa

Fuerza interna

Barra en tracción

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4


6. Para que un reticulado bidimensional sea estáticamente determinadodebe cumplir que:

b : número de barras

n : número de nudos

b = 2 n - 3

Si : b > 2 n - 3

Si : b < 2 n - 3

Isostático (reticulado rígido)

Hiperestático (reticulado súper rígido)

Hipostático (reticulado inestable)

1 3

65

4

2

1 3

65

4

2

1 3

65

4

2


7. El análisis de una armadura (determinación de fuerzas internas en susbarras) se puede realizar empleando:

Método de los nudos

Método de las secciones

Métodos gráficos

Método de las rigideces

A ser estudiado en este curso.

Empleado antiguamente paraarmaduras complejas.

Usado para programar

Fe = u~ ~

k u~ ~

?

k~

?

Fi =~

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5


i. Diagrama de cuerpo libre del sistema ( FX = 0, FY = 0, MA = 0).

ii. Identificar las barras con esfuerzo cero. *

iii. Buscar nudos en el cual exista 2 fuerzas desconocidas como máximo yhacer el diagrama de cuerpo libre.

iv. Continuar el paso (iii) hasta hallar las fuerzas internas en todas las barrasdel reticulado. El análisis se reduce, en determinar las fuerzas internas enlas barras y la condición de estas (tracción o compresión).

A: Punto en que podamoseliminar el mayor número dereacciones incógnitas.

4.2 ANÁLISIS DE RETICULADOS – MÉTODO DE LOS NUDOS


S1

S2

S1 = S2

S3 = 0

Si en cualquier reticulado existe unnudo (sin carga) al cual concurrensólo 3 barras y 2 de estas pertenecena una misma recta, entonces elesfuerzo de la otra barra es cero.

S3

Si dos barras concurren en un nudo,y ese nudo se encuentra sin carga,entonces ninguna de las barrastrabaja: S1 = S2 = 0

S1

S2

S1 = S2 = 0

* :

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Universidad Nacional de IngenieríaPROBLEMA 1:

Determinar las fuerzas internas de cada una de las barras delreticulado mostrado.

Nota:

Para que una armadura sea considerada simétrica debe serlotanto en geometría como en cargas.

3 m 3 m 3 m

HA VA VEHE

A

B

C

D

E

25 tn50 tn

FG30º

30º 30º

30º60º60º


HA

VA

X

Y

SAB

30º

Del problema anterior sabemos: VA = 43,75 tn ( ME = 0)

VE = 31,25 tn ( MA = 0)

HA = 32,48 tn ( McIZQUIERDA = 0)

HE = 32,48 tn ( FH = 0)

Fy = 0 : - SAB sen 30º + VA = 0

SAB = 87,50 tn

FX = 0 : HA – SAG – SAB cos 30º = 0

SAG = - 43,30 tn

SAG

Nudo A :

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7


XY

SAB

60º

SBG

Nudo B :

FX = 0 : SAB - SBC – 50 cos 60º = 0

SBC = 62,50 tn

FY = 0 : SBG – 50 sen 60º = 0

SBG = 43,30 tn

FY = 0 : - SBG sen 60º + SGC sen 60º = 0

SGC = 43,30 tn

Nudo G :

SBC

50 tn

60º60º

SAB

SBG SGC

X

Y


Nudo E :

Nudo D :

FY = 0 : - SED sen 30º + VE = 0

SED = 62,50 tn

FX = 0 : - HE – SEF + SED cos 30º = 0

SEF = 21,65 tn

FX = 0 : SDF – 25 sen 60º = 0

SDF = 21,65 tn

FY = 0 : SED – 25 sen 60º - SDC = 0

SDC = 50,00 tn

30º

SEF

SED

X

Y

VE

HE

XY

SDF

60º

SED

SDC

25 tn

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8


Nudo F :

FY = 0 : - SDC cos 60º + SFC cos 60º = 0

SFC = SDC = 21,65 tn60º60º

SFC SDC

X

Y

SEF


32,48 tn43,75 tn 31,25 tn

32,48 tn

A

B

C

D

E

25 tn50 tn

FG

C T

F.E. F.E. F.E. F.E.

43,30(T)

21,65(T)

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9


Hallar las fuerzas internas de cada una de las barras del reticulado mostrado.

2 m 2 m 2 m

0

9 tn 9 tn

A

B

C

D

E

6 tn6 tn

FG30º

30º 30º

30º60º60º

Observamos que existe simetría geométrica y de cargas (respecto a un eje vertical quepasa por el nudo C), lo cual es útil para disminuir la cantidad de cálculos a realizar.

30º 30º

6 tn

3 m


9 tn

X

Y

SAB

30º

SAG

Nudo A :

XY

SBA

60º

SBG

Nudo B :

SBC

6 tn

Fy = 0 : - SAB sen 30º + 9 = 0

SAB = 18 tn

FX = 0 : - SAB cos 30º + SAG = 0

SAG = 15,60 tn

Fy = 0 : - 6 sen 60º - SBG = 0

SBG = 5,20 tn

FX = 0 : SBA – SBC – 6 cos 60º = 0

SBC = 15 tn

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Nudo G :

60º60º

SGA

SGB SGC

X

Y

SGF

Fy = 0 : SGC cos 30º - SGB cos 30º = 0

SGC = 5,20 tn

FX = 0 : SGF – SGA + SGB sen 30º + SGC sen 30º

SGF = 10,40 tn


9 tn 9 tn

A

B

C

D

E

6 tn

6 tn

FG15,60 tn(T)

15,60 tn(T)

10,40 tn(T)

TC

6 tn

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Notar que el reticulado es simétrico respecto al eje horizontal pasa por los nudosA, E, F y C. Por lo tanto, la dirección de las reacciones (RA y RC) tambiénestarán en ese mismo eje horizontal.

PROBLEMA 3:

Hallar las fuerzas internas de cada una de las barras del reticulado mostrado.

3 m 1 m

RcA

B

C

D

E FRA

3 m1 m

4 m

4 m

4 tn

Universidad Nacional de Ingeniería Cálculo de las reacciones: FX = 0 : RA + 4 – RC = 0

(aparentemente hiperestático)

SEB = SED = 0

Ninguna de las barras trabaja (2 barras que concurrenen un nudo y ese nudo no esta sometido a cargas).

Nudo E :

SEB

X

Y

SED

Cálculo de fuerzas en las barras:

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Nudo F :

X

Fy = 0 : SFD sen - SFB sen = 0

SFD = SFB

FX = 0 : SFB cos + SFD cos - 4 = 0

SFB = SFD = 3,33 tn

SFB

Y

SFD

4 tn

4

5

3

Nudo B :

45º45º

SBA

SBE = 0SBC

Y

SBF

X

FX = 0 : - SBA cos 45º - SBF cos + SBC cos 45º = 0

FY = 0 : - SBA sen 45º - SBC sen 45º + SBF sen = 0

︵ a ︶.....22SS BABC

︵ b ︶.....238SS BCBA

Resolviendo (a) y (b):

SBC = 3,30 tn, SBA = 0,47 tn


Nudo A :

45º

SAB

X

Y

SAD

45º

Nudo C :

RA

FY = 0 : - SAB sen 45º - SAD sen 45º = 0

SAB = SAD

FX = 0 : - RA + SAB cos 45º + SAD cos 45º = 0

RA = 0,66 tn

FY = 0 : SCB sen 45º - SCD sen 45º = 0

SCD = SCB

FX = 0 : RC + SCB cos 45º + SCD cos 45º = 0

RC = 4,66 tn

X45º

SCB Y

SCD

45º RC

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4,66 tn0,66 tn 4 tn

T

C

0

0


Para la armadura, determinar la magnitud y calidad de las fuerzasaxiales en las barras.

P

R1 = P

P

a

a

aR = 0

R6 = P

a a

1

2

3

4

5

6

7

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Universidad Nacional de Ingeniería Cálculo de reacciones:

+ M1 = 0 : P (2a) – R6 (2a) = 0 R6 = P

+ FV = 0 : R6 – R1 = 0 R1 = R6 = P

FY = 0 : P + S65 = 0 S65 = – P

FX = 0 : – S67 cos 45º = 0 S67 = 0

Cálculo de fuerzas axiales:

X45º

Y

R6 = P

S65S67

Nudo 6:

Nudo 4: Barra 24 no trabaja: S24 = 0


PS0S45ºcosS:0F

P2S0P45ºsenS:0F

171712X

1212Y


45º

S12

X

Y

P = R1

S17

Nudo 1:


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Universidad Nacional de IngenieríaNudo 3:

X

45º

P

Y

S32

Nudo 7:

S34

X

Y

P = S71 S75

PS045ºsenSS:0F

P2S045ºcosSP:0F

343234Y

3232X

PSS0SS:0F 71757571X

Universidad Nacional de IngenieríaNudo 4:

X

Y

Nudo 5:

S45

X

Y

S57

S56

S43 = P

S54

P

PSS0SS:0F 43454345Y

PSS0SS:0F

PS0PS:0F

54565456Y

5757X

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P

R1 = P

P

R6 = P

1

2

3

4

5

6

7

(C)(C)

(C)

(C)

(T)

(T)

P

P2 P

2 P

0

00

0

P (C)

P P


Determinar la magnitud y calidad de las fuerzas axiales en las barras.

3m 3m1m

3m

1m

1m

P 2P

7

1 2 3 4

5

68

R1

R8

R7

45º

45

3

1

3

10

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Cálculo de fuerzas axiales en las barras:


Nudo 1, 7, 8: Por ser barras aisladas: S12 = R1 = 3,75 P

S86 = R8 = 3,75 P

S76 = R7 = 3 P

Cálculo de reacciones en los apoyos:

+ FY = 0 : R7 – P – 2P = 0 R7 = 3P

+ M1 = 0 : R8 (4) + 3P (1) – P (4) – 2P (7) = 0 R8 = 3,75 P

+ FX = 0 : R1 – R8 = 0 R1 = 3,75 P


FY = 0 : S45 sen - 2 P = 0 S45 = 6,32 P

FX = 0 : S43 - S45 cos = 0 S43 = 6 P

Nudo 4:

X

Y

2P

S45

S43

FX = 0 : S54 cos - S56 cos 45º = 0 S56 = 8,48 P

FY = 0 : S56 sen 45º - S53 - S54 sen = 0

S53 = 4 P

Nudo 5:

X45º

S56

Y

S53

S54 = 6,32 P

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FY = 0 : S35 – P - S36 sen = 0 S36 = 3,75 P

FX = 0 : S32 - S34 + S36 cos = 0 S32 = 3,75 P

Nudo 3:

X

S36

Y

S35 = 4 P

S32 S34 = 6 P

P

FY = 0 : S26 = 0

FX = 0 : S21 - S23 = 0 S23 = 3,75 P

Nudo 2:

X

YS26 = 0

3,75 P = S21 S23


P 2P

7

12 3 4

5

68

R1 = 3,75 P

R8 = 3,75 P

R7 = 3 P

3,75 P

3,75 P(C)

3,75 P(C)

6 P(C)

(T)3 P

(T)

(T)4 P

0

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Método conveniente cuando se desea determinar la fuerza de una o de pocasbarras de un reticulado.

i. Diagrama del cuerpo libre del sistema: FX = 0, FY = 0, MA = 0

ii. Aislar una parte del reticulado mediante un corte, para que las fuerzas deinterés (las que nos piden) se conviertan en “fuerzas externas” en el cuerpolibre aislado.

iii. Al hacer el corte correspondiente (dividiendo la armadura en dos partes),intervienen las fuerzas de las barras que son cortadas.

iv. En general, una sección debe cortar a 3 barras, ya que puededeterminarse 3 incógnitas, usando las 3 ecuaciones de equilibrio(considerar el equilibrio total del sub-sistema). Sin embargo, hay casosespeciales en que se pueden cortar con éxito más de 3 barras.

4.3 ANÁLISIS DE RETICULADOS – MÉTODO DE LAS SECCIONES


Determinar las fuerzas en las barras CD, CF y GF de la estructura mostrada.

2 m 2 m 2 m

9 tn 9 tn

A

B

C

D

E

6 tn6 tn

FG30º

30º 30º

30º60º60º

30º 30º

6 tn

1 1/2

3/2 3/2

3

a

a

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Universidad Nacional de Ingeniería Corte a realizar: a–a (consideramos la zona de la derecha) y se supone

el sentido de las fuerzas que se indican en la figura.

Indica que la dirección es contraria a lo

supuesto.

C

3 3

E

2 2

F

1 1

M 0:3F ( 3 ) 6( ) 9(3) 0 F 10,40 tn2

M 0:3F ( 3 ) 6( ) 0 F 5,20 tn2

M 0:1-F (1) 6( ) 9(2 ) 0 F 15 tn2

a

a

F

C

D

E

6 tn

9 T

F3

F2

F1

Consideremos como fuerzas

externas.


9 tn 9 tn

6 tn6 tn

6 tn

10,40 tn

( T )

T

C

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21


Determinar la fuerza en los miembros EF, HG, HJ, FG; usandosolamente una ecuación en cada caso.

3m

3m

3m 3m 3m 3m

4m

2m

40 tn

40 tn

40 tn40 tn

A

B C

D

EF

GH

J


HA

160 tn = VFHF = 80 tn

3m

3m

3m 3m 3m 3m

4m

2m

40 tn

40 tn

40 tn40 tn

A

80 tn

B C

D

EF

GH

J

3

32

1

12

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+ MD = 0 :+ G1 (4) – 40 (3) = 0 G1 = 30 tn( SEF = 30 tn compresión)

Corte 1 - 1: zona de la derecha (EF = ??)

G1

G3

G4

G540 tn

40 tn

E

D

G2


Corte 2 - 2: zona de la derecha (FG = ??)

+ MD = 0 :+ F1 (4) – 80 (4) – 40 (3) = 0 F1 = 110 tn( SFG = 110 tn compresión)

160 tn 80 tn

F1

F2

F3

F4 40 tn

40 tn

EF

D

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Universidad Nacional de Ingeniería Corte 3 - 3: zona de la izquierda (HG = ??, HJ = ??)

X

80 tn A

B

H G

CQ3

Q2

Q1

P

J

4

5

3

+ MP = 0 :- Q1 (6) + 80 (3) + 40 (4,5) = 0 Q1 = 70 tn

( SHG = 70 tn compresión)

+ FY = 0 : Q2 (sen ) - 40 = 0 Q2 = 50 tn

( SHJ = 50 tn tracción)

x CJPor Relación de triángulos :

HG JG

m1,5Xm4m2

m3X

40 tn


HA = 80 tn

160 tn = VF

HF = 80 tn

40 tn

40 tn

40 tn40 tn

A

B C

D

EF

GH

J

30 tn110 tn70 tn( C )( C )( C )

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24


Del reticulado compuesto, determinar las fuerzas axiales de las barrasAB, CD y EF.

L/6 L/6 L/6 L/6L/3

L/2L/2

P 2P P 2P

A

B C

D60 º 60 º

30 º30 º

RA RD

Reticulado

superpuesto

E F


Cálculo de las reacciones en los apoyos:

P6

17R

0P6

192PP2PPR:0F

P6

19R

0(L)RL)65(2P)L

32(P)

3L(2P)

6L(P:0M

A

AY

D

DA

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25


P 2P P 2P

A

B C

D60 º 60 º

30 º30 º

E F

Cálculo de los esfuerzos en las barras requeridas:

RAP

617 RD

P6

19


Realizamos el corte mostrado (tomamos la zona izquierda) y suponemos elsentido de las fuerzas axiales que se muestran.

P 2P

A

O

C

D

E F3

60 º 60 º

F1

F2

L

L23

RAP

617

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26


)P9

34(SP9

34F

0L)23(FL)

32(P2L)

65(P(L)P

617:0M

)P9

35(SP9

35F

0L)23(F)

3L(P2)

6L(P:0M

Tracción)P3(SP3F

0L)23(F)

6L(P2)L

62(P)

2L(P

617:0M

AB1

22D

CD2

2A

EF3

3O

Compresión

Compresión

Sentido contrario a lo supuesto

Sentido contrario a lo supuesto


P 2P P 2P

A

B C

DE F

RD = 3,17 P2,83 P = RA

1,73 P

( T )

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27


Determinar la magnitud y calidad de las fuerzas axiales en las barras.

A C

F

D E

B35 tn

40 tn

25m

10m

10m

20m

25m

5m5m

RAyRAx RCy



+ FX = 0 : RAX – 35 = 0 RAX = 35 tn

+ MA = 0 : RCY (50) – 35 (40) – 40 (25) = 0 RCY = 48 tn

+ FY = 0 : RAY + RCY – 40 = 0 RAY = - 8 tn

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Cálculo de fuerzas axiales en las barras:

A C

F

D E

B35 tn

40 tn

8 tn35 tn

48 tn

Realizamos el corte que se muestra ypodemos hallar el valor de F1 porequilibrio en la subestructura (sumatoriade momentos en el punto P, puntodonde concurren F2 y F3).

F1

F3

F2

P d

d1

40 tn


+ MP = 0 : + F1 (d) – 40 (d1) = 0 F1Siendo necesario determinarlos valores de d y d1, para locual empleamos el siguientesistema de coordenadas:

Y

X

(25,40)

2k

W (wX,wY)

(30,20)

2k

5k

L

dP (2k,2k)

Hallamos la ecuación de la recta L:

(40 - Y) = 40 - 20 (25 - X) Y = - 4 X + 14025 - 30

45°

Hallamos las coordenadas del punto P (2k,2k):

7 k = 50 m. (2k , 2k) = (100/7 , 100/7)

Hallamos las coordenadas del punto W (Wx,Wy):

40 - 20 Wy - 100/7 = - 1 4 Wy - Wx = 300/725 - 30 Wx - 100/7

como el punto W pertenece a la recta L, usando laecuación de esa recta determinamos:

(Wx , Wy) = (3 620/119 , 2 180/119) = (30,42 , 18,32)

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29

Universidad Nacional de IngenieríaCon los valores obtenidos, ya podemos determinar las distancias d y d1:

d2 = (3 620/119 - 100/7)2 + (2 180/119 - 100/7)2 d = 16,63 m

d1 = 25 - 100/7 d1 = 10,71 m

Aplicando la ecuación de sumatoria de momentos en el punto P: + MP = 0 : + F1 (d) – 40 (d1) = 0

+ F1 (16,63) – 40 (10,71) = 0 F1 = 25,76 tn

Nudo B:

2.5a

SBA

2.5k4k 4a

SBC

SBE6.25

24.99

35 tn

Y

X

FX = 0 : + 35 – 2,5k + 2,5a + 6,25 = 0

FY = 0 : - 24,99 - 4k - 4a = 0

resolviendo : k = 5,1262 , a = - 11,3738

SBA = 24,17 tn , SBC = - 53,65 tn

[ barra BE : SBE = 25,76 tn en tracción ]

Universidad Nacional de IngenieríaNudo A:

SAB

k35 tn

Y

X

20,50

12,81

8 tn

SAC

SAD

k

FX = 0 : - 35 + 12,81 + k + SAC = 0

FY = 0 : - 8 + 20,50 + k = 0

resolviendo : k = - 12,50

SAC = 34,69 tn , SAD = - 17,68 tn

Nudo D:

SDE

2k

Y

X

SDF

SDA k

12,5012,50

FX = 0 : + 12,50 + k - SDE = 0

FY = 0 : + 12,50 - 2k = 0

resolviendo : k = 6,25

SDE = 18,75 tn , SDF = 13,97 tn

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30

Universidad Nacional de IngenieríaNudo E:

SED = 18,75

2k

Y

X

SEF

SEB

k

24,99

6,25 FY = 0 : + 24,99 - 2k = 0

resolviendo : k = 12,50

SEF = 27,95 tn

Nudo C:

SCB

2,5k

Y

X

28,43

45,50

48 tn

SCA = 34,69

SCF

k

FY = 0 : + 48 – 45,50 + k = 0

resolviendo : k = - 2,50

SCF = - 6,73 tn


A C

F

D E

B35 tn

40 tn

8 tn35 tn

48 tn

34,69 tn

18,75 tn

(T)

(C)

T C

24/08/2015

31


Determinar el valor de las cargas P y Q, si las fuerzas axiales en la barraAF = 2,25 KN (en tracción) y la barra EJ = 1,75 KN (en tracción).

3 m 3 m3 m3 m

4 m

4 m

A C D E

FG

HI

J

K

B

M N OL

P Q

RAy

RAx

RKx



+ FY = 0 : RAY – P – Q = 0 RAY = P + Q

+ MA = 0 : RKX (8) – P (6) – Q (12) = 0 RKX = 0,75 P + 1,50 Q

+ FX = 0 : RKX – RAX = 0 RAX = 0,75 P + 1,50 Q

24/08/2015

32


Cálculo de fuerzas P y Q: Realizamos el corte 1-1 que se muestra, para asíinvolucrar las barras cuyas fuerzas internas son datosdel problema (AF y EJ).

A C D E

FG

HI

J

K

B

M N OL

P Q

RAy

RAx

RKx

1 1


F H J

K M N OL

P Q

RKx = 0,75 P + 1,50 Q

1 1F4 F5F3

F2

F6

F12,25 KN = = 1,75 KN

3 m 3 m3 m3 m

4 m

4 m

+ FY = 0 : 2,25 + 1,75 – P – Q = 0 P + Q = 4 … (I)

Aplicando ecuaciones de equilibrio en el subsistema:

+ MF = 0 : RKX (4) – P (6) – Q (12) + 1,75 (12) = 0 P + 2 Q = 7 … (II)

24/08/2015

33


Resolviendo las expresiones ( I ) y ( II ) :P = 1 KN

Q = 3 KN

3 m 3 m3 m3 m

4 m

4 m

A C D E

FG

H

IJ

K

B

M N OL

1 KN 3 KN

5,25 KN

5,25 KN

4 KN

2,25

KN 1,75 K

N

(T) (T)

Universidad Nacional de IngenieríaNOTA:

Observar que el problema podría ser complementado de esta manera:

Determinar el valor de las cargas P y Q, si las fuerzas axiales en la barraAF = 2,25 KN (en tracción) y la barra EJ = 1,75 KN (en tracción).

Así como también, hallar la magnitud y calidad de las fuerzas axiales delresto de las barras del reticulado.

3 m 3 m3 m3 m

4 m

4 m

A C D E

FG

H

IJ

K

B

M N OL

P Q

Fuerzas Internas en Reticulados

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